Lihat sumber Simetri oktahedral

{{more footnotes|date=Juli 2021}}
{{Titik navigator grup 3D}}
{{redirect|Grup kubus|grup matematika yang berkaitan secara khusus dengan kubus teka-teki berkelok 3x3x3|Grup Kubus Rubik}}
[[Berkas:Full octahedral group; cycle graph.svg|thumb|330px|[[Grafik siklus (aljabar)|Grafik siklus]]<br>Keempat siklus heksagonal memiliki kesamaan inversi (simpul hitam di atas). Heksagonal simetris, 3 dan 4 berada dalam siklus yang sama.]]
Sebuah [[oktahedron]] reguler memiliki 24 simetri rotasi (atau perluasan-orientasi), dan 48 simetri secara keseluruhan. Ini termasuk transformasi yang menggabungkan refleksi dan rotasi. Sebuah [[kubus]] memiliki himpunan simetri yang sama, karena merupakan polihedron [[ganda polihedron|ganda]] ke segi delapan.

Grup simetri perluasan-orientasi adalah ''S''<sub>4</sub>, [[grup simetris]] atau [[grup permutasi]] dari empat objek, karena tepat satu simetri untuk setiap permutasi dari empat diagonal kubus.

==Detail==

'''Kiral''' dan '''penuh''' (atau '''akiral''') '''simetri oktahedral''' adalah [[Grup titik dalam tiga dimensi|simetri titik diskret]] (atau, [[Daftar grup simetri bola|simetri pada bola]]) dengan [[grup simetri]] terbesar kompatibel dengan [[simetri translasi]]. Ia termasuk di antara [[Sistem kristal#Ikhtisar grup titik menurut sistem kristal|grup titik kristalografi]] dari [[sistem kristal kubik]].

{| class=wikitable
|+ [[Kelas konjugasi]]
!colspan="2"|Elemen O
!colspan="2"|Inversi elemen O
|-
|identity
|style="background:#fff;"|'''0'''
|inversi
|style="background:#ffff7f;"|'''0<nowiki>'</nowiki>'''
|-
|3 × rotasi 180° tentang sumbu lipatan-4
|style="background:#fff;"|'''7, 16, 23'''
|3 × refleksi pada bidang tegak lurus pada sumbu lipatan-4
|style="background:#ffff7f;"|'''7', 16', 23<nowiki>'</nowiki>'''
|-
|8 × rotasi 120° pada sumbu lipatan-3
|style="background:#fff;"|3, 4, 8, 11, 12, 15,  19, 20
|8 × rotorefleksi sebesar 60°
|style="background:#ffff7f;"|3', 4', 8', 11', 12', 15',  19', 20'
|-
|6 × rotasi 180° tentang sumbu lipatan-2
|style="background:#3375ff;"|1', 2', 5', 6', 14', 21'
|6 × refleksi pada bidang tegak lurus pada sumbu lipatan-2
|style="background:#33d42a;"|1, 2, 5, 6, 14, 21
|-
|6 × rotasi 90° pada sumbu lipatan-4
|style="background:#ef2500;"|9', 10', 13', 17', 18', 22'
|6 × rotorefleksi sebesar 90°
|style="background:#ffa200;"|9, 10, 13, 17, 18, 22
|}

{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align: center;"
!colspan="5"| Contoh
|-
| [[Berkas:Cube permutation 0 0.svg|180px]]<br><math>(0,0) = 0</math>
| [[Berkas:Cube permutation 3 0.svg|180px]]<br><math>(3,0) = 7</math>
| [[Berkas:Cube permutation 0 3.svg|180px]]<br><math>(0,3) = 3</math>
| [[Berkas:Cube permutation 7 1.svg|180px]]<br><math>(7,1) = 1'</math>
| [[Berkas:Cube permutation 4 5.svg|180px]]<br><math>(4,5) = 9'</math>
|-
| [[Berkas:Cube permutation 7 0.svg|180px]]<br><math>(7,0) = 0'</math>
| [[Berkas:Cube permutation 4 0.svg|180px]]<br><math>(4,0) = 7'</math>
| [[Berkas:Cube permutation 7 3.svg|180px]]<br><math>(7,3) = 3'</math>
| [[Berkas:Cube permutation 0 1.svg|180px]]<br><math>(0,1) = 1</math>
| [[Berkas:Cube permutation 3 5.svg|180px]]<br><math>(3,5) = 9</math>
|-
|colspan="5"| Daftar lengkap dapat ditemukan di [[v:Full octahedral group|artikel Wikiversity]].
|}

Sebagai [[grup hiperoktahedral]] dari dimensi 3 grup oktahedral penuh adalah [[produk karangan bunga]] <math>S_2 \wr S_3 \simeq S_2^3 \rtimes S_3</math>,<br>dan cara alami untuk mengidentifikasi elemen adalah pasangan <math>(m, n)</math> dengan <math>m \in [0, 2^3)</math> dan <math>n \in [0, 3!)</math>.<br>Namun, karena ini juga merupakan [[Produk langsung grup|produk langsung]] <math>S_4 \times S_2</math>, apabila mengidentifikasi unsur-unsur [[subgrup]] tetrahedral ''T<sub>d</sub>'' sebagai <math>a \in [0, 4!)</math> dan inversinya sebagai <math>a'</math>.

Jadi misalnya identitas <math>(0, 0)</math> direpresentasikan sebagai <math>0</math> dan inversi <math>(7, 0)</math> sebagai <math>0'</math>.<br>
<math>(3, 1)</math> direpresentasikan sebagai <math>6</math> dan <math>(4, 1)</math> sebagai <math>6'</math>.

Sebuah [[Rotasi takwajar|rotorefleksi]] adalah kombinasi dari rotasi dan refleksi.

{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align: center;"
!colspan="5"| Ilustrasi refleksi rotor
|-
|
{{multiple image
 | align = left
 | image1 = Cube permutation 4 0.svg
 | width1 =  230
 | caption1 = Refleksi <math>7'</math>
 | image2 = Cube permutation 0 4.svg
 | width2 =  230
 | caption2 = diterapkan pada rotasi 120° <math>4</math>
 | image3 = Cube permutation 4 4.svg
 | width3 =  230
 | caption3 = diberikan refleksi rotor 60° <math>8'</math>.
}}
<br><math>7' \circ 4 = 8'</math>
|-
|
{{multiple image
 | align = left
 | image1 = Cube permutation 4 0.svg
 | width1 =  230
 | caption1 = Refleksi <math>7'</math>
 | image2 = Cube permutation 1 1.svg
 | width2 =  230
 | caption2 = diterapkan pada rotasi 90° <math>22'</math>
 | image3 = Cube permutation 5 1.svg
 | width3 =  230
 | caption3 = diberikan rotorefleksi 90° <math>17</math>.
}}
<br><math>7' \circ 22' = 17</math>
|}

=== Simetri oktahedral kiral===

{| class=wikitable align=right
|- valign=top
!colspan=3|Sumbu girasi
|- align=center
!C<sub>4</sub><br>[[Berkas:Monomino.png|12px]]||C<sub>3</sub><br>[[Berkas:Nazi concentration camp Wehrmacht red triangle badge.svg|12px]]||C<sub>2</sub><br>[[Berkas:Rhomb.svg|12px]]
|- align=center
|3||4||6
|}

'''O''', '''432''', atau [4,3]<sup>+</sup> urutan 24, adalah '''simetri oktahedral kiral''' atau '''simetri oktahedral rotasi'''.  Grup ini adalah kiral [[simetri tetrahedral]] ''T'', namun sumbu C<sub>2</sub> sekarang menjadi sebagai sumbu C<sub>4</sub>, dan selain itu ada 6 sumbu C<sub>2</sub>, melalui titik tengah tepi kubus. ''T<sub>d</sub>'' dan ''O'' isomorfik sebagai grup abstrak: keduanya sesuai dengan ''S''<sub>4</sub>, [[grup simetris]] pada 4 objek. ''T<sub>d</sub>'' adalah gabungan dari ''T'' dan himpunan diperoleh dengan menggabungkan setiap elemen ''O'' \ ''T'' dengan inversi. ''O'' adalah grup rotasi dari [[Kubus (geometri)|kubus]] dan [[oktahedron]] reguler.

{| class=wikitable
|+ Simetri oktahedral kiral
!Proyeksi ortogonal
!colspan=3|Proyeksi stereografis
|-
!Lipatan-2
!Lipatan-4
!Lipatan-3
!Lipatan-2
|-
|[[Berkas:Sphere_symmetry_group_o.png|150px]]
|[[Berkas:Disdyakis_dodecahedron_stereographic_D4_gyrations.png|150px]]
|[[Berkas:Disdyakis_dodecahedron_stereographic_D3_gyrations.png|150px]]
|[[Berkas:Disdyakis_dodecahedron_stereographic_D2_gyrations.png|150px]]
|}

===<span id="Simetri oktahedral akiral">Simetri oktahedral penuh</span>===
'''O<sub>h</sub>''', '''*432''', [4,3], atau '''m3m''' orde 48 - '''simetri oktahedral kiral''' atau '''simetri oktahedral penuh'''. Grup ini memiliki sumbu sama dengan ''O'', namjn dengan bidang cermin, yang terdiri dari bidang cermin ''T<sub>d</sub>'' dan ''T<sub>h</sub> ''. Grup ini adalah isomorfik pada ''S''<sub>4</sub>.''C''<sub>2</sub>, dan merupakan grup simetri penuh dari [[Kubus (geometri)|kubus]] dan [[oktahedron]]. Ini adalah [[grup hiperoktahedral]] untuk ''n'' = 3. Lihat pula [[Kubus#Isometri kubus|isometri kubus]].

{{multiple image
 | align = left
 | total_width = 450
 | image1 = Polyhedron pair 6-8.png |width1=4000|height1=4000
 | caption1 = [[Senyawa kubus dan oktahedron]]
 | image2 = Polyhedron great rhombi 6-8 dual max.png |width2=4000|height2=4000
 | caption2 = Setiap wajah [[dodecahedron Disdyakis]] adalah domain fundamental.
 | image3 = Sphere symmetry group oh.png |width3=649|height3=625
 | caption3 = Grup oktahedral ''O''<sub>h</sub> dengan domain fundamental
}}

Dengan sumbu lipatan-4 sebagai sumbu koordinat, domain dasar '''O<sub>h</sub>''' diberikan oleh 0 ≤ ''x'' ≤ ''y'' ≤ ''z''. Sebuah objek dengan simetri ini dicirikan oleh bagian objek dalam domain fundamental, misalnya [[kubus]] diberikan oleh ''z'' = 1, dan [[oktahedron]] oleh ''x'' + ''y'' + ''z'' = 1 (atau pertidaksamaan sesuai, untuk mendapatkan padatan alih-alih permukaan).
''ax'' + ''by'' + ''cz'' = 1 diberikan polihedron dengan 48 wajah, misalnya disdiakis dodecahedron.

Wajah 8-kali-8 digabungkan ke wajah yang lebih besar untuk ''a'' = ''b'' = ''0'' (kubus) dan 6-kali-6 untuk ''a'' = ''b'' = ''c'' (segi delapan).

9 garis cermin simetri oktahedral penuh dapat dibagi menjadi dua subgrup 3 dan 6 (digambar dengan warna ungu dan merah), mewakili dalam dua subsimetri ortogonal: [[Simetri dihedral dalam tiga dimensi|D<sub>2j</sub>]], dan [[simetri tetrahedral|T<sub>d</sub>]]. D<sub>2h</sub> simetri digandakan menjadi D<sub>4j</sub> dengan 2 cermin dari salah satu dari tiga orientasi.
{{Clear}}

{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=2| Simetri oktahedral dan subgrup reflektif
|- valign=top
|
{| class=wikitable
|-
!rowspan=2|[[Proyeksi ortografi|Proyeksi<br>ortografi]]
!colspan=3|[[Proyeksi stereografis]]
|-
!Lipatan-4
!Lipatan-3
!Lipatan-2
|-
!colspan=4|O<sub>h</sub>, [4,3], {{CDD|node_c2|4|node_c1|3|node_c1}}, simetri oktahedral penuh (cermin 3+6)
|-
|[[Berkas:Sphere symmetry group oh.png|100px]]
|[[Berkas:Disdyakis dodecahedron stereographic D4.png|100px]]
|[[Berkas:Disdyakis dodecahedron stereographic D3.png|100px]]
|[[Berkas:Disdyakis dodecahedron stereographic D2.png|100px]]
|-
!colspan=4|T<sub>d</sub>, [3,3]=[1<sup>+</sup>,4,3], {{CDD|node_h0|4|node_c1|3|node_c1}} = {{CDD|nodeab_c1|split2|node_c1}}, subkelompok tetrahedral (cermin 6)
|-
|[[Berkas:Sphere symmetry group td.png|100px]]
|[[Berkas:Tetrakis hexahedron stereographic D4.png|100px]]
|[[Berkas:Tetrakis hexahedron stereographic D3.png|100px]]
|[[Berkas:Tetrakis hexahedron stereographic D2.png|100px]]
|-
!colspan=4|C<sub>3v</sub>, [3], {{CDD|node_c1|3|node_c1}}, subgrup dihedral (cermin 3)
|-
![[Berkas:Trigonal_hosohedron_ortho.png|100px]]
|[[Berkas:trigonal hosohedron stereographic D4.png|100px]]
|[[Berkas:trigonal hosohedron stereographic D3.png|100px]]
|[[Berkas:trigonal hosohedron stereographic D2.png|100px]]
|}
|
{| class=wikitable
|-
!rowspan=2|Proyeksi<br>ortografis
!colspan=3|Proyeksi stereografis
|-
!Lipatan-4
!Lipatan-3
!Lipatan-2
|-
!colspan=4|D<sub>4h</sub>, [4,2], {{CDD|node_c2|4|node_c1|2|node_c3}} subgrup dihedral (cermin 1+2+2)
|-
![[Berkas:Octagonal bipyramidal orthogonal.png|100px]]
|[[Berkas:octagonal bipyramidal stereographic D4.png|100px]]
|[[Berkas:octagonal bipyramidal stereographic D3.png|100px]]
|[[Berkas:octagonal bipyramidal stereographic D2.png|100px]]
|-
!colspan=4|D<sub>2h</sub>, [2,2]=[4,3*], {{CDD|node_c2|2|node_c1|2|node_c3}} = subgrup dihedral (cermin 1+1+1)
|-
![[Berkas:Octahedron orthographic.png|100px]]
|[[Berkas:octahedron stereographic D4.png|100px]]
|[[Berkas:octahedron stereographic D3.png|100px]]
|[[Berkas:octahedron stereographic D2.png|100px]]
|-
!colspan=4|C<sub>4v</sub>, [4], {{CDD|node_c2|4|node_c1}}, subgrup dihedral (cermin 2+2)
|-
![[Berkas:Tetragonal_hosohedron_ortho.png|100px]]
|[[Berkas:Tetragonal hosohedron stereographic D4.png|100px]]
|[[Berkas:Tetragonal hosohedron stereographic D3.png|100px]]
|[[Berkas:Tetragonal hosohedron stereographic D2.png|100px]]
|}
|}

===Matriks rotasi===
Ambil himpunan semua 3x3 [[matriks permutasi]] dan diberikan tanda + atau - untuk masing-masing dari tiga ke-1. Ada 6 permutasi x 8 kombinasi tanda = 48 matriks total memberikan grup oktahedral penuh. Ada 24 matriks dengan [[determinan]] = +1 dan ini adalah [[matriks rotasi]] dari grup oktahedral kiral. 24 matriks lainnya sesuai dengan refleksi atau inversi.

Tiga matriks generator refleksi diperlukan untuk simetri oktahedral, yang mewakili tiga cermin dari [[diagram Coxeter-Dynkin]]. Produk dari refleksi menghasilkan 3 generator rotasi.
{| class=wikitable
|+ [4,3], {{CDD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2}}
!
!colspan=3|Refleksi
!colspan=3|Rotasi
|-
!Nama
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! R<sub>0</sub>R<sub>1</sub>
! R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>
! R<sub>0</sub>R<sub>2</sub>
|- align=center
!Grup
|{{CDD|node_n0}}
|{{CDD|node_n1}}
|{{CDD|node_n2}}
|{{CDD|node_h2|4|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|3|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|2x|node_h2}}
|- align=center
!Urutan
|2||2||2||4||3||2
|- align=center
!Matriks
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0& 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}

===Subgrup simetri oktahedral penuh===

{| align=right
|
{{multiple image
 | align = right
 | total_width = 610
 | image1 = Subgroup of Oh; S4 blue red; cycle graph.svg
 | width1 =  1155 | height1 = 554
 | caption1 = O
 | image2 = Subgroup of Oh; S4 green orange; cycle graph.svg
 | width2 = 1155 | height2 = 554
 | caption2 = T<sub>d</sub>
 | image3 = Subgroup of Oh; A4xC2; cycle graph.svg
 | width3 = 950 | height3 = 422
 | caption3 = T<sub>h</sub>
 | footer = Grafik siklus subgrup urutan 24
}}
|-
|
[[Berkas:Full octahedral group; subgroups Hasse diagram.svg|thumb|600px|Subgrup diurutkan dalam diagram Hasse]]
|-
|
{{multiple image
 | align = right
 | total_width = 610
 | image1 = Full octahedral group; subgroups Hasse diagram; rotational.svg
 | width1 =  782 | height1 = 990
 | caption1 = Subgrup rotasi
 | image2 = Full octahedral group; subgroups Hasse diagram; reflective.svg
 | width2 = 861 | height2 = 1200
 | caption2 = Subgrup reflektif
 | image3 = Full octahedral group; subgroups Hasse diagram; inversion.svg
 | width3 =  1100 | height3 = 1300
 | caption3 = Subgrup mengandung inversi

}}
|}

{| class="wikitable sortable"
![[Notasi Schoenflies|Schoe.]]
!colspan=2|[[Notasi Coxeter|Coxeter]]
![[Notasi orbifold|Orb.]]
![[Notasi Hermann–Mauguin|H-M]]
![[Daftar grup kecil|Struktur]]
![[Diagram siklus|Siklus]]
![[Bilangan simetri|Urutan]]
![[Indeks subgrup|Indeks]]
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|O<sub>h</sub> ||[4,3]||{{CDD|node|4|node|3|node}} ||*432||m{{overline|3}}m ||[[Grup simetris|S<sub>4</sub>]]×S<sub>2</sub>||||48||1
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|T<sub>d</sub> ||[3,3]||{{CDD|node|3|node|3|node}} ||*332 ||{{overline|4}}3m ||S<sub>4</sub>||[[Berkas:Subgroup of Oh; S4 green orange; cycle graph.svg|40px]]||24 ||2
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|D<sub>4h</sub> ||[2,4]||{{CDD|node|2|node|4|node}} ||*224 ||4/mmm ||Dih<sub>1</sub>×Dih<sub>4</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC2D8.svg|25px]]||16 ||3
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|D<sub>2h</sub>  ||[2,2]||{{CDD|node|2|node|2|node}} ||*222 ||mmm |||Dih<sub>1</sub><sup>3</sup>=Dih<sub>1</sub>×Dih<sub>2</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC2x3.svg|25px]]||8 ||6
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|C<sub>4v</sub> ||[4]||{{CDD|node|4|node}} ||*44 ||4mm ||[[Grup dihedral|Dih<sub>4</sub>]]||[[Berkas:GroupDiagramMiniD8.svg|25px]]||8 ||6
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|C<sub>3v</sub> ||[3]||{{CDD|node|3|node}} ||*33 ||3m ||Dih<sub>3</sub>=S<sub>3</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniD6.svg|25px]]||6 ||8
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|C<sub>2v</sub> ||[2]||{{CDD|node|2|node}} ||*22 ||mm2 ||Dih<sub>2</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniD4.svg|25px]]||4 ||12
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|C<sub>s</sub>=C<sub>1v</sub> ||[&nbsp;]||{{CDD|node}} ||* ||{{overline|2}} or m ||Dih<sub>1</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC2.svg|25px]]||2 ||24
|-align=center BGCOLOR="#f0f0e0"
|T<sub>h</sub> ||[3<sup>+</sup>,4]||{{CDD|node_h2|3|node_h2|4|node}} ||3*2 ||m{{overline|3}} ||[[Grup selang-seling|A<sub>4</sub>]]×S<sub>2</sub>||[[Berkas:Subgroup of Oh; A4xC2; cycle graph.svg|40px]]||24 ||2
|-align=center BGCOLOR="#f0f0e0"
|C<sub>4h</sub> ||[4<sup>+</sup>,2]||{{CDD|node_h2|4|node_h2|2|node}} ||4* ||4/m ||[[Grup siklik|Z<sub>4</sub>]]×Dih<sub>1</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC2C4.svg|25px]]||8 ||6
|-align=center BGCOLOR="#f0f0e0"
|D<sub>3d</sub> ||[2<sup>+</sup>,6]||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|6|node}} ||2*3 ||{{overline|3}}m ||Dih<sub>6</sub>=Z<sub>2</sub>×Dih<sub>3</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniD12.svg|25px]]||12 ||4
|-align=center BGCOLOR="#f0f0e0"
|D<sub>2d</sub> ||[2<sup>+</sup>,4]||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|4|node}} ||2*2 ||{{overline|4}}2m ||Dih<sub>4</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniD8.svg|25px]]||8 ||6
|-align=center BGCOLOR="#f0f0e0"
| C<sub>2h</sub> = D<sub>1d</sub> ||[2<sup>+</sup>,2]||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2|node}} ||2* ||2/m ||Z<sub>2</sub>×Dih<sub>1</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniD4.svg|25px]]||4 ||12
|-align=center BGCOLOR="#e0e0e0"
|S<sub>6</sub> ||[2<sup>+</sup>,6<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|6|node_h2}} ||3× ||{{overline|3}} ||Z<sub>6</sub>=Z<sub>2</sub>×Z<sub>3</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC6.svg|25px]]||6 ||8
|-align=center BGCOLOR="#e0e0e0"
|S<sub>4</sub> ||[2<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|4|node_h2}} ||2× ||{{overline|4}} ||Z<sub>4</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC4.svg|25px]]||4 ||12
|-align=center BGCOLOR="#e0e0e0"
|S<sub>2</sub> ||[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2}} ||× ||{{overline|1}} ||S<sub>2</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC2.svg|25px]]||2 ||24
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
| O ||[4,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2}} ||432 ||432 ||S<sub>4</sub>||[[Berkas:Subgroup of Oh; S4 blue red; cycle graph.svg|40px]]||24 ||2
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|T ||[3,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}} ||332 ||23 ||A<sub>4</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniA4.svg|25px]]||12 ||4
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|D<sub>4</sub> ||[2,4]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|4|node_h2}} ||224 ||422 ||Dih<sub>4</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniD8.svg|25px]]||8 ||6
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|D<sub>3</sub> ||[2,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|3|node_h2}} ||223 ||322 ||Dih<sub>3</sub>=S<sub>3</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniD6.svg|25px]]||6 ||8
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|D<sub>2</sub> ||[2,2]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2}} ||222 ||222 ||Dih<sub>2</sub>=Z<sub>2</sub><sup>2</sup>||[[Berkas:GroupDiagramMiniD4.svg|25px]]||4 ||12
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|C<sub>4</sub> ||[4]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|4|node_h2}} ||44 ||4 ||Z<sub>4</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC4.svg|25px]]||4 ||12
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|C<sub>3</sub> ||[3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|3|node_h2}} ||33 ||3 ||Z<sub>3</sub>=A<sub>3</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC3.svg|25px]]||3 ||16
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|C<sub>2</sub> ||[2]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|node_h2}} ||22 ||2 ||Z<sub>2</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC2.svg|25px]]||2 ||24
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
| C<sub>1</sub> ||[&nbsp;]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2}} ||11 ||1 ||Z<sub>1</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC1.svg|25px]]||1 ||48
|}

{| width=480
|[[Berkas:Octahedral_symmetry_tree_conway.png|480px]]
|-
|Subgrup oktahedral dalam [[notasi Coxeter]]<ref>John Conway, ''The Symmetries of Things'', Fig 20.8, p280</ref>
|}

== Isometri kubus ==<!-- Bagian ini ditautkan dari [[Kelas konjugasi]] -->
[[Berkas:48 элементов симметрии куба.gif|thumb|right|48 elemen simetri kubus]]
Kubus memiliki 48 isometri (elemen simetri), dalam bentuk [[grup simetri]] ''O''<sub>''h''</sub>, isomorfik ke [[Grup simetris|''S''<sub>4</sub>]] × ''C''<sub>2</sub>. Ia dikategorikan sebagai berikut:
*''O'' (identitas dan 23 rotasi tepat) dengan [[kelas konjugasi]] berikut (dalam tanda kurung diberikan permutasi dari diagonal tubuh dan [[kuaternion dan ruang rotasi|representasi kuaternion unit]]):
**identitas (identitas; 1)
**rotasi sekitar sumbu dari pusat wajah ke pusat wajah yang berlawanan dengan sudut 90°: 3 sumbu, 2 per sumbu, dengan 6 ((1 2 3 4), dll; ((1&thinsp;±&thinsp;''i''{{space|hair}})/{{radic|2}}, dll)
**sama dengan sudut 180°: 3 sumbu, 1 per sumbu, bersama-sama 3 ((1 2) (3 4), dst.; ''i'', ''j'', ''k'')
**rotasi sekitar sumbu dari pusat tepi ke pusat tepi yang berlawanan dengan sudut 180°: 6 sumbu, 1 per sumbu, dengan 6 ((1 2), dll.; ((''i'' ± ''j''{{space|hair}})/{{radik|2}}, dll. )
**rotasi terhadap diagonal benda dengan sudut 120°: 4 sumbu, 2 per sumbu, dengan 8 ((1 2 3), dst.; (1 ± ''i'' ± ''j'' ± ''k' ')/2)
*Sama dengan [[inversi dalam satu titik|inversi]] ('''x''' dipetakan ke '''x''') (juga 24 isometri). Perhatikan bahwa rotasi dengan sudut 180° terhadap sumbu yang digabungkan dengan inversi hanyalah refleksi pada bidang tegak lurus. Kombinasi inversi dan rotasi terhadap diagonal benda dengan sudut 120° adalah rotasi terhadap diagonal benda dengan sudut 60°, dikombinasikan dengan refleksi pada bidang tegak lurus (rotasi itu sendiri tidak memetakan kubus ke sendiri; irisan bidang refleksi dengan kubus adalah [[segi enam]] biasa).

Sebuah isometri kubus dapat diidentifikasi dengan berbagai cara:
*oleh wajah tiga wajah yang berdekatan yang diberikan (katakanlah 1, 2, dan 3 pada dadu) dipetakan ke
*dengan gambar kubus dengan satu wajah tanda non-simetris: wajah dengan tanda, apakah itu normal atau bayangan cermin, dan orientasi
*dengan permutasi dari empat diagonal tubuh (masing-masing dari 24 permutasi dimungkinkan), dikombinasikan dengan sakelar untuk inversi kubus, atau tidak

Untuk kubus dengan warna atau tanda (seperti yang dimiliki [[dadu]]), grup simetri adalah subgrup dari ''O<sub>h</sub>''.

Contoh:
*''C''<sub>4''v''</sub>, [4], (*422): jika satu wajah memiliki warna berbeda (atau dua wajah berlawanan memiliki warna berbeda satu sama lain dan dari empat lainnya), kubus memiliki 8 isometri, seperti persegi dalam 2D.
*''D''<sub>2''h''</sub>, [2,2], (*222): jika wajah yang berlawanan memiliki warna yang sama, berbeda untuk setiap himpunan dua, kubus memiliki 8 isometri, seperti [[kuboid]].
*''D''<sub>4''h''</sub>, [4,2], (*422): jika dua wajah berlawanan memiliki warna yang sama, dan semua wajah lainnya memiliki satu warna yang berbeda, maka kubus memiliki 16 isometri, seperti persegi [[Prisma (geometri)|prisma]] (kotak persegi).
*''C''<sub>2''v''</sub>, [2], (*22):
**jika dua wajah berdekatan memiliki warna yang sama, dan semua wajah lainnya memiliki satu warna yang berbeda, maka kubus memiliki 4 isometri.
**jika tiga wajah, yang dua berhadapan satu sama lain, memiliki satu warna dan tiga lainnya satu warna lain, maka kubus memiliki 4 isometri.
**jika dua wajah berlawanan memiliki warna yang sama, dan dua wajah berlawanan lainnya juga, dan dua yang terakhir memiliki warna berbeda, maka kubus memiliki 4 isometri, seperti selembar kertas kosong dengan bentuk dengan simetri cermin.
*''C''<sub>''s''</sub>, [&nbsp;], (*):
**jika dua wajah berdekatan memiliki warna berbeda satu sama lain, dan empat lainnya memiliki warna ketiga, maka kubus memiliki 2 isometri.
**jika dua wajah berlawanan memiliki warna yang sama, dan semua wajah lainnya memiliki warna berbeda, maka kubus memiliki 2 isometri, seperti selembar kertas kosong asimetris.
*''C''<sub>3''v''</sub>, [3], (*33): jika tiga wajah, tidak berhadapan satu sama lain, yang memiliki satu warna dan tiga lainnya memiliki warna lain, maka kubus memiliki 6 isometri.

Untuk beberapa subgrup lebih besar, kubus dengan grup dikenal sebagai grup simetri yabg tidak mungkin dilakukan hanya dengan mewarnai seluruh wajah. Apabila harus menggambar beberapa pola wajah.

Contoh:
*''D''<sub>2''d''</sub>, [2<sup>+</sup>,4], (2*2): jika satu wajah memiliki segmen garis pembagi wajah menjadi dua persegi panjang yang sama, dan berlawanan memiliki arah tegak lurus, maka kubus memiliki 8 isometri; bidang simetri dan simetri putar lipatan-2 dengan sumbu dengan bentuk sudut 45° pada bidang tersebut, dan sebagai hasilnya, apabila bidang simetri lain tegak lurus dengan yang pertama, dan sumbu lain dari simetri rotasi lipatan-2 tegak lurus terhadap yang pertama.
*''T''<sub>''h''</sub>, [3<sup>+</sup>,4], (3*2): jika setiap wajah memiliki segmen garis pembagi wajah menjadi dua persegi panjang yang sama, sehingga segmen garis dari wajah yang berdekatan "tidak" bertemu di tepi, maka kubus memiliki 24 isometri: permutasi genap dari diagonal tubuh dan kombinasi yang sama dengan inversi ('''x''' dipetakan ke '''x''').
*''T''<sub>''d''</sub>, [3,3], (*332): jika kubus terdiri dari delapan kubus kecil, empat putih dan empat hitam, disatukan secara bergantian di ketiga arah standar, kubus memiliki lagi 24 isometri: kali ini permutasi genap dari diagonal tubuh dan kebalikan dari rotasi tepat ''lainnya''.
*''T'', [3,3]<sup>+</sup>, (332): jika setiap wajah memiliki pola yang sama dengan simetri putar lipatan-2, apabila ia adalah huruf S, sehingga pada semua sisi salah satu sisi S bertemu dengan sisi S lainnya, maka kubus memiliki 12 isometri: permutasi genap dari diagonal tubuh.

Simetri penuh kubus, ''O<sub>h</sub>'', [4,3], (*432), apabila [[jika dan hanya jika]] semua wajah memiliki pola yang sama sehingga simetri penuh [[persegi]], dengan untuk persegi suatu grup simetri, [[simetri dihedral|Dih<sub>4</sub>]], [4], urutan 8.

Simetri penuh kubus bawah rotasi ketepatan, ''O'', [4,3]<sup>+</sup>, (432), apabila jika dan hanya jika semua wajah memiliki pola yang sama dengan [[simetri siklik|simetri putar lipatan-4]], C<sub>4</sub>, [4]<sup>+</sup>.

==Simetri oktahedral dari permukaan Bolza==
Dalam teori [[permukaan Riemann]], [[permukaan Bolza]], biasanya disebut juga kurva Bolza, diperoleh sebagai penutup ganda bercabang dari bola Riemann, dengan lokus cabang pada himpunan simpul dari oktahedron tertulis biasa. Grup automorfisme termasuk involusi hiperelips invers antara dua lembar penutup. Hasil bagi subgrup urutan 2 dihasilkan oleh involusi hiperelips dengan grup simetri oktahedron tepat. Di antara banyak sifat luar dari permukaan Bolza adalah ia memaksimalkan [[geometri sistolik|sistolik]] di antara semua permukaan hiperbolik genus 2.

== Padatan dengan simetri kiral oktahedral ==

{| class=wikitable
|-
!Kelas
! Nama
! Gambar
! Wajah
! Tepi
! Sudut
! Nama ganda
! Gambar
|- align=center
![[Padatan Archimedean]]<br>([[padatan Catala]])
| [[kubus umpat]]|| [[Berkas:Polyhedron snub 6-8 right max.png|60px]]|| 38 || 60 || 24
|[[ikositetrahedron pentagonal]]||[[Berkas:Polyhedron snub 6-8 right dual max.png|60px]]
|}

== Padatan dengan simetri oktahedral penuh ==

{| class=wikitable
|-
!Class
!Nama
!Gambar
!Wajah
!Tepi
!Sudut
!Nama ganda
!Gambar
|- align=center
![[Padatan platonis]]
|[[Kubus]]||[[Berkas:Polyhedron 6 max.png|60px|Hexahedron (cube)]]||6||12||8
|[[Oktahedron]]||[[Berkas:Polyhedron 8 max.png|60px|Octahedron]]
|- align=center
!rowspan=5|[[Padatan Archimedean]]<br>([[padatan Catalan]] ganda)
| [[Kuboktahedron]]|| [[Berkas:Polyhedron 6-8 max.png|60px]]|| 14 || 24 || 12
| [[Dodekahedron belah ketupat]]|| [[Berkas:Polyhedron 6-8 dual max.png|60px]]
|- align=center
| [[Kubus potongan]]|| [[Berkas:Polyhedron truncated 6 max.png|60px]]|| 14 || 36|| 24
| [[Triakis oktahedron]]|| [[Berkas:Polyhedron truncated 6 dual max.png|60px]]
|- align=center
| [[Oktahedron potongan]]|| [[Berkas:Polyhedron truncated 8 max.png|60px]]|| 14 || 36 || 24
| [[Tetrakis heksahedron]]|| [[Berkas:Polyhedron truncated 8 dual max.png|60px]]
|- align=center
| [[Belah ketupat cuboktahedron]]|| [[Berkas:Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|60px]]|| 26 || 48 || 24
| [[Ikositetrahedron deltoid]]|| [[Berkas:Polyhedron small rhombi 6-8 dual max.png|60px]]
|- align=center
| [[Kuboctahedron potongan]]|| [[Berkas:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|60px]]|| 26 || 72 || 48
| [[Dodecahedron Disdiakis]]|| [[Berkas:Polyhedron great rhombi 6-8 dual max.png|60px]]
|- align=center
!rowspan=2|[[Polihedron senyawa beraturan|Polihedron<br>senyawa<br>biasa]]
|[[Stella oktangula]]||[[Berkas:Polyhedron stellated 8 max.png|60px]]||8 ||12 ||8||Ganda-diri
|- align=center
|[[Senyawa kubus dan oktahedron|Kubus dan oktahedron]]
|[[Berkas:Polyhedron pair 6-8 max.png|60px]]
|14||24||14||Ganda-diri
|}

==Lihat pula==
*[[Simetri tetrahedral]]
*[[Simetri ikosahedral]]
*[[Grup oktahedral biner]]
*[[Grup hiperoktahedral]]
*{{Wikiversity-inline|Full octahedral group}}

== Referensi ==
{{Reflist}}
* Peter R. Cromwell, ''Polyhedra'' (1997), p.&nbsp;295
* ''The Symmetries of Things'' 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, {{isbn|978-1-56881-220-5}}
* ''Kaleidoscopes: Selected Writings of [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]]'', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{isbn|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
* [[Norman Johnson (mathematician)|N.W. Johnson]]: ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ISBN|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite symmetry groups'', 11.5 Spherical Coxeter groups

==Pranala luar==
* {{mathworld | urlname = OctahedralGroup | title = Grup oktahedral }}
* Grupprop: [http://groupprops.subwiki.org/wiki/Direct_product_of_S4_and_Z2 Produk langsung S4 dan Z2]

{{DEFAULTSORT:Octahedral Symmetry}}
[[Kategori:Grup hingga]]
[[Kategori:Simetri rotasi]]