Lihat sumber Tesseract (geometri)

{{about|bangunan dalam geometri|3=Tesseract (disambiguasi)}}
{{Infobox polikhoron
| Nama=Tesseract<br />8-cell<br />Kubus empat dimensi
| Gambar_berkas=Schlegel wireframe 8-cell.png
| Gambar_keterangan=[[Diagram Schlegel]]
| Tipe=[[Politop dimensi empat beraturan konveks]]
| Keluarga=[[Hiperkubus]]
| Setelah=[[5-sel omnitruncated|9]]
| Indeks=10
| Schläfli={4,3,3}<br />t<sub>0,3</sub>{4,3,2} atau {4,3}×{&nbsp;}<br />t<sub>0,2</sub>{4,2,4} atau {4}×{4}<br />t<sub>0,2,3</sub>{4,2,2} atau {4}×{&nbsp;}×{&nbsp;}<br />t<sub>0,1,2,3</sub>{2,2,2} atau {&nbsp;}×{&nbsp;}×{&nbsp;}×{&nbsp;}
| CD={{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node}}<br />{{CDD|node_1|4|node|3|node|2|node_1}}<br />{{CDD|node_1|4|node|2|node_1|4|node}}<br />{{CDD|node_1|4|node|2|node_1|2|node_1}}<br />{{CDD|node_1|2|node_1|2|node_1|2|node_1}}
| Tabel_sel=8 [[Kubus|{4,3}]] [[Berkas:Hexahedron.png|20px]]
| Tabel_wajah=24 [[Persegi|{4}]]
| Tepi_Count=32
| Vertex_Count=16
| Petrie_Poligon=[[oktagon]]
| Grup_Coxeter=B<sub>4</sub>, [3,3,4]
| Vertex_Figure=[[Berkas:8-cell verf.png|80px]]<br />[[Tetrahedron]]
| Dual=[[16-cell]]
| Tabel_properti=[[Politop cembung|cembung]], [[bentuk isogonal|isogonal]], [[bentuk isotoksal|isotoxal]], [[bentuk isohedral|isohedral]]
}}
Dalam [[geometri]], '''tesseract''' adalah sebuah bangun ruang [[Ruang dimensi empat|dimensi empat]] yang mirip dengan sebuah [[kubus]], dalam artian bahwa tesseract menyerupai sebuah kubus yang menyerupai [[persegi]]. Mirip seperti permukaan kubus yang terdiri dari enam muka persegi, [[hiperpermukaan]] dari tesseract terdiri dari delapan sel kubus. Tesseract merupakan salah satu dari enam [[politop berdimensi empat beraturan cembung]].

Tesseract juga disebut '''8-cell''' ({{Lang-id|sel-8}}), '''C<sub>8</sub>''', '''oktakoron''' (beraturan), '''oktahedroid''',<ref>Matila Ghyka, ''The geometry of Art and Life'' (1977), hlm. 68</ref> '''prisma kubik''', dan '''tetrakubus'''.<ref>Istilah ini juga dapat diartikan sebagai [[polikubus]] (''policube'') yang terdiri dari empat kubus.</ref> Tesseract merupakan '''hiperkubus dimensi empat''', sebagai bagian dari keluarga berdimensi [[hiperkubus]] atau '''politop ukuran''' ({{Lang-en|measure polytope}}).<ref>{{Cite book | last = Elte | first = E. L. | authorlink = Emanuel Lodewijk Elte | title = Polytopes Semiregular dari Hyperspaces | publisher = University of Groningen | location = Groningen | year = 1912 | isbn = 1-4181-7968-X}}</ref> Coxeter melabelinya sebagai politop <math>\gamma_4</math>.{{Sfn|Coxeter|1973|pp=122-123|loc=§7.2. illustration Fig 7.2<small>C</small>}}

Menurut ''[[Oxford English Dictionary]]'', kata ''tesseract'' berasal dari [[Charles Howard Hinton]] dalam bukunya 1888, yang berjudul ''[[A New Era of Thought]]''. Kata ''tesseract'' diambil dari bahasa [[Yunani Kuno|Yunani]] {{lang|grc|τέσσερεις}} (''téssereis'', yang berarti "empat") dan {{Lang|2=ἀκτίνες}} (''aktines'', yang berarti "sinar"), dan kata tersebut merujuk ke empat rusuk dari masing-masing titik sudut ke titik sudut lain.<ref>{{cite OED|tesseract|ID=199669}}</ref>

== Geometri ==
{{multiple image
| align             = right
| direction         = horizontal
| image1            = 8-cell net.png
| caption1          = [[Salib Dali]], [[Jaring (polihedron)|jaring]] dari sebuah tesseract
| image2            = Net_of_tesseract.gif
| caption2          = Sebuah tesseract dapat dibuka menjadi delapan kubus dalam dimensi tiga, ibarat halnya dengan kubus yang dibuka menjadi enam persegi dalam ruang dimensi dua.
| total_width       = 500
}}
Tesseract merupakan [[politop beraturan]] dengan tiga [[kubus]] yang dilipat di sekitar masing-masing rusuk, karena itu tesseract mempunyai [[simbol Schläfli]] {4,3,3} dengan [[Grup hiperoktahedral#Berdasarkan dimensi|simetri hiperoktahedral]] dari orde 384. Dibangun sebagai dalam [[hiperprisma]] dimensi empat yang terbuat dari dua kubus yang sejajar, tesseract dapat dinamai sebagai [[simbol Schläfli]] komposit {4,3}&nbsp;×&nbsp;{&nbsp;}, dengan orde simetri 96. Karena disebut sebagai [[duoprisma]] 4-4, sebuah [[perkalian Kartesius|darab Kartesius]] dari dua [[persegi]], tesseract dapat dinamai dengan simbol Schläfli komposit {4}×{4}, dengan orde simetri 64. Karena berupa [[ortotop]], tesseract dapat dinyatakan dengan simbol Schläfli komposit {&nbsp;}&nbsp;×&nbsp;{&nbsp;}&nbsp;×&nbsp;{&nbsp;}&nbsp;×&nbsp;{&nbsp;} atau {&nbsp;}<sup>4</sup>, dengan orde simetri 16.

Karena masing-masing titik sudut tesseract berdampingan dengan empat rusuk, [[bangunan puncak]] ({{Lang-en|vertex figure}}) dari tesseract adalah sebuah [[tetrahedron]] beraturan. [[Politop dual]] dari tesseract disebut [[heksadekakoron]] beraturan atau 16-cell ({{Lang-id|sel-16}}), yang dinyatakan dengan simbol Schläfli {3,3,4} dan dapat digabungkan menjadi [[gabungan dari tesseract dan 16-cell]].

=== Koordinat ===
Tesseract dalam bentuk standar dalam [[Ruang empat dimensi|ruang empat dimensi Euklides]] dinyatakan sebagai [[lambung cembung]] dari titik (±1, ±1, ±1, ±1). Hal ini mengartikan bahwa tesseract merupakan bangunan yang terdiri dari titik:

<math display="block">\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb R^4 \,:\, -1 \leq x_i \leq 1 \}.</math>

Dalam kerangka acuan Cartesius, tesseract mempunyai radius 2 dan dibatasi dengan delapan [[hiperbidang]] (<math>x_i = \pm 1</math>). Perpotongan dari masing-masing pasangan dari hiperbidang tak sejajar membentuk 24 muka persegi di sebuah tesseract. Tiga kubus dan tiga persegi memotong di masing-masing rusuk. Selain itu, terdapat empat kubus, enam persegi, dan empat rusuk yang bertemu di setiap titik sudut. Secara keseluruhan, tesseract mempunyai 8 kubus, 24 persegi, 32 rusuk, dan 16 titik sudut.
===Konstruksi ===
[[Berkas:From_Point_to_Tesseract_(Looped_Version).gif|jmpl|Sebuah animasi yang memperlihatkan pergeseran konstruksi dalam [[dimensi]].]]
Konstruksi [[hiperkubus]] dapat dibayangkan sebagai berikut:
* '''dimensi 1:''' Dua titik <math>A</math> dan <math>B</math> dapat dihubungkan menjadi sebuah garis, sehingga memberikan segmen garis baru <math>AB</math>.
* '''dimensi 2:''' Dua segmen garis sejajar <math>AB</math> dan <math>CD</math> dipisah dengan jarak <math>AB</math>. Kedua segmen garis tersebut dapat dihubungkan menjadi sebuah persegi, dengan sudut-sudutnya ditandai sebagai <math>ABCD</math>.
* '''dimensi 3:''' Dua persegi sejajar <math>ABCD</math> dan <math>EFGH</math> dipisah dengan jarak <math>AB</math>. Kedua persegi tersebut dapat dihubungkan menjadi sebuah kubus, dengan sudut-sudutnya ditandai sebagai <math>ABCDEFGH</math>.
* '''dimensi 4:''' Dua kubus sejajar <math>ABCDEFGH</math> dan <math>IJKLMNOP</math> dipisah dengan jarak <math>AB</math>. Kedua kubus tersebut dapat dihubungkan menjadi sebuah tesseract, dengan sudut-sudutnya ditandai sebagai <math>ABCDEFGHIJKLMNOP</math>. Akan tetapi, penyusunan yang sejajar dari kedua kubus membuat masing-masing dari kedelapan pasangan titik sudut dipisah dengan jarak <math>AB</math>. Hal ini dapat diperoleh dalam ruang dimensi 4 atau lebih.
[[Berkas:Dimension_levels.svg|jmpl|385x385px|Diagram yang memperlihatkan cara membuat tesseract dari sebuah titik]]

=== Rumus ===
Berikut adalah rumus-rumus untuk sebuah tesseract dengan panjang rusuk <math>s</math>:

* Hipervolume: <math>H=s^4</math>
* Volume permukaan: <math>SV=8s^3</math>
* [[Diagonal muka]]: <math>d_\mathrm{2}=\sqrt{2} s</math>
* [[Diagonal ruang|Diagonal sel]]: <math>d_\mathrm{3}=\sqrt{3} s</math>
* Diagonal ruang dimensi 4: <math>d_\mathrm{4}=2s</math>

=== Sebagai konfigurasi ===
[[4-Polytope biasa#Sebagai konfigurasi|Matriks konfigurasi]] di bawah mewakili sebuah tesseract, dengan baris dan kolomnya menyatakan titik sudut, rusuk, muka, dan sel. Bilangan diagonal di matriks menunjukkan banyaknya masing-masing elemen yang muncul di seluruh tesseract, sedangkan bilangan non-diagonal menunjukkan banyaknya elemen di kolom yang muncul di dalam atau di elemen baris.{{Sfn|Coxeter|1973|loc=§1.8 Configurations|p=12}} 

<math display="block">\begin{bmatrix}\begin{matrix}16 & 4 & 6 & 4 \\ 2 & 32 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 24 & 2 \\ 8 & 12 & 6 & 8 \end{matrix}\end{bmatrix}</math>

== Proyeksi ==
{{multiple image
| direction         = horizontal
| align             = right
| total_width       = 700
| image2            = Hypercubeorder binary.svg
| caption2          = [[Dodekahedron belah ketupat]] membentuk selubung cembung dari proyeksi sejajar pertama titik sudut tesseract. Jumlah titik sudut di layer dari proyeksi tersebut adalah 1&nbsp;4&nbsp;6&nbsp;4&nbsp;1 — baris keempat dalam [[segitiga Pascal]].
| image1            = Orthogonal projection envelopes tesseract.png
| caption1          = Sampul proyeksi sejajar dari tesseract (masing-masing sel digambar dengan muka warna yang berbeda, sedangkan sel terbalik tidak digambar)
| image3            = Orthogonal Tesseract Gif.gif
| caption3          = Sebuah animasi yang memperlihatkan masing-masing kubus yang berada di proyeksi bidang Coxeter <math>B_4</math> dari tesseract.
}}

Tesseract dapat diproyeksi menjadi ruang dimensi dua dan tiga, sama halnya dengan kubus yang diproyeksi menjadi ruang dimensi dua.
* [[Proyeksi grafis|Proyeksi]] sejajar ''cell-first'' dari tesseract menjadi ruang dimensi tiga mempunyai sampul [[kubus|yang berbentuk kubus]]. Sel yang terdekat dan terjauh diproyeksi ke sebuah kubus, dan sedangkan enam sel yang tersisa diproyeksi ke enam muka persegi dari kubus.
* Proyeksi sejajar ''face-first'' dari tesseract menjadi ruang dimensi tiga mempunyai sampul berbentuk [[balok]]. Dua pasangan sel diproyeksi ke setengah batas atas dan batas bawah sampul tersebut, sedangkan empat sel yang tersisa diproyeksi ke muka sisi.
* Proyeksi sejajar ''edge-first'' dari tesseract menjadi ruang dimensi tiga mempunyai sebuah sampul berbentuk [[prisma heksagonal]]. Enam sel diproyeksi ke prisma berbentuk belah ketupat yang disusun dalam prisma heksagonal, sama halnya dengan muka dari kubik dimensi tiga diproyeksi ke enam belah ketupat dalam sampul heksagonal melalui proyeksi ''vertex-first''. Dua sel lainnya diproyeksi ke alas prisma.
* Proyeksi sejajar ''vertex-first'' dari tesseract menjadi ruang dimensi tiga mempunyai sampul yang berbentuk [[dodekahedron belah ketupat]]. Dua titik sudut dari tesseract diproyeksi ke titik asal. Setidaknya ada dua cara [[Pemisahan (geometri)|memisahkan]] sebuah dodekahedron belah ketupat menjadi empat [[rombohedron]] yang kongruen, sehingga totalnya berjumlah delapan rhombohedron yang memproyeksi [[kubus]] dari tesseract. Proyeksi ini juga mempunyai volume maksimum, dengan himpunan dari vektor proyeksi adalah <math> u = (1,1-1,-1)</math>, <math>v=(-1,1,-1,1)</math>, <math>w=(1,-1,-1,1)</math>.

{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+ [[Proyeksi ortografi]]
|- align=center
![[Bidang Coxeter]]
!B<sub>4</sub>
!B<sub>3</sub> / D<sub>4</sub> / A<sub>2</sub>
!B<sub>2</sub> / D<sub>3</sub>
|- align=center
!Graf
|[[Berkas:4-cube t0.svg|150px]]
|[[Berkas:4-cube t0 B3.svg|150px]]
|[[Berkas:4-cube t0 B2.svg|150px]]
|- align=center
![[Simetri dihedral]]
|[8]
|[6]
|[4]
|- align=center
!Bidang Coxeter
!Lain-lain
!F<sub>4</sub>
!A<sub>3</sub>
|- align=center
!Graf
|[[Berkas:4-cube column graph.svg|150px]]
|[[Berkas:4-cube t0 F4.svg|150px]]
|[[Berkas:4-cube t0 A3.svg|150px]]
|- align=center
!Simetri dihedral
|[2]
|[12/3]
|[4]
|}

== Catatan ==
{{Reflist}}

== Lihat pula ==
*[[Matematika dan seni]]

== Referensi ==
* {{Cite book | ref=harv | last=Coxeter | first=H.S.M. | author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | year=1973 | title=Polytopes biasa | publisher=Dover | place=New York | edition=3rd | isbn= | title-link=Regular Polytopes (book) | pp=[https://archive.org/details/regularpolytopes00coxe_869/page/n140 122]–123}}
* F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss (1995) ''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter'', Wiley-Interscience Publication {{isbn|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
** (Paper 22) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi Regular Polytopes I'', [[Mathematische Zeitschrift]] 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
** (Paper 23) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes II'', [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
** (Paper 24) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes III'', [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass (2008) ''The Symmetries of Things'', {{isbn|978-1-56881-220-5}} (Chapter 26. pp.&nbsp;409: Hemicubes: 1<sub>n1</sub>)
* [[Thorold Gosset|T. Gosset]] (1900) ''On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions'', [[Messenger of Mathematics]], Macmillan.
* [[T. Proctor Hall]] (1893) [https://www.jstor.org/stable/2369565 "The projection of fourfold figures on a three-flat"], [[American Journal of Mathematics]] 15:179–89.
* [[Norman Johnson (mathematician)|Norman Johnson]] ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
** N.W. Johnson: ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. (1966)
* [[Victor Schlegel]] (1886) ''Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper'', Waren.

== Pranala luar ==
* {{MathWorld|title=Tesseract|urlname=Tesseract}}
* {{KlitzingPolytopes|polychora.htm|4D uniform polytopes (polychora)|x4o3o3o - tes}}
* [http://eusebeia.dyndns.org/4d/8-cell.html The Tesseract] Ray traced images with hidden surface elimination. This site provides a good description of methods of visualizing 4D solids.
* [http://www.polytope.de/c8.html Der 8-Zeller (8-cell)] Marco Möller's Regular polytopes in ℝ<sup>4</sup> (German)
* [https://web.archive.org/web/20070928165237/http://www.polychora.de/wiki/index.php?title=TES WikiChoron: Tesseract]
* [http://uoregon.edu/~koch/hypersolids/hypersolids.html HyperSolids] is an open source program for the [[Apple Macintosh]] (Mac OS X and higher) which generates the five regular solids of three-dimensional space and the six regular hypersolids of four-dimensional space.
* [https://web.archive.org/web/20130326090312/http://www.cs.sjsu.edu/~rucker/hypercube.htm Hypercube 98] A [[Microsoft Windows|Windows]] program that displays animated hypercubes, by [[Rudy Rucker]]
* [http://mrl.nyu.edu/~perlin/demox/Hyper.html ken perlin's home page] A way to visualize hypercubes, by [[Ken Perlin]]
* [http://www.math.union.edu/~dpvc/math/4D/ Some Notes on the Fourth Dimension] includes animated tutorials on several different aspects of the tesseract, by [http://www.math.union.edu/~dpvc/ Davide P. Cervone]
* [http://www.fano.co.uk/hypermodel/tesseract.html Tesseract animation with hidden volume elimination]

{{Regular 4-polytopes}}
{{Polytopes}}

[[Kategori:Algebraic topology]]
[[Kategori:Four-dimensional geometry]]
[[Kategori:4-polytopes| 008]]