Lihat sumber Skalar (matematika)

Dalam [[matematika]], '''skalar''' adalah elemen dari suatu [[Lapangan (matematika)|lapangan]] yang digunakan untuk mendefinisikan sebuah [[ruang vektor]]. Suatu besaran yang didefinisikan dengan beberapa skalar, seperti memiliki arah dan besar, disebut dengan [[Vektor Euklides|vektor]].<ref>{{Cite web|title=Mathwords: Scalar|url=http://www.mathwords.com/s/scalar.htm|website=www.mathwords.com|access-date=2021-11-02}}</ref>

Dalam [[aljabar linear]], [[Bilangan riil|bilangan real]] (atau secara umum elemen dari sebuah lapangan) disebut dengan skalar. Skalar ini berhubungan dengan suatu ruang vektor lewat operasi [[perkalian skalar]], yang terdefinisi di ruang vektor tersebut. Operasi tersebut memungkinkan sebuah vektor dikalikan dengan sebuah skalar, untuk menghasilkan vektor lainnya.<ref>{{cite book |last=Lay |first=David C. |title=Linear Algebra and Its Applications |url=https://archive.org/details/studyguidetoline0000layd |url-access=registration |publisher=[[Addison–Wesley]] |year=2006 |edition=3rd |isbn=0-321-28713-4}}</ref><ref>{{cite book |last=Strang |first=Gilbert |author-link=Gilbert Strang |title=Linear Algebra and Its Applications |publisher=[[Brooks Cole]] |year=2006 |edition=4th |isbn=0-03-010567-6}}</ref><ref>{{cite book |last=Axler |first=Sheldon |title=Linear Algebra Done Right |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |year=2002 |edition=2nd |isbn=0-387-98258-2}}</ref> Ruang vektor tidak harus menggunakan bilangan real untuk mendefinisikannya; sebarang lapangan lain, misal [[bilangan kompleks]], juga dapat digunakan. Dalam kasus ini, skalar dari ruang vektor tersebut adalah elemen dari lapangan tersebut (seperti bilangan kompleks). Operasi [[perkalian titik]] (''scalar product'') -- yang berbeda dengan perkalian skalar -- dapat didefinisikan pada sebuah ruang vektor. Operasi ini memungkinkan dua vektor dikalikan dengan cara tertentu, untuk menghasilkan sebuah skalar. Ruang vektor yang dilengkapi dengan operasi hasil kali titik disebut dengan [[ruang hasil kali dalam]] (''inner product space'').

Istilah skalar terkadang juga digunakan secara informal untuk merujuk pada sebuah vektor, [[Matriks (matematika)|matriks]], [[tensor]], dan "gabungan nilai-nilai" lainnya, yang sebenarnya hanya berisi satu komponen. Sebagai contoh, perkalian dari matriks berukuran 1&thinsp;×&thinsp;''n'' dengan matriks berukuran ''n''&thinsp;×&thinsp;1 adalah matriks berukuran 1&thinsp;×&thinsp;1, hasil perkalian ini terkadang disebut sebagai sebuah ''skalar''.

Istilah skalar juga digunakan dalam beberapa bidang lainnya. [[Matriks skalar]] digunakan untuk menyebut sebuah matriks berbentuk <math>k \mathbf{I}</math>, dengan <math>k</math> sebuah skalar dan <math>\mathbf{I}</math> adalah [[matriks identitas]]. Komponen real dari sebuah [[Kuaternion|kuarternion]] juga dirujuk dengan ''bagian skalar-''nya.

==Definisi dan sifat==
[[File:Vector components.svg|thumb|Gambar ini menunjukkan sebuah [[Vektor Euklides|vektor Euklidean]]. Koordinatnya, ''x'' dan ''y,'' berupa skalar; begitu pula dengan panjangnya. Namun '''v''' bukan sebuah skalar.]]
===Skalar pada ruang vektor===
Sebuah [[ruang vektor]] didefinisikan sebagai sebuah himpunan vektor ([[Grup Abelian|grup abelian]] aditif, ''additive abelian group''), sebuah himpunan skalar ([[Lapangan (matematika)|lapangan]]), dan sebuah operasi perkalian skalar yang mengalikan skalar <math>k</math> dan vektor <math>\mathbf{v}</math> untuk menghasilkan vektor baru <math>k \mathbf{v}</math>. Sebagai contoh, dalam [[Ruang vektor#ruang koordinat|ruang koordinat]], perkalian skalar <math>k(v_1, v_2, \dots, v_n)</math> menghasilkan vektor <math> (kv_1, kv_2, \dots, k v_n)</math>. Pada [[ruang fungsi]] (linear), perkalian skalar <math>kf</math> adalah sebuah fungsi <math>x \mapsto k(f(x))</math>.

Skalar dapat dipilih dari sebarang lapangan, termasuk [[bilangan aljabar]], [[Bilangan rasional|rasional]], [[Bilangan riil|real]], dan [[Bilangan kompleks|kompleks]], maupun [[lapangan hingga]].

===Skalar dari komponen vektor===
Menurut teorema fundamental aljabar linear, setiap ruang vektor memiliki sebuah [[Basis (aljabar linear)|basis]]. Hal ini mengakibatkan setiap ruang vektor atas lapangan <math>K</math> akan [[Isomorfisme|isomorfik]] ke suatu [[ruang vektor koordinat]], dengan semua koordinatnya berupa elemen dari <math>K</math>. Sebagai contoh, setiap ruang vektor real [[Dimensi|berdimensi]] <math>n</math> isomorfik dengan ruang real <math>\mathbb{R}^n</math>.

===Skalar pada ruang vektor bernorma===
Alternatif lain, sebuah ruang vektor <math>V</math> juga dapat dilengkapi dengan suatu fungsi [[Norma (matematika)|norma]] yang memetakan setiap vektor <math>\mathbf{v}</math> di <math>V</math> dengan skalar <math>||\mathbf{v}||</math>. Dari definisi, perkalian <math>\mathbf{v}</math> dengan skalar <math>k</math> akan ikut mengalikan normanya dengan <math>|k|</math>. Jika <math>||\mathbf{v}||</math> diintepretasikan sebagai ''jarak'' dari <math>\mathbf{v}</math>, maka operasi ini dapat dianggap sebagai ''penskalaan'' panjang <math>\mathbf{v}</math> sebesar <math>k</math>. Ruang vektor yang dilengkapi dengan sebuah norma disebut dengan [[ruang vektor bernorma]].

===Skalar pada modul===
Jika syarat agar sebuah himpunan skalar dapat membentuk lapangan dilonggarkan, sehingga hanya perlu membentuk sebuah [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]], struktur aljabar yang terbentuk adalah sebuah [[Modul (matematika)|modul]]. Pada gelanggang, konsep pembagian skalar tidak perlu definisikan, dan skalar tidak perlu komutatif.

Dalam kasus ini istilah "skalar" dapat berupa objek yang rumit.

===Transformasi penskalaan===
Perkalian skalar dari pada ruang vektor dan modul adalah kasus khusus dari [[Penskalaan (matematika)|penskalaan]], salah satu bentuk [[transformasi linear]]. 

==Lihat pula==
* [[Aljabar linear]]
*[[Skalar (fisika)]]
*[[Struktur aljabar]]

==Referensi==
{{reflist}}

== Pranala luar ==
* {{springer|title=Scalar|id=p/s083240}}
* 
{{DEFAULTSORT:Skalar (matematika)}}

{{Aljabar linear}}
[[Kategori:Skalar]]
[[Kategori:Matematika]]
[[Kategori:Aljabar linear]]
[[Kategori:Geometri]]