Lihat sumber Teorema ekuipartisi

[[Berkas:Thermally Agitated Molecule.gif|jmpl|ka|266px|'''Gerak termal''' sebuah [[peptida]] heliks alfa. Gerak geletar ini bersifat acak dan kompleks, dan energi tiap-tiap atom dapat berfluktuasi dengan bebas. Walau demikian, teorema ekuipartisi memungkinkan kita untuk menghitung [[energi kinetik]] ''rata-rata'' tiap atom beserta energi potensial rata-rata mode vibrasinya. Bola kelabu, merah, dan biru mewakili atom [[karbon]], [[oksigen]], dan [[nitrogen]] secara berurutan. Bola putih mewakili atom [[hidrogen]].]]

Dalam [[mekanika statistika]] [[fisika klasik|klasik]], '''teorema ekuipartisi''' adalah sebuah rumusan umum yang merelasikan [[temperatur]] suatu sistem dengan [[energi]] rata-ratanya. Teorema ini juga dikenal sebagai '''hukum ekuipartisi''', '''ekuipartisi energi''', ataupun hanya '''ekuipartisi'''. Gagasan dasar teorema ekuipartisi adalah bahwa dalam keadaan [[kesetimbangan termal]], energi akan terdistribusikan secara merata ke semua bentuk-bentuk energi yang berbeda; contohnya [[energi kinetik]] rata-rata per derajat kebebasan pada gerak translasi sebuah molekul haruslah sama dengan gerak rotasinya.

Teorema ekuipartisi mampu memberikan prediksi-prediksi yang kuantitatif. Seperti pada [[teorema virial]], teorema ekuipartisi dapat memberikan hasil perhitungan energi kinetik dan energi potensial rata-rata total suatu sistem pada satu temperatur tertentu, yang darinya [[kapasitas kalor]] sistem dapat dihitung. Namun, teorema ekuipartisi juga memberikan nilai rata-rata komponen individual energi tersebut, misalnya energi kinetik suatu partikel ataupun energi potensial suatu dawai. Contohnya, teorema ini dapat memberikan prediksi bahwa setiap molekul dalam suatu [[gas ideal]] [[monoatomik]] memiliki energi kinetik rata-rata sebesar (3/2)''k''<sub>B</sub>''T'' dalam kesetimbangan termal, dengan ''k''<sub>B</sub> adalah [[tetapan Boltzmann]] dan ''T'' adalah [[temperatur]]. Secara umum, teorema ini dapat diterapkan ke semua sistem-sistem fisika klasik yang berada dalam [[kesetimbangan termal]] tak peduli seberapa rumitnya sekalipun sistem tersebut. Teorema ekuipartisi dapat digunakan untuk menurunkan [[hukum gas ideal]] dan [[hukum Dulong-Petit]] untuk kapasitas kalor jenis benda padat. Teorema ini juga dapat digunakan untuk memprediksi sifat dan ciri [[bintang]]-bintang, bahkan berlaku juga untuk [[katai putih]] dan [[bintang neutron]], karena teorema ini berlaku pula ketika efek-efek [[relativitas khusus|relativitas]] diperhitungkan.

Walaupun teorema ekuipartisi memberikan prediksi yang sangat akurat pada kondisi-kondisi tertentu, teorema ini menjadi tidak akurat ketika efek-efek [[fisika kuantum|kuantum]] menjadi signifikan, misalnya pada temperatur yang sangat rendah. Ketika [[energi termal]] ''k''<sub>B</sub>''T'' lebih kecil daripada perjarakan energi kuantum pada suatu [[derajat kebebasan]], energi rata-rata dan kapasitas kalor dari derajat kebebasan ini akan lebih kecil daripada nilai energi yang diprediksi oleh teorema ekuipartisi. Derajat kebebasan ini dikatakan menjadi "beku" ketika energi termal lebih kecil daripada perjarakan energi kuantum ini. Contohnya, kapasitas kalor suatu benda padat akan menurun pada temperatur rendah seiring dengan membekunya berbagai jenis gerak yang dimungkinkan. Hal ini berlawanan dengan prediksi teorema ekuipartisi yang memprediksikan nilai kapasitas kalor yang konstan. Fenomena menurunnya kapasitas kalor ini memberikan tanda awal bagi para fisikawan abad ke-19 bahwa fisika klasik tidaklah benar dan diperlukan model ilmiah baru yang lebih akurat dalam menjelaskan fenomena ini. Selain itu, teorema ekuipartisi juga gagal dalam memodelkan [[radiasi benda hitam]] (juga dikenal sebagai [[bencana ultraviolet]]). Hal ini mendorong [[Max Planck]] untuk mencetuskan gagasan bahwa energi yang dipancarkan oleh suatu objek terpancarkan dalam bentuk terkuantisasi. [[Hipotesis]] revolusioner ini kemudian memacu perkembangan [[mekanika kuantum]] dan [[teori medan kuantum]].

== Konsep dasar ==
{{See also|Energi kinetik|Kapasitas kalor}}
[[Berkas:MaxwellBoltzmann-en.svg|ka|jmpl|440px|Fungsi rapatan probabilitas kecepatan molekul dari empat [[gas mulia]] pada [[temperatur]] 298,15 [[Kelvin|K]] (25 [[Celsius|°C]]). Keempat gas mulia tersebut adalah [[helium]] (<sup>4</sup>He), [[neon]] (<sup>20</sup>Ne), [[argon]] (<sup>40</sup>Ar) dan [[xenon]] (<sup>132</sup>Xe). [[Analisis dimensi|Dimensi]] dari fungsi rapatan probabilitas adalah probabilitas dikali dengan kecepatan invers. Oleh karena probabilitas tidak berdimensi, maka fungsi ini dapat diekspresikan dalam satuan detik per meter (s/m).]]
Kata "ekuipartisi" berarti "terbagi secara merata". Kata ini diturunkan dari [[bahasa Latin]] æquus ("setara atau sama rata"), dan ''partitionem'' ("pembagian, porsi").<ref>{{cite web|url=http://www.etymonline.com/index.php?search=equi&searchmode=none|title=equi-|publisher=Online Etymology Dictionary|accessdate=2008-12-20}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.etymonline.com/index.php?search=Partition&searchmode=none|title=partition|publisher=Online Etymology Dictionary|accessdate=2008-12-20}}.</ref> Konsep awal ekuipartisi adalah bahwa [[energi kinetik]] total suatu sistem akan terdistribusikan secara merata ke semua bentuk-bentuk energinya (dilihat secara rata-rata), seketika sistem tersebut telah mencapai kesetimbangan termal. Teorema ekuipartisi juga memberikan prediksi kuantitatif bentuk-bentuk energi ini. Contohnya, teorema ini memprediksikan bahwa tiap atom [[gas mulia]] yang berada dalam kesetimbangan termal ''T'' memiliki energi kinetik translasi sebesar (3/2)''k''<sub>B</sub>''T'', dengan ''k''<sub>B</sub> adalah [[tetapan Boltzmann]]. Sebagai konsekuensinya, oleh karena energi kinetik sama dengan 1/2*mass*kecepatan^2, atom yang lebih berat seperti [[xenon]] akan memiliki kecepatan rata-rata yang lebih lambat daripada atom yang lebih ringan seperti [[helium]] pada temperatur yang sama. Gambar di samping menunjukkan [[distribusi Maxwell-Boltzmann]] kecepatan atom dari keempat gas mulia tersebut.

=== Energi translasi dan gas ideal ===
{{See also|Gas ideal}}
Energi kinetik suatu partikel bermassa ''m'' dan berkecepatan '''v''' adalah
:<math>
H_{\text{kin}} = \tfrac12 m |\mathbf{v}|^2 = \tfrac{1}{2} m\left( v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \right),
</math>

dengan ''v<sub>x</sub>'', ''v<sub>y</sub>'' dan ''v<sub>z</sub>'' adalah komponen Kartesius dari kecepatan '''v'''. Di sini, ''H'' adalah [[Hamiltonian]] dan digunakan sebagai simbol energi karena [[mekanika Hamiltonian|formalisme Hamiltonian]] memainkan peran pusat dalam perumusan umum teorema ekuipartisi.

Oleh karena energi kinetika bersifat kuadratis terhadap komponen-komponen kecepatan, berdasarkan prinsip kedistribusian merata (ekuipartisi), ketiga komponen ini akan memberikan kontribusi sebesar {{frac|1|2}}''k''<sub>B</sub>''T'' terhadap energi kinetik rata-rata pada kesetimbangan termal. Sehingga energi kinetik rata-rata partikelnya adalah (3/2)''k''<sub>B</sub>''T'', sebagaimana yang diberikan pada contoh gas mulia di atas.

Secara umumnya, pada gas ideal, total energinya hanya terdiri dari energi kinetik (translasional) berdasarkan asumsi bahwa partikel-partikel gas tersebut bergerak secara independen dari satu sama lainnya dan tidak memiliki derajat kebebasan internal. Teorema ekuipartisi memprediksikan bahwa energi total rata-rata suatu gas ideal berpartikel sejumlah ''N'' adalah (3/2)&nbsp;''N k''<sub>B</sub> ''T''.

Selanjutnya [[kapasitas kalor]] gas adalah (3/2)&nbsp;''N k''<sub>B</sub>, dan sehingganya kapasitas kalor satu [[mol]] partikel gas ideal tersebut adalah (3/2)''N''<sub>A</sub>''k''<sub>B</sub>&nbsp;= (3/2)''R'', dengan ''N''<sub>A</sub> adalah [[tetapan Avogadro]] dan ''R'' adalah [[tetapan gas]]. Oleh karena ''R'' ≈ 2 [[kalori|cal]]/([[mol]]·[[Kelvin|K]]), teorema ekuipartisi memprediksikan bahwa [[kapasitas kalor molar]] gas ideal adalah kira-kira 3&nbsp;cal/(mol·K). Prediksi ini telah berhasil dikonfirmasikan melalui eksperimen.<ref name="kundt_1876" />

Energi kinetik purata memungkinkan kita juga untuk menghitung [[kecepatan akar purata kuadrat]] ''v''<sub>rms</sub> dari partikel gas:
:<math>
v_{\text{rms}} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}},
</math>
dengan ''M''&nbsp;= ''N''<sub>A</sub>''m'' adalah massa satu mol partikel gas. Hasil turunan ini dapat diterapkan ke dalam [[hukum Graham]] mengenai [[efusi]].<ref>[http://www.nrc.gov/reading-rm/doc-collections/fact-sheets/enrichment.html Fact Sheet on Uranium Enrichment] U.S. Nuclear Regulatory Commission. Accessed 30 April 2007</ref>

=== Energi rotasi dan pergulingan molekul dalam larutan ===
{{See also|Kecepatan sudut|Difusi rotasional}}
Mirip dengan contoh di atas, molekul yang berotasi sesuai dengan [[prinsip momen inersia]] ''I''<sub>1</sub>, ''I''<sub>2</sub> dan ''I''<sub>3</sub> memiliki energi rotasi sebesar
:<math>
H_{\mathrm{rot}} = \tfrac{1}{2} ( I_{1} \omega_{1}^{2} + I_{2} \omega_{2}^{2} + I_{3} \omega_{3}^{2} ),
</math>
dengan ''ω''<sub>1</sub>, ''ω''<sub>2</sub>, dan ''ω''<sub>3</sub> adalah komponen [[kecepatan sudut]]. Dengan prinsip yang sama pada kasus translasi sebelumnya, teorema ekuipartisi mengharuskan bahwa dalam kesetimbangan termal, energi rotasi rata-rata tiap partikel adalah (3/2)''k''<sub>B</sub>''T''. Teorema ini juga memungkinkan kita menghitung kecepatan sudut rata-rata molekul.<ref name="pathria_1972" />

=== Energi potensial dan osilator harmonik ===
Teorema ekuipartisi juga berlaku kepada [[energi potensial]]. Contohnya pada [[osilator harmonik]] seperti [[dawai]] yang memiliki energi potensial kuadratik
:<math>
H_{\text{pot}} = \tfrac 12 a q^2,\,
</math>
dengan ''a'' menunjukkan kekakuan dawai dan ''q'' adalah penyimpangan dari kesetimbangan. Jika sistem berdimensi satu ini bermassa ''m'', maka energi kinetik ''H''-nya adalah
<!-- {{frac|1|2}}''mv''<sup>2</sup> = ''p''<sup>2</sup>/2''m'', -->
:<math>
H_{\text{kin}} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m},
</math>
dengan ''v'' dan ''p''&nbsp;= ''mv'' menunjukkan kecepatan dan momentum osilator. Dengan menggabungkan kedua persamaan di atas akan menghasilkan energi total<ref name="goldstein_1980" />

:<math>
H = H_{\text{kin}} + H_{\text{pot}} = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} a q^2.
</math>

Teorema ekuipartisi mengyiratkan bahwa pada kesetimbangan termal, osilator memiliki energi rata-rata
:<math>
\langle H \rangle = 
\langle H_{\text{kin}} \rangle + \langle H_{\text{pot}} \rangle = 
\tfrac{1}{2} k_B T + \tfrac{1}{2} k_B T = k_B T,
</math>

dengan tanda kurung <math>\left\langle \ldots \right\rangle</math> menunjukkan rata-rata dari nilai yang dikurungkan.<ref name="huang_1987" />

Hasil penurunan ini berlaku untuk segala jenis osilator harmonik, misalnya pada [[bandul]], molekul yang bergetar, maupun pada [[osilator elektronik]] pasif. Menggunakan teorema ekuipartisi, tiap-tiap osilator menerima energi total rata-rata ''k''<sub>B</sub>''T'' dan sehingganya berkonrtibusi sebesar ''k''<sub>B</sub> terhadap [[kapasitas kalor]] sistem tersebut. Hal ini kemudian dapat digunakan untuk menurunkan rumus [[derau Johnson–Nyquist]]<ref name="mandl_1971" >{{cite book|last = Mandl|first = F|year = 1971|title = Statistical Physics|url = https://archive.org/details/statisticalphysi00fman|publisher = John Wiley and Sons|pages = [https://archive.org/details/statisticalphysi00fman/page/213 213]–219|isbn = 0-471-56658-6}}</ref> dan [[hukum Dulong–Petit]] untuk kapasitas kalor benda padat.

[[Berkas:Vätskefas.png|bingkai|kiri|Atom-atom dalam sebuah kritsal dapat bergetar pada posisi kesetimbangannya dalam kekisi kristal tersebut. Getaran ini bertanggung jawab terhadap [[kapasitas kalor]] dari [[dielektrik]] kristal. Pada [[logam]], [[elektron]] juga berkontribusi terhadap kapasitas logam.]]

=== Kapasitas kalor jenis benda padat ===
Salah satu penerapan teorema ekuipartisi yang penting adalah untuk menurunkan kapasitas kalor jenis benda kristal padat. Tiap-tiap atom pada benda padat ini dapat berosilasi ke tiga arah secara bebas dan independen, sehingga padatan dapat dipandang sebagai sistem yang memiliki 3''N'' osilator harmonik sederhana, dengan ''N'' menunjukkan jumlah atom dalam kekisi kristal tersebut. Oleh karena tiap osilator harmonik memiliki energi rata-rata ''k''<sub>B</sub>''T'', energi total rata-rata padatan itu adalah sebesar 3''Nk''<sub>B</sub>''T'', dan kapasitas kalornya adalah 3''Nk''<sub>B</sub>.

Dengan mengambil nilai ''N'' sebagai [[tetapan Avogadro]] ''N''<sub>A</sub>, dan menggunakan hubungan ''R''&nbsp;= ''N''<sub>A</sub>''k''<sub>B</sub> antara [[tetapan gas]] ''R'' dengan tetapan Boltzmann ''k''<sub>B</sub>, hal ini akan menjelaskan [[hukum Dulong-Petit]] mengenai [[kapasitas kalor jenis]] benda padat, yang menyatakan bahwa kapasitas kalor jenis (per satuan massa) suatu benda padat berbanding terbalik terhadap [[bobot atom]]nya. Dalam versi modernya, kapasitas kalor molar suatu benda padat adalah ''3R''&nbsp;≈ 6&nbsp;cal/(mol·K).

Namun, hukum ini menjadi tidak akurat pada temperatur yang rendah. Hal ini disebabkan oleh efek-efek kuantum. Selain itu, hukum ini juga tidak konsisten dengan hukum ketiga termodinamika, yang menurutnya kapasitas kalor molar zat apapun haruslah menuju nilai nol seiring dengan temperatur sistem menuju [[nol mutlak]].<ref name="mandl_1971" /> Teori yang lebih akurat kemudian dikembangkan oleh [[Albert Einstein]] (1907) dan [[Peter Debye]] (1911) dengan memasukkan pertimbangan efek-efek kuantum.<ref name="pais_1982" />

=== Sedimentasi partikel ===
Energi potensial tidaklah selalu bersifat kuadratis. Teorema ekuipartisi menunjukkan bahwa jika derajat kebebasan ''x'' hanya berkontribusi sebesar ''x''<sup>s</sup> terhadap energinya, maka dalam kesetimbangan termal, rata-rata energi bagian tersebut adalah ''k''<sub>B</sub>''T''/''s''.

Contoh penerapan turunan ini misalnya pada [[sedimentasi]] partikel-partikel yang disebabkan oleh [[gravitasi]].<ref name="tolman_1918" /> [[Bir]] dapat menjadi kabur disebabkan oleh gumpalan [[protein]] yang [[hamburan Rayleigh|menghamburkan]] cahaya.<ref>{{cite journal |author=Miedl M, Garcia M, Bamforth C |title=Haze formation in model beer systems |journal=J. Agric. Food Chem. |volume=53 |issue=26 |pages=10161–5 |year=2005 |pmid=16366710 |doi=10.1021/jf0506941}}</ref> Lama kelamaan, gumpalan-gumpalan ini akan bergerak menuju dasar tabung oleh karena gravitasi. Walau demikian, partikel juga dapat berdifusi melawan gaya gravitasi dan seketika kesetimbangan antara keduanya tercapai, teorema ekuipartisi dapat digunakan untuk menentukan posisi rata-rata suatu gumpalan partikel tertentu yang bermassa apung ''m''<sub>b</sub>. Untuk sebuah botol bir yang tinggi botolnya tak terhingga, [[energi potensial]] gravitasi dirumuskan
:<math>
H^{\mathrm{grav}} = m_{\rm b} g z\,,
</math>

dengan ''z'' adalah ketinggian gumpalan protein dalam botol dan ''[[gravitasi Bumi|g]]'' adalah [[percepatan]] gravitasi. Oleh karena ''s''&nbsp;= 1, rata-rata energi potensial suatu gumpalan protein adalah sama dengan ''k''<sub>B</sub>''T''. Sehingganya, suatu gumpalan protein dengan massa apung 10&nbsp;[[Dalton (unit)|MDa]] (kira-kira sebesar [[virus]]) akan mengakibatkan kaburan dengan tinggi rata-rata sekitar 2&nbsp;cm pada kesetimbangan. Proses sedimentasi menuju kesetimbangan ini dapat dihitung menggunakan [[persamaan Mason-Weaver]].<ref name="mason_1924" >{{cite journal | last = Mason | first = M | coauthors = Weaver W | year = 1924 | title = The Settling of Small Particles in a Fluid | journal = [[Physical Review]] | volume = 23 | issue = 3 | pages = 412–426 | doi = 10.1103/PhysRev.23.412|bibcode = 1924PhRv...23..412M }}</ref>

== Perumusan umum teorema ekuipartisi ==
Bentuk paling umum teorema ekuipartisi menyatakan bahwa di bawah asumsi tertentu, pada suatu sistem fisik yang berfungsi energi [[Hamiltonian]] ''H'' dan berderajat kebebasan ''x'', persamaan ekuipartisi berikut akan berlaku pada kesetimbangan termal untuk semua indeks ''m'' dan ''n'':<ref name="pathria_1972" /><ref name="huang_1987" /><ref name="tolman_1918" >{{cite journal | last = Tolman | first = RC | authorlink = Richard C. Tolman | year = 1918 | title = A General Theory of Energy Partition with Applications to Quantum Theory | journal = [[Physical Review]] | volume = 11 | issue = 4 | pages = 261–275 | doi = 10.1103/PhysRev.11.261|bibcode = 1918PhRv...11..261T }}</ref>
:<math>\!
\Bigl\langle x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \Bigr\rangle = \delta_{mn} k_{B} T.
</math>

''δ<sub>mn</sub>'' di sini merupakan [[delta Kronecker]], yang nilainya sama dengan satu apabila ''m''&nbsp;= ''n'' atau nol apabila sebaliknya. Tanda kurung pererataan <math>\left\langle \ldots \right\rangle</math> diasumsikan sebagai [[rerata ensembel]] atas ruang fase ataupun, di bawah asumsi [[ergodisitas]], sebagai rata-rata waktu suatu sistem tunggal.

Teorema ekuipartisi umum ini berlaku baik pada [[ensembel mikrokanonis]],<ref name="huang_1987">{{cite book|last = Huang|first = K|authorlink = Kerson Huang|year = 1987|title = Statistical Mechanics|url = https://archive.org/details/statisticalmecha00huan_121|edition = 2nd|publisher = John Wiley and Sons|pages = [https://archive.org/details/statisticalmecha00huan_121/page/n148 136]–138|isbn = 0-471-81518-7}}</ref> yakni ketika energi total sistemnya adalah konstan, maupun pada [[ensembel kanonis]],<ref name="pathria_1972" >{{cite book|last = Pathria|first = RK|year = 1972|title = Statistical Mechanics|url = https://archive.org/details/statisticalmecha0000rkpa|publisher = Pergamon Press|pages = [https://archive.org/details/statisticalmecha0000rkpa/page/43 43]–48, 73–74|isbn = 0-08-016747-0}}</ref><ref name="tolman_1938" >{{cite book|last = Tolman|first = RC|authorlink = Richard C. Tolman|year = 1938|title = The Principles of Statistical Mechanics|publisher = Dover Publications|location = New York|pages = 93–98|isbn = 0-486-63896-0}}</ref> yakni ketika sistemnya tersambung kepada [[penangas kalor]] yang dapat bertukar energi.

Rumusan umum di atas setara dengan dua rumus berikut:
# <math>\Bigl\langle x_{n} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \Bigr\rangle = k_{B} T \quad \mbox{untuk semua } n</math>
# <math>\Bigl\langle x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \Bigr\rangle = 0 \quad \mbox{untuk semua } m \neq n.</math>

Apabila derajat kebebasan ''x<sub>n</sub>'' hanya memiliki suku kuadratis ''a<sub>n</sub>x<sub>n</sub>''<sup>2</sup> pada Hamiltonian ''H'', maka rumus pertama di atas mengimplikasikan
:<math>
k_{B} T = \Bigl\langle x_{n} \frac{\partial H}{\partial x_{n}}\Bigr\rangle = 2\langle a_n x_n^2 \rangle,
</math>
yang nilainya dua kali lebih besar daripada kontribusi yang diberikan oleh derajat kebebasan ini terhadap energi rata-rata <math>\langle H\rangle</math>. Sehingga teorema ekuipartisi untuk sistem yang memiliki energi kuadratis akan mudah diturunkan dari rumus umum di atas. Dengan argumen yang sama, apabila 2 digantikan dengan ''s'', rumus di atas berlaku untuk energi bentuk ''a<sub>n</sub>x<sub>n</sub><sup>s</sup>''.

Derajat kebebasan ''x<sub>n''</sup> adalah koordinat-koordinat dalam ruang sistem dan umumnya dibagi lagi ke dalam koordinat posisi rampatan ''g<sub>k</sub>'' dan koordinat momentum rampatan ''p<sub>k</sub>'', dengan ''p<sub>k</sub>'' adalah [[momentum konjugat]] terhadap ''q<sub>k</sub>''. Pada situasi ini, rumus pertama di atas berarti bahwa untuk semua ''k'',

:<math>
\Bigl\langle p_{k} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \Bigr\rangle =  \Bigl\langle q_{k} \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \Bigr\rangle = k_{\rm B} T.
</math>

Menggunakan persamaan [[mekanika Hamiltonian]],<ref name="goldstein_1980" >{{cite book|last = Goldstein|first = H|authorlink = Herbert Goldstein|year = 1980|title = Classical Mechanics|edition = 2nd.|publisher = Addison-Wesley|isbn = 0-201-02918-9}}</ref> rumus ini dapat juga ditulis sebagai
:<math>
\Bigl\langle p_{k} \frac{dq_{k}}{dt} \Bigr\rangle = -\Bigl\langle q_{k} \frac{dp_{k}}{dt} \Bigr\rangle = k_{\rm B} T.
</math>

Dengan cara yang sama, menggunakan rumus kedua

:<math>
\Bigl\langle q_{j} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \Bigr\rangle = \Bigl\langle p_{j} \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \Bigr\rangle = 0 
\quad \mbox{ untuk semua } \, j,k
</math>

dnm

:<math>
\Bigl\langle q_{j} \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \Bigr\rangle = 
\Bigl\langle p_{j} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \Bigr\rangle = 0 \quad \mbox{ untuk semua } \, j \neq k.
</math>

=== Hubungan dengan teorema virial ===
{{See also|Teorema virial|Koordinat rampat|Mekanika Hamiltonian}}
Teorema ekuipartisi umum adalah perpanjangan dari [[teorema virial]] (yang diajukan pada tahun 1870<ref>{{cite journal | last = Clausius | first = R | authorlink = Rudolf Clausius | year = 1870 | title = Ueber einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz | journal = Annalen der Physik | volume = 141 | pages = 124–130 | url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k152258}} {{de icon}}<br />{{cite journal | last = Clausius | first = RJE | authorlink = Rudolf Clausius | year = 1870 | title = On a Mechanical Theorem Applicable to Heat | journal = [[Philosophical Magazine]], Ser. 4 | volume = 40 | pages = 122–127}}</ref>), yang menyatakan bahwa

:<math>
\Bigl\langle \sum_{k} q_{k} \frac{\partial H}{\partial q_{k}} \Bigr\rangle = 
\Bigl\langle \sum_{k} p_{k} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \Bigr\rangle = 
\Bigl\langle \sum_{k} p_{k} \frac{dq_{k}}{dt} \Bigr\rangle = -\Bigl\langle \sum_{k} q_{k} \frac{dp_{k}}{dt} \Bigr\rangle,
</math>

dengan ''t'' adalah [[waktu]].<ref name="goldstein_1980" /> Perbedaan antara kedua teorema ini adalah teorema virial menghubungkan ''penjumlahan'' rata-rata energi total terhadap satu sama lainnya daripada rata-rata energi individual pada teorema ekuipartisi. Teorema virial juga tidak menghubungkan penjumlahan energi ini terhadap [[temperatur]] ''T''. Selain itu, penurunan teorema virial biasanya diekspresikan sebagai rata-rata energi terhadap waktu, sedangkan pada teorema ekuipartisi, penurunannya diekspresikan sebagai rata-rata energi terhadap [[ruang fase]].

== Penerapan teorema ekuipartisi ==
=== Hukum gas ideal ===
{{See also|Gas ideal|Hukum gas ideal}}
Teorema ekuipartisi dapat diterapkan untuk menurunkan rumus gas ideal. Berawal dari persamaan
:<math>
\begin{align}
\langle H^{\mathrm{kin}} \rangle &= \frac{1}{2m} \langle p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2} \rangle\\
&=  \frac{1}{2} \biggl(
\Bigl\langle p_{x} \frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial p_{x}} \Bigr\rangle + 
\Bigl\langle p_{y} \frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial p_{y}} \Bigr\rangle +
\Bigl\langle p_{z} \frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial p_{z}} \Bigr\rangle \biggr) = 
\frac{3}{2} k_{B} T
\end{align}
</math>
untuk menghitung rata-rata energi kinetik per partikel. Teorema ekuipartisi dapat digunakan untuk menurunkan [[hukum gas ideal]] dari mekanika klasik.<ref name="pathria_1972" /> Jika '''q''' = (''q<sub>x</sub>'', ''q<sub>y</sub>'', ''q<sub>z</sub>'') dan '''p''' = (''p<sub>x</sub>'', ''p<sub>y</sub>'', ''p<sub>z</sub>'') menandakan vektor letak dan momentum partikel gas, dan
'''F''' adalah resultan gaya pada partikel, maka
:<math>
\begin{align}
\langle \mathbf{q} \cdot \mathbf{F} \rangle &= \Bigl\langle q_{x} \frac{dp_{x}}{dt} \Bigr\rangle + 
\Bigl\langle q_{y} \frac{dp_{y}}{dt} \Bigr\rangle + 
\Bigl\langle q_{z} \frac{dp_{z}}{dt} \Bigr\rangle\\
&=-\Bigl\langle q_{x} \frac{\partial H}{\partial q_x} \Bigr\rangle -
\Bigl\langle q_{y} \frac{\partial H}{\partial q_y} \Bigr\rangle - 
\Bigl\langle q_{z} \frac{\partial H}{\partial q_z} \Bigr\rangle = -3k_{B} T,
\end{align}
</math>
di mana kesamaan pertama adalah [[hukum kedua Newton]], dan kesamaan kedua menggunakan [[persamaan Hamilton]] dan rumus ekuipartisi. Dengan mentotalkan seluruh sistem yang berpartikel ''N'' akan menghasilkan:
:<math>
3Nk_{B} T = - \biggl\langle \sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k} \biggr\rangle.
</math>

[[Berkas:Translational motion.gif|bingkai|ka|Energi kinetik partikel tertentu dapat saja berfluktuasi dengan bebas, namun teorema ekuipartisi memungkinkan kita untuk menghitung energi ''rata-rata'' keseluruhan partikel dalam sistem pada temperatur apapun. Teorema ini juga dapat digunakan untuk menurunkan [[hukum gas ideal]] yang menghubungkan [[tekanan]] gas dengan [[volume]] dan [[temperatur]]nya. (Lima partikel yang berwarna merah di atas digunakan untuk membantu pemantauan gerak partikel tersebut.)]]

Menurut [[hukum ketiga Newton]] dan asumsi bahwa [[gas ideal|gas berperilaku ideal]], resultan gaya yang bekerja pada suatu sistem bergas ideal akan bermuasal dari gaya yang diterapkan oleh dinding penampung gas. Gaya ini kemudian bermanifestasi sebagai tekanan gas ''P''. Sehingga

:<math>
-\biggl\langle\sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k}\biggr\rangle = P \oint_{\mathrm{permukaan}} \mathbf{q} \cdot \mathbf{dS},
</math>

dengan '''d''S''''' adalah luas infinitesimal permukaan dinding penampung. Oleh karena [[divergensi]] vektor letak '''q''' adalah
:<math>
\boldsymbol\nabla \cdot \mathbf{q} =
\frac{\partial q_{x}}{\partial q_{x}} + 
\frac{\partial q_{y}}{\partial q_{y}} + 
\frac{\partial q_{z}}{\partial q_{z}} = 3,
</math>

maka menutur [[teorema divergensi]]

:<math>
P \oint_{\mathrm{permukaan}} \mathbf{q} \cdot \mathbf{dS} = P \int_{\mathrm{volume}} \left( \boldsymbol\nabla \cdot \mathbf{q} \right) dV = 3PV,
</math>

dengan d''V'' adalah volume infinitesimal penampung dan ''V'' adalah total volume penampunga.

Dengan menggabungkan kedua persamaan ini akan didapatkan

:<math>
3Nk_{B} T = -\biggl\langle \sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k} \biggr\rangle = 3PV,
</math>

yang secara langsung memberikan persamaan [[gas ideal]] berpartikel ''N'':

:<math>
PV = Nk_{B} T = nRT,\,
</math>

dengan ''n''&nbsp;= ''N''/''N''<sub>A</sub> adalah jumlah mol gas dan ''R''&nbsp;= ''N''<sub>A</sub>''k''<sub>B</sub> adalah [[tetapan gas]]. Walaupun teorema ekuipartisi memberikan contoh penurunan hukum gas ideal yang simpel, hasil yang sama juga dapat diturunkan menggunakan metode alternatif seperti [[fungsi partisi]].<ref name="configint">L. Vu-Quoc, [http://clesm.mae.ufl.edu/wiki.pub/index.php/Configuration_integral_%28statistical_mechanics%29 Configuration integral (statistical mechanics)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120428193950/http://clesm.mae.ufl.edu/wiki.pub/index.php/Configuration_integral_%28statistical_mechanics%29 |date=2012-04-28 }}, 2008.</ref>

=== Gas diatomik ===
Sebuah partikel gas diatomik dapat dimodelkan sebagai dua massa ''m''<sub>1</sub> dan ''m''<sub>2</sub> yang dihubungkan oleh [[pegas]] dengan [[Hukum Hooke|konstanta Hooke]] ''a''. Pemodelan ini disebut sebagai ''pendekatan rotor tegar osilator harmonik''.<ref name="mcquarrie_2000c" >{{cite book|last = McQuarrie|first = DA|year = 2000|title = Statistical Mechanics|url = https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0|edition = revised 2nd|publisher = University Science Books|isbn = 978-1-891389-15-3|pages = [https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0/page/91 91]–128}}</ref> Sistem ini akan memiliki energi sebesar
:<math>
H = 
\frac{\left| \mathbf{p}_{1} \right|^{2}}{2m_{1}} + 
\frac{\left| \mathbf{p}_{2} \right|^{2}}{2m_{2}} + 
\frac{1}{2} a q^{2},
</math>

dengan '''p'''<sub>1</sub> dan '''p'''<sub>2</sub> adalah momentum dua atom dan ''q'' adalah deviasi jarak antar dua atom pada kesetimbangannya. Tiap derajat kebebasan energi ini bersifat kuadratik dan sehingganya haruslah berkontribusi sebesar {{frac|1|2}}''k''<sub>B</sub>''T'' terhadap energi rata-rata total dan {{frac|1|2}}''k''<sub>B</sub> terhadap kapasitas kalornya.
Sehingga kapasitas kalor gas bermolekul diatomik sebanyak ''N'' akan diprediksikan bernilai sebesar 7''N''·{{frac|1|2}}''k''<sub>B</sub> (momentum '''p'''<sub>1</sub> dan '''p'''<sub>2</sub> masing-masing berkontribusi sebanyak tiga derajat kebebasan dan ''q'' berkontribusi satu derajat kebebasan). Selanjutnya pula, kapasitas kalor satu mol molekul diatomik akan memiliki (7/2)''N''<sub>A</sub>''k''<sub>B</sub>&nbsp;= (7/2)''R'' dan sehingganya kapasitas kalor molarnya haruslah kira-kira 7&nbsp;cal/(mol·K). Namun nilai kapasitas kalor molar yang didapatkan dari hasil percobaan biasanya berkisar sebesar 5&nbsp;cal/(mol·K)<ref name="Wueller_1896" /> dan menurun menjadi 3&nbsp;cal/(mol·K) pada temperatur yang sangat rendah.<ref name="Eucken_1912" /> Ketidakcocokan antara hasil prediksi berdasarkan teorema ekuipartisi dengan nilai hasil percobaan ini tidak dapat dijelaskan menggunakan model molekul yang lebih kompleks oleh karena dengan menambahkan lebih banyak derajat kebebasan hanya akan ''meningkatkan'' kalor jenis yang diprediksi.<ref name="maxwell_1875" /> Ketidakcocokan ini kemudian menjadi bukti nyata diperlukannya perlakuan [[mekanika kuantum|teori kuantum]] untuk menyelesaikan masalah ini.

[[Berkas:Chandra-crab.jpg|jmpl|kiri|300px|Citra gabungan sinar-X dan optik [[Nebula Kepiting]]. Di tengah inti nebula ini terdapat [[bintang neutron]] yang berotasi dengan cepat. Bintang ini bermassa satu setengah kali lebih besar daripada [[Matahari]] namun hanya berukuran 25 km. Teorema ekuipartisi dapat digunakan untuk memprediksikan sifat-sifat bintang neutron seperti ini.]]

=== Gas ideal pada kondisi relativistik ekstrem ===
{{See also|Relativitas khusus|Katai putih|Bintang neutron}}
Teorema ekuipartisi yang digunakan di atas untuk menurunkan [[hukum gas ideal]] berdasarkan [[mekanika Newton]] klasik tidak dapat digunakan apabila [[relativitas khusus|efek-efek relativitas]] menjadi dominan dalam sistem yang dikaji, seperti misalnya [[katai putih]] dan [[bintang neutron]].<ref name="huang_1987" /> Oleh karenanya persamaan gas ideal harus dimodifikasi. Teorema ekuipartisi memungkinkan kita untuk dengan mudah menurunkan hukum gas ideal yang berlaku pada kondisi relativistik ekstrem.<ref name="pathria_1972" /> Pada kasus ini, energi kinetik suatu partikel tunggal adalah sebesar
:<math>
H_{\mathrm{kin}} \approx cp = c \sqrt{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}.
</math>

Dengan menurunkan ''H'' terhadap ''p<sub>x</sub>'' akan menghasilkan rumus

:<math>
p_{x} \frac{\partial H_{\mathrm{kin}}}{\partial p_{x}}  = c \frac{p_{x}^{2}}{\sqrt{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}}
</math>

Penurunan yang sama terhadap ''p<sub>y</sub>'' dan ''p<sub>z</sub>'' akan menghasilkan rumus yang sama dan dengan menambahkan ketiganya akan menghasilkan
:<math>
\begin{align}
\langle H_{\mathrm{kin}} \rangle
&= \biggl\langle c \frac{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}{\sqrt{p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}}}  \biggr\rangle\\
&= \Bigl\langle p_{x} \frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial p_{x}} \Bigr\rangle + 
\Bigl\langle p_{y} \frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial p_{y}} \Bigr\rangle + 
\Bigl\langle p_{z} \frac{\partial H^{\mathrm{kin}}}{\partial p_{z}} \Bigr\rangle\\
&= 3 k_{B} T
\end{align}
</math>

dengan kesamaan terakhir mengikuti rumus ekuipartisi. Sehingganya energi total rata-rata pada sistem gas relativistik ekstrem adalah dua kali lebih besar daripada energi total rata-rata gas non-relativistik. Untuk gas relativistik berpartikel ''N'', nilai energinya adalah 3&nbsp;''Nk''<sub>B</sub>''T''.

=== Gas non-ideal ===
{{Lihat pula|Ekspansi virial|Koefisien virial}}
Dalam kasus gas ideal, partikel-partikel gas diasumsikan hanya berinteraksi secara tumbukan. Teorema ekuipartisi dapat pula digunakan untuk menurunkan energi dan tekanan "gas non-ideal" yang partikel-partikelnya dapat berinteraksi melalui [[gaya konservatif|gaya-gaya konservatif]] yang potensial ''U''(''r'')-nya bergantung hanya pada jarak ''r'' antar partikel.<ref name="pathria_1972" /> Ini dapat dideskripsikan secara sederhana dengan pertama-tama menyempitkan fokus kita pada satu partikel tunggal gas dan melakukan pendekatan pada gas-gas lainnya menggunakan distribusi [[simetri bola]]. Kemudian, dengan menggunakan [[fungsi distribusi radial]] ''g''(''r'') sehingganya [[fungsi densitas probabilitas|rapatan probabilitas]] menemukan partikel lainnya dalam ruang lingkup ''r'' dari suatu partikel adalah sama dengan 4π''r''<sup>2</sup>''ρg''(''r''), dengan ''ρ''&nbsp;= ''N''/''V'' adalah rapatan rata-rata atau [[massa jenis]] rata-rata gas.<ref name="mcquarrie_2000b" >{{cite book|last = McQuarrie|first = DA|year = 2000|title = Statistical Mechanics|url = https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0|edition = revised 2nd|publisher = University Science Books|isbn = 978-1-891389-15-3|pages = [https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0/page/n271 254]–264}}</ref> Energi potensial rata-rata kemudian berhubungan dengan interaksi partikel tunggal tersebut dengan gas lainnya dan secara matematis diekspresikan sebagai
:<math>
\langle h_{\mathrm{pot}} \rangle = \int_{0}^{\infty} 4\pi r^{2} \rho U(r) g(r)\, dr.
</math>

Energi potensial rata-rata total gas oleh karenanya adalah <math> \langle H_{pot} \rangle = \tfrac12 N \langle h_{\mathrm{pot}} \rangle </math>, dengan ''N'' adalah jumlah partikel dalam gas dan faktor {{frac|1|2}} diperlukan karena penjumlahan keseluruhan partikel akan membuat interaksi antar partikel yang diperhitungkan dihitung dua kali.
Dengan menambahkan energi kinetik dan potensial, dan menerapakn teorema ekuipartisi, kita akan mendapatkan ''persamaan energi''

:<math>
H = 
\langle H_{\mathrm{kin}} \rangle + \langle H_{\mathrm{pot}} \rangle = 
\frac{3}{2} Nk_{B}T + 2\pi N \rho \int_{0}^{\infty} r^{2} U(r) g(r) \, dr.
</math>

Dengan cara yang sama,<ref name="pathria_1972" /> kita juga dapat menurunkan ''persamaan tekanan'' sebagai

:<math>
3Nk_{\rm B}T = 3PV + 2\pi N \rho \int_{0}^{\infty} r^{3} U'(r) g(r)\, dr.
</math>

=== Osilator anharmonik ===
{{See also|Osilator anharmonik}}
Osilator anharmonik (berbeda dengan osilator harmonik sederhana) memiliki energi potensial yang bukan kuadratis pada ekstensi ''q'' ([[koordinat kanonis|posisi umum]] yang mengukur penyimpangan sistem dari kesetimbangan). Osilator seperti ini dapat memberikan kita gambaran komplementer terhadap teorema ekuipartisi.<ref name="tolman_1927" >{{cite book|last = Tolman|first = RC|authorlink = Richard C. Tolman|year = 1927|title = Statistical Mechanics, with Applications to Physics and Chemistry|url = https://archive.org/details/statisticalmecha00tolm|publisher = Chemical Catalog Company|pages = [https://archive.org/details/statisticalmecha00tolm/page/76 76]–77}}</ref><ref name="terletskii_1971" >{{cite book|last = Terletskii|first = YP|year = 1971|title = Statistical Physics|edition = translated: N. Fröman|publisher = North-Holland|location = Amsterdam|isbn = 0-7204-0221-2|pages = 83–84|lccn = 70157006}}</ref> Contoh-contoh yang sederhana dapat diberikan menggunakan fungsi energi potensial berbentuk

:<math>
H_{\mathrm{pot}} = C q^{s},\,
</math>

dengan ''C'' dan ''s'' adalah tetapan [[bilangan real]] sembarang. Dalam hal ini, hukum ekuipartisi memprediksi bahwa

:<math>
k_{\rm B} T = \Bigl\langle q \frac{\partial H_{\mathrm{pot}}}{\partial q} \Bigr\rangle = 
\langle q \cdot s C q^{s-1} \rangle = \langle s C q^{s} \rangle = s \langle H_{\mathrm{pot}} \rangle.
</math>

Sehingga, energi potensial rata-rata sama dengan ''k''<sub>B</sub>''T''/''s'', dan bukannya ''k''<sub>B</sub>''T''/2 seperti yang ada pada osilator harmonik kuadratis (''s''&nbsp;= 2).

Lebih umumnya, suatu fungsi energi berdimensi satu memiliki [[ekpansi Taylor]] pada ekstensi ''q'':

:<math>
H_{\mathrm{pot}} = \sum_{n=2}^{\infty} C_{n} q^{n}
</math>
untuk bilangan [[integer]] non-negatif ''n''. Ketiadaan suku ''n''&nbsp;= 1 dikarenakan ketiadaan gaya resultan sehingga turunan pertama energinya adalah nol. Suku ''n''&nbsp;= 0 tidak perlu dimasukkan karena energi pada posisi kesetimbangan secara konvensi ditentukan sebagai nol. Dalam kasus ini, hukum ekuipartisi memprediksi bahwa<ref name="tolman_1927" />

:<math>
k_{B} T = \Bigl\langle q \frac{\partial H_{\mathrm{pot}}}{\partial q} \Bigr\rangle = 
\sum_{n=2}^{\infty} \langle q \cdot n C_{n} q^{n-1} \rangle = 
\sum_{n=2}^{\infty} n C_{n} \langle q^{n} \rangle.
</math>

Berlawanan dengan contoh-contoh lainnya, rumus ekuipartisi
:<math>
\langle H_{\mathrm{pot}} \rangle = \frac{1}{2} k_{\rm B} T - 
\sum_{n=3}^{\infty} \left( \frac{n - 2}{2} \right) C_{n} \langle q^{n} \rangle
</math>
tidak mengizinkan energi potensial rata-rata ditulis dalam tetapan-tetapan yang diketahui.

=== Gerak Brown ===
[[Berkas:Wiener process 3d.png|jmpl|ka|400px|Gerak Brown tipikal suatu partikel dalam tiga dimensi.]]
{{See also|Gerak Brown}}
Teorema ekuipartisi dapat digunakan untuk menurunkan [[gerak Brown]] suatu partikel dari [[persamaan Langevin]].<ref name="pathria_1972" /> Menurut persamaan Langevin, gerak suatu partikel bermassa ''m'' dan berkecepatan '''v''' ditentukan oleh [[Hukum gerak Newton|hukum Newton kedua]]

:<math>
\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{1}{m} \mathbf{F} = -\frac{\mathbf{v}}{\tau} + \frac{1}{m} \mathbf{F}_{\mathrm{rnd}},
</math>

dengan '''F''''<sub>rnd</sub> adalah gaya acak yang mewakili osilasi acak partikel dan molekul-molekul disekitarnya; [[tetapan waktu]] τ mewakili [[gaya seret]] yang melawan gerak partikel dalam larutan. Gaya seret sering ditulis sebagai '''F'''<sub>drag</sub>&nbsp;= −γ'''v'''; sehingga tetapan waktu τ sama dengan ''m''/γ.

Perkalian bintik (skalar) dari persamaan ini dengan vektor posisi '''r''', setelah dirata-ratakan akan menghasilkan persamaan

:<math>
\Bigl\langle \mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt} \Bigr\rangle + 
\frac{1}{\tau} \langle \mathbf{r} \cdot \mathbf{v} \rangle = 0
</math>

untuk gerak Brown (dikarenakan gaya acak '''F'''<sub>rnd</sub> tidak berkorelasi dengan posisi '''r'''). Dengan menggunakan identitas matematika

:<math>
\frac{d}{dt} \left( \mathbf{r} \cdot \mathbf{r} \right) = 
\frac{d}{dt} \left( r^{2} \right) = 2 \left( \mathbf{r} \cdot \mathbf{v} \right)
</math>

dan

:<math>
\frac{d}{dt} \left( \mathbf{r} \cdot \mathbf{v} \right) = v^{2} + \mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt},
</math>

persamaan dasar gerak Brown dapat ditransformasikan menjadi

:<math>
\frac{d^{2}}{dt^{2}} \langle r^{2} \rangle + \frac{1}{\tau} \frac{d}{dt} \langle r^{2} \rangle = 
2 \langle v^{2} \rangle = \frac{6}{m} k_{\rm B} T,
</math>

dengan kesamaan terakhir mengikuti teorema ekuipartisi untuk energi kintetik translasional:

:<math>
\langle H_{\mathrm{kin}} \rangle = \Bigl\langle \frac{p^{2}}{2m} \Bigr\rangle = \langle \tfrac{1}{2} m v^{2} \rangle = \tfrac{3}{2} k_{\rm B} T.
</math>

[[Persamaan diferensial]] di atas untuk <math>\langle r^2\rangle</math> (dengan kondisi-kondisi awal yang sesuai) dapat diselesaikan secara eksak:

:<math>
\langle r^{2} \rangle = \frac{6k_{\rm B} T \tau^{2}}{m} \left( e^{-t/\tau} - 1 + \frac{t}{\tau} \right).
</math>

Dalam skala waktu yang singkat, ''t''&nbsp;<< ''τ'', partikel berperilaku sebagai partikel yang bergerak bebas: berdasarkan [[deret Taylor]] [[fungsi eksponensial]], jarak kuadrat bertambah kira-kira ''kuadratis'':

:<math>
\langle r^{2} \rangle \approx \frac{3k_{\rm B} T}{m} t^{2} = \langle v^{2} \rangle t^{2}.
</math>

Namun dalam skala waktu yang panjang, ''t''&nbsp;>> ''τ'', suku konstan dan eksponensialnya menjadi dapat diabaikan, sehingga jarak kuadrat bertambah hanya secara ''linear'':

:<math>
\langle r^{2} \rangle \approx \frac{6k_{B} T\tau}{m} t = \frac{6 k_{B} T t}{\gamma}.
</math>

Hal ini menjelaskan [[difusi]] partikel seiring dengan berjalannya waktu.

=== Fisika bintang ===
{{See also|Astrofisika|Struktur bintang}}
Teorema ekuipartisi dan [[teorema virial]] yang berkaitan dengannya telah lama digunakan dalam bidang [[astrofisika]].<ref>{{cite book|last = Collins|first = GW|year = 1978|title = The Virial Theorem in Stellar Astrophysics|url = http://ads.harvard.edu/books/1978vtsa.book/|publisher = Pachart Press}}</ref> Sebagai contohnya, teorema virial dapat digunakan untuk memperkirakan temperatur bintang atau [[limit Chandrasekhar]] massa [[katai putih]].<ref>{{cite book|last = Chandrasekhar|first = S|authorlink = Subrahmanyan Chandrasekhar|year = 1939|title = An Introduction to the Study of Stellar Structure|publisher = University of Chicago Press|location = Chicago|pages = 49–53|isbn = 0-486-60413-6}}</ref><ref>{{cite book|last = Kourganoff|first = V|year = 1980|title = Introduction to Advanced Astrophysics|url = https://archive.org/details/introductiontoad0000kour|publisher = D. Reidel|location = Dordrecht, Holland|pages = [https://archive.org/details/introductiontoad0000kour/page/59 59]–60, 134–140, 181–184}}</ref>

Temperatur rata-rata suatu bintang dapat diperkirakan dari teorema ekuipartisi.<ref>{{cite book|last = Chiu|first = H-Y|year = 1968|title = Stellar Physics, volume I|publisher = Blaisdell Publishing|location = Waltham, MA|lccn = 6717990}}</ref> Karena kebanyakan bintang bersimetri bulat, total energi potensial gravitasionalnya dapat diperkirakan menggunakan pengintegralan

:<math>
H_{\mathrm{grav}} = -\int_0^R \frac{4\pi r^2 G}{r} M(r)\, \rho(r)\, dr,
</math>

dengan ''M''(''r'') adalah massa beradius ''r'' dan ''ρ''(''r'') adalah kepadatan bintang pada jari-jari ''r''; ''G'' mewakili [[tetapan gravitasi]] dan ''R'' adalah jari-jari total bintang. Dengan mengasumsikan bahwa kepadatan bintang konstan di segala jari-jari, pengintegralan ini menghasilkan rumus

:<math>
H_{\mathrm{grav}} = - \frac{3G M^{2}}{5R},
</math>

dengan ''M'' adalah massa total bintang. Sehingganya energi potensial rata-rata partikel tunggal adalah

:<math>
\langle H_{\mathrm{grav}} \rangle = \frac{H_{\mathrm{grav}}}{N} = - \frac{3G M^{2}}{5RN},
</math>

dengan ''N'' adalah jumlah partikel dalam bintang. Dikarenakan [[bintang]]-bintang pada umumnya mayoritas terdiri dari [[hidrogen]], ''N'' secara kasar sama dengan ''M''/''m''<sub>p</sub>, dengan ''m''<sub>p</sub> adalah massa satu proton. Penerapan teorema ekuipartisi ini memberikan nilai perkiraan temperatur bintang

:<math>
\Bigl\langle r \frac{\partial H_{\mathrm{grav}}}{\partial r} \Bigr\rangle = \langle -H_{\mathrm{grav}} \rangle = 
k_B T = \frac{3G M^2}{5RN}.
</math>

Dengan mansubstitusikan massa dan radius [[Matahari]] akan kita dapatkan temperatur surya kira-kira ''T''&nbsp;= 14 juta kelvin, sangat dekat dengan temperatur inti 15 juta kelvin. Namun, Matahari lebih kompleks daripada model asumsi yang kita pakai. Baik temperatur dan kepadatannya bervariasi tergantung pada jari-jarinya, sehingga nilai yang cukup sesuai yang didapatkan di atas (7% [[galat relatif]]) sebagiannya hanya disebabkan oleh keberuntungan saja.<ref>{{cite book|last = Noyes|first = RW|year = 1982|title = The Sun, Our Star|url = https://archive.org/details/sunourstar00robe|publisher = Harvard University Press|location = Cambridge, MA|isbn = 0-674-85435-7}}</ref>

=== Pembentukan bintang ===
Rumus yang sama dapat diterapkan untuk menentukan kondisi-kondisi [[pembentukan bintang]] dalam [[awan molekul]] raksasa.<ref>{{cite book|last = Ostlie|first = DA|author2=Carroll BW|year = 1996|title = An Introduction to Modern Stellar Astrophysics|url = https://archive.org/details/introductiontomo0000ostl|publisher = Addison–Wesley|location = Reading, MA|isbn = 0-201-59880-9}}</ref> Fluktuasi lokal dalam rapatan awan tersebut dapat menyebabkan kondisi tak terkontrol dan cepat di mana awan tersebut runtuh karena gravitasinya sendiri. Keruntuhan seperti itu terjadi ketika teorema ekuipartisi ataupun [[teorem virial]] tidak lagi berlaku, yakni ketika energi potensial gravitasionalnya melebih dua kali energi kinetik.

:<math>
\frac{3G M^{2}}{5R} > 3 N k_{B} T.
</math>

Dengan berasumsi bahwa kepadatan awan ρ

:<math>
M = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho
</math>

menghasilkan massa minimum yang diperlukan untuk kontraksi bintang, massa Jeans ''M''<sub>J</sub>

:<math>
M_{\rm J}^{2} = \left( \frac{5k_{B}T}{G m_{p}} \right)^{3} \left( \frac{3}{4\pi \rho} \right).
</math>

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang pada umumnya terpantau pada awan tersebut (''T''&nbsp;= 150&nbsp;K, ρ&nbsp;= 2{{e|−16}}&nbsp;g/cm<sup>3</sup>) kita dapatkan massa minimum perkiraan sebesar 17 massa surya, yang konsisten dengan pembentukan bintang terpantau. Efek ini dikenal juga sebagai [[instabilitas Jeans]], dinamakan setelah fisikawan Britania [[James Hopwood Jeans]] yang mempublikasikannya pada tahun 1902.<ref>{{cite journal | last = Jeans | first = JH | authorlink = James Hopwood Jeans | year = 1902 | title = The Stability of a Spherical Nebula | journal = [[Philosophical Transactions of the Royal Society A]] | volume = 199 | issue = 312–320 | pages = 1–53 | doi = 10.1098/rsta.1902.0012 | bibcode=1902RSPTA.199....1J}}</ref>

== Turunan ==

=== Energi kinetik dan distribusi Maxwell–Boltzmann ===
Perumusan awal teorema ekuipartisi menyatakan bahwa, dalam segala sistem fisik apapun yang berada dalam [[kesetimbangan termal]], setiap partikelnya memiliki [[energi kinetik]] rata-rata yang persis sama (eksak), (3/2)''k''<sub>B</sub>''T''.<ref name="mcquarrie_2000a" >{{cite book|last = McQuarrie|first = DA|year = 2000|title = Statistical Mechanics|url = https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0|edition = revised 2nd|publisher = University Science Books|isbn = 978-1-891389-15-3|pages = [https://archive.org/details/statisticalmecha00mcqu_0/page/121 121]–128}}</ref> Hal ini dapat ditunjukkan menggunakan [[distribusi Maxwell–Boltzmann]], yang merupakan distribusi probabilitas

:<math>
f (v) = 4 \pi 
\left( \frac{m}{2 \pi k_{\rm B} T}\right)^{3/2}\!\!v^2
\exp \Bigl(
\frac{-mv^2}{2k_{\rm B} T}
\Bigr)
</math>

untuk kecepatan partikel bermassa ''m'' dalam sistem, di mana kecepatan ''v'' adalah magnitudo <math>\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}</math> dari [[kecepatan]] [[vektor (geometri)|vektor]] <math>\mathbf{v} = (v_x,v_y,v_z).</math>

Distribusi Maxwell–Boltzmann berlaku untuk segala sistem yang terdiri dari atom, dan mengasumsikan hanya [[ensembel kanonis]], secara spesifiknya, bahwa energi kinetik terdistribusi menurut [[faktor Boltzmannya]] pada temperatur ''T''.<ref name="mcquarrie_2000a" /> Energi kinetik rata-rata suatu partikel bermassa ''m'' diberikan oleh rumus integral

:<math>
\langle H_{\mathrm{kin}} \rangle = 
\langle \tfrac{1}{2} m v^{2} \rangle = 
\int _{0}^{\infty} \tfrac{1}{2} m v^{2}\  f(v)\  dv = \tfrac{3}{2} k_{\rm B} T,
</math>

sebagaimana yang dinyatakan oleh teorema ekuipartisi. Hasil yang sama juga dapat didapatkan dengan mereratakan energi partikel menggunakan probabilitas penemuan partikel pada keadaan energi kuantum tertentu.<ref name="configint"/>

=== Energi kuadratik dan fungsi partisi ===
Lebih umumnya, teorema ekuipartisi menyatakan bahwa segala [[derajat kebebasan]] ''x'' yang muncul dalam energi total ''H'' hanya sebagai suku kuadratik sederhana ''Ax''<sup>2</sup>, dengan ''A'' adalah tetapan konstan, memiliki energi rata-raata ½''k''<sub>B</sub>''T'' dalam kesetimbangan termal. Dalam hal ini teorema ekuipartisi dapat diturunkan dari [[fungsi partisi]] ''Z''(''β''), dengan ''β''&nbsp;= 1/(''k''<sub>B</sub>''T'') adalah [[temperatur invers]] kanonis.<ref>{{cite book|last = Callen|first = HB|authorlink = Herbert Callen|year = 1985|title = Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics|url = https://archive.org/details/thermodynamicsin00call_349|publisher = John Wiley and Sons|location = New York|pages = [https://archive.org/details/thermodynamicsin00call_349/page/375 375]–377|isbn = 0-471-86256-8}}</ref> Pengintegralan terhadap variabel ''x'' menghasilkan

:<math>
Z_{x} = \int_{-\infty}^{\infty} dx \ e^{-\beta A x^{2}} = \sqrt{\frac{\pi}{\beta A}},
</math>

dalam rumus untuk ''Z''. Energi rata-rata yang diasosiasikan dengan faktor ini adalah

:<math>
\langle H_{x} \rangle = - \frac{\partial \log Z_{x}}{\partial \beta} = \frac{1}{2\beta} = \frac{1}{2} k_{\rm B} T
</math>

sebagaimana yang dinyatakan oleh teorema ekuipartisi.

=== Pembuktian umum ===
Penurunan umum teorema ekuipartisi dapat ditemukan dalam banyak buku teks [[mekanika statistika]], baik untuk [[ensembel mikrokanonis]]<ref name="pathria_1972" /><ref name="huang_1987" /> dan untuk [[ensembel kanonis]].<ref name="pathria_1972" /><ref name="tolman_1938" /> Keduanya melibatkan pererataan terhadap [[ruang fase]] sistem yang merupakan [[manifold simplektik]].

Untuk menjelaskan penurunan-penurunan ini, notasi berikut digunakan. Pertama, ruang fase dideskripsikan menurut [[koordinat kanonis|koordinat posisi rampatan]] ''q''<sub>''j''</sub> bersamaan dengan [[momentum konjugat]]nya ''p''<sub>''j''</sub>. Kuantitas ''q''<sub>''j''</sub> secara penuh mendeskripsikan [[ruang konfigurasi|konfigurasi]] sistem, manakala kuantitas (''q''<sub>''j''</sub>,''p''<sub>''j''</sub>) secara bersama mendeskripsikan secara penuh [[mekanika klasik|keadaannya]].

Kedua, volume infinitesimal
:<math>
d\Gamma = \prod_i  dq_i \, dp_i \,
</math>

dari ruang fase diperkenalan dan digunakan untuk mendefinisikan volume Γ(''E'', Δ''E'') porsi bagian ruang fase di mana energi ''H'' sistem berada di antara dua limit, ''E'' dan ''E''&nbsp;+&nbsp;Δ''E'':

:<math>
\Gamma (E, \Delta E) = \int_{H \in \left[E, E+\Delta E \right]} d\Gamma .
</math>
Dalam ekspresi ini, Δ''E'' diasumsikan sangat kecil, Δ''E''&nbsp;<< ''E''. Dengan cara yang sama, Σ(''E'') didefinisikan sebagai volume total ryang fase di mana energinya lebih kecil daripada ''E'':

:<math>
\Sigma (E) = \int_{H < E} d\Gamma.\,
</math>

Karena Δ''E'' sangat kecil, pengintegralan berikut ini memenuhi kesamaan

:<math>
\int_{H \in \left[ E, E+\Delta E \right]} \ldots d\Gamma  = \Delta E \frac{\partial}{\partial E} \int_{H < E} \ldots d\Gamma,
</math>

di mana elips-elips tersebut mewakili integran (yang diintegralkan). Dari sini, Γ proposional terhadap Δ''E''

:<math>
\Gamma = \Delta E \ \frac{\partial \Sigma}{\partial E} = \Delta E \ \rho(E),
</math>

dengan ''ρ''(''E'') adalah [[rapatan keadaan]]. Berdasarkan definisi [[mekanika statistik]], [[entropi]] ''S'' sama dengan ''k''<sub>B</sub> log ''Σ(''E''), dan [[temperatur]] ''T'' didefinisikan sebagai

:<math>
\frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial E} = k_{\rm B} \frac{\partial \log \Sigma}{\partial E} = k_{\rm B} \frac{1}{\Sigma}\,\frac{\partial \Sigma}{\partial E} .
</math>

==== Ensembel kanonis ====
Dalam [[ensembel kanonis]], sistem berada dalam [[kesetimbangan termal]] dengan penangas kalor tak terhingga bertemperatur ''T'' (dalam kelvin).<ref name="pathria_1972" /><ref name="tolman_1938" /> Probabilitas tiap-tiap keadaan dalam [[ruang fase]] sistem diberikan oleh [[faktor Boltzmann]] dikalikan dengan [[faktor normalisasi]] <math>\mathcal{N}</math>, yang dipilih sedemikiannya penjumlahan probabilitas-probabilitasnya adalah satu

:<math>
\mathcal{N} \int e^{-\beta H(p, q)} d\Gamma = 1,
</math>
di mana ''β''&nbsp;= 1/''k''<sub>B</sub>''T''. [[Pengintegralan parsial]] untuk suatu variabel ruang fase ''x<sub>k</sub>'' (yang dapat berupa ''q<sub>k</sub>'' ataupun ''p<sub>k</sub>'') antara dua limit ''a'' dan ''b'' menghasilkan persamaan

:<math>
\mathcal{N} \int  \left[ e^{-\beta H(p, q)} x_{k} \right]_{x_{k}=a}^{x_{k}=b} d\Gamma_{k}+ 
\mathcal{N} \int  e^{-\beta H(p, q)} x_{k} \beta \frac{\partial H}{\partial x_{k}} d\Gamma = 1,
</math>

di mana d''Γ<sub>k</sub>''&nbsp;= d''Γ''/d''x<sub>k</sub>'', yakni, pengintegralan pertamanya tidak dilakukan terhadap ''x<sub>k</sub>''. Suku pertamanya biasanya nol, baik dikarenakan ''x<sub>k</sub>'' adalah nol pada limit ataupun energinya menuju tak terhingga pada limit-limit tersebut. Dalam hal itu teorema ekuipartisi untuk ensembel kanonisnya mengikuti

:<math>
\mathcal{N} \int e^{-\beta H(p, q)} x_{k} \frac{\partial H}{\partial x_{k}} \,d\Gamma = 
\Bigl\langle x_{k} \frac{\partial H}{\partial x_{k}} \Bigr\rangle = \frac{1}{\beta} = k_{B} T.
</math>

Di sini, simbol pererataan <math>\langle \ldots \rangle</math> adalah [[rata-rata ensembel]] yang dilakukan terhadap [[ensembel kanonis]].

==== Ensembel mikrokanonis ====
Dalam ensembel mikrokanonis, sistem terisolasi dari lingkungan luar, atau paling tidak, terhubung sangat sedikit dari dunia luar.<ref name="huang_1987" /> Sehingga, energi totalnya secara efektif konstan; lebih cermatnya, kita mengatakan bahwa energi total ''H'' terperangkap antara ''E'' dan ''E''+d''E''. Untuk suatu energi ''E'' dan penyimpangannya d''E'', terdapat suatu daerah [[ruang fase]] Γ di mana sistem tersebut memiliki energi tersebut, dan probabilitas tiap-tiap keadaan dalam daerah [[ruang fase]] adalah sama, menurut definisi ensembel mikrokanonis. Berdasarkan definisi ini, rata-rata ekuipartisi variabel ruang fase ''x<sub>m</sub>'' (yang dapat berupa ''q<sub>k</sub>'' ataupun ''p<sub>k</sub>'') dan ''x<sub>n</sub>'' diberikan oleh rumus

:<math>
\begin{align}
\Bigl\langle x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \Bigr \rangle &=
\frac{1}{\Gamma}   \, \int_{H \in \left[ E, E+\Delta E \right]}  x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \,d\Gamma\\
&=\frac{\Delta E}{\Gamma}\, \frac{\partial}{\partial E} \int_{H < E}  x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \,d\Gamma\\
&= \frac{1}{\rho} \,\frac{\partial}{\partial E} \int_{H < E}  x_{m} \frac{\partial \left( H - E \right)}{\partial x_{n}} \,d\Gamma,
\end{align}
</math>

di mana kesamaan terakhir dibenarkan karena ''E'' adalah konstan sehingga ia tidak tergantung pada ''x<sub>n</sub>''. [[Pengintegralan parsial]]nya akan menghasilkan relasi

:<math>
\begin{align}
\int_{H < E}  x_{m} \frac{\partial ( H - E )}{\partial x_{n}} \,d\Gamma &= 
\int_{H < E}  \frac{\partial}{\partial x_{n}} \bigl( x_{m} ( H - E ) \bigr) \,d\Gamma - 
\int_{H < E}  \delta_{mn} ( H - E ) d\Gamma\\
&=  \delta_{mn} \int_{H < E} ( E - H ) \,d\Gamma,
\end{align}
</math>
karena suku pertama pada sisi kanan adalah nol.

Substitusi hasil ini kepada persamaan sebelumnya akan menghasilkan

:<math>
\Bigl\langle x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \Bigr\rangle = 
\delta_{mn} \frac{1}{\rho} \, \frac{\partial}{\partial E} \int_{H < E}\left( E - H \right)\,d\Gamma  = 
\delta_{mn}  \frac{1}{\rho}  \, \int_{H < E} \,d\Gamma = 
\delta_{mn}  \frac{\Sigma}{\rho}.
</math>

Karena <math> \rho = \frac{\partial \Sigma}{\partial E} </math>, maka:

:<math>
\Bigl\langle x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \Bigr\rangle = 
\delta_{mn} \Bigl(\frac{1}{\Sigma} \frac{\partial \Sigma}{\partial E}\Bigr)^{-1}  = 
\delta_{mn} \Bigl(\frac{\partial \log \Sigma} {\partial E}\Bigr)^{-1} = \delta_{mn} k_{B} T.
</math>

Sehingga kita telah menurunkan perumusam umum teorema ekuipartisi.

<div style="border:2px solid black; padding:3px; margin-left: 0em; width: 250px;
text-align:left">

:<math>\!
\Bigl\langle x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \Bigr\rangle = \delta_{mn} k_{B} T,
</math></div>

yang sangat berguna dalam penerapan-penerapan seperti pada contoh-contoh di atas.

== Lihat pula ==
* [[Teori kinetik]]
* [[Mekanika statistika kuantum]]

== Catatan dan referensi ==
{{reflist|colwidth=30em}}

== Bacaan lebih lanjut ==
* {{cite book|last = Huang|first = K|authorlink = Kerson Huang|year = 1987|title = Statistical Mechanics|url = https://archive.org/details/statisticalmecha00huan_121|edition = 2nd|publisher = John Wiley and Sons|pages = [https://archive.org/details/statisticalmecha00huan_121/page/n148 136]–138|isbn = 0-471-81518-7}}
* {{cite book|last = Khinchin|first = AI|authorlink = Aleksandr Khinchin|year = 1949|title = Mathematical Foundations of Statistical Mechanics ([[George Gamow|G. Gamow]], translator)|publisher = Dover Publications|location = New York|pages = [https://archive.org/details/mathematicalfoun00khin_624/page/n50 93]–98|isbn = 0-486-63896-0}}
* {{cite book|last = Landau|first = LD|authorlink = Lev Landau|coauthors = [[Evgeny Lifshitz|Lifshitz EM]]|year = 1980|title = Statistical Physics, Part 1|edition = 3rd|publisher = Pergamon Press|pages = 129–132|isbn = 0-08-023039-3}}
* {{cite book|last = Mandl|first = F|year = 1971|title = Statistical Physics|url = https://archive.org/details/statisticalphysi00fman|publisher = John Wiley and Sons|pages = [https://archive.org/details/statisticalphysi00fman/page/213 213]–219|isbn = 0-471-56658-6}}
* {{cite book|last = Mohling|first = F|year = 1982|title = Statistical Mechanics: Methods and Applications|publisher = John Wiley and Sons|pages = 137–139, 270–273, 280, 285–292|isbn = 0-470-27340-2}}
* {{cite book|last = Pathria|first = RK|authorlink = Raj Pathria|year = 1972|title = Statistical Mechanics|url = https://archive.org/details/statisticalmecha0000rkpa|publisher = Pergamon Press|pages = [https://archive.org/details/statisticalmecha0000rkpa/page/43 43]–48, 73–74|isbn = 0-08-016747-0}}
* {{cite book|last = Pauli|first = W|authorlink = Wolfgang Pauli|year = 1973|title = Pauli Lectures on Physics: Volume 4. Statistical Mechanics|url = https://archive.org/details/statisticalmecha0004paul|publisher = MIT Press|pages = [https://archive.org/details/statisticalmecha0004paul/page/27 27]–40|isbn = 0-262-16049-8}}
* {{cite book|last = Tolman|first = RC|authorlink = Richard C. Tolman|year = 1927|title = Statistical Mechanics, with Applications to Physics and Chemistry|url = https://archive.org/details/statisticalmecha00tolm|publisher = Chemical Catalog Company|pages = [https://archive.org/details/statisticalmecha00tolm/page/72 72]–81}} ASIN B00085D6OO
* {{cite book|last = Tolman|first = RC|authorlink = Richard C. Tolman|year = 1938|title = The Principles of Statistical Mechanics|publisher = Dover Publications|location = New York|pages = 93–98|isbn = 0-486-63896-0}}

== Pranala luar ==
* [http://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/thermo_paper/thermo/examples/ex20_4.html Applet demonstrating equipartition in real time for a mixture of monatomic and diatomic gases] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200806154151/https://webphysics.davidson.edu/physlet_resources/thermo_paper/thermo/examples/ex20_4.html |date=2020-08-06 }}
* [http://www.sciencebits.com/StellarEquipartition The equipartition theorem in stellar physics], written by Nir J. Shaviv, an associate professor at the Racah Institute of Physics in the [[Hebrew University of Jerusalem]].

[[Kategori:Teorema fisika]]
[[Kategori:mekanika statistik]]
[[Kategori:Termodinamika]]