Lihat sumber Sistem koordinat polar

{{short description|Sistem koordinat dua dimensi dimana setiap titik ditentukan oleh jarak dari titik referensi dan sudut dari arah referensi}}
{{more footnotes|date=September 2020}}{{Periksa terjemahan|en|Polar coordinate system}}[[Berkas:Examples of Polar Coordinates.svg|jmpl|250px|Titik-titik dalam sistem koordinat polar dengan kutub/''pole'' ''O'' dan aksis polar ''L''. Warna hijau: titik dengan koordinat radial 3 dan koordinat angular 60 derajat, atau (3,60°). Warna biru: titik (4,210°).]]
'''Sistem koordinat polar''' ('''sistem koordinat kutub''') dalam [[matematika]] adalah suatu [[sistem koordinat]] [[dimensi|2-dimensi]] di mana setiap [[titik (geometri)|titik]] pada [[bidang (geometri)|bidang]] ditentukan dengan [[jarak]] dari suatu titik yang telah ditetapkan dan suatu [[sudut]] dari suatu arah yang telah ditetapkan.

Titik yang telah ditetapkan (analog dengan titik origin dalam [[sistem koordinat Kartesius]]) disebut ''pole'' atau "kutub", dan [[:en:ray (geometry)|''ray'' atau "sinar"]] dari kutub pada arah yang telah ditetapkan disebut "aksis polar" (''polar axis''). Jarak dari suatu kutub disebut ''radial coordinate'' atau ''radius'', dan sudutnya disebut ''angular coordinate'', ''polar angle'', atau ''[[azimuth]]''.<ref name="brown">{{Cite book|last = Brown|first = Richard G.|editor = Andrew M. Gleason|year = 1997|title = Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis|url = https://archive.org/details/advancedmathemat00rich_0|publisher = McDougal Littell|location = Evanston, Illinois|isbn = 0-395-77114-5}}</ref>

[[Grégoire de Saint-Vincent]] dan [[Bonaventura Cavalieri]] secara independen memperkenalkan konsep-konsep tersebut pada pertengahan abad ketujuh belas, meskipun istilah sebenarnya '' koordinat polar '' telah dikaitkan. Motivasi awal untuk pengenalan sistem polar adalah mempelajari [[gerakan melingkar|melingkar]] dan [[gerakan orbital]].

Koordinat polar paling tepat dalam konteks apa pun di mana fenomena yang dipertimbangkan secara inheren terikat pada arah dan panjang dari titik pusat pada bidang, seperti [[spiral]]. Sistem fisik planar dengan benda-benda bergerak di sekitar titik pusat, atau fenomena yang berasal dari titik pusat, sering kali lebih sederhana dan lebih intuitif untuk dimodelkan menggunakan koordinat polar.

Sistem koordinat polar diperluas menjadi tiga dimensi dengan dua cara: sistem koordinat [[sistem koordinat tabung|tabung]] dan [[sistem koordinat bola|bola]].

== Sejarah ==
{{See also|Sejarah fungsi trigonometri}}
Konsep sudut dan jari-jari sudah digunakan oleh manusia sejak zaman purba, paling tidak pada milenium pertama [[SM]]. Astronom dan astrolog [[Yunani]], [[Hipparchus]], (190–120 SM) menciptakan tabel fungsi [[:en:chord (geometry)|chord]] dengan menyatakan panjang chord bagi setiap sudut, dan ada rujukan mengenai penggunaan koordinat polar olehnya untuk menentukan posisi bintang-bintang.<ref name="milestones">{{Cite web| last = Friendly| first = Michael| title = Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization| url = http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec4.html| accessdate = 2006-09-10| archive-date = 2011-03-20| archive-url = https://web.archive.org/web/20110320182116/http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec4.html| dead-url = yes}}</ref>
Dalam karyanya ''[[On Spirals]]'', [[Archimedes]] menyatakan [[Archimedean spiral]], suatu fungsi yang jari-jarinya tergantung dari sudut. Namun, karya-karya Yunani tidak berkembang sampai ke suatu sistem koordinat sepenuhnya.

Dari abad ke-8 M dan seterusnya, para astronom mengembangkan metode untuk menghitung arah ke [[Mekkah]] ([[kiblat]])— dan jaraknya — dari semua lokasi di bumi.<ref>{{Cite book
|title= The Sacred Geography of Islam
|first= David A.
|last= King
|others = p.166. In {{Cite book
                  |title= Mathematics and the Divine: A Historical Study
                  |editor1-last= Koetsier
                  |editor1-first= Teun
                  |editor2-first= Bergmans
                  |editor2-last= Luc
                  |publisher= Elsevier
                  |location= Amsterdam
                  |year= 2005
                  |pages= 162–78
                  |isbn= 0-444-50328-5
                  |url= http://books.google.com/?id=AMOQZfrZq-EC&printsec=frontcover#v=onepage
                  |ref=harv}}
|year= 2005
|url= http://books.google.com.au/books?id=AMOQZfrZq-EC&pg=PA161#v=onepage&f=false
|ref=harv}}</ref> Sejak abad ke-9 dan seterusnya, mereka menggunakan metode [[trigonometri bola]] dan [[proyeksi peta]] untuk menentukan jumlah ini secara akurat. Perhitungan pada dasarnya adalah konversi [[koordinat Geodetik#Koordinat|koordinat polar ekuator]] Mekkah (yaitu [[bujur]] dan [[lintang]]) ke koordinat kutubnya (yaitu kiblat dan jaraknya) relatif terhadap sistem yang meridian referensinya adalah lingkaran besar melalui lokasi tertentu, dan yang sumbu polarnya adalah garis melalui lokasi dan [[titik antipodal]].<ref>King ([[#CITEREFKing2005|2005]], [http://books.google.com.au/books?id=AMOQZfrZq-EC&pg=PA169#v=onepage&f=false p. 169]). Perhitungannya seakurat yang dapat dicapai di bawah batasan yang diberlakukan oleh asumsi mereka bahwa Bumi adalah bola yang sempurna.</ref>

Ada berbagai penjelasan tentang pengenalan koordinat polar sebagai bagian dari sistem koordinat formal. Sejarah lengkap dari subjek ini dijelaskan dalam Origin of Polar Coordinates [[Universitas Harvard|Harvard]] profesor [[Julian Lowell Coolidge]].''<ref name="coolidge">{{Cite journal| last = Coolidge| first = Julian| authorlink = Julian Lowell Coolidge| title = The Origin of Polar Coordinates| journal = American Mathematical Monthly| volume = 59| pages = 78–85| year = 1952| url = http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Coolidge_Polars.html| doi = 10.2307/2307104| issue = 2| publisher = Mathematical Association of America| jstor = 2307104}}</ref> [[Grégoire de Saint-Vincent]] dan [[Bonaventura Cavalieri]] secara independen memperkenalkan konsep-konsep pada pertengahan abad ketujuh belas. Saint-Vincent menulis tentang mereka secara pribadi pada tahun 1625 dan menerbitkan karyanya pada tahun 1647, sementara Cavalieri menerbitkan karyanya pada tahun 1635 dengan versi koreksi yang muncul pada tahun 1653. Cavalieri pertama kali menggunakan koordinat kutub untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan luas di dalam [[spiral Archimedean]]. [[Blaise Pascal]] kemudian menggunakan koordinat polar untuk menghitung panjang [[parabola|busur parabola]].

Dalam '' [[Method of Fluxions]] '' (ditulis 1671, diterbitkan 1736), Sir [[Isaac Newton]] memeriksa transformasi antara koordinat kutub, yang ia sebut sebagai "Cara Ketujuh; Untuk Spiral".<ref>{{Cite journal| last = Boyer| first = C. B.| title = Newton as an Originator of Polar Coordinates| journal = American Mathematical Monthly| volume = 56| pages = 73–78| year = 1949| doi = 10.2307/2306162| issue = 2| publisher = Mathematical Association of America| jstor = 2306162}}</ref> Dalam jurnal '' [[Acta Eruditorum]] '' (1691), [[Jacob Bernoulli]] menggunakan sistem dengan titik pada garis, yang masing-masing disebut '' polar '' dan '' sumbu polar ''. Koordinat ditentukan oleh jarak dari kutub dan sudut dari '' sumbu polar ''. Pekerjaan Bernoulli diperluas untuk menemukan [[Radius kelengkungan (matematika)|jari-jari kelengkungan]].

Istilah sebenarnya '' koordinat polar '' telah dikaitkan dengan [[Gregorio Fontana]] dan digunakan oleh penulis Italia abad ke-18. Istilah ini muncul dalam [[Bahasa Inggris|Inggris]] dalam terjemahan [[George Peacock]] tahun 1816 dari terjemahan [[Sylvestre François Lacroix|Lacroix]] ''Diferensial dan Integral Kalkulus''.<ref>{{Cite web| last = Miller| first = Jeff| title = Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics| url = http://members.aol.com/jeff570/p.html| accessdate = 2006-09-10| archive-date = 2008-07-19| archive-url = https://web.archive.org/web/20080719153037/http://members.aol.com/jeff570/p.html| dead-url = yes}}</ref><ref>{{Cite book| last = Smith| first = David Eugene| title = History of Mathematics, Vol II| publisher = Ginn and Co.| year = 1925| location = Boston| pages = 324}}</ref> [[Alexis Clairaut]] adalah orang pertama yang memikirkan koordinat kutub dalam tiga dimensi, dan [[Leonhard Euler]] adalah orang pertama yang benar-benar mengembangkannya.<ref name="coolidge" />

== Kaidah ==
[[Berkas:Polar graph paper.svg|jmpl|ka|300px|Sebuah grid polar dengan beberapa sudut yang diberi label dalam derajat.]]
Koordinat radial sering dilambangkan dengan ''r'', dan koordinat angular dilambangkan dengan [[phi|''φ'']], [[theta|''θ'']], atau ''t''. Koordinat angular ditetapkan sebagai ''φ'' oleh standar [[International Organisation for Standardisation|ISO]] [[ISO 31-11|31-11]].

Sudut dalam notasi polar biasanya dinyatakan dalam [[:en:degree (angle)|derajat]] atau [[radian]] (2[[pi|π]] rad sama dengan to 360°). Derajat biasanya digunakan dalam [[navigasi]], [[surveying]], dan banyak bidang, sementara radian lebih umum dalam matematika dan [[fisika]].<ref>{{Cite book|last = Serway|first = Raymond A.|coauthors = Jewett, Jr., John W.|title = Principles of Physics|publisher = Brooks/Cole—Thomson Learning|year = 2005|isbn = 0-534-49143-X}}</ref>

Dalam banyak konteks, suatu koordinat angular positif berarti sudut ''φ'' diukur [[berlawanan dengan jarum jam]] dari aksis.

Dalam literatur matematika, aksis polar sering digambar horizontal dan mengarah ke kanan.

=== Keunikan koordinat polar ===
Menambahkan sejumlah [[putaran (geometri)|putaran]] (360 °) penuh ke koordinat sudut tidak mengubah arah yang sesuai. Juga, koordinat radial negatif paling baik diinterpretasikan sebagai jarak positif terkait yang diukur dalam arah yang berlawanan.  Oleh karena itu, titik yang sama dapat diekspresikan dengan koordinat kutub yang berbeda dalam jumlah tak terhingga {{nowrap|(''r'', ''φ'' ± ''n''×360°)}} atau {{nowrap|(−''r'', ''φ'' ± (2''n'' + 1)180°)}}, dimana ''n'' adalah salah satu [[bilangan bulat]].<ref>{{Cite web| url = http://www.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006%5Cteacher_20060413_0948.pdf| title = Polar Coordinates and Graphing| accessdate = 2006-09-22| date = 2006-04-13| format = PDF| archive-date = 2012-02-15| archive-url = https://www.webcitation.org/65Tl0XlQe?url=http://campuses.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006/teacher_20060413_0948.pdf| dead-url = yes}}</ref>  Moreover, the pole itself can be expressed as (0,&nbsp;''φ'') for any angle ''φ''.<ref>{{Cite book|title=Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry|last=Lee|first=Theodore|author2=David Cohen |author3=David Sklar |year=2005|publisher=Thomson Brooks/Cole|edition=Fourth|isbn=0-534-40230-5}}</ref>

Jika representasi unik diperlukan untuk titik mana pun, biasanya membatasi '' r '' menjadi [[bilangan non-negatif]] ({{nowrap|''r'' ≥ 0}}) dan ''φ'' ke [[interval (matematika)|interval]] [0, 360 °) atau (−180°,&nbsp;180°] (dalam radian,  [0,&nbsp;2π) atau (−π,&nbsp;π]).<ref>{{Cite book|title=Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane)|url=https://archive.org/details/complexanalysish0000stew|first=Ian|last=Stewart|author2=David Tall|year=1983|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-28763-4}}</ref>  Seseorang juga harus memilih azimuth unik untuk tiang, misalnya ''φ''&nbsp;=&nbsp;0.

== Konversi dari atau ke koordinat Kartesius ==
[[Berkas:Polar to cartesian.svg|ka|jmpl|250px|Sebuah diagram menggambarkan hubungan antara [[sistem koordinat Kartesius]] dan polar.]]
[[Berkas:Cartesian to polar.gif|ka|jmpl|251px|Sebuah kurva dalam bidang Kartesian dapat dipetakan ke dalam koordinat polar. Dalam animasi ini, <math>y = \sin (6x) + 2</math> dipetakan kepada <math>r = \sin (6 \varphi) + 2</math>. Klik gambar untuk detail.]]

Koordinat polar ''r'' dan ''φ'' dapat dikonversi ke dalam [[sistem koordinat Kartesius]] ''x'' dan ''y'' menggunakan [[fungsi trigonometri]] [[sinus]] dan [[kosinus]]:
:<math>x = r \cos \varphi \,</math>
:<math>y = r \sin \varphi \,</math>

[[Sistem koordinat Kartesius|Koordinat Kartesius]] ''x'' dan ''y'' dapat dikonversi ke dalam koordinat polar ''r'' dan ''φ'' dengan ''r''&nbsp;≥&nbsp;0 dan ''φ'' dalam interval (−π, π] dengan:<ref>{{Cite book|first=Bruce Follett|last=Torrence|author2=Eve Torrence|title=The Student's Introduction to Mathematica|url=https://archive.org/details/studentsintroduc0000torr|year=1999|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-59461-8}}</ref>

:<math>r = \sqrt{x^2 + y^2} \quad</math> (sebagaimana dalam [[teorema Pythagoras]] atau [[Norma Euklides]]), dan
:<math>\varphi = \operatorname{atan2}(y, x) \quad</math>,
di mana [[atan2]] merupakan variasi umum pada fungsi [[arctangent]] yang didefinisikan sebagai
:<math>\operatorname{atan2}(y, x) =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{jika } x > 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{jika } x < 0 \mbox{ dan } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{jika } x < 0 \mbox{ dan } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{jika } x = 0 \mbox{ dan } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{jika } x = 0 \mbox{ dan } y < 0\\
\text{undefined} & \mbox{jika } x = 0 \mbox{ dan } y = 0
\end{cases}</math>

Nilai ''φ'' di atas adalah [[nilai pokok]] dari fungsi [[bilangan kompleks]] [[argumen (analisis kompleks)|arg]] yang diterapkan pada ''x''+''iy''. Suatu sudut dalam rentang [0, 2π) dapat diperoleh dengan menambahkan 2π pada nilai sudut itu jika nilainya negatif.

== Persamaan kutub dari sebuah kurva ==
Persamaan yang menentukan [[kurva aljabar]] yang dinyatakan dalam koordinat kutub dikenal sebagai '' persamaan polar ''. Dalam banyak kasus, persamaan seperti itu dapat dengan mudah ditentukan dengan mendefinisikan '' r '' sebagai [[Fungsi (matematika)|fungsi]] dari ''φ''. Kurva yang dihasilkan kemudian terdiri dari titik-titik bentuk (''r''(''φ''),&nbsp;''φ'') dan dapat dianggap sebagai [[grafik suatu fungsi|grafik]] dari fungsi kutub ''r''.

Berbagai bentuk [[simetri]] dapat disimpulkan dari persamaan fungsi kutub '' r ''. Bila {{nowrap|''r''(−''φ'') {{=}} ''r''(''φ'')}} kurva akan simetris tentang horizontal (0°/180°) pada ray, bila {{nowrap|''r''(π − ''φ'') {{=}} ''r''(''φ'')}} itu akan simetris terhadap sinar vertikal (90°/270°), dan bila {{nowrap|''r''(''φ'' − α) {{=}} ''r''(''φ'')}} maka hal itu akan menjadi [[simetri rotasi|simetris rotasi]] oleh α [[searah jarum jam|berlawanan arah jarum jam]] di sekitar kutub.

Karena sistem koordinat kutub bersifat melingkar, banyak kurva dapat dijelaskan dengan persamaan kutub yang agak sederhana, sedangkan bentuk Cartesiannya jauh lebih rumit. Di antara yang paling terkenal dari kurva ini adalah [[Mawar (matematika)|mawar polar]], [[spiral Archimedean]], [[Lemniscate of Bernoulli|lemniscate]], [[limaçon]], dan [[cardioid]].

Untuk lingkaran, garis, dan mawar kutub di bawahnya, dipahami bahwa tidak ada batasan pada domain dan range kurva.

=== Lingkaran ===
[[Gambar:circle r=1.svg|thumb|right|Lingkaran dengan persamaan {{nowrap|''r''(''φ'') {{=}} 1}}]]
Persamaan umum untuk lingkaran dengan pusat di {{nowrap|(''r''<sub>0</sub>, <math>\gamma</math>)}} dan radius '' a '' adalah
:<math>r^2 - 2 r r_0 \cos(\varphi - \gamma) + r_0^2 = a^2.\, </math>

Ini dapat disederhanakan dengan berbagai cara, untuk menyesuaikan dengan kasus yang lebih spesifik, seperti persamaan
:<math>r(\varphi)=a \,</math>
untuk lingkaran dengan pusat di kutub dan jari-jari ''a''.<ref name="ping">{{Cite web| first=Johan| last=Claeys| url=http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm| title=Polar coordinates| accessdate=2006-05-25| archive-date=2000-03-02| archive-url=https://web.archive.org/web/20000302151535/http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm| dead-url=yes}}</ref>

Ketika {{math|''r''}}<sub>0</sub> = {{math|a}}, atau ketika titik asal terletak pada lingkaran, persamaan menjadi
:<math>r = 2 a\cos(\varphi - \gamma)</math>.

Dalam kasus umum, persamaan dapat diselesaikan {{math|''r''}}, memberi
:<math>r = r_0 \cos(\varphi - \gamma) + \sqrt{a^2 - r_0^2 \sin^2(\varphi - \gamma)}</math>,
the solution with a minus sign in front of the square root gives the same curve.

=== Garis ===
[[Gambar:Rose 2sin(4theta).svg|thumb|right|Mawar kutub dengan persamaan {{nowrap|''r''(''φ'') {{=}} 2 sin 4''φ''}}]]
''Garis radial'' (yang melewati kutub) diwakili oleh persamaan
:<math>\varphi = \gamma \,</math>,
dimana ɣ adalah sudut elevasi garis; maka hal itu adalah, {{nowrap|ɣ {{=}} arctan ''m''}} di mana '' m '' adalah [[kemiringan]] garis dalam sistem koordinat Kartesius. Garis non radial yang melintasi garis radial {{nowrap|''φ'' {{=}} ɣ}} [[tegak lurus]] pada titik (''r<sub>0</sub>'', ɣ) memiliki persamaan
:<math>r(\varphi) = {r_0}\sec(\varphi-\gamma). \,</math>

Dinyatakan sebaliknya (''r<sub>0</sub>'', ɣ) adalah titik di mana garis singgung memotong lingkaran imajiner jari-jari ''r<sub>0</sub>''.

=== Polar mawar ===
[[mawar (matematika)|Polar mawar]] adalah kurva matematika terkenal yang terlihat seperti kelopak bunga, dan dapat diekspresikan sebagai persamaan kutub sederhana,
:<math>r(\varphi) = a \cos (k\varphi + \gamma_0)\,</math>
for any constant ɣ<sub>0</sub> (including 0). If ''k'' is an integer, these equations will produce a ''k''-petaled rose if ''k'' is [[even and odd numbers|odd]], or a 2''k''-petaled rose if ''k'' is even. If ''k'' rasional tetapi bukan bilangan bulat, bentuk seperti mawar dapat terbentuk tetapi dengan kelopak yang tumpang tindih. Perhatikan bahwa persamaan ini tidak pernah mendefinisikan mawar dengan kelopak 2, 6, 10, 14, dll. [[Variabel (matematika)|variabel]] '' a '' mewakili panjang kelopak mawar.
{{-}}

=== Spiral Archimedean ===
[[Berkas:Spiral of Archimedes.svg|thumb|right|Satu lengan spiral Archimedean dengan persamaan {{nowrap|''r''(''φ'') {{=}} ''φ'' / 2π }} untuk {{nowrap|0 < ''φ'' < 6π}}]]
[[Spiral Archimedean]] adalah spiral terkenal yang ditemukan oleh [[Archimedes]], yang juga dapat dinyatakan sebagai persamaan kutub sederhana. Itu diwakili oleh persamaan
:<math>r(\varphi) = a+b\varphi. \,</math>
Mengubah parameter '' a '' akan memutar spiral, sedangkan '' b '' mengontrol jarak antar lengan, yang untuk spiral tertentu selalu konstan. Spiral Archimedean memiliki dua lengan, satu untuk {{nowrap|''φ'' > 0}} dan satu untuk {{nowrap|''φ'' < 0}}. Kedua lengan terhubung dengan mulus di tiang. Mengambil bayangan cermin dari satu lengan melintasi garis 90°/270° akan menghasilkan lengan lainnya. Kurva ini terkenal sebagai salah satu kurva pertama, setelah [[bagian kerucut]], untuk dijelaskan dalam risalah matematika, dan sebagai contoh utama dari kurva yang paling baik didefinisikan dengan persamaan kutub.
{{-}}

=== Bagian kerucut ===
[[Gambar:Elps-slr.svg|thumb|right|250px|Elips, menunjukkan rektum semi-latus]]
Sebuah [[bagian kerucut]] dengan satu fokus pada kutub dan yang lainnya pada suatu tempat pada sinar 0° (sehingga [[sumbu semi-mayor|sumbu mayor]] kerucut terletak di sepanjang sumbu kutub) diberikan oleh:

: <math>r = { \ell\over {1 - e \cos \varphi}}</math>

di mana '' e '' adalah [[eksentrisitas (matematika)|eksentrisitas]] dan <math>\ell</math> adalah [[rektum semi-latus]] (jarak tegak lurus pada fokus dari sumbu utama ke kurva). Bila {{nowrap|''e'' > 1}}, persamaan ini mendefinisikan [[hiperbola]]; bila {{nowrap|''e'' {{=}} 1}}, itu mendefinisikan [[parabola]]; dan bila {{nowrap|''e'' < 1}}, itu mendefinisikan [[elips]]. Kasus khusus {{nowrap|''e'' {{=}} 0}} hasil terakhir dalam lingkaran jari-jari <math>\ell</math>.
{{-}}

== Perpotongan dua kurva polar ==
Grafik dua fungsi polar <math>r=f(\theta)</math> dan <math>r=g(\theta)</math> memiliki kemungkinan persimpangan dalam 3 kasus:
# Di asal bila persamaan <math>f(\theta)=0</math> dan <math>g(\theta)=0</math> masing-masing memiliki setidaknya satu solusi.
# Semua poin <math>[g(\theta_i),\theta_i]</math> dimana <math>\theta_i</math> adalah solusi untuk persamaan tersebut <math>f(\theta)=g(\theta)</math>.
# Semua poin <math>[g(\theta_i),\theta_i]</math> dimana <math>\theta_i</math> adalah solusi untuk persamaan tersebut <math>f(\theta+(2k+1)\pi)=-g(\theta)</math> dimana <math>k</math> adalah bilangan bulat.
{{-}}

== Bilangan kompleks ==
[[Gambar:Imaginarynumber2.svg|thumb|right|265px|Ilustrasi bilangan kompleks '' z '' yang diplot pada bidang kompleks]]
[[Gambar:Euler's formula.svg|thumb|right|265px|Ilustrasi bilangan kompleks yang diplot pada bidang kompleks menggunakan [[rumus Euler]]]]
Setiap [[bilangan kompleks]] dapat direpresentasikan sebagai sebuah titik dalam [[bidang kompleks]], dan oleh karena itu dapat diekspresikan dengan menentukan koordinat Kartesius titik tersebut (disebut bentuk persegi panjang atau kartesius) atau koordinat kutub titik (disebut bentuk polar). Bilangan kompleks '' z '' dapat direpresentasikan dalam bentuk persegi panjang sebagai
: <math>z = x + iy\,</math>
di mana '' i '' adalah [[unit imajiner]], atau dapat juga ditulis dalam bentuk kutub (melalui rumus konversi yang diberikan [[#Konversi antara koordinat kutub dan Kartesius|di atas]]) sebagai
:<math>z = r\cdot(\cos\varphi+i\sin\varphi)</math>
and from there as
: <math>z = re^{i\varphi} \,</math>
di mana '' e '' adalah [[e (konstanta matematika)|bilangan Euler]], yang setara dengan yang ditunjukkan oleh [[rumus Euler]].<ref>{{Cite book| last = Smith| first = Julius O.| title = Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT)| accessdate = 2006-09-22| year = 2003| publisher = W3K Publishing| isbn = 0-9745607-0-7| chapter = Euler's Identity| chapterurl = http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html| archive-date = 2006-09-15| archive-url = https://web.archive.org/web/20060915004724/http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html| dead-url = yes}}</ref> (Perhatikan bahwa rumus ini, seperti semua rumus yang melibatkan sudut eksponensial, mengasumsikan bahwa sudut '' φ '' dinyatakan dalam [[radian]].) Untuk mengonversi antara bentuk persegi panjang dan kutub dari sebuah bilangan kompleks, rumus konversi yang diberikan [[#Mengubah koordinat polar dan Kartesius|di atas]] dapat digunakan.

Untuk operasi [[perkalian]], [[pembagian (matematika)|pembagian]], dan [[eksponen]] bilangan kompleks, it umumnya jauh lebih sederhana untuk bekerja dengan bilangan kompleks yang diekspresikan dalam bentuk kutub daripada persegi panjang. Dari hukum eksponen:

*Perkalian:
:: <math>r_0 e^{i\varphi_0} \cdot r_1 e^{i\varphi_1}=r_0 r_1 e^{i(\varphi_0 + \varphi_1)} \,</math>
*Divisi:
:: <math>\frac{r_0 e^{i\varphi_0}}{r_1 e^{i\varphi_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\varphi_0 - \varphi_1)} \,</math>
*Eksponensial ([[rumus De Moivre]]):
:: <math>(re^{i\varphi})^n=r^ne^{in\varphi} \,</math>

== Kalkulus ==
[[Kalkulus]] dapat diterapkan pada persamaan yang dinyatakan dalam koordinat polar.<ref>{{Cite web|url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html|title=Areas Bounded by Polar Curves|author=Husch, Lawrence S.|accessdate=2006-11-25|archive-date=2000-03-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20000301151724/http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html|dead-url=yes}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html|title=Tangent Lines to Polar Graphs|author=Lawrence S. Husch|accessdate=2006-11-25|archive-date=2019-11-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20191121222301/http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html|dead-url=yes}}</ref>

Koordinat sudut '' φ '' dinyatakan dalam radian di sepanjang bagian ini, yang merupakan pilihan konvensional saat mengerjakan kalkulus.

=== Kalkulus diferensial ===
Menggunakan {{nowrap|''x'' {{=}} ''r'' cos ''φ'' }} dan {{nowrap|''y'' {{=}} ''r'' sin ''φ'' }}, seseorang dapat memperoleh hubungan antara turunan di Cartesian dan koordinat kutub. Untuk fungsi tertentu, ''u''(''x'',''y''), Maka itu (dengan menghitung [[turunan total]])
:<math>r \frac{\partial u}{\partial r} = r \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} +  r \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},</math>
:<math>\frac{\partial u}{\partial \varphi} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \varphi} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \varphi},</math>
atau
:<math>r \frac{\partial u}{\partial r} = r \frac{\partial u}{\partial x} \cos \varphi  + r \frac{\partial u}{\partial y} \sin \varphi   = x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y},</math>
:<math>\frac{\partial u}{\partial \varphi} = - \frac{\partial u}{\partial x} r \sin \varphi  + \frac{\partial u}{\partial y} r \cos \varphi  = -y \frac{\partial u}{\partial x} + x \frac{\partial u}{\partial y}.</math>

Karenanya, kami memiliki rumus berikut:

:<math>r \frac{\partial}{\partial r}= x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y} \,</math>
:<math>\frac{\partial}{\partial \varphi} = -y \frac{\partial}{\partial x} + x \frac{\partial}{\partial y} .</math>

Menggunakan transformasi koordinat terbalik, hubungan timbal balik analog dapat diturunkan antara turunannya. Diberikan fungsi ''u''(''r'',''φ''), maka hal ini mengikuti
:<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial x},</math>
:<math>\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial y},</math>
atau
:<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{\partial u}{\partial \varphi}\frac{y}{x^2+y^2} = \cos \varphi \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{1}{r} \sin \varphi \frac{\partial u}{\partial \varphi},</math>
:<math>\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial r}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} + \frac{\partial u}{\partial \varphi}\frac{x}{x^2+y^2} = \sin \varphi \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r} \cos \varphi \frac{\partial u}{\partial \varphi}.</math>

Karenanya, kami memiliki rumus berikut:
:<math>\frac{\partial}{\partial x} = \cos \varphi \frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{r} \sin \varphi \frac{\partial}{\partial \varphi} \,</math>
:<math>\frac{\partial}{\partial y} = \sin \varphi \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r} \cos \varphi \frac{\partial}{\partial \varphi}.</math>

Untuk mencari kemiringan Cartesian dari garis singgung ke kurva polar ''r''(''φ'') pada titik tertentu, kurva pertama kali dinyatakan sebagai sistem [[persamaan parametrik]].
:<math>x=r(\varphi)\cos\varphi \,</math>
:<math>y=r(\varphi)\sin\varphi \,</math>

[[Turunan|Diferensiasi]] kedua persamaan sehubungan dengan hasil '' φ ''
:<math>\frac{dx}{d\varphi}=r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi \,</math>
:<math>\frac{dy}{d\varphi}=r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi. \,</math>

Membagi persamaan kedua dengan persamaan pertama menghasilkan kemiringan Kartesius dari garis singgung ke kurva pada titik tersebut. {{nowrap|(''r''(''φ''),&nbsp;''φ'')}}:
:<math>\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi}{r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi}.</math>

Untuk rumus berguna lainnya termasuk divergensi, gradien, dan Laplacian dalam koordinat polar, lihat [[koordinat lengkung]].

=== Kalkulus integral (panjang busur) ===
Panjang busur (panjang segmen garis) yang ditentukan oleh fungsi kutub ditentukan oleh integrasi di atas kurva ''r''(''φ''). Contohnya '' L '' menunjukkan panjang ini sepanjang kurva mulai dari titik '' A '' hingga titik '' B '', di mana titik-titik ini sesuai dengan ''φ'' = ''a'' dan ''φ'' = ''b'' seperti yang {{nowrap|0 < ''b'' − ''a'' < 2π}}. Panjang '' L '' diberikan oleh integral berikut

:<math>L = \int_a^b \sqrt{ \left[r(\varphi)\right]^2 + \left[ {\tfrac{dr(\varphi) }{ d\varphi }} \right] ^2 } d\varphi</math>
<!--
=== Kalkulus integral (luas) ===
[[Gambar:Polar coordinates integration region.svg|thumb|The integration region ''R'' is bounded by the curve ''r''(''φ'') and the rays ''φ'' = ''a'' and ''φ'' = ''b''.]]
Let ''R'' denote the region enclosed by a curve ''r''(''φ'') and the rays ''φ'' = ''a'' and ''φ'' = ''b'', where {{nowrap|0 < ''b'' − ''a'' ≤ 2π}}. Then, the area of ''R'' is

:<math>\frac12\int_a^b \left[r(\varphi)\right]^2\, d\varphi.</math>

[[Berkas:Polar coordinates integration Riemann sum.svg|thumb|The region ''R'' is approximated by ''n'' sectors (here, ''n'' = 5).]]
[[Berkas:Planimeter.jpg|thumb|A [[planimeter]], which mechanically computes polar integrals]]
This result can be found as follows. First, the interval {{nowrap|[''a'', ''b'']}} is divided into ''n'' subintervals, where ''n'' is an arbitrary positive integer. Thus Δ''φ'', the length of each subinterval, is equal to {{nowrap|''b'' − ''a''}} (the total length of the interval), divided by ''n'', the number of subintervals. For each subinterval ''i'' = 1, 2, …, ''n'', let ''φ''<sub>''i''</sub> be the midpoint of the subinterval, and construct a [[circular sector|sector]] with the center at the pole, radius ''r''(''φ''<sub>''i''</sub>), central angle Δ''φ'' and arc length ''r''(''φ''<sub>''i''</sub>)Δ''φ''. The area of each constructed sector is therefore equal to
:<math>\left[r(\varphi_i)\right]^2 \pi \cdot \frac{\Delta \varphi}{2\pi} = \frac{1}{2}\left[r(\varphi_i)\right]^2 \Delta \varphi.</math>
Hence, the total area of all of the sectors is
:<math>\sum_{i=1}^n \tfrac12r(\varphi_i)^2\,\Delta\varphi.</math>

As the number of subintervals ''n'' is increased, the approximation of the area continues to improve. In the limit as {{nowrap|''n'' → ∞}}, the sum becomes the [[Riemann sum]] for the above integral.

A mechanical device that computes area integrals is the [[planimeter]], which measures the area of plane figures by tracing them out: this replicates integration in polar coordinates by adding a joint so that the 2-element [[Linkage (mechanical)|linkage]] effects [[Green's theorem]], converting the quadratic polar integral to a linear integral.

==== Generalization ====
Using [[Cartesian coordinates]], an infinitesimal area element can be calculated as ''dA'' = ''dx'' ''dy''. The [[integration by substitution#Substitution for multiple variables|substitution rule for multiple integrals]] states that, when using other coordinates, the [[Jacobian matrix and determinant|Jacobian]] determinant of the coordinate conversion formula has to be considered:
: <math>J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}
=\begin{vmatrix}
 \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\[8pt]
 \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi}
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
 \cos\varphi & -r\sin\varphi \\
 \sin\varphi & r\cos\varphi
\end{vmatrix}
=r\cos^2\varphi + r\sin^2\varphi = r.</math>

Hence, an area element in polar coordinates can be written as
:<math>dA = dx\,dy\ = J\,dr\,d\varphi = r\,dr\,d\varphi.</math>

Now, a function that is given in polar coordinates can be integrated as follows:
:<math>\iint_R f(x,y) \, dA = \int_a^b \int_0^{r(\varphi)} f(r,\varphi)\,r\,dr\,d\varphi.</math>
Here, ''R'' is the same region as above, namely, the region enclosed by a curve ''r''(''φ'') and the rays ''φ'' = ''a'' and ''φ'' = ''b''.

The formula for the area of ''R'' mentioned above is retrieved by taking ''f'' identically equal to 1. A more surprising application of this result yields the [[Gaussian integral]]
:<math> \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt\pi.</math>

=== Vector calculus ===
[[Vector calculus]] can also be applied to polar coordinates. For a planar motion, let <math>\mathbf{r}</math> be the position vector {{nowrap|(''r''cos(''φ''), ''r''sin(''φ''))}}, with ''r'' and ''φ'' depending on time ''t''.

We define the unit vectors
:<math>\hat{\mathbf{r}}=(\cos(\varphi),\sin(\varphi))</math>
in the direction of '''r''' and
:<math>\hat{\boldsymbol\varphi}=(-\sin(\varphi),\cos(\varphi)) = \hat {\mathbf{k}} \times \hat {\mathbf{r}} \, </math>
in the plane of the motion perpendicular to the radial direction, where <math>\hat{\mathbf {k}}</math> is a unit vector normal to the plane of the motion.

Then

:<math> \mathbf{r} = (x, \ y ) = r (\cos \varphi,\ \sin \varphi) = r \hat{\mathbf{r}}\, </math>

:<math> \dot {\mathbf r} = (\dot x, \ \dot y ) = \dot r (\cos \varphi,\ \sin \varphi) + r \dot \varphi (-\sin \varphi,\ \cos \varphi) = \dot r \hat {\mathbf r} + r \dot \varphi \hat {\boldsymbol{\varphi}} \, </math>

:<math> \ddot {\mathbf r } = (\ddot x, \ \ddot y ) = \ddot r (\cos \varphi,\ \sin \varphi) + 2\dot r \dot \varphi (-\sin \varphi,\ \cos \varphi) +  r\ddot \varphi (-\sin \varphi,\ \cos \varphi) - r {\dot \varphi }^2 (\cos \varphi,\ \sin \varphi)\ = </math>
::<math> \left( \ddot r - r\dot\varphi^2 \right) \hat{\mathbf r} + \left( r\ddot\varphi + 2\dot r \dot\varphi \right) \hat{\boldsymbol{\varphi}} \  = (\ddot r - r\dot\varphi^2)\hat{\mathbf{r}} + \frac{1}{r}\; \frac{d}{dt} \left(r^2\dot\varphi\right) \hat{\boldsymbol{\varphi}}</math>

==== Centrifugal and Coriolis terms ====
{{See also|Mechanics of planar particle motion|Centrifugal force (rotating reference frame)}}
The term <math>r\dot\varphi^2</math> is sometimes referred to as the ''centrifugal term'', and the term <math>2\dot r \dot\varphi</math> as the ''Coriolis term''. For example, see Shankar.<ref name=Shankar>{{Cite book|title=Principles of Quantum Mechanics|author=Ramamurti Shankar|edition=2nd|page=81|url=http://books.google.com/?id=2zypV5EbKuIC&pg=PA81&dq=Coriolis+%22polar+coordinates%22|year=1994|isbn=0-306-44790-8|publisher=Springer}}</ref> Although these equations bear some resemblance in form to the [[centrifugal force|centrifugal]] and [[Coriolis effect]]s found in rotating reference frames, nonetheless these are not the same things.<ref name=angular>In particular, the angular rate appearing in the polar coordinate expressions is that of the particle under observation, <math>\dot{\varphi}</math>, while that in classical Newtonian mechanics is the angular rate Ω of a rotating frame of reference.</ref> For example, the physical centrifugal and Coriolis forces appear only in [[non-inertial frame]]s of reference. In contrast, these terms that appear when acceleration is expressed in polar coordinates are a mathematical consequence of differentiation; these terms appear wherever polar coordinates are used. In particular, these terms appear even when polar coordinates are used in [[inertial frame]]s of reference, where the physical centrifugal and Coriolis forces never appear.

[[Berkas:Co-rotating frame vector.svg|thumb|Inertial frame of reference ''S'' and instantaneous non-inertial co-rotating frame of reference ''S′''. The co-rotating frame rotates at angular rate Ω equal to the rate of rotation of the particle about the origin of ''S′'' at the particular moment ''t''. Particle is located at vector position '''r'''(''t'') and unit vectors are shown in the radial direction to the particle from the origin, and also in the direction of increasing angle ''φ'' normal to the radial direction. These unit vectors need not be related to the tangent and normal to the path. Also, the radial distance ''r'' need not be related to the radius of curvature of the path.]]

===== ''Co-rotating frame'' =====
For a particle in planar motion, one approach to attaching physical significance to these terms is based on the concept of an instantaneous ''co-rotating frame of reference''.<ref name=Taylor>For the following discussion, see {{Cite book|author=John R Taylor|title=Classical Mechanics|url=https://archive.org/details/classicalmechani0000tayl|page=§&nbsp;9.10, pp. 358–359|isbn=1-891389-22-X|publisher=University Science Books|year=2005}}</ref> To define a co-rotating frame, first an origin is selected from which the distance ''r''(''t'') to the particle is defined. An axis of rotation is set up that is perpendicular to the plane of motion of the particle, and passing through this origin. Then, at the selected moment ''t'', the rate of rotation of the co-rotating frame Ω is made to match the rate of rotation of the particle about this axis, ''dφ''/''dt''. Next, the terms in the acceleration in the inertial frame are related to those in the co-rotating frame. Let the location of the particle in the inertial frame be (''r(''t''), ''φ''(''t'')), and in the co-rotating frame be (''r(t), ''φ''′(t)''). Because the co-rotating frame rotates at the same rate as the particle, ''dφ''′/''dt'' = 0. The fictitious centrifugal force in the co-rotating frame is ''mrΩ<sup>2</sup>, radially outward. The velocity of the particle in the co-rotating frame also is radially outward, because ''dφ''′/''dt'' = 0. The ''fictitious Coriolis force'' therefore has a value −2''m''(''dr''/''dt'')Ω, pointed in the direction of increasing ''φ'' only. Thus, using these forces in Newton's second law we find:
:<math>\boldsymbol{F} + \boldsymbol{F_{cf}} + \boldsymbol{F_{Cor}} = m \ddot{\boldsymbol{r}} \, </math>
where over dots represent time differentiations, and '''F''' is the net real force (as opposed to the fictitious forces). In terms of components, this vector equation becomes:
:<math>F_r + mr\Omega^2 = m\ddot r</math>
:<math>F_{\varphi}-2m\dot r \Omega = mr \ddot {\varphi} \, </math>
which can be compared to the equations for the inertial frame:
:<math>F_r = m \ddot r -mr \dot {\varphi}^2 \ </math>
:<math>F_{\varphi} = mr \ddot \varphi +2m \dot r \dot {\varphi} \ .</math>
This comparison, plus the recognition that by the definition of the co-rotating frame at time ''t'' it has a rate of rotation Ω = ''dφ''/''dt'', shows that we can interpret the terms in the acceleration (multiplied by the mass of the particle) as found in the inertial frame as the negative of the centrifugal and Coriolis forces that would be seen in the instantaneous, non-inertial co-rotating frame.

For general motion of a particle (as opposed to simple circular motion), the centrifugal and Coriolis forces in a particle's frame of reference commonly are referred to the instantaneous [[osculating circle]] of its motion, not to a fixed center of polar coordinates. For more detail, see [[Centripetal force#Local coordinates|centripetal force]].-->

== Koneksi ke koordinat bola dan tabung ==
Sistem koordinat kutub diperluas menjadi tiga dimensi dengan dua sistem koordinat yang berbeda, [[sistem koordinat tabung|tabung]] dan [[sistem koordinat bola]].

== Aplikasi ==
[[Berkas:Bosch 36W column loudspeaker polar pattern.png|jmpl|Pola kutub loudspeaker kolom Bosch 36W, adalah Sistem koordinat polar]]
Koordinat polar adalah dua dimensi dan karenanya hanya dapat digunakan jika posisi titik terletak pada bidang dua dimensi tunggal. Mereka paling sesuai dalam konteks apa pun di mana fenomena yang sedang dipertimbangkan secara inheren terkait dengan arah dan panjang dari titik pusat. Contohnya, Contoh di atas menunjukkan bagaimana persamaan kutub elementer cukup untuk mendefinisikan kurva, seperti spiral Archimedean yang persamaannya dalam sistem koordinat Cartesian akan jauh lebih rumit. Selain itu, banyak sistem fisik — seperti yang berkaitan dengan benda yang bergerak di sekitar titik pusat atau dengan fenomena yang berasal dari titik pusat lebih sederhana dan lebih intuitif untuk dimodelkan menggunakan polat. Motivasi awal untuk pengenalan sistem kutub adalah mempelajari [[gerakan melingkar|melingkar]] dan [[gerakan orbital]].

=== Posisi dan navigasi ===
Koordinat kutub sering digunakan dalam [[navigasi]], karena tujuan atau arah perjalanan dapat diberikan sebagai sudut dan jarak dari objek yang dipertimbangkan. Contohnya, [[pesawat]] menggunakan versi yang sedikit dimodifikasi dari koordinat polar untuk navigasi. Dalam sistem ini, yang umumnya digunakan untuk segala jenis navigasi, sinar 0 ° umumnya disebut heading 360, dan sudutnya berlanjut ke arah [[searah jarum jam]], bukan berlawanan arah jarum jam, seperti dalam sistem matematika. Judul 360 berkaitan dengan [[magnet utara]], sedangkan judul 90, 180, dan 270 masing-masing terkait dengan magnet timur, selatan, dan barat.<ref>{{Cite web|url=http://www.thaitechnics.com/nav/adf.html|title=Aircraft Navigation System|accessdate=2006-11-26|first=Sumrit|last=Santhi}}</ref> Dengan demikian, sebuah pesawat terbang yang menempuh 5 mil laut ke arah timur akan menempuh 5 unit pada pos 90 (baca [[Alfabet ejaan ICAO|nol-niner-nol]] oleh [[kontrol lalu lintas udara]]).<ref>{{Cite web|url=http://www.faa.gov/library/manuals/aircraft/airplane_handbook/media/faa-h-8083-3a-7of7.pdf|title=Emergency Procedures|format=PDF|accessdate=2007-01-15}}</ref>

=== Pemodelan ===
Sistem yang menampilkan [[simetri radial]] memberikan pengaturan alami untuk sistem koordinat kutub, dengan titik pusat bertindak sebagai kutub. Contoh utama dari penggunaan ini adalah [[persamaan aliran air tanah]]. Sistem dengan [[gaya pusat|gaya radial]] juga merupakan kandidat yang baik untuk penggunaan sistem koordinat polar. Sistem ini mencakup [[gravitasi|medan gravitasi]], yang mematuhi [[hukum kuadrat terbalik]], serta sistem dengan [[sumber titik]], seperti [[antena (radio)|antena radio]].

Sistem asimetris radial juga dapat dimodelkan dengan koordinat polar. Contohnya, [[Mikrofon#Pola kutub mikrofon|pola pengambilan]] [[mikrofon]] mengilustrasikan respons proporsionalnya terhadap suara yang masuk dari arah tertentu, dan pola ini dapat diulang. Kurva untuk mikrofon cardioid standar, mikrofon searah yang paling umum, dapat direpresentasikan sebagai {{nowrap|''r'' {{=}} 0.5 + 0.5sin(''φ'')}} pada frekuensi desain targetnya.<ref>{{Cite book|last=Eargle|first=John|authorlink=John M. Eargle|title=Handbook of Recording Engineering|year=2005|edition=Fourth|publisher=Springer|isbn = 0-387-28470-2}}</ref> Pola bergeser ke arah omnidirectionality pada frekuensi yang lebih rendah.

== Lihat pula ==
{{Portal|Matematika}}
*[[Koordinat lengkung]]
*[[Daftar transformasi koordinat kanonik]]
*[[Koordinat polar]]
*[[Dekomposisi polar]]
*[[Lingkaran satauan]]
*[[Koordinat kurvilinear]]
*[[Daftar transformasi koordinat]]
*[[Koordinat log-polar]]

== Referensi ==
'''Spesifik'''
{{Reflist|30em}}

'''Umum'''
{{refbegin}}
*{{Cite book|last=Adams|first=Robert|author2=Christopher Essex|title=Calculus: a complete course|url=https://archive.org/details/calculuscomplete0000adam_c1q6|edition=Eighth|year=2013|publisher=Pearson Canada Inc.|isbn=978-0-321-78107-9}}
*{{Cite book|last=Anton|first=Howard|author2=Irl Bivens |author3=Stephen Davis |title=Calculus|url=https://archive.org/details/calculus0000anto_n5e7|edition=Seventh|year=2002|publisher=Anton Textbooks, Inc.|isbn=0-471-38157-8}}
*{{Cite book|last=Finney|first=Ross|author2=George Thomas|author3=Franklin Demana|author4=Bert Waits|title=Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic|edition=Single Variable Version|date=June 1994|publisher=Addison-Wesley Publishing Co.|isbn=0-201-55478-X|url=https://archive.org/details/calculusgraphica00ross}}
{{refend}}

== Pranala luar ==
{{Wikibooks|Kalkulus|Integrasi Polar}}
* {{springer|title=Polar coordinates|id=p/p073410}}
*{{dmoz|Science/Math/Software/Graphing/|Graphing Software}}
*[http://www.random-science-tools.com/maths/coordinate-converter.htm Coordinate Converter — converts between polar, Cartesian and spherical coordinates]
*[http://scratch.mit.edu/projects/nevit/691690 Polar Coordinate System Dynamic Demo]

{{Sistem koordinat ortogonal}}

{{DEFAULTSORT:Sistem Koordinat Polar}}
[[Kategori:Sistem koordinat dua dimensi]]
[[Kategori:Sistem koordinat ortogonal]]