Lihat sumber Teori Galois

{{short description|Hubungan matematis antara teori medan dan teori grup}}
[[Berkas:Lattice diagram of Q adjoin the positive square roots of 2 and 3, its subfields, and Galois groups.svg|alt=Kisi subkelompok dan subbidang menunjukkan kelompok Galois yang sesuai.|thumb|400x400px|Diagram kisi dari {{math|'''Q'''}} berdampingan dengan akar kuadrat positif dari 2 dan 3, sub-bidangnya, dan kelompok Galois.]]
Dalam [[matematika]], '''Teori Galois''' menyediakan hubungan antara [[medan (matematika)|teori medan]] dan [[teori grup]]. Konjektur menggunakan teori Galois, masalah-masalah tertentu dalam teori medan dapat direduksi menjadi teori grup, yang dalam arti tertentu lebih sederhana dan lebih dipahami. Ini telah digunakan untuk memecahkan masalah klasik termasuk menunjukkan bahwa dua masalah kuno tidak dapat diselesaikan seperti yang dinyatakan ([[menggandakan kubus]] dan [[melipatgandakan sudut]]); menunjukkan bahwa tidak ada [[Fungsi kuintik|rumus kuintik]]; dan menunjukkan [[Poligon yang dibangun|poligon yang dapat dibangun]].

Subjek ini dinamai [[Évariste Galois]], yang memperkenalkannya untuk mempelajari [[akar dari suatu fungsi|akar]] dari [[polinomial]] dan mencirikan [[persamaan polinomial]] yang '''dipecahkan oleh radikal''' dalam hal sifat dari [[kelompok permutasi]] dari akarnya — sebuah persamaan adalah ''dapat diselesaikan oleh akar'' jika akarnya dapat diekspresikan dengan rumus yang hanya melibatkan [[bilangan bulat]], [[ekspresi radikal]], dan empat [[operasi aritmetika]] dasar.

Teori ini telah dipopulerkan di antara ahli matematika dan dikembangkan oleh [[Richard Dedekind]], [[Leopold Kronecker]], [[Emil Artin]], dan orang lain yang menafsirkan grup permutasi akar sebagai [[grup automorfisme]] dari [[ekstensi bidang]].

Teori Galois telah digeneralisasikan menjadi [[hubungan Galois]] dan [[teori Galois Grothendieck]].

== Penerapan pada masalah klasik ==

Kelahiran dan perkembangan teori Galois disebabkan oleh pertanyaan berikut, yang merupakan salah satu pertanyaan matematika terbuka utama hingga awal abad ke-19:

{{quote|Apakah ada rumus untuk akar persamaan polinomial derajat kelima (atau lebih tinggi) dalam hal koefisien polinomial, hanya menggunakan operasi aljabar biasa (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) dan penerapan akar (akar kuadrat, akar pangkat tiga, dll)?}}

[[Teorema Abel–Ruffini]] memberikan contoh berlawanan yang membuktikan bahwa ada persamaan polinomial yang rumus tersebut tidak dapat ada. Teori Galois memberikan jawaban yang jauh lebih lengkap untuk pertanyaan ini, dengan menjelaskan mengapa mungkin untuk menyelesaikan beberapa persamaan, termasuk semua persamaan derajat empat atau lebih rendah, dengan cara di atas, dan mengapa tidak mungkin untuk sebagian besar persamaan derajat lima atau lebih tinggi. Lebih jauh, ini menyediakan cara untuk menentukan apakah persamaan tertentu dapat diselesaikan yang jelas secara konseptual dan mudah diekspresikan sebagai [[algoritma]].

Teori Galois juga memberikan wawasan yang jelas tentang pertanyaan-pertanyaan tentang masalah dalam konstruksi [[kompas dan garis lurus]]. Ini memberikan karakterisasi elegan dari rasio panjang yang dapat dibangun dengan metode ini. Dengan menggunakan ini, menjadi relatif mudah untuk menjawab masalah klasik geometri seperti
#Yang [[poligon beraturan]] yang [[poligon yang dibangun|dapat dibangun]]?<ref name="Stewart"/>
#Mengapa tidak mungkin untuk [[Persilangan sudut|segitiga pada setiap sudut]] menggunakan [[Bentuk kompas-dan-garis lurus|kompas dan garis tegak lurus]]?<ref name="Stewart"/>
#Mengapa [[menggandakan kubus]] tidak mungkin dilakukan dengan metode yang sama?

== Sejarah ==
{{see also|Abstract algebra#Early group theory}}

=== Prasejarah ===
Teori Galois berasal dari studi tentang [[fungsi simetris]], koefisien dari sebuah [[polinomial monik]] adalah (sampai tanda) [[polinomial simetris elementer]] di akar. Misalnya, {{math|1=(''x'' – ''a'')(''x'' – ''b'') = ''x''<sup>2</sup> – (''a'' + ''b'')''x'' + ''ab''}}, dimana 1, {{math|''a'' + ''b''}} dan {{math|''ab''}} adalah polinomial dasar derajat 0, 1 dan 2 dalam dua variabel.

Ini pertama kali diresmikan oleh ahli matematika [[Prancis]] abad ke-16 [[François Viète]], dalam [[Rumus Viète]], untuk kasus akar nyata positif. Menurut pendapat matematikawan asal Inggris abad ke-18 [[Charles Hutton]],<ref>{{Harvnb|Funkhouser|1930}}</ref> ekspresi koefisien polinomial dalam hal akar (tidak hanya untuk akar positif) pertama kali dipahami oleh ahli matematika Prancis abad ke-17 [[Albert Girard]]; Hutton menulis: 
<blockquote>...[Girard adalah] orang pertama yang memahami doktrin umum pembentukan koefisien pangkat dari penjumlahan akar dan produknya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahkan pangkat dari akar persamaan apa pun.</blockquote>

Dalam urat ini, [[diskriminan]] adalah fungsi simetris dalam akar yang mencerminkan sifat-sifat akar, nilai nol [[jika dan hanya jika]] polinomial memiliki akar ganda, dan untuk polinomial kuadrat dan kubik bernilai positif jika dan hanya jika semua akar nyata dan berbeda, dan negatif jika dan hanya jika terdapat sepasang akar konjugasi kompleks yang berbeda. Lihat [[Diskriminan#Sifat dasar|Diskriminan:Sifat dasar]] untuk detailnya.

Kubik pertama kali sebagian diselesaikan oleh ahli matematika Italia abad ke-15-16 [[Scipione del Ferro]], yang tidak mempublikasikan hasilnya; metode ini, meskipun, hanya menyelesaikan satu jenis persamaan kubik. Solusi ini kemudian ditemukan kembali secara independen pada tahun 1535 oleh [[Niccolò Fontana Tartaglia]], yang membaginya dengan [[Gerolamo Cardano]], memintanya untuk tidak menerbitkannya. Cardano kemudian memperluas ini ke banyak kasus lain, dengan menggunakan argumen serupa; lihat detail selengkapnya di [[Metode kubik#Cardano.27s|Metode Cardano]]. Setelah penemuan karya del Ferro, ia merasa bahwa metode Tartaglia bukan lagi rahasia, dan karenanya ia menerbitkan solusinya pada tahun 1545. ''[[Ars Magna (Gerolamo Cardano)|Ars Magna]].''<ref>{{harvnb|Cardano|1545}}</ref> Muridnya [[Lodovico Ferrari]] memecahkan masalah polinomial kuartik; solusinya juga disertakan ''Ars Magna.'' Namun, dalam buku ini, Cardano tidak memberikan "rumus umum" untuk penyelesaian persamaan kubik, karena ia tidak memiliki [[bilangan kompleks]] yang tersedia, atau notasi aljabar untuk dapat menggambarkan persamaan kubik umum. Dengan keunggulan notasi modern dan bilangan kompleks, rumus-rumus dalam buku ini berfungsi dalam kasus umum, tapi Cardano tidak mengetahui hal ini. Adalah [[Rafael Bombelli]] yang berhasil memahami cara bekerja dengan bilangan kompleks untuk menyelesaikan semua bentuk persamaan kubik.

Langkah selanjutnya adalah kertas 1770 ''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'' oleh matematikawan Prancis-Italia [[Joseph Louis Lagrange]], dalam metode [[resolusi Lagrange]], di mana ia menganalisis solusi kubik dan kuartik Cardano dan Ferrari dengan mempertimbangkannya dalam istilah '' permutasi '' dari akar, yang menghasilkan polinomial tambahan dengan derajat yang lebih rendah, memberikan pemahaman terpadu tentang solusi dan meletakkan dasar untuk teori grup dan teori Galois. Yang terpenting, bagaimanapun, dia tidak mempertimbangkan '' komposisi '' permutasi. Metode Lagrange tidak meluas ke [[persamaan kuintik]] atau lebih tinggi, karena resolvent memiliki derajat yang lebih tinggi.

Quintic hampir terbukti tidak memiliki solusi umum oleh radikal oleh [[Paolo Ruffini]] pada tahun 1799, yang wawasan utamanya adalah menggunakan [[grup permutasi|permutasi '' grup '']], bukan hanya permutasi tunggal. Solusinya mengandung celah, yang dianggap Cauchy kecil, meskipun ini tidak ditambal sampai karya matematikawan Norwegia [[Niels Henrik Abel]], yang menerbitkan bukti pada tahun 1824, sehingga menetapkan [[Teorema Abel-Ruffini]].

Sementara Ruffini dan Abel menetapkan bahwa kuintik ''umum'' tidak dapat diselesaikan, beberapa quintics ''tertentu'' dapat dipecahkan, seperti {{math|''x''<sup>5</sup> - 1 {{=}} 0}}, dan kriteria yang tepat untuk menentukan polinomial kuintik '' yang diberikan '' atau lebih tinggi dapat dipecahkan atau tidak diberikan oleh [[Évariste Galois]], yang menunjukkan bahwa polinomial dapat dipecahkan atau tidak sama dengan apakah grup permutasi akarnya atau tidak dalam istilah modern, its [[Galois group]] memiliki struktur tertentu dalam istilah modern, apakah itu adalah [[kelompok yang dapat dipecahkan]]. Kelompok ini selalu dapat dipecahkan untuk polinomial dengan derajat empat atau kurang, tetapi tidak selalu demikian untuk polinomial derajat lima dan lebih besar, yang menjelaskan mengapa tidak ada solusi umum dalam derajat yang lebih tinggi.

=== Tulisan Galois ===
[[Berkas:Evariste Galois.jpg|alt=Évariste Galois|thumb|Potret Évariste Galois berusia sekitar 15]]
Pada tahun 1830 Galois (pada usia 18) mengirimkan ke [[Paris Academy of Sciences]] sebuah memoar tentang teorinya tentang solvabilitas oleh radikal; Makalah Galois akhirnya ditolak pada tahun 1831 karena terlalu samar dan untuk memberikan kondisi dalam hal akar persamaan, bukan koefisiennya. Galois kemudian tewas dalam duel pada tahun 1832, dan kertasnya, "''Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux''", tetap tidak diterbitkan sampai tahun 1846 ketika diterbitkan oleh [[Joseph Liouville]] disertai dengan beberapa penjelasannya sendiri.<ref name="Tignol2001">{{cite book|first=Jean-Pierre|last=Tignol|title=Galois' Theory of Algebraic Equations|url=https://archive.org/details/galoistheoryalge00tign_325|url-access=limited|year=2001|publisher=World Scientific|isbn=978-981-02-4541-2|pages=[https://archive.org/details/galoistheoryalge00tign_325/page/n242 232]–3, 302}}</ref> Prior to this publication, Liouville announced Galois' result to the Academy in a speech he gave on 4 July 1843.<ref>Stewart, 3rd ed., p. xxiii</ref> Menurut Allan Clark, karakterisasi Galois "secara dramatis menggantikan karya Abel dan Ruffini."<ref name="Clark1984">{{cite book|first=Allan|last=Clark|title=Elements of Abstract Algebra|year=1984|origyear=1971|publisher=Courier |isbn=978-0-486-14035-3|page=131}}</ref>

=== Akibat ===
Teori Galois sangat sulit dipahami oleh orang-orang sezamannya, terutama pada tingkat di mana mereka dapat mengembangkannya. Misalnya, dalam komentarnya tahun 1846, Liouville benar-benar melewatkan inti teori-grup dari metode Galois.<ref name="Wussing2007">{{cite book|first=Hans|last=Wussing|title=The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory|url=https://archive.org/details/genesisofabstrac0000wuss|year=2007|publisher=Courier |isbn=978-0-486-45868-7|page=[https://archive.org/details/genesisofabstrac0000wuss/page/118 118]}}</ref> [[Joseph Alfred Serret]] yang menghadiri beberapa ceramah Liouville, termasuk teori Galois dalam bukunya tahun 1866 (edisi ketiga) ''Cours d'algèbre supérieure''. Murid Serret, [[Camille Jordan]], memiliki pemahaman yang lebih baik yang tercermin dalam bukunya tahun 1870 ''Traité des substitutions et des équations algébriques''. Di luar Prancis, teori Galois tetap lebih tidak jelas untuk periode yang lebih lama. Di Inggris, [[Arthur Cayley|Cayley]] gagal untuk memahami kedalamannya dan buku teks aljabar Inggris yang populer bahkan tidak menyebutkan teori Galois sampai jauh setelah pergantian abad. Di Jerman, Tulisan Kronecker lebih berfokus pada hasil Abel. Dedekind menulis sedikit tentang teori Galois, tetapi memberi ceramah tentangnya di Göttingen pada tahun 1858, menunjukkan pemahaman yang sangat baik.<ref name="Scharlau1981">{{cite book |first=Winfried |last=Scharlau |first2=Ilse |last2=Dedekind |first3=Richard |last3=Dedekind |title=Richard Dedekind 1831–1981; eine Würdigung zu seinem 150. Geburtstag |publisher=Vieweg |location=Braunschweig |year=1981 |isbn=9783528084981 |url=http://www.gbv.de/dms/ilmenau/toc/023900512.PDF}}</ref> [[Buku Eugen Netto]] tahun 1880-an, berdasarkan '' Traité '' Jordan, membuat teori Galois dapat diakses oleh audiens Jerman dan Amerika yang lebih luas seperti halnya buku teks aljabar [[Heinrich Martin Weber]] tahun 1895.<ref name="GaloisNeumann2011">{{cite book|first=Évariste|last=Galois|first2=Peter M.|last2=Neumann|title=The Mathematical Writings of Évariste Galois|url=https://archive.org/details/mathematicalwrit00neum|year=2011|publisher=European Mathematical Society|isbn=978-3-03719-104-0|page=[https://archive.org/details/mathematicalwrit00neum/page/n10 10]}}</ref>

== Pendekatan kelompok permutasi terhadap teori Galois ==<!-- [[Grup Galois dari polinomial]] dialihkan ke sini-->

Diketahui polinomial, mungkin beberapa akar dihubungkan oleh berbagai [[persamaan aljabar]] s. Misalnya, mungkin untuk dua akar, katakanlah {{math|''A''}} dan {{math|''B''}}, bahwa {{math|1=''A''<sup>2</sup> + 5''B''<sup>3</sup> = 7}}. Ide utama dari teori Galois adalah untuk mempertimbangkan [[permutasi]] s (atau penataan ulang) dari akar sehingga persamaan aljabar ''apapun'' yang dipenuhi oleh akar adalah ''masih terpenuhi'' setelah akar. Awalnya, teori telah dikembangkan untuk persamaan aljabar yang koefisiennya adalah [[bilangan rasional]]. Ini meluas secara alami ke persamaan dengan koefisien dalam [[medan (matematika)|bidang]] apa pun, tetapi ini tidak akan dipertimbangkan dalam contoh sederhana di bawah ini.

Permutasi ini bersama-sama membentuk [[grup permutasi]], juga disebut [[grup Galois]] dari polinomial, yang secara eksplisit dijelaskan dalam contoh berikut.

=== Contoh pertama: persamaan kuadrat ===
Pertimbangkan [[persamaan kuadrat]]
:<math>x^2 - 4x + 1 = 0. </math>
Dengan menggunakan [[Persamaan kuadrat#Rumus kuadrat dan turunannya|rumus kuadrat]], kita menemukan bahwa kedua akar tersebut adalah
:<math>\begin{align}
A &= 2 + \sqrt{3},\\
B &= 2 - \sqrt{3}.
\end{align}</math>
Contoh persamaan aljabar dipenuhi oleh {{math|''A''}} dan {{math|''B''}} termasuk
:<math>A + B = 4, </math>
dan
:<math>AB = 1. </math>

Jika kita menukar {{math | '' A ''}} dan {{math | '' B ''}} di salah satu dari dua persamaan terakhir kita mendapatkan pernyataan benar lainnya. Misalnya persamaan {{math|''A'' + ''B'' {{=}} 4}} menjadi {{math|''B'' + ''A'' {{=}} 4}}. Lebih umum benar bahwa ini berlaku untuk '' setiap '' yang mungkin [[persamaan aljabar|hubungan aljabar]] antara {{math | '' A ''}} dan {{math | '' B ''}} sedemikian rupa sehingga semua [[koefisien]] adalah [[bilangan rasional]]; yaitu, dalam hubungan seperti itu, menukar {{math | '' A ''}} dan {{math | '' B ''}} menghasilkan relasi benar lainnya. Ini hasil dari teori [[polinomial simetris]], yang, dalam hal ini, dapat diganti dengan manipulasi rumus yang melibatkan [[teorema binomial]]. (Orang mungkin keberatan bahwa {{math | '' A ''}} dan {{math | '' B ''}} terkait dengan persamaan aljabar {{math|''A'' − ''B'' − 2{{sqrt|3}} {{=}} 0}}, yang tidak tetap benar saat {{math | '' A ''}} dan {{math | '' B ''}} dipertukarkan. Namun, hubungan ini tidak dipertimbangkan di sini, karena memiliki koefisien {{math|−2{{sqrt|3}}}} yang [[Kuadrat irasional#Akar kuadrat non-kuadrat tidak rasional|tidak rasional]].)
<!--
Kami menyimpulkan bahwa kelompok Galois dari polinomial {{math|''x''<sup>2</sup> − 4''x'' + 1}} terdiri dari dua permutasi: [[Permutasi#Permutasi khusus|identitas]] permutasi yang meninggalkan {{math|''A''}} and {{math|''B''}} untouched, and the [[transposition (mathematics)|transposition]] permutation which exchanges {{math|''A''}} and {{math|''B''}}. It is a [[cyclic group]] of order two, and therefore [[group isomorphism|isomorphic]] to {{math|'''Z'''/2'''Z'''}}.

A similar discussion applies to any quadratic polynomial {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}}, where {{math|''a''}}, {{math|''b''}} and {{math|''c''}} are rational numbers.
* If the polynomial has rational roots, for example {{math|''x''<sup>2</sup> − 4''x'' + 4 {{=}} (''x'' − 2)<sup>2</sup>}}, or {{math|''x''<sup>2</sup> − 3''x'' + 2 {{=}} (''x'' − 2)(''x'' − 1)}}, then the Galois group is trivial; that is, it contains only the identity permutation.
* If it has two [[irrational number|irrational]] roots, for example {{math|''x''<sup>2</sup> − 2}}, then the Galois group contains two permutations, just as in the above example.-->

=== Contoh kedua ===
Pertimbangkan polinomial
:<math>x^4 - 10x^2 + 1,</math>
yang juga bisa ditulis sebagai
:<math>\left(x^2 - 5\right)^2 - 24.</math>
Kami ingin mendeskripsikan kelompok Galois dari polinomial ini, sekali lagi dalam bidang [[bilangan rasional]]. Polinomial memiliki empat akar:
:<math>\begin{align}
A &= \sqrt{2} + \sqrt{3},\\
B &= \sqrt{2} - \sqrt{3},\\
C &= -\sqrt{2} + \sqrt{3},\\
D &= -\sqrt{2} - \sqrt{3}.
\end{align}</math>
Ada 24 kemungkinan cara untuk mengubah keempat akar ini, tetapi tidak semua permutasi ini adalah anggota grup Galois. Anggota kelompok Galois harus mempertahankan persamaan aljabar apa pun yang melibatkan koefisien rasional {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}} dan {{math|''D''}}.

Di antara persamaan ini, kami memiliki:
:<math>\begin{align}
AB&=-1 \\ AC&=1 \\ A+D&=0
\end{align}</math>

Oleh karena itu, jika {{math | '' φ ''}} adalah permutasi yang termasuk dalam grup Galois, kita harus memiliki:
:<math>\begin{align}
\varphi(B)&=\frac{-1}{\varphi(A)}, \\ \varphi(C)&=\frac{1}{\varphi(A)}, \\ \varphi(D)&=-\varphi(A).
\end{align}</math>
Ini menyiratkan bahwa permutasi ditentukan dengan baik oleh gambar {{math | '' A ''}}, dan bahwa grup Galois memiliki 4 elemen, yaitu:
:{{math|(''A'', ''B'', ''C'', ''D'') → (''A'', ''B'', ''C'', ''D'')}}
:{{math|(''A'', ''B'', ''C'', ''D'') → (''B'', ''A'', ''D'', ''C'')}}
:{{math|(''A'', ''B'', ''C'', ''D'') → (''C'', ''D'', ''A'', ''B'')}}
:{{math|(''A'', ''B'', ''C'', ''D'') → (''D'', ''C'', ''B'', ''A'')}}
Ini menyiratkan bahwa golongan Galois isomorfik dari [[grup empat Klein]].

== Lihat pula ==
* [[Grup Galois]] untuk lebih banyak contoh
* [[Teorema dasar teori Galois]]
*[[Teori Galois Diferensial]] untuk teori persamaan diferensial Galois
* [[Teori Galois Grothendieck]] untuk generalisasi yang luas dari teori Galois

== Catatan ==
{{reflist|refs=
<ref name="Stewart">{{cite book
 | first=Ian
 | last=Stewart
 | title =Galois Theory
 | url=https://archive.org/details/galoistheoryseco00unse
 | publisher=Chapman and Hall
 | year=1989
 | isbn=0-412-34550-1
 | authorlink=Ian Stewart (mathematician)
}}</ref>
}}

== Referensi ==
* {{cite book | first=Emil |last=Artin | title=Galois Theory | publisher=Dover | year=1998 | isbn=0-486-62342-4 | authorlink=Emil Artin |origyear=1944}}
* {{cite book | authorlink=Jörg Bewersdorff |last=Bewersdorff|first=Jörg | title=Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective| url=https://archive.org/details/galoistheoryforb0000bewe | publisher=American Mathematical Society | year=2006 | isbn=0-8218-3817-2|doi=10.1090/stml/035}}
* {{cite book|first=Gerolamo|last=Cardano|year=1545|title=Artis Magnæ|language=Latin|authorlink=Gerolamo Cardano|url=http://www.filosofia.unimi.it/cardano/testi/operaomnia/vol_4_s_4.pdf|ref=harv|access-date=2020-10-19|archive-date=2008-06-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20080626092254/http://www.filosofia.unimi.it/cardano/testi/operaomnia/vol_4_s_4.pdf|dead-url=yes}}
* {{cite book |first=Harold M. |last=Edwards |authorlink=Harold Edwards (mathematician) |title=Galois Theory |publisher=Springer-Verlag |year=1984 |isbn=0-387-90980-X |url-access=registration |url=https://archive.org/details/galoistheory00edwa_0 }} ''(Galois' original paper, with extensive background and commentary.)''
* {{cite journal| first= H. Gray | last=Funkhouser | authorlink = Howard G. Funkhouser | title=A short account of the history of symmetric functions of roots of equations | journal=American Mathematical Monthly | year=1930 | volume= 37 | issue=7 | pages=357–365 | doi=10.2307/2299273| ref= harv| jstor= 2299273 }}
* {{springer|title=Galois theory|id=p/g043160}}
* {{cite book | first=Nathan |last=Jacobson| title=Basic Algebra I |edition=2nd | publisher=W. H. Freeman | year=1985 | isbn=0-7167-1480-9 | authorlink=Nathan Jacobson}} ''(Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)''
* {{Cite book | last1=Janelidze | first1=G. | last2=Borceux | first2=Francis | title=Galois Theories | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-80309-0 | year=2001 | ref=harv }} (This book introduces the reader to the Galois theory  of [[Grothendieck]], and some generalisations, leading to Galois [[groupoids]].)
* {{Cite book | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Algebraic Number Theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94225-4 | year=1994 | ref=harv | postscript=<!--None-->}}
* {{cite book|first=M. M. |last=Postnikov | title=Foundations of Galois Theory | publisher=Dover Publications | year = 2004 | isbn=0-486-43518-0}}
* {{cite book|first=Joseph|last= Rotman | title =Galois Theory |edition=2nd | publisher=Springer| year=1998 | isbn=0-387-98541-7}}
* {{Cite book | last1=Völklein | first1=Helmut | title=Groups as Galois groups: an introduction | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-56280-5 | year=1996 | ref=harv | url-access=registration | url=https://archive.org/details/groupsasgaloisgr0000volk }}
* {{Cite book | last1=van der Waerden | first1=Bartel Leendert | author1-link=Bartel Leendert van der Waerden | title=Moderne Algebra |language= German |publisher=Springer | year=1931 | location=Berlin |ref=harv | postscript=<!--None-->}}.   '''English translation''' (of 2nd revised edition): {{Cite book | title = Modern Algebra | url = https://archive.org/details/modernalgebra02waer | url-access = registration | publisher=Frederick Ungar |location= New York |year= 1949}} ''(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)''

== Pranala luar ==
{{Wiktionary|Galois theory}}
{{Commons category}}

Beberapa tutorial online tentang teori Galois muncul di:

* http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070711112420/http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html |date=2007-07-11 }}
* http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1422
* http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html

Buku teks online dalam bahasa Prancis, Jerman, Italia, dan Inggris dapat ditemukan di:

* http://www.galois-group.net/

{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Teori Galois}}
[[Kategori:Teori Galois| ]]