Lihat sumber Teori model

{{Short description|Studi tentang struktur bahasa formal melalui interpretasi logisnya.}}
{{About|disiplin matematika|gagasan informal di bagian lain matematika dan sains|Model matematika}}
Dalam [[matematika]], '''teori model''' adalah studi tentang hubungan antara [[teori (logika matematika)|teori formal]] (kumpulan [[Kalimat (logika matematika)|kalimat]] dalam [[bahasa formal]] mengungkapkan pernyataan tentang [[Struktur (logika matematika)|struktur matematika]]), dan modelnya, diambil sebagai [[Interpretasi (teori model)|interpretasi]] yang memenuhi kalimat teori tersebut.<ref name="p. 1">Chang and Keisler, [https://books.google.com/books?id=uiHq0EmaFp0C&pg=PA1 p. 1]</ref>

== Deskripsi informal ==
Teori model mengakui dan sangat berkaitan dengan dualitas: Elemen [[semantik]] (makna) dengan menggunakan elemen [[sintaks]] (rumus dan bukti) dari bahasa yang sesuai. Dalam definisi ringkasan, ditemukan pada tahun 1973:

:'''teori model''' = [[aljabar universal]] + [[logika]].<ref name="p. 1"/>

Teori model berkembang pesat selama tahun 1990-an, dan definisi yang lebih modern ditemukan oleh [[Wilfrid Hodges]] (1997):

:'''teori model''' = [[geometri aljabar]] - [[bidang (matematika)|bidang]].

Slogan dari banyak kesamaan: jadi, misalnya, [[varietas aljabar]] dapat secara informal digambarkan sebagai lokus titik di mana grup polinomial berada. Demikian pula, model dapat digambarkan sebagai lokus interpretasi di mana kumpulan kalimat benar. Ada analogi lebih lanjut yang meluas ke berbagai kedalaman.

Slogan lain yang sering berulang menyatakan bahwa{{quote|"Jika [[teori bukti]] adalah tentang sakral, maka teori model adalah tentang profan"<ref>Dirk van Dalen, (1980; Fifth revision 2013) "Logic and Structure" Springer. ''(See [https://link.springer.com/content/pdf/bfm%3A978-1-4471-4558-5%2F1.pdf page 1.]'')</ref> }}menunjukkan bahwa kedua topik ini memiliki arti ganda satu sama lain. Sama seperti [[teori bukti]], teori model terletak di area [[interdisipliner]] antara [[matematika]], [[filsafat]], dan [[ilmu komputer]]. Teori model digunakan dalam berbagai pengaturan, baik akademis maupun industri. Ini termasuk:
* Membuktikan hasil pada [[sistem aksioma]]. Misalnya, bukti bahwa [[hipotesis kontinum]] tidak bergantung pada aksioma lain [[teori himpunan Zermelo–Fraenkel]] (ZFC) dilakukan dengan membangun di dalam ZFC model ZFC di mana kontinum, dan model lain yang salah (lihat {{slink|Hipotesis kontinum|Independensi dari ZFC}}).
* Memberikan dasar bagi pemecah [[teori modulo satidf]], yang biasanya digunakan untuk [[verifikasi fungsional]] di [[otomatisasi desain elektronik]]. Pemecah untuk mencari kalimat, sehingga pernyataan yang setara dalam beberapa teori tertentu, seperti [[Teori bebas|teori persamaan]] atau teori [[aljabar linear]].
* Memberikan dasar untuk [[model relasional]], yang merupakan fragmen yang terdiri dari [[Struktur (logika matematika)|struktur]] yang [[Tanda tangan (logika)|tanda tangan]] seluruhnya terdiri dari [[relasi finiter|relasi]]. Hasil yang terkenal termasuk bahwa SQL dan noSQL adalah [[kategori ganda]].

Organisasi profesi yang paling menonjol di bidang teori model adalah [[Association for Symbolic Logic]].

== Teori model hingga ==
{{main|Teori model hingga}}
Teori model hingga (TMH) adalah subarea teori model (TM) dari pembatas pada interpretasi struktur berhingga, yang memiliki semesta berhingga.

Karena banyak teorema sentral teori model tidak berlaku ketika terbatas pada struktur berhingga, TMH sangat berbeda dari TM dalam metode pembuktiannya. Hasil utama dari teori model klasik yang gagal untuk struktur berhingga di bawah FMT termasuk [[teorema kompak]], [[Teorema kelengkapan Gödel]], dan metode [[ultraproduk]] untuk [[logika orde pertama]].

Area aplikasi utama FMT adalah [[teori kompleksitas deskriptif]], [[teori database]] dan [[teori bahasa formal]].

== Logika urutan pertama ==
{{main|Logika urutan pertama}}

Sedangkan [[aljabar universal]] menyediakan [[semantik]] untuk [[tanda tangan (logika)|tanda tangan]], [[logika matematika|logika]] menyediakan [[sintaks]]. Dengan istilah, identitas, dan [[indentitas semu|indentitas-semu]], bahkan aljabar universal memiliki beberapa alat sintaksis yang terbatas; Logika urutan pertama adalah hasil dari membuat kuantifikasi eksplisit dan menambahkan negasi ke dalam gambar.

'''Rumus''' urutan pertama dibuat dari [[rumus atom]] seperti ''R''(''f''(''x'',''y''),''z'') or ''y'' = ''x'' + 1 melalui [[tabel simbol logika|konektor Boolean]] <math>\neg,\land,\lor,\rightarrow</math> dan awalan bilangan <math>\forall v</math> atau <math>\exists v</math>. Kalimat adalah rumus di mana setiap kemunculan variabel berada dalam ruang lingkup pembilang yang sesuai. Contoh rumusnya adalah φ (atau φ (x) untuk menandai fakta bahwa paling banyak x adalah variabel tak terikat di φ) dan ψ didefinisikan sebagai berikut:

:<math>{\varphi \;=\; \forall u\forall v(\exists w (x\times w=u\times v)\rightarrow(\exists w(x\times w=u)\lor\exists w(x\times w=v)))\land x\ne 0\land x\ne1,}</math>
:<math>\psi \;=\; \forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor(v=x))\land x\ne 0\land x\ne1.</math>

(Perhatikan bahwa simbol kesetaraan memiliki makna ganda.) Jelas secara intuitif bagaimana menerjemahkan rumus tersebut ke dalam makna matematika. Dalam struktur-σ<sub>smr</sub> <math>\mathcal N</math> dari [[bilangan asli]], misalnya, elemen '' n '' menggunakan rumus φ jika dan hanya jika '' n '' adalah bilangan prima. Rumus ψ juga mendefinisikan irredusibilitas. Tarski memberikan definisi yang ketat, kadang-kadang disebut [[Skema-T|"Definisi Tarski"]], untuk relasi <math>\models</math>, sehingga dengan mudah membuktikan:

:<math>\mathcal N\models\varphi(n) \iff n</math> adalah bilangan prima.
:<math>\mathcal N\models\psi(n) \iff n</math> tidak direduksi.

Satu himpunan kalimat '' T '' disebut (urutan pertama) [[teori (logika matematika)|teori]]. Suatu teori memiliki '''model''' <math>\mathcal M\models T</math>, yaitu sebuah struktur (dari tanda tangan yang sesuai) yang memenuhi semua kalimat dalam himpunan '' T ''. [[Konsistensi]] dari suatu teori biasanya didefinisikan secara sintaksis, tetapi dalam logika orde pertama oleh [[Teorema kelengkapan Gödel|teorema kesempurnaan]] tidak perlu membedakan antara kepuasan. Oleh karena itu, ahli teori model sering menggunakan "konsisten" sebagai sinonim untuk "statifibel".

== Aksiomasibilitasi, eliminasi bilangan, dan kelengkapan model ==
Langkah pertama, trivial untuk menerapkan metode teori model ke kelas objek matematika seperti grup, atau pohon dalam pengertian teori grafik, adalah tanda tangan σ dan merepresentasikan objek sebagai struktur σ. Langkah selanjutnya adalah untuk menunjukkan bahwa kelas tersebut adalah [[kelas dasar]], yaitu dapat diaksiomati dalam logika orde pertama (yaitu ada teori '' T '' sehingga struktur σ ada di kelas jika dan hanya jika ''T''{{Hairspace}}). Misalnya. langkah untuk pohon, karena keterhubungan tidak dapat diekspresikan dalam logika orde pertama. Aksiomatibilitasi memastikan bahwa teori model dapat berbicara tentang objek tepat. Penghapusan kuantifer dapat dilihat sebagai kondisi yang memastikan bahwa teori model tidak terlalu banyak tentang objek.

Sebuah teori '' T '' memiliki [[eliminasi pembilang]] jika setiap rumus orde pertama φ(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) di atas tanda tangannya adalah modulo '' T '' setara dengan rumus orde pertama ψ(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) tanpa bilangan, yaitu <math>\forall x_1\dots\forall x_n(\phi(x_1,\dots,x_n)\leftrightarrow \psi(x_1,\dots,x_n))</math> berlaku pada model '' T ''. Misalnya, teori bidang tertutup secara aljabar di tanda tangan σ<sub>ring</sub> = (×,+,−,0,1) memiliki eliminasi pembilang karena setiap rumus setara dengan kombinasi Boolean persamaan antar polinomial.

[[Substruktur (matematika)|Substruktur]] dari struktur σ adalah [[himpunan bagian]] dari domainnya, ditutup di bawah semua fungsi dalam tanda tangannya σ, yang dianggap sebagai struktur σ dengan membatasi semua fungsi dan relasi di σ ke subset. Sebuah [[embedding]] dari struktur σ dengan <math>\mathcal A</math> ke dalam struktur σ dengan <math>\mathcal B</math> adalah peta ''f'': ''A'' → ''B'' antara domain yang dapat ditulis sebagai [[isomorfisme]] dari <math>\mathcal A</math> dengan substruktur <math>\mathcal B</math>. Setiap embedding adalah homomorfisme [[injektif]], tetapi kebalikannya hanya berlaku jika tanda tangan tidak berisi simbol relasi.

Jika suatu teori tidak memiliki eliminasi pembilang, seseorang dapat menambahkan simbol tambahan ke tanda tangannya sehingga teori tersebut melakukannya. Teori model awal menghabiskan banyak upaya untuk membuktikan aksiomatizabilitas dan hasil eliminasi pembilang untuk teori tertentu, terutama dalam aljabar. Tetapi eliminasi pembilang, properti yang lebih lemah sudah cukup:
{{Quote box|Teori '' T '' disebut [[model kompleks]] jika setiap substruktur dari model '' T '' yang merupakan model dari '' T '' adalah substruktur dasar. Ada kriteria yang berguna untuk menguji apakah substruktur adalah substruktur dasar, yang disebut [[uji Tarski–Vaught]]. Kriteria ini bahwa teori '' T '' adalah model-lengkap jika dan hanya jika setiap rumus urutan pertama φ(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) di atas tanda tangannya adalah modulo yang setara '' T '' dengan rumus orde pertama eksistensial, yaitu rumus dengan bentuk berikut:
:<math>\exists v_1\dots\exists v_m\psi(x_1,\dots,x_n,v_1,\dots,v_m)</math>,
di mana ψ adalah pembilang bebas. Sebuah teori yang tidak model-lengkap mungkin atau mungkin tidak memiliki '' penyelesaian model '' ', yang merupakan teori model-kompleks terkait, secara umum, perluasan dari teori asli. Gagasan yang lebih umum adalah tentang '''model'''.}}

== Kategori ==
Seperti yang diamati pada bagian [[#Logika urutan pertama|logika urutan pertama]], Teori orde pertama tidak dapat dikategorikan, yaitu tidak dapat menggambarkan model unik hingga isomorfisme, kecuali model itu terbatas. Tetapi dua teorema teori model yang terkenal berurusan dengan gagasan yang lebih lemah tentang kategorisasi κ untuk sebuah [[bilangan kardinal|kardinal]] κ. Sebuah teori '' T '' disebut '''κ-kategorikal''' jika ada dua model '' T '' yang berkardinalitas κ isomorfik. Ternyata pertanyaan tentang kategorisasi κ sangat bergantung pada apakah κ lebih besar dari kardinalitas bahasa tersebut (yaitu <math>\aleph_0</math>&nbsp;+&nbsp;|σ|, dimana | σ | adalah kardinalitas dari tanda tangan). Untuk tanda tangan terbatas atau dapat dihitung, ini berarti ada perbedaan mendasar antara kardinal-<math>\aleph_0</math> dan κ-kardinal untuk κ tak terhitung.

== Sejarah ==
Teori model sebagai subjek telah ada sejak pertengahan abad ke-20. Namun beberapa penelitian sebelumnya, terutama dalam [[logika matematika]], sering dianggap sebagai model-teoritis alam dalam retrospeksi. Hasil penting pertama dalam apa yang sekarang menjadi teori model adalah kasus khusus dari [[teorema Löwenheim–Skolem]], yang diterbitkan oleh [[Leopold Löwenheim]] pada tahun 1915. [[Teorema kekompakan]] tersirat dalam karya [[Thoralf Skolem]],{{quote|"Ketiga komentator [yaitu Vaught, van Heijenoort dan Dreben] setuju bahwa baik teorema kelengkapan dan kekompakan tersirat dalam Skolem 1923…"<ref>[{{Cite journal | doi = 10.1080/01445349308837208| title = The compactness of first-order logic:from gödel to lindström| journal = History and Philosophy of Logic| volume = 14| pages = 15| year = 1993| last1 = Dawson | first1 = J. W. }}]</ref>}} tapi pertama kali diterbitkan pada tahun 1930, sebagai lemma dalam [[Kurt Gödel]] bukti [[Teorema kelengkapan Gödel|teorema kelengkapan]]. Teorema Löwenheim–Skolem dan teorema kompak menerima bentuk umum masing-masing pada tahun 1936 dan 1941 dari [[Anatoly Maltsev]].

Perkembangan teori model dapat ditelusuri ke [[Alfred Tarski]], anggota [[sekolah Lwów–Warsawa]] selama [[Periode antar perang|interbellum]]. Karya Tarski termasuk [[konsekuensi logis]], [[sistem deduktif]], aljabar logika, teori definisi, dan [[teori kebenaran semantik|definisi semantik kebenaran]], di antara topik lainnya. Metode semantiknya memuncak dalam teori model dia dan sejumlah [[University of California, Berkeley|Berkeley]] siswa berkembang pada 1950-an dan 60-an. Konsep modern dari teori model ini mempengaruhi [[program Hilbert]] dan matematika modern.

== Lihat pula ==
{{col-begin}}
{{col-break}}
* [[Teori aljabar]]
* [[Kelas aksiomatisabel]]
* [[Teorema kompak]]
* [[Kompleksitas deskriptif]]
* [[Kesetaraan dasar]]
{{col-break}}
* [[Daftar teori urutan pertama|Teori urutan pertama]]
* [[Bilangan hiperriil]]
* [[Teori model institusional]]
* [[Semantik Kripke]]
* [[Teorema Löwenheim–Skolem]]
{{col-break}}
* [[Tata bahasa teori-model]]
* [[Teori bukti]]
* [[Bentuk norma Skolem]]
* [[Bahasa Ontologi Web#Kaitannya dengan logika deskripsi|Sambungan Bahasa Ontologi Web (OWL) ke logika deskripsi]]
{{col-end}}

== Catatan ==
{{Reflist}}

== Referensi ==
=== Buku teks kanonik ===
* {{Cite book | last1=Chang | author-link=Chen Chung Chang | first1=Chen Chung | last2=Keisler | first2=H. Jerome | author2-link=Howard Jerome Keisler | title=Model Theory | url=https://archive.org/details/modeltheory0000chan | orig-year=1973 | publisher=Elsevier | edition=3rd | series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics | isbn=978-0-444-88054-3 | year=1990 }}
* {{Cite book | last1=Hodges | first1=Wilfrid | author1-link=Wilfrid Hodges | title=A shorter model theory | url=https://archive.org/details/shortermodeltheo0000hodg | publisher= [[Cambridge University Press]]| location=Cambridge | isbn=978-0-521-58713-6 | year=1997 }}
* {{cite book | last1=Kopperman | first1=R. | title=Model Theory and Its Applications | publisher=[[Allyn and Bacon]] | location=Boston | year=1972 }}
* {{cite book | last=Marker | first=David | title= Model Theory: An Introduction | url=https://archive.org/details/modeltheoryintro0217mark | publisher=Springer | year=2002 | isbn=0-387-98760-6| series=[[Graduate Texts in Mathematics]] 217}}

=== Buku teks lainnya ===
* {{cite book | last=Bell | first=John L. |author2=Slomson, Alan B. | year=2006 | title=Models and Ultraproducts: An Introduction | url=https://archive.org/details/modelsultraprodu0000bell | edition=reprint of 1974 | orig-year=1969 | publisher=[[Dover Publications]] | isbn=0-486-44979-3 }}
* {{cite book | last=Ebbinghaus | first=Heinz-Dieter | author2=Flum, Jörg | author3=Thomas, Wolfgang | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | title=Mathematical Logic | year=1994 | isbn=0-387-94258-0 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/mathematicallogi1996ebbi }}
* {{cite book | author = Hinman, Peter G. | title = Fundamentals of Mathematical Logic | publisher = [[A K Peters, Ltd.|A K Peters]] | year = 2005 | isbn = 1-56881-262-0}}
* {{cite book | last=Hodges | first=Wilfrid | author-link=Wilfrid Hodges | publisher=[[Cambridge University Press]] | title=Model theory | year=1993 | isbn=0-521-30442-3 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/modeltheory0000hodg }}
* {{cite book | last=Manzano | first=María|author-link=María Manzano | publisher=[[Oxford University Press]] | title=Model theory | year=1999 | isbn=0-19-853851-0 }}
* {{cite book | last=Poizat | first=Bruno | publisher=Springer | title=A Course in Model Theory | year=2000 | isbn=0-387-98655-3 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/courseinmodelthe0000poiz }}
* {{cite book | last=Rautenberg | first=Wolfgang | author-link=Wolfgang Rautenberg | doi=10.1007/978-1-4419-1221-3 | title=A Concise Introduction to Mathematical Logic | publisher=[[Springer Science+Business Media]] | location=[[New York City|New York]] | edition=3rd | isbn=978-1-4419-1220-6 | year=2010 }}
* {{cite book | last=Rothmaler | first=Philipp | title=Introduction to Model Theory | publisher=[[Taylor and Francis|Taylor & Francis]] | year=2000 | edition=new | isbn=90-5699-313-5 }}
* {{cite book | last2=Ziegler | first2=Martin |author1=Tent, Katrin |author1-link= Katrin Tent | publisher=[[Cambridge University Press]] | title=A Course in Model Theory | url=https://archive.org/details/courseinmodelthe0000tent | year=2012 | isbn= 9780521763240}}
* {{cite book | author = Kirby, Jonathan | title = An Invitation to Model Theory | publisher = [[Cambridge University Press]] | year = 2019 | isbn = 978-1-107-16388-1}}

=== Teks online gratis ===
* {{cite book |last=Chatzidakis |first= Zoé|author-link= Zoé Chatzidakis |year=2001 |title=Introduction to Model Theory |pages=26 pages |url=http://www.math.ens.fr/~zchatzid/papiers/MTluminy.pdf}}
* {{cite book |last=Pillay |first=Anand |title=Lecture Notes – Model Theory |year=2002 |url=https://www3.nd.edu/~apillay/pdf/lecturenotes_modeltheory.pdf |pages=61 pages}}
* {{Springer |title=Model theory |id=p/m064390}}
* [[Wilfrid Hodges|Hodges, Wilfrid]], ''[http://plato.stanford.edu/entries/model-theory/ Model theory]''. The Stanford Encyclopedia Of Philosophy, E. Zalta (ed.).
* [[Wilfrid Hodges|Hodges, Wilfrid]], ''[http://plato.stanford.edu/entries/modeltheory-fo/ First-order Model theory]''. The Stanford Encyclopedia Of Philosophy, E. Zalta (ed.).
* Simmons, Harold (2004), ''[https://web.archive.org/web/20110522083749/http://www.cs.man.ac.uk/~hsimmons/BOOKS/ModelTheory.pdf An introduction to Good old fashioned model theory]''. Notes of an introductory course for postgraduates (with exercises).
* [[Jon Barwise|J. Barwise]] and [[Solomon Feferman|S. Feferman]] (editors), [http://projecteuclid.org/euclid.pl/1235417263 Model-Theoretic Logics], Perspectives in Mathematical Logic, Volume 8, New York: Springer-Verlag, 1985.

== Pranala luar ==
* [http://forkinganddividing.com/ Map of the Universe] - Database kecil teori dan propertinya.

{{Bidang matematika}}
{{Logika matematika}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Teori model| ]]
[[Kategori:Logika matematika| Model]]
[[Kategori:Metalogika]]