Lihat sumber Teorema dasar aljabar

{{short description|Setiap polinom memiliki akar nyata atau kompleks}}
{{Rough translation|1=Inggris|2=Fundamental theorem of algebra|listed=yes|date=Oktober 2020}}
{{Distinguish|Teorema dasar aritmetika}}
'''Teorema dasar aljabar''' menyatakan bahwa setiap polinomial variabel tunggal non[[Polinomial konstanta|konstan]] dengan [[koefisien]] [[bilangan kompleks]] memiliki setidaknya satu akar kompleks. Ini termasuk polinomial dengan koefisien real, karena setiap bilangan real adalah bilangan kompleks dengan [[bagian imajiner]] sama dengan nol.

Secara ekuivalen (menurut definisi), teorema tersebut menyatakan bahwa [[Medan (matematika)|lapangan]] [[bilangan kompleks]] [[Bidang tertutup aljabar|tertutup secara aljabar]].

Teorema ini dinyatakan sebagai berikut: setiap polinomial nonkonstan variabel tunggal berderajat <math>n</math> dengan koefisien kompleks memiliki tepat <math>n</math> akar kompleks (dengan memperhitungkan multiplisitas aljabar). Kesetaraan pernyataan ini dengan pernyataan pada paragraf pertama dapat dibuktikan melalui penggunaan [[pembagian polinomial]] yang berurutan.

Terlepas dari namanya, tidak ada bukti teorema yang murni aljabar, karena bukti apapun harus menggunakan beberapa bentuk analitik [[kelengkapan bilangan riil]], yang merupakan [[Teorema dasar aljabar#Bukti Aljabar|bukan konsep aljabar]].<ref>Bahkan bukti bahwa persamaan <math> x^2-2 = 0 </math> memiliki solusi melibatkan [[Konstruksi bilangan riil|definisi bilangan real]] melalui beberapa bentuk kelengkapan (khususnya).</ref> Selain itu, ini bukanlah teorema dasar untuk [[aljabar modern]]; namanya diberikan pada saat aljabar identik dengan [[teori persamaan]].

== Sejarah ==
Peter Roth, dalam bukunya ''Arithmetica Philosophica'' (diterbitkan pada 1608, di Nürnberg, oleh Johann Lantzenberger),<ref>[http://www.e-rara.ch/doi/10.3931/e-rara-4843 Rare books]</ref> menulis bahwa persamaan polinomial berderajat <math>n</math>(dengan koefisien bilangan real) '' mungkin ''memiliki <math>n</math> akar. [[Albert Girard]], dalam bukunya '' L'invention nouvelle en l'Algèbre '' (diterbitkan tahun 1629), menegaskan bahwa persamaan polinomial berderajat <math>n</math> memiliki<math>n</math>akar, tetapi dia tidak menyatakan bahwa semua solusinya harus bilangan real. Lebih jauh, dia menambahkan bahwa pernyataannya menyatakan "kecuali persamaannya tidak lengkap", yang dia maksudkan bahwa tidak ada koefisien yang sama dengan <math>0</math>. Namun, ketika dia menjelaskan secara rinci apa yang dia maksud, jelas bahwa dia benar-benar percaya bahwa pernyataannya itu selalu benar; Misalnya, dia menunjukkan persamaan itu <math>x^4 = 4x-3,</math> meskipun tidak lengkap, memiliki empat penyelesaian (menghitung multiplisitas aljabar): <math>1</math> (dua kali), <math>-1+i\sqrt{2},</math> dan <math>-1-i\sqrt{2}.</math>

Seperti yang akan disebutkan lagi di bawah ini, ini dapat disimpulkan dari teorema dasar aljabar bahwa setiap polinomial tidak konstan dengan koefisien bilangan real dapat ditulis sebagai hasil kali polinomial-polinomial koefisien bilangan real yang derajatnya adalah 1 atau 2. Namun, pada 1702, [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] secara keliru mengatakan bahwa tidak ada polinomial dari jenis {{math|''x''<sup>4</sup> + ''a''<sup>4</sup>}} (dengan{{math|'' a ''}} adalah bilangan real tidak 0) dapat ditulis sedemikian rupa. Belakangan, [[Nicolaus I Bernoulli|Nikolaus Bernoulli]] membuat pernyataan yang sama tentang polinomial {{math|''x''<sup>4</sup> − 4''x''<sup>3</sup> + 2''x''<sup>2</sup> + 4''x'' + 4}}, tetapi dia mendapat surat dari [[Leonhard Euler|Euler]] pada tahun 1742<ref>Lihat bagian '' Le rôle d'Euler '' dalam artikel C. Gilain ''Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral''.</ref> yang menunjukkan bahwa polinomial ini sama dengan
:<math>\left (x^2-(2+\alpha)x+1+\sqrt{7}+\alpha \right ) \left (x^2-(2-\alpha)x+1+\sqrt{7}-\alpha \right ),</math>
dengan <math>\alpha = \sqrt{4+2\sqrt{7}}.</math> Selain itu, Euler menunjukkan itu
:<math>x^4+a^4= \left (x^2+a\sqrt{2}\cdot x+a^2 \right ) \left (x^2-a\sqrt{2}\cdot x+a^2 \right ).</math>

Upaya pertama untuk membuktikan teorema dilakukan oleh [[Jean le Rond d'Alembert|d'Alembert]] pada tahun 1746, tetapi buktinya tidak lengkap. Di antara masalah lainnya, ia mengasumsikan secara implisit sebuah teorema (sekarang dikenal sebagai [[Teorema Puiseux]]), yang tidak akan dibuktikan sampai lebih dari satu abad kemudian dan menggunakan teorema dasar aljabar. Upaya lain dilakukan oleh [[Leonhard Euler|Euler]] (1749), [[François Daviet de Foncenex|de Foncenex]] (1759), [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] (1772), dan [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]] (1795). Empat percobaan terakhir ini secara implisit mengasumsikan pernyataan Girard; lebih tepatnya, apabila setiap polinomial nonkonstan memiliki akar maka akarnya akan berbentuk <math>a+bi</math> untuk suatu bilangan real <math>a</math> dan <math>b</math>. Dalam istilah modern, Euler, de Foncenex, Lagrange, dan Laplace mengasumsikan adanya [[bidang pemisah|lapangan pemisah]] dari polinomial <math>p(z)</math>.

Pada akhir abad ke-18, dua bukti baru diterbitkan yang tidak mengasumsikan keberadaan akar, tetapi tidak ada yang lengkap. Salah satunya, oleh [[James Wood (matematikawan)|James Wood]] dengan bukti yang bersifat aljabar, diterbitkan pada tahun 1798 dan dianggap valid tanpa celah awalnya. Namun, beberapa tahun kemudian, bukti Wood didapati memiliki celah aljabar.<ref>Mengenai bukti Wood, lihat artikel '' Makalah yang terlupakan tentang teorema dasar aljabar '', oleh Frank Smithies.</ref> Bukti lainnya diterbitkan oleh [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] pada tahun 1799 dengan bukti yang bersifat geometris, tetapi memiliki celah topologi, yang dilengkapi oleh [[Alexander Ostrowski]] pada tahun 1920, seperti yang dibahas di Smale.<ref>[http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183547848 Smale writes], "...Saya ingin menunjukkan betapa besarnya celah yang terkandung dalam bukti Gauss. Bahkan sekarang ini adalah titik halus bahwa kurva bidang aljabar nyata tidak dapat memasuki cakram tanpa keluar. Faktanya, meskipun Gauss memperbaiki bukti ini 50 tahun kemudian, kesenjangan tetap ada. Baru pada tahun 1920 pembuktian Gauss selesai. Dalam referensi Gauss. Ostrowski memiliki makalah yang melakukan ini dan memberikan diskusi yang sangat baik tentang masalahnya juga..."</ref> Bukti formal pertama diterbitkan oleh [[Jean-Robert Argand|Argand]] pada 1806 (dan ditinjau kembali pada 1813);<ref>{{MacTutor Biography|id=Argand|title=Jean-Robert Argand}}</ref> Di sinilah, untuk pertama kalinya, teorema dasar aljabar dinyatakan untuk polinomial dengan koefisien bilangan kompleks, bukan hanya koefisien bilangan riil. Gauss menghasilkan dua bukti lain pada tahun 1816 dan versi tidak lengkap yang lain dari bukti aslinya pada tahun 1849.

Buku teks pertama yang berisi bukti teorema dasar aljabar adalah buku karangan [[Cauchy]], ''Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique'' (1821). Buku tersebut menggunakan bukti dari Argand, namun tidak menyebut [[Jean Robert Argand|Argand]] sebagai penemu bukti tersebut.

Tak satu pun dari bukti yang disebutkan sejauh ini adalah [[Konstruktivisme (matematika)|konstruktif]]. Hal ini pertama kali disinggung oleh [[Weierstrass]] pada pertengahan abad ke-19. Pada 1891, dia mempresentasikan bukti konstuktifnya, yang pada saat ini dikenal sebagai kombinasi dari [[metode Durand–Kerner]] dengan prinsip [[kelanjutan homotopi]]. Bukti lain yang konstruktif diberikan oleh [[Hellmuth Kneser]] pada tahun 1940 dan disederhanakan oleh putranya [[Martin Kneser]] pada tahun 1981.

Tanpa menggunakan aksioma [[pilihan terhitung]], membuktikan teorema dasar aljabar untuk bilangan kompleks secara konstruktif adalah hal yang mustahil. Hal ini didasarkan dari [[konstruksi bilangan riil|konstruksi bilangan real Dedekind]] yang tidak setara secara konstruktif dengan bilangan real Cauchy tanpa [[Aksioma pemilihan|aksioma pilihan]] terhitung.<ref>Untuk kebutuhan minimum untuk membuktikan kesetaraan mereka, lihat Bridges, Schuster, dan Richman; 1998; <cite>Prinsip pilihan yang dapat dihitung yang lemah</cite>; available from [http://math.fau.edu/richman/HTML/DOCS.HTM] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200219002009/http://math.fau.edu/richman/html/docs.htm|date=2020-02-19}}.</ref> Namun, [[Fred Richman]] berhasil membuktikan formulasi ulang dari teorema dasar aljabar tanpa menggunakan aksioma pilihan terhitung secara konstruktif.<ref>See Fred Richman; 1998; <cite>Teorema fundamental aljabar: perkembangan konstruktif tanpa pilihan</cite>; tersedia dari [http://math.fau.edu/richman/HTML/DOCS.HTM] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200219002009/http://math.fau.edu/richman/html/docs.htm|date=2020-02-19}}.</ref>

== Pernyataan ekuivalen ==
Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen dengan teorema dasar aljabar:

* ''Setiap [[Polinomial|polinomial variabel tunggal]] berderajat positif dengan koefisien real memiliki setidaknya satu akar kompleks.''
* ''Setiap polinomial variabel tunggal berderajat positif dengan koefisien kompleks memiliki setidaknya satu akar kompleks.''Tentunya ini mengimplikasikan pernyataan pada poin sebelumnya, karena semua bilangan real adalah bilangan kompleks. Konversnya, yaitu pernyataan poin pertama mengimplikasikan pernyataan pada poin ini, juga benar, karena polinomial real dapat dituliskan sebagai  hasil kali suatu polinomial kompleks <math>p(x)</math> dengan konjugat kompleksnya <math>q(x)</math> (diperoleh dengan mengganti semua koefisien pada <math>p(x)</math> dengan konjugat kompleksnya). Dengan demikian, akar-akar dari polinomial real tersebut terdiri dari semua akar <math>p(x)</math> dan semua akar <math>q(x)</math> (akarnya berupa konjugat kompleks dari akar-akar <math>p(x)</math>).
* ''Setiap polinomial variabel tunggal dengan derajat positif <math>n</math> dengan koefisien kompleks dapat difaktorkan sebagai<math>c(x-r_1)\dots(x-r_n),</math> dengan <math>c, r_1, \dots, r_n</math> adalah bilangan kompleks.''Bilangan-bilangan kompleks <math>r_1, r_2, \dots, r_n</math>adalah akar-akar dari polinomial tersebut. Jika ada akar yang muncul di beberapa faktor, maka akar tersebut merupakan [[akar ganda]] dan banyaknya kemunculan akar tersebut merupakan multiplisitas dari akar tersebut. Bukti dari ekuivalensi pernyataan ini telah dituliskan di atas melalui [[rekursi]] pada <math>n</math>: misalkan <math>r_1</math> diketahui sebagai akar dari suatu polinomial, maka polinomial tersebut habis dibagi faktor <math>x-r_1</math> dan hasil baginya adalah polinomial berderajat <math>n-1</math> yang akar-akarnya adalah akar-akar lain dari polinomial yang diberikan.

Dua pernyataan selanjutnya ekuivalen dengan pernyataan-pernyataan  di atas, walaupun kedua pernyataan ini tidak melibatkan bilangan kompleks nonreal. Kedua pernyataan ini dapat dibuktikan dengan faktorisasi sebelumnya, dengan mengobservasi bahwa jika <math>r</math> adalah akar nonreal dari polinomial dengan koefisien real, maka <math>\bar{r}</math> adalah akar dari polinomial tersebut dan <math>(x-r)(x-\bar{r})</math> merupakan polinomial real berderajat dua. Sebaliknya, jika suatu polinomial habis dibagi faktor polinomial berderajat dua, maka akar  faktor tersebut dapat dicari dengan menggunakan [[rumus kuadrat]].

* ''Setiap polinomial variabel tunggal dengan koefisien real yang berderajat lebih besar daripada dua memiliki faktor berderajat dua dengan koefisien real.''
* ''Setiap polinomial variabel tunggal dengan koefisien real yang berderajat positif dapat difaktorkan sebagai <math>cp_1 \dots p_k,</math> dengan <math>c</math> adalah bilangan real dan setiap <math>p_i</math>adalah [[polinomial monik]] berderajat maksimal dua dengan koefisien real. Faktor <math>p_i</math> yang memiliki derajat dua tidak memiliki akar real.''

== Bukti ==
Semua bukti di bawah ini melibatkan konsep dari [[analisis matematika]], atau setidaknya konsep [[topologi|topologis]] [[fungsi berkelanjutan|kekontinuan]] dari fungsi real atau kompleks. Beberapa bukti juga menggunakan konsep fungsi [[Turunan|diferensiabel]] atau bahkan fungsi [[Fungsi analitik|analitik]]. Karena inilah, orang-orang berpendapat bahwa Teorema Dasar Aljabar bukanlah teorema yang mendasar ataupun teorema aljabar.<ref>{{Cite book|last=Aigner|first=Martin|date=2018|url=https://www.worldcat.org/oclc/1040612781|title=Proofs from THE BOOK|location=Berlin, Heidelberg|isbn=978-3-662-57265-8|edition=Sixth edition|others=Günter M. Ziegler|oclc=1040612781}}</ref>

Beberapa bukti teorema ini hanya membuktikan bahwa polinomial tak konstan apapun dengan koefisien real memiliki akar yang kompleks. Ini cukup untuk membangun teorema dalam kasus umum, karena apabila diberikan polinomial nonkonstan <math>p(z)</math> dengan koefisien kompleks, polinomial<math display="block">q(z)=p(z)\overline{p(\overline z)}</math>adalah polinomial dengan koefisien real dan, jika <math>z</math> adalah akar dari <math>q(z)</math>, maka <math>z</math> atau konjugatnya adalah akar dari <math>p(z)</math>.

Banyak bukti nonaljabar dari teorema menggunakan fakta (kadang-kadang disebut "lema pertumbuhan") bahwa fungsi polinomial <math>p(z)</math> berderajat <math>n</math> yang koefisien dominannya adalah 1 berperilaku seperti <math>z^n</math> saat <math>|z|</math> bernilai cukup besar. Lebih tepatnya, ada bilangan real positif <math>R</math> sedemikian rupa sehingga:<math display="block">\frac{1}{2}|z^n|<|p(z)|<\frac{3}{2}|z^n|</math>jika <math>|z|>R</math>.<!-- Bagian ini belum diterjemahkan

Real-analytic proofs[edit source]

Even without using complex numbers, it is possible to show that a real-valued polynomial p(x): p(0) ≠ 0 of degree n > 2 can always be divided by some quadratic polynomial with real coefficients. In other words, for some real-valued a and b, the coefficients of the linear remainder on dividing p(x) by x2 − ax − b simultaneously become zero.

where q(x) is a polynomial of degree n − 2. The coefficients Rp(x)(a, b) and Sp(x)(a, b) are independent of x and completely defined by the coefficients of p(x). In terms of representation, Rp(x)(a, b) and Sp(x)(a, b) are bivariate polynomials in a and b. In the flavor of Gauss's first (incomplete) proof of this theorem from 1799, the key is to show that for any sufficiently large negative value of b, all the roots of both Rp(x)(a, b) and Sp(x)(a, b) in the variable a are real-valued and alternating each other (interlacing property). Utilizing a Sturm-like chain that contain Rp(x)(a, b) and Sp(x)(a, b) as consecutive terms, interlacing in the variable a can be shown for all consecutive pairs in the chain whenever b has sufficiently large negative value. As Sp(a, b = 0) = p(0) has no roots, interlacing of Rp(x)(a, b) and Sp(x)(a, b) in the variable a fails at b = 0. Topological arguments can be applied on the interlacing property to show that the locus of the roots of Rp(x)(a, b) and Sp(x)(a, b) must intersect for some real-valued a and b < 0. -->

=== Bukti analisis kompleks ===
Misalkan <math>D</math> adalah [[disk (matematika)|cakram]] dengan radius <math>r</math> berpusat di titik asal sedemikian rupa sehingga <math>|p(z)|>|p(0)|</math> saat <math>|z|\geq r</math>.  Nilai minimal dari <math>|p(z)|</math> pada himpunan <math>D</math> ada'','' sebab <math>D</math> adalah himpunan [[himpunan kompak|kompak]], sehingga nilai minimum tersebut tercapai di suatu titik interior <math>z_0</math> dari himpunan <math>D</math>'','' bukan di titik batas dari himpunan <math>D</math>. [[Prinsip modulus maksimum]] (diterapkan ke <math>1/p(z)</math>)  kemudian menunjukkan bahwa <math>p(z_0)=0</math>. Dengan kata lain, <math>z_0</math> adalah akar dari <math>p(z)</math>.

Variasi dari bukti ini tidak memerlukan penggunaan prinsip modulus maksimum (pada kenyataannya, argumen yang sama dengan perubahan kecil memberikan bukti prinsip modulus maksimum untuk fungsi holomorfik). Bagian sebelum penggunaan prinsip modulus maksimum juga dapat dilanjutkan dengan kontradiksi, i.e. memisalkan <math>p(z_0)</math> bernilai suatu konstan <math>a</math> tak nol, maka <math>p(z)</math> dapat dituliskan dalam deret pangkat <math>(z-z_0)</math> sebagai berikut<math display="block">p(z) = a + c_k (z-z_0)^k + c_{k+1} (z-z_0)^{k+1} + \cdots + c_n (z-z_0)^n.</math>

Di sini, <math>c_j</math> adalah koefisien dari <math>z^j</math> pada polinomial <math>p(z+z_0)</math> jika dijabarkan, dan <math>k</math> adalah indeks dari koefisien tak nol pertama setelah suku konstan <math>p(z_0)</math>. Untuk <math>z</math> yang cukup dekat dengan <math>z_0</math>, fungsi ini memiliki perilaku yang secara asimtotik sama dengan polinomial <math>q(z)=a+c_k(z-z_0)^k</math>. Lebih tepatnya, hal ini dapat dituliskan sebagai<math display="block">\left|\frac{p(z)-q(z)}{(z-z_0)^{k+1}}\right| \leq M</math>untuk suatu konstanta positif <math>M</math> di suatu lingkungan dari <math>z_0</math>. Oleh karena itu, misalkan <math>\theta = (\arg(a)+\pi-\arg(c_k)) /k</math>  dan <math>z = z_0 + r e^{i \theta}</math>, maka untuk suatu bilangan positif <math>r</math> yang cukup kecil (sedemikian sehingga hingga batas <math>M</math> yang disebutkan di atas berlaku),<math display="block">\begin{align}
|p(z)| &\le |q(z)| + r^{k+1} \left|\frac{p(z)-q(z)}{r^{k+1}}\right|\\[4pt]
&\le \left|a +(-1)c_k r^k e^{i(\arg(a)-\arg(c_k))}\right| + M r^{k+1} \\[4pt]
&= |a|-|c_k|r^k + M r^{k+1}.
\end{align}</math>

Apabila <math>r</math> cukup dekat dengan <math>0</math>, argumen di atas mengakibatkan batas atas dari <math>|p(z)|</math> lebih kecil daripada <math>|a|</math>, kontradiksi dengan asumsi <math>z_0</math> merupakan titik global minimum dari <math>|p(z)|</math> pada himpunan <math>D</math>. Secara geometris, argumen ini memberikan arah eksplisit <math>\theta_0</math> sedemikian sehingga jika <math>z</math> mendekati <math>z_0</math> dari arah tersebut, maka <math>|p(z)|<|p(z_0)|</math> untuk <math>r</math> yang cukup dekat dengan 0.

Bukti analitik lain dapat diperoleh dengan mengamati bahwa  <math>|p(z)|>|p(z_0)|</math> di luar <math>D</math> mengakibatkan nilai minimum <math>|p(z)|</math> di seluruh bidang kompleks dicapai di <math>z_0</math>. Jika <math>|p(z_0)|>0</math>, maka <math>1/p(z)</math> adalah [[fungsi holomorfik]] terbatas di seluruh bidang kompleks, karena <math>|1/p(z)| \leq |1/p(z_0)|</math> untuk setiap bilangan kompleks <math>z</math>.  Namun, [[Teorema Liouville (analisis kompleks)|Teorema Liouville]] menyatakan bahwa fungsi holomorfik yang terbatas pada <math>\mathbb{C}</math> haruslah merupakan [[fungsi konstan]]. Hal ini mengakibatkan <math>1/p(z)</math> adalah fungsi konstan, yang merupakan kontradiksi. Maka, <math>p(z_0)=0</math>.<ref>{{Cite book|last=Ahlfors|first=Lars|title=Complex Analysis (2nd ed.)|publisher=McGraw-Hill Book Company|pages=122|url-status=live}}</ref>

Bukti analitik lain mengandalkan [[prinsip argumen]]. Misalkan <math>R</math> adalah bilangan real positif yang cukup besar sehingga setiap akar dari <math>p(z)</math> memiliki [[nilai absolut]] lebih kecil dari <math>R</math>''. ''Bilangan <math>R</math> yang memenuhi sifat ini haruslah ada karena setiap fungsi polinomial tak konstan berderajat <math>n</math> memiliki paling banyak <math>n</math> akar. Untuk setiap <math>r>R</math>, tinjau bilangan<math display="block">N=\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{p'(z)}{p(z)}\,dz,</math>dimana <math>c(r)</math> adalah lingkaran yang berpusat pada titik asal dengan jari-jari <math>r</math>  berorientasi berlawanan arah jarum jam. Dari [[prinsip argumen]], <math>N</math> merepresentasikan banyaknya akar dari <math>p(z)</math> (memperhitungkan multiplisitas aljabar) di dalam bola buka berpusat di <math>0</math> dengan radius <math>r</math>.  Karena <math>r>R</math>,  maka bilangan <math>N</math> sama dengan banyaknya pembuat nol di <math>\mathbb{C}</math>. Di sisi lain, hasil dari pembagian integral dari <math>n/z</math> sepanjang kontur <math>c(r)</math> oleh <math>2\pi i</math> sama dengan <math>n</math>. Namun, selisih dari kedua angka tersebut adalah<math display="block">\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\left(\frac{p'(z)}{p(z)}-\frac{n}{z}\right)dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{zp'(z)-np(z)}{zp(z)}\,dz.</math>

Pembilang dari bentuk rasional yang diintegralkan berderajat paling besar <math>n-1</math>, sedangkan penyebutnya berderajat <math>n+1</math>. Oleh karena itu, integral di atas cenderung mendekati <math>0</math> seiring <math>r \rightarrow +\infty</math>. Tetapi bilangan ini juga sama dengan <math>N-n</math>'', ''sehingga <math>N=n</math>.

Bukti dengan metode [[analisis kompleks]] lain diberikan dengan mengkombinasikan [[aljabar linier]] dengan [[teorema integral Cauchy|Teorema Cauchy]]. Memperlihatkan bahwa setiap polinomial kompleks berderajat '' n ''> 0 memiliki pembuat nol dapat dilakukan dengan hanya menunjukkan bahwa setiap [[matriks persegi]] <math>n \times n</math> dengan entri kompleks memiliki [[nilai eigen]]<ref>Sebuah bukti dari fakta bahwa ini cukup dapat dilihat [[Bidang tertutup aljabar#Setiap endomorfisme Fn memiliki beberapa vektor eigen|di sini]].</ref> kompleks. Pernyataan ini dapat dibuktikan [[Bukti oleh kontradiksi|dengan kontradiksi]].

Misalkan <math>A</math> adalah matriks persegi <math>n \times n</math> dengan entri kompleks dan <math>I_n</math> adalah [[matriks identitas]] perkalian dengan ukuran yang sama. Asumsikan <math>A</math> tidak memiliki nilai eigen, maka fungsi [[resolvent formalism|resolvent]]<math display="block"> R(z)=(zI_n-A)^{-1}</math>adalah fungsi meromorfik pada bidang kompleks dengan kodomain [[ruang vektor]] matriks dengan entri kompleks. Nilai eigen dari <math>A</math> adalah pole dari <math>R(z)</math>. Karena diasumsikan <math>A</math> tidak memiliki nilai eigen, fungsi <math>R(z)</math> adalah fungsi ''entire'' dan Teorema Cauchy mengimplikasikan bahwa<math display="block">\int_{c(r)} R(z) dz =0.</math>

Di sisi lain, ekspansi <math>R(z)</math> sebagai deret geometri memberikan<math display="block">R(z)=z^{-1}(I_n-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{z^k}A^k.</math>

Rumus ini valid di luar cakram tertutup berjari-jari <math>\|A\|</math> (norm dari operator <math>A</math>). Misalkan <math>r>\|A\|</math>. Maka<math display="block">\int_{c(r)} R(z) dz=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{c(r)} \frac{dz}{z^{k+1}}A^{k+1}=2\pi iI_n</math>

(hanya untuk <math>k=0</math> integran pada suku deret tersebut bernilai tak nol). Ini adalah kontradiksi, sehingga <math>A</math> memiliki nilai eigen.

Terakhir, aplikasi Teorema Rouche memberikan bukti dari teorema dasar aljabar yang barangkali paling singkat.

=== Bukti topologi ===
Misalkan nilai minimal <math>|p(z)|</math> di seluruh bidang kompleks dicapai saat <math>z=z_0</math>; eksistensi nilai minimal ini terlihat pada bukti yang menggunakan teorema Liouville. Fungsi  <math>p(z)</math> dapat dituliskan sebagai polinomial dengan variabel <math>(z-z_0)</math>'':'' ada suatu bilangan asli <math>k</math> dan bilangan-bilangan kompleks <math>c_k, c_{k+1}, \dots, c_n</math> dengan <math>c_k \neq 0</math> dan:<math display="block">p(z)=p(z_0)+c_k(z-z_0)^k+c_{k+1}(z-z_0)^{k+1}+ \cdots +c_n(z-z_0)^n.</math>

Jika <math>p(z_0)</math> tidak sama dengan nol, maka apabila <math>a</math> adalah akar pangkat <math>k</math> dari <math>-p(z_0)/c_k</math> dan jika <math>t</math> adalah konstanta positif yang cukup kecil, maka <math>|p(z_0+ta)|<|p(z_0)|</math>. Hal ini tidak mungkin, karena <math>|p(z_0)|</math> adalah minimum dari <math>|p|</math> pada <math>D</math>.

Bukti topologi lain menggunakan kontradiksi. Misalkan polinomial <math>p(z)</math> tidak memiliki akar sehingga tidak pernah bernilai <math>0</math>. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan polinomial <math>p(z)</math> adalah polinomial monik. Pandang polinomial <math>p(z)</math> sebagai pemetaan dari bidang kompleks ke bidang kompleks. Pemetaan ini memetakan lingkaran <math>|z|=R</math> ke suatu gelung tertutup (''closed loop''), kurva <math>P(R)</math>. Pada argumen ini, tinjau bilangan lilit (''winding number'') dari kurva <math>P(R)</math> pada dua kondisi ekstrem, yaitu saat <math>R</math> sangatlah besar dan <math>R=0</math>. Untuk nilai <math>R</math> yang cukup besar, suku utama <math>z^n</math> mendominasi jumlahan suku-suku polinomial lainnya. Dengan kata lain, <math>|z^n|>|a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+\dots+a_1z+a_0|</math>. Apabila <math>z</math> mengitari lingkaran <math>Re^{i\theta}</math> sekali berlawanan arah jarum jam  <math>(0\leq \theta \leq 2\pi),</math> maka <math>z^n=R^ne^{in\theta}</math> mengitari titik pusat <math>n</math> kali secara berlawanan arah jarum jam <math>(0\leq \theta \leq 2\pi n)</math>, dan begitu pula <math>P(R)</math>. Maka, bilangan lilit dari <math>P(R)</math> adalah <math>n</math>. Pada kondisi ekstrem lain, apabila <math>|z|=0</math>, kurva <math>P(0)</math> hanyalah titik <math>p(0)</math>, yang tidak sama dengan nol, karena <math>p(z)</math> tidak pernah nol. Oleh karena itu, bilangan lilit <math>P(0)</math> haruslah <math>0</math>. Sekarang apabila nilai <math>R</math> diubah secara kontinu dari <math>R</math> yang sangat besar ke <math>R=0</math>, ini akan mendeformasi kurva gelung tertutup <math>P(R)</math> secara kontinu. Dengan demikian, bilangan lilit dari kurva gelung tertutup <math>P(R)</math> haruslah berubah. Namun, ini hanya mungkin terjadi, apabila <math>P(R)</math> melalui titik asal <math>0</math> untuk suatu <math>R</math>, yang mengimplikasikan ada <math>z_0</math> pada lingkaran itu yang membuat <math>p(z_0)=0</math>. Ini menunjukkan bahwa <math>p(z)</math> memiliki setidaknya satu akar.

=== Bukti aljabar ===
Bukti teorema fundamental aljabar ini harus menggunakan dua fakta berikut tentang bilangan real yang bukan fakta aljabar tetapi hanya memerlukan sedikit analisis, yaitu [[teorema nilai antara]]:
* setiap polinomial berderajat ganjil dengan koefisien real memiliki setidaknya satu akar real;
* setiap bilangan riil nonnegatif memiliki [[akar kuadrat]].

Fakta kedua, bersama dengan [[rumus kuadrat]], membuktikan teorema dasar aljabar untuk polinomial real berderajat dua. Dengan demikian, hal ini menunjukkan bahwa jika <math>R</math> adalah [[bidang tertutup nyata|lapangan yang tertutup secara real]], maka perluasannya <math>C=R(\sqrt{-1})</math> tertutup secara aljabar.

==== Dengan induksi ====
Seperti yang disebutkan di atas, teorema ini cukup dibuktikan dengan memeriksa pernyataan "setiap polinomial nonkonstan  <math>p(z)</math> dengan koefisien real berderajat <math>n</math> memiliki akar kompleks". Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan induksi pada bilangan bulat nonnegatif terbesar <math>k</math> sedemikian rupa <math>2^k</math> habis membagi <math>n</math>. Misalkan <math>a</math> adalah koefisien <math>z^n</math> pada <math>p(z)</math> dan <math>F</math> adalah [[lapangan pemisahan]] dari <math>p(z)</math> terhadap <math>C</math>. Dengan kata lain, lapangan <math>F</math> memuat <math>C</math>dan ada elemen <math>z_1, z_2, \dots, z_n</math> di <math>F</math> maka<math display="block">p(z)=a(z-z_1)(z-z_2) \cdots (z-z_n).</math>

Jika <math>k=0</math>, maka <math>n</math> adalah bilangan ganjil, sehingga <math>p(z)</math> memiliki akar real. Sekarang, misalkan <math>n=2^{k}m</math> (dengan <math>m</math> bilangan ganjil dan <math>k>0</math>) dan asumsikan teorema ini telah dibuktikan untuk polinomial berderajat <math>2^{k-1}m'</math>, dengan <math>m'</math> adalah bilangan ganjil. Untuk setiap bilangan real <math>t</math>, definisikan polinomial <math>q_t(z)</math> sebagai berikut:<math display="block">q_t(z)=\prod_{1\le i<j\le n}\left(z-z_i-z_j-tz_iz_j\right).</math>

Maka, koefisien dari <math>q_t(z)</math> adalah polinomial simetris dalam <math>z_i</math> dengan koefisien real. Dengan demikian, koefisien-koefisien tersebut dapat dituliskan sebagai polinomial multivariabel dengan koefisien real, dengan variabelnya berupa polinomial simetris elementer. Jadi, <math>q_t(z)</math> adalah polinomial dengan koefisien real. Lebih jauh lagi, derajat dari polinomial <math>q_t(z)</math> adalah <math>n(n-1)/2=2^{k-1}m(n-1),</math> dan <math>m(n-1)</math> adalah bilangan ganjil. Dengan menggunakan hipotesis induksi, polinomial <math>q_t</math> memiliki setidaknya satu akar kompleks, sehingga ini berarti <math>z_i+z_j+tz_iz_j</math> adalah bilangan kompleks untuk dua bilangan asli <math>i, j \in \{1, 2, \dots n\}</math> yang berbeda. Karena banyaknya bilangan real lebih banyak daripada banyaknya pasangan <math>(i, j)</math> yang mungkin, terdapat dua bilangan real berbeda <math>t</math> dan <math>s</math> sehingga <math>z_i+z_j+tz_iz_j</math> dan <math>z_i+z_j+sz_iz_j</math> adalah bilangan kompleks (untuk pasangan <math>(i, j)</math> yang sama). Akibatnya, <math>z_i+z_j</math> dan <math>z_iz_j</math> keduanya adalah bilangan kompleks. Mengingat setiap bilangan kompleks memiliki akar kuadrat kompleks, maka sembarang polinomial koefisien kompleks berderajat dua memiliki akar kompleks dari rumus kuadrat. Akibatnya, <math>z_i</math> dan <math>z_j</math> adalah bilangan kompleks, karena keduanya merupakan akar dari persamaan polinomial kuadrat <math>z^2-(z_i+z_j)z+z_iz_j</math>.

Pada 2007, Joseph Shipman menunjukkan bahwa asumsi polinomial berderajat ganjil selalu memiliki akar merupakan asumsi yang dapat diganti dengan asumsi yang lebih ringan. Ia menunjukkan semua lapangan dengan sifat setiap polinomial berderajat prima memiliki akar haruslah tertutup secara aljabar (sehingga derajat "ganjil" dapat diganti dengan derajat "ganjil prima" dan ini berlaku untuk lapangan dengan sembarang karakteristik).<ref>Shipman, J. [http://www.jon-arny.com/httpdocs/Gauss/Shipman%20Intellig%20Mod%20p%20FTA.pdf Improving the Fundamental Theorem of Algebra]  ''The Mathematical Intelligencer'', Volume 29 (2007), Number 4. pp. 9-14</ref> Sifat ini dapat digunakan sebagai definisi lapangan yang tertutup secara aljabar dapat didefinisikan, karena asumsi ini sudah tidak dapat diperingan lagi, mengingat terdapat contoh penyangkal apabila ada bilangan prima ganjil yang tidak dimasukkan ke asumsi. Akan tetapi, contoh-contoh penyangkal yang diberikan hanyalah berupa polinomial yang memiliki koefisien dari lapangan yang tidak memiliki akar kuadrat dari <math>-1</math>. Pada lapangan yang memiliki akar kuadrat dari <math>-1</math>, jika setiap polinomial berderajat <math>n \in I</math> memiliki akar (<math>I</math> adalah suatu himpunan tak hingga yang tidak memiliki anggota bilangan genap), maka setiap polinomial <math>f(x)</math> berderajat ganjil memiliki akar (karena <math>(x^2+1)^kf(x)</math> memiliki akar, dengan <math>k</math> dipilih sedemikian sehingga <math>\deg(f)+2k\in I</math>. Mohsen Aliabadi memperluas{{Dubious|date=July 2019}} hasil dari Shipman pada 2013, membuktikan secara independen bahwa syarat cukup untuk sembarang lapangan (dengan sembarang karakteristik) agar menjadi tertutup secara aljabar adalah dengan menunjukkan lapangan tersebut memiliki akar untuk polinomial berderajat prima.<ref>M. Aliabadi, M. R. Darafsheh, [[arxiv:1508.00937|On maximal and minimal linear matching property]], ''Algebra and discrete mathematics'', Volume 15 (2013). Number 2. pp. 174–178</ref>

==== Dengan teori Galois ====
Metode lain untuk membuktikan teorema dasar ini adalah dengan menggunakan [[teori Galois]], cukup dengan menunjukkan bahwa <math>\mathbb{C}</math> tidak memiliki perluasan lapangan sejati. Misalkan <math>K/\mathbb{C}</math> adalah perluasan berhingga. Karena penutup normal dari <math>K</math> atas lapangan <math>\mathbb{R}</math> berderajat hingga atas lapangan <math>\mathbb{C}</math> (atau <math>\mathbb{R}</math>), tanpa mengurangi keumuman, asumsikan <math>K</math> adalah perluasan normal dari <math>\mathbb{R}</math> (sehingga merupakan perluasan Galois, mengingat setiap perluasan aljabar dari lapangan dengan karakteristik 0 bersifat terpisahkan). Misalkan <math>G</math> adalah [[grup Galois]] dari perluasan <math>K/\mathbb{R}</math>, dan <math>H</math> adalah subgrup-2 Sylow dari <math>G</math>, sehingga orde dari <math>H</math> adalah perpangkatan dari bilangan 2 dan indeks subgrup <math>H</math> di <math>G</math> bernilai ganjil. Dari teorema dasar teori Galois, terdapat subperluasan <math>L</math> dari <math>K/\mathbb{R}</math> sedemikian sehingga <math>\mathrm{Gal}(K/L)=H</math>. Karena <math>[L:\mathbb{R}]=[G:H]</math> bernilai ganjil dan tidak ada polinomial real nonlinear berderajat ganjil yang tidak dapat direduksi, maka <math>L=\mathbb{R}</math> , sehingga <math>[K:\mathbb{R}]</math> dan <math>[K:\mathbb{C}]</math> adalah perpangkatan dari bilangan 2. Dengan metode kontradiksi, asumsikan bahwa <math>[K:\mathbb{C}]>1</math>, sehingga orde dari grup <math>\mathrm{Gal}(K/C)</math> adalah perpangkatan dari bilangan 2, maka terdapat subperluasan <math>M</math> dari <math>K/\mathbb{C}</math> yang memiliki derajat 2. Akan tetapi, lapangan <math>\mathbb{C}</math> tidak memiliki perluasan berderajat 2, sebab setiap polinomial kompleks kuadrat memiliki akar kompleks, sebagaimana yang telah disebutkan di atas. Ini menunjukkan bahwa <math>[K:\mathbb{C}]=1</math>, sehingga <math>K=C</math>. Dengan demikian, bukti ini selesai.<!-- [Bagian ini belum Diterjemahkan]
If ''k''&nbsp;=&nbsp;0, then ''n'' is odd, and therefore ''p''(''z'') has a real root. Now, suppose that ''n''&nbsp;=&nbsp;2''<sup>k</sup>m'' (with ''m'' odd and ''k''&nbsp;>&nbsp;0) and that the theorem is already proved when the degree of the polynomial has the form 2<sup>''k''&nbsp;−&nbsp;1</sup>''m''′ with ''m''′ odd. For a real number ''t'', define:

:<math>q_t(z)=\prod_{1\le i<j\le n}\left(z-z_i-z_j-tz_iz_j\right).</math>

Then the coefficients of ''q<sub>t</sub>''(''z'') are [[symmetric polynomial]]s in the ''z<sub>i</sub>'' with real coefficients. Therefore, they can be expressed as polynomials with real coefficients in the [[elementary symmetric polynomial]]s, that is, in −''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., (−1)''<sup>n</sup>a<sub>n</sub>''. So ''q<sub>t</sub>''(''z'') has in fact ''real'' coefficients. Furthermore, the degree of ''q<sub>t</sub>''(''z'') is ''n''(''n''&nbsp;−&nbsp;1)/2&nbsp;=&nbsp;2<sup>''k''−1</sup>''m''(''n''&nbsp;−&nbsp;1), and ''m''(''n''&nbsp;−&nbsp;1) is an odd number. So, using the induction hypothesis, ''q<sub>t</sub>'' has at least one complex root; in other words, ''z<sub>i</sub>''&nbsp;+&nbsp;''z<sub>j</sub>''&nbsp;+&nbsp;''tz<sub>i</sub>z<sub>j</sub>'' is complex for two distinct elements ''i'' and ''j'' from {1, ..., ''n''}. Since there are more real numbers than pairs (''i'', ''j''), one can find distinct real numbers ''t'' and ''s'' such that ''z<sub>i</sub>''&nbsp;+&nbsp;''z<sub>j</sub>''&nbsp;+&nbsp;''tz<sub>i</sub>z<sub>j</sub>'' and ''z<sub>i</sub>''&nbsp;+&nbsp;''z<sub>j</sub>''&nbsp;+&nbsp;''sz<sub>i</sub>z<sub>j</sub>'' are complex (for the same ''i'' and ''j''). So, both ''z<sub>i</sub>''&nbsp;+&nbsp;''z<sub>j</sub>'' and ''z<sub>i</sub>z<sub>j</sub>'' are complex numbers. It is easy to check that every complex number has a complex square root, thus every complex polynomial of degree 2 has a complex root by the quadratic formula. It follows that ''z<sub>i</sub>'' and ''z<sub>j</sub>'' are complex numbers, since they are roots of the quadratic polynomial ''z''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp; (''z<sub>i</sub>''&nbsp;+&nbsp;''z<sub>j</sub>'')''z''&nbsp;+&nbsp;''z<sub>i</sub>z<sub>j</sub>''.

Joseph Shipman showed in 2007 that the assumption that odd degree polynomials have roots is stronger than necessary; any field in which polynomials of prime degree have roots is algebraically closed (so "odd" can be replaced by "odd prime" and furthermore this holds for fields of all characteristics).<ref>Shipman, J. [http://www.jon-arny.com/httpdocs/Gauss/Shipman%20Intellig%20Mod%20p%20FTA.pdf Improving the Fundamental Theorem of Algebra]  ''The Mathematical Intelligencer'', Volume 29 (2007), Number 4. pp. 9-14</ref> For axiomatization of algebraically closed fields, this is the best possible, as there are counterexamples if a single prime is excluded. However, these counterexamples rely on −1 having a square root. If we take a field where −1 has no square root, and every polynomial of degree ''n''&nbsp;∈&nbsp;''I'' has a root, where ''I'' is any fixed infinite set of odd numbers, then every polynomial ''f''(''x'') of odd degree has a root (since {{nowrap|(''x''<sup>2</sup> + 1)<sup>''k''</sup>''f''(''x'')}} has a root, where ''k'' is chosen so that {{nowrap|deg(''f'') + 2''k'' ∈ ''I''}}). Mohsen Aliabadi generalized{{Dubious|date=July 2019}} Shipman's result in 2013, providing an independent proof that a sufficient condition for an arbitrary field (of any characteristic) to be algebraically closed is that it has a root for every polynomial of prime degree.<ref>M. Aliabadi, M. R. Darafsheh, [https://arxiv.org/abs/1508.00937 On maximal and minimal linear matching property], ''Algebra and discrete mathematics'', Volume 15 (2013). Number 2. pp. 174–178</ref>

Another algebraic proof of the fundamental theorem can be given using [[Galois theory]]. It suffices to show that '''C''' has no proper finite [[field extension]].<ref>A proof of the fact that this suffices can be seen [[Algebraically closed field#The field has no proper finite extension|here]].</ref> Let ''K''/'''C''' be a finite extension. Since the [[Normal extension#Normal closure|normal closure]] of ''K'' over '''R''' still has a finite degree over '''C''' (or '''R'''), we may assume [[without loss of generality]] that ''K'' is a [[normal extension]] of '''R''' (hence it is a [[Galois extension]], as every algebraic extension of a field of [[characteristic (algebra)|characteristic]] 0 is [[separable extension|separable]]). Let ''G'' be the [[Galois group]] of this extension, and let ''H'' be a [[Sylow theorems|Sylow]] 2-subgroup of ''G'', so that the [[order (group theory)|order]] of ''H'' is a power of 2, and the [[index of a subgroup|index]] of ''H'' in ''G'' is odd. By the [[fundamental theorem of Galois theory]], there exists a subextension ''L'' of ''K''/'''R''' such that Gal(''K''/''L'')&nbsp;=&nbsp;''H''. As [''L'':'''R''']&nbsp;=&nbsp;[''G'':''H''] is odd, and there are no nonlinear irreducible real polynomials of odd degree, we must have ''L''&nbsp;= '''R''', thus [''K'':'''R'''] and [''K'':'''C'''] are powers of 2. Assuming by way of contradiction that [''K'':'''C''']&nbsp;>&nbsp;1, we conclude that the [[p-group|2-group]] Gal(''K''/'''C''') contains a subgroup of index 2, so there exists a subextension ''M'' of '''C''' of degree&nbsp;2. However, '''C''' has no extension of degree&nbsp;2, because every quadratic complex polynomial has a complex root, as mentioned above. This shows that [''K'':'''C'''] = 1, and therefore ''K'' = '''C''', which completes the proof.

===Geometric proofs===
There exists still another way to approach the fundamental theorem of algebra, due to J. M. Almira and A. Romero: by [[Riemannian geometry|Riemannian geometric]] arguments. The main idea here is to prove that the existence of a non-constant polynomial ''p''(''z'') without zeros implies the existence of a [[Flat manifold|flat Riemannian metric]] over the sphere '''S'''<sup>2</sup>. This leads to a contradiction, since the sphere is not flat.

A Riemannian surface (''M'', ''g'') is said to be flat if its Gaussian curvature, which we denote by ''K<sub>g</sub>'', is identically null. Now, [[Gauss–Bonnet theorem]], when applied to the sphere '''S'''<sup>2</sup>, claims that

:<math>\int_{\mathbf{S}^2}K_g=4\pi,</math>

which proves that the sphere is not flat.

Let us now assume that ''n'' > 0 and

:<math>p(z) = a_0 + a_1 z + \cdots + a_n z^n \neq 0</math>

for each complex number ''z''. Let us define

:<math>p^*(z) = z^n p \left ( \tfrac{1}{z} \right ) = a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_n.</math>

Obviously, ''p*''(''z'')&nbsp;≠ 0 for all ''z'' in '''C'''. Consider the polynomial ''f''(''z'')&nbsp;=&nbsp;''p''(''z'')''p*''(''z''). Then ''f''(''z'')&nbsp;≠ 0 for each ''z'' in '''C'''. Furthermore,

:<math>f(\tfrac{1}{w}) = p \left (\tfrac{1}{w} \right )p^* \left (\tfrac{1}{w} \right ) = w^{-2n}p^*(w)p(w) = w^{-2n}f(w).</math>

We can use this functional equation to prove that ''g'', given by

:<math>g=\frac{1}{|f(w)|^{\frac{2}{n}}}\,|dw|^2 </math>

for ''w'' in '''C''', and

:<math>g=\frac{1}{\left |f\left (\tfrac{1}{w} \right ) \right |^{\frac{2}{n}}}\left |d\left (\tfrac{1}{w} \right ) \right |^2 </math>

for ''w''&nbsp;∈&nbsp;'''S'''<sup>2</sup>\{0}, is a well defined Riemannian metric over the sphere '''S'''<sup>2</sup> (which we identify with the extended complex plane '''C'''&nbsp;∪&nbsp;{∞}).

Now, a simple computation shows that

:<math>\forall w\in\mathbf{C}: \qquad  \frac{1}{|f(w)|^{\frac{1}{n}}} K_g=\frac{1}{n}\Delta \log|f(w)|=\frac{1}{n}\Delta \text{Re}(\log f(w))=0,</math>

since the real part of an analytic function is harmonic. This proves that ''K<sub>g</sub>''&nbsp;=&nbsp;0.-->

== Akibat ==
Karena teorema dasar aljabar dapat dipandang sebagai pernyataan bahwa lapangan bilangan kompleks tertutup secara aljabar, maka segala teorema mengenai lapangan tertutup secara aljabar berlaku untuk lapangan bilangan kompleks. Berikut adalah beberapa akibat teorema dasar aljabar mengenai lapangan bilangan real dan hubungannya dengan lapangan bilangan kompleks.

* Lapangan bilangan kompleks adalah penutup aljabar lapangan bilangan real.
* Setiap polinomial variabel tunggal <math>z</math> dengan koefisien kompleks adalah hasil kali dari suatu konstanta kompleks dan faktor-faktor linear berbentuk <math>z+a</math>, dengan <math>a</math> suatu bilangan kompleks.
* Setiap polinomial variabel tunggal <math>x</math> dengan koefisien real dapat secara unik dituliskan sebagai hasil kali konstanta <math>x+a</math> dengan <math>a</math> real, dan polinomial berbentuk <math>x^2+bx+c</math> dengan <math>b, c</math> real dan <math>b^2-4c<0</math> (ini sama saja dengan <math>x^2+bx+c=0</math> tidak memiliki solusi real). Ini mengimplikasikan bahwa banyaknya akar kompleks tidak real selalu genap, baik dengan memperhitungkan multiplisitas aljabar maupun tidak.
* Setiap perluasan aljabar dari lapangan bilangan real isomorfis dengan lapangan bilangan real atau lapangan bilangan kompleks.
* Setiap fungsi rasional variabel tunggal <math>x</math> dengan koefisien real dapat dituliskan sebagai jumlah fungsi-fungsi polinomial variabel tunggal dengan variabel fungsi rasional berbentuk <math>1/(x-a)</math> (dengan <math>a</math> bilangan real) dan fungsi-fungsi polinomial variabel tunggal dengan variabel fungsi rasional berbentuk <math>ax+b/(x^2+cx+d)^n</math> (dengan <math>n</math> bilangan asli, dan <math>a, b, c, d</math> bilangan real sedemikian sehingga <math>c^2-4d<0</math>).  Akibatnya, setiap fungsi rasional variabel tunggal dengan koefisien real memiliki antiderivatif yang elementer.

== Batas pada akar dari polinomial ==
{{Main|Sifat dari akar polinomial}}Dari perspektif teoretis ataupun perspektif praktis tertentu, lokasi dari akar-akar suatu polinomial merupakan informasi yang berharga. Sayangnya, walaupun teorema dasar aljabar telah menunjukkan adanya akar dari polinomial variabel tunggal, teorema ini tidak memberikan informasi mengenai lokasi dari akar polinomial variabel tunggal. Salah satu hasil terkait  lokasi akar polinomial variabel tunggal yang relatif sederhana diberikan oleh batas pada modulus berikut: semua akar <math>\zeta</math> pada polinomial monik <math>z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0</math> memenuhi pertidaksamaan <math>|\zeta|\leq R_{\infty}</math>, dengan

<math>R_{\infty}=1+\max\{|a_0|, \dots, |a_{n-1}|\}.</math>

Perhatikan bahwa hasil ini tidak menyatakan bahwa polinomial variabel tunggal memiliki akar, namun hanyalah pernyataan jika suatu polinomial ''memiliki akar,'' maka akar tersebut terdapat pada cakram tertutup berpusat di titik asal dengan jari-jari <math>R_{\infty}</math>.  Namun, hasil ini bersama-sama dengan teorema dasar aljabar menyatakan bahwa cakram tertutup tersebut memuat setidaknya satu akar. Secara lebih luas, batas pada akar polinomial dapat diberikan dengan menggunakan [[Norma-p|norma-''p'']] dari vektor koefisien polinomial <math>a:=(a_0, a_1, \dots, a_{n-1}),</math> yaitu <math>|\zeta|\leq R_p</math>, dengan <math>R_p</math> merupakan norma-''q'' dari vektor <math>(1, \|a\|_p),</math> dengan <math>q</math> adalah eksponen konjugat dari <math>p</math>, atau dengan kata lain <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1</math>, untuk <math>1 \leq p \leq \infty</math>. Maka, modulus dari akar-akar polinomial dibatasi juga oleh<math display="block">R_1:=\max\left\{1, \sum_{0 \leq k < n}|a_k|\right\},</math><math display="block">R_p:=\left[1+\left(\sum_{0 \leq k < n}|a_k|^p\right)^{\frac{q}{p}}\right]^{\frac{1}{q}},</math>

dengan <math>1<p<\infty,</math> dan khususnya,<math display="block">R_2:=\sqrt{\sum_{0 \leq k \leq n}|a_k|^2}</math>(dengan <math>a_n=1</math>, yang masuk akal karena koefisien <math>z^n</math> pada polinomial adalah 1). Kasus umum untuk sembarang polinomial berderajat <math>n</math>,<math display="block">P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0,</math>tentunya dapat direduksi ke kasus polinomial monik dengan membagi semua koefisien dengan <math>a_n \neq 0</math>. Jika 0 bukan akar dari polinomial tersebut, i.e. <math>a_0 \neq 0</math>, batas bawah dari <math>\zeta</math> adalah batas atas dari <math>1/\zeta</math>, yaitu, akar-akar dari<math display="block">a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_{n-1}z+a_n.</math>

Dari uraian di atas, batas atas dan batas bawah jarak <math>|\zeta-\zeta_0|</math> dari akar <math>\zeta</math> ke sembarang titik <math>\zeta_0</math> dapat ditentukan, dengan memandang <math>\zeta-\zeta_0</math> sebagai akar dari polinomial <math>P(z+\zeta_0)</math>, yang koefisiennya adalah ekspansi Taylor dari <math>P(z)</math> pada <math>z=\zeta_0</math>.

Untuk membuktikan <math>|\zeta|\leq R_p</math>, misalkan <math>\zeta</math> adalah akar dari polinomial<math display="block">z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0;</math>sehingga dapat diasumsikan <math>|\zeta|<1.</math> Maka,<math display="block">-\zeta^n=a_{n-1}\zeta^{n-1}+\dots+a_1\zeta+a_0;</math>dan dengan menggunakan [[pertidaksamaan Hölder]] diperoleh bahwa<math display="block">|\zeta|^n \leq \|a\|_p \|(\zeta^{n-1}, \dots, \zeta, 1)\|_q.</math>

Khususnya, jika <math>p=1</math>,<math display="block">|\zeta|^n \leq \|a\|_1 \max\{|\zeta|^{n-1}, \dots, |\zeta|, 1\}=\|a\|_1\|\zeta|^{n-1},</math>maka<math display="block">|\zeta|\leq\max\{1, \|a\|_1\}.</math>

Jika <math>1<p\leq \infty</math>, dengan menggunakan rumus deret geometri diperoleh bahwa

<math display="block">|\zeta|^n \leq \|a\|_p (|\zeta|^{q(n-1)}+ \dots+ |\zeta|^q+ 1)^{\frac{1}{q}}
=\|a\|_p\left(\frac{|\zeta|^{qn}-1}{|\zeta|^q-1}\right)^{\frac{1}{q}}\leq\|a\|_p\left(\frac{|\zeta|^{qn}}{|\zeta|^q-1}\right)^{\frac{1}{q}},</math>maka<math display="block">|\zeta|^{nq}\leq \|a\|_p^{q}\frac{|\zeta|^{qn}}{|\zeta|^q-1}</math>yang dapat disederhanakan menjadi<math display="block">\|\zeta\|^q \leq 1+\|a\|_p^q.</math>Maka<math display="block">|\zeta\|\leq\|(1, \|a_p\|)\|_q=R_p,</math>untuk <math>1\leq p \leq \infty.</math>

== Lihat pula ==
* [[Teorema faktorisasi Weierstrass]], sebuah generalisasi dari teorema tersebut ke seluruh fungsi lainnya

== Referensi ==
=== Kutipan ===
{{Reflist}}

=== Sumber bersejarah ===
*{{Citation|last = Cauchy|first = Augustin-Louis|author-link = Augustin-Louis Cauchy|publication-date = 1992|year = 1821|title = Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1<sup>ère</sup> partie: Analyse Algébrique|url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29058v|place = Paris|publisher = Éditions Jacques Gabay|isbn = 978-2-87647-053-8}} (tr. Course on Analysis of the [[École Polytechnique|Royal Polytechnic Academy]], part 1: Algebraic Analysis)
* {{citation|last = Euler|first = Leonhard|author-link = Leonhard Euler|year = 1751|title = Recherches sur les racines imaginaires des équations|periodical = Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin|location = Berlin|volume = 5|pages = 222–288|url = http://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=02-hist/1749&seite:int=228|accessdate = 2021-03-10|archive-date = 2008-12-24|archive-url = https://web.archive.org/web/20081224062952/http://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=02-hist%2F1749&seite%3Aint=228|dead-url = yes}}. English translation: {{citation|last = Euler|first = Leonhard|author-link = Leonhard Euler|year = 1751|title = Investigations on the Imaginary Roots of Equations|periodical = Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin|location = Berlin|volume = 5|pages = 222–288|url = http://eulerarchive.maa.org/docs/translations/E170en.pdf}}
* {{citation|last = Gauss|first = Carl Friedrich|author-link = Carl Friedrich Gauss|year = 1799|title = Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse|place = [[Helmstedt]]|publisher = C.&nbsp;G.&nbsp;Fleckeisen}} (tr. New proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree).
* {{Citation|last=Gauss|first=Carl Friedrich|year=1866|title=Carl Friedrich Gauss Werke|publisher=Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen|volume=Band III|url={{Google books|WFxYAAAAYAAJ|Werke: Analysis|plainurl=yes}}}}
*#{{Google books|WFxYAAAAYAAJ|Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1799), pp. 1–31.|page=1}} – first proof.
*#{{Google books|WFxYAAAAYAAJ|Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1815 Dec), pp. 32–56.|page=32}} – second proof.
*#{{Google books|WFxYAAAAYAAJ|Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia Supplementum commentationis praecedentis (1816 Jan), pp. 57–64.|page=57}} – third proof.
*#{{Google books|WFxYAAAAYAAJ|Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen (1849 Juli), pp. 71–103.|page=71}} – fourth proof.
* {{citation|last = Kneser|first = Hellmuth|author-link = Hellmuth Kneser|year = 1940|title = Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus|url = http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN266833020_0046|periodical = Mathematische Zeitschrift|volume = 46|pages = 287–302|issn = 0025-5874|doi = 10.1007/BF01181442}} (The Fundamental Theorem of Algebra and [[Intuitionism]]).
* {{citation|last = Kneser|first = Martin|year = 1981|title = Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra|url = http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN266833020_0177|periodical = Mathematische Zeitschrift|volume = 177|pages = 285–287|issn = 0025-5874|doi = 10.1007/BF01214206|issue = 2}} (tr. An extension of a work of [[Hellmuth Kneser]] on the Fundamental Theorem of Algebra).
* {{citation|last = Ostrowski|first = Alexander | author-link = Alexander Ostrowski | year = 1920 | chapter = Über den ersten und vierten Gaußschen Beweis des Fundamental-Satzes der Algebra | title = Carl Friedrich Gauss ''Werke'' Band X Abt. 2 | chapter-url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN236019856&DMDID=dmdlog53}} (tr. On the first and fourth Gaussian proofs of the Fundamental Theorem of Algebra).
* {{cite conference|last=Weierstraß|first=Karl|authorlink=Karl Weierstrass|title=Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen|booktitle=Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin|pages=1085–1101|year=1891|url=http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige?band=10-sitz/1891-2&seite:int=00000565|access-date=2021-03-10|archive-date=2013-11-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20131102093616/http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige?band=10-sitz%2F1891-2&seite%3Aint=00000565|dead-url=yes}} (tr. New proof of the theorem that every integral rational function of one variable can be represented as a product of linear functions of the same variable).

===Recent literature===
* {{citation|last = Almira|first = J.M.|last2 = Romero|first2 = A. |year = 2007|title = Yet another application of the Gauss-Bonnet Theorem for the sphere|periodical = [[Bulletin of the Belgian Mathematical Society]]|volume = 14|pages = 341–342| url = http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?handle=euclid.bbms/1179839226&view=body&content-type=pdf_1}}
* {{citation|last = Almira|first = J.M.|last2 = Romero|first2 = A. |year = 2012|title = Some Riemannian geometric proofs of the Fundamental Theorem of Algebra|periodical = Differential Geometry – Dynamical Systems|volume = 14|pages = 1–4| url = http://www.mathem.pub.ro/dgds/v14/D14-al.pdf}}
* {{citation|last = de Oliveira|first = O.R.B.|year = 2011|title = The Fundamental Theorem of Algebra: an elementary and direct proof|periodical = Mathematical Intelligencer|volume = 33|issue = 2|pages = 1–2|doi=10.1007/s00283-011-9199-2}}
* {{citation|last = de Oliveira|first = O.R.B.|year = 2012|title = The Fundamental Theorem of Algebra: from the four basic operations|periodical = American Mathematical Monthly|volume = 119|issue = 9|pages = 753–758|doi=10.4169/amer.math.monthly.119.09.753|arxiv = 1110.0165}}
* {{citation|last = Fine|first = Benjamin|last2 = Rosenberger|first2 = Gerhard|title = The Fundamental Theorem of Algebra|publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|place = Berlin|year = 1997|isbn = 978-0-387-94657-3|series = [[Undergraduate Texts in Mathematics]]|mr = 1454356}}
* {{citation|last = Gersten|first = S.M.|last2 = Stallings|first2 = John R.|year = 1988|title = On Gauss's First Proof of the Fundamental Theorem of Algebra|jstor = 2047574|periodical = Proceedings of the AMS|volume = 103|issue = 1|pages = 331–332|issn = 0002-9939|doi = 10.2307/2047574}}
* {{citation|last = Gilain|first = Christian|year = 1991|title = Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral|periodical = Archive for History of Exact Sciences|volume = 42|issue = 2|pages = 91–136|issn = 0003-9519|doi = 10.1007/BF00496870}} (tr. On the history of the fundamental theorem of algebra: [[theory of equations]] and [[integral calculus]].)
* {{citation|last = Netto|first = Eugen|last2 = Le Vavasseur|first2 = Raymond|author-link = Eugen Netto|year = 1916|chapter = Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental|editor-last = Meyer|editor-first = François|editor2-last = Molk|editor2-first = Jules|title = Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome&nbsp;I, vol.&nbsp;2|publication-date = 1992|publisher = Éditions Jacques Gabay|isbn = 978-2-87647-101-6}} (tr. The rational functions §80–88: the fundamental theorem).
* {{citation|last = Remmert|first = Reinhold|author-link = Reinhold Remmert|year = 1991|chapter = The Fundamental Theorem of Algebra|editor-last = Ebbinghaus|editor-first = Heinz-Dieter|editor2-last = Hermes|editor2-first = Hans|editor3-last = Hirzebruch|editor3-first = Friedrich|title = Numbers|series = Graduate Texts in Mathematics 123|editor3-link = Friedrich Hirzebruch|place = Berlin|publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|isbn = 978-0-387-97497-2|url-access = registration|url = https://archive.org/details/numbers0000unse_d4i8}}
* {{citation|last = Shipman|first = Joseph|year = 2007|title = Improving the Fundamental Theorem of Algebra|periodical = Mathematical Intelligencer|volume = 29|issue = 4|pages = 9–14|doi=10.1007/BF02986170|issn = 0343-6993}}
* {{citation|last = Smale|first = Steve|year = 1981|title=The Fundamental Theorem of Algebra and Complexity Theory|author-link = Stephen Smale|periodical = Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society|volume = 4 | issue = 1}} [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183547848]
* {{citation|last = Smith|first = David Eugene|author-link = David Eugene Smith|title = A Source Book in Mathematics|publisher = [[Dover Publications|Dover]]|isbn = 978-0-486-64690-9|year = 1959|url-access = registration|url = https://archive.org/details/sourcebookinmath0000smit}}
* {{citation|last = Smithies|first = Frank|year = 2000|title = A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra|periodical = Notes & Records of the Royal Society|volume = 54|issue = 3|pages = 333–341|issn = 0035-9149|doi = 10.1098/rsnr.2000.0116}}
* {{citation|last = Taylor|first = Paul|date = 2 June 2007|title = Gauss's second proof of the fundamental theorem of algebra|url = http://www.paultaylor.eu/misc/gauss-web.php}} – English translation of Gauss's second proof.
* {{citation | last = van der Waerden | first = Bartel Leendert | author-link = Bartel Leendert van der Waerden | title = Algebra | volume = I | edition = 7th | year = 2003 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] | isbn = 978-0-387-40624-4}}

== Pranala luar ==
{{Wikisourcelang|la|Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse|Gauss's first proof}}
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Algebra,_fundamental_theorem_of ''Algebra, fundamental theorem of'' at Encyclopaedia of Mathematics]
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/fundamental2.shtml Fundamental Theorem of Algebra]&nbsp;— a collection of proofs
* D. J. Velleman: ''The Fundamental Theorem of Algebra: A Visual Approach'', [http://www.cs.amherst.edu/~djv/ PDF (unpublished paper)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160616112617/http://www.cs.amherst.edu/%7Edjv/ |date=2016-06-16 }}, visualisation of d'Alembert's, Gauss's and the winding number proofs
* [http://www.ams.org/notices/200806/tx080600666p.pdf ''From the Fundamental Theorem of Algebra to Astrophysics: A "Harmonious" Path'']
* {{Google books|g3VaAAAAcAAJ|Gauss's first proof (in Latin)}}
* {{Google books|Svc7AQAAMAAJ|Gauss's first proof (in Latin)}}
* [[Mizar system]] proof: http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74

{{DEFAULTSORT:Teorema Dasar Aljabar}}
[[Kategori:Artikel yang memuat pembuktian]]
[[Kategori:Bidang (matematika)]]
[[Kategori:Teorema Dasar| Aljabar]]
[[Kategori:Teorema dalam aljabar]]
[[Kategori:Teorema dalam analisis kompleks]]