Lihat sumber Sudut Euler

[[Gambar:Eulerangles.svg|right|thumb|300px|Definisi geometris sudut Euler klasik. ''xyz'' (tetap) sistem ditampilkan dengan warna biru, ''XYZ'' Sistem (diputar) ditampilkan dengan warna merah. [[Garis node]] (''N'') ditampilkan dengan warna hijau]]

'''Sudut Euler''' adalah tiga sudut yang diperkenalkan oleh [[Leonhard Euler]] untuk menggambarkan [[Orientasi (geometri)|orientasi]] dari [[benda kaku]] sehubungan dengan [[sistem koordinat]] tetap.<ref name="Euler">Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 20, 1776, pp. 189–207 (E478) up [https://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E478.pdf PDF]</ref>

Mereka juga dapat mewakili orientasi ponsel [[kerangka acuan]] dalam fisika atau orientasi [[Basis (aljabar linear)|basis]] umum dalam aljabar linear [[dimensi|3-dimensi]]. Bentuk alternatif kemudian diperkenalkan oleh [[Peter Guthrie Tait]] dan [[George H. Bryan]] dimaksudkan untuk digunakan dalam aereonautika dan teknik.

== Ekuivalensi rotasi berantai ==
{{multiple image
   | width1     = 170
   | footer    = Setiap orientasi target dapat dicapai, mulai dari orientasi referensi yang diketahui, menggunakan urutan tertentu dari rotasi intrinsik, yang besarnya adalah sudut Euler dari orientasi target. Contoh ini menggunakan ''z-x′-z″'' sebagai urutan.
   | image1    = euler2a.gif
   | alt1      =
   | width2 = 150
   | image2    = intermediateframes.svg
   | alt2      =
   | caption2  =
  }}
{{See also |rotasi rantai}}

Sudut euler dapat ditentukan oleh elemen [[geometri]] atau dengan komposisi rotasi. Definisi geometris menunjukkan bahwa tiga komposisi ''[[rotasi elemen]]'' (rotasi tentang sumbu [[sistem koordinat]]) selalu cukup untuk mencapai frame target.

Tiga rotasi elemen mungkin [[#Definisi oleh rotasi ekstrinsik|ekstrinsik]] (rotasi tentang sumbu ''xyz'' dari sistem koordinat asli, yang diasumsikan tetap tidak bergerak), atau [[#Definisi dengan rotasi intrinsik|intrinsik]] (rotasi tentang sumbu sistem koordinat berputar ''XYZ'', solidaritas dengan benda bergerak, yang mengubah orientasinya setelah setiap elemen).

Sudut euler biasanya dilambangkan sebagai [[Alpha|''&alpha;'']], [[Beta|''&beta;'']], [[Gamma|''&gamma;'']], atau [[Phi|''&phi;'']], [[Theta|''&theta;'']], [[Psi (huruf)|''&psi;'']]. Penulis yang berbeda dapat menggunakan kumpulan sumbu rotasi yang berbeda untuk menentukan sudut Euler, atau nama yang berbeda untuk sudut yang sama. Oleh karena itu, setiap diskusi yang menggunakan sudut Euler harus selalu didahului dengan definisinya.

Tanpa mempertimbangkan kemungkinan menggunakan dua konvensi yang berbeda untuk definisi sumbu rotasi (intrinsik atau ekstrinsik), ada dua belas kemungkinan urutan sumbu rotasi, dibagi dalam dua kelompok:

* '''Sudut Euler tepat''' {{math|(''z''-''x''-''z'', ''x''-''y''-''x'', ''y''-''z''-''y'', ''z''-''y''-''z'', ''x''-''z''-''x'', ''y''-''x''-''y'')}}
* '''Sudut Tait–Bryan''' {{math|(''x''-''y''-''z'', ''y''-''z''-''x'', ''z''-''x''-''y'', ''x''-''z''-''y'', ''z''-''y''-''x'', ''y''-''x''-''z'')}}.

Sudut Tait–Bryan atau disebut juga '''Sudut Cardan'''; '''sudut laut'''; '''[[arah (navigasi)|arah]], elevasi, dan tepian'''; atau '''yaw, pitch, and roll'''. Terkadang, kedua jenis urutan ini disebut "Sudut Euler". Dalam hal ini, urutan grup pertama disebut sudut Euler ''tepat'' atau ''klasik''.

== Sudut Euler yang tepat ==
{{multiple image
  | image1    = gimbaleuler.svg
  | width1    = 180
  | image2    = gimbaleuler2.svg
  | width2    = 160
  | footer    = '''Atas:''' himpunan [[Gimbal (matematika)|gimbal]], menunjukkan a ''z''-''x''-''z'' urutan rotasi. Bingkai eksternal ditampilkan di alas. Sumbu internal berwarna merah. '''Bawah:''' Diagram sederhana yang menunjukkan sudut Euler serupa dalam diagram.
}}
=== Definisi geometris ===
Sumbu dari bingkai asli dilambangkan sebagai ''x'', ''y'', ''z'' dan sumbu bingkai yang diputar sebagai ''X'', ''Y'', ''Z''. '''Definisi geometris''' (kadang-kadang disebut sebagai statis) dimulai dengan mendefinisikan [[garis node]] sebagai perpotongan bidang ''xy'' dan ''XY'' (itu juga dapat didefinisikan sebagai tegak lurus umum terhadap sumbu ''z'' dan ''Z'' dan kemudian ditulis sebagai perkalian vektor ''N'' = ''z'' <math>\times</math> ''Z''). Dengan menggunakannya, tiga sudut Euler dapat didefinisikan sebagai berikut:

* <math>\alpha</math> atau <math>\varphi</math> adalah sudut antara ''x'' dan sumbu ''N'' sumbu (''x'' konvensi tersebut juga bisa didefinisikan antara ''y'' dan ''N'', disebut ''y'' pada konvensi).
* <math>\beta</math> atau <math>\theta\,</math> adalah sudut antara sumbu ''z'' dan sumbu ''Z''.
* <math>\gamma</math> atau <math>\psi</math>) adalah sudut antara sumbu ''N'' dan sumbu ''X'' (''x'' pada konvensi).

Sudut euler antara dua frame referensi ditentukan hanya jika kedua frame memiliki [[Orientasi (matematika)|orientasi]] yang sama.

=== Konvensi dengan rotasi intrinsik ===

Rotasi intrinsik adalah rotasi elemen yang terjadi di sekitar sumbu sistem koordinat ''XYZ'' yang melekat pada benda bergerak. Oleh karena itu, mereka mengubah orientasinya setelah setiap rotasi elemen. Sistem ''XYZ'' berputar, sedangkan ''xyz'' tetap. Dimulai dengan ''XYZ'' tumpang tindih antara''xyz'', komposisi tiga rotasi intrinsik dapat digunakan untuk mencapai orientasi target apa pun untuk ''XYZ''.

Sudut euler dapat ditentukan oleh rotasi intrinsik. Bingkai yang diputar ''XYZ'' dapat dibayangkan awalnya disejajarkan dengan ''xyz'', sebelum menjalani tiga rotasi elemen yang diwakili oleh Euler. Orientasinya yang berurutan dapat dilambangkan sebagai berikut:

* ''x''-''y''-''z'', atau ''x''<sub>0</sub>-''y''<sub>0</sub>-''z''<sub>0</sub> pertama
* ''x''′-''y''′-''z''′, atau ''x''<sub>1</sub>-''y''<sub>1</sub>-''z''<sub>1</sub> (setelah rotasi pertama)
* ''x''″-''y''″-''z''″, or ''x''<sub>2</sub>-''y''<sub>2</sub>-''z''<sub>2</sub> (setelah rotasi kedua)
* ''X''-''Y''-''Z'', atau ''x''<sub>3</sub>-''y''<sub>3</sub>-''z''<sub>3</sub> (terakhir)

Untuk urutan rotasi yang tercantum di atas, [[garis node]] ''N'' dapat secara sederhana didefinisikan sebagai orientasi ''X'' setelah rotasi elemen pertama. Oleh karena itu, ''N'' dapat dilambangkan dengan ''x''. Selain itu, karena rotasi elemen ketiga terjadi di sekitar ''Z'', hal itu tidak mengubah orientasi ''Z''. Karenanya ''Z'' bertepatan dengan ''z''″. Ini memungkinkan kita untuk menyederhanakan definisi sudut Euler sebagai berikut:

* ''α'' atau <math>\varphi</math> mewakili rotasi di sekitar sumbu ''z'',
* ''β'' atau <math>\theta</math> mewakili rotasi di sekitar sumbu ''x''", 
* ''γ'' atau <math>\psi</math> mewakili rotasi di sekitar sumbu ''z''″.

=== Konvensi dengan rotasi ekstrinsik ===
Rotasi ekstrinsik adalah rotasi elemen yang terjadi pada sumbu sistem koordinat tetap ''xyz''. Sistem ''XYZ'' berputar, sedangkan ''xyz'' ditetapkan. Dimulai dengan ''XYZ'' tumpang tindih ''xyz'', komposisi tiga rotasi ekstrinsik dapat digunakan untuk mencapai orientasi target apa pun untuk ''XYZ''. Sudut Euler atau Tait-Bryan (''α'', ''β'', ''γ'') adalah amplitudo dari rotasi elemen ini. Contohnya, orientasi target dapat dicapai sebagai berikut (perhatikan urutan terbalik dari Euler):

* Sistem '' XYZ '' berputar di sekitar sumbu '' z '' dengan '' γ ''. Sumbu '' X '' sekarang berada pada sudut '' γ '' sehubungan dengan sumbu '' x ''.
* Sistem '' XYZ '' berputar lagi di sekitar sumbu '' x '' dengan '' β ''. Sumbu '' Z '' sekarang berada pada sudut '' β '' sehubungan dengan sumbu '' z ''.
* Sistem '' XYZ '' berputar untuk ketiga kalinya tentang sumbu '' z '' dengan '' α ''.

Singkatnya, tiga rotasi elemen terjadi pada '' z '', '' x '' dan '' z ''. Memang, urutan ini sering dilambangkan dengan '' z ''-'' x ''-'' z '' (atau 3-1-3). Kumpulan sumbu rotasi yang terkait dengan sudut Euler dan sudut Tait–Bryan biasanya dinamai menggunakan notasi ini (lihat detailnya di atas).

=== Tanda, jarak dan konvensi ===
Sudut biasanya ditentukan menurut [[aturan tangan kanan]]. Yakni, mereka memiliki nilai positif saat mewakili rotasi yang muncul searah jarum jam saat melihat ke arah sumbu positif, dan nilai negatif ketika rotasi muncul berlawanan arah jarum jam. Konvensi yang berlawanan (aturan tangan kiri) lebih jarang diadopsi.

Tentang rentang (menggunakan [[Interval (matematika)#Notasi untuk interval|notasi interval]]):

* untuk '' α '' dan '' γ '', kisarannya ditentukan [[Aritmetika modular|modulo]] 2{{pi}} [[radian]] s. Misalnya, rentang yang valid bisa jadi {{tutup-tutup| -{{pi}}, {{pi}}}}.
* untuk '' β '', rentangnya mencakup {{pi}} radian (tetapi tidak bisa dikatakan sebagai modulo {{pi}}). Contohnya, bisa jadi {{tutup-tutup|0, {{pi}}}} atau {{tutup-tutup|&minus;{{pi}}/2, {{pi}}/2}}.

Sudut '' α '', '' β '' dan '' γ '' ditentukan secara unik kecuali untuk kasus tunggal bahwa bidang '' xy '' dan '' XY '' identik, yaitu ketika '' z '' dan sumbu '' Z ''. Memang, jika sumbu '' z '' dan sumbu '' Z '' adalah sama, '' β ''=0 dan hanya ('' α '' + '' γ '') yang didefinisikan secara unik (bukan nilai individu), dan, demikian pula, jika sumbu '' z '' dan sumbu '' Z '' berlawanan, '' β ''={{pi}} dan hanya ('' α '' - '' γ '') yang didefinisikan secara unik (bukan nilai-nilai individu). Ambiguitas ini dikenal sebagai [[gimbal lock]] dalam aplikasi.

Ada enam kemungkinan memilih sumbu rotasi untuk sudut Euler yang tepat. Pada semuanya, sumbu rotasi pertama dan ketiga sama. Enam kemungkinan urutan tersebut adalah:
	 
# ''z''<sub>1</sub>-''x''′-''z''<sub>2</sub>″ (rotasi intrinsik) atau ''z''<sub>2</sub>-''x''-''z''<sub>1</sub> (rotasi ekstrinsik)
# ''x''<sub>1</sub>-''y''′-''x''<sub>2</sub>″ (rotasi intrinsik) atau ''x''<sub>2</sub>-''y''-''x''<sub>1</sub> (rotasi ekstrinsik)
# ''y''<sub>1</sub>-''z''′-''y''<sub>2</sub>″ (rotasi intrinsik) atau ''y''<sub>2</sub>-''z''-''y''<sub>1</sub> (rotasi ekstrinsik)
# ''z''<sub>1</sub>-''y''′-''z''<sub>2</sub>″ (rotasi intrinsik) atau ''z''<sub>2</sub>-''y''-''z''<sub>1</sub> (rotasi ekstrinsik)
# ''x''<sub>1</sub>-''z''′-''x''<sub>2</sub>″ (rotasi intrinsik) atau ''x''<sub>2</sub>-''z''-''x''<sub>1</sub> (rotasi ekstrinsik)
# ''y''<sub>1</sub>-''x''′-''y''<sub>2</sub>″ (intrinsic rotations) or ''y''<sub>2</sub>-''x''-''y''<sub>1</sub> (rotasi ekstrinsik)

=== Presesi, nutasi dan rotasi intrinsik ===
[[Gambar:Praezession.svg|thumb|170px|right|Gerakan dasar Euler Bumi. Intrinsik (hijau), Presesi (biru) dan Nutasi (merah)]]
[[Presesi]], [[nutasi]], dan [[rotasi|rotasi intrinsik]] (spin) didefinisikan sebagai gerakan yang diperoleh dengan mengubah salah satu sudut Euler sambil membiarkan dua konstanta lainnya. Gerakan-gerakan ini tidak diekspresikan dalam kerangka eksternal, atau dalam kerangka kerangka bodi yang ikut bergerak, tetapi dalam campuran. Mereka merupakan sistem '''sumbu rotasi campuran''', di mana sudut pertama menggerakkan garis node di sekitar sumbu eksternal '' z '', yang kedua berputar di sekitar garis simpul '' N '' dan yang ketiga adalah rotasi intrinsik di sekitar '' Z '', sumbu tetap di tubuh yang bergerak.

Definisi statis menyiratkan bahwa:

* ''α'' (presesi) mewakili rotasi di sekitar sumbu '' z '',
* ''β'' (nutasi) mewakili rotasi di sekitar sumbu '' N '' atau x ′, 
* ''γ'' (rotasi intrinsik) merepresentasikan rotasi di sekitar sumbu '' Z '' atau z ″.

Bila '' β '' adalah nol, tidak ada rotasi tentang '' N ''. Akibatnya, '' Z '' bertepatan dengan '' z '', '' α '' dan '' γ '' mewakili rotasi pada sumbu yang sama ('' z ''), dan orientasi akhir dapat diperoleh dengan rotasi tunggal sekitar '' z '', dengan sudut yang sama dengan {{nowrap|''α'' + ''γ''}}.

Sebagai contoh, pertimbangkan sebuah [[puncak]]. Bagian atas berputar di sekitar sumbu simetrinya; ini sesuai dengan rotasi intrinsiknya. Hal ini juga berputar di sekitar poros pentingnya, dengan pusat massanya yang mengorbit sumbu penting; rotasi ini adalah presesi. Akhirnya, bagian atas bisa bergoyang naik turun; sudut kemiringan adalah sudut nutasi. Contoh yang sama bisa dilihat dengan pergerakan bumi.

Meskipun ketiga gerakan dapat diwakili oleh operator rotasi dengan koefisien konstan dalam beberapa bingkai, mereka tidak dapat diwakili oleh semua operator ini pada saat yang bersamaan. Dengan adanya kerangka acuan, paling banyak salah satu dari mereka akan bebas koefisien. Hanya presesi yang dapat diekspresikan secara umum sebagai matriks di dasar ruang tanpa ketergantungan sudut lainnya.

Gerakan ini juga berperilaku sebagai satu himpunan gimbal. Jika kita mengandaikan satu set bingkai, dapat bergerak masing-masing sehubungan dengan yang pertama hanya berdasarkan satu sudut, seperti gimbal, akan ada bingkai tetap eksternal, satu bingkai terakhir dan dua bingkai di tengah, yang disebut "bingkai perantara". Dua di tengah berfungsi sebagai dua cincin gimbal yang memungkinkan bingkai terakhir mencapai orientasi apa pun di ruang angkasa.

== Sudut Tait–Bryan ==
{{see also|Sumbu bidang utama}}
[[Gambar:taitbrianzyx.svg|thumb|left|200px|Sudut Tait – Bryan. '' z ''-'' y ''′-'' x ''″ urutan (rotasi intrinsik; '' N '' bertepatan dengan '' y '''). Urutan rotasi sudut adalah ''&psi;'', ''&theta;'', ''&phi;''. Perhatikan bahwa dalam kasus ini {{nowrap|''&psi;'' > 90°}} dan '' θ '' adalah sudut negatif.]]

Jenis kedua dari formalisme disebut '''Sudut Tait-Bryan''', setelah [[Peter Guthrie Tait]] dan [[George H. Bryan]]. Ini adalah konvensi yang biasanya digunakan untuk aplikasi ruang angkasa, sehingga ketinggian nol derajat mewakili sikap horizontal. Sudut Tait–Bryan mewakili orientasi pesawat terhadap kerangka dunia. Saat berhadapan dengan kendaraan lain, [[konvensi sumbu]] yang berbeda dimungkinkan.

=== Definisi ===
[[Gambar:taitbrianangles.svg|thumb|right|325px|Sudut Tait – Bryan. '' z '' - '' x ''′ - '' y ''″ urutan (rotasi intrinsik; '' N '' bertepatan dengan ''x''′)]]
Definisi dan notasi yang digunakan untuk sudut Tait – Bryan serupa dengan yang dijelaskan di atas untuk sudut Euler yang tepat ([[Definisi#Geometris|definisi geometris]], [[#Definisi oleh rotasi intrinsik|definisi rotasi intrinsik]], [[#Definisi oleh rotasi ekstrinsik|definisi rotasi ekstrinsik]]). Satu-satunya perbedaan adalah bahwa sudut Tait – Bryan mewakili rotasi tentang tiga sumbu berbeda (yaitu ''x''-''y''-''z'', atau ''x''-''y''′-''z''″), sementara sudut Euler yang tepat menggunakan sumbu yang sama untuk rotasi elemen pertama dan ketiga (misalnya, ''z''-''x''-''z'', or ''z''-''x''′-''z''″).

Ini menyiratkan definisi yang berbeda untuk [[garis node]] dalam konstruksi geometris. Dalam kasus sudut Euler yang tepat itu didefinisikan sebagai perpotongan antara dua bidang kartesius homolog (sejajar ketika sudut Euler adalah nol; misalnya '' xy '' dan '' XY ''). Dalam kasus sudut Tait-Bryan, ini didefinisikan sebagai perpotongan dua bidang non-homolog (tegak lurus saat sudut Euler adalah nol; misalnya '' xy '' dan '' YZ '').

=== Konvensi ===
[[Berkas:Plane with ENU embedded axes.svg|thumb|left|100|100|Heading, elevation and bank angles ('' Z '' - '' Y ''′ - '' X ''″) untuk pesawat yang menggunakan sumbu ENU onboard dan untuk stasiun pelacakan darat. Kerangka referensi tetap '' x ''-'' y ''-'' z '' mewakili stasiun pelacakan tersebut. Sumbu onboard '' Y '' dan '' Z '' tidak ditampilkan. ''X'' shown in green color. Gambar ini tidak mengikuti aturan RHS: sumbu '' y '' harus dibalik untuk membentuk RHS dengan sudut positif ditunjukkan.]]

Tiga rotasi elemen dapat terjadi baik di sekitar sumbu sistem koordinat asli, yang tetap tidak bergerak ([[#Rotasi ekstrinsik|rotasi ekstrinsik]]), atau tentang sumbu dari sistem koordinat berputar, yang mengubah orientasinya setelah setiap rotasi elemen ([[#Rotasi intrinsik|rotasi intrinsik]]).

Ada enam kemungkinan untuk memilih sumbu rotasi untuk sudut Tait – Bryan. Enam kemungkinan urutan adalah:

* ''x''-''y''′-''z''″ (rotasi intrinsik) atau ''z''-''y''-''x'' (rotasi ekstrinsik)
* ''y''-''z''′-''x''″ (rotasi intrinsik) atau ''x''-''z''-''y'' (rotasi ekstrinsik)
* ''z''-''x'''-''y''″ (rotasi intrinsik) atau ''y''-''x''-''z'' (rotasi ekstrinsik)
* ''x''-''z''′-''y''″ (rotasi intrinsik) atau ''y''-''z''-''x'' (rotasi ekstrinsik)
* ''z''-''y''′-''x''″ (rotasi intrinsik) atau ''x''-''y''-''z'' (rotasi ekstrinsik): rotasi intrinsik dikenal sebagai: yaw, pitch and roll
* ''y''-''x''′-''z''″ (rotasi intrinsik) atau ''z''-''x''-''y'' (rotasi ekstrinsik)

===Signs and ranges===
[[Gambar:Yaw Axis Corrected.svg|thumb|right|250px|[[Sumbu utama pesawat|sumbu utama]] pesawat udara menurut norma udara [[Deutsches Institut für Normung|DIN]] 9300. Perhatikan bahwa kerangka tetap dan bergerak harus bertepatan dengan sudut nol. Karena itu, norma ini juga akan memaksa [[konvensi sumbu]] yang kompatibel dalam sistem referensi]]
Konvensi Tait–Bryan banyak digunakan dalam bidang teknik dengan tujuan berbeda. Ada beberapa [[konvensi sumbu]] dalam praktik untuk memilih sumbu bergerak dan tetap, dan konvensi ini menentukan tanda-tanda sudut. Oleh karena itu, tanda-tanda harus dipelajari dalam setiap kasus dengan cermat.

Kisaran sudut ''&psi;'' dan ''&phi;'' mencakup 2{{pi}} radian. Untuk ''&theta;'' kisarannya mencakup {{pi}} radian

=== Nama alternatif ===
Sudut ini biasanya diambil sebagai satu dalam kerangka referensi eksternal ([[Heading (navigasi)|heading]], [[Bearing (navigasi)|bearing]]), satu dalam kerangka bergerak intrinsik ([[Belokan miring|tepian]]) dan satu lagi di bingkai tengah, mewakili sebuah [[Elevasi (balistik)|elevasi]] atau kemiringan sehubungan dengan bidang horizontal, yang setara dengan garis node untuk tujuan ini.

{{roll_pitch_yaw_mnemonic.svg}}
Untuk sebuah pesawat, mereka dapat diperoleh dengan tiga rotasi di sekitar [[sumbu utama pesawat|sumbu utama]] jika dilakukan dengan urutan yang benar. [[Yaw (rotasi)|yaw]] akan mendapatkan bantalan, [[momen pitch|pitch]] akan menghasilkan elevasi dan gulungan memberikan sudut tepian. Oleh karena itu, di luar angkasa terkadang mereka disebut menggunakan bahasa Inggris yaitu '''yaw, pitch and roll'''. Perhatikan bahwa ini tidak akan berfungsi jika rotasi diterapkan dalam urutan lain atau jika sumbu pesawat mulai pada posisi apa pun yang tidak setara dengan kerangka acuan.

Sudut Tait–Bryan, mengikuti ''z''-''y''′-''x''″ (rotasi intrinsik), juga dikenal sebagai '''sudut laut''', karena mereka dapat digunakan untuk menggambarkan orientasi kapal atau pesawat, atau '''sudut Cardan''', diambil dari nama ahli matematika dan fisikawan Italia [[Gerolamo Cardano]], yang pertama kali menjelaskan secara rinci [[suspensi Cardan]] dan [[sendi Cardan]].

== Sudut dari sebuah frame ==
[[Gambar:EulerProjections.svg|right|thumb|200px|Proyeksi vektor '' Z '']]
[[Gambar:EulerProjections2.svg|right|thumb|200px|Proyeksi vektor '' Y '']]
Masalah yang umum adalah mencari sudut Euler dari bingkai tertentu. Cara tercepat untuk mendapatkannya adalah dengan menulis tiga vektor yang diberikan sebagai kolom matriks dan membandingkannya dengan ekspresi teorinya (lihat tabel matriks selanjutnya). Karenanya tiga Sudut Euler dapat dihitung. Namun demikian, hasil yang sama dapat dicapai dengan menghindari aljabar matriks dan hanya menggunakan geometri elemen. Di sini kami menyajikan hasil untuk dua konvensi yang paling umum digunakan: ''ZXZ'' untuk sudut Euler yang tepat dan '' ZYX '' untuk Tait–Bryan. Perhatikan bahwa konvensi lain dapat diperoleh hanya dengan mengubah nama sumbu.

=== Sudut Euler yang tepat ===
Asumsikan bingkai dengan [[vektor unit]] (''X'', ''Y'', ''Z'') diberikan oleh koordinat mereka seperti pada diagram utama, dapat dilihat bahwa:

:<math>\cos (\beta) = Z_3.</math>

Dan, karena itu
:<math>\sin^2 x = 1 - \cos^2 x,</math>
kita punya
:<math>\sin (\beta) = \sqrt {1 - Z_3^2}.</math>

Sebagai <math>Z_2</math> adalah proyeksi ganda dari vektor kesatuan,
:<math>\cos(\alpha) \cdot \sin(\beta) = -Z_2,</math>
:<math>\cos(\alpha) = -Z_2 / \sqrt{1 - Z_3^2}.</math>

Ada konstruksi serupa untuk <math>Y_3</math>, memproyeksikannya terlebih dahulu di atas bidang yang ditentukan oleh sumbu '' z '' dan garis simpul. Seperti sudut antar bidang <math>\pi/2 - \beta</math> dan <math>\cos(\pi/2 - \beta) = \sin(\beta)</math>, hal ini mengarah ke:

:<math>\sin(\beta) \cdot \cos(\gamma) = Y_3,</math>
:<math>\cos(\gamma) = Y_3 / \sqrt{1 - Z_3^2},</math>

dan terakhir, menggunakan fungsi [[fungsi trigonometri invers|kosinus invers]],

:<math>\alpha = \arccos(-Z_2 / \sqrt{1 - Z_3^2}),</math>
:<math>\beta = \arccos(Z_3),</math>
:<math>\gamma = \arccos(Y_3 / \sqrt{1 - Z_3^2}).</math>

=== Sudut Tait–Bryan ===
Asumsikan bingkai dengan [[vektor unit]] (''X'', ''Y'', ''Z'') diberikan oleh koordinat mereka seperti pada diagram baru ini (perhatikan bahwa sudut theta negatif), dapat dilihat bahwa:

:<math>\sin (\theta) = -X_3</math>

Seperti sebelumnya,
:<math>\cos^2 x = 1 - \sin^2 x,</math>
kita punya
:<math>\cos (\theta) = \sqrt {1 - X_3^2}.</math>

dengan cara yang mirip dengan yang sebelumnya:

:<math>\sin(\psi) = X_2 / \sqrt{1 - X_3^2}.</math>
:<math>\sin(\phi) = Y_3 / \sqrt{1 - X_3^2}.</math>

Mencari ekspresi yang mirip dengan yang sebelumnya:

:<math>\psi = \arcsin(X_2 / \sqrt{1 - X_3^2}),</math>
:<math>\theta = \arcsin(-X_3),</math>
:<math>\phi = \arcsin(Y_3 / \sqrt{1 - X_3^2}).</math>

=== Ucapan terakhir ===
Perhatikan bahwa fungsi invers sinus dan cosinus menghasilkan dua kemungkinan nilai untuk argumen tersebut. Dalam deskripsi geometri ini hanya satu solusi yang valid. Ketika Sudut Euler didefinisikan sebagai urutan rotasi, semua solusi bisa valid, tetapi hanya akan ada satu di dalam rentang sudut. Ini karena urutan rotasi untuk mencapai bingkai target tidak unik jika rentangnya tidak ditentukan sebelumnya.<ref>{{Cite web |url=http://www.gregslabaugh.net/publications/euler.pdf |title=Gregory G. Slabaugh, Computing Euler angles from a rotation matrix |access-date=2020-09-25 |archive-date=2020-01-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200111000100/http://www.gregslabaugh.net/publications/euler.pdf |dead-url=yes }}</ref>

Untuk tujuan komputasi, mungkin berguna untuk merepresentasikan sudut menggunakan {{nowrap|[[atan2]](''y'', ''x'')}}. Contohnya, dalam kasus sudut Euler yang tepat:

:<math>\alpha = \operatorname{atan2}(Z_1 , -Z_2),</math>
:<math>\gamma = \operatorname{atan2}(X_3 , Y_3).</math>

== Konversi ke representasi orientasi lain ==
{{Main|Rotasi formalisme dalam tiga dimensi#Rumus konversi antara formalisme}}

Sudut euler adalah salah satu cara untuk merepresentasikan orientasi. Ada yang lain, dan dimungkinkan untuk mengubah ke dan dari konvensi lain. Tiga parameter selalu diperlukan untuk menggambarkan orientasi dalam [[dimensi|3-dimensi]] [[Ruang Euklides]]. Mereka dapat diberikan dalam beberapa cara, salah satunya sudut Euler; lihat [[grafik di SO(3)]] untuk lainnya.

Representasi orientasi yang paling banyak digunakan adalah [[matriks rotasi]], [[sudut sumbu]] dan [[angka empat]], juga dikenal sebagai [[parameter Euler–Rodrigues]], yang menyediakan [[Kuarter dan rotasi spasial|mekanisme lain]] untuk merepresentasikan rotasi 3D. Hal ini sama dengan deskripsi kelompok kesatuan khusus.

Mengekspresikan rotasi dalam 3D sebagai satuan quaternions dan bukan matriks memiliki beberapa keuntungan:

* Rotasi penggabungan secara komputasi lebih cepat dan secara numerik lebih stabil.
* Mengekstraksi sudut dan sumbu rotasi lebih sederhana.
* Interpolasi lebih mudah. Lihat misalnya [[slerp]].
* Quaternion tidak menderita [[gimbal lock]] seperti sudut Euler.

Terlepas dari itu, kalkulasi matriks rotasi adalah langkah pertama untuk mendapatkan dua representasi lainnya.

=== Matriks rotasi ===
Orientasi apa pun dapat dicapai dengan menyusun tiga rotasi elemen, dimulai dari orientasi standar yang diketahui. Secara ekivalen, setiap [[matriks rotasi]] '' R '' dapat [[Dekomposisi matriks|terdekomposisi]] sebagai hasil kali dari tiga matriks rotasi elemen. Contohnya:

:<math>R = X(\alpha) Y(\beta) Z(\gamma)</math>
adalah matriks rotasi yang dapat digunakan untuk merepresentasikan komposisi [[Sudut Euler#Definisi oleh rotasi ekstrinsik|rotasi ekstrinsik]] tentang sumbu ''z'', ''y'', ''x'', (dalam urutan itu), atau komposisi [[Sudut Euler#Definisi oleh rotasi intrinsik|rotasi intrinsik]] tentang sumbu ''x''-''y''′-''z''″ (dalam urutan itu).<!-- However, both the definition of the elemental rotation matrices ''X'', ''Y'', ''Z'', and their multiplication order depend on the choices taken by the user about the definition of both rotation matrices and Euler angles (see, for instance, [[Rotation matrix#Ambiguities|Ambiguities in the definition of rotation matrices]]). Unfortunately, different sets of conventions are adopted by users in different contexts. The following table was built according to this set of conventions:

# Each matrix is meant to operate by pre-multiplying [[column vector]]s <math display="inline">\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}</math> (see [[Rotation matrix#Ambiguities|Ambiguities in the definition of rotation matrices]])
# Each matrix is meant to represent an [[Active and passive transformation|active rotation]] (the composing and composed matrices are supposed to act on the coordinates of vectors defined in the initial fixed reference frame and give as a result the coordinates of a rotated vector defined in the same reference frame).
# Each matrix is meant to represent, primarily, the composition of [[extrinsic rotations]] (which corresponds to the constructive evaluation of the R matrix by the multiplication of three truly elemental matrices) and, secondarily, the composition of three non elemental matrices representing globally an [[intrinsic rotations]] (around the axes of the rotating reference frame, in inverse order).
# [[Right hand rule|Right handed]] reference frames are adopted, and the [[right hand rule]] is used to determine the sign of the angles ''α'', ''β'', ''γ''.
For the sake of simplicity, the following table of matrix products uses the following nomenclature:
# 1, 2, 3 represent the angles ''α'', ''β'' and ''γ'', i.e. the angles corresponding to the first, second and third elemental rotations respectively.
# ''X'', ''Y'', ''Z'' are the matrices representing the elemental rotations about the axes ''x'', ''y'', ''z'' of the fixed frame (e.g., ''X''<sub>1</sub> represents a rotation about ''x'' by an angle ''α'').
# ''s'' and ''c'' represent sine and cosine (e.g., ''s''<sub>1</sub> represents the sine of ''α'').-->

:{| class="wikitable" style="background-color:white;font-weight:bold"
|- 
! Sudut Euler yang tepat !! Sudut Tait–Bryan
|-
|<math>X_1 Z_2 X_3 = \begin{bmatrix}
 c_2 & - c_3 s_2 & s_2 s_3 \\
 c_1 s_2 & c_1 c_2 c_3 - s_1 s_3 & - c_3 s_1 - c_1 c_2 s_3 \\
 s_1 s_2 & c_1 s_3 + c_2 c_3 s_1 & c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 
\end{bmatrix}</math>
|<math>X_1 Z_2 Y_3 = \begin{bmatrix}
 c_2 c_3 & - s_2 & c_2 s_3 \\
 s_1 s_3 + c_1 c_3 s_2 & c_1 c_2 & c_1 s_2 s_3 - c_3 s_1 \\
 c_3 s_1 s_2 - c_1 s_3 & c_2 s_1 & c_1 c_3 + s_1 s_2 s_3 
\end{bmatrix}</math>
|-
|<math>X_1 Y_2 X_3 = \begin{bmatrix}
 c_2 & s_2 s_3 & c_3 s_2 \\
 s_1 s_2 & c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 &  - c_1 s_3 - c_2 c_3 s_1 \\
 - c_1 s_2 & c_3 s_1 + c_1 c_2 s_3 & c_1 c_2 c_3 - s_1 s_3 
\end{bmatrix}</math>
|<math>X_1 Y_2 Z_3 = \begin{bmatrix}
 c_2 c_3 & - c_2 s_3 & s_2 \\
 c_1 s_3 + c_3 s_1 s_2 & c_1 c_3 - s_1 s_2 s_3 & - c_2 s_1 \\
 s_1 s_3 - c_1 c_3 s_2 & c_3 s_1 + c_1 s_2 s_3 & c_1 c_2 
\end{bmatrix}</math>
|-
|<math>Y_1 X_2 Y_3 = \begin{bmatrix}
 c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 & s_1 s_2 & c_1 s_3 + c_2 c_3 s_1 \\
 s_2 s_3 & c_2 & - c_3 s_2 \\
  - c_3 s_1 - c_1 c_2 s_3 & c_1 s_2 & c_1 c_2 c_3 - s_1 s_3 
\end{bmatrix}</math>
|<math>Y_1 X_2 Z_3 = \begin{bmatrix}
 c_1 c_3 + s_1 s_2 s_3 & c_3 s_1 s_2 - c_1 s_3 &   c_2 s_1 \\
  c_2 s_3 & c_2 c_3 & - s_2 \\
 c_1 s_2 s_3 - c_3 s_1 & c_1 c_3 s_2 + s_1 s_3 & c_1 c_2 
\end{bmatrix}</math>
|-
|<math>Y_1 Z_2 Y_3 = \begin{bmatrix}
 c_1 c_2 c_3 - s_1 s_3 & - c_1 s_2 & c_3 s_1 + c_1 c_2 s_3 \\
 c_3 s_2 & c_2 & s_2 s_3 \\
  - c_1 s_3 - c_2 c_3 s_1 & s_1 s_2 & c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 
\end{bmatrix}</math>
|<math>Y_1 Z_2 X_3 = \begin{bmatrix}
 c_1 c_2 & s_1 s_3 - c_1 c_3 s_2 & c_3 s_1 + c_1 s_2 s_3 \\
 s_2 & c_2 c_3 & - c_2 s_3 \\
 - c_2 s_1 & c_1 s_3 + c_3 s_1 s_2 & c_1 c_3 - s_1 s_2 s_3 
\end{bmatrix}</math>
|-
|<math>Z_1 Y_2 Z_3 = \begin{bmatrix}
 c_1 c_2 c_3 - s_1 s_3 &  - c_3 s_1 - c_1 c_2 s_3 & c_1 s_2 \\
 c_1 s_3 + c_2 c_3 s_1 & c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 & s_1 s_2 \\
 - c_3 s_2 & s_2 s_3 & c_2 
\end{bmatrix}</math>
|<math>Z_1 Y_2 X_3 = \begin{bmatrix}
 c_1 c_2 & c_1 s_2 s_3 - c_3 s_1 & s_1 s_3 + c_1 c_3 s_2 \\
 c_2 s_1 & c_1 c_3 + s_1 s_2 s_3 & c_3 s_1 s_2 - c_1 s_3 \\
 - s_2 & c_2 s_3 & c_2 c_3 
\end{bmatrix}</math>
|-
|<math>Z_1 X_2 Z_3 = \begin{bmatrix}
 c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 & - c_1 s_3 - c_2 c_3 s_1 &  s_1 s_2 \\
 c_3 s_1 + c_1 c_2 s_3 & c_1 c_2 c_3 - s_1 s_3 & - c_1 s_2 \\
 s_2 s_3 & c_3 s_2 & c_2 
\end{bmatrix}</math>
|<math>Z_1 X_2 Y_3 = \begin{bmatrix}
 c_1 c_3 - s_1 s_2 s_3 & - c_2 s_1 & c_1 s_3 + c_3 s_1 s_2 \\
 c_3 s_1 + c_1 s_2 s_3 & c_1 c_2 & s_1 s_3 - c_1 c_3 s_2 \\
 - c_2 s_3 & s_2 & c_2 c_3 
\end{bmatrix}</math>
|}<ref>These tabular results may be verified by checking Appendix I (p. 483) of the following source: {{citation
 |last1= Roithmayr
 |first1= Carlos M.
 |last2= Hodges
 |first2= Dewey H.
 |title= Dynamics: Theory and Application of Kane's Method
 |edition= 1st
 |publisher=  Cambridge University Press
 |year= 2016
 |isbn= 978-1107005693
 }}</ref>

Untuk mengubah rumus [[Transformasi aktif dan pasif|rotasi pasif]] (atau mencari rotasi aktif terbalik), ubah urutan matriks (kemudian setiap matriks mengubah koordinat awal dari sebuah vektor yang tetap menjadi koordinat dari vektor yang sama yang diukur dalam sistem referensi yang diputar; sumbu rotasi yang sama, sudut yang sama, tetapi sekarang sistem koordinat berputar, bukan vektor).

== Properti ==
{{See also|Grafik di SO(3)|Kuarter dan rotasi spasial}}
<!--The Euler angles form a [[chart (topology)|chart]] on all of [[SO(3)]], the [[special orthogonal group]] of rotations in 3D space. The chart is smooth except for a polar coordinate style singularity along {{Nowrap|1=''β'' = 0}}. See [[charts on SO(3)]] for a more complete treatment.

The space of rotations is called in general "The [[Quaternions and spatial rotation#Quaternion rotation operations|Hypersphere of rotations]]", though this is a misnomer: the group [[Spin group|Spin(3)]] is [[isometric embedding|isometric]] to the hypersphere ''S''<sup>3</sup>, but the rotation space SO(3) is instead isometric to the [[real projective space]] '''RP'''<sup>3</sup> which is a 2-fold [[Quotient space (topology)|quotient space]] of the hypersphere. This 2-to-1 ambiguity is the mathematical origin of [[Spin (physics)|spin in physics]].

A similar three angle decomposition applies to [[SU(2)]], the [[special unitary group]] of rotations in complex 2D space, with the difference that ''β'' ranges from 0 to&nsbp2{{pi}}. These are also called Euler angles.

The [[Haar measure]] for SO(3) in Euler angles is given by the Hopf angle parametrisation of SO(3), <math>\textrm{d}V \propto \sin \alpha . \textrm{d}\alpha . \textrm{d}\beta . \textrm{d}\gamma</math>,<ref>Section 8 – Derivation of Hopf parametrisation : [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2896220/ Generating Uniform Incremental Grids on SO(3) Using the Hopf Fibration] &nbsp;.</ref> where <math>(\alpha,\beta)</math> parametrise <math>S^{2}</math>, the space of rotation axes.

For example, to generate uniformly randomized orientations, let ''α'' and ''γ'' be uniform from 0 to 2{{pi}}, let ''z'' be uniform from &minus;1 to 1, and let {{nowrap|1=''β'' = arccos(''z'')}}.

===Geometric algebra===
Other properties of Euler angles and rotations in general can be found from the [[Geometric algebra]](GA). GA is a higher level abstraction, in which the quaternions are an even subalgebra. The principal tool in GA is the rotor <math> \mathbf{\R} = [ \cos(\theta / 2) - I u \sin(\theta / 2) ] </math> where <math>\mathbf\theta =</math>[[angle of rotation]], <math>\mathbf(u) =</math>rotation axis (unitary vector) and <math>\mathbf(I)=</math>pseudoscalar (trivector in <math>\mathbb{R}^3</math>)

===Higher dimensions===
It is possible to define parameters analogous to the Euler angles in dimensions higher than three.<ref>{{in lang|it}} [http://ansi.altervista.org A generalization of Euler Angles to ''n''-dimensional real spaces]</ref>

The number of degrees of freedom of a rotation matrix is always less than the dimension of the matrix squared. That is, the elements of a rotation matrix are not all completely independent. For example, the rotation matrix in dimension 2 has only one degree of freedom, since all four of its elements depend on a single angle of rotation. A rotation matrix in dimension 3 (which has nine elements) has three degrees of freedom, corresponding to each independent rotation, for example by its three Euler angles or a magnitude one (unit) quaternion.

In [[SO(4)]] the rotation matrix [[Rotation (mathematics)#In four dimensions|is defined by two quaternions]], and is therefore 6-parametric (three degrees of freedom for every quaternion). The {{gaps|4|×|4}} rotation matrices have therefore 6 out of 16 independent components.

Any set of 6 parameters that define the rotation matrix could be considered an extension of Euler angles to dimension 4.

In general, the number of euler angles in dimension D is quadratic in D; since any one rotation consists of choosing two dimensions to rotate between, the total number of rotations available in dimension <math>D</math> is <math>N_\text{rot}=\binom{D}{2}=D(D-1)/2</math>, which for <math>D=2,3,4</math> yields <math>N_\text{rot}=1,3,6</math>.-->

== Aplikasi ==
[[Gambar:Gyroscope operation.gif|thumb|right|A [[giroskop]] menjaga sumbu rotasinya tetap konstan. Oleh karena itu, sudut yang diukur dalam bingkai ini setara dengan sudut yang diukur dalam kerangka lab.]]

=== Kendaraan dan rangka bergerak ===
{{Main|tubuh kaku}}
{{See also|konvensi sumbu}}

<!--Their main advantage over other orientation descriptions is that they are directly measurable from a gimbal mounted in a vehicle. As gyroscopes keep their rotation axis constant, angles measured in a gyro frame are equivalent to angles measured in the lab frame. Therefore, gyros are used to know the actual orientation of moving spacecraft, and Euler angles are directly measurable. Intrinsic rotation angle cannot be read from a single gimbal, so there has to be more than one gimbal in a spacecraft. Normally there are at least three for redundancy. There is also a relation to the well-known [[gimbal lock]] problem of [[mechanical engineering]] <ref>The relation between the Euler angles and the Cardan suspension is explained in chap. 11.7 of the following textbook: U. Krey, A. Owen, ''Basic Theoretical Physics – A Concise Overview, New York, London, Berlin, Heidelberg, Springer (2007)&nbsp;.</ref>&nbsp;.

When studying rigid bodies in general, one calls the ''xyz'' system ''space coordinates'', and the ''XYZ'' system ''body coordinates''. The space coordinates are treated as unmoving, while the body coordinates are considered embedded in the moving body. Calculations involving [[acceleration]], [[angular acceleration]], [[angular velocity]], [[angular momentum]], and [[kinetic energy]] are often easiest in body coordinates, because then the moment of inertia tensor does not change in time.  If one also diagonalizes the rigid body's moment of inertia tensor (with nine components, six of which are independent), then one has a set of coordinates (called the principal axes) in which the moment of inertia tensor has only three components.

The angular velocity of a rigid body takes a [[Angular velocity#Components from Euler angles|simple form]] using Euler angles in the moving frame. Also the [[Euler's equations (rigid body dynamics)|Euler's rigid body equations]] are simpler because the inertia tensor is constant in that frame.

===Crystallographic texture===
[[File:MAUD-MTEX-TiAl-hasylab-2003-Liss.png|thumb|Pole figures displaying crystallographic texture of gamma-TiAl in an alpha2-gamma alloy, as measured by high energy X-rays.<ref name=Liss>{{ cite journal |vauthors=Liss KD, Bartels A, Schreyer A, Clemens H |title=High energy X-rays: A tool for advanced bulk investigations in materials science and physics |journal=Textures Microstruct. |year=2003 |volume=35 |issue=3/4 |pages=219–52 |doi=10.1080/07303300310001634952 |doi-access=free }}</ref>]]
In materials science, crystallographic [[texture (crystalline)|texture]] (or preferred orientation) can be described using Euler angles. In texture analysis, the Euler angles provide a mathematical depiction of the orientation of individual crystallites within a polycrystalline material, allowing for the quantitative description of the macroscopic material.<ref>{{Citation
  |last1 = Kocks
  |first1 = U.F.
  |last2 = Tomé
  |first2 = C.N.
  |last3 = Wenk
  |first3 = H.-R.
  |title = Texture and Anisotropy: Preferred Orientations in Polycrystals and their effect on Materials Properties
  |publisher = [[Cambridge University Press|Cambridge]]
  |year = 2000
  |isbn = 978-0-521-79420-6}}</ref>  
The most common definition of the angles is due to Bunge and corresponds to the ''ZXZ'' convention.  It is important to note, however, that the application generally involves axis transformations of tensor quantities, i.e. passive rotations.  Thus the matrix that corresponds to the Bunge Euler angles is the transpose of that shown in the table above.<ref>{{Citation
  |last = Bunge
  |first = H.
  |title = Texture Analysis in Materials Science: Mathematical Methods
  |publisher = [[Cuvillier Verlag]]
  |year = 1993
  |asin = B0014XV9HU}}</ref>

===Others===
[[File:Automation of foundry with robot.jpg|thumb|right|Industrial robot operating in a foundry]]
Euler angles, normally in the Tait–Bryan convention, are also used in [[Industrial robot|robotics]] for speaking about the degrees of freedom of a [[Robotic arm|wrist]]. They are also used in [[electronic stability control]] in a similar way.

Gun fire control systems require corrections to gun-order angles (bearing and elevation) to compensate for deck tilt (pitch and roll). In traditional systems, a stabilizing gyroscope with a vertical spin axis corrects for deck tilt, and stabilizes the optical sights and radar antenna. However, gun barrels point in a direction different from the line of sight to the target, to anticipate target movement and fall of the projectile due to gravity, among other factors. Gun mounts roll and pitch with the deck plane, but also require stabilization. Gun orders include angles computed from the vertical gyro data, and those computations involve Euler angles.

Euler angles are also used extensively in the quantum mechanics of angular momentum. In quantum mechanics, explicit descriptions of the representations of SO(3) are very important for calculations, and almost all the work has been done using Euler angles. In the early history of quantum mechanics, when physicists and chemists had a sharply negative reaction towards abstract group theoretic methods (called the ''Gruppenpest''), reliance on Euler angles was also essential for basic theoretical work.

Many mobile computing devices contain [[accelerometer]]s which can determine these devices' Euler angles with respect to the earth's gravitational attraction.  These are used in applications such as games, [[bubble level]] simulations, and [[kaleidoscope]]s.{{citation needed|reason=accelerometers can measure orientation, yes; is there any evidence they use Euler angles for this?|date=May 2011}}-->

== Lihat pula ==
* [[Proyeksi 3D]]
* [[Representasi sudut sumbu]]
* [[Konversi antara quaternions dan sudut Euler]]
* [[Rotasi berantai Davenport]]
* [[Teorema rotasi Euler]]
* [[Quaternion]]
* [[Quaternion dan rotasi spasial]]
* [[Formalisme rotasi dalam tiga dimensi]]
* [[Sistem Koordinat Bola]]

== Referensi ==
{{Reflist}}<!--ditambahkan di bawah judul referensi oleh pengeditan yang dibantu skrip-->

== Bibliografi ==
* {{citation
 |last1= Biedenharn
 |first1= L. C.
 |last2= Louck
 |first2= J. D.
 |title= Angular Momentum in Quantum Physics
 |publisher= [[Addison–Wesley]]
 |place= Reading, MA
 |year= 1981
 |isbn= 978-0-201-13507-7
 }}
* {{citation
 |last1= Goldstein
 |first1= Herbert
 |author1-link= Herbert Goldstein
 |title= Classical Mechanics
 |edition= 2nd
 |publisher= Addison–Wesley
 |place= Reading, MA
 |year= 1980
 |isbn= 978-0-201-02918-5
 }}
* {{citation
 |last1= Gray
 |first1= Andrew
 |title= A Treatise on Gyrostatics and Rotational Motion
 |publisher= [[Macmillan Publishers|Macmillan]]
 |place= London
 |year= 1918
 |publication-date= 2007
 |isbn= 978-1-4212-5592-7
 }}
* {{citation
 |last1= Rose
 |first1= M. E.
 |title= Elementary Theory of Angular Momentum
 |publisher= [[John Wiley & Sons]]
 |place= New York, NY
 |year= 1957
 |publication-date= 1995
 |isbn= 978-0-486-68480-2
 }}
* {{citation
 |last1= Symon
 |first1= Keith
 |title= Mechanics
 |publisher= Addison-Wesley
 |place= Reading, MA
 |year= 1971
 |isbn= 978-0-201-07392-8
 }}
* {{citation
 |last1= Landau
 |first1= L.D.
 |author1-link=Lev Landau
 |last2= Lifshitz
 |first2= E. M.
 |author2-link= Evgeny Lifshitz
 |title= Mechanics
 |edition= 3rd
 |publisher=  Butterworth-Heinemann
 |year= 1996
 |isbn= 978-0-7506-2896-9
 |location= Oxford
 }}

== Pranala luar ==
{{Commons|Euler angles}}

* {{springer|title=Euler angles|id=p/e036390}}
* {{MathWorld|urlname=EulerAngles|title=Euler Angles}}
* David Eberly. [https://www.geometrictools.com/Documentation/EulerAngles.pdf Euler Angle Formulas], Geometric Tools
* An interactive tutorial on Euler angles available at https://www.mecademic.com/resources/Euler-angles/Euler-angles
* [https://itunes.apple.com/us/app/eulerangles/id584911325 EulerAngles]{{snd}} an iOS app for visualizing in 3D the three rotations associated with Euler angles
* [https://sourceforge.net/projects/orilib Orientation Library]{{snd}} "orilib", a collection of routines for rotation / orientation manipulation, including special tools for crystal orientations
* Online tool to convert rotation matrices available at [https://www.andre-gaschler.com/rotationconverter rotation converter] (numerical conversion)
* Online tool to convert symbolic rotation matrices (dead, but still available from the [[Wayback Machine]]) [https://web.archive.org/web/20131208033145/http://vectoralgebra.info/eulermatrix.html symbolic rotation converter]
* [http://iopscience.iop.org/book/978-0-7503-1454-1 Rotation, Reflection, and Frame Change: Orthogonal tensors in computational engineering mechanics], IOP Publishing

{{DEFAULTSORT:Sudut Euler}}
[[Kategori:Rotasi dalam tiga dimensi]]
[[Kategori:Kesimetrian Euclidean]]
[[Kategori:Sudut]]
[[Kategori:Geometri analitik]]