Lihat sumber Teras (aljabar linear)

Dalam [[aljabar linear]], '''teras''' (juga disebut dengan '''trace'''), dari [[matriks persegi]] didefinisikan sebagai jumlah dari setiap elemen pada [[diagonal utama]] matriks tersebut. Notasi yang digunakan untuk mewakili teras dari matriks ''A'' adalah tr(''A'').

Nilai teras juga sama dengan jumlah nilai eigen (kompleks) berserta kelipatannya dari matriks tersebut; dan tidak bergantung pada [[Basis (aljabar linear)|basis]] yang dipakai. Sifat ini dapat digunakan untuk mendefinisikan teras dari operator linear secara umum. Nilai teras hanya terdefinisi untuk matriks persegi (matriks berukuran ''n'' × ''n'').

Nilai teras suatu matriks juga berhubungan dengan turunan dari [[determinan]] (lihat [[rumus Jacobi]])

== Definisi ==
'''Teras''' dari [[matriks persegi]] <math>A</math> berukuran {{math|''n'' × ''n''}} didefinisikan sebagai<ref name=":2">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Matrix Trace|url=https://mathworld.wolfram.com/MatrixTrace.html|access-date=2020-09-09|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name="LipschutzLipson">{{cite book |title=Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra |first1=Seymour |last1=Lipschutz |first2=Marc |last2=Lipson |date=September 2005 |isbn=9780070605022 |publisher=McGraw-Hill}}</ref>{{rp|34}}

:<math>\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}</math>

Dengan {{math|''a<sub>ii</sub>''}} menandakan elemen baris ke-''i'' dan kolom ke-''i'' dari matriks <math>A</math>.

== Contoh ==
Sebagai contoh, misal <math>A</math> adalah matriks berukuran {{math|3 × 3}} dengan elemen-elemen

:<math>A =
  \begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
    a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
    a_{31} & a_{32} & a_{33}
  \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix}
    1 &  0 &  3 \\
    11 &  5 &  2 \\
     6 & 12 & -5
  \end{pmatrix}
</math>

Maka, teras dari matriks <math>A</math> adalah
:<math>\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^{3} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + a_{33} = 1 + 5 + (-5) = 1</math>

== Sifat ==

=== Sifat-sifat dasar ===
Teras adalah sebuah [[Peta linear|pemetaan linear]]. Dengan kata lain,<ref name=":0">[http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/algebra/node2.html "Rank, trace, determinant, transpose, and inverse of matrices"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190701165645/http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/algebra/node2.html |date=2019-07-01 }}. . ''fourier.eng.hmc.edu''. Diakses tanggal 2020-09-09.</ref><ref name=":2" />

:<math>\begin{align}
  \operatorname{tr}(A + B) &= \operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B) \\
     \operatorname{tr}(cA) &= c \operatorname{tr}(A)\end{align}</math>

untuk sebarang matriks persegi <math>A</math> dan <math>B</math>, dan untuk sebarang [[Skalar (matematika)|skalar]] <math>c</math>.<ref name="LipschutzLipson"/>{{rp|34}}

Nilai teras dari matriks sama dengan nilai teras [[Transpos|transposnya]]:<ref name=":0"/><ref name=":2" /><ref name="LipschutzLipson"/>{{rp|34}}

:<math>\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}\left(A^\mathsf{T}\right).</math>

Hal tersebut terlihat dari fakta operasi transpos tidak mempengaruhi elemen-elemen pada diagonal utama.

=== Hasil perkalian matriks ===
Teras sebuah matriks persegi yang didapatkan dari hasil perkalian dua matriks, dapat dituliskan sebagai penjumlahan semua perkalian elemen yang bersesuaian lokasi pada kedua matriks. <!-- OMG panjang sekali. --> Dalam bahasa yang lebih formal, jika <math>A</math> dan <math>B</math> adalah matriks berukuran ''m''&nbsp;×&nbsp;''n'', maka:

:<math>
  \operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^\mathsf{T}\mathbf{B}\right) =
  \operatorname{tr}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}^\mathsf{T}\right) =
  \operatorname{tr}\left(\mathbf{B}^\mathsf{T}\mathbf{A}\right) =
  \operatorname{tr}\left(\mathbf{B}\mathbf{A}^\mathsf{T}\right) =
  \sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}.
</math>

Hal ini menandakan bahwa teras dari perkalian dua matriks berukuran sama memiliki fungsi yang serupa dengan [[Perkalian titik|hasil kali titik]] vektor. [[Analogi]] perkalian titik untuk keadaan ini adalah membayangkan matriks sebagai vektor kolom yang panjang (dibuat dengan menumpuk kolom-kolom matriks diatas yang lainnya). Sifat ini juga menjadi alasan teras sering digunakan dalam perumuman operasi vektor ke matriks (misal pada ilmu [[kalkulus matriks]] dan [[Statistika matematika|statistika]]).

Untuk matriks riil <math>A</math> dan <math>B</math>, teras dari perkalian kedua matriks tersebut dapat ditulis dalam bentuk berikut:

: {| cellpadding=0
| <math>\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^\mathsf{T}\mathbf{B}\right) = \sum_{i,j}(\mathbf{A} \circ \mathbf{B})_{ij}</math>
| style="padding-left:3em;" | (menggunakan [[hasil kali Hadamard]], juga dikenal sebagai perkalian elemen-demi-elemen).
|-
| <math>\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^\mathsf{T}\mathbf{B}\right) = \operatorname{vec}(\mathbf{B})^\mathsf{T} \operatorname{vec}(\mathbf{A}) = \operatorname{vec}(\mathbf{A})^\mathsf{T}\operatorname{vec}(\mathbf{B})</math>
| style="padding-left:3em;" | (menggunakan operator ''vectorization'').
|}

Urutan perkalian matriks dapat ditukar tanpa mengubah nilai terasnya: jika matriks <math>A</math> berukuran {{math|''m'' × ''n''}} dan matriks <math>B</math> berukuran {{math|''n'' × ''m''}}, maka <ref name=":2" /><ref name="LipschutzLipson"/>{{rp|34}}{{Refn|1=Sifat berikut dapat dibuktikan langsung melalui definisi dari [[perkalian matriks]]:

<math display="block">\operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}) = \sum_{i=1}^m \left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right)_{ii} = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{ji} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m b_{ji} a_{ij} = \sum_{j=1}^n \left(\mathbf{B}\mathbf{A}\right)_{jj} = \operatorname{tr}(\mathbf{B}\mathbf{A})</math>.
|group=note}}
== Teras eksponensial ==
[[Ekspresi (matematika)|Ekspresi]] seperti <math>\text{tr}(\text{exp}(A))</math>, dengan <math>A</math> adalah matriks persegi, sering muncul dalam beberapa bidang keilmuan (seperti teori statistik multivariat), sehingga terdapat notasi umum yang lebih singkat:

:<math>\operatorname{tre}(A) := \operatorname{tr}(\exp(A)).</math>

Fungsi {{math|tre}} terkadang disebut sebagai fungsi '''teras eksponensial''', dan digunakan dalam [[ketidaksamaan Golden–Thompson]].

== Teras dari operator linear ==
Secara umum, untuk [[Peta linear|pemetaan linear]]  {{math|''f'' : ''V'' → ''V''}} (dengan {{mvar|V}} adalah [[ruang vektor]] dimensi hingga), nilai teras dari pemetaan dapat didefinisikan dengan mempertimbangkan nilai teras dari [[Teori representasi|representasi matriks]] dari {{mvar|f}}. Dengan kata lain, memilih [[Basis (aljabar linear)|basis]] bagi {{mvar|V}} dan menyatakan {{mvar|f}} sebagai matriks terhadap basis tersebut, lalu menghitung teras dari matriksnya. Hasil metode ini tidak bergantung pada basis yang dipilih, karena setiap basis merupakan matriks ''similar'' (akibat matriks [[perubahan basis]]); dan memungkinkan definisi teras dari operator linear yang tidak bergantung pada basis.

=== Hubungan dengan nilai eigen ===
Jika <math>A</math> adalah operator linear yang diwakili oleh matriks persegi dengan elemen [[Bilangan riil|bilangan real]] atau [[bilangan kompleks]], dan {{math|''λ''<sub>1</sub>, …, ''λ<sub>n</sub>''}} adalah [[nilai eigen]] dari <math>A</math> (diurutkan berdasarkan kelipatan ''algebraic''-nya), maka

{{Equation box 1
|indent=:
|title=
|equation = <math>\operatorname{tr}(\mathbf{A}) = \sum_i \lambda_i</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

Hal ini disebabkan karena <math>A</math> selalu ''similar'' dengan [[bentuk Jordan]]-nya, yakni sebuah [[matriks segitiga]] dengan {{math|''λ''<sub>1</sub>, …, ''λ<sub>n</sub>''}} berada pada diagonal utamanya. Di sisi lain, [[determinan]] dari <math>A</math> adalah ''hasil perkalian'' dari nilai-nilai eigennya. Dengan kata lain,

:<math>\det(\mathbf{A}) = \prod_i \lambda_i.</math>

Dalam bentuk yang lebih umum,

:<math>\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^k\right) = \sum_i \lambda_i^k.</math>

== Kegunaan ==
Teras dari [[matriks kompleks]] ukuran 2&nbsp;×&nbsp;2 digunakan untuk mengelompokkan [[transformasi Möbius]]. Hasil ini dilakukan pertama dengan menormalisasi matriks sehingga [[Determinan|determinannya]] bernilai 1. Selanjutnya, jika kuadrat dari teras bernilai 4, maka transformasi yang bersangkutan bertipe ''parabolic''. Jika nilai kuadrat dari teras berada pada selang {{nowrap|[0,4)}}, maka ia bertipe ''elliptic''. Sedangkan jika nilai kuadrat dari teras lebih besar dari 4, transformasi bertipe ''loxodromic''. Detail mengenai ini ada pada pengelompokan transformasi  Möbius.

== Hasil kali dalam ==
Untuk matriks <math>A</math> berukuran {{math|''m'' × ''n''}} dengan elemen bilangan real (atau bilangan kompleks), dan <sup>H</sup> menyatakan [[Transpos|transpos konjugat]] kita memiliki

:<math>\operatorname{tr}\left(A^{\mathsf H} A \right) \ge 0 </math>

Dengan kesamaan berlaku [[jika dan hanya jika]] <math>A</math> adalah [[matriks nol]].<ref name="HornJohnson">{{cite book |title=Matrix Analysis |edition=2nd |first1=Roger A. |last1=Horn |first2=Charles R. |last2=Johnson |isbn=9780521839402 |publisher=Cambridge University Press|year=2013}}</ref>{{rp|7}}

== Catatan kaki dan referensi ==

=== Catatan kaki ===
<references group="note" />

=== Referensi ===
<references />{{Math-stub}}