Lihat sumber Simetri ikosahedral

{{Multiple issues|
{{Lead rewrite|date=Juli 2021}}
{{More footnotes|date=Juli 2021}}
}}
{{Titik navigator grup 3D}}
[[Berkas:Icosahedral reflection domains.png|thumb|Domain dasar simetri ikosahedral]]
[[Berkas:Soccer ball.svg|thumb|right|Sebuah [[Bola (sepak bola)|sepak bola]], contoh umum dari [[Polihedron bulat|bola]] [[ikosahedron potongan]], memiliki simetri ikosahedral penuh.]] 
Sebuah [[ikosahedron reguler]] memiliki 60 simetri rotasi (atau pelestari orientasi), dan [[urutan simetri]] sebanyak 120 termasuk transformasi yang menggabungkan refleksi dan rotasi. Sebuah [[dodecahedron beraturan]] memiliki himpunan simetri yang sama, karena merupakan [[polihedron ganda|ganda]] dari ikosahedron.

Grup simetri penuh (termasuk refleksi) dikenal juga sebagai [[grup Coxeter]] H<sub>3</sub>, dan diwakili oleh [[notasi Coxeter]] [5,3] dan [[diagram Coxeter]] {{CDD|node|5|node|3|node}}.
Himpunan simetri orientasi-kekal dalam bentuk subgrup isomorfik pada grup A<sub>5</sub> ([[grup selang-seling]] pada 5 huruf).

== Sebagai titik grup ==

Terlepas dari dua deret tak hingga dari simetri prismatik dan antiprismatik, '''simetri ikosahedral rotasi''' atau '''simetri ikosahedral kiral''' dari objek kiral dan '''simetri ikosahedral penuh''' atau '''simetri ikosahedral akiral''' adalah [[Grup titik dalam tiga dimensi|simetri titik diskret]] (atau ekuivalen, [[Daftar grup simetri bola|simetri pada bola]]) dengan [[grup simetri]] terbesar.

Simetri ikosahedral tidak kompatibel dengan [[simetri translasi]], jadi tidak ada [[Sistem kristal#Ikhtisar grup titik menurut sistem kristal|grup titik kristalografi]] atau [[grup ruang]] terkait.

{| class=wikitable
![[Arthur Moritz Schönflies|Schö.]]
!colspan=2|[[Notasi Coxeter|Coxeter]]
![[Notasi orbifold|Orb.]]
!Struktur<BR/>abstrak
![[Urutan simetri|Orde]]
|- align=center
|''I''||[5,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|5|node_h2|3|node_h2}}||532||[[Grup selang-seling|A<sub>5</sub>]]||60
|- align=center
|''I<SUB>h</SUB>''||[5,3]||{{CDD|node|5|node|3|node}}||*532||A<sub>5</sub>×2||120
|}

[[Presentasi grup|Presentasi]] yang sesuai dengan di atas adalah:

:<math>I:  \langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^5 \rangle\ </math>
:<math>I_h:  \langle s,t\mid s^3(st)^{-2}, t^5(st)^{-2}\rangle.\ </math>
Ini sesuai dengan grup ikosahedral (rotasi dan penuh) sebagai (2,3,5) [[grup segitiga]].

Presentasi pertama diberikan oleh [[William Rowan Hamilton]] pada tahun 1856, dalam makalahnya tentang [[kalkulus ikosian]].<ref>{{citation
|title=Memorandum respecting a new System of Roots of Unity
|author=Sir William Rowan Hamilton
|author-link=William Rowan Hamilton
|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Icosian/NewSys.pdf
|journal=[[Philosophical Magazine]]
|volume=12
|year=1856
|pages=446
}}</ref>

Perhatikan bahwa presentasi lain dimungkinkan, misalnya sebagai [[grup selang-seling]] (untuk ''I'').

=== Visualisasi ===
{| class=wikitable
|- valign=top
!rowspan=2|[[Notasi Schoenflies|Schoe.]]<BR/>([[Notasi orbifold|Orb.]])
!rowspan=2|[[Notasi Coxeter|Notasi<BR/>Coxeter]]
!rowspan=2|Elemen
!colspan=4|Diagram cermin
|-
!Ortogonal
!colspan=3|[[Proyeksi stereografis]]
|- align=center
!I<sub>h</sub><BR/>(*532)
|| {{CDD|node|5|node|3|node}}<BR/>{{CDD|node_c1|5|node_c1|3|node_c1}}<BR/>[5,3] ||Garis<BR/>cermin:<BR/>15 {{CDD|node_c1}}
||[[Berkas:Spherical disdyakis triacontahedron.png|120px]]
||[[Berkas:Disdyakis triacontahedron stereographic d5.svg|150px]]
||[[Berkas:Disdyakis triacontahedron stereographic d3.svg|150px]]
||[[Berkas:Disdyakis triacontahedron stereographic d2.svg|150px]]
|- align=center
!I<BR/>(532)
|| {{CDD|node_h2|5|node_h2|3|node_h2}}<BR/>[[Berkas:Coxeter_diagram_chiral_icosahedral_group.png]]<BR/>[5,3]<sup>+</sup>||Titik<BR/>girasi:<BR/>12<sub>5</sub>[[Berkas:Patka piechota.png|12px]]<BR/>20<sub>3</sub>[[Berkas:Nazi concentration camp Wehrmacht red triangle badge.svg|12px]]<BR/>30<sub>2</sub>[[Berkas:Rhomb.svg|12px]]
||[[Berkas:Sphere symmetry group i.png|120px]]
|valign=bottom|[[Berkas:Disdyakis_triacontahedron_stereographic_d5_gyrations.png|150px]]<BR/>[[Berkas:Patka piechota.png|12px]]
|valign=bottom|[[Berkas:Disdyakis_triacontahedron_stereographic_d3_gyrations.png|150px]]<BR/>[[Berkas:Nazi concentration camp Wehrmacht red triangle badge.svg|12px]]
|valign=bottom|[[Berkas:Disdyakis_triacontahedron_stereographic_d2_gyrations.png|150px]]<BR/>[[Berkas:Rhomb.svg|12px]]
|}

== Struktur grup ==
{| class=wikitable width=320 align=right
|[[Berkas:Spherical compound of five octahedra.png|160px]]
|[[Berkas:Disdyakis triacontahedron stereographic d2 5-color.png|200px]]
|-
|colspan=2|Tepi sebuah bola [[gabungan lima oktahedra]] mewakili 15 bidang cermin sebagai lingkaran besar berwarna. Setiap oktahedron/segi delapan mewakili 3 bidang cermin ortogonal pada tepinya.
|-
|[[Berkas:Spherical_compound_of_five_octahedra-pyritohedral_symmetry.png|160px]]
|[[Berkas:Disdyakis_triacontahedron_stereographic_d2_pyritohedral.png|200px]]
|-
|colspan=2|[[Simetri piritohedron]] adalah subgrup indeks 5 simetri ikosahedral, dengan 3 garis refleksi hijau ortogonal dan 8 titik girasi urutan-3 merah. Ada 5 orientasi yang berbeda dari simetri piritohedron.
|}
'''{{visible anchor|Grup rotasi ikosahedral}}''' '''''I''''' adalah urutan 60. Grup ''I'' adalah [[isomorfik]] hingga ''A''<sub>5</sub>, [[grup selang-seling]] dari permutasi genap lima objek. Isomorfisme ini diwujudkan dengan "I" pada berbagai senyawa, terutama [[majemuk lima kubus]] (yang tertulis di [[dodecahedron]]), [[gabungan lima oktahedra]], atau salah satu dari dua [[gabungan lima tetrahedra|senyawa lima tetrahedra]] (yaitu [[enantiomorf]], dan tertulis di dodecahedron).

Grup berisi 5 versi ''T''<sub>h</sub> dengan 20 versi ''D<sub>3</sub>'' (10 sumbu, 2 per sumbu), dan 6 versi ''D<sub>5</sub>''.

'''{{visible anchor|Grup ikosahedral penuh}}''' '''''I<sub>h</sub>''''' memiliki urutan 120. Memiliki ''I'' sebagai [[subgrup normal]] dari [[indeks subgrup|indeks]] 2. Grup ''I<sub>h</sub>'' isomorfik dengan ''I'' × ''Z''<sub>2</sub>, atau ''A''<sub>5</sub> × ''Z''<sub>2</sub>, dengan [[inversi dalam titik|inversi di tengah]] sesuai dengan elemen (identitas,-1), dimana ''Z''<sub>2</sub> ditulis secara perkalian.

''I<sub>h</sub>'' pada [[gabungan lima kubus]] dan [[gabungan lima oktahedra]], namun 1 bertindak sebagai identitas (karena kubus dan oktahedra simetris terpusat). Ia bekerja pada [[gabungan sepuluh tetrahedra]]: ''I'' pada dua bagian kiral ([[gabungan dari lima tetrahedra]]), dan 1 menukar dua bagian.
Khususnya, "tidak" bertindak sebagai S<sub>5</sub>, dan grup ini tidak isomorfik; lihat di bawah untuk detailnya.

Grup ini berisi 10 versi ''D<sub>3d</sub>'' dan 6 versi ''D<sub>5d</sub>'' (simetri seperti antiprisma).

''I'' adalah isomorfik pada PSL<sub>2</sub>(5), namun ''I<sub>h</sub>'' tidak isomorfik terhadap SL<sub>2</sub>(5).

=== Isomorfisme ''I'' dengan A<sub>5</sub> ===
Hal ini berguna untuk menggambarkan secara eksplisit seperti apa isomorfisme antara ''I'' dan A<sub>5</sub>. Pada tabel berikut, permutasi P<sub>i</sub> dan Q<sub>i</sub> masing-masing bekerja pada 5 dan 12 elemen, sedangkan matriks rotasi M<sub>i</sub> adalah elemen dari ''I''. Jika P<sub>k</sub> adalah hasil kali dari permutasi P<sub>i</sub> dan menerapkan P<sub>j</sub> padanya, maka untuk nilai yang sama dari ''i'', ''j'' dan ''k'', juga benar bahwa Q<sub>k</sub> adalah hasil kali dari pengambilan Q<sub>i</sub> dan menerapkan Q<sub>j</sub>, dan juga mengalikan sebuah vektor dengan M<sub>k</sub> sama dengan mengalikan vektor tersebut dengan M<sub>i</sub> dan kemudian mengalikan hasilnya dengan M<sub>j</sub>, yaitu M<sub>k</sub> =  M<sub>j</sub> × M<sub>i</sub>. Karena permutasi P<sub>i</sub> adalah semua 60 permutasi genap dari 12345, [[bijeksi|korespondensi satu-ke-satu]] dibuat eksplisit, oleh karena itu isomorfismenya juga.

{|class='wikitable' align='center' style="font-family:'DejaVu Sans Mono','monospace'"
!width="25%"|Matriks rotasi
!width="25%"|Permutasi 5<br>pada 1 2 3 4 5
!width="50%"|Permutasi 12<br>pada 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|-
!<math>M_{1}=\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{1}</math> = ()
|<math>Q_{1}</math> = ()
|-
!<math>M_{2}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\\
-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\\
-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{2}</math> = (3 4 5)
|<math>Q_{2}</math> = (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10)
|-
!<math>M_{3}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\\
\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\\
\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{3}</math> = (3 5 4)
|<math>Q_{3}</math> = (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7)
|-
!<math>M_{4}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\\
\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\\
-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{4}</math> = (2 3)(4 5)
|<math>Q_{4}</math> = (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11)
|-
!<math>M_{5}=\begin{bmatrix}
\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\\
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\\
-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{5}</math> = (2 3 4)
|<math>Q_{5}</math> = (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12)
|-
!<math>M_{6}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{6}</math> = (2 3 5)
|<math>Q_{6}</math> = (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12)
|-
!<math>M_{7}=\begin{bmatrix}
\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\\
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\\
\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{7}</math> = (2 4 3)
|<math>Q_{7}</math> = (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11)
|-
!<math>M_{8}=\begin{bmatrix}
0&-1&0\\
0&0&1\\
-1&0&0\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{8}</math> = (2 4 5)
|<math>Q_{8}</math> = (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9)
|-
!<math>M_{9}=\begin{bmatrix}
-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\\
\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{9}</math> = (2 4)(3 5)
|<math>Q_{9}</math> = (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10)
|-
!<math>M_{10}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\\
-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\\
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{10}</math> = (2 5 3)
|<math>Q_{10}</math> = (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8)
|-
!<math>M_{11}=\begin{bmatrix}
0&0&-1\\
-1&0&0\\
0&1&0\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{11}</math> = (2 5 4)
|<math>Q_{11}</math> = (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11)
|-
!<math>M_{12}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\\
-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\\
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{12}</math> = (2 5)(3 4)
|<math>Q_{12}</math> = (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12)
|-
!<math>M_{13}=\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&-1&0\\
0&0&-1\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{13}</math> = (1 2)(4 5)
|<math>Q_{13}</math> = (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12)
|-
!<math>M_{14}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\\
\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{14}</math> = (1 2)(3 4)
|<math>Q_{14}</math> = (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12)
|-
!<math>M_{15}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\\
-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\\
-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{15}</math> = (1 2)(3 5)
|<math>Q_{15}</math> = (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9)
|-
!<math>M_{16}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\\
\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\\
-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{16}</math> = (1 2 3)
|<math>Q_{16}</math> = (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8)
|-
!<math>M_{17}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\\
\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\\
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{17}</math> = (1 2 3 4 5)
|<math>Q_{17}</math> = (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11)
|-
!<math>M_{18}=\begin{bmatrix}
\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\\
-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{18}</math> = (1 2 3 5 4)
|<math>Q_{18}</math> = (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9)
|-
!<math>M_{19}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\\
-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{19}</math> = (1 2 4 5 3)
|<math>Q_{19}</math> = (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11)
|-
!<math>M_{20}=\begin{bmatrix}
0&0&1\\
-1&0&0\\
0&-1&0\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{20}</math> = (1 2 4)
|<math>Q_{20}</math> = (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12)
|-
!<math>M_{21}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\\
-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{21}</math> = (1 2 4 3 5)
|<math>Q_{21}</math> = (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4)
|-
!<math>M_{22}=\begin{bmatrix}
\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\\
\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{22}</math> = (1 2 5 4 3)
|<math>Q_{22}</math> = (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9)
|-
!<math>M_{23}=\begin{bmatrix}
0&1&0\\
0&0&-1\\
-1&0&0\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{23}</math> = (1 2 5)
|<math>Q_{23}</math> = (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10)
|-
!<math>M_{24}=\begin{bmatrix}
-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\\
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\\
\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{24}</math> = (1 2 5 3 4)
|<math>Q_{24}</math> = (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12)
|-
!<math>M_{25}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\\
-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{25}</math> = (1 3 2)
|<math>Q_{25}</math> = (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10)
|-
!<math>M_{26}=\begin{bmatrix}
\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\\
\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{26}</math> = (1 3 4 5 2)
|<math>Q_{26}</math> = (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8)
|-
!<math>M_{27}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\\
-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\\
-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{27}</math> = (1 3 5 4 2)
|<math>Q_{27}</math> = (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12)
|-
!<math>M_{28}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\\
-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\\
\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{28}</math> = (1 3)(4 5)
|<math>Q_{28}</math> = (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9)
|-
!<math>M_{29}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\\
-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{29}</math> = (1 3 4)
|<math>Q_{29}</math> = (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7)
|-
!<math>M_{30}=\begin{bmatrix}
\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\\
-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\\
\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{30}</math> = (1 3 5)
|<math>Q_{30}</math> = (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11)
|-
!<math>M_{31}=\begin{bmatrix}
-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\\
-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{31}</math> = (1 3)(2 4)
|<math>Q_{31}</math> = (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10)
|-
!<math>M_{32}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\\
\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\\
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{32}</math> = (1 3 2 4 5)
|<math>Q_{32}</math> = (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9)
|-
!<math>M_{33}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\\
\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\\
-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{33}</math> = (1 3 5 2 4)
|<math>Q_{33}</math> = (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8)
|-
!<math>M_{34}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\\
\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{34}</math> = (1 3)(2 5)
|<math>Q_{34}</math> = (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12)
|-
!<math>M_{35}=\begin{bmatrix}
-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\\
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\\
-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{35}</math> = (1 3 2 5 4)
|<math>Q_{35}</math> = (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12)
|-
!<math>M_{36}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\\
\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\\
-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{36}</math> = (1 3 4 2 5)
|<math>Q_{36}</math> = (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12)
|-
!<math>M_{37}=\begin{bmatrix}
\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\\
-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{37}</math> = (1 4 5 3 2)
|<math>Q_{37}</math> = (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7)
|-
!<math>M_{38}=\begin{bmatrix}
0&-1&0\\
0&0&-1\\
1&0&0\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{38}</math> = (1 4 2)
|<math>Q_{38}</math> = (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9)
|-
!<math>M_{39}=\begin{bmatrix}
-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\\
-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\\
-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{39}</math> = (1 4 3 5 2)
|<math>Q_{39}</math> = (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8)
|-
!<math>M_{40}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\\
\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\\
-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{40}</math> = (1 4 3)
|<math>Q_{40}</math> = (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11)
|-
!<math>M_{41}=\begin{bmatrix}
0&0&1\\
1&0&0\\
0&1&0\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{41}</math> = (1 4 5)
|<math>Q_{41}</math> = (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12)
|-
!<math>M_{42}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\\
\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\\
-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{42}</math> = (1 4)(3 5)
|<math>Q_{42}</math> = (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11)
|-
!<math>M_{43}=\begin{bmatrix}
-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\\
-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\\
\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{43}</math> = (1 4 5 2 3)
|<math>Q_{43}</math> = (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10)
|-
!<math>M_{44}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\\
-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{44}</math> = (1 4)(2 3)
|<math>Q_{44}</math> = (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11)
|-
!<math>M_{45}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\\
-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{45}</math> = (1 4 2 3 5)
|<math>Q_{45}</math> = (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10)
|-
!<math>M_{46}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\\
\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{46}</math> = (1 4 2 5 3)
|<math>Q_{46}</math> = (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7)
|-
!<math>M_{47}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\\
-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\\
-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{47}</math> = (1 4 3 2 5)
|<math>Q_{47}</math> = (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6)
|-
!<math>M_{48}=\begin{bmatrix}
-1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&-1\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{48}</math> = (1 4)(2 5)
|<math>Q_{48}</math> = (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8)
|-
!<math>M_{49}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{49}</math> = (1 5 4 3 2)
|<math>Q_{49}</math> = (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12)
|-
!<math>M_{50}=\begin{bmatrix}
0&0&-1\\
1&0&0\\
0&-1&0\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{50}</math> = (1 5 2)
|<math>Q_{50}</math> = (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11)
|-
!<math>M_{51}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\\
\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{51}</math> = (1 5 3 4 2)
|<math>Q_{51}</math> = (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6)
|-
!<math>M_{52}=\begin{bmatrix}
\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\\
-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\\
-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{52}</math> = (1 5 3)
|<math>Q_{52}</math> = (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12)
|-
!<math>M_{53}=\begin{bmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
1&0&0\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{53}</math> = (1 5 4)
|<math>Q_{53}</math> = (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10)
|-
!<math>M_{54}=\begin{bmatrix}
-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\\
-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{54}</math> = (1 5)(3 4)
|<math>Q_{54}</math> = (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7)
|-
!<math>M_{55}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}\\
-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\\
-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{55}</math> = (1 5 4 2 3)
|<math>Q_{55}</math> = (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3)
|-
!<math>M_{56}=\begin{bmatrix}
-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\\
-\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\\
\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{56}</math> = (1 5)(2 3)
|<math>Q_{56}</math> = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9)
|-
!<math>M_{57}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\\
-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\\
\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{57}</math> = (1 5 2 3 4)
|<math>Q_{57}</math> = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5)
|-
!<math>M_{58}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2}&\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}\\
-\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\\
-\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{58}</math> = (1 5 2 4 3)
|<math>Q_{58}</math> = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10)
|-
!<math>M_{59}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}&\frac{\phi}{2}\\
\frac{1}{2\phi}&-\frac{\phi}{2}&-\frac{1}{2}\\
\frac{\phi}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2\phi}\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{59}</math> = (1 5 3 2 4)
|<math>Q_{59}</math> = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11)
|-
!<math>M_{60}=\begin{bmatrix}
-1&0&0\\
0&-1&0\\
0&0&1\end{bmatrix}</math>
|<math>P_{60}</math> = (1 5)(2 4)
|<math>Q_{60}</math> = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8)
|}

=== Grup biasa limbung ===
Semua grup berikut memiliki urutan 120, tetapi tidak isomorfik:
* ''S''<sub>5</sub>, [[grup simetris]] pada 5 elemen
* ''I<sub>h</sub>'', grup ikosahedral penuh (subjek artikel ini, juga dikenal sebagai ''H''<sub>3</sub>)
* 2''I'', [[grup ikosahedral biner]]
Ia sesuai dengan [[urutan tepat pendek]] berikut (yang terakhir tidak terpecah) dan produk
:<math>1\to A_5 \to S_5 \to Z_2 \to 1</math>
:<math>I_h = A_5 \times Z_2</math>
:<math>1\to Z_2 \to 2I\to A_5 \to 1</math>
In words,
* <math>A_5</math> adalah ''[[subgrup normal]]'' dari <math>S_5</math>
* <math>A_5</math> adalah ''faktor'' dari <math>I_h</math>, yang merupakan ''[[produk langsung grup|produk langsung]]''
* <math>A_5</math> adalah ''[[grup hasil bagi]]'' dari <math>2I</math>
Perhatikan bahwa <math>A_5</math> memiliki [[objek biasa|biasa]] 3 dimensi [[representasi linear|representasi]] yang tidak direduksi (sebagai grup rotasi ikosahedral), namun <math>S_5</math> tidak memiliki representasi 3 dimensi yang tidak dapat direduksi, sesuai dengan grup ikosahedral penuh tidak sebagai grup simetris.

Ini juga dikaitkan dengan grup linear atas [[Medan hingga]] dengan lima elemen, yang menunjukkan subgrup dan grup penutup secara langsung; tidak satupun dari ini adalah grup ikosahedral penuh:
* <math>A_5 \cong \operatorname{PSL}(2,5),</math> [[Grup linear proyeksi khusus]], lihat [[Grup linear proyeksi#Tindakan pada titik p|di sini]] untuk bukti;
* <math>S_5 \cong \operatorname{PGL}(2,5),</math> [[grup linear umum proyeksi]];
* <math>2I \cong \operatorname{SL}(2,5),</math> [[grup linear khusus]].

=== Kelas konjugasi ===
120 simetri terbagi dalam 10 kelas konjugasi.
{| class=wikitable
|+ [[Kelas konjugasi]]
!''I''
!Kelas penjumlahan ''I<sub>h</sub>''
|-
|
*identitas, urutan 1
*12 × rotasi sebesar ±72°, urutan 5, mengelilingi 6 sumbu melalui pusat muka dodecahedron
*12 × rotasi sebesar ±144°, urutan 5, mengelilingi 6 sumbu melalui pusat muka dodecahedron
*20 × rotasi dengan ±120°, urutan 3, sekitar 10 sumbu melalui simpul dari dodecahedron
*15 × rotasi 180°, urutan 2, sekitar 15 sumbu melalui titik tengah tepi dodecahedron
|
*inversi pusat, urutan 2
*12 × rotorefleksi sebesar ±36°, urutan 10, di sekitar 6 sumbu melalui pusat muka dodecahedron
*12 × rotorefleksi sebesar ±108°, urutan 10, di sekitar 6 sumbu melalui pusat muka dodecahedron
*20 × rotorefleksi sebesar ±60°, orde 6, di sekitar 10 sumbu melalui simpul dodecahedron
*15 × refleksi, urutan 2, pada 15 bidang melalui tepi dodecahedron
|}

=== Subgrup dari grup simetri ikosahedral penuh ===
[[Berkas:Icosahedral subgroup tree.png|320px|thumb|Relasi subgrup]]
[[Berkas:Chiral icosahedral subgroup tree.png|thumb|Relasi subgrup kiral]]

Setiap baris dalam tabel berikut mewakili satu kelas subgrup konjugat (yaitu, ekuivalen secara geometris). Kolom "Banyak." (multiplisitas) memberikan jumlah subgrup yang berbeda di kelas konjugasi. Penjelasan warna: hijau = grup yang dihasilkan oleh refleksi, merah = grup kiral (pelestarian orientasi), yang hanya berisi rotasi.

Grup tersebut digambarkan secara geometris dalam bentuk dodecahedron. Singkatan "s.p.m.t.(tepi)" berarti "setengah putaran menukar tepi ini dengan tepi berlawanan", dan juga untuk "wajah" dan "simpul".

{| class="wikitable sortable"
![[Notasi Schoenflies|Schön.]]||colspan=2|[[Notasi Coxeter|Coxeter]]||[[Notasi orbifold|Orb.]]||[[Notasi Hermann–Mauguin|H-M]]||[[Daftar grup kecil|Struktur]]||[[Diagram siklus|Siklus.]]||[[Bilangan simetri|Urutan]]|[[Indeks subgrup|Indeks]]||Mult.||Deskripsi
|- align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|I<sub>h</sub>||[5,3]||{{CDD|node|5|node|3|node}}||*532||{{overline|53}}2/m||[[Grup selang-seling|A<sub>5</sub>]]×Z<sub>2</sub>|| ||120||1||1||grup penuh
|- align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|D<SUB>2h</SUB>||[2,2]||{{CDD|node|2|node|2|node}}||*222||mmm||[[Grup dihedral|Dih<sub>2</sub>]]×Dih<sub>1</sub>=Dih<sub>1</sub><sup>3</sup>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC2x3.svg|25px]] ||8||15||5||memperbaiki dua sisi berlawanan, dengan menukarnya
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|C<SUB>5v</SUB> ||[5]||{{CDD|node|5|node}} ||*55 ||5m||Dih<sub>5</sub>||[Berkas:GroupDiagramMiniD10.svg|25px]] ||10 ||12||6||memperbaiki wajah
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|C<SUB>3v</SUB> ||[3]||{{CDD|node|3|node}} ||*33 ||3m||Dih<sub>3</sub>=S<sub>3</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniD6.svg|25px]] ||6 ||20||10||memperbaiki simpul
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|C<SUB>2v</SUB> ||[2]||{{CDD|node|2|node}} ||*22 ||2mm||Dih<sub>2</sub>=Dih<sub>1</sub><sup>2</sup>||[[Berkas:GroupDiagramMiniD4.svg|25px]] ||4 ||30||15||memperbaiki tepi
|-align=center BGCOLOR="#e0f0f0"
|C<SUB>s</SUB> ||[&nbsp;]||{{CDD|node}} ||* ||{{overline|2}} atau m||Dih<sub>1</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC2.svg|25px]] ||2 ||60||15||refleksi menukar dua titik akhir dari sebuah tepi
|- align=center BGCOLOR="#f0f0e0"
|T<sub>h</sub>||[3<sup>+</sup>,4]||{{CDD|node_h2|3|node_h2|4|node}}||3*2||m{{overline|3}}||A<sub>4</sub>×Z<sub>2</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniA4xC2.png|25px]] ||24||5||5||grup piritohedral
|-align=center BGCOLOR="#f0f0e0"
|D<SUB>5d</SUB> ||[2<sup>+</sup>,10]||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|10|node}} ||2*5 ||{{overline|10}}m2||Dih<sub>10</sub>=Z<sub>2</sub>×Dih<sub>5</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniD20.png|25px]] ||20 ||6||6||memperbaiki dua wajah berlawanan, dengan menukarnya
|-align=center BGCOLOR="#f0f0e0"
|D<SUB>3d</SUB> ||[2<sup>+</sup>,6]||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|6|node}} ||2*3 ||{{overline|3}}m||Dih<sub>6</sub>=Z<sub>2</sub>×Dih<sub>3</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniD12.svg|25px]]||12 ||10||10||memperbaiki dua simpul berlawanan, dengan menukarnya
|-align=center BGCOLOR="#f0f0e0"
| D<SUB>1d</SUB> = C<SUB>2h</SUB> ||[2<sup>+</sup>,2]||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|node}} ||2* ||2/m||Dih<sub>2</sub>=[[Grup siklik|Z<sub>2</sub>]]×Dih<sub>1</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniD4.svg|25px]]||4 ||30||15||setengah putaran di sekitar titik tengah tepi, ditambah inversi pusat
|-align=center BGCOLOR="#e0e0e0"
|S<SUB>10</SUB> ||[2<sup>+</sup>,10<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|10|node_h2}} ||5× ||{{overline|5}}||Z<sub>10</sub>=Z<sub>2</sub>×Z<sub>5</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC10.svg|25px]]||10 ||12||6||rotasi wajah, ditambah inversi pusat
|-align=center BGCOLOR="#e0e0e0"
|S<SUB>6</SUB> ||[2<sup>+</sup>,6<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|6|node_h2}} ||3× ||{{overline|3}}||Z<sub>6</sub>=Z<sub>2</sub>×Z<sub>3</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC6.svg|25px]]||6 ||20||10||rotasi tentang simpul, ditambah inversi pusat
|-align=center BGCOLOR="#e0e0e0"
|S<SUB>2</SUB> ||[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2}} ||× ||{{overline|1}}||Z<sub>2</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC2.svg|25px]]||2 ||60||1||inversi pusat
|-align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|I||[5,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|5|node_h2|3|node_h2}}||532||532||A<sub>5</sub>|| ||60||2||1||semua rotasi
|- align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|T||[3,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}||332||332||A<sub>4</sub> ||[[Berkas:GroupDiagramMiniA4.svg|25px]] ||12||10||5||rotasi dari tetrahedron terhubung
|- align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|D<SUB>5</SUB>||[2,5]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|5|node_h2}}||522||522||Dih<sub>5</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniD10.svg|25px]]||10||12||6||rotasi di sekitar pusat wajah, dan s.p.m.t.(wajah)
|- align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|D<SUB>3</SUB>||[2,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|3|node_h2}}||322||322||Dih<sub>3</sub>=S<sub>3</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniD6.svg|25px]]||6||20||10||rotasi di sekitar simpul, dan s.p.m.t.(titik)
|- align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|D<SUB>2</SUB>||[2,2]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2}}||222||222||Dih<sub>2</sub>=Z<sub>2</sub><sup>2</sup>||[[Berkas:GroupDiagramMiniD4.svg|25px]]||4||30||15||setengah berputar di sekitar titik tengah tepi, dan s.p.m.t.(tepi)
|- align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|C<SUB>5</SUB>||[5]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|5|node_h2}}||55||5||Z<sub>5</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC5.svg|25px]]||5||24||6||rotasi di sekitar pusat wajah
|- align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|C<SUB>3</SUB>||[3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|3|node_h2}}||33||3||Z<sub>3</sub>=A<sub>3</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC3.svg|25px]]||3||40||10||rotasi di sekitar simpul
|- align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|C<SUB>2</SUB>||[2]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|node_h2}}||22||2||Z<sub>2</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC2.svg|25px]]||2||60||15||setengah putaran titik tengah tepi
|- align=center BGCOLOR="#f0e0f0"
|C<SUB>1</SUB>||[&nbsp;]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2}}||11||1||Z<sub>1</sub>||[[Berkas:GroupDiagramMiniC1.svg|25px]]||1||120||1||grup trivial
|}

==== Stabilisator titik ====
Stabilisator dari pasangan simpul berlawanan diartikan sebagai stabilisator dari sumbu yang dihasilkan.
* stabilisator titik di ''I'' memberikan [[grup siklik]] ''C''<sub>3</sub>
* stabilisator titik di ''I<sub>h</sub>'' memberikan [[simetri dihedral dalam tiga dimensi|grup dihedral]] ''D''<sub>3</sub>
* stabilisator dari pasangan simpul berlawanan di ''I'' memberikan grup dihedral ''D''<sub>3</sub>
* stabilisator dari pasangan simpul berlawanan di ''I<sub>h</sub>'' memberikan <math>D_3 \times \pm 1</math>

==== Stabilisator tepi ====
Stabilisator dari sepasang tepi berlawanan diartikan sebagai stabilisator persegi panjang yang dihasilkan.
* stabilisator tepi di ''I'' memberikan grup siklik ''Z''<sub>2</sub>
* penstabil tepi di ''I<sub>h</sub>'' memberikan [[Klein empat grup]] <math>Z_2 \times Z_2</math>
* stabilisator dari sepasang sisi dalam ''I'' memberikan [[Klein empat grup]] <math>Z_2 \times Z_2</math>; 5 diantaranya, diberikan oleh rotasi 180° dalam 3 sumbu tegak lurus.
* stabilisator dari sepasang sisi dalam ''I<sub>h</sub>'' memberikan <math>Z_2 \times Z_2 \times Z_2</math>; 5 diantaranya, yang diberikan oleh refleksi dalam 3 sumbu tegak lurus.

==== Stabilisator wajah ====
Stabilisator dari pasangan wajah berlawanan diartikan sebagai stabilisator [[anti-prisma]] yang dihasilkan.
* stabilisator wajah di ''I'' memberikan grup siklik ''C''<sub>5</sub>
* stabilisator wajah di ''I<sub>h</sub>'' memberikan grup dihedral ''D''<sub>5</sub>
* stabilisator dari pasangan wajah berlawanan di ''I'' memberikan grup dihedral ''D''<sub>5</sub>
* stabilisator dari pasangan wajah yang berlawanan di ''I<sub>h</sub>'' memberikan <math>D_5 \times \pm 1</math>

==== Stabilisator polihedron ====
Untuk masing-masing, 5 salinan konjugasi, dan tindakan konjugasi memberikan peta, <math>I \stackrel{\sim}\to A_5 < S_5</math>.
* stabilisator dari tetrahedra tertulis di ''I'' adalah salinan ''T''
* stabilisator dari tetrahedra tertulis di ''I<sub>h</sub>'' adalah salinan ''T''
* stabilisator dari kubus tertulis (atau pasangan berlawanan dari tetrahedra, atau oktahedra) di ''I'' adalah salinan ''T''
* stabilisator dari kubus tertulis (atau pasangan berlawanan dari tetrahedra, atau oktahedra) di ''I<sub>h</sub>'' adalah salinan dari ''T<sub>h</sub>''

==== Generator grup Coxeter====
Grup simetri ikosahedral penuh [5,3] ({{CDD|node_n0|5|node_n1|3|node_n2}}) urutan 120 memiliki generator diwakili oleh matriks refleksi R<sub>0</sub>, R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>, dengan relasi R<sub>0</sub><sup>2</sup> = R<sub>1</sub><sup>2</sup> = R<sub>2</sub><sup>2</sup> = (R<sub>0</sub>×R<sub>1</sub>)<sup>5</sup> = (R<sub>1</sub>×R<sub>2</sub>)<sup>3</sup> = (R<sub>0</sub>×R<sub>2</sub>)<sup>2</sup> = Identitas. Grup [5,3]<sup>+</sup> ({{CDD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}}) urutan 60 dihasilkan oleh dua rotasi S<sub>0,1</sub>, S<sub>1,2</sub>, S<sub>0,2</sub>. Sebuah [[refleksi rotor]] urutan 10 dihasilkan oleh V<sub>0,1,2</sub>, produk dari ketiga refleksi. Di sini <math>\phi = \tfrac {\sqrt{5}+1} {2}</math> menunjukkan [[rasio emas]].

{| class=wikitable
|+ [5,3], {{CDD|node_n0|5|node_n1|3|node_n2}}
!
!colspan=3|Refleksi
!colspan=3|Rotasi
!Rotorefleksi
|-
!Nama
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! S<sub>0,1</sub>
! S<sub>1,2</sub>
! S<sub>0,2</sub>
! V<sub>0,1,2</sub>
|- align=center
!Grup
|{{CDD|node_n0}}
|{{CDD|node_n1}}
|{{CDD|node_n2}}
|{{CDD|node_h2|5|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|3|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|3|2|3|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|10|node_h4|3|2|3|node_h2}}
|- align=center
! Urutan
|2||2||2||5||3||2||10
|- align=center
!Matrix
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} -1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} {\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {-\phi}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\ {\frac {-\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}\\ {\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} 1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} {\frac {\phi-1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}\\ {\frac {-\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}\\ {\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} {\frac {1-\phi}{2}}&{\frac {\phi}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\ {\frac {-\phi}{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}\\ {\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi-1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} -1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&1\end{smallmatrix} \right]</math>
|<math>\left[ \begin{smallmatrix} {\frac {\phi-1}{2}}&{\frac {-\phi}{2}}&{\frac {1}{2}}\\ {\frac {-\phi}{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi}{2}}\\ {\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi-1}{2}}&{\frac {\phi}{2}}\end{smallmatrix} \right]</math>
|- align=center
!
|(1,0,0)<sub>n</sub>
|<math>( \begin{smallmatrix}\frac {\phi}{2}, \frac {1}{2}, \frac {\phi-1}{2}\end{smallmatrix} )</math><sub>n</sub>
|(0,1,0)<sub>n</sub>

|<math>(0,-1,\phi)</math><sub>sumbu</sub>
|<math>(1-\phi,0,\phi)</math><sub>sumbu</sub>
|<math>(0,0,1)</math><sub>sumbu</sub>

|
|}

== Domain fundamental ==
[[Domain fundamental]] untuk grup rotasi ikosahedral dan grup ikosahedral penuh diberikan oleh:
{| class=wikitable width=580
|- align=center valign=top
|[[Berkas:Sphere symmetry group i.png|200px]]<br/>Grup rotasi ikosahedral<br/>''I''
|[[Berkas:Sphere symmetry group ih.png|200px]]<br/>Grup ikosahedral penuh<br/>''I''<sub>h</sub>
|[[Berkas:Disdyakistriacontahedron.jpg|180px]]<br/>Wajah [[triacontahedron Disdyakis]] adalah domain fundamental 
|}

Dalam [[triacontahedron Disdyakis]] satu wajah penuh adalah domain fundamental; padatan lain dengan simetri yang sama diperoleh dengan menyesuaikan orientasi wajah, misalnya himpunan bagian wajah dipilih untuk menggabungkan setiap himpunan bagian menjadi satu wajah, atau mengganti setiap wajah dengan beberapa wajah, atau permukaan melengkung.

== Polihedra dengan simetri ikosahedral ==
{{Further|Padatan dengan simetri ikosahedral}}

===Kiral polihedra===

{| class=wikitable
!Kelas
! Simbol
! Gambar
|-align=center
![[Padatan Archimedean|Archimedean]]
! [[dodecahedron umpat|sr{5,3}]]<BR/>{{CDD|node_h|5|node_h|3|node_h}}
| [[Gambar:Snubdodecahedronccw.jpg|50px]]
|-align=center
![[Padatan Catalan|Catalan]]
![[heksecontahedron segilima|V3.3.3.3.5]]<BR/>{{CDD|node_fh|5|node_fh|3|node_fh}}
|[[Gambar:Pentagonalhexecontahedronccw.jpg|50px]]
|}

=== Simetri ikosahedral penuh ===
{| class=wikitable
!colspan=1|[[Padatan Platonis]]||colspan=2|[[polihedron Kepler–Poinsot|Polihedra Kepler–Poinsot]]
!colspan=5|[[Padatan Archimedean]]
|- align=center 
|[[Berkas:Dodecahedron.svg|50px]]<br/>[[Dodecahedron|{5,3}]]<BR/>{{CDD|node_1|5|node|3|node}}
| [[Berkas:SmallStellatedDodecahedron.svg|50px]]<BR/>[[Dodecahedron bintang kecil|{5/2,5}]]<BR/>{{CDD|node_1|5-2|node|5|node}}
| [[Berkas:GreatStellatedDodecahedron.svg|50px]]<BR/>[[Dodecahedron bintang besar|{5/2,3}]]<BR/>{{CDD|node_1|5-2|node|3|node}}
|[[Berkas:truncatedDodecahedron.svg|50px]]<br/>[[Dodecahedron potongan|t{5,3}]]<BR/>{{CDD|node_1|5|node_1|3|node}}
|[[Berkas:truncatedicosahedron.jpg|50px]]<br/>[[Ikosahedron potongan|t{3,5}]]<BR/>{{CDD|node|5|node_1|3|node_1}}
|[[Berkas:icosiDodecahedron.svg|50px]]<br/>[[Ikosidodecahedron|r{3,5}]]<BR/>{{CDD|node|5|node_1|3|node}}
|[[Berkas:rhombicosiDodecahedron.svg|50px]]<br/>[[Rombikosidodecahedron|rr{3,5}]]<BR/>{{CDD|node_1|5|node|3|node_1}}
|[[Berkas:truncatedicosiDodecahedron.svg|50px]]<br/>[[Ikosahedron potongan|tr{3,5}]]<BR/>{{CDD|node_1|5|node_1|3|node_1}}
|- align=center 
! Padatan Platonik||colspan=2|Polihedra Kepler–Poinsot
!colspan=5|[[Padatan Catalan]]
|- align=center 
|[[Berkas:Icosahedron.jpg|50px]]<br/>[[Ikosahedron|{3,5}]]<BR/>{{CDD|node_f1|5|node|3|node}} = {{CDD|node|5|node|3|node_1}}
|[[Berkas:GreatDodecahedron.svg|50px]]<BR/>[[Dodecahedron besar|{5,5/2}]]<BR/>{{CDD|node_f1|5-2|node|5|node}} = {{CDD|node|5-2|node|5|node_1}}
|[[Berkas:GreatIcosahedron.jpg|50px]]<BR/>[[Ikosahedron besar|{3,5/2}]]<BR/>{{CDD|node_f1|5-2|node|3|node}} = {{CDD|node|5-2|node|3|node_1}}
|[[Berkas:triakisicosahedron.jpg|50px]]<br/>[[triakis ikosahedron|V3.10.10]]<BR/>{{CDD|node_f1|5|node_f1|3|node}}
|[[Berkas:pentakisDodecahedron.svg|50px]]<br/>[[pentakis dodecahedron|V5.6.6]]<BR/>{{CDD|node|5|node_f1|3|node_f1}}
|[[Berkas:rhombictriacontahedron.jpg|50px]]<br/>[[triakontahedron belah ketupat|V3.5.3.5]]<BR/>{{CDD|node|5|node_f1|3|node}}
|[[Berkas:deltoidalhexecontahedron.jpg|50px]]<br/>[[deltoidal heksekontahedron|V3.4.5.4]]<BR/>{{CDD|node_f1|5|node|3|node_f1}}
|[[Berkas:disdyakistriacontahedron.jpg|50px]]<br/>[[triakontahedron Disdyakis|V4.6.10]]<BR/>{{CDD|node_f1|5|node_f1|3|node_f1}}
|}

== Objek lain dengan simetri ikosahedral ==
{{multiple image
 | align = right
 | direction = vertical
 | header = Contoh simetri ikosahedral
 | image1 = Circogoniaicosahedra ekw.jpg
 | caption1 = ''[[Circogonia icosahedra]]'', sebuah [[Radiolarian]]
 | image2 = Adenovirus 3D schematic.png
 | caption2 = Kapsid dari [[Adenoviridae|Adenovirus]]
 | image3 = Dodecaborate(12)-dianion-from-xtal-3D-bs-17.png
 | caption3 = Ion [[dodecaborate]] [B<sub>12</sub>H<sub>12</sub>]<sup>2−</sup>
}}
* [[Permukaan Barth]]
* [[Struktur virus]], dan [[Kapsid]]
* Dalam kimia, ion [[dodecaborate]] ([B<sub>12</sub>H<sub>12</sub>]<sup>2−</sup>) dan molekul [[dodecahedrane]] (C<sub>20</sub>H<sub>20</sub>)

=== Kristal cair dengan simetri ikosahedral ===

Untuk fase bahan antara yang disebut [[kristal cair]] keberadaan simetri ikosahedral diusulkan oleh [[Hagen Kleinert|H. Kleinert]] dan K. Maki<ref>
{{cite journal
| title = Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals
| author = Kleinert, H.
| author-link = Hagen Kleinert
| author2 = Maki, K.
| name-list-style = amp
| journal = Fortschritte der Physik
| volume = 29
| issue = 5
| pages = 219–259
| year = 1981
| doi = 10.1002/prop.19810290503
| url = http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/75/75.pdf}}
</ref> 
dan strukturnya pertama kali dianalisis secara rinci dalam makalah itu. Lihat artikel ulasan [http://chemgroups.northwestern.edu/seideman/Publications/The%20liquid-crystalline%20blue%20phases.pdf disini].
Dalam aluminium, struktur ikosahedral ditemukan secara eksperimental tiga tahun setelah ini oleh [[Dan Shechtman]], yang membuatnya mendapatkan Hadiah Nobel pada tahun 2011.

== Geometri terkait ==
Simetri ikosahedral setara dengan [[grup linear khusus proyeksi]] PSL(2,5), dan adalah grup simetri dari [[kurva modular]] X(5), dan lebih umum PSL(2,''p'') adalah grup simetri dari kurva modular X(''p''). Kurva modular X(5) secara geometris merupakan dodecahedron dengan titik puncak di tengah setiap wajah poligonal, yang menunjukkan grup simetri.

Geometri ini, dan grup simetri terkait, dipelajari oleh [[Felix Klein]] sebagai [[kelompok monodromi]] permukaan Belyi – permukaan Riemann dengan peta holomorfik ke bola Riemann, bercabang hanya 0, 1, dan tak hingga (sebuah [[fungsi Belyi]]) – puncaknya adalah titik-titik yang terletak atas tak hingga, sedangkan simpul dan pusat setiap tepi terletak di atas 0 dan 1; tingkat penutup (jumlah lembar) sama dengan 5.

Ini muncul dari usahanya untuk memberikan pengaturan geometris mengapa simetri ikosahedral muncul dalam solusi [[persamaan kuintik]], dengan teori yang diberikan dalam {{Harv|Klein|1888}} yang terkenal; eksposisi modern diberikan dalam {{Harv|Tóth|2002|loc=Bagian 1.6, Topik Tambahan: Teori Klein tentang Ikosahedron, [https://books.google.com/books?id=i76mmyvDHYUC&pg=PA66 p. 66]}}.

Penyelidikan Klein dilanjutkan dengan penemuan simetri urutan 7 dan urutan 11 dalam {{Harv|Klein|1878/79b}} dan {{Harv|Klein|1879}} (dan penutup terkait derajat 7 dan 11) dan [[dessins d'enfants]], yang pertama menghasilkan [[kuintik Klein]], geometri yang terkait memiliki ubin dengan 24 segi enam (dengan titik puncak di tengah).

Geometri serupa dengan PSL(2,''n'') dan grup yang umum untuk kurva modular lainnya.

Lebih eksotis lagi, relasi khusus antara grup PSL(2,5) (urutan 60), [[PSL(2,7)]] (urutan 168) dan PSL(2,11) (urutan 660), yang juga menerima interpretasi geometris – PSL(2,5) adalah simetri ikosahedron (genus 0), PSL(2,7) dari [[Klein quartic]] (genus 3), dan PSL(2,11) [[permukaan bukminsterfulerena]] (genus 70). Kelompok-kelompok ini membentuk "[[Klasifikasi ADE#Trinitas|trinitas]]" dalam arti [[Vladimir Arnold]], yang memberikan kerangka kerja untuk berbagai hubungan; lihat ''[[klasifikasi ADE#Trinitas|trinitas]]'' untuk detailnya.

Ada hubungan dekat dengan [[padatan Platonis]] lainnya.

== Lihat pula ==
*[[Simetri tetrahedral]]
*[[Simetri oktahedral]]
*[[Grup ikosahedral biner]]
*[[Kalkulus ikosian]]

== Referensi ==
{{Reflist}}
{{Refbegin}}
* {{Cite journal | ref={{Harvid|Klein|1878b}}| last=Klein | first = F. | author-link = Felix Klein| year = 1878| title = Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen|trans-title= On the order-seven transformation of elliptic functions| doi = 10.1007/BF01677143| journal = Mathematische Annalen | volume = 14 | issue = 3 | pages = 428–471| s2cid=121407539 | url=https://zenodo.org/record/1635511 }} Translated in {{Cite book | editor1-last=Levy | editor1-first=Silvio | year=1999  | title= The Eightfold Way | url=http://www.msri.org/communications/books/Book35/index.html | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-66066-2 | mr=1722410 }}
* {{Citation
| doi = 10.1007/BF02086276 
| title = Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (On the eleventh order transformation of elliptic functions)
| year = 1879 
|last=Klein | first = F. | author-link = Felix Klein
| journal = Mathematische Annalen 
| volume = 15
| issue = 3–4 
| pages = 533–555
| s2cid = 120316938
| postscript =, collected as pp. 140–165 in [http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_KLEIN__3 Oeuvres, Tome 3]
| url = https://zenodo.org/record/1642598
}}
* {{citation | first = Felix | last = Klein | title = Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree | publisher = Trübner & Co. | year = 1888 | isbn = 0-486-49528-0 | postscript = trans. George Gavin Morrice }}
* {{citation | title = Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli
| first = Gábor | last = Tóth | year = 2002 }}
* Peter R. Cromwell, ''Polyhedra'' (1997), p.&nbsp;296
* ''The Symmetries of Things'' 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, {{ISBN|978-1-56881-220-5}}
* ''Kaleidoscopes: Selected Writings of [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]]'', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{ISBN|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
* [[Norman Johnson (mathematician)|N.W. Johnson]]: ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ISBN|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite symmetry groups'', 11.5 Spherical Coxeter groups
{{Refend}}

==Pranala luar==
* {{MathWorld | urlname = IcosahedralGroup | title = Grup ikosahedral }}
* [http://schmidt.nuigalway.ie/subgroups/h3.pdf SUBGRUP W(H3)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210830211728/http://schmidt.nuigalway.ie/subgroups/h3.pdf |date=2021-08-30 }} ([http://schmidt.nuigalway.ie/subgroups/cox.html Subgrup dari grup Coxeter lainnya] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200802022826/http://schmidt.nuigalway.ie/subgroups/cox.html |date=2020-08-02 }}) Gotz Pfeiffer

[[Kategori:Grup hingga]]
[[Kategori:Simetri rotasi]]