Lihat sumber Teorema Cantor

{{Short description|Setiap himpunan pasti lebih kecil dari himpunan kuasanya}}
{{Untuk|teorema lain yang menggunakan nama Cantor}}
[[File:Hasse diagram of powerset of 3.svg|thumb|Kardinalitas dari himpunan <math>\left\{ x, \, y, \, z \right\}</math> adalah <math>3</math>, sedangkan terdapat delapan elemen pada himpunan kuasanya (<math>3 < 2^3</math>), yang [[Teori order|diurutkan]] berdasarkan relasi [[himpunan bagian]].]]
Dalam [[teori himpunan]], '''teorema Cantor''' merupakan hasil fundamental yang menyatakan bahwa, untuk setiap [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>X</math>, himpunan seluruh [[himpunan bagian]] dari <math>X</math> (yang dikenal sebagai [[himpunan kuasa]] dari <math>X</math>, dan ditulis sebagai <math>\mathcal{P} \! \left( X \right)</math>) memiliki [[kardinalitas]] yang lebih dari <math>X</math> itu sendiri. Secara simbolis, jika notasi <math>\left| X \right|</math> menyatakan kardinalitas dari himpunan <math>X</math>, maka teorema Cantor menyatakan bahwa
<math display="block">\left| \mathcal{P} \! \left( X \right) \right| > \left| X \right|</math>

Jika himpunannya [[himpunan hingga|berhingga]], teorema Cantor dapat dipandang sebagai kebenaran melalui [[enumerasi]] sederhana dari banyaknya himpunan bagian. Apabila [[himpunan kosong]] dihitung sebagai himpunan bagian, maka suatu himpunan dengan <math>n</math> elemen memiliki <math>2^n</math> himpunan bagian, dan teoremanya bernilai benar sebab <math>2^n > n</math> untuk setiap [[bilangan cacah]] <math>n</math>.

Hal yang lebih signifikan ialah penemuan Cantor akan argumentasi yang dapat diterapkan pada sembarang himpunan, dan menunjukkan bahwa teoremanya juga berlaku untuk [[himpunan takhingga]]. Akibatnya, kardinalitas dari [[bilangan riil]], yang sama dengan kardinalitas himpunan kuasa dari [[bilangan bulat]], lebih dari kardinalitas bilngan bulat; lihat [[kardinalitas dari kontinum]] untuk pembahasan lebih lanjut.

Teorema ini dinamai untuk [[Georg Cantor]], orang pertama yang menyatakan sekaligus membuktikan teorema ini pada akhir abad ke-19. Teorema Cantor memiliki akibat yang penting untuk [[filsafat matematika]]. Misalnya, dengan mengambil himpunan kuasa dari suatu himpunan tak terhingga secara berulang dan menerapkan teorema Cantor, maka diperoleh kardinal tak terhingga yang hierarkinya tiada habisnya. Akibatnya, teorema ini menyiratkan bahwa tidak ada [[bilangan kardinal]] terbesar (dalam bahasa sehari-hari, "tidak ada takhingga terbesar").

== Bukti ==
=== Kasus khusus ===
Bagian ini akan menggunakan kasus spesifik ketika <math>H</math> merupakan himpunan [[himpunan terhitung|terhitung tak terhingga]]. [[Tanpa mengurangi keumuman]], akan digunakan himpunan <math>H = \mathbb{N} = \left\{ 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, \ldots \right\}</math>, yaitu himpunan semua [[bilangan asli]].

Misalkan himpunan <math>\mathbb{N}</math> [[sama banyak|sama banyaknya]] dengan [[himpunan kuasa]]nya, <math>\mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right)</math>. Himpunan <math>\mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right)</math> memuat tak terhingga banyaknya himpunan bagian dari <math>\mathbb{N}</math>, seperti himpunan bilangan genap positif <math>\left\{ 2, \, 4, \, 6, \, 8, \, \ldots \right\} = \left\{ 2n \mid n \in \mathbb{N} \right\}</math> dan [[himpunan kosong]] <math>\varnothing</math>. Beberapa himpunan yang termuat pada <math>\mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right)</math> antara lain:
<math display="block">\mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right) = \left\{ \varnothing, \, \left\{ 1, \, 2 \right\}, \, \left\{ 1, \, 2, \, 3 \right\}, \, \left\{ 4 \right\}, \, \left\{ 1, \, 5 \right\}, \, \left\{ 3, \, 4, \, 6 \right\}, \, \left\{ 2, \, 4, \, 6, \, 8, \, \ldots \right\}, \, \ldots \right\}</math>

Oleh karena <math>\mathbb{N}</math> diasumsikan [[sama banyak|sama banyaknya]] dengan <math>\mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right)</math>, maka setiap [[Elemen (matematika)|elemen]] dari <math>\mathbb{N}</math> dapat melabeli setiap elemen dari <math>\mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right)</math>, dengan syarat tidak ada elemen dari kedua himpunan yang tidak terlabeli. Salah satu cara pelabelannya adalah sebagai berikut:
<math display="block">\mathbb{N} \, \begin{Bmatrix}
1 & \longleftrightarrow & \left\{ 4, \, 5 \right\} \\
2 & \longleftrightarrow & \left\{ 1, \, 2, \, 3 \right\} \\
3 & \longleftrightarrow & \left\{ 4, \, 5, \, 6 \right\} \\
4 & \longleftrightarrow & \left\{ 1, \, 3, \, 5 \right\} \\
\vdots & \vdots & \vdots
\end{Bmatrix} \, \mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right)</math>
Diberikan suatu proses pelabelan, beberapa bilangan asli melabelkan [[himpunan bagian]] yang memuat dirinya sendiri. Misalnya, pada contoh di atas, bilangan <math>2</math> melabelkan himpunan <math>\left\{ 1, \, 2, \, 3 \right\}</math>, yang memuat <math>2</math> sebagai anggotanya. Misalkan bilangan-bilangan tersebut disebut ''egois''. Beberapa bilangan asli lainnya melabelkan himpunan bagian yang tidak memuat dirinya sendiri. Misalnya, pada contoh di atas, bilangan <math>1</math> melabelkan himpunan <math>\left\{ 4, \, 5 \right\}</math>, yang tidak memuat <math>1</math> sebagai anggotanya.

Dengan menggunakan ide ini, maka dapat dikonstruksikan suatu himpunan bilangan asli yang istimewa. Himpunan ini akan memberikan [[pembuktian melalui kontradiksi|kontradiksi]] yang sedang diincar. Misalkan <math>\cancel{E}</math> adalah himpunan ''semua'' bilangan yang tidak egois. Berdasarkan definisi, himpunan kuasa <math>\mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right)</math> memuat semua himpunan bilangan asli, yang mengakibatkan <math>\cancel{E} \in \mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right)</math>. Jika pemetaannya bersifat bijektif, maka <math>\cancel{E}</math> harus dilabelkan dengan suatu bilangan asli, misalnya <math>e</math>. Akan tetapi, hal ini menimbulkan masalah.
# Jika <math>e \in \cancel{E}</math>, maka <math>e</math> merupakan bilangan egois, dan hal ini bertentangan dengan definisi dari <math>\cancel{E}</math>.
# Jika <math>e \not \in \cancel{E}</math>, maka <math>e</math> adalah bilangan yang tidak egois, sehingga <math>e</math> seharusnya menjadi anggota dari <math>\cancel{E}</math>.
Akibatnya, tidak mungkin ada elemen <math>e</math> yang dipetakan ke <math>\cancel{E}</math>.

Oleh karena tidak ada bilangan asli yang melabelkan himpunan <math>\cancel{E}</math>, maka pengandaian di awal bernilai salah, yaitu terdapat [[bijeksi]] antara <math>\mathbb{N}</math> dan <math>\mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right)</math>.

Perhatikan bahwa himpunan <math>\cancel{E}</math> mungkin saja kosong. Hal ini mengakibatkan setiap bilangan asli <math>n</math> dipetakan ke himpunan bagian yang memuat <math>n</math>. Dengan kata lain, setiap bilangan asli melabelkan suatu himpunan tak kosong dan tidak ada bilangan yang melabelkan himpunan kosong. Akan tetapi, <math>\varnothing \in \mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right)</math>, sehingga pemetaannya tetap tidak meliput <math>\mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right)</math>.

Berdasarkan [[pembuktian melalui kontradiksi]] ini, terbukti bahwa <math>\left| \mathbb{N} \right| \neq \left| \mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right) \right|</math>. Selain itu, <math>\left| \mathbb{N} \right| > \left| \mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right) \right|</math> juga tidaklah mungkin, sebab berdasarkan definisi, <math>\mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right)</math> memuat semua [[singleton (matematika)|singleton]], dan singleton-singleton ini membentuk "salinan" dari <math>\mathbb{N}</math> di dalam <math>\mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right)</math>. Akibatnya, hanya tersisa satu kemungkinan, yaitu
<math display="block">\left| \mathbb{N} \right| < \left| \mathcal{P} \! \left( \mathbb{N} \right) \right|</math>

=== Kasus umum ===
Argumen Cantor terbilang elegan dan sangat sederhana. Bukti lengkapnya disajikan dibawah, beserta penjelasan rinci setelahnya.

{{math theorem
| name             = Teorema Cantor
| math_statement   = Jika <math>f</math> adalah pemetaan dari himpunan <math>H</math> ke himpunan kuasanya, <math>\mathcal{P} \! \left( H \right)</math>, maka <math>f</math> tidak [[Fungsi surjektif|surjektif]]. Lebih lanjut, berlaku pertidaksamaan <math display="block">\left| H \right| < \left| \mathcal{P} \! \left( H \right) \right|</math> untuk sembarang himpunan <math>H</math>.}}
{{math proof| Didefinisikan himpunan
<math display="block">\cancel{H} = \left\{ x \in H \mid x \not \in f \! \left( x \right) \right\}</math>
Himpunan <math>\cancel{H}</math> terjamin keujudannya melalui [[skema aksioma spesifikasi]]. Berdasarkan definisi, maka <math>\cancel{H} \in \mathcal{P} \! \left( H \right) </math> sebab <math>\cancel{H} \subseteq H</math>.<br>
Akan dibuktikan bahwa <math>f</math> tidak bersifat surjektif melalui kontradiksi. Diasumsikan <math>f</math> bersifat surjektif.<br>
Berdasarkan definisi fungsi surjektif, maka terdapat suatu elemen <math>c \in H</math> sedemikian sehingga berlaku
<math display="block">f \! \left( c \right) = \cancel{H}</math>
Oleh karena <math>c \in H</math>, maka berdasarkan definisi dari himpunan <math>\cancel{H}</math>, diperoleh
<math display="block">c \in \cancel{H} \iff c \not \in f \! \left( c \right)</math>
sehingga didapatkan
<math display="block">c \in \cancel{H} \iff c \not \in \cancel{H}</math>
yang tentunya mustahil terjadi. Akibatnya, <math>f</math> tidak bersifat surjektif, via [[reductio ad absurdum]].<br>
Di sisi lain, <math>f</math> dimungkinkan bersifat [[fungsi injektif|injektif]], salah satunya ialah
<math display="block">f \! \left( x \right) = \left\{ x \right\}</math>
yang mengakibatkan <math>\left| H \right| < \left| \mathcal{P} \! \left( H \right) \right|</math>.}}

Misalkan <math>X</math> dan <math>Y</math> adalah sembarang himpunan. Berdasarkan definisi dari kardinalitas, maka <math>\left| X \right| < \left| Y \right|</math> [[jika dan hanya jika]] terdapat suatu [[fungsi injektif]] namun tidak [[bijeksi|bijektif]] dari <math>X</math> ke <math>Y</math>. Hal ini dapat diraih dengan menunjukkan bahwa tidak ada pemetaan surjektif dari <math>X</math> ke <math>Y</math>. Inilah inti dari teorema Cantor: tidak ada fungsi surjektif dari sembarang himpunan <math>H</math> ke himpunan kuasanya. Untuk membuktikan ini, maka cukup dengan menunjukkan bahwa tidak ada fungsi <math>f</math> (yang memetakan elemen pada <math>H</math> ke himpunan bagian dari <math>H</math>) yang dapat meraih setiap himpunan bagian yang ada. Dengan kata lain, maka cukup ditunjukkan bahwa terdapat suatu himpunan bagian dari <math>H</math> yang tidak sama dengan <math>f \! \left( x \right)</math>, untuk setiap <math>x \in H</math>. Ingat kembali bahwa setiap <math>f \! \left( x \right)</math> merupakan himpunan bagian dari <math>H</math>. Himpunan bagian dengan sifat tersebut diberikan melalui konstruksi berikut:
<math display="block">\cancel{H} = \left\{ x \in H \mid x \not \in f \! \left( x \right) \right\}</math>
Himpunan <math>\cancel{H}</math> terkadang dikenal sebagai [[Argumen diagonal Cantor|himpunan diagonal Cantor]] dari <math>f</math>. Berdasarkan definisi dari himpunan <math>\cancel{H}</math>, maka untuk setiap <math>x \in H</math>, <math>x \in \cancel{H}</math> jika dan hanya jika <math>x \not \in f \! \left( x \right)</math>. Akan dikaji dua kasus berikut:
# Jika <math>x \in f \! \left( x \right)</math>, maka <math>x \not \in \cancel{H}</math>, sehingga <math>f \! \left( x \right) \neq \cancel{H}</math>.
# Jika <math>x \not \in f \! \left( x \right)</math>, maka <math>x \in \cancel{H}</math>, sehingga <math>f \! \left( x \right) \neq \cancel{H}</math>.
Berdasarkan kedua kasus di atas, himpunan <math>f \! \left( x \right) \neq \cancel{H}</math> untuk setiap <math>x \in H</math> sebab himpunan <math>\cancel{H}</math> dikonstruksikan dari elemen pada <math>H</math> yang [[Bayangan (matematika)|bayangan]] oleh fungsi <math>f</math> tidak memuat dirinya sendiri. Dengan kata lain, terbukti bahwa terdapat suatu elemen <math>c \in H</math> sedemikian sehingga persyaratan <math>f \! \left( c \right) = B</math> mengakibatkan [[kontradiksi]] berikut:
<math display="block">\begin{align}
c \in \cancel{H} &\iff c \not \in f \! \left( c \right) && \text{(berdasarkan definisi dari } \cancel{H} \text{)} \\
c \in \cancel{H} &\iff c \in f \! \left( c \right) && \text{(berdasarkan asumsi bahwa } f \! \left( x \right) = \cancel{H} \text{)} \\
\end{align}</math>
sehingga berdasarkan [[reductio ad absurdum]], asumsi di awal bernilai salah.<ref name="Priest2002"/> Akibatnya, tidak ada <math>c \in H</math> yang memenuhi <math>f \! \left( c \right) = \cancel{H}</math>. Dengan kata lain, himpunan <math>\cancel{H}</math> bukanlah bayangan dari <math>f</math> dan fungsi <math>f</math> tidak memetakan setiap elemen ke himpunan kuasa dari <math>H</math>, yang berarti, <math>f</math> tidak bersifat surjektif.

Terakhir, untuk melengkapi pembuktiannya, perlu ditunjukkan bahwa terdapat suatu fungsi injektif dari <math>H</math> ke himpunan kuasanya. Proses mencari fungsi tersebut tidaklah sulit: petakan elemen <math>x</math> ke himpunan singleton <math>\left\{ x \right\}</math>. Sekarang pembuktiannya sudah lengkap, dan berlaku ketaksamaan tegas <math>\left| H \right| < \left| \mathcal{P} \! \left( H \right) \right|</math> untuk setiap himpunan <math>H</math>.

Oleh karena elemen <math>x</math> muncul dua kali pada ekspresi "<math>x \in f \! \left( x \right)</math>", maka argumen ini disebut sebagai [[Argumen diagonal Cantor|argument diagonal]]. Untuk himpunan terhitung (atau berhingga), argumentasi dari pembuktian di atas dapat diilustrasikan dengan membuat tabel yang
# setiap barisnya dilabeli oleh suatu elemen <math>x</math> dari himpunan <math>H = \left\{ x_1, \, x_2, \, x_3, \, \ldots \right\}</math> secara berurutan. Himpunan <math>H</math> diasumsikan [[urutan total|terurut linear]] sehingga tabelnya dapat dikonstruksikan.
# setiap kolomnya dilabelkan oleh suatu elemen <math>y</math> dari himpunan <math>\mathcal{P} \! \left( H \right)</math>. Kolomnya diurutkan berdasarkan argumen dari <math>f</math>. Dengan kata lain, kolomnya dilabeli sebagai <math>f \! \left( x_1 \right) \! , \, f \! \left( x_2 \right) \! , \, f \! \left( x_3 \right) \! , \, \ldots</math> dengan urutan ini.
# perpotongan dari setiap baris <math>x</math> dan kolom <math>y</math> berisi nilai benar/salah dari pernyataan <math>x \in y</math>. Dengan kata lain, setiap baris berisi nilai [[fungsi indikator]] dari himpunan pada masing-masing kolom.
Diberikan suatu urutan yang dipilih untuk label baris dan kolom, diagonal utama <math>D</math> dari tabel ini berisi nilai kebenaran dari pernyataan <math>x \in f \! \left( x \right)</math> untuk setiap <math>x \in H</math>. Salah satu tabelnya dapat dilihat sebagai berikut:
<math display="block">\begin{array}{c|ccccc}
& f(x_1) & f(x_2) & f(x_3) & f(x_4) & \cdots \\
\hline
x_1 & {\color{red} B} & B & S & B & \cdots \\
x_2 & B & {\color{red} S} & S & S & \cdots \\
x_3 & S & S & {\color{red} B} & B & \cdots \\
x_4 & S & B & B & {\color{red} B} & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{array}</math>
Himpunan <math>\cancel{H}</math> pada paragraf sebelumnya dikonstruksikan berdasarkan [[negasi]] dari nilai kebenaran pada diagonal utama <math>D</math> (yang pada contoh di atas, diwarnai dengan <span style="color:red;">merah</span>), yaitu menukar "benar" dan "salah".<ref name="Priest2002">{{cite book|author=Graham Priest|title=Beyond the Limits of Thought|year=2002|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-925405-7|pages=118–119}}<!--note that the page numbers differ between the OUP and CUP editions of Priest's book!--></ref> Akibatnya, fungsi indikator dari himpunan <math>\cancel{H}</math> akan berbeda dengan setiap kolom pada setidaknya satu entri, sehingga tidak ada kolom yang mewakili <math>\cancel{H}</math>.

== Lihat juga ==
* [[Teorema Schröder–Bernstein]]
* [[Artikel teori himpunan pertama Cantor]]
* [[Kontroversi atas teori Cantor]]

== Referensi ==
{{reflist}}
* [[Paul Halmos|Halmos, Paul]], ''[[Naive Set Theory (buku)|Naive Set Theory]]''. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Dicetak ulang oleh [[Springer-Verlag]], New York, 1974. {{ISBN|0-387-90092-6}} (edisi Springer-Verlag). Dicetak ulang oleh Martino Fine Books, 2011. {{ISBN|978-1-61427-131-4}} (edisi Paperback).
* {{Citation|last=Jech|first=Thomas|author-link=Thomas Jech|year=2002|title=Set Theory|edition=3rd millennium|series=Springer Monographs in Mathematics|publisher=Springer|isbn=3-540-44085-2}}

== Pranala luar ==
* {{springer|title=Cantor theorem|id=p/c020260}}
* {{MathWorld|title=Cantor's Theorem|id=CantorsTheorem}}

{{Metalogika}}
{{Teori himpunan}}
{{Logika matematika}}

[[Kategori:Teori himpunan]]
[[Kategori:Teorema dalam fondasi matematika]]
[[Kategori:Bilangan kardinal]]
[[Kategori:Georg Cantor]]