Lihat sumber Sistem dinamis

{{about|aspek umum dari sistem dinamis|detail teknikal|Sistem dinamis (definisi)|studi|Teori sistem dinamis}}
{{Redirect|Dinamis}}
[[Berkas:Lorenz attractor yb.svg|jmpl|ka|[[Atraktor Lorenz]] berkembang dalam studi [[Oksilator Lorenz]], sebuah sistem dinamis.]]

Dalam [[matematika]], '''sistem dinamis''' adalah sebuah sistem dimana sebuah [[fungsi (matematika)|fungsi]] mendeskripsikan ketergantungan waktu dari sebuah titik dalam sebuah [[manifold|ruang geometri]]. Contoh-contohnya meliputi [[model matematika]] yang mendeskripsikan gerak [[pendulum]] jam, [[dinamika fluida|aliran air dalam sebuah pipa]], dan [[dinamika populasi|jumlah ikan setiap musim semi di danau]].

Pada waktu manapun yang diberikan, sistem dinamis memiliki [[keadaan (kontrol)|keadaan]] yang diberikan oleh serangkaian [[angkata nyata]] (sebuah [[ruang vektor|cektor]]) yang dapat diwakili oleh sebuah [[Poin (geometri)|poin]] dalam sebuah [[ruang keadaan]] (sebuah [[manifold]] geometri). ''Aturan evolusi'' dari sistem dinamis adalah sebuah fungsi yang menyebut apakah keadaan-keadaan mendatang diikuti dari keadaan saat ini. Seringkali, fungsi tersebut bersifat [[sistem deterministik (matematika)|deterministik]], yang selama waktu yang diberikan hanya terdiri dari satu keadaan mendatang dari keadaan saat ini.<ref>{{cite book |last=Strogatz |first=S. H. |year=2001 |title=Nonlinear Dynamics and Chaos: with Applications to Physics, Biology and Chemistry |location= |publisher=Perseus }}</ref><ref>{{cite book |first=A. |last=Katok |first2=B. |last2=Hasselblatt |title=Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems |url=https://archive.org/details/introductiontomo0000kato |location=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |year=1995 |isbn=0-521-34187-6 }}</ref> Namun, beberapa sistem bersifat [[sistem stokastik|stokastik]], dalam peristiwa-peristiwa acak yang juga berdampak pada evolusi keadaan yang beragam.

Dalam [[fisika]], '''sistem dinamis''' dideskripsikan sebagai sebuah "partikel atau kelompok dari partikel yang keadaannya beragam sepanjang waktu dan kemudian menunjukkan persamaan diferensial yang melibatkan derivatif waktu."<ref>{{cite web|title=Nature|url=http://www.nature.com/subjects/dynamical-systems|publisher=Springer Nature|accessdate= 17 February 2017}}</ref> Dalam rangkaian untuk membuat sebuah prediksi tentang perilaku mendatang dari sistem tersebut, sebuah solusi analitik dari persamaan semacam itu atau integrasi mereka sepanjang waktu melalui [[simulasi komputer]] direalisasikan.

Studi sistem dinamiks adalah fokus [[teori sistem dinamis]], yang memiliki aplikasi kepada serangkaian besar bidang seperti matematika, fisika,<ref>{{cite journal|last1=Melby|first1=P.|last2=et.al.|title=Dynamics of Self-Adjusting Systems With Noise|journal=Chaos 15|date=2005|doi=10.1063/1.1953147|bibcode=2005Chaos..15c3902M}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Gintautas|first1=V.|last2=et.al.|title=Resonant forcing of select degrees of freedom of multidimensional chaotic map dynamics|journal=J. Stat. Phys. 130|date=2008|doi=10.1007/s10955-007-9444-4|arxiv=0705.0311|bibcode=2008JSP...130..617G}}</ref> biologi,<ref>{{cite book |last1=Jackson |first1=T. |last2=Radunskaya |first2=A. |title=Applications of Dynamical Systems in Biology and Medicine |date=2015 |publisher=Springer }}</ref> kimia, teknik,<ref>{{cite book |first=Erwin |last=Kreyszig |title=Advanced Engineering Mathematics |location=Hoboken |publisher=Wiley |year=2011 |isbn=978-0-470-64613-7 }}</ref> ekonomi,<ref>{{cite book |last=Gandolfo |first=Giancarlo |authorlink=Giancarlo Gandolfo |title=Economic Dynamics: Methods and Models |location=Berlin |publisher=Springer |edition=Fourth |year=2009 |origyear=1971 |isbn=978-3-642-13503-3 }}</ref> dan kedokteran. Sistem dinamis adalah sebuah bagian fundamental dari [[teori kekacauan]], dinamika [[peta logistik]], [[teori bifurkasi]], proses [[majelis diri]], dan konsep [[tepi kekacauan]].

== Ikhtisar ==
Konsep sistem dinamik berasal dari [[mekanika Newton]].  Di sana, seperti dalam ilmu alam dan disiplin teknik lainnya, aturan evolusi sistem dinamis adalah hubungan implisit yang memberikan keadaan sistem hanya untuk waktu yang singkat ke masa depan. (The relasinya bisa berupa [[persamaan diferensial]], [[relasi perulangan|persamaan perbedaan]] atau [[Kalkulus skala waktu|skala|waktu]] lainnya.)  Untuk menentukan keadaan untuk semua waktu yang akan datang membutuhkan pengulangan hubungan berkali-kali setiap memajukan waktu satu langkah kecil.  Prosedur iterasi disebut sebagai '' menyelesaikan sistem '' atau '' mengintegrasikan sistem ''. Bila sistem dapat diselesaikan, dengan titik awal dimungkinkan untuk menentukan semua posisi masa depannya, kumpulan titik yang dikenal sebagai '' [[lintasan]] '' atau '' [[orbit (dinamika)|orbit]] ''.

Sebelum munculnya [[komputer]], menemukan orbit memerlukan teknik matematika yang canggih dan hanya dapat dilakukan untuk kelas kecil sistem dinamis. Metode numerik yang diterapkan pada mesin komputasi elektronik telah menyederhanakan tugas penentuan orbit sistem dinamik.

Untuk sistem dinamis sederhana, mengetahui lintasan sering kali sudah cukup, tetapi kebanyakan sistem dinamis terlalu rumit untuk dipahami dalam kaitannya dengan lintasan individu. Kesulitan muncul karena:
* Sistem yang dipelajari mungkin hanya diketahui kira-kira parameter sistem mungkin tidak diketahui secara tepat atau istilah mungkin hilang dari persamaan. Perkiraan yang digunakan mempertanyakan validitas atau relevansi solusi numerik. Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini, beberapa pengertian tentang stabilitas telah diperkenalkan dalam studi sistem dinamis, seperti [[stabilitas Lyapunov]] atau [[stabilitas struktural]].  Stabilitas sistem dinamis menyiratkan bahwa ada kelas model atau kondisi awal yang lintasannya akan setara. Operasi untuk membandingkan orbit untuk menetapkan [[Hubungan kesetaraan|kesetaraan]] berubah dengan pengertian stabilitas yang berbeda.
* Jenis lintasan mungkin lebih penting daripada satu lintasan tertentu. Beberapa lintasan mungkin periodik, sedangkan yang lain mungkin berjalan melalui banyak keadaan sistem yang berbeda. Aplikasi sering kali memerlukan pencacahan kelas-kelas ini atau memelihara sistem dalam satu kelas. Mengklasifikasikan semua kemungkinan lintasan telah mengarah pada studi kualitatif sistem dinamis, yaitu properti yang tidak berubah di bawah perubahan koordinat. [[Sistem dinamika linear]] dan [[Teorema Poincaré–Bendixson|sistem yang memiliki dua bilangan yang menggambarkan suatu keadaan]] adalah contoh sistem dinamika yang kelas orbitnya mungkin dipahami.
* Perilaku lintasan sebagai fungsi parameter mungkin adalah apa yang dibutuhkan untuk aplikasi. Sebagai parameter yang bervariasi, sistem dinamis mungkin memiliki [[teori bifurkasi|titik bifurkasi]] di mana perilaku kualitatif sistem dinamis berubah. Misalnya, ini mungkin berubah dari hanya memiliki gerakan periodik menjadi perilaku yang tampaknya tidak menentu, seperti dalam [[Turbulensi|transisi ke turbulensi fluida]].
* Lintasan sistem mungkin tampak tidak menentu, seolah acak. Dalam kasus ini, mungkin perlu menghitung rata-rata menggunakan satu lintasan yang sangat panjang atau banyak lintasan yang berbeda.  Rata-rata didefinisikan dengan baik untuk [[teori ergodik|sistem ergodik]] dan pemahaman yang lebih rinci telah dikerjakan untuk [[Anosov diffeomorphism|sistem hiperbolik]]. Memahami aspek probabilistik dari sistem dinamika telah membantu menetapkan dasar [[mekanika statistik]] dan [[teori kekacauan|kekacauan]].

== Sejarah ==

Banyak orang menganggap ahli matematika Prancis [[Henri Poincaré]] sebagai pendiri sistem dinamis.<ref>Holmes, Philip. "Poincaré, celestial mechanics, dynamical-systems theory and "chaos"." ''Physics Reports'' 193.3 (1990): 137-163.</ref> Poincaré menerbitkan dua monograf klasik sekarang, "Metode Baru Mekanika Langit" (1892–1899) dan "Ceramah tentang Mekanika Langit" (1905–1910). Di dalamnya, ia berhasil menerapkan hasil penelitiannya pada masalah gerak tiga benda dan mempelajari secara detail perilaku larutan (frekuensi, stabilitas, asimtotik, dan sebagainya). Makalah ini termasuk [[Teorema pengulangan Poincaré]], yang menyatakan bahwa sistem tertentu akan, setelah waktu yang cukup lama tetapi terbatas, kembali ke keadaan yang sangat dekat dengan keadaan awal.

[[Aleksandr Lyapunov]] mengembangkan banyak metode pendekatan penting. Metodenya, yang ia kembangkan pada tahun 1899, memungkinkan untuk mendefinisikan kestabilan himpunan persamaan diferensial biasa. Dia menciptakan teori modern tentang stabilitas sistem dinamik.

Pada tahun 1913, [[George David Birkhoff]] membuktikan "[[Teorema Poincaré–Birkhoff|Teorema Geometris Terakhir]]" Poincaré, kasus khusus dari [[masalah tiga benda]], hasil yang membuatnya terkenal di dunia. Pada tahun 1927, dia menerbitkannya ''[http://www.ams.org/online_bks/coll9/ Dynamical Systems]''. Hasil Birkhoff yang paling tahan lama adalah penemuannya pada tahun 1931 tentang apa yang sekarang disebut [[teorema ergodik]]. Menggabungkan wawasan dari [[fisika]] pada [[hipotesis ergodik]] dengan [[teori pengukuran]], teorema ini memecahkan, setidaknya secara prinsip, masalah fundamental [[mekanika statistik]]. Teorema ergodik juga berdampak pada dinamika.

[[Stephen Smale]] juga membuat kemajuan yang signifikan. Kontribusi pertamanya adalah [[Tapal kuda peta|Tapal kuda]] yang memulai penelitian signifikan dalam sistem dinamis.  He also outlined a research program carried out by many others.

[[Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky]] mengembangkan [[Teorema Sharkovsky]] pada periode [[sistem dinamika diskrit]] pada tahun 1964. Salah satu implikasi dari teorema tersebut adalah bahwa jika sistem dinamik diskrit pada [[garis nyata]] memiliki [[titik periodik]] periode 3, maka sistem tersebut harus memiliki titik periodik dari setiap periode lainnya.

Pada akhir abad ke-20, insinyur mesin Palestina [[Ali H. Nayfeh]] menerapkan [[dinamika nonlinier]] dalam sistem [[mekanika]] dan [[teknik]].<ref name="Rega">{{cite book |last1=Rega |first1=Giuseppe |chapter=Tribute to Ali H. Nayfeh (1933-2017) |title=IUTAM Symposium on Exploiting Nonlinear Dynamics for Engineering Systems |date=2019 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=9783030236922 |url=https://books.google.com/books?id=pAilDwAAQBAJ&pg=PA1 |pages=1–2}}</ref> Karya perintisnya dalam dinamika nonlinier terapan telah berpengaruh dalam konstruksi dan pemeliharaan [[mesin]] dan [[struktur]] yang umum dalam kehidupan sehari-hari, seperti [[kapal]], [[crane (mesin)|crane]], [[jembatan]], [[bangunan]], [[gedung pencakar langit]], [[mesin jet]], [[mesin roket]], [[pesawat]] dan [[pesawat ruang angkasa]].<ref name="fi">{{cite web |title=Ali Hasan Nayfeh |url=https://www.fi.edu/laureates/ali-hasan-nayfeh |website=[[Franklin Institute Awards]] |publisher=[[The Franklin Institute]] |accessdate=25 Agustus 2019 |date=4 February 2014}}</ref>

== Definisi dasar ==
{{Main|Sistem dinamis (definisi)}}
Sistem dinamik adalah [[manifold]] '' M '' yang disebut ruang fase (atau keadaan) yang diberkahi dengan keluarga fungsi evolusi halus Φ<sup>''t''</sup> bahwa untuk setiap elemen dari '' t '' ∈ '' T '', waktu, petakan titik [[ruang fase]] kembali ke ruang fase.  Gagasan tentang kehalusan berubah dengan aplikasi dan jenis manifold. Ada beberapa pilihan untuk himpunan '' T ''.  Ketika '' T '' dianggap real, sistem dinamik disebut '' [[Aliran (matematika)|aliran]] ''; dan jika '' T '' dibatasi untuk real non-negatif, maka sistem dinamik adalah '' semi-aliran ''. Ketika '' T '' diambil sebagai integer, itu adalah '' cascade '' atau '' map ''; dan batasan untuk [[bilangan bulat]] non-negatif adalah '' semi-cascade ''.

Catatan: Ada syarat teknis lebih lanjut itu Φ<sup>''t''</sup> adalah tindakan '' T '' pada '' M ''. Maka hal tersebut termasuk fakta-fakta itu Φ<sup>''0''</sup> adalah fungsi identitas dan itu Φ<sup>''s+t''</sup> adalah komposisi Φ<sup>''s''</sup> dan Φ<sup>''t''</sup>.  Ini adalah aksi semigroup, yang tidak memerlukan keberadaan nilai negatif untuk '' t '', dan tidak memerlukan fungsi Φ<sup>''t''</sup> menjadi bisa dibalik.

=== Contoh ===
Fungsi evolusi Φ<sup>&nbsp;''t''</sup> sering menjadi solusi dari '' persamaan gerak diferensial ''

:  <math> \dot{x} = v(x). </math>

Persamaan tersebut memberikan turunan waktu, diwakili oleh titik, dari lintasan '' x '' ('' t '') pada ruang fase yang dimulai dari beberapa titik ''x''<sub>0</sub>.  [[Bidang vektor]] '' v ''('' x '') adalah fungsi halus yang pada setiap titik ruang fase '' M '' menyediakan vektor kecepatan sistem dinamis pada titik tersebut. (Vektor-vektor ini bukanlah vektor dalam ruang fase '' M '', tetapi dalam [[ruang tangen]] ''T<sub>x</sub>M'' dari titik '' x ''.) Diberikan halus Φ<sup>&nbsp;''t''</sup>, bidang vektor otonom dapat diturunkan darinya.

Tidak perlu turunan orde tinggi dalam persamaan, atau ketergantungan waktu dalam '' v ''('' x '') karena ini dapat dihilangkan dengan mempertimbangkan sistem dengan dimensi yang lebih tinggi. Jenis [[persamaan diferensial]] lainnya dapat digunakan untuk menentukan aturan evolusi:

: <math> G(x, \dot{x}) = 0 </math>

merupakan contoh persamaan yang muncul dari pemodelan sistem mekanik dengan kendala yang rumit.

Persamaan diferensial menentukan fungsi evolusi Φ<sup>&nbsp;''t''</sup> sering kali [[persamaan diferensial biasa]]; dalam hal ini ruang fase '' M '' adalah manifol berdimensi hingga. Banyak konsep dalam sistem dinamis dapat diperluas ke lipatan berdimensi tak hingga — yang secara lokal [[Ruang Banach]] dalam hal ini persamaan diferensial adalah [[persamaan diferensial parsial]]. Pada akhir abad ke-20, perspektif sistem dinamis terhadap persamaan diferensial parsial mulai populer.

=== Contoh lebih lanjut ===
{{Div col|colwidth=25em}}
* [[Peta kucing Arnold]]
* [[Peta Baker]] adalah contoh dari peta [[fungsi linear bagian|linier sepotong]] kacau
* [[Biliar dinamis|Biliar]] dan [[Biliar luar dinamis|biliar luar]]
* [[Dinamika bola memantul]]
* [[Peta lingkaran]]
* [[Polinomial kuadrat kompleks]]
* [[Pendulum ganda]]
* [[Transformasi Dyadic]]
* [[Peta Hénon]]
* [[Rotasi irasional]]
* [[Peta Kaplan–Yorke]]
* [[Daftar peta chaotic]]
* [[Penarik Lorenz|Sistem Lorenz]]
* [[Peta polinomial kuadrat kompleks#|Sistem simulasi peta kuadrat]]
* [[Peta Rössler]]
* [[Mesin Ayun Atwood]]
* [[Peta tenda]]
{{Div col end}}

== Sistem dinamis linear ==
{{Main|Sistem dinamis linear}}
Sistem dinamika linier dapat diselesaikan dalam istilah fungsi sederhana dan perilaku semua orbit yang diklasifikasikan.  Dalam sistem linier, ruang fase adalah [[ruang Euklides]] berdimensi '' N '', sehingga titik mana pun dalam ruang fase dapat direpresentasikan oleh vektor dengan angka '' N ''.  Analisis sistem linier dimungkinkan karena memenuhi [[prinsip superposisi]]: bila '' u ''('' t '') dan '' w ''('' t '') memenuhi persamaan diferensial untuk bidang vektor (tapi tidak perlu), maka begitu juga '' u ''('' t '') + '' w ''('' t '').

=== Arus ===
Untuk [[aliran (matematika)|aliran]], bidang vektor v ('' x '') adalah fungsi [[transformasi affin|affin]] dari posisi dalam ruang fase, yaitu,
:<math> \dot{x} = v(x) = A x + b,</math>
dengan '' A '' matriks, '' b '' vektor angka dan '' x '' vektor posisi. Solusi untuk sistem ini dapat ditemukan dengan menggunakan prinsip superposisi (linieritas).
Kasus '' b '' ≠ 0 dengan '' A '' = 0 hanyalah garis lurus ke arah '' b '':

: <math>\Phi^t(x_1) = x_1 + b t. </math>

Ketika '' b '' adalah nol dan '' A '' ≠ 0, titik asal adalah titik ekuilibrium (atau singular) aliran, yaitu, bila ''x''<sub>0</sub>= 0, maka orbitnya tetap di sana.
Untuk kondisi awal lainnya, persamaan gerak diberikan oleh [[matriks eksponensial|eksponensial matriks]]: untuk titik awal ''x''<sub>0</sub>,

:  <math>\Phi^t(x_0) = e^{t A} x_0. </math>

Ketika '' b '' = 0, [[nilai eigen]] dari '' A '' menentukan struktur ruang fase.  Dari nilai eigen dan [[vektor eigen]] dari '' A '' adalah mungkin untuk menentukan apakah titik awal akan bertemu atau menyimpang ke titik ekuilibrium di titik asal.

Jarak antara dua kondisi awal yang berbeda dalam kasus '' A '' ≠ 0 akan berubah secara eksponensial dalam banyak kasus, baik secara eksponensial cepat menuju suatu titik, atau divergen eksponensial. Sistem linier menampilkan ketergantungan sensitif pada kondisi awal jika terjadi divergensi. Untuk sistem nonlinier ini adalah salah satu kondisi (perlu tapi tidak cukup) untuk [[teori kekacauan]]

[[Berkas:LinearFields.png|thumb|500px|center|Bidang vektor linear dan beberapa lintasan.]]
{{-}}

===Maps===
[[Sistem dinamika waktu-diskrit|waktu-diskrit]], [[Transformasi affin|affin]] sistem dinamik berbentuk a [[persamaan perbedaan matriks]]:
: <math> x_{n+1} =  A x_n + b, </math>
dengan '' A '' matriks dan '' b '' vektor. Seperti dalam kasus berkelanjutan, perubahan koordinat '' x '' → '' x '' + (1 - '' A '') <sup> –1 </sup> '' b '' menghapus istilah. Dalam [[sistem koordinat]] baru, titik asal adalah titik tetap pada peta dan solusinya adalah sistem linear ''A''<sup>&nbsp;''n''</sup>''x''<sub>0</sub>.
Solusi untuk peta tidak lagi kurva, tetapi titik-titik yang melompat dalam ruang fase. Orbit diatur dalam kurva, atau serat, yang merupakan kumpulan titik yang memetakan dirinya di bawah.

Seperti dalam kasus kontinu, nilai eigen dan vektor eigen dari '' A '' menentukan struktur ruang fase. Contohnya, bila ''u''<sub>1</sub> adalah vektor eigen dari '' A '', dengan nilai eigen nyata lebih kecil dari satu, maka garis lurus diberikan oleh titik-titik di sepanjang ''α''&nbsp;''u''<sub>1</sub>, dengan ''α''&nbsp;∈&nbsp;'''R''', adalah kurva invarian dari peta. Titik-titik dalam garis lurus ini menuju ke titik tetap.

Ada juga banyak [[Daftar peta yang kacau|sistem dinamika diskrit lainnya]].

== Lihat pula ==
{{Portal|Ilmu sistem}}
{{Div col|colwidth=25em}}
* [[Pemodelan perilaku]]
* [[Model kognitif#Sistem dinamis|Pemodelan kognitif]]
* [[Dinamika kompleks]]
* [[Pendekatan dinamis untuk pengembangan bahasa kedua]]
* [[Passivasi masukan]]
* [[Komposisi tak terbatas dari fungsi analitik]]
* [[Daftar topik sistem dinamis]]
* [[Osilasi]]
* [[Orang-orang dalam sistem dan kontrol]]
* [[Teorema Sharkovskii]]
* [[Dinamika sistem]]
* [[Teori sistem]]
* [[Prinsip kaliber maksimum]]
{{Div col end}}

== Referensi ==
{{reflist}}

== Bacaan tambahan ==
{{refbegin|2}}
Karya yang menyediakan sorotan besar:
* {{cite book | author=[[Ralph Abraham (matematikawan)|Ralph Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden]] | title= Foundations of mechanics | publisher= Benjamin–Cummings | year= 1978 | isbn=0-8053-0102-X}} (available as a reprint: {{ISBN|0-201-40840-6}})
* ''Encyclopaedia of Mathematical Sciences'' ({{ISSN|0938-0396}}) has a sub-series on dynamical systems with reviews of current research.
* {{cite book |author1=Christian Bonatti |author2=Lorenzo J. Díaz |author3=Marcelo Viana | title= Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity: A Global Geometric and Probabilistic Perspective| publisher= Springer | year= 2005 | isbn=3-540-22066-6}}
* {{cite journal | doi=10.1090/S0002-9904-1967-11798-1 | author=[[Stephen Smale]] | title= Differentiable dynamical systems | journal= Bulletin of the American Mathematical Society | year= 1967 |volume= 73 |pages= 747–817 | issue=6}}

Teks-teks pengenalan dengan sudut pandang unik:
* {{cite book | author=[[Vladimir Arnold|V. I. Arnold]] | title=Mathematical methods of classical mechanics | publisher=Springer-Verlag | year=1982 | isbn=0-387-96890-3}}
* {{cite book | author=[[Jacob Palis]] and [[Welington de Melo]] | title=Geometric theory of dynamical systems: an introduction | publisher=Springer-Verlag | year=1982 | isbn=0-387-90668-1}}
* {{cite book | author=[[David Ruelle]] | title=Elements of Differentiable Dynamics and Bifurcation Theory | publisher=Academic Press | year=1989 | isbn=0-12-601710-7}}
* {{cite book | author=Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, ''eds.'' | title= Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces | publisher= Oxford University Press | year= 1991 | isbn= 0-19-853390-X }}
* {{cite book | author= [[Ralph Abraham (mathematician)|Ralph H. Abraham]] and [[Robert Shaw (Physicist)#Illustrations|Christopher D. Shaw]] | title= Dynamics—the geometry of behavior, 2nd edition | publisher= Addison-Wesley | year= 1992 | isbn= 0-201-56716-4 }}

Buku teks
* {{cite book | author= Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer and [[James A. Yorke]] | title= Chaos.  An introduction to dynamical systems | publisher= Springer Verlag | year= 2000 | isbn=0-387-94677-2}}
* {{cite book | author= Oded Galor | title= ''Discrete Dynamical Systems'' | publisher= Springer | year= 2011 | isbn=978-3-642-07185-0}}
* {{cite book | author= [[Morris Hirsch|Morris W. Hirsch]], [[Stephen Smale]] and [[Robert L. Devaney]] | title= Differential Equations, dynamical systems, and an introduction to chaos | publisher= Academic Press | year= 2003 | isbn=0-12-349703-5}}
* {{cite book |author1=Anatole Katok |author2=Boris Hasselblatt | title= Introduction to the modern theory of dynamical systems | publisher= Cambridge | year= 1996 | isbn=0-521-57557-5}}
* {{cite book | author= Stephen Lynch | title= Dynamical Systems with Applications using Maple 2nd Ed.| publisher= Springer | year= 2010|isbn = 0-8176-4389-3 }}
* {{cite book | author= Stephen Lynch | title= Dynamical Systems with Applications using Mathematica| publisher= Springer | year= 2007|isbn = 0-8176-4482-2 }}
* {{cite book | title= Dynamical Systems with Applications using MATLAB 2nd Edition | publisher= Springer International Publishing | year= 2014|isbn = 3319068199 | author= Stephen Lynch }}
* {{cite book | author= James Meiss | title= Differential Dynamical Systems | publisher= SIAM | year= 2007|isbn = 0-89871-635-7 }}
* {{cite book | author= David D. Nolte | title= Introduction to Modern Dynamics: Chaos, Networks, Space and Time | publisher= Oxford University Press | year= 2015 | isbn=978-0199657032 }}
* {{cite book | author= Julien Clinton Sprott | title= ''Chaos and time-series analysis'' | publisher= Oxford University Press | year= 2003 | isbn=0-19-850839-5}}
* {{cite book | author=[[Steven Strogatz|Steven H. Strogatz]] | title= Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology chemistry and engineering | publisher= Addison Wesley | year= 1994|isbn = 0-201-54344-3 }}
* {{cite book| last = Teschl| given = Gerald|authorlink=Gerald Teschl| title = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems| publisher=[[American Mathematical Society]]| place = [[Providence, Rhode Island|Providence]]| year = 2012| isbn= 978-0-8218-8328-0| url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/}}
* {{cite book | author= Stephen Wiggins | title= Introduction to Applied Dynamical Systems and Chaos | url= https://archive.org/details/springer_10.1007-b97481 | publisher= Springer | year= 2003 | isbn= 0-387-00177-8 }}

Popularisasi:
* {{cite book | author=[[Florin Diacu]] and [[Philip Holmes]] | title= Celestial Encounters | url=https://archive.org/details/celestialencount0000unse | publisher= Princeton | year= 1996 | isbn= 0-691-02743-9}}
* {{cite book | author=[[James Gleick]] | title= [[Chaos: Making a New Science]] | publisher= Penguin | year= 1988 | isbn= 0-14-009250-1}}
* {{cite book | authorlink=Ivar Ekeland | author=Ivar Ekeland | title= Mathematics and the Unexpected (Paperback) | url=https://archive.org/details/mathematicsunexp0000ekel | publisher= University Of Chicago Press | year= 1990 | isbn= 0-226-19990-8}}
* {{cite book | author=Ian Stewart | year = 1997 | title = Does God Play Dice? The New Mathematics of Chaos | url=https://archive.org/details/doesgodplaydicen0000stew | publisher = Penguin | isbn = 0-14-025602-4}}
{{refend}}

== Pranala luar ==
* MATLAB files http://uk.mathworks.com/matlabcentral/profile/authors/63144-stephen-lynch
* [http://complexity.xozzox.de/nonlinmappings.html Interactive applet for the Standard and Henon Maps] by A. Luhn
* [http://vlab.infotech.monash.edu.au/simulations/non-linear/ A collection of dynamic and non-linear system models and demo applets] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080305231636/http://vlab.infotech.monash.edu.au/simulations/non-linear/ |date=2008-03-05 }} (in Monash University's Virtual Lab)
* [http://www.arxiv.org/list/math.DS/recent Arxiv preprint server] has daily submissions of (non-refereed) manuscripts in dynamical systems.
* [http://www.dynamicalsystems.org/ DSWeb] provides up-to-date information on dynamical systems and its applications.
* [http://www.scholarpedia.org/article/Encyclopedia_of_Dynamical_Systems Encyclopedia of dynamical systems] A part of [[Scholarpedia]] — peer reviewed and written by invited experts.
* [http://www.egwald.ca/nonlineardynamics/index.php Nonlinear Dynamics]. Models of bifurcation and chaos by Elmer G. Wiens
* [http://www.dynamical-systems.org/ Oliver Knill] has a series of examples of dynamical systems with explanations and interactive controls.
* [http://amath.colorado.edu/faculty/jdm/faq-Contents.html Sci.Nonlinear FAQ 2.0 (Sept 2003)] provides definitions, explanations and resources related to nonlinear science

Buku maya atau catatan ceramah:
* [http://arxiv.org/pdf/math.HO/0111177 Geometrical theory of dynamical systems]. Nils Berglund's lecture notes for a course at [[ETH]] at the advanced undergraduate level.
* [https://archive.org/details/dynamicalsystems00birk Dynamical systems]. George D. Birkhoff's 1927 book already takes a modern approach to dynamical systems.
* [http://chaosbook.org/ Chaos: classical and quantum]. An introduction to dynamical systems from the periodic orbit point of view.
* [http://www.cs.brown.edu/research/ai/dynamics/tutorial/home.html Learning Dynamical Systems]. Tutorial on learning dynamical systems.
* [http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems]. Lecture notes by [[Gerald Teschl]]

Kelompok riset:
* [http://www.math.rug.nl/~broer/ Dynamical Systems Group Groningen], IWI, University of Groningen.
* [http://www-chaos.umd.edu/ Chaos @ UMD]. Concentrates on the applications of dynamical systems.
* [http://www.math.stonybrook.edu/dynamical-systems], SUNY Stony Brook. Lists of conferences, researchers, and some open problems.
* [http://www.math.psu.edu/dynsys/ Center for Dynamics and Geometry] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140714114236/http://www.math.psu.edu/dynsys/ |date=2014-07-14 }}, Penn State.
* [http://www.cds.caltech.edu/ Control and Dynamical Systems], Caltech.
* [http://lanoswww.epfl.ch/ Laboratory of Nonlinear Systems] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061018031023/http://lanoswww.epfl.ch/ |date=2006-10-18 }}, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL).
* [https://web.archive.org/web/20070208153906/http://www.math.uni-bremen.de/ids.html Center for Dynamical Systems], University of Bremen
* [https://web.archive.org/web/20070406053155/http://www.eng.ox.ac.uk/samp/ Systems Analysis, Modelling and Prediction Group], University of Oxford
* [http://sd.ist.utl.pt/ Non-Linear Dynamics Group], Instituto Superior Técnico, Technical University of Lisbon
* [http://www.impa.br/ Dynamical Systems] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170602221933/https://impa.br/ |date=2017-06-02 }}, IMPA, Instituto Nacional de Matemática Pura e Applicada.
* [http://ndw.cs.cas.cz/ Nonlinear Dynamics Workgroup], Institute of Computer Science, Czech Academy of Sciences.

Perangkat lunak simulasi yang berdasarkan pada kesepakatan Sistem Dinamis:
* [http://fydik.kitnarf.cz/ FyDiK]
* [http://idmc.googlecode.com/ iDMC]{{Pranala mati|date=Maret 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}, simulation and dynamical analysis of nonlinear models

{{Authority control}}

[[Kategori:Teori sistem|dinamis]]