Lihat sumber Teori gelanggang

{{about|matematika|teknik sastra|Struktur Chiastic}}
{{short description|Cabang aljabar}}
{{Struktur aljabar|gelanggang}}
{{Teori grup sidebar}}
Dalam [[aljabar]], '''teori gelanggang''' adalah studi tentang [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]<ref>Teori gelanggang mungkin termasuk juga studi tentang [[Rng (aljabar)|rng]].</ref> [[struktur aljabar]] di mana penjumlahan dan perkalian ditentukan dan memiliki sifat yang mirip dengan operasi ditentukan untuk [[bilangan bulat]]. Teori gelanggang mempelajari struktur gelanggang, [[representasi aljabar|representasi]], atau, dalam bahasa yang berbeda, [[modul (teori gelanggang)|modul]], kelas khusus gelanggang ([[grup gelanggang]], [[gelanggang pembagian]], [[aljabar pembungkus universal]]), serta sifat yang terbukti dalam teori dari [[aljabar homologis|sifat homologis]] dan [[gelanggang identitas polinomial|identitas polinomial]].

[[Gelanggang komutatif]] jauh lebih dipahami dari gelanggang nonkomutatif. [[Geometri aljabar]] dan [[teori bilangan aljabar]], yang memberikan banyak contoh alami gelanggang komutatif, telah mendorong banyak perkembangan teori gelanggang komutatif, yang sekarang, dengan nama '' [[aljabar komutatif]] '', bidang utama matematika modern. Karena tiga bidang (geometri aljabar, teori bilangan aljabar, dan aljabar komutatif) saling terkait, biasanya sulit dan tidak berarti untuk memutuskan bidang. Misalnya, [[Hilbert Nullstellensatz]] adalah teorema fundamental untuk geometri aljabar, dan dibuktikan dalam aljabar komutatif. Maka, [[teorema terakhir Fermat]] dalam istilah dasar [[aritmetika]], yang merupakan bagian dari aljabar komutatif, tetapi pembuktiannya melibatkan hasil yang mendalam dari teori bilangan aljabar dan aljabar.

[[Gelanggang nonkomutatif]] memiliki sifat tidak biasa. Sedangkan teori telah berkembang dengan sendiri, telah berusaha untuk paralel dengan perkembangan komutatif dengan membangun teori kelas dari gelanggang nonkomutatif dalam gaya geometri adalah gelanggang dari [[fungsi (matematika)|fungsi]] pada 'ruang nonkomutatif'. Hal ini dimulai pada 1980-an dengan perkembangan [[geometri nonkomutatif]] dan dengan penemuan [[grup kuantum]]. Hal ini mengarah pada pemahaman yang lebih baik tentang gelanggang nonkomutatif, terutama [[gelanggang Noetherian]] nonkomutatif.{{sfnp|Goodearl| Warfield|1989}}

Untuk definisi gelanggang dan konsep dasar serta propertinya, lihat '' [[gelanggang (matematika)]] ''. Definisi dari istilah yang digunakan di seluruh teori gelanggang dapat ditemukan di '' [[Glosarium teori gelanggang]] ''.

== Gelanggang komutatif ==
{{Main|Aljabar komutatif}}
Gelanggang disebut ''komutatif'' jika perkaliannya [[komutatif]]. Gelanggang komutatif dari sistem bilangan yang sudah dikenal, dan berbagai definisi untuk gelanggang komutatif dirancang untuk memformalkan sifat [[bilangan bulat]]. Gelanggang komutatif juga penting dalam [[geometri aljabar]]. Dalam teori gelanggang komutatif, bilangan diganti dengan [[ideal (teori gelanggang)|ideal]], dan definisi dari [[ideal prima]] pada esensi dari [[bilangan prima]]. [[Domain integral]], gelanggang komutatif non-trivial di mana tidak memiliki dua elemen bukan nol yang dikalikan menjadi nol, generasi dari sifat lain dari bilangan bulat dan berfungsi sebagai bidang untuk mempelajari keterpisahan. [[Domain ideal utama]] adalah domain integral di mana setiap ideal dapat dihasilkan oleh satu elemen, sifat lain dengan bilangan bulat. [[Domain Euklides]] adalah domain integral di mana [[pembagi persekutuan terbesar|algoritma Euklides]]. Contoh penting dari gelanggang komutatif dapat dibuat sebagai gelanggang [[polinomial]]: [[Domain Euklides]] ⊂ [[domain ideal utama]] ⊂ [[domain faktorisasi]] ⊂ [[domain integral]] ⊂ [[gelanggang komutatif]].

=== Geometri aljabar ===
{{Main|Geometri aljabar}}
[[Geometri aljabar]] dalam banyak hal merupakan bayangan cermin dari aljabar komutatif. Korespondensi dimulai dengan [[Hilbert Nullstellensatz]] dimana korespondensi satu-ke-satu antara titik dari sebuah [[varietas aljabar]], dan [[ideal maksimal]] dari [[gelanggang koordinat]]. Korespondensi ini telah diamati dan disistematisasi untuk transisi (dan membuktikan) sebagian besar sifat geometri dari varietas aljabar menjadi sifat aljabar dari gelanggang komutatif terkait. [[Alexander Grothendieck]] menyelesaikan dengan [[skema (matematika)|skema]], generalisasi varietas aljabar dari gelanggang komutatif. Lebih tepatnya,
[[spektrum gelanggang|spektrum]] dari gelanggang komutatif adalah ruang dari ideal utama dimana [[topologi Zariski]] ditambahkan dengan [[berkas (matematika)|berkas]] gelanggang. Objek ini adalah "skema affine" (generalisasi [[varietas affine]]), dan skema umum kemudian diperoleh dengan "merekatkan" (dengan metode aljabar murni) beberapa skema affine, dalam analogi cara membuat [[manifold]] dengan merekatkan [[bagan (topologi)|bagan]] dari [[atlas (topologi)|atlas]].

== Gelanggang nonkomutatif ==
{{Main|Gelanggang nonkomutatif|Geometri aljabar nonkomutatif|Geometri nonkomutatif}}
Gelanggang nonkomutatif dengan gelanggang [[matriks (matematika)|matriks]] dalam banyak hal. Mengikuti model [[geometri aljabar]], telah dilakukan upaya untuk mendefinisikan [[geometri nonkomutatif]] berdasarkan gelanggang nonkomutatif.
Gelanggang nonkomutatif dan [[aljabar asosiatif]] (gelanggang yang juga [[ruang vektor]]) dipelajari melalui modul [[Teori kategori|kategori]]. [[modul (matematika)|Modul]] di atas gelanggang adalah [[grup abelian]] di mana gelanggang sebagai gelanggang [[endomorfisme]], dengan [[bidang (matematika)|bidang]] (domain integral di mana setiap elemen bukan nol invers) ruang vektor. Contoh gelanggang nonkomutatif dari gelanggang persegi [[matriks (matematika)|matriks]] atau dengan gelanggang endomorfisma grup atau modul abelian, dan [[gelanggang monoid]].

=== Teori repsentasi ===
{{main|Teori representasi}}
[[Teori representasi]] adalah cabang [[matematika]] untuk gelanggang non-komutatif. Mempelajari [[aljabar abstrak|abstrak]] [[struktur aljabar]] [[aljabar abstrak|abstrak]] dengan ''merepresentasikan'' [[elemen (teori himpunan)|elemen]] sebagai [[transformasi linear]] dari [[ruang vektor]], dan
[[Modul (matematika)|modul]] di atas struktur aljabar abstrak. Intinya, representasi objek aljabar abstrak lebih konkret dengan mendeskripsikan elemennya dengan [[matriks (matematika)|matriks]] dan [[operasi aljabar]] dalam hal [[penambahan matriks]] dan [[perkalian matriks]] tidak komutatif. Objek [[aljabar]] setuju dengan deskripsi [[grup (matematika)|grup]], [[aljabar asosiatif]] dan [[aljabar Lie]]. [[representasi grup|Teori representasi grup]] di mana elemen suatu grup dari matriks invers sehingga operasi grup tersebut adalah perkalian matriks.

== Beberapa teorema relevan ==
Umum
* [[Teorema Isomorfisme#Gelanggang|Teorema isomorfisme untuk gelanggang]]
* [[Lemma Nakayama]]

Teorema struktur
* [[Teorema Artin–Wedderburn]] menentukan struktur [[gelanggang setengah sederhana]]
* [[Teorema kerapatan Jacobson]] menentukan struktur [[gelanggang primitif]]
* [[Teorema Goldie]] menentukan struktur [[semiprima ideal|semiprime]] [[gelanggang Goldie]]
* [[Teorema Zariski–Samuel]] menentukan struktur komutatif [[gelanggang ideal utama]].
* [[Teorema Hopkins–Levitzki]] memberikan kondisi yang diperlukan dan cukup untuk [[gelanggang Noetherian]] menjadi [[gelanggang Artinian]]
* [[Teori Morita]] terdiri dari teorema yang menentukan kapan dua gelanggang memiliki [[kategori modul]] "ekuivalen"
* [[Teorema Cartan–Brauer–Hua]] memberikan wawasan tentang struktur [[gelanggang pembagian]]
* [[Teorema kecil Wedderburn]] menyatakan bahwa [[domain (teori gelanggang)|domain]] adalah [[bidang (matematika)|bidang]]

Lain
* [[Teorema Skolem–Noether]] mencirikan [[automorfisme]] dari [[gelanggang sederhana]]

== Struktur dan invarian gelanggang ==
=== Dimensi gelanggang komutatif ===
{{main|Teori dimensi (aljabar)}}
'' R '' menunjukkan gelanggang komutatif. [[Dimensi Krull]] dari '' R '' adalah supremum dari panjang '' n '' dengan kaidah ideal utama <math>\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_n</math>. Gelanggang polinomial <math>k[t_1, \cdots, t_n]</math> di atas bidang '' k '' dengan dimensi '' n ''. Teorema fundamental teori dimensi dari bilangan gelanggang lokal noetherian <math>(R, \mathfrak{m})</math>:<ref>{{harvnb|Matsumura|1989|loc=Theorem 13.4}}</ref>
* Dimensi Krull dari '' R ''.
* Jumlah minimum generator ideal-<math>\mathfrak{m}</math>.
* Dimensi gelanggang <math>\textstyle \operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(R) = \bigoplus_{k \ge 0} \mathfrak{m}^k/{\mathfrak{m}^{k+1}}</math> (ekuivalen 1 ditambah derajat dari [[polinomial Hilbert]]).

Gelanggang komutatif '' R '' digunakan [[gelanggang Catenary]] jika ideal utama <math>\mathfrak{p} \subset \mathfrak{p}'</math>, kaidah ideal utama hingga <math>\mathfrak{p} = \mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_n = \mathfrak{p}'</math> dalam ideal prima tambahan antara dua ideal dalam rantai, dan kaidah antara <math>\mathfrak{p}</math> dan  <math>\mathfrak{p}'</math>. Gelanggang noetherian dalam aplikasi bersifat katener. Ratliff membuktikan bahwa domain integral lokal noetherian '' R '' adalah Catenary [[jika dan hanya jika]] untuk prima <math>\mathfrak{p}</math>,
:<math>\operatorname{dim}R = \operatorname{ht}\mathfrak{p} + \operatorname{dim}R/\mathfrak{p}</math>
dimana <math>\operatorname{ht}\mathfrak{p}</math> adalah [[ketinggian (teori gelanggang)|ketinggian]] dari <math>\mathfrak{p}</math>.<ref>{{harvnb|Matsumura|1989|loc=Theorem 31.4}}</ref>

Jika '' R '' adalah domain integral merupakan aljabar '' k '' tak hingga maka dimensi [[derajat transendensi]] dari bidang pecahan di atas '' k ''. Jika '' S '' adalah [[ekstensi integral]] dari gelanggang komutatif '' R '', maka '' S '' dan '' R '' memiliki dimensi.

Konsep terkait adalah konsep [[kedalaman (teori gelanggang)|kedalaman]] dan [[dimensi global]]. Secara umum, jika '' R '' adalah gelanggang lokal noetherian, maka kedalaman '' R '' kurang dari atau sama dengan. Jika kesetaraan '' R '' disebut [[gelanggang Cohen–Macaulay]]. [[Gelanggang lokal reguler]] adalah contoh gelanggang Cohen–Macaulay. Teorema Serre bahwa '' R '' adalah gelanggang lokal jika dan hanya jika dimensi global hingga dan dimensi global adalah dimensi Krull dari '' R ''. Dari hal ini adalah bahwa dimensi global adalah [[aljabar homologis|homologis]].

=== Kesetaraan Morita ===
{{main|Kesetaraan Morita}}
Dua gelanggang '' R '', '' S '' yaitu [[kesetaraan Morita]] jika kategori modul kiri di atas '' R '' setara dengan kategori modul kiri di atas '' S ''. Maka, dua gelanggang komutatif ekuivalen Morita isomorfik, jadi tidak menambahkan sesuatu ke [[teori kategori|kategori]] dari gelanggang komutatif. Namun, gelanggang komutatif menjadi ekuivalen Morita dengan gelanggang nonkomutatif, jadi ekuivalen Morita dari isomorfisme. Ekuivalen Morita digunakan dalam [[topologi aljabar]].

== Aplikasi ==

=== Gelanggang bilangan bulat dari bidang angka ===
{{main|Gelanggang bilangan bulat}}

=== Gelanggang koordinat dari suatu ragam aljabar ===
Jika '' X '' adalah [[ragam aljabar affine]], maka himpunan semua fungsi reguler pada '' X '' membentuk sebuah gelanggang yang disebut [[gelanggang koordinat]] dari '' X ''. Untuk [[variasi proyektif]], ada cincin analog yang disebut [[gelanggang koordinat homogen]]. Gelanggang itu pada dasarnya sama dengan varietas: mereka pada dasarnya berhubungan dengan cara yang unik. Ini dapat dilihat baik melalui [[Hilbert Nullstellensatz]] atau konstruksi skema-teori (yaitu, Spec dan Proj).

=== Gelanggang invarian ===
Pertanyaan mendasar (dan mungkin yang paling mendasar) dalam [[teori invarian]] klasik adalah menemukan dan mempelajari polinomial pada gelanggang polinomial <math>k[V]</math> yang invarian di bawah aksi grup terbatas (atau lebih umum reduktif) '' G '' pada '' V ''. Contoh utamanya adalah [[gelanggang fungsi simetris|gelanggang polinomial simetris]]: [[simetris polinomial]] adalah polinomial yang tidak berubah di bawah permutasi variabel. [[Teorema fundamental polinomial simetris]] menyatakan bahwa gelanggang <math>R[\sigma_1, \ldots, \sigma_n]</math> dimana <math>\sigma_i</math> adalah polinomial simetris dasar.

== Sejarah ==
Teori gelanggang komutatif berasal dari teori bilangan aljabar, geometri aljabar, dan [[teori invarian]]. Pusat pengembangan mata pelajaran ini adalah gelanggang bilangan bulat di medan bilangan aljabar dan medan fungsi aljabar, bahkan gelanggang polinomial dalam dua variabel atau lebih. Teori gelanggang nonkomutatif dimulai dengan upaya untuk memperluas [[bilangan kompleks]] ke berbagai sistem [[bilangan hiperkompleks]]. Asal usul teori gelanggang komutatif dan nonkomutatif berasal dari awal abad ke-19, sedangkan kematangannya hanya dicapai pada dekade ketiga abad ke-20.

Lebih tepatnya, [[William Rowan Hamilton]] mengemukakan [[kuaternion]] dan [[bikuaternion]], [[James Cockle (pengacara)|James Cockle]] mempresentasikan [[tessarine]] dan [[kokuaternion]], bahkan [[William Kingdon Clifford]] adalah seorang penggemar [[bikuaternion terbagi]] yang disebut sebagai ''motor aljabar''. Aljabar nonkomutatif ini, dan [[aljabar Lie]] non-asosiatif, dipelajari dalam [[perpecahan universal]] sebelum subjek dibagi menjadi tipe [[struktur matematika]] tertentu. Salah satu tanda reorganisasi adalah penggunaan [[jumlah langsung modul#Jumlah langsung aljabar|jumlah langsung]] untuk menggambarkan struktur aljabar.

Berbagai bilangan hiperkompleks diidentifikasi dengan [[gelanggang matriks]] oleh [[Joseph Wedderburn]] (1908) dan [[Emil Artin]] (1928). Teorema struktur Wedderburn dirumuskan untuk [[aljabar di atas medan|aljabar di atas medan dimensi-hingga]] sementara Artin menggeneralisasikannya menjadi [[gelanggang Artinian]].

== Catatan ==
{{reflist}}

== Referensi ==
*{{citation
 | last = Allenby
 | first = R. B. J. T.
 | edition = Second
 | isbn = 0-7131-3476-3
 | mr = 1144518
 | page = [https://archive.org/details/ringsfieldsgroup0000alle/page/ xxvi+383]
 | publisher = Edward Arnold, London
 | title = Rings, Fields and Groups
 | year = 1991
 | url = https://archive.org/details/ringsfieldsgroup0000alle/page/
 }}
*{{citation
 | last1 = Blyth | first1 = T.S.
 | last2 = Robertson | first2 = E.F.
 | isbn = 0-521-27288-2
 | publisher = [[Cambridge University Press]] | location = Cambridge
 | title = Groups, Rings and Fields: Algebra through practice, Book 3
 | year = 1985}}
*{{citation
 | last = Faith | first = Carl
 | isbn = 0-8218-0993-8
 | mr = 1657671
 | publisher = American Mathematical Society | location = Providence, RI
 | series = Mathematical Surveys and Monographs
 | title = Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra
 | volume = 65
 | year = 1999}}
*{{citation
 | last1 = Goodearl
 | first1 = K. R.
 | last2 = Warfield
 | first2 = R. B., Jr.
 | isbn = 0-521-36086-2
 | mr = 1020298
 | publisher = [[Cambridge University Press]]
 | location = Cambridge
 | series = London Mathematical Society Student Texts
 | title = An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings
 | volume = 16
 | year = 1989
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/introductiontono0000good
 }}
*{{citation
 | last = Judson
 | first = Thomas W.
 | title = Abstract Algebra: Theory and Applications
 | url = https://abstract.ups.edu
 | year = 1997
 | accessdate = 2021-03-10
 | archive-date = 2019-08-30
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20190830160822/https://abstract.ups.edu/
 | dead-url = yes
 }}
*{{citation
 | last = Kimberling | first = Clark | author-link = Clark Kimberling
 | editor1-last = Brewer | editor1-first = James W
 | editor2-last = Smith | editor2-first = Martha K
 | contribution = Emmy Noether and Her Influence
 | pages = 3–61
 | publisher = [[Marcel Dekker]]
 | title = Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work
 | year = 1981}}
*{{citation
 | last = Lam | first = T. Y.
 | doi = 10.1007/978-1-4612-0525-8
 | isbn = 0-387-98428-3
 | mr = 1653294
 | publisher = [[Springer-Verlag]] | location = New York
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | title = Lectures on Modules and Rings
 | volume = 189
 | year = 1999}}
*{{citation
 | last = Lam | first = T. Y.
 | doi = 10.1007/978-1-4419-8616-0
 | edition = Second
 | isbn = 0-387-95183-0
 | mr = 1838439
 | publisher = [[Springer-Verlag]] | location = New York
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | title = A First Course in Noncommutative Rings
 | volume = 131
 | year = 2001}}
*{{citation
 | last = Lam | first = T. Y.
 | edition = Second
 | isbn = 0-387-00500-5
 | mr = 2003255
 | publisher = [[Springer-Verlag]] | location = New York
 | series = Problem Books in Mathematics
 | title = Exercises in Classical Ring Theory
 | year = 2003}}
*{{citation
 | last = Matsumura | first = Hideyuki
 | edition = Second 
 | isbn = 0-521-36764-6 
 | mr = 1011461
 | publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge, UK.
 | series = Cambridge Studies in Advanced Mathematics
 | title = Commutative Ring Theory
 | volume = 8
 | year = 1989}}
*{{citation
 | last1 = McConnell | first1 = J. C.
 | last2 = Robson | first2 = J. C.
 | doi = 10.1090/gsm/030
 | isbn = 0-8218-2169-5
 | mr = 1811901
 | publisher = American Mathematical Society | location = Providence, RI
 | series = Graduate Studies in Mathematics
 | title = Noncommutative Noetherian Rings
 | volume = 30
 | year = 2001}}
*{{citation
 | last1 = O'Connor
 | first1 = J. J.
 | last2 = Robertson
 | first2 = E. F.
 | contribution = The development of ring theory
 | contribution-url = https://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Ring_theory.html
 | date = September 2004
 | title = MacTutor History of Mathematics Archive
 | accessdate = 2021-01-31
 | archive-date = 2019-10-30
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20191030182907/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Ring_theory.html
 | dead-url = yes
 }}
*{{citation
 | last = Pierce
 | first = Richard S.
 | isbn = 0-387-90693-2
 | mr = 674652
 | publisher = [[Springer-Verlag]]
 | location = New York
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | title = Associative Algebras
 | volume = 88
 | year = 1982
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/associativealgeb00pier_0
 }}
*{{citation
 | last = Rowen | first = Louis H.
 | isbn = 0-12-599841-4
 | mr = 940245
 | publisher = Academic Press | location = Boston, MA
 | series = Pure and Applied Mathematics
 | title = Ring Theory, Vol. I
 | volume = 127
 | year = 1988}}. Vol. II, Pure and Applied Mathematics 128, {{isbn|0-12-599842-2}}.
*{{citation
 | last = Weibel | first = Charles A.
 | isbn = 978-0-8218-9132-2
 | mr = 3076731
 | publisher = American Mathematical Society | location = Providence, RI
 | series = Graduate Studies in Mathematics
 | title = The K-book: An introduction to algebraic K-theory
 | url = https://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html
 | volume = 145
 | year = 2013}}

{{DEFAULTSORT:Ring Theory}}
[[Kategori:Teori gelanggang| ]]

[[de:Ringtheorie]]
[[ka:რგოლი (მათემატიკა)]]
[[ro:Inel (algebră)]]