Lihat sumber Subgrup

{{short description|Bagian dari grup yang membentuk grup itu sendiri}}
{{other uses}}
{{Refimprove|date=Juni 2009}}
{{Group theory sidebar |Dasar}}

Di [[teori grup]], cabang [[matematika]], diberi [[grup (matematika)|grup]] ''G'' di bawah [[operasi biner]] ∗, [[himpunan bagian]] ''H'' dari ''G'' disebut '''subgrup''' dari ''G'' jika ''H'' juga membentuk grup di bawah operasi ∗. Lebih tepatnya, ''H'' adalah subgrup dari ''G'' jika [[Fungsi (matematika)#Pembatas dan ekstensi|restriksi]] dari ∗ ke {{nowrap|''H'' × ''H''}} adalah operasi grup di ''H''. Ini biasanya dilambangkan {{nowrap|''H'' ≤ ''G''}}, dibaca sebagai "''H'' adalah subgrup dari ''G''".

== Coset dan teorema Lagrange ==
{{Main|Coset|Teorema Lagrange (teori grup)}}
Diberikan subgrup ''H'' dan beberapa ''a'' di G, kita mendefinisikan '''kiri [[coset]]''' ''aH'' = {''ah'' : ''h'' in ''H''}. Karena ''a'' bisa dibalik, peta φ : ''H'' → ''aH''  diberikan pada φ(''h'') = ''ah'' adalah [[bijeksi]]. Lebih jauh, setiap elemen ''G'' terkandung tepat di satu koset kiri '' H ''; koset kiri adalah kelas kesetaraan yang sesuai dengan [[relasi ekivalen]] ''a''<sub>1</sub> ~ ''a''<sub>2</sub> [[jika dan hanya jika]] ''a''<sub>1</sub><sup>−1</sup>''a''<sub>2</sub> ada di ''H''. Jumlah koset kiri ''H'' disebut [[Indeks subgrup|indeks]] dari ''H'' dalam ''G'' dan dilambangkan dengan [''G'' : ''H''].

[[Teorema Lagrange (teori grup)|Teorema Lagrange]] menyatakan bahwa untuk grup berhingga ''G'' dan subgrup ''H'', 
:<math> [ G : H ] = { |G| \over |H| } </math>
dimana |''G''| dan  |''H''| menunjukkan [[urutan (teori grup)|urutan]] dari ''G'' dan ''H'', masing-masing. Secara khusus, urutan setiap subkelompok ''G'' (dan urutan setiap elemen ''G'') harus berupa [[pembagi]] dari  |''G''|.<ref>Melihat sebuah [https://www.youtube.com/watch?v=TCcSZEL_3CQ didactic proof in this video].</ref><ref>{{Cite book|title=Abstract algebra|last=S.|first=Dummit, David|date=2004|publisher=Wiley|others=Foote, Richard M., 1950-|isbn=9780471452348|edition=3.|location=Hoboken, NJ|pages=90|oclc=248917264}}</ref>

== Contoh: Subgrup Z<sub>8</sub>==<!-- Bagian ini ditautkan dari [[Daftar grup kecil]] -->
Maka ''G'' jadikan [[grup siklik]] ke Z<sub>8</sub> maka hasil elemen
:<math>G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}</math>
dan yang operasi grupnya adalah [[aritmetika modular|penambahan modulo delapan]]. [[Tabel Cayley]] adalah
{| class="wikitable"
!style="background:#FFFFAA;"| +
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:red;">0</span>
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:red;">2</span>
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:red;">4</span>
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:red;">6</span>
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:blue;">1</span>
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:blue;">3</span>
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:blue;">5</span>
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:blue;">7</span>
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:red;">0</span>
| <span style="color:orange;">0</span> || <span style="color:red;">2</span> || <span style="color:orange;">4</span> || <span style="color:red;">6</span> || <span style="color:blue;">1</span> || <span style="color:blue;">3</span> || <span style="color:blue;">5</span> || <span style="color:blue;">7</span>
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:red;">2</span>
| <span style="color:red;">2</span> || <span style="color:red;">4</span> || <span style="color:red;">6</span> || <span style="color:red;">0</span> || <span style="color:blue;">3</span> || <span style="color:blue;">5</span> || <span style="color:blue;">7</span> || <span style="color:blue;">1</span>
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:red;">4</span>
| <span style="color:orange;">4</span> || <span style="color:red;">6</span> || <span style="color:orange;">0</span> || <span style="color:red;">2</span> || <span style="color:blue;">5</span> || <span style="color:blue;">7</span> || <span style="color:blue;">1</span> || <span style="color:blue;">3</span>
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:red;">6</span>
| <span style="color:red;">6</span> || <span style="color:red;">0</span> || <span style="color:red;">2</span> || <span style="color:red;">4</span> || <span style="color:blue;">7</span> || <span style="color:blue;">1</span> || <span style="color:blue;">3</span> || <span style="color:blue;">5</span>
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:blue;">1</span>
| <span style="color:blue;">1</span> || <span style="color:blue;">3</span> || <span style="color:blue;">5</span> || <span style="color:blue;">7</span> || <span style="color:red;">2</span> || <span style="color:red;">4</span> || <span style="color:red;">6</span> || <span style="color:red;">0</span>
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:blue;">3</span>
| <span style="color:blue;">3</span> || <span style="color:blue;">5</span> || <span style="color:blue;">7</span> || <span style="color:blue;">1</span> || <span style="color:red;">4</span> || <span style="color:red;">6</span> || <span style="color:red;">0</span> || <span style="color:red;">2</span>
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:blue;">5</span>
| <span style="color:blue;">5</span> || <span style="color:blue;">7</span> || <span style="color:blue;">1</span> || <span style="color:blue;">3</span> || <span style="color:red;">6</span> || <span style="color:red;">0</span> || <span style="color:red;">2</span> || <span style="color:red;">4</span>
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:blue;">7</span>
| <span style="color:blue;">7</span> || <span style="color:blue;">1</span> || <span style="color:blue;">3</span> || <span style="color:blue;">5</span> || <span style="color:red;">0</span> || <span style="color:red;">2</span> || <span style="color:red;">4</span> || <span style="color:red;">6</span>
|}

Grup ini memiliki dua subgrup nontrivial: <span style="color:orange;">''J''={0,4}</span> and <span style="color:red;">''H''={0,2,4,6}</span>, dimana ''J'' juga merupakan subgrup dari ''H''.  Tabel Cayley untuk '' H '' adalah kuadran kiri atas tabel Cayley untuk '' G ''. Grup '' G '' adalah [[grup siklik|siklik]], dan juga subgrupnya.

== Contoh: Subgrup S<sub>4 </sub>([[grup simetris]] pada 4 elemen) ==
<!-- "Subgrup S4 "dialihkan ke bab ini. -->
Setiap grup memiliki subgrup kecil sebanyak elemen netral pada diagonal utama:

The [[w:trivial group|trivial group]] and two-element groups Z<sub>2</sub>. These small subgroups are not counted in the following list.
{| style="width:100%"
| style="vertical-align:top;"|[[Berkas:Symmetric group 4; Cayley table; numbers.svg|thumb|left|595px|The [[symmetric group]] S<sub>4</sub> showing all [[permutation]]s of 4 elements]]
| style="vertical-align:top;"|
{{multiple image
 | align = right
 | image1 = Symmetric group S4; lattice of subgroups Hasse diagram; all 30 subgroups.svg
 | width1 = 250
 | caption1 = All 30 subgroups
 | image2 = Symmetric group S4; lattice of subgroups Hasse diagram; 11 different cycle graphs.svg
 | width2 = 185
 | caption2 = Simplified
 | footer = [[Hasse diagram]]s of the [[lattice of subgroups]] of S<sub>4</sub>
}}
|}

===12 elements===
[[Berkas:Alternating group 4; Cayley table; numbers.svg|thumb|left|323px|The [[w:Alternating group|alternating group]] A<sub>4</sub> showing only the [[w:parity of a permutation|even permutations]]<br><br>Subgroups:<br>[[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|70px]]<br>[[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,3,4).svg|60px]][[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,11,19).svg|60px]]  [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,15,20).svg|60px]]  [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,8,12).svg|60px]]]]
{{clear}}

===8 elements===
{| 
|-
| <!-- LEFT -->[[Berkas:Dihedral group of order 8; Cayley table (element orders 1,2,2,2,2,4,4,2); subgroup of S4.svg|thumb|233px|[[w:Dihedral group|Dihedral group]] [[Dihedral group of order 8|of order 8]]<br><br>Subgroups:<br>[[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,1,6,7).svg|70px]][[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|70px]][[Berkas:Cyclic group 4; Cayley table (element orders 1,2,4,4); subgroup of S4.svg|70px]]]] || &nbsp; || <!-- CENTRAL -->[[Berkas:Dihedral group of order 8; Cayley table (element orders 1,2,2,4,2,2,4,2); subgroup of S4.svg|thumb|233px|Dihedral group of order 8<br><br>Subgroups:<br>[[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,5,14,16).svg|70px]][[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|70px]][[Berkas:Cyclic group 4; Cayley table (element orders 1,4,2,4); subgroup of S4.svg|70px]]]] || &nbsp; || <!-- RIGHT -->[[Berkas:Dihedral group of order 8; Cayley table (element orders 1,2,2,4,4,2,2,2); subgroup of S4.svg|thumb|233px|Dihedral group of order 8<br><br>Subgroups:<br>[[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,2,21,23).svg|70px]][[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|70px]][[Berkas:Cyclic group 4; Cayley table (element orders 1,4,4,2); subgroup of S4.svg|70px]]]]
|}
{{clear}}

===6 elements===
{| 
|-
| <!-- 1 -->[[Berkas:Symmetric group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,1,2,3,4,5).svg|thumb|187px|[[w:Symmetric group|Symmetric group]] [[w:Dihedral group of order 6|S<sub>3</sub>]]<br><br>Subgroup:[[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,3,4).svg|60px]]]] ||  <!-- 2 -->[[Berkas:Symmetric group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,5,6,11,19,21).svg|thumb|187px|Symmetric group S<sub>3</sub><br><br>Subgroup:[[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,11,19).svg|60px]]]]  || <!-- 3 -->[[Berkas:Symmetric group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,1,14,15,20,21).svg|thumb|187px|Symmetric group S<sub>3</sub><br><br>Subgroup:[[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,15,20).svg|60px]]]] ||  <!-- 4 -->[[Berkas:Symmetric group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,2,6,8,12,14).svg|thumb|187px|Symmetric group S<sub>3</sub><br><br>Subgroup:[[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,8,12).svg|60px]]]]
|}
{{clear}}

===4 elements===
{|
|-
| [[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,1,6,7).svg|thumb|142px|[[w:Klein four-group|Klein four-group]]]] || [[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,5,14,16).svg|thumb|142px|Klein four-group]] || [[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,2,21,23).svg|thumb|142px|Klein four-group]] || [[Berkas:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|thumb|142px|Klein four-group]]
|}
{{clear}}
{|
|-
| [[Berkas:Cyclic group 4; Cayley table (element orders 1,2,4,4); subgroup of S4.svg|thumb|142px|[[w:Cyclic group|Cyclic group]] Z<sub>4</sub>]] || [[Berkas:Cyclic group 4; Cayley table (element orders 1,4,2,4); subgroup of S4.svg|thumb|142px|Cyclic group Z<sub>4</sub>]] || [[Berkas:Cyclic group 4; Cayley table (element orders 1,4,4,2); subgroup of S4.svg|thumb|142px|Cyclic group Z<sub>4</sub>]]
|}
{{clear}}

===3 elements===
{|
|-
| [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,3,4).svg|thumb|120px|[[w:Cyclic group|Cyclic group]] Z<sub>3</sub>]] || [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,11,19).svg|thumb|120px|Cyclic group Z<sub>3</sub>]] || [[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,15,20).svg|thumb|120px|Cyclic group Z<sub>3</sub>]] || 
[[Berkas:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,8,12).svg|thumb|120px|Cyclic group Z<sub>3</sub>]]
|}
{{clear}}

== Lihat pula ==
* [[Subgrup Cartan]]
* [[Subgrup pas]]
* [[Subgrup stabil]]
* [[Subgrup titik tetap]]
* [[Tes subgrup]]

== Catatan ==
<references/>

== Referensi ==
* {{Citation| last=Jacobson| first=Nathan | author-link=Nathan Jacobson| year=2009| title=Basic algebra| edition=2nd| volume = 1 | series= | publisher=Dover| isbn = 978-0-486-47189-1}}.
* {{Citation| last=Hungerford| first=Thomas| author-link=Thomas W. Hungerford| year=1974| title=Algebra| edition=1st| publisher=Springer-Verlag| isbn =9780387905181}}.
* {{Citation| last=Artin| first=Michael| author-link=Michael Artin| year=2011| title=Algebra| edition=2nd| publisher=Prentice Hall| isbn = 9780132413770}}.
* {{Cite book|title=Abstract algebra|last=S.|first=Dummit, David|date=2004|publisher=Wiley|others=Foote, Richard M., 1950-|isbn=9780471452348|edition=3.|location=Hoboken, NJ|oclc=248917264}}

[[Kategori:Group theory]]
[[Kategori:Subgroup properties]]