Lihat sumber Teorema Sylow

{{short description|Teorema yang membantu menguraikan grup berhingga berdasarkan faktor prima urutannya}}
{{Group theory sidebar |Finite}}{{Periksa terjemahan|en|Sylow theorem}}{{More footnotes|date=November 2020}}

Dalam matematika, khususnya di bidang [[teori grup hingga]], '''Teorema Sylow''' adalah kumpulan [[teorema]] yang dinamai menurut matematikawan Norwegia [[Peter Ludwig Mejdell Sylow | Peter Ludwig Sylow]] ([[#{{harvid|Sylow|1872}}|1872]]) yang memberikan informasi rinci tentang jumlah [[subgrup]] dari [[urutan grup | urutan]] yang berisi [[grup hingga]] tertentu. Teorema Sylow membentuk bagian fundamental dari teori grup hingga dan memiliki aplikasi yang sangat penting dalam [[klasifikasi grup sederhana hingga]].

Untuk [[bilangan prima]] ''p'', '''Sylow subgrup ''p''''' (terkadang '''Sylow subgrup ''p''''' dari grup '' G '' adalah maksimal subgrup '' p ''  dari '' G '', yaitu, subgrup dari '' G '' yaitu [[grup-p |grup ''p'']] (sehingga [[urutan elemen grup | urutan]] dari setiap elemen grup adalah [[kekuatan (matematika) | kekuatan]] dari ''p'') itu bukan subgrup yang tepat dari '' p '' lainnya, subgrup dari '' G ''. Himpunan dari semua Sylow subgrup '' p '' untuk prima tertentu '' p '' terkadang ditulis Syl<sub>''p''</sub>(''G'').

Teorema Sylow menyatakan kebalikan parsial [[Teorema Lagrange (teori grup) | Teorema Lagrange]]. Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk setiap grup hingga '' G '' urutan (jumlah elemen) dari setiap subgrup '' G '' membagi urutan '' G ''.  Teorema Sylow menyatakan bahwa untuk setiap [[faktor prima]] '' p '' dari urutan grup hingga '' G '', terdapat Sylow subgrup '' p '' order '' G '' ''p<sup>n</sup>'', pangkat tertinggi '' p '' yang membagi urutan '' G ''. Selain itu, setiap subgrup order ''p<sup>n</sup>'' adalah Sylow subgrup '' p ''  dari '' G '', dan Sylow '' p '' - subgrup dari grup (untuk prime '' p '' tertentu) adalah [[kelas Konjugasi|konjugasi]] satu sama lain. Selanjutnya, jumlah Sylow subgrup '' p '' dari grup untuk prima '' p '' yang diberikan kongruen dengan {{nowrap|1 mod ''p''.}}

== Teorema ==

Kumpulan subgrup yang masing-masing maksimal dalam satu hal atau lainnya adalah hal biasa dalam teori grup. Hasil yang mengejutkan di sini adalah dalam kasus Syl<sub>''p''</sub>(''G''), semua anggota sebenarnya [[group isomorphism | isomorphic]] satu sama lain dan memiliki urutan terbesar: jika |''G''| = ''p<sup>n</sup>m'' dengan ''n'' > 0 dimana '' p '' tidak membagi '' m '', maka setiap Sylow subgrup '' p '' ,'' P '' memiliki urutan |''P''| = ''p<sup>n</sup>''. Artinya, '' P '' adalah grup '' p '' dan ''gcd''(|''G'' : ''P''|, ''p'') = 1. Sifat ini dapat dimanfaatkan untuk menganalisis lebih lanjut struktur '' G ''.

Teorema berikut pertama kali diajukan dan dibuktikan oleh Ludwig Sylow pada tahun 1872, dan diterbitkan pada ''[[Mathematische Annalen]]''.

'''Teorema 1''': Untuk setiap [[faktor prima]] '' p '' dengan [[kelipatan faktor prima | kelipatan]] '' n '' dari urutan grup hingga '' G '', terdapat Sylow subgrup '' p '' dan '' G '', berurutan ''p<sup>n</sup>''.

Versi lemah teorema 1 berikut ini pertama kali dibuktikan oleh [[Augustin-Louis Cauchy]], dan dikenal sebagai [[Teorema Cauchy (teori grup) | Teorema Cauchy]].

'''Korolari''': Diberikan kelompok terbatas '' G '' dan bilangan prima '' p '' membagi urutan '' G '', maka terdapat elemen (dan karenanya subgrup) berorde '' p '' pada ''G''.<ref>Fraleigh, Victor J. Katz. A First Course In Abstract Algebra. p. 322. {{isbn|9788178089973}}</ref>

'''Teorema 2''': Diberikan grup terbatas '' G '' dan bilangan prima '' p '', pada Sylow subgrup '' p '' dari '' G '' adalah [[kelas konjugasi | konjugasi]] satu sama lain, yaitu jika '' H '' dan '' K '' adalah Sylow subgrup '' p '' dari '' G '', maka terdapat elemen '' g '' di '' G '' dengan ''g''<sup>−1</sup>''Hg'' = ''K''.

'''Teorema 3''': Misalkan '' p '' menjadi faktor prima dengan kelipatan '' n '' dari urutan grup hingga '' G '', sehingga urutan '' G '' dapat dituliskan sebagai {{nowrap|''p<sup>n</sup>m''}}, dimana {{nowrap|''n'' > 0}} dan '' p '' tidak membagi '' m ''. Maka ''n<sub>p</sub>'' jadilah jumlah Sylow subgrup '' p '' dari '' G ''. Kemudian penangguhan berikut:
* ''n<sub>p</sub>'' membagi '' m '', yang merupakan [[indeks subkelompok | indeks]] dari Sylow subgrup '' p '' pada '' G ''.
* ''n<sub>p</sub>'' ≡ 1 (mod&nbsp;''p'').
* ''n<sub>p</sub>'' = |''G'' : ''N<sub>G</sub>''(''P'')|, di mana '' P '' adalah sembarang Sylow subgrup '' p '' dari '' G '' dan ''N<sub>G</sub>'' menunjukkan [[penormal]].

=== Konsekuensi ===

Teorema Sylow menyiratkan bahwa untuk bilangan prima '' p '' setiap Sylow subgrup '' p ''  memiliki urutan yang sama, ''p<sup>n</sup>''. Sebaliknya, jika subgrup memiliki urutan ''p<sup>n</sup>'', maka itu adalah Sylow subgrup '' p '', dan begitu juga isomorfik untuk setiap Sylow subgrup '' p ''. Karena kondisi maksimalitas, jika '' H '' adalah salah satu '' p '' - subgrup dari '' G '', maka '' H '' adalah subgrup dari subgrup '' p '' dari urutan ''p<sup>n</sup>''.

Konsekuensi yang sangat penting dari Teorema 2 adalah kondisi tersebut ''n<sub>p</sub>'' = 1 setara dengan mengatakan bahwa Sylow subgrup '' p '', '' G '' adalah [[subgrup normal]]
(ada grup yang memiliki subgrup normal tetapi tidak ada subgrup Sylow normal, seperti ''S''<sub>4</sub>).

=== Teorema Sylow untuk grup tak hingga ===

Ada analogi dari teorema Sylow untuk kelompok tak terbatas. Kami mendefinisikan Sylow subgrup '' p '' dalam grup tak terbatas menjadi subgrup '' p '' (yaitu, setiap elemen di dalamnya memiliki urutan daya '' p '') yang maksimal untuk dimasukkan di antara semua subgrup '' p '' dalam grup. Subgrup semacam itu ada oleh [[lemma Zorn]].

'''Teorema''': Jika '' K '' adalah Sylow '' p '' - subgrup dari '' G '', dan ''n<sub>p</sub>'' = |Cl(''K'')| terbatas, maka setiap Sylow subgrup '' p '' dikonjugasikan menjadi '' K '', dan ''n<sub>p</sub>'' ≡ 1 (mod&nbsp;''p''), dimana Cl(''K'') menunjukkan kelas konjugasi '' K ''.

== Contoh ==
[[Berkas:Labeled Triangle Reflections.svg|thumb|Dalam ''D''<sub>6</sub> semua refleksi adalah konjugasi, karena refleksi sesuai dengan subgrup 2 Sylow.]]

Ilustrasi sederhana subgrup Sylow dan teorema Sylow adalah [[kelompok dihedral]] dari ''n''-gon, ''D''<sub>2''n''</sub>. Untuk ''n'' ganjil, 2 = 2<sup>1</sup> adalah pangkat tertinggi dari 2 yang membagi ordo, dan dengan demikian subgrup orde 2 adalah subgrup Sylow. Ini adalah grup yang dihasilkan oleh refleksi, yang mana terdapat '' n '', dan semuanya terkonjugasi di bawah rotasi; secara geometris sumbu-sumbu simetri melewati sebuah simpul dan sisi.

[[Berkas:Hexagon reflections.svg|thumb|left|Dalam ''D''<sub>12</sub> refleksi tidak lagi sesuai dengan 2-subgrup Sylow, dan terbagi dalam dua kelas konjugasi.]]
Sebaliknya, jika '' n '' genap, maka 4 membagi urutan grup, dan subgrup orde 2 bukan lagi subgrup Sylow, dan kenyataannya mereka terbagi dalam dua kelas konjugasi, secara geometris menurut apakah mereka melewati dua simpul atau dua sisi. Ini terkait dengan [[automorfisme luar]], yang dapat diwakili oleh rotasi melalui π / '' n '', setengah dari rotasi minimal dalam kelompok dihedral.

{{Clear}}
Contoh lainnya adalah p-subgrup Sylow dari ''GL''<sub>2</sub>(''F''<sub>''q''</sub>), di mana '' p '' dan '' q '' adalah bilangan prima&nbsp;≥&nbsp;3 dan ''p''&nbsp;≡&nbsp;1&nbsp;(mod&nbsp;''q'') , yang semuanya [[geup Abelian | abelian]]. Urutan ''GL''<sub>2</sub>(''F''<sub>''q''</sub>) is (''q''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;1)(''q''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;''q'') = (''q'')(''q''&nbsp;+&nbsp;1)(''q''&nbsp;−&nbsp;1)<sup>2</sup>. Maka ''q''&nbsp;=&nbsp;''p''<sup>''n''</sup>''m''&nbsp;+&nbsp;1, urutan ''GL''<sub>2</sub>(''F''<sub>''q''</sub>) =&nbsp;''p''<sup>2''n''</sup> ''m''&prime;. Jadi dengan Teorema 1, urutan dari Sylow '' p '' adalah ''p''<sup>2''n''</sup>.

Salah satu subgrup '' P '', adalah himpunan matriks diagonal  <math>\begin{bmatrix}x^{im} & 0 \\0 & x^{jm} \end{bmatrix}</math>, ''x'' adalah salah satu [[root modulo primitif n | akar primitif]] dari  ''F''<sub>''q''</sub>. Karena urutan ''F''<sub>''q''</sub> is ''q''&nbsp;−&nbsp;1, its primitive roots have order ''q'' − 1, which implies that ''x''<sup>(''q''&nbsp;−&nbsp;1)/''p''<sup>''n''</sup></sup> or ''x''<sup>''m''</sup> dan semua kekuatannya memiliki urutan yang merupakan kekuatan '' p ''. Jadi, '' P '' adalah subkelompok di mana semua elemennya memiliki urutan yang merupakan kekuatan&nbsp;''p''. Jika ''p<sup>n</sup>'' pilihan untuk '' a '' dan '' b '', membuat |''P''| =&nbsp;''p''<sup>2''n''</sup>. Ini berarti '' P '' adalah Sylow '' p '' - subkelompok, yang abelian, karena semua [[matriks diagonal]] bolak-balik, dan karena Teorema 2 menyatakan bahwa semua Sylow subgrup'' p '' berkonjugasi satu sama lain ''GL''<sub>2</sub>(''F''<sub>''q''</sub>) pada [[Grup Abelian|grup abelian]].

== Contoh aplikasi ==
Karena teorema Sylow memastikan keberadaan subgroup-p dari kelompok terbatas, ada baiknya mempelajari grup tatanan kekuatan utama lebih dekat. Sebagian besar contoh menggunakan teorema Sylow untuk membuktikan bahwa sekelompok urutan tertentu bukanlah [[Grup sederhana | sederhana]]. Untuk kelompok orde kecil, kondisi kesesuaian teorema Sylow sering kali cukup untuk memaksa keberadaan [[subgrup normal]]. 
;Contoh 1: Grup urutan '' pq '', '' p '' dan '' q '' dengan bilangan prima ''p''&nbsp;<&nbsp;''q''. 
;Contoh-2: Urutan grup 30, urutan grup 20, urutan grup ''p''<sup>2</sup>''q'', ''p'' dan bilangan prima berbeda '' q '' adalah beberapa aplikasi.
; Contoh-3: (Grup ordo 60): Jika order |''G''|&nbsp;=&nbsp;60 and ''G'' has more than one Sylow 5-subgroup, then ''G'' is simple.

=== Pesanan grup siklik ===
Beberapa bilangan prima '' n '' sedemikian rupa sehingga setiap kelompok orde '' n '' berbentuk siklik. Dapat ditunjukkan bahwa '' n '' = 15 adalah bilangan seperti itu dengan menggunakan teorema Sylow:  Misalkan '' G '' adalah sekelompok berorde 15 = 3 · 5 dan ''n''<sub>3</sub> menjadi jumlah Sylow 3-subgrup. Kemudian ''n''<sub>3</sub> <math>\mid</math> 5 dan ''n''<sub>3</sub> ≡ 1 (mod 3). Satu-satunya nilai yang memenuhi batasan ini adalah 1; oleh karena itu, hanya ada satu subgrup berorde 3, dan itu harus [[subgrup normal | normal]] (karena tidak memiliki konjugasi berbeda). Demikian pula, ''n''<sub>5</sub> harus membagi 3, dan ''n''<sub>5</sub> harus sama dengan 1 (mod 5); jadi ia juga harus memiliki satu subgrup normal berorde 5. Karena 3 dan 5 adalah [[coprime]], perpotongan kedua subgrup ini adalah trivial, dan jadi '' G '' haruslah [[produk langsung internal]] dari grup orde 3 dan 5, yaitu [[grup siklik]] orde 15. Jadi, hanya ada satu grup orde 15 ([[hingga (matematika)|hingga]] isomorfisme).

=== Grup kecil tidak sederhana ===
Contoh yang lebih kompleks melibatkan urutan [[grup sederhana]] terkecil yang bukan [[grup siklik | siklik]]. [[Teorema Burnside |Teorema Burnside ''p<sup>a</sup> q<sup>b</sup>'']] menyatakan bahwa jika orde suatu kelompok adalah hasil kali dari satu atau dua [[pangkat utama]] s, maka ia [[gugus terselesaikan | dapat dipecahkan]], sehingga kelompok tersebut tidak sederhana, atau merupakan orde utama dan berhubung dgn putaran. Ini mengesampingkan setiap grup hingga orde 30 {{nowrap|({{=}} 2 · 3 · 5)}}.

Jika '' G '' sederhana, dan |''G''| = 30, kemudian ''n''<sub>3</sub> must divide 10 ( = 2 · 5), dan ''n''<sub>3</sub> harus sama dengan 1 (mod 3). Karena baik 4 maupun 7 tidak membagi 10, dan jika ''n''<sub>3</sub> = 1 kemudian, seperti di atas, '' G '' akan memiliki subgrup normal berorde 3, dan tidak bisa sederhana. '' G '' kemudian memiliki 10 subgrup siklik berbeda dari orde 3, yang masing-masing memiliki 2 elemen orde 3 (indentitas penambahan). Ini berarti '' G '' memiliki setidaknya 20 elemen berbeda dari orde 3.

Juga, '' n ''<sub> 5 </sub> = 6, karena '' n '' <sub> 5 </sub> harus membagi 6 (= 2 · 3), dan ''n''<sub>5</sub> harus sama dengan 1 (mod 5). Jadi '' G '' juga memiliki 24 elemen berbeda dari orde 5. Tapi orde '' G '' hanya 30, jadi grup sederhana berorde 30 tidak mungkin ada.

Selanjutnya, misalkan |''G''| = 42 = 2 · 3 · 7. Di sini '' n ''<sub> 7 </sub> harus membagi 6 ( =  2 · 3) dan ''n''<sub>7</sub> harus sama dengan 1 (mod 7), jadi '' n ''<sub> 7 </sub> = 1. Jadi, seperti sebelumnya, '' G '' tidak bisa sederhana.

Di sisi lain, untuk |''G''| = 60 = 2<sup>2</sup> · 3 · 5, maka '' n ''<sub> 3 </sub> = 10 dan '' n ''<sub> 5 </sub> = 6 sangat mungkin. Dan faktanya, grup non-siklik sederhana terkecil adalah ''A''<sub>5</sub>, [[grup bergantian]] lebih dari 5 elemen. Ia memiliki urutan 60, dan memiliki 24 [[permutasi siklik]] dari urutan 5, dan 20 dari urutan 3.

=== Teorema Wilson ===
Bagian dari [[Teorema Wilson]] menyatakan bahwa

:<math>(p-1)!\ \equiv\ -1 \pmod p</math>

untuk setiap prima '' p ''. Seseorang dapat dengan mudah membuktikan teorema ini dengan teorema ketiga Sylow. Memang,
perhatikan bahwa bilangan ''n<sub>p</sub>'' dari Sylow subgrup '' p ''
dalam grup simetris ''S<sub>p</sub>'' is (''p''&nbsp;&minus;&nbsp;2)!. Maka, ''n''<sub>''p''</sub> ≡ 1 (mod&nbsp;''p''). Karenanya, (''p''&nbsp;&minus;&nbsp;2)! ≡ 1 (mod&nbsp;''p''). So, (''p''&nbsp;&minus;&nbsp;1)! ≡ &minus;1 (mod&nbsp;''p'').

=== Hasil fusi ===
[[Argumen Frattini]] menunjukkan bahwa subkelompok Sylow dari subkelompok normal menyediakan [[faktorisasi]] dari grup hingga.  Sebuah generalisasi kecil yang dikenal sebagai '''Teorema fusi Burnside''' menyatakan Bahwa jika '' G '' adalah grup berhingga dengan Sylow subgrup '' p '' dan dua himpunan bagian '' A '' dan '' B '' dinormalisasi oleh '' P '', lalu '' A '' dan '' B '' adalah konjugasi '' G '' [[jika dan hanya jika]] ada konjugasi ''N<sub>G</sub>''(''P'').  Buktinya adalah aplikasi sederhana dari teorema Sylow: Jika ''B''=''A<sup>g</sup>'', maka penormal '' B '' tidak hanya berisi '' P '' tetapi juga ''P<sup>g</sup>'' (karena ''P<sup>g</sup>'' terkandung dalam penormal dari ''A<sup>g</sup>'').  Dengan teorema Sylow '' P '' dan ''P<sup>g</sup>'' terkonjugasi tidak hanya dalam '' G '', tetapi dalam penormalisasi '' B ''. Karenanya ''gh''<sup>−1</sup> menormalkan '' P '' untuk beberapa '' h '' yang menormalkan '' B '', lalu ''A''<sup>''gh''<sup>−1</sup></sup> = ''B''<sup>h<sup>−1</sup></sup> = ''B'', so that ''A'' dan '' B '' adalah konjugasi ''N<sub>G</sub>''(''P'').  Teorema fusi Burnside dapat digunakan untuk memberikan faktorisasi yang lebih kuat yang disebut [[produk setengah langsung]]: jika '' G '' adalah grup terbatas yang Sylow '' p '' - subkelompok '' P '' terdapat di tengah penormalnya, lalu '' G '' memiliki subgrup normal '' K '' dengan urutan coprime ke '' P '', ''G'' = ''PK'' and ''P''∩''K'' = {1}, yaitu, '' G '' adalah [[grup p-nilpotent | '' p '' nilpotent]].

Aplikasi yang kurang sepele dari teorema Sylow termasuk [[teorema subkelompok fokus]], yang mempelajari kontrol Sylow '' p '' - subkelompok dari [[subgrup turunan]] memiliki struktur keseluruhan.  Kontrol ini dieksploitasi pada beberapa tahap [[klasifikasi grup sederhana hingga]], dan misalnya mendefinisikan pembagian kasus yang digunakan dalam [[Teorema Alperin – Brauer – Gorenstein]] yang mengklasifikasikan hingga [[grup sederhana]] yang subgrup Sylow 2-nya adalah [[grup kuasi-dihedral]].  Ini bergantung pada [[J. L. Alperin]] memperkuat bagian konjugasi dari teorema Sylow untuk mengontrol jenis elemen apa yang digunakan dalam konjugasi.

== Bukti teorema Sylow ==

Teorema Sylow telah dibuktikan dalam beberapa cara, dan sejarah pembuktian itu sendiri adalah subjek dari banyak makalah termasuk {{harv|Waterhouse|1980}}, {{harv|Scharlau|1988}}, {{harv|Casadio|Zappa|1990}}, {{harv|Gow|1994}}, dan sampai batas tertentu {{harv|Meo|2004}}.

Salah satu bukti teorema Sylow mengeksploitasi gagasan [[Tindakan grup (matematika) | tindakan grup]] dalam berbagai cara kreatif. Grup '' G '' bertindak pada dirinya sendiri atau pada himpunan '' p ''-subgrupnya dengan berbagai cara, dan setiap tindakan tersebut dapat dimanfaatkan untuk membuktikan salah satu teorema Sylow.  Bukti berikut didasarkan pada argumen kombinatorial dari {{harv|Wielandt|1959}}. Berikut ini, kami menggunakan '' a '' <math>\mid</math> ''b'' sebagai notasi untuk "a divides b" dan '' a '' <math>\nmid</math> '' b '' untuk meniadakan pernyataan ini.

<blockquote> '''Teorema 1''':  Grup terbatas '' G '' yang urutannya |''G''| dapat dibagi oleh kekuatan utama ''p<sup>k</sup>'' memiliki subgrup order ''p<sup>k</sup>''.</blockquote>

Bukti: Karena |''G''| = ''p<sup>k</sup>m = p<sup>k+r</sup>u'' dirumuskan ''p'' <math>\nmid</math> ''u'', dan misalkan Ω menunjukkan himpunan [[himpunan bagian]] dari ukuran '' G '' yaitu ''p<sup>k</sup>''. ''G'' [[Tindakan gruo (matematika) | tindakan]] pada Ω dengan perkalian kiri: ''g''⋅ω = { ''gx'' | ''x'' ∈ ω }. Untuk himpunan tertentu ω ∈ Ω, dituliskan ''G''<sub>ω</sub> untuk [[Tindakan grup (matematika)#Orbit dan stabilisator | subgrup penstabil]] {''g'' ∈ ''G'' | ''g''⋅ω = ω } dan '' G''ω untuk [[Tindakan grup (matematika)#Orbit dan stabilisator | orbit]] {''g''⋅ω | ''g'' ∈ ''G''} pada Ω.

Buktinya akan menunjukkan adanya beberapa ω ∈ Ω yang dirumuskan ''G''<sub>ω</sub> memiliki ''p<sup>k</sup>'' elemen, menyediakan subkelompok yang diinginkan. Ini adalah ukuran maksimal dari subgrup penstabil ''G''<sub>ω</sub>, karena untuk setiap elemen tetap α ∈ ω ⊆ '' G '', gambar ''G''<sub>ω</sub> di bawah peta bijektiva '' G '' → '' G '' perkalian kanan dengan α (''g'' ↦ ''g''α) terkandung dalam ω; karena itu, |''G''<sub>ω</sub>| ≤ |ω| = ''p<sup>k</sup>''.

Dengan [[Tindakan grup (matematika)#Orbit dan stabilisator | teorema penstabil orbit]] yang kami miliki |''G''<sub>ω</sub>| |''G''ω| = |''G''| untuk setiap ω ∈ Ω, dan karenanya menggunakan [[penilaian aditif p-adik]] ''ν<sub>p</sub>'', yang menghitung jumlah faktor '' p '', yang dimiliki ''ν<sub>p</sub>''(|''G''<sub>ω</sub>|) + ''ν<sub>p</sub>''(|''G''ω|) = ''ν<sub>p</sub>''(|''G''|) = ''k'' + ''r''. Ini berarti bagi mereka ω dengan |''G''<sub>ω</sub>| = ''p<sup>k</sup>'', yang kita cari, satu sudah yaitu ''ν<sub>p</sub>''(|''G''ω|) = ''r'', sedangkan untuk ω lainnya memiliki ''ν<sub>p</sub>''(|''G''ω|) > ''r'' (as 0 < |''G''<sub>ω</sub>| < ''p<sup>k</sup>'' berarti ''ν<sub>p</sub>''(|''G''ω|) < ''k''). Karena | Ω | adalah jumlah dari |''G''ω| pada semua orbit berbeda ''G''ω, seseorang dapat menunjukkan keberadaan ω dari tipe sebelumnya dengan menunjukkan itu ''ν<sub>p</sub>''(|Ω|) = ''r'' (jika tidak ada, penilaian itu akan melebihi '' r ''). Ini adalah turunan dari [[Teorema Kummer]] (karena dalam basis '' p '' notasi bilangan |''G''| diakhiri dengan tepat '' k '' + '' r '' digit nol, mengurangi '' p<sup> k </sup> '' darinya melibatkan carry di tempat '' r ''), dan juga dapat ditampilkan dengan perhitungan sederhana:

:<math>|\Omega | ={p^km \choose p^k} = \prod_{j=0}^{p^k - 1} \frac{p^k m - j}{p^k - j} =  m\prod_{j=1}^{p^{k} - 1} \frac{p^{k - \nu_p(j)} m - j/p^{\nu_p(j)}}{p^{k - \nu_p(j)} - j/p^{\nu_p(j)}} </math>

dan tidak ada kekuatan '' p '' yang tersisa di salah satu faktor di dalam produk di sebelah kanan. Karenanya ''ν<sub>p</sub>''(|Ω|) = ''ν<sub>p</sub>''(''m'') = ''r'', melengkapi buktinya.

Dapat dicatat bahwa sebaliknya setiap subgrup '' H '' berurutan ''p<sup>k</sup>'' menimbulkan himpunan ω ∈ Ω yaitu ''G''<sub>ω</sub> = ''H'', yaitu salah satu dari '' m '' kohimpunan berbeda '' Hg ''.

<blockquote> '''Lemma''': Misalkan '' G '' menjadi grup '' p '' yang terbatas, misalkan Ω himpunan terbatas, misalkan Ω<sub> G </sub> menjadi himpunan yang dihasilkan oleh aksi '' G '' pada semua elemen Ω, dan biarkan Ω<sub> 0 </sub> menunjukkan himpunan titik Ω<sub> G </sub> yang ditetapkan di bawah aksi '' G ''. Kemudian |Ω<sub>G</sub>| ≡ |Ω<sub>0</sub>| (mod&nbsp;''p''). </blockquote>

Bukti: Tuliskan Ω<sub> G </sub> sebagai jumlah orbit yang saling lepas di bawah '' G ''.  Elemen ''x'' ∈ Ω<sub>G</sub> tidak ditetapkan oleh '' G '' akan terletak pada urutan orbit |''G''|/|''G<sub>x</sub>''| (di mana '' G <sub> x </sub> '' menunjukkan [[Aksi grup (matematika)#Orbit dan stabilisator|stabilisator]]), yang merupakan kelipatan dari '' p '' dengan asumsi. Hasilnya segera menyusul.

<blockquote>'''Teorema 2''': Jika '' H '' adalah subgrup '' p '' dari '' G '' dan '' P '' adalah Sylow '' p '' - subgrup dari '' G '', maka ada elemen ' 'g' 'dalam' 'G' 'seperti itu ''g''<sup>−1</sup>''Hg'' ≤ ''P''. Secara khusus, semua Sylow '' p '' - subgrup dari '' G '' adalah [[kelas konjugasi | konjugasi]] satu sama lain (dan karena itu [[isomorfisme | isomorfik]]), yaitu, jika '' H '' dan '' K '' adalah Sylow '' p '' - subgrup dari '' G '', maka terdapat elemen '' g '' dalam '' G '' dengan ''g''<sup>−1</sup>''Hg'' = ''K''.</blockquote>

Bukti: Misalkan Ω adalah himpunan [[coset]] kiri dari '' P '' dalam '' G '' dan biarkan '' H '' bekerja pada Ω dengan perkalian kiri. Menerapkan Lemma ke '' H '' pada Ω, kita melihat |Ω<sub>0</sub>| ≡ |Ω| = [''G'' : ''P''] (mod&nbsp;''p'').  Sekarang ''p'' <math>\nmid</math> [''G'' : ''P''] menurut definisi jadi ''p'' <math>\nmid</math> |Ω<sub>0</sub>|, karenanya secara khusus |Ω<sub>0</sub>| ≠ 0 begitu ada beberapa ''gP'' ∈ Ω<sub>0</sub>.  Oleh karena itu untuk beberapa '' g '' ∈ '' G '' dan ∀ '' h '' ∈ '' H '' yang kami miliki ''hgP'' = ''gP'' so ''g''<sup>−1</sup>''HgP'' = ''P'' dan oleh karena itu ''g''<sup>−1</sup>''Hg'' ≤ ''P''. Sekarang jika '' H '' adalah Sylow subgrup '' p '', |''H''| = |''P''| = |''gPg''<sup>−1</sup>| jadi ''H'' = ''gPg''<sup>−1</sup> untuk beberapa '' g '' ∈ '' G ''.

<blockquote>'''Teorema 3''': Misalkan '' q '' menunjukkan urutan Sylow subgrup '' p '' dari grup '' P '' hingga '' G ''. Misalkan '' n<sub> p </sub> '' menunjukkan jumlah Sylow subgrup '' p '' dari '' G ''. Kemudian ''n<sub>p</sub>'' = |''G'' : ''N<sub>G</sub>''(''P'')|, ''n<sub>p</sub>'' <math>\mid</math> |''G''|/''q'' dan ''n<sub>p</sub>'' ≡ 1 (mod&nbsp;''p''), dimana ''N<sub>G</sub>''(''P'') adalah [[penormal]] dari ''P''</blockquote>
<!--
[Disembunyikan dulu karena sulit untuk menerjemahkan dan perbaikan]
Proof: Let Ω be the set of all Sylow ''p''-subgroups of ''G'' and let ''G'' act on Ω by conjugation. Let ''P'' ∈ Ω be a Sylow ''p''-subgroup. By the orbit-stabilizer theorem, ''n<sub>p</sub>'' = [''G'' : ''Stab''<sub>''G''</sub>(''P'')]. ''Stab''<sub>G</sub>(''P'') = { ''g'' ∈ ''G'' | ''gPg''<sup>−1</sup> = ''P'' }  = ''N''<sub>G</sub> (''P''), the normalizer of ''P'' in ''G''. Thus, ''n<sub>p</sub>'' = |''G'' : ''N<sub>G</sub>''(''P'')|, and it follows that this number is a divisor of |''G''|/[''G'' : ''P''].<br/>
Now let ''P'' act on Ω by conjugation. Let ''Q'' ∈ Ω<sub>0</sub> and observe that then ''Q'' = ''xQx''<sup>−1</sup> for all ''x'' ∈ ''P'' so that ''P'' ≤ ''N<sub>G</sub>''(''Q'').  By Theorem 2, ''P'' and ''Q'' are conjugate in ''N<sub>G</sub>''(''Q'') in particular, and ''Q'' is normal in ''N<sub>G</sub>''(''Q''), so then ''P'' = ''Q''.  It follows that Ω<sub>0</sub> = {''P''} so that, by the Lemma, |Ω| ≡ |Ω<sub>0</sub>| = 1 (mod&nbsp;''p'').-->

== Algoritma ==
Masalah menemukan subkelompok Sylow dari kelompok tertentu merupakan masalah penting dalam [[teori grup komputasi]].

Salah satu bukti keberadaan Sylow '' p '' - subkelompok konstruktif: jika '' H '' adalah subgrup '' p '' '' G '' dan indeks [''G'':''H''] habis dibagi '' p '', lalu normalizer ''N'' = ''N<sub>G</sub>''(''H'') dari '' H '' dalam '' G '' juga sedemikian rupa sehingga ['' N '': '' H ''] habis dibagi '' p ''. Dengan kata lain, sistem pembuatan polisiklik dari Sylow '' p '' - subkelompok dapat ditemukan dengan memulai dari subgrup-'' p '' pada '' H '' (termasuk identitas) dan mengambil elemen '' p '' - urutan daya yang terkandung dalam normalizer '' H '' tetapi tidak dalam '' H '' itu sendiri.  Versi algoritmik ini (dan banyak peningkatan) dijelaskan dalam bentuk buku teks di {{harv|Butler|1991|loc=Chapter 16}}, termasuk [[Algoritma|algoritme]] yang dijelaskan dalam {{harv|Cannon|1971}}.  Versi ini masih digunakan dalam [[sistem aljabar komputer GAP]].

Dalam [[grup permutasi]] terbukti di ({{harvs|nb|last=Kantor|year1=1985a|year2=1985b|year3=1990}}; {{harvnb|Kantor|Taylor|1988}}) bahwa Sylow '' p '' - subgrup dan normalnya dapat ditemukan di [[waktu polinomial]] dari input (derajat grup dikalikan jumlah generator).  Algoritme ini dijelaskan dalam bentuk buku teks di {{harv|Seress|2003}}, dan sekarang menjadi praktis karena pengakuan konstruktif dari kelompok sederhana hingga menjadi kenyataan. Secara khusus, versi dari algoritma ini digunakan dalam [[Sistem aljabar komputer magma]].

== Lihat pula ==
{{Div col}}
* [[Argumen Frattini]]
* [[Subgrup Hall]]
* [[Subgrup maksimal]]
* [[grup-p]]
{{Div col end}}

== Catatan ==
{{Reflist}}

== Referensi ==
* {{Citation | first=L. | last=Sylow | author-link=Peter Ludwig Mejdell Sylow | title=Théorèmes sur les groupes de substitutions | language=fr | journal=[[Mathematische Annalen|Math. Ann.]] | volume=5 | issue=4 | pages=584–594 | year=1872 | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002242052 | doi=10.1007/BF01442913 | jfm=04.0056.02 }}

=== Bukti ===
* {{Citation | last1=Casadio | first1=Giuseppina | last2=Zappa | first2=Guido | title=History of the Sylow theorem and its proofs | language=it | mr=1096350 | zbl = 0721.01008 | year=1990 | journal=<abbr Title="Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche">Boll. Storia Sci. Mat.</abbr> | issn=0392-4432 | volume=10 | issue=1 | pages=29–75}}
* {{Citation | last=Gow | first=Rod | title=Sylow's proof of Sylow's theorem | mr=1313412 | zbl = 0829.01011 | year=1994 | journal=<abbr Title="Irish Mathematical Society Bulletin">Irish Math. Soc. Bull.</abbr> | issn=0791-5578 | issue=33 | pages=55–63}}
* {{Citation | last1=Kammüller | first1=Florian | last2=Paulson | first2=Lawrence C. | title=A formal proof of Sylow's theorem. An experiment in abstract algebra with Isabelle HOL | url=http://www.cl.cam.ac.uk/users/lcp/papers/Kammueller/sylow.pdf | doi=10.1023/A:1006269330992 | mr=1721912 | zbl=0943.68149 | year=1999 | journal=<abbr Title="Journal of Automated Reasoning">J. Automat. Reason.</abbr> | issn=0168-7433 | volume=23 | issue=3 | pages=235–264 | url-status=dead | archive-url=https://web.archive.org/web/20060103223152/http://www.cl.cam.ac.uk/users/lcp/papers/Kammueller/sylow.pdf | archive-date=2006-01-03 }}
*{{Citation | last=Meo | first=M. | title=The mathematical life of Cauchy's group theorem | doi=10.1016/S0315-0860(03)00003-X | mr=2055642 | zbl = 1065.01009 | year=2004 | journal=[[Historia Mathematica|Historia Math.]] | issn=0315-0860 | volume=31 | issue=2 | pages=196–221| doi-access=free }}
* {{Citation | last=Scharlau | first=Winfried | title=Die Entdeckung der Sylow-Sätze | language=de | doi=10.1016/0315-0860(88)90048-1 | mr=931678 | zbl = 0637.01006 | year=1988 | journal=[[Historia Mathematica|Historia Math.]] | issn=0315-0860 | volume=15 | issue=1 | pages=40–52| doi-access=free }}
* {{Citation | last=Waterhouse | first=William C. | author-link = William C. Waterhouse | title=The early proofs of Sylow's theorem | doi=10.1007/BF00327877 | mr=575718 | zbl = 0436.01006 | year=1980 | journal=<abbr Title="Archive for History of Exact Sciences">Arch. Hist. Exact Sci.</abbr> | issn=0003-9519 | volume=21 | issue=3 | pages=279–290}}
* {{Citation | last=Wielandt | first=Helmut | author-link=:de:Helmut Wielandt | title=Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen | language=de | doi=10.1007/BF01240818 | mr=0147529 | zbl = 0092.02403 | year=1959 | journal=<abbr Title="Archiv der Mathematik">Arch. Math.</abbr> | issn=0003-9268 | volume=10 | issue=1 | pages=401–402}}

=== Algorithms ===
* {{Citation | last=Butler | first=G. | title=Fundamental Algorithms for Permutation Groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=[[Lecture Notes in Computer Science]] | isbn=978-3-540-54955-0 | mr=1225579 | zbl = 0785.20001 | year=1991 | volume=559 | doi = 10.1007/3-540-54955-2}}
* {{Citation | last=Cannon | first=John J. | title=Computers in Algebra and Number Theory (<abbr title="Proceedings of a SIAM-AMS Symposium in Applied Mathematics">Proc. SIAM-AMS Sympos. Appl. Math.</abbr>, New York, 1970) | series=<abbr title="SIAM-AMS Proceedings">SIAM-AMS Proc.</abbr> | volume=4 | publisher=[[American Mathematical Society|AMS]] | location=Providence, RI | mr=0367027 | zbl = 0253.20027 | year=1971 | chapter=Computing local structure of large finite groups | pages=161–176 | issn=0160-7634}}
*{{Citation | last=Kantor | first=William M. | title=Polynomial-time algorithms for finding elements of prime order and Sylow subgroups | mr=813589 | zbl = 0604.20001 | year=1985a | journal=<abbr Title="Journal of Algorithms">J. Algorithms</abbr> | issn=0196-6774 | volume=6 | issue=4 | pages=478–514 | doi=10.1016/0196-6774(85)90029-X| url=http://uoregon.edu/~kantor/PAPERS/primeorder.pdf | citeseerx=10.1.1.74.3690 }}
*{{Citation |author-link1=William Kantor | last=Kantor | first=William M. | title=Sylow's theorem in polynomial time | doi=10.1016/0022-0000(85)90052-2 | mr=805654 | zbl = 0573.20022 | year=1985b | journal=<abbr Title="Journal of Computer and System Sciences">J. Comput. Syst. Sci.</abbr> | issn=1090-2724 | volume=30 | issue=3 | pages=359–394}}
*{{Citation | last1=Kantor | first1=William M. | last2=Taylor | first2=Donald E. | title=Polynomial-time versions of Sylow's theorem | mr=925595 | zbl = 0642.20019 | year=1988 | journal=<abbr Title="Journal of Algorithms">J. Algorithms</abbr> | issn=0196-6774 | volume=9 | issue=1 | pages=1–17 | doi=10.1016/0196-6774(88)90002-8}}
*{{Citation | last=Kantor | first=William M. | title=Finding Sylow normalizers in polynomial time | mr=1079450 | zbl = 0731.20005 | year=1990 | journal=<abbr Title="Journal of Algorithms">J. Algorithms</abbr> | issn=0196-6774 | volume=11 | issue=4 | pages=523–563 | doi=10.1016/0196-6774(90)90009-4}}
*{{Citation | last=Seress | first=Ákos | title=Permutation Group Algorithms | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=Cambridge Tracts in Mathematics | isbn=978-0-521-66103-4 | mr=1970241 | zbl = 1028.20002 | year=2003 | volume=152}}

== Pranala luar ==
* {{springer|title=Sylow theorems|id=p/s091560}}
* {{Wikibooks-inline|Abstract Algebra/Group Theory/The Sylow Theorems}}
* {{MathWorld |title=Sylow p-Subgroup |id=Sylowp-Subgroup}}
* {{MathWorld |title=Sylow Theorems |id=SylowTheorems}}

[[Kategori:Grup hingga]]
[[Kategori:Grup-P]]
[[Kategori:Teorema dalam teori grup]]
[[Kategori:Artikel yang memuat pembuktian]]