Lihat sumber Teori bilangan

{{Periksa terjemahan|en|Number theory}}
{{Short description|Matematika dari sifat suatu bilangan bulat}}
[[Berkas:Spirale Ulam 150.jpg|thumb|250x250px|Distribusi [[bilangan prima]] adalah titik pusat studi dalam teori bilangan. [[Spiral Ulam]] ini berfungsi untuk mengilustrasikannya, mengisyaratkan, khususnya pada kondisional [[Independensi (teori probabilitas)|independensi]] antara menjadi prima dan menjadi nilai polinomial kuadrat tertentu.]]
{{Math topics TOC}}
'''Teori bilangan''' (atau '''aritmetika tinggi''' dalam penggunaan yang lama) adalah cabang dari [[matematika murni]] yang ditujukan terutama untuk mempelajari [[bilangan bulat]] dan [[fungsi aritmetika|fungsi bernilai bilangan bulat]]. [[Matematikawan]] asal Jerman [[Carl Friedrich Gauss]] (1777–1855) berkata, "Matematika ialah ratu dari ilmu pengetahuan—dan teori bilangan ialah ratu dari matematika."{{sfn|Long|1972|p=1}}<ref group="note">Catatan asli dari bahasa Jerman: "Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik."</ref> Ahli teori bilangan mempelajari [[bilangan prima]] serta sifat-sifat suatu [[objek matematika]] yang terbuat dari bilangan bulat (misalnya, [[bilangan rasional]]) atau didefinisikan sebagai generalisasi bilangan bulat (misalnya, [[bilangan bulat aljabar]]).

Bilangan bulat dapat dianggap baik dalam dirinya atau sebagai solusi persamaan ([[geometri Diophantine]]). Pertanyaan dalam teori bilangan seringkali paling baik dipahami melalui studi objek [[Analisis kompleks|analitik]] (misalnya, [[fungsi Riemann zeta]]) yang menyandikan sifat suatu bilangan bulat, bilangan prima, atau objek teori bilangan lainnya dengan cara tertentu ([[teori bilangan analitik]]). Beberapa juga bisa mempelajari [[bilangan real]] dalam kaitannya dengan bilangan rasional, misalnya seperti yang mendekati yang terakhir ([[hampiran Diophantine]]).

==Sejarah==
===Asal usul===
====Aritmatika awal====
[[Gambar:Plimpton 322.jpg|right|thumb|Tablet Plimpton 322]]
Penemuan sejarah paling awal dari suatu sifat aritmatika adalah fragmen dari tabel: pecahan lempengan tanah liat [[Plimpton 322]] ([[Larsa|Larsa, Mesopotamia]], kira-kira tahun 1800 SM) berisi daftar "[[Pythagoras]]  <math>(a,b,c)</math> such that <math>a^2+b^2=c^2</math>. Judul di atas kolom pertama berbunyi: "The ''takiltum'' dari diagonal yang telah dikurangi lebar..."<ref>{{harvnb|Neugebauer & Sachs|1945|p=40}}. Istilah ''takiltum'' bermasalah. Robson lebih suka rendering "Kotak penahan diagonal dari mana 1, sehingga sisi pendek muncul...".{{harvnb|Robson|2001|p=192}}</ref><ref>{{harvnb|Robson|2001|p=189}}.

Sumber lain diberikan degan rumus <math>(p^2-q^2,2pq,p^2+q^2)</math>. Van der Waerden memberikan rumus masa awal modern dan bentuk yang pilihan oleh Robson.{{harv|van der Waerden|1961|p=79}}</ref> bahwa dari rumus yang dibangun melalui jumlah, dalam bahasa modern, identitas

:<math>\left(\frac{1}{2} \left(x - \frac{1}{x}\right)\right)^2 + 1 = \left(\frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x} \right)\right)^2,</math>

yang tersirat dalam latihan Babilonia yang sangat rutin.{{sfn|van der Waerden|1961|p=184}} Bagaimana metode lain bisa menggunakan dengan<ref>Neugebauer {{harv|Neugebauer|1969|pp=36–40}} memerhatikan tabel secara rinci dan menyebutkan secara sepintas dari metode Euklides dalam notasi modern yang{{harv|Neugebauer|1969|p=39}}.</ref> pertama kali dibuat dan kemudian disusun ulang oleh <math>c/a</math>, mungkin untuk penggunaan aktual sebagai "tabel", contohnya, dengan tampilan ke aplikasi.

Tidak diketahui apa aplikasi ini, atau apakah mungkin ada; [[Astronomi Babilonia]], contohnya, baru baru ini benar menjadi pemilik belakangan. Dengan perlu mengalihkan untuk menyarankan bahwa tabel adalah sumber contoh numerik untuk masalah sekolah.{{sfn|Friberg|1981|p=302}}<ref group="note">{{harvnb|Robson|2001|p=201}}. Hasil kontroversial. Lihat [[Plimpton 322]]. Artikel Robson dituliskan dengan polemik {{harv|Robson|2001|p=202}} dengan maksud ini "memungkinkan [...] dari tabel [Plimpton 322] dari alasnya" {{harv|Robson|2001|p=167}}; pada saat yang sama, ia menyimpulkan bahwa <blockquote>[...] pertanyaan "bagaimana tablet dapat dihitung?" tidak harus memiliki jawaban yang sama dengan pertanyaan "masalah apa yang diatur oleh tablet? "Yang pertama dapat dijawab dengan sangat memuaskan oleh pasangan timbal balik, seperti yang disarankan pertama setengah abad yang lalu, dan yang kedua dengan semacam masalah segitiga siku-siku {{harv|Robson|2001|p=202}}. </blockquote>
Robson mempermasalahkan gagasan bahwa juru tulis yang menghasilkan Plimpton 322 (yang harus "bekerja untuk mencari nafkah", dan tidak akan menjadi bagian dari "kelas menengah yang santai") bisa saja dimotivasi oleh "keingintahuan yang menganggur" sendiri karena tidak adanya "pasar untuk matematika baru".{{harv|Robson|2001|pp=199–200}}</ref>

Sementara teori bilangan Babilonia atau yang bertahan dari [[matematika Babilonia]] yang dapat disebut demikian yang terdiri dari fragmen tunggal yang mencolok ini, aljabar Babilonia (dalam pengertian sekolah menengah " berkembang dengan sangat baik.{{sfn|van der Waerden|1961|p=43}} Sumber-sumber Neoplatonik Akhir<ref name="vanderW2">[[Iamblichus]], ''Life of Pythagoras'', (terjemahan, misalnya, {{harvnb|Guthrie|1987}}) dikutip oleh {{harvnb|van der Waerden|1961|p=108}}. Lihat pula [[Porphyry (filsuf)|Porphyry]], ''Life of Pythagoras'', paragraf 6, di {{harvnb|Guthrie|1987|para=6}}
Van der Waerden {{harv|van der Waerden|1961|pp=87–90}} mendukung pandangan bahwa Thales mengetahui matematika Babilonia.</ref> nyatakan bahwa [[Pythagoras]] belajar matematika dari Babilonia. Sumber jauh lebih awal<ref name="stanencyc">Herodotus (II. 81) and Isocrates (''Busiris'' 28), cited in: {{harvnb|Huffman|2011}}. Oleh Thales, lihat Eudemus ap. Proclus, 65.7, (misalnya, {{harvnb|Morrow|1992|p=52}}) dikutip dalam: {{harvnb|O'Grady|2004|p=1}}. Proclus menggunakan karya [[Eudemus of Rhodes]] (sekarang hilang), ''Katalog Geometer''. Lihat juga pendahuluan, {{harvnb|Morrow|1992|p=xxx}} tentang keandalan Proclus.</ref> menyatakan bahwa [[Thales]] dan [[Pythagoras]] bepergian dan belajar di [[Mesir]].

[[Euclid]] IX 21 34 sangat mungkin adalah Pythagoras;<ref name="Becker">{{harvnb|Becker|1936|p=533}}, dikutip oleh: {{harvnb|van der Waerden|1961|p=108}}.</ref> itu adalah bahan yang sangat sederhana ("waktu ganjil genap", "jika bilangan ganjil mengukur [= membagi] bilangan genap, maka ia juga mengukur [= membagi] setengahnya"), tetapi hanya itu yang diperlukan untuk membuktikan nilai 2|<math>\sqrt{2}</math>]]
adalah [[Bilangan irasional|irasional]]. {{sfn|Becker|1936}} Mistikus Pythagoras sangat mementingkan ganjil dan genap.{{sfn|van der Waerden|1961|p=109}}
Penemuan tersebut bahwa <math>\sqrt{2}</math> tidak rasional dikreditkan ke Pythagoras awal (pra [[Theodorus of Cyrene|Theodorus]]).<ref name="Thea">Plato, ''Theaetetus'', p. 147 B, (sebagai contoh, {{harvnb|Jowett|1871}}), cited
in {{harvnb|von Fritz|2004|p=212}}: "Theodorus sedang menulis untuk kita sesuatu tentang akar, seperti akar dari tiga atau lima, menunjukkan bahwa mereka tidak dapat dibandingkan dengan unit;..." ''Lihat pula'' [[Spiral Theodorus]].</ref> Dengan mengungkapkan (dalam istilah modern) bahwa angka bisa jadi tidak rasional, penemuan ini tampaknya telah memicu krisis mendasar pertama dalam [[sejarah matematika]]; bukti atau penyebarluasannya kadang-kadang dikreditkan ke [[Hippasus dari Metapontum|Hippasus]], yang dipisahkan dari sekte Pythagoras.{{sfn|von Fritz|2004}} Hal ini dapat memaksa perbedaan antara ''bilangan'' (bilangan bulat dan rasional subjek aritmatika), di satu sisi, dan ''panjang'' dan ''proporsi'' (yang akan kami identifikasi dengan bilangan real, apakah rasional atau tidak), di sisi lain.

Tradisi Pythagoras berbicara juga tentang apa yang disebut [[Nomor poligonal|poligonal]] atau [[angka figur]].{{sfn|Heath|1921|p=76}} Sementara bilangan kuadrat, bilangan kubik, dll., Sekarang dipandang lebih alami daripada bilangan segitiga, bilangan pentagonal, dll. Studi tentang jumlah
bilangan segitiga dan pentagonal terbukti bermanfaat pada awal periode modern (abad ke-17 hingga awal abad ke-19).

Kita tidak mengetahui materi aritmatika yang jelas dalam sumber [[matematika Mesir|Mesir kuno]] atau [[Weda]], meskipun ada beberapa aljabar di keduanya. [[Teorema sisa Bahasa Hanzi]] muncul sebagai exe <!--[Mohon jangan dihapus]<ref>''Sunzi Suanjing'', Chapter 3, Problem 26. This can be found in {{harvnb|Lam|Ang|2004|pp=219–20}}, which contains a full translation of the ''Suan Ching'' (based on {{harvnb|Qian|1963}}). See also the discussion in {{harvnb|Lam|Ang|2004|pp=138–140}}.</ref>--> di ''[[Sunzi Suanjing]]'' (abad ke 3, ke 4, atau ke 5 M)<ref name="YongSe">Tanggal teks telah dipersempit menjadi 220–420 M (Yan Dunjie) atau 280–473 M (Wang Ling) melalui bukti internal (= sistem perpajakan yang diasumsikan dalam teks). Lihat {{harvnb|Lam|Ang|2004|pp=27–28}}.</ref> (Ada satu langkah penting yang ditutup-tutupi dalam solusi Sunzi:<ref group="note">''Sunzi Suanjing'', Ch. 3, Problem 26,
in {{harvnb|Lam|Ang|2004|pp=219–20}}:<blockquote>
[26] Sekarang ada sejumlah hal yang tidak diketahui. Kalau dihitung tiga, ada sisa 2; jika kita hitung dengan lima, ada sisa 3; Jika dihitung dengan tujuh, ada sisa 2. temukan sejumlah hal. '' Jawab '': 2;.<br />
''Metode'': Kalau kita hitung kelipatan tiga dan ada yang tersisa 2, taruh 140. Kalau kita hitung kelima dan ada sisa 3, turunkan 63. Kalau kita hitung kelipatan tujuh dan ada sisa 2, letakkan 30. Kalau kita hitung tiga dan ada yang tersisa 1, tuliskan 70. Jika kita hitung lima dan ada sisa 1, tulis 21. Bila kita hitung dengan tujuh dan ada sisa 1, turunkan 15. Jika [sebuah angka] melebihi 106, hasilnya diperoleh dengan mengurangkan 105.</blockquote></ref> ini adalah masalah yang kemudian dipecahkan oleh [[Kuṭṭaka]] [[Āryabhaṭa]] lihat [[#Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara|di bawah]].)

Ada juga beberapa mistisisme numerik dalam matematika Tiongkok,<ref group="note">Lihat, contohnya, ''Sunzi Suanjing'', Ch. 3, Masalah 36, dalam {{harvnb|Lam|Ang|2004|pp=223–24}}:<blockquote>
[36] Sekarang ada seorang ibu hamil berusia 29 tahun. Jika masa kehamilan 9 bulan, tentukan jenis kelamin bayi yang dikandungnya.. ''Menjawab'': Male.<br />
''Metode'': Letakkan 49, tambahkan masa gestasi dan kurangi usianya. Dari sisanya ambil 1 mewakili langit, 2 bumi, 3 manusia, 4 empat musim, 5 lima fase, 6 enam pipa pitch, 7 tujuh bintang [Biduk], 8 delapan angin, dan 9 sembilan divisi [Tiongkok di bawah Yu Agung]. Jika sisanya ganjil, [jenis kelamin] adalah laki-laki dan jika sisanya genap, [jenis kelamin] adalah perempuan.</blockquote>
Hal ini adalah masalah terakhir dalam risalah Sunzi yang sebenarnya tidak berbelit-belit.</ref> tetapi, tidak seperti Pythagoras, tampaknya tidak mengarah ke mana pun. Seperti angka sempurna Pythagoras, [[persegi ajaib]] telah berubah dari takhayul menjadi rekreasi.

====Yunani Klasik dan periode Helenistik awal====
{{Further|Matematika Yunani kuno}}

Selain dari beberapa fragmen, matematika Yunani Klasik diketahui oleh kita baik melalui laporan dari non-matematikawan kontemporer atau melalui karya matematika dari teori Helenistik awal.{{sfn|Boyer|Merzbach|1991|p=82}} Dalam kasus teori bilangan, ini berarti, pada umumnya, ''Plato'' dan ''Euklides'', masing-masing.

Sementara matematika Asia memengaruhi pembelajaran Yunani dan Helenistik, tampaknya matematika Yunani juga merupakan tradisi pribumi.

[[Eusebius]], PE X, bab 4 menyebutkan [[Pythagoras]]:

<blockquote>"Faktanya, Pythagoras tersebut, sambil sibuk mempelajari kebijaksanaan setiap bangsa, mengunjungi Babilonia, dan Mesir, dan semua Persia, atas instruksi dari orang Majus dan para pendeta: dan selain itu dia terkait telah belajar di bawah bimbingan Brahmana (ini adalah filsuf India); dan dari beberapa dia mengumpulkan astrologi, dari geometri lain, dan aritmatika dan musik dari yang lain, dan hal-hal yang berbeda dari negara yang berbeda, dan hanya dari orang-orang bijak Yunani dia tidak mendapatkan apa-apa, menikah seperti mereka dalam kemiskinan dan kelangkaan kebijaksanaan: jadi sebaliknya dia sendiri menjadi penulis instruksi kepada orang-orang Yunani dalam pembelajaran yang dia peroleh dari luar negeri."<ref>{{Cite web | url=http://www.tertullian.org/fathers/eusebius_pe_10_book10.htm | title=Eusebius dari Kaisarea: Praeparatio Evangelica (Persiapan untuk Injil). Tr. E.H. Gifford (1903) - Buku 10}}</ref></blockquote>

Aristoteles menyatakan bahwa filosofi Plato mengikuti ajaran Pythagoras,<ref>Metafisika, 1.6.1 (987a)</ref> dan Cicero mengulangi klaim ini: ''Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia'' ("Mereka mengatakan Plato mempelajari semua hal Pythagoras").<ref>Tusc. Disput. 1.17.39.</ref>

[[Plato]] memiliki minat yang besar pada matematika, dan dengan jelas membedakan antara aritmatika dan perhitungan. (Dengan ''aritmatika'' yang dia maksud, sebagian, berteori tentang angka, daripada apa ''aritmatika''.) Melalui salah satu dialog Plato — yaitu, [[Theaetetus (dialog)|''Theaetetus'']] kita tahu bahwa [[Theodorus of Cyrene|Theodorus]] telah membuktikan bahwa <math>\sqrt{3}, \sqrt{5}, \dots, \sqrt{17}</math> tidak rasional. [[Theaetetus of Athens|Theaetetus]] adalah, seperti Plato, murid Theodorus; dia bekerja pada membedakan berbagai jenis [[Kesesuaian (matematika)|tidak dapat dibandingkan]], dan dengan demikian bisa dibilang pelopor dalam studi [[sistem bilangan]]. (Buku X [[Elemen Euklides]] dijelaskan oleh [[Pappus dari Aleksandria|Pappus]] sebagian besar didasarkan pada karya Theaetetus.)

[[Euklides]] mengabdikan bagian dari ''Elemen'' nya untuk bilangan prima dan dapat dibagi, topik yang jelas termasuk dalam teori bilangan dan merupakan dasar untuk itu (Buku VII sampai IX [[Elemen Euclid]]). Secara khusus, dia memberikan algoritma untuk menghitung pembagi persekutuan terbesar dari dua angka ([[Algoritma Euklides]]; ''Elemen'', Prop. VII.2) dan bukti pertama yang diketahui dari [[tak terhingga]].
<!-- [Mohon, bagian yang dihilangkan tidak akurat]In 1773, [[Gotthold Ephraim Lessing|Lessing]] published an [[epigram]] he had found in a manuscript during his work as a librarian; it claimed to be a letter sent by [[Archimedes]] to [[Eratosthenes]].{{sfn|Vardi|1998|pp=305–19}}{{sfn|Weil|1984|pp=17–24}} The epigram proposed what has become known as
[[Archimedes's cattle problem]]; its solution (absent from the manuscript) requires solving an indeterminate quadratic equation (which reduces to what would later be misnamed [[Pell's equation]]). As far as we know, such equations were first successfully treated by the [[#Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara|Indian school]]. It is not known whether Archimedes himself had a method of solution.-->

====Diophantus====
[[Gambar:Diophantus-cover.jpg|thumb|upright|Halaman judul edisi 1621 ''Arithmetica'' Diophantus, diterjemahkan ke dalam [[Latin]] oleh [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac]].]]

Sangat sedikit yang diketahui tentang [[Diophantus dari Alexandria]]; dia mungkin hidup pada abad ketiga M, yaitu sekitar lima ratus tahun setelah Euclid. Enam dari tiga belas buku Diophantus'' [[Aritmatika]] yunani; empat buku lagi bertahan dalam terjemahan bahasa Arab. The ''Arithmetica'' adalah kumpulan masalah yang diselesaikan di mana tugasnya selalu untuk menemukan solusi rasional untuk sistem persamaan polinomial dari <math>f(x,y)=z^2</math> atau <math>f(x,y,z)=w^2</math>. Jadi, saat ini, kita berbicara tentang ''[[persamaan Diophantine]]'' ketika kita berbicara tentang persamaan polinomial di mana solusi rasional atau bilangan bulat harus ditemukan.

<!--One may say that Diophantus was studying rational points, that is, points whose coordinates are rational—on [[curve]]s and [[algebraic variety|algebraic varieties]]; however, unlike the Greeks of the Classical period, who did what we would now call basic algebra in geometrical terms, Diophantus did what we would now call basic algebraic geometry in purely algebraic terms. In modern language, what Diophantus did was to find rational parametrizations of varieties; that is, given an equation of the form (say)
<math>f(x_1,x_2,x_3)=0</math>, his aim was to find (in essence) three [[rational functions]] <math>g_1, g_2, g_3</math> such that, for all values of <math>r</math> and <math>s</math>, setting
<math>x_i = g_i(r,s)</math> for <math>i=1,2,3</math> gives a solution to <math>f(x_1,x_2,x_3)=0.</math>

Diophantus also studied the equations of some non-rational curves, for which no rational parametrisation is possible. He managed to find some rational points on these curves ([[elliptic curve]]s, as it happens, in what seems to be their first known occurrence) by means of what amounts to a tangent construction: translated into coordinate geometry
(which did not exist in Diophantus's time), his method would be visualised as drawing a tangent to a curve at a known rational point, and then finding the other point of intersection of the tangent with the curve; that other point is a new rational point. (Diophantus also resorted to what could be called a special case of a secant construction.)

While Diophantus was concerned largely with rational solutions, he assumed some results on integer numbers, in particular that [[Lagrange's four-square theorem|every integer is the sum of four squares]] (though he never stated as much explicitly).-->

====Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara====
Sementara astronomi Yunani mungkin memengaruhi pembelajaran India, hingga memperkenalkan trigonometri,{{sfn|Plofker|2008|p=119}} tampaknya matematika India merupakan tradisi pribumi;<ref name="Plofbab">Any kontak awal antara matematika Babilonia dan India masih berupa dugaan {{harv|Plofker|2008|p=42}}.</ref> khususnya, tidak ada bukti bahwa Euclid's Elements mencapai India sebelum abad ke-18.{{sfn|Mumford|2010|p=387}}

[[Aryabhata|Āryabhaṭa]] (476–550 M) menunjukkan bahwa pasangan kongruensi simultan <math>n\equiv a_1 \bmod m_1</math>, <math>n\equiv a_2 \bmod m_2</math> bisa diselesaikan dengan metode yang dia panggil ''kuṭṭaka'', atau ''pulveriser'';<ref>Āryabhaṭa, Āryabhatīya, Chapter 2, verses 32–33, cited in: {{harvnb|Plofker|2008|pp=134–40}}. See also {{harvnb|Clark|1930|pp=42–50}}. Deskripsi kuṭṭaka yang sedikit lebih eksplisit kemudian diberikan di [[Brahmagupta]], ''Brāhmasphuṭasiddhānta'', XVIII, 3–5 (in {{harvnb|Colebrooke|1817|p=325}}, cited in {{harvnb|Clark|1930|p=42}}).</ref> ini adalah prosedur yang dekat dengan (generalisasi dari) [[Algoritma Euklides]], yang mungkin ditemukan secara independen di India.{{sfn|Mumford|2010|p=388}} Āryabhaṭa tampaknya ada dalam pikiran aplikasi untuk perhitungan astronomi.{{sfn|Plofker|2008|p=119}}

[[Brahmagupta]] (628 M) memulai studi sistematis persamaan kuadrat tak tentu khususnya, [[Persamaan Pell]], di mana [[Archimedes]] mungkin pertama kali tertarik, dan yang tidak mulai diselesaikan di Barat sampai masa Fermat dan Euler. Kemudian penulis Sansekerta akan mengikuti, menggunakan terminologi teknis Brahmagupta. Sebuah prosedur umum ([[metode Chakravala|chakravala]], atau "metode siklik") untuk menyelesaikan persamaan Pell akhirnya ditemukan oleh Jayadeva (dikutip pada abad kesebelas; pekerjaannya akan hilang); eksposisi paling awal yang masih hidup muncul di Bīja-gaṇita (abad kedua belas) [[Bhāskara II]].{{sfn|Plofker|2008|p=194}}

Matematika India sebagian besar tetap tidak dikenal di Eropa sampai akhir abad kedelapan belas;{{sfn|Plofker|2008|p=283}} Karya Brahmagupta dan Bhāskara diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris pada tahun 1817 oleh [[Henry Thomas Colebrooke|Henry Colebrooke]].{{sfn|Colebrooke|1817}}

====Aritmatika di zaman keemasan Islam====
{{Further|Mathematics in medieval Islam}}

<!--[[Berkas:Hevelius Selenographia frontispiece.png|upright|right|thumb|[[Al-Haytham]] seen by the West: frontispice of ''[[Selenographia]]'', showing Alhasen {{sic}} representing knowledge through reason, and Galileo representing knowledge through the senses.]]-->

Pada awal abad kesembilan, khalifah [[Al-Ma'mun]] memerintahkan terjemahan banyak karya matematika Yunani dan setidaknya satu karya Sansekerta (''Sindhind'',
yang mungkin <ref>{{harvnb|Colebrooke|1817|p=lxv}}, cited in {{harvnb|Hopkins|1990|p=302}}. See also the preface in
{{harvnb|Sachau|1888}} dikutip dalam {{harvnb|Smith|1958|pp=168}}</ref> atau mungkin tidak<ref name="Plofnot">{{harvnb|Pingree|1968|pp=97–125}}, dan {{harvnb|Pingree|1970|pp=103–23}}, dikutip dalam {{harvnb|Plofker|2008|p=256}}.</ref> jadilah [[Brahmagupta]] [[Brahmasphutasiddhanta|Brāhmasphuṭasiddhānta]]).
Karya utama Diophantus, ''Arithmetica'', diterjemahkan ke dalam bahasa Arab oleh [[Qusta ibn Luqa]] (820–912).
Bagian dari risalah '' al-Fakhri '' (oleh [[al-Karaji|al-Karajī]], 953 - ca. 1029) dibangun di atasnya sampai batas tertentu. Menurut Rashed Roshdi, Al-Karajī sezaman [[Ibn al-Haytham]] mengetahui{{sfn|Rashed|1980|pp=305–21}} apa yang kemudian akan disebut [[Teorema Wilson]].

====Eropa Barat pada Abad Pertengahan====
Selain risalah tentang kotak dalam perkembangan aritmatika oleh [[Fibonacci]] - yang melakukan perjalanan dan belajar di Afrika utara dan Konstantinopel — tidak ada teori bilangan yang bisa dibicarakan dilakukan di Eropa barat. Hal-hal mulai berubah di Eropa pada akhir [[Renaisans]], berkat studi baru tentang karya-karya kuno Yunani. Katalis adalah perbaikan tekstual dan terjemahan ke dalam bahasa Latin Diophantus' ''[[Arithmetica]]''.<ref>[[Claude Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet]], 1621, mengikuti upaya pertama oleh [[Guilielmus Xylander|Xylander]], 1575</ref>
<!--Deret Fibonacci, penulis tidak diketahui 1486 ms, Luca Pacioli.. -->

===Teori bilangan modern awal===
====Fermat====
[[Gambar:Pierre de Fermat.png|thumb|right|upright|[[Pierre de Fermat]]]]

[[Pierre de Fermat]] (1607–1665) tidak pernah menerbitkan tulisannya; Secara khusus, karyanya tentang teori bilangan terkandung hampir seluruhnya dalam surat-surat untuk matematikawan dan catatan pinggir pribadi.{{sfn|Weil|1984|pp=45–46}} Dalam catatan dan suratnya, dia jarang menulis bukti, bahwa dia tidak punya model di daerah itu.<ref>{{harvnb|Weil|1984|p=118}}. Ini lebih terjadi dalam teori bilangan daripada di bidang lain (komentar dalam {{harvnb|Mahoney|1994|p=284}}). Bukti Bachet sendiri "sangat kikuk" {{harv|Weil|1984|p=33}}.</ref>

Selama hidupnya, Fermat memberikan kontribusi berikut di lapangan:

* Salah satu minat pertama Fermat adalah [[bilangan sempurna]] (yang muncul di buku tulisan Euklides, ''Elements'' IX) dan [[nomor yang bersahabat]];<ref group="note">Jumlah yang sempurna dan terutama yang bersahabat sedikit atau tidak menarik sama sekali saat ini. Hal yang sama tidak berlaku di abad pertengahan — baik di Barat atau di dunia berbahasa Arab — sebagian karena pentingnya yang diberikan oleh Neopythagoras (dan karenanya mistis) [[Nicomachus of Gerasa|Nicomachus]] (ca. 100 CE), yang menulis "[[Pengantar Aritmatika]]" primitif tetapi berpengaruh. Lihat {{harvnb|van der Waerden|1961|loc=Ch. IV}}.</ref> topik ini membawanya untuk bekerja pada integer [[pembagi]] s, yang dari awal di antara subyek korespondensi (1636 dan seterusnya) yang membuatnya berhubungan dengan komunitas matematika dari hari ke hari.<ref>{{harvnb|Mahoney|1994|pp=48, 53–54}}. Subjek awal korespondensi Fermat termasuk pembagi ("bagian alikuot") dan banyak subjek di luar teori bilangan; lihat daftar di surat dari Fermat ke Roberval, 22.IX.1636, {{harvnb|Tannery|Henry|1891|loc=Vol. II, pp. 72, 74}}, cited in {{harvnb|Mahoney|1994|p=54}}.</ref>
* Pada tahun 1638, Fermat mengklaim, tanpa bukti, bahwa semua bilangan bulat dapat diekspresikan sebagai jumlah dari empat persegi atau kurang.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=5tFFDwAAQBAJ|title=Angka dan Pengukuran|last=Faulkner|first=Nicholas|last2=Hosch|first2=William L.|date=2017-12-15|publisher=Encyclopaedia Britannica|isbn=9781538300428|location=|pages=|language=en}}</ref>
* [[Teorema kecil Fermat]] (1640):<ref>{{harvnb|Tannery|Henry|1891|loc=Vol. II, p. 209}}, Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640,
cited in {{harvnb|Weil|1984|p=56}}</ref> if ''a'' is not divisible by a prime ''p'', then <math>a^{p-1} \equiv 1 \bmod p.</math><ref group="note">Di sini, seperti biasa, diberikan dua bilangan bulat ''a'' dan ''b'' dan bilangan bulat bukan nol ''m'', kami menulis <math>a \equiv b \bmod m</math> (baca "''a'' kongruen dengan ''b'' modulo ''m''") yang berarti ''m'' membagi ''a'' ''b'', atau, apa artinya sama , ''a'' dan ''b'' meninggalkan residu yang sama ketika dibagi dengan ''m''. Notasi ini sebenarnya lebih lambat dari Fermat; ini pertama kali muncul di bagian 1 [[Gauss]] [[Disquisitiones Arithmeticae]]. Teorema kecil Fermat adalah konsekuensi dari [[Teorema Lagrange (teori kelompok)|fakta]] bahwa [[Urutan (teori kelompok)|urutan]] dari suatu elemen [[Kelompok (matematika)|kelompok]] membagi [[Grup (matematika)|grup]]. Bukti modern akan berada dalam kemampuan Fermat (dan memang diberikan kemudian oleh Euler), Padahal konsep modern kelompok datang jauh setelah Fermat atau Euler. (Ini membantu untuk mengetahui bahwa invers ada modulo ''p'', yaitu, diberikan ''a'' tidak habis dibagi oleh prima ''p'', ada bilangan bulat ''x'' sehingga <math> x a \equiv 1 \bmod p</math>); fakta ini (yang, dalam bahasa modern, membuat residu mod ''p'' menjadi satu kelompok, dan yang sudah diketahui [[Aryabhata|Āryabhaṭa]]; lihat [[Teori bilangan#Indian:Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara|di atas]]) sudah tidak asing lagi bagi Fermat berkat penemuannya kembali oleh [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet]] {{harv|Weil|1984|p=7}}. Weil melanjutkan dengan mengatakan bahwa Fermat akan mengenali bahwa argumen Bachet pada dasarnya adalah algoritma Euklides.</ref>
* Bila ''a'' dan ''b'' adalah coprime, setelah itu <math>a^2 + b^2</math> tidak habis dibagi oleh kongruen prima manapun dengan −1 modulo 4;<ref>{{harvnb|Tannery|Henry|1891|loc=Vol. II, p. 204}}, cited in {{harvnb|Weil|1984|p=63}}. Semua kutipan berikut dari ''Varia Opera'' Fermat diambil dari {{harvnb|Weil|1984|loc=Chap. II}}. Karya standar Tannery & Henry mencakup revisi dari karya Fermat ''Varia Opera Mathematica'' yang awalnya disiapkan oleh putranya {{harv|Fermat|1679}}.</ref> dan setiap kongruen prima dengan 1 modulo 4 dapat ditulis dalam bentuk <math>a^2 + b^2</math>.{{sfn|Tannery|Henry|1891|loc=Vol. II, p. 213}} Kedua pernyataan ini juga berasal dari tahun 1640; pada 1659, Fermat menyatakan kepada Huygens bahwa dia telah membuktikan pernyataan terakhir dengan [[Bukti dengan keturunan tak terbatas|metode keturunan tak terbatas]].{{sfn|Tannery|Henry|1891|loc=Vol. II, p. 423}}
* Pada 1657, Fermat mengajukan masalah pemecahannya <math>x^2 - N y^2 = 1</math> sebagai tantangan bagi matematikawan Inggris. Masalahnya diselesaikan dalam beberapa bulan oleh Wallis dan Brouncker.{{sfn|Weil|1984|p=92}} Fermat menganggap solusi mereka valid, tetapi menunjukkan bahwa mereka telah memberikan algoritme tanpa bukti (seperti yang dimiliki Jayadeva dan Bhaskara, meskipun Fermat tidak mengetahui hal ini). Dia menyatakan bahwa bukti dapat ditemukan dengan keturunan yang tak terbatas.
* Fermat dinyatakan dan dibuktikan (dengan keturunan tak terbatas) di lampiran ''Pengamatan Diophantus'' (Obs. XLV){{sfn |Tannery|Henry|1891|loc=Vol. I, pp. 340–41}} that <math>x^{4} + y^{4} = z^{4}</math> tidak memiliki solusi non-sepele dalam bilangan bulat. Fermat juga mengatakan kepada korespondennya itu <math>x^3 + y^3 = z^3</math> tidak memiliki solusi non-sepele, dan ini juga dapat dibuktikan dengan penurunan tak terbatas.{{sfn|Weil|1984|p=115}} Bukti pertama yang diketahui adalah karena Euler (1753; memang dengan keturunan tak terbatas).{{sfn|Weil|1984|pp=115–16}}
* Fermat menyatakan ("[[Teorema terakhir Fermat]]") telah menunjukkan bahwa tidak ada solusi untuk <math>x^n + y^n = z^n</math> for all <math>n\geq 3</math>; klaim ini muncul dalam penjelasannya di pinggir salinan Diophantus miliknya.

====Euler====
[[Gambar:Leonhard Euler.jpg|thumb|upright|[[Leonhard Euler]]]]

Ketertarikan [[Leonhard Euler]] (1707–1783) pada teori bilangan pertama kali didorong pada tahun 1729, ketika seorang temannya, seorang amatir<ref group="note">Up hingga paruh kedua abad ketujuh belas, posisi akademis sangat langka, dan sebagian besar matematikawan dan ilmuwan mencari nafkah dengan cara lain {{harv|Weil|1984|pp=159, 161}}. (Sudah ada beberapa fitur yang dapat dikenali dari ''praktik'' profesional, yaitu mencari koresponden, mengunjungi kolega asing, membangun perpustakaan pribadi {{harv|Weil|1984|pp=160–61}}. Masalah mulai bergeser pada akhir abad ke-17 {{harv|Weil|1984|p=161}}; akademi ilmiah didirikan di Inggris ([[Royal Society]], 1662) dan Prancis ([[Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis|Académie des sciences]], 1666) dan [[Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia|Rusia]] (1724). Euler ditawari posisi terakhir ini pada tahun 1726; dia menerimanya, tiba di St. Petersburg pada 1727 ({{harvnb|Weil|1984|p=163}} dan
{{harvnb|Varadarajan|2006|p=7}}).
Dalam konteks ini, istilah ''amatir'' yang biasanya diterapkan pada Goldbach didefinisikan dengan baik dan masuk akal: ia digambarkan sebagai sastrawan yang mencari nafkah sebagai mata-mata. {{harv|Truesdell|1984|p=xv}}; cited in {{harvnb|Varadarajan|2006|p=9}}). Perhatikan, bagaimanapun, bahwa Goldbach menerbitkan beberapa karya tentang matematika dan terkadang memegang posisi akademis.</ref> [[Christian Goldbach|Goldbach]], mengarahkannya ke beberapa karya Fermat tentang masalah ini.{{sfn|Weil|1984|pp=2, 172}}{{sfn|Varadarajan|2006|p=9}} Ini disebut "kelahiran kembali" dari teori bilangan modern,{{sfn|Weil|1984|pp=1–2}} setelah Fermat relatif kurang sukses dalam menarik perhatian orang-orang sezamannya untuk subjek tersebut.<ref>{{harvnb|Weil|1984|p=2}} dan {{harvnb|Varadarajan|2006|p=37}}</ref> Karya Euler tentang teori bilangan meliputi yang berikut ini:<ref>{{harvnb|Varadarajan|2006|p=39}} and {{harvnb|Weil|1984|pp=176–89}}</ref>

*''Bukti untuk pernyataan Fermat.'' Ini termasuk [[teorema kecil Fermat]] (digeneralisasikan oleh Euler ke modulus non-prima); fakta bahwa <math>p = x^2 + y^2</math> jika dan hanya jika <math>p\equiv 1 \bmod 4</math>; pekerjaan awal menuju bukti bahwa setiap bilangan bulat adalah jumlah dari empat kotak (bukti lengkap pertama adalah oleh [[Joseph-Louis Lagrange]] (1770), segera diperbaiki oleh Euler sendiri{{sfn|Weil|1984|pp=178–79}}); kurangnya solusi integer bukan nol ke <math>x^4 + y^4 = z^2</math> (menyiratkan kasus ''n=4'' dari teorema terakhir Fermat, kasus ''n=3'' yang juga dibuktikan oleh Euler dengan metode terkait).
*''[[Persamaan Pell]]'', pertama kali salah diberi nama oleh Euler.<ref name="Eulpell">{{harvnb|Weil|1984|p=174}}. Euler murah hati dalam memberikan penghargaan kepada orang lain {{harv|Varadarajan|2006|p=14}}, tidak selalu benar.</ref> Dia menulis tentang hubungan antara pecahan lanjutan dan persamaan Pell.{{sfn|Weil|1984|p=183}}
*''Langkah pertama menuju [[teori bilangan analitik]].'' Dalam karyanya tentang penjumlahan empat kotak, [[Fungsi partisi (teori bilangan)#Fungsi partisi|partisi]], [[bilangan pentagonal]], dan [[Distribusi (teori bilangan)|distribusi]] bilangan prima, Euler memelopori penggunaan apa yang dapat dilihat sebagai analisis (khususnya, deret tak hingga) dalam teori bilangan. Karena dia hidup sebelum pengembangan [[analisis kompleks]], sebagian besar karyanya dibatasi pada manipulasi formal [[deret pangkat]]. Dia melakukannya, bagaimanapun, melakukan beberapa pekerjaan awal yang sangat penting (meskipun tidak sepenuhnya ketat) tentang apa yang kemudian akan disebut [[fungsi Riemann zeta]].<ref>{{harvnb|Varadarajan|2006|pp=45–55}}; see also chapter III.</ref>
*''Bentuk kuadrat''. Mengikuti arahan Fermat, Euler melakukan penelitian lebih lanjut tentang pertanyaan bilangan prima mana yang dapat diekspresikan dalam bentuk <math>x^2 + N y^2</math>, beberapa di antaranya menggambarkan [[timbal balik kuadrat]].{{sfn|Varadarajan|2006|pp=44–47}} {{sfn|Weil|1984|pp=177–79}}{{sfn|Edwards|1983|pp=285–91}}
*''Persamaan Diophantine''. Euler mengerjakan beberapa persamaan Diophantine dari genus 0 dan 1.{{sfn|Varadarajan|2006|pp=55–56}}{{sfn|Weil|1984|pp=179–81}} Secara khusus, dia mempelajari karya [[Diophantus]]; dia mencoba untuk mensistematisasikannya, tetapi waktunya belum tepat untuk usaha seperti geometri aljabar yang masih dalam tahap awal.{{sfn|Weil|1984|p=181}} Dia melihat ada hubungan antara masalah Diophantine dan [[integral elips]],{{sfn|Weil|1984|p=181}} yang studinya telah dia mulai sendiri.

====Lagrange, Legendre, dan Gauss====
[[Berkas:Disqvisitiones-800.jpg|upright|150px|thumb|[[Carl Friedrich Gauss]] [[Disquisitiones Arithmeticae]], edisi pertama]]

[[Joseph-Louis Lagrange]] (1736–1813) adalah orang pertama yang memberikan bukti penuh dari beberapa karya dan pengamatan Fermat dan Euler contohnya, [[teorema empat persegi Lagrange|teorema empat persegi]] dan teori dasar dari "persamaan Pell" yang salah nama (yang solusi algoritmiknya ditemukan oleh Fermat dan orang-orang sezamannya, dan juga oleh Jayadeva dan [[Bhaskara II]] sebelum mereka.) Dia juga mempelajari [[bentuk kuadrat]] secara umum penuh (sebagai lawan <math>m X^2 + n Y^2</math>) mendefinisikan relasi ekivalennya, menunjukkan bagaimana meletakkannya dalam bentuk tereduksi, dll.

[[Adrien-Marie Legendre]] (1752–1833) adalah orang pertama yang menyatakan hukum timbal balik kuadrat. Dia juga
menebak berapa jumlah [[teorema bilangan prima]] dan [[teorema Dirichlet tentang perkembangan aritmatika]]. Dia memberikan perlakuan penuh persamaan <math>a x^2 + b y^2 + c z^2 = 0</math>{{sfn|Weil|1984|pp=327–28}} dan mengerjakan bentuk-bentuk kuadrat di sepanjang garis yang kemudian dikembangkan sepenuhnya oleh Gauss.{{sfn|Weil|1984|pp=332–34}} Di usia tuanya, dia adalah orang pertama yang membuktikan "teorema terakhir Fermat" <math>n=5</math> (menyelesaikan pekerjaan oleh [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]], dan memuji dia dan [[Sophie Germain]]).{{sfn|Weil|1984|pp=337–38}}

[[Berkas:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|left|Carl Friedrich Gauss]]

<!--In his ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' (1798), [[Carl Friedrich Gauss]] (1777–1855) proved the law of [[quadratic reciprocity]] and developed the theory of quadratic forms (in particular, defining their composition). He also introduced some basic notation ([[congruences]]) and devoted a section to computational matters, including primality tests.{{sfn|Goldstein|Schappacher|2007|p=14}} The last section of the ''Disquisitiones'' established a link between [[roots of unity]] and number theory:
<blockquote>The theory of the division of the circle...which is treated in sec. 7 does not belong
by itself to arithmetic, but its principles can only be drawn from higher arithmetic.<ref>From the preface of ''Disquisitiones Arithmeticae''; the translation is taken from {{harvnb|Goldstein|Schappacher|2007|p=16}}</ref></blockquote>

In this way, Gauss arguably made a first foray towards both [[Évariste Galois]]'s work and [[algebraic number theory]].-->

===Kedewasaan dan pembagian menjadi subbidang===
[[Berkas:ErnstKummer.jpg|upright|thumb|[[Ernst Kummer]]]]
[[Berkas:Peter Gustav Lejeune Dirichlet.jpg|upright|left|thumb|[[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]]]]

Mulai awal abad kesembilan belas, perkembangan berikut secara bertahap terjadi:

* Kebangkitan kesadaran diri teori bilangan (atau '' aritmatika yang lebih tinggi '') sebagai bidang studi.<ref>Lihat pembahasan di bagian 5 dari {{harvnb|Goldstein|Schappacher|2007}}. Tanda-tanda awal kesadaran diri sudah ada dalam surat-surat oleh Fermat: demikian komentarnya tentang apa itu teori bilangan, dan bagaimana "karya Diophantus [...] tidak benar-benar menjadi milik [it] "(dikutip dalam {{harvnb|Weil|1984|p=25}}).</ref>
* Perkembangan banyak matematika modern yang diperlukan untuk teori bilangan modern dasar: [[analisis kompleks]], [[teori grup]], [[teori Galois]] - disertai dengan ketelitian yang lebih besar dalam analisis dan aljaber abstrak.
* Pembagian kasar teori bilangan ke dalam subbidang modernnya — khususnya, [[teori bilangan analitik|analitik]] dan [[teori bilangan aljabar]].

Teori bilangan aljabar dapat dikatakan dimulai dengan studi timbal balik dan [[akar persatuan|siklotomi]], tetapi benar-benar muncul dengan perkembangan [[aljabar abstrak]] dan cita-cita awal; Lihat di bawah. Titik awal konvensional untuk teori bilangan analitik adalah [[Teorema Dirichlet tentang progresi aritmatika]] (1837),{{sfn|Apostol|1976|p=7}} {{sfn|Davenport|Montgomery|2000|p=1}} yang buktinya memperkenalkan [[L-functions]] dan melibatkan beberapa analisis asimtotik dan proses pembatas pada variabel nyata.<!--<ref>See the proof in {{harvnb|Davenport|Montgomery|2000|loc=section 1}}</ref> The first use of analytic ideas in number theory actually
goes back to Euler (1730s),{{sfn|Iwaniec|Kowalski|2004|p=1}} {{sfn|Varadarajan|2006|loc=sections 2.5, 3.1 and 6.1}} who used formal power series and non-rigorous (or implicit) limiting arguments. The use of ''complex'' analysis in number theory comes later: the work of [[Bernhard Riemann]] (1859) on the [[Riemann zeta function|zeta function]] is the canonical starting point;{{sfn|Granville|2008|pp=322–48}} [[Jacobi's four-square theorem]] (1839), which predates it, belongs to an initially different strand that has by now taken a leading role in analytic number theory ([[modular form]]s).<ref>See the comment on the importance of modularity in {{harvnb|Iwaniec|Kowalski|2004|p=1}}</ref>

The history of each subfield is briefly addressed in its own section below; see the main article of each subfield for fuller treatments. Many of the most interesting questions in each area remain open and are being actively worked on.-->

==Bagian divisi utama==
===Teori bilangan dasar===
Istilah ''[[bukti dasar|elemen dasar]]'' biasanya menampakkan metode yang bukan menggunakan [[analisis kompleks]]. Misalnya, [[teorema bilangan prima]] pertama kali dibuktikan menggunakan analisis kompleks pada tahun 1896, tetapi bukti dasar baru ditemukan pada tahun 1949 oleh [[Paul Erdős|Erdős]] dan [[Atle Selberg|Selberg]].{{sfn|Goldfeld|2003}} Istilah ini sedikit ambigu: misal, bukti berdasarkan [[teorema Tauberian]] kompleks (misalnya, [[teorema Wiener–Ikehara|Wiener–Ikehara]]) merupakan pencerahan yang tidak cukup mendasar meskipun menggunakan [[analisis Fourier]], dibandingkan analisis kompleks seperti itu. Ini seperti penempatan berbeda, bukti "dasar" mungkin lebih panjang dan lebih sulit bagi sebagian besar pembaca dibanding bukti non-dasar.

[[Berkas:Paul Erdos with Terence Tao.jpg|thumb|270px|Ahli teori bilangan [[Paul Erdős]] dan [[Terence Tao]] pada tahun 1985, ketika Erdős berusia 72 tahun dan Tao berusia 10 tahun.]]

Teori bilangan memiliki reputasi sebagai bidang yang banyak hasilnya pula bisa dinyatakan kepada orang awam. Pada saat yang sama, bukti dari hasil ini tidak dapat diakses secara khusus, sebagian karena jangkauan alat yang mereka gunakan, jika ada maka sangat luas dalam matematika.<ref>Lihat, contohnya, di komentar awal {{harvnb|Iwaniec|Kowalski|2004|p=1}}.</ref>

===Teori bilangan analitik===
{{main|Teori bilangan analitik}}

[[Gambar:Complex zeta.jpg|right|thumb|[[Fungsi Riemann zeta]] ζ(''s'') dalam [[bidang kompleks]]. Warna titik ''s'' memberikan nilai ζ(''s''): warna gelap menunjukkan nilai mendekati nol dan rona memberikan nilai [[Argumen (analisis kompleks)|argumen]].]]
[[Berkas:ModularGroup-FundamentalDomain.svg|thumb|Aksi daru [[grup modular]] pada [[medan setengah atas]]. Bagian berwarna abu-abu adalah standar [[domain dasar]].]]

''Teori bilangan analitik'' bisa didefinisikan:

* Dalam hal beberapa alatnya, sebagai studi tentang bilangan bulat melalui alat dari [[Analisis riil|riil]] dan analisis [[Analisis kompleks|kompleks]];{{sfn|Apostol|1976|p=7}}
* Dalam hal keprihatinannya, sebagai studi dalam teori bilangan perkiraan ukuran dan kepadatan, sebagai lawan dari identitas.<ref>{{harvnb|Granville|2008|loc=section 1}}: "Perbedaan utamanya adalah bahwa dalam teori bilangan aljabar [...] hanya beberapa biasanya mempertimbangkan pertanyaan dengan jawaban yang diberikan oleh rumus eksak, sedangkan dalam teori bilangan analitik [...] beberapa mencari ''hampiran baik''."</ref>

Beberapa subjek umumnya menganggap sebagai bagian dari teori bilangan analitik, misalnya, [[teori tapis]],<ref group="note">Tokoh teori tapis sebagai salah satu bagian bidang utama teori bilangan analitik dalam banyak perlakuan standar; misalnya, {{harvnb|Iwaniec|Kowalski|2004}} atau {{harvnb|Montgomery|Vaughan|2007}}</ref> lebih baik dicakup oleh definisi kedua dibanding definisi pertama: beberapa teori tapis, misalnya, menggunakan sedikit analisis,<ref group="note">Ini adalah kasus untuk tapis kecil (khususnya, beberapa tapis kombinatorial seperti [[tapis Brun]]) dibanding untuk [[tapis besar]]; studi yang terakhir sekarang mencakup gagasan dari [[Analisis harmonik|harmonik]] dan [[analisis fungsional]].</ref> namun itu dimiliki teori bilangan analitik.

Berikut ini adalah contoh soal dalam teori bilangan analitik: [[teorema bilangan prima]], [[konjektur Goldbach]] (atau [[konjektur bilangan prima kembar]], atau [[konjektur Hardy–Littlewood]]), [[masalah Waring]] dan [[hipotesis Riemann]]. Beberapa alat paling penting dari teori bilangan analitik adalah [[metode lingkaran]], [[teori tapis|metode tapis]] dan [[fungsi-L]] (atau lebih tepatnya, mempelajari beberapa sifatnya). Teori [[bentuk modular]] (dan, secara umum, [[bentuk automorfik]]) juga menempati bagian yang semakin sentral dalam kotak peralatan teori bilangan analitik.<ref>Lihat komentar di pengantar {{harvnb|Iwaniec|Kowalski|2004|p=1}}: "Namun jauh lebih kuat ...".</ref>

Beberapa dapat mengajukan pertanyaan analitik tentang [[bilangan aljabar]], dan menggunakan sarana analitik untuk menjawab pertanyaan semacam itu; dengan demikian teori bilangan aljabar dan analitik irisan. Misalnya, seseorang bisa mendefinisikan [[ideal prima]] (generalisasi dari [[bilangan prima]] pada medan bilangan aljabar) dan menanyakan berapa banyak ideal prima yang ada hingga ukuran tertentu. Pertanyaan ini [[Teorema ideal prima Landau|bisa dijawab]] melalui pemeriksaan [[fungsi zeta Dedekind]], yang merupakan generalisasi dari [[fungsi Riemann zeta]], objek analitik kunci pada akar subjek.<ref>{{harvnb|Granville|2008|loc=section 3}}: "[Riemann] mendefinisikan apa yang sekarang kita sebut fungsi Riemann zeta [...] karya mendalam Riemann melahirkan subjek kita [...]"</ref> Ini adalah contoh prosedur umum dalam teori bilangan analitik: mendapatkan informasi tentang distribusi [[urutan]] (ideal prima atau bilangan prima) dari perilaku analitik dari fungsi bernilai kompleks yang dibangun dengan tepat.<ref>Lihat, contohnya, {{harvnb|Montgomery|Vaughan|2007}}, hal. 1.</ref>

==Lihat pula==
* [[Bidang fungsi aljabar]]
* [[Bidang terbatas]]
* [[Bilangan p-adic]]

==Catatan==
{{reflist|group=note|30em}}

==Referensi==
{{reflist}}

==Sumber==
<!-- Harap ingat untuk menyertakan |ref=harv dalam kutipan. Artikel ini menggunakan templat catatan kaki yang dipersingkat {{sfn}}, dalam hubungannya dengan referensi Harvard {{harv}} atau {{harvnb}} template. Ini semua menggunakan |ref=parameter harv di {{cite book}} templat untuk membuat banyak tautan otomatis di {{reflist}}. Lihat pembicaraan. -->

{{refbegin|30em}} <!--Small font-->
* {{cite book
|last=Apostol
|first=Tom M.
|author-link=Tom M. Apostol
|year=1976
|title=Introduction to analytic number theory
|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]
|publisher=Springer
|isbn=978-0-387-90163-3
|url=https://books.google.com/books?id=Il64dZELHEIC
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28}}
* {{cite journal
|last=Apostol
|first=Tom M.
|author-link=
|year=n.d.
|title=An Introduction to the Theory of Numbers
|series=(Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) 
|MR=0568909
|publisher=American Mathematical Society
|isbn=
|url=http://www.ams.org/mathscinet/
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28}} (Subscription needed)
* {{cite journal
|last=Becker
|first=Oskar
|year=1936
|author-link=Oskar Becker
|author2-link=
|language=German
|title=Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente
|journal=Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik
|series=Abteilung B:Studien
|volume=3
|pages=533–53
|isbn=
|url=
|ref=harv}}
* {{cite book
|last=Boyer
|first=Carl Benjamin
|last2=Merzbach
|first2=Uta C.
|author2-link=Uta Merzbach
|year=1991
|author-link=Carl Benjamin Boyer
|title=A History of Mathematics
|edition=2nd
|origyear=1968
|location=New York
|publisher=Wiley
|isbn=978-0-471-54397-8
|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye
|ref=harv
}} [https://archive.org/details/AHistoryOfMathematics 1968 edition] at archive.org
* {{cite book
|last1=Clark
|first1=Walter Eugene (trans.) <!--|last2=Aryabhata
|author2-link=Aryabhata-->
|year=1930
|title=The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An ancient Indian work on Mathematics and Astronomy
|publisher=University of Chicago Press
|url=https://archive.org/details/The_Aryabhatiya_of_Aryabhata_Clark_1930
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28}}
* {{cite book
|last=Colebrooke
|first=Henry Thomas
|year=1817
|author-link=Henry Thomas Colebrooke
|title=Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara.
|location=London
|publisher=J. Murray
|url=https://archive.org/details/algebrawitharith00brahuoft
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28}}
* {{cite book
|last=Davenport
|first=Harold
|author-link=Harold Davenport
|year=2000
|last2=Montgomery
|first2=Hugh L.
|author2-link=Hugh Montgomery (mathematician)
|title=Multiplicative Number Theory
|edition=revised 3rd
|series=Graduate texts in mathematics
|volume=74
|location=
|publisher=Springer
|isbn=978-0-387-95097-6
|url=
|ref=harv}}
* {{cite journal
|last=Edwards
|first=Harold M.
|author-link=Harold Edwards (mathematician)
|date=November 1983
|title=Euler and Quadratic Reciprocity
|journal=Mathematics Magazine
|volume=56
|issue=5
|pages=285–91
|isbn=
|ref=harv
|jstor=2690368
|doi=10.2307/2690368}}
* {{cite book
|last=Edwards
|first=Harold M.
|year=2000
|origyear=1977
|title=Fermat's Last Theorem: a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory
|journal=
|edition=reprint of 1977
|series=Graduate Texts in Mathematics
|volume=50
|publisher=Springer Verlag
|isbn=978-0-387-95002-0
|url=https://books.google.com/books?id=_IxN-5PW8asC
|ref=harv}}
* {{cite book
|last=Fermat
|first=Pierre de
|year=1679
|authorlink=Pierre de Fermat
|language=French, Latin
|title=Varia Opera Mathematica
|location=Toulouse
|publisher=Joannis Pech
|url=https://archive.org/details/bub_gb_fvZaAAAAQAAJ
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28}}
* {{cite journal
|last=Friberg
|first=Jöran
|date=August 1981
|author-link=
|author2-link=
|title=Methods and Traditions of Babylonian Mathematics: Plimpton 322, Pythagorean Triples and the Babylonian Triangle Parameter Equations
|journal=Historia Mathematica
|volume=8
|issue=3
|isbn=
|pages=277–318
|ref=harv
|doi=10.1016/0315-0860(81)90069-0|doi-access=free
}}
* {{cite book
|last=von Fritz
|first=Kurt
|editor1-last=Christianidis
|editor1-first=J.
|year=2004
|chapter=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum
|title=Classics in the History of Greek Mathematics
|location=Berlin
|publisher=Kluwer (Springer)
|isbn=978-1-4020-0081-2
|ref=harv}}
* {{cite book
|last=Gauss
|ref={{harvid|Gauss, Disqu. Arith.||}}
|first=Carl Friedrich
|last2=Waterhouse
|first2=William C. (trans.)
|year=1966
|author-link=Carl Friedrich Gauss
|author2-link=
|title=Disquisitiones Arithmeticae
|origyear=1801
|location=
|publisher=Springer
|isbn=978-0-387-96254-2
|url=https://books.google.com/books?id=8LcK_CwzMpQC}}
* {{cite web
|last=Goldfeld
|first=Dorian M.
|authorlink=Dorian M. Goldfeld
|year=2003
|title=Elementary Proof of the Prime Number Theorem: a Historical Perspective
|url=http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28}}
* {{cite book
|last=Goldstein
|first=Catherine
|author-link=Catherine Goldstein
|last2=Schappacher
|first2=Norbert
|author2-link=
|year=2007
|editor1-last=Goldstein
|editor1-first=C.
|editor2-last=Schappacher
|editor2-first=N.
|editor3-last=Schwermer
|editor3-first=Joachim
|chapter=A book in search of a discipline
|title=The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's "Disquisitiones Arithmeticae"
|location=Berlin & Heidelberg
|publisher=Springer
|isbn=978-3-540-20441-1
|chapter-url=https://books.google.com/books?id=IUFTcOsMTysC
|pages=3–66
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28}}
* {{cite book
|last=Granville
|first=Andrew
|author-link=Andrew Granville
|year=2008
|editor1-last=Gowers
|editor1-first=Timothy
|editor1-link=Timothy Gowers
|editor2-last=Barrow-Green
|editor2-first=June
|editor3-last=Leader
|editor3-first=Imre
|editor3-link=Imre Leader
|chapter=Analytic number theory
|title=The Princeton Companion to Mathematics
|publisher=Princeton University Press
|isbn=978-0-691-11880-2
|chapter-url=https://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA332
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28|title-link=The Princeton Companion to Mathematics
}}
* {{cite book
|ref={{harvid|Guthrie|1920}}
|last2=Guthrie
|first2=K.S. (trans.)
|author2-link=Kenneth Sylvan Guthrie
|year=1920
|last1=Porphyry
|author1-link=Porphyry (philosopher)
|chapter=
|title=Life of Pythagoras
|location=Alpine, New Jersey
|publisher=Platonist Press
|url=http://www.tertullian.org/fathers/porphyry_life_of_pythagoras_02_text.htm}}
* {{cite book
|last=Guthrie
|first=Kenneth Sylvan
|year=1987
|author-link=Kenneth Sylvan Guthrie
|title=The Pythagorean Sourcebook and Library
|location=Grand Rapids, Michigan
|publisher=Phanes Press
|isbn=978-0-933999-51-0
|url=https://archive.org/details/pythagoreansourc0000guth
|ref=harv}}
* {{Cite book
| last1=Hardy
| first1=Godfrey Harold
| author1-link=G. H. Hardy
| last2=Wright
| first2=E.M.
| title=An Introduction to the Theory of Numbers
| origyear=1938
| url=
| publisher=[[Oxford University Press]]
| edition=Sixth
| isbn=978-0-19-921986-5
| mr=2445243
| year=2008
|ref=harv| title-link=An Introduction to the Theory of Numbers
}}
* {{cite book
|last=Heath
|first=Thomas L.
|year=1921
|authorlink=Thomas Little Heath
|title=A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid
|location=Oxford
|publisher=Clarendon Press
|url=https://archive.org/details/historyofgreekma01heat
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28}}
<!-- Alternative Info – Google limited preview
 |year=1981
 |publisher=Courier Dover Publications
 |url=https://books.google.com/books?id=drnY3Vjix3kC
 |isbn=0-486-24073-8, 9780486240732 -->
* {{cite book
|ref=harv
|last=Hopkins
|first=J.F.P.
|editor1-last=Young
|editor1-first=M.J.L.
|editor2-last=Latham
|editor2-first=J.D.
|editor3-last=Serjeant
|editor3-first=R.B.
|year=1990
|author-link=
|author2-link=
|chapter=Geographical and Navigational Literature
|title=Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period
|url=https://archive.org/details/religionlearning0000unse_j2v2
|series=The Cambridge history of Arabic literature
|publisher=Cambridge University Press
|isbn=978-0-521-32763-3}}
* {{cite web
|last=Huffman
|first=Carl A.
|editor1-last=Zalta
|editor1-first=Edward N.
|date=8 August 2011
|title=Pythagoras
|work=Stanford Encyclopaedia of Philosophy
|edition=Fall 2011
|url=http://plato.stanford.edu/archives/fall2011/entries/pythagoras/
|accessdate=7 February 2012
|ref=harv}}
* {{cite book
|last=Iwaniec
|first=Henryk
|author-link=Henryk Iwaniec
|last2=Kowalski
|first2=Emmanuel
|author2-link=
|year=2004
|title=Analytic Number Theory
|series=American Mathematical Society Colloquium Publications
|volume=53
|location=Providence, RI
|publisher=American Mathematical Society
|isbn=978-0-8218-3633-0
|url=
|ref=harv}}
* {{cite book
|ref={{harvid|Jowett|1871}}
|last2=Jowett
|first2=Benjamin (trans.)
|author2-link=Benjamin Jowett
|year=1871
|last1=Plato
|author1-link=Plato
|title=Theaetetus
|url=http://classics.mit.edu/Plato/theatu.html}}
* {{cite book
|last=Lam
|first=Lay Yong
|last2=Ang
|first2=Tian Se
|year=2004
|author-link=Lam Lay Yong
|author2-link=
|title=Fleeting Footsteps: Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China
|edition=revised
|location=Singapore
|publisher=World Scientific
|isbn=978-981-238-696-0
|url=https://books.google.com/books?id=fGYmpWE5UZgC
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28}}
* {{ cite book
|ref=harv
|last = Long
|first = Calvin T.
|year = 1972
|title = Elementary Introduction to Number Theory
|url=https://archive.org/details/elementaryintrod0000long_m1z0_2ndedi
|edition = 2nd
|publisher = [[D.C. Heath and Company]]
|location = Lexington, VA
|lccn = 77171950 }}
* {{cite book
|last=Mahoney
|first=M.S.
|year=1994
|author-link=
|title=The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665
|edition=Reprint, 2nd
|publisher=Princeton University Press
|isbn=978-0-691-03666-3
|url=https://books.google.com/books?id=My19IcewAnoC
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28}}
* {{cite web
|ref = harv <!-- {{sfn|Milne|2014|p=}} -->
|last=Milne
|first=J. S.
|author-link=James Milne (mathematician)
|date=18 March 2017
|issue=3.07
|title=Algebraic Number Theory
|url=https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ant.html
|accessdate=7 April 2020}}
* {{cite book
|last=Montgomery
|first=Hugh L.
|author-link=Hugh Montgomery (mathematician)
|year=2007
|last2=Vaughan
|first2=Robert C.
|author2-link=Bob Vaughan
|title=Multiplicative Number Theory: I, Classical Theory
|publisher=Cambridge University Press
|isbn=978-0-521-84903-6
|url=https://books.google.com/books?id=nGb1NADRWgcC
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28}}
* {{cite book
|ref={{harvid|Morrow|1992}}
|last=Morrow
|first=Glenn Raymond (trans., ed.)
|year=1992
|author-link=
|last2=Proclus
|author2-link=Proclus
|title=A Commentary on Book 1 of Euclid's Elements
|publisher=Princeton University Press
|isbn=978-0-691-02090-7
|url=https://books.google.com/books?id=JZEHj2fEmqAC&pg=PA52}}
* {{cite journal
|last=Mumford
|first=David
|title=Mathematics in India: reviewed by David Mumford
|journal=Notices of the American Mathematical Society
|date=March 2010
|volume=57
|issue=3
|page=387
|issn=1088-9477
|url=http://www.ams.org/notices/201003/rtx100300385p.pdf
|ref=harv}}
* {{cite book
|last=Neugebauer
|first=Otto E.
|year=1969
|author-link=Otto E. Neugebauer
|title=The Exact Sciences in Antiquity
|edition=corrected reprint of the 1957
|location=New York
|publisher=Dover Publications
|isbn=978-0-486-22332-2
|url=https://books.google.com/books?id=JVhTtVA2zr8C
|ref=harv
|accessdate=2016-03-02}}
* {{cite book
|ref={{harvid|Neugebauer & Sachs|1945}}
|last=Neugebauer
|first=Otto E.
|last2=Sachs
|first2=Abraham Joseph
|last3=Götze
|first3= Albrecht
|year=1945
|author-link=Otto E. Neugebauer
|author2-link=Abraham Sachs
|title=Mathematical Cuneiform Texts
|series=American Oriental Series
|volume=29
|location=
|publisher=American Oriental Society etc.
|isbn=
|url=}}
* {{cite web
|last=O'Grady
|first=Patricia
|date=September 2004
|title=Thales of Miletus
|url=http://www.iep.utm.edu/thales/
|publisher=The Internet Encyclopaedia of Philosophy
|ref=harv
|accessdate=7 February 2012}}
* {{cite journal
|ref={{harvid|Pingree|1968}}
|last=Pingree
|first=David
|last2=Ya'qub
|first2=ibn Tariq
|author1-link=David Pingree
|author2-link=Yaʿqūb ibn Ṭāriq
|year=1968
|title=The Fragments of the Works of Ya'qub ibn Tariq
|journal=Journal of Near Eastern Studies
|volume=26
|isbn=
|url=}}
* {{cite journal
|ref={{harvid|Pingree|1970}}
|last=Pingree
|first=D.
|last2=al-Fazari
|year=1970
|author-link=
|author2-link=al-Fazari
|title=The Fragments of the Works of al-Fazari
|journal=Journal of Near Eastern Studies
|volume=28
|isbn=
|url=}}
* {{cite book
|last=Plofker
|first=Kim
|year=2008
|title=Mathematics in India
|publisher=Princeton University Press
|isbn=978-0-691-12067-6
|ref=harv}}
* {{cite book
|editor1-last=Qian
|editor1-first=Baocong
|year=1963
|language=Chinese
|title=Suanjing shi shu (Ten Mathematical Classics)
|location=Beijing
|publisher=Zhonghua shuju
|isbn=
|url=https://www.scribd.com/doc/53797787/Jigu-Suanjing%E3%80%80%E7%B7%9D%E5%8F%A4%E7%AE%97%E7%B6%93-Qian-Baocong-%E9%8C%A2%E5%AF%B6%E7%90%AE
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28}}
* {{cite journal
|last=Rashed
|first=Roshdi
|year=1980
|author-link=
|author2-link=
|chapter=
|title=Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson
|journal=Archive for History of Exact Sciences
|volume=22
|issue=4
|pages=305–21
|doi=10.1007/BF00717654
|ref=harv}}
* {{cite journal
|last=Robson
|first=Eleanor
|year=2001
|title=Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a Reassessment of Plimpton 322
|volume=28
|journal=Historia Mathematica
|issue=3
|pages=167–206
|isbn=
|doi=10.1006/hmat.2001.2317
|url=http://www.hps.cam.ac.uk/people/robson/neither-sherlock.pdf
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20141021070742/http://www.hps.cam.ac.uk/people/robson/neither-sherlock.pdf
|archivedate=2014-10-21
|ref=harv}}
* {{cite book
|last=Sachau
|first=Eduard
|author-link=Eduard Sachau
|last2=Bīrūni
|first2=̄Muḥammad ibn Aḥmad
|author2-link= Abū Rayḥān al-Bīrūnī
|year=1888
|title=Alberuni's India: An Account of the Religion, Philosophy, Literature, Geography, Chronology, Astronomy and Astrology of India, Vol. 1
|location=London
|publisher=Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co.
|url=http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/lookupname?key=Sachau%2C%20Eduard%2C%201845-1930
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28}}
* {{cite book
|last=Serre
|first=Jean-Pierre
|year=1996
|origyear=1973
|author-link=Jean-Pierre Serre
|author2-link=
|title=A Course in Arithmetic
|series=Graduate texts in mathematics
|volume=7
|publisher=Springer
|isbn=978-0-387-90040-7
|url=https://archive.org/details/courseinarithmet00serr
|ref=harv
}}
* {{cite book
|last=Smith
|first=D.E.
|author-link=
|year=1958
|title=History of Mathematics, Vol I
|location=New York
|publisher=Dover Publications
|isbn=
|url=
|ref=harv}}
* {{cite book
|ref={{harvid|Tannery|Henry|1891}}
|last=Tannery
|first=Paul
|author1-link=Paul Tannery
|last2=Henry
|first2=Charles (eds.)
|author2-link=Charles Henry (librarian)
|year=1891
|last3=Fermat
|first3=Pierre de
|author3-link=Pierre de Fermat
|language=French, Latin
|chapter=
|title=Oeuvres de Fermat
|series=(4 Vols.)
|volume=
|location=Paris
|publisher=Imprimerie Gauthier-Villars et Fils
|url=https://archive.org/details/oeuvresdefermat01ferm}} [https://archive.org/details/oeuvresdefermat01ferm Volume 1] [https://archive.org/details/oeuvresdefermat02ferm Volume 2] [https://archive.org/details/oeuvresdefermat03ferm Volume 3] [https://archive.org/details/oeuvresdefermat04ferm Volume 4 (1912)]
* {{cite book
|ref={{harvid|Taylor|1818}}
|last2=Taylor
|first2=Thomas (trans.)
|author2-link=Thomas Taylor (neoplatonist)
|year=1818
|author1=Iamblichus
|author1-link=Iamblichus
|title=Life of Pythagoras or, Pythagoric Life
|location=London
|publisher=J.M. Watkins
|url=http://www.aurumsolis.info/index.php?option=com_phocadownload&view=category&download=1%3Aiamblichus-the-pythagorean-life&id=19%3Awritings-from-the-founders&Itemid=143&lang=en
|url-status=bot: unknown
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110721184914/http://www.aurumsolis.info/index.php?option=com_phocadownload&view=category&download=1%3Aiamblichus-the-pythagorean-life&id=19%3Awritings-from-the-founders&Itemid=143&lang=en
|archivedate=2011-07-21
}} For other editions, see [[Iamblichus#List of editions and translations]]
* {{cite book
|last=Truesdell
|first=C.A.
|author-link=Clifford Truesdell
|year=1984
|author2-link=
|editor1-last=Hewlett
|editor1-first=John (trans.)
|editor1-link=
|chapter=Leonard Euler, Supreme Geometer
|title=Leonard Euler, Elements of Algebra
|series=
|edition=reprint of 1840 5th
|volume=
|issue=
|location=New York
|publisher=Springer-Verlag
|isbn=978-0-387-96014-2
|chapter-url=https://books.google.com/books?id=mkOhy6v7kIsC
|ref=harv}} This Google books preview of ''Elements of algebra'' lacks Truesdell's intro, which is reprinted (slightly abridged) in the following book:
* {{cite book
|last=Truesdell
|first=C.A.
|author-link=Clifford Truesdell
|year=2007
|author2-link=
|editor1-last=Dunham
|editor1-first=William
|editor1-link=
|chapter=Leonard Euler, Supreme Geometer
|title=The Genius of Euler: reflections on his life and work
|series=Volume 2 of MAA tercentenary Euler celebration
|location=New York
|publisher=Mathematical Association of America
|isbn=978-0-88385-558-4
|chapter-url=https://books.google.com/books?id=M4-zUnrSxNoC
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28}}
* {{cite book
|last=Varadarajan
|first=V.S.
|author-link=
|year=2006
|title=Euler Through Time: A New Look at Old Themes
|location=
|publisher=American Mathematical Society
|isbn=978-0-8218-3580-7
|url=https://books.google.com/books?id=CYyKTREGYd0C
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28}}
* {{cite journal
|last=Vardi
|first=Ilan
|title=Archimedes' Cattle Problem
|date=April 1998
|journal=American Mathematical Monthly
|volume=105
|issue=4
|pages=305–19
|isbn=
|url=https://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/Cattle/cattle_vardi.pdf
|ref=harv
|doi=10.2307/2589706|jstor=2589706
|citeseerx=10.1.1.383.545
}}
* {{cite book
|ref={{harvid|van der Waerden|1961}}
|last=van der Waerden
|first=Bartel L.
|last2=Dresden
|first2=Arnold (trans)
|year=1961
|author-link=Bartel Leendert van der Waerden
|author2-link=
|title=Science Awakening
|volume=Vol. 1 or Vol 2
|location=New York
|publisher=Oxford University Press
|isbn=
|url=}}
<!-- Alternative Google books limited preview
url=https://books.google.com/books?id=S_T6Pt2qZ5YC&
Translated by Peter Huber
Publisher Springer, 1974
{{isbn|90-01-93103-0}}, {{isbn|978-90-01-93103-2}} -->
* {{cite book
|last=Weil
|first=André
|year=1984
|author-link=André Weil
|title=Number Theory: an Approach Through History – from Hammurapi to Legendre
|location=Boston
|publisher=Birkhäuser
|isbn=978-0-8176-3141-3
|url=https://books.google.com/books?id=XSV0hDFj3loC
|ref=harv
|accessdate=2016-02-28}}
{{refend}}
* {{Citizendium}}

==Pranala luar==
{{Wikiquote}}
* {{Commonscatinline}}
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Number_theory Number Theory] entry in the [[Encyclopedia of Mathematics]]
* [http://www.numbertheory.org/ Number Theory Web]

{{Teori bilangan |diperluas}}
{{Bidang matematika}}
{{Ilmu Komputer}}
{{Kontrol otoritas}}

{{Bidang matematika}}

<references />

[[Kategori:Number theory| ]]
[[Kategori:Teori bilangan| ]]