Lihat sumber Semigrup

[[Berkas:Semigroup associative image.svg|thumb|right|upright=1.75|Sifat asosiatif dari penggabungan string.]]
[[Berkas:Magma to group4.svg|thumb|right|300px|Struktur aljabar antara [[Magma (aljabar)|magma]] dan [[Grup (matematika)|grup]]: ''Semigrup'' adalah [[magma (aljabar)|magma]] dengan [[sifat asosiatif|asosiatif]]. [[Monoid]] adalah ''semigrup'' dengan [[elemen identitas]].]]
Dalam matematika, '''semigrup''' adalah [[struktur aljabar]] yang terdiri dari [[Himpunan (matematika)|himpunan]] dengan [[asosiatif]] [[operasi biner]].

Operasi biner semigroup paling sering dilambangkan [[perkalian]]: ''x''·''y'', atau ''xy'', menunjukkan hasil operasi semigrup ke [[pasangan terurut]] {{nowrap|(''x'', ''y'')}}. Asosiatif secara formal diungkapkan {{nowrap|1=(''x''·''y'')·''z'' = ''x''·(''y''·''z'')}} untuk semua ''x'', ''y'' dan ''z'' diantara semigrup.

Semigrup sebagai kasus khusus [[magma (aljabar)|magma]], dimana operasi asosiatif, atau sebagai generalisasi [[grup (matematika)|grup]], tanpa elemen identitas atau invers.<ref group="catatan">Aksioma penutupan oleh definisi operasi biner pada himpunan. Beberapa penulis dengan demikian menghilangkannya dan menentukan tiga aksioma untuk grup dan hanya satu aksioma (asosiativitas) untuk semigrup.</ref> Dalam kasus grup atau magma, operasi semigrup non-[[komutatif]], jadi ''x''·''y'' tidak harus sama dengan ''y''·''x''; contoh yang terkenal dari operasi asosiatif tetapi non-komutatif adalah [[perkalian matriks]]. Jika operasi semigrup bersifat komutatif, maka semigrup disebut ''semigrup komutatif'' atau (lebih jarang disebut [[grup abelian|kasus analogi grup]]) ini bisa disebut ''semigrup abelian''.

[[Monoid]] adalah struktur aljabar antara grup dan semigrup, dan merupakan semigrup yang memiliki [[elemen identitas]], dengan demikian mematuhi semua kecuali satu aksioma grup; keberadaan invers tidak diperlukan dari sebuah monoid. Contoh alami adalah [[tali (ilmu komputer)|tali]] dengan [[penggabungan]] sebagai operasi biner, dan string kosong sebagai elemen identitas. Membatasi ke [[tali (ilmu komputer)|tali]] tidak kosong memberikan contoh grup semigrup yang bukan monoid. [[Bilangan bulat]] positif dengan penjumlahan membentuk semigrup komutatif yang bukan monoid, sedangkan [[bilangan bulat]] non-negatif membentuk monoid. Semigrup tanpa elemen identitas dapat dengan diubah menjadi monoid dengan menambahkan elemen identitas. Maka, monoid dipelajari dalam teori semigrup dari teori grup. Semigrup tidak sama dengan [[grup semu]], yang merupakan generalisasi grup ke arah yang berbeda; operasi dalam grup semu tidak menggunakan asosiatif tetapi grup semu [[Grup (matematika)#Pembagian|dari grup]] gagasan [[pembagian]]. Pembagian dalam semigrup (atau dalam monoid) tidak dimungkinkan secara umum.

Studi formal semigrup dimulai pada awal abad ke-20. Hasil awal termasuk [[Transformasi semigrup#Representasi Cayley|teorema Cayley untuk semigrup]] sebagai [[transformasi semigrup]], dimana fungsi arbitrer menggantikan peran bias dari teori grup. Hasil yang dalam dalam klasifikasi semigrup hingga adalah [[teori Krohn–Rhodes]], analog dengan [[dekomposisi Jordan–Hölder]] untuk [[grup hingga]]. Beberapa teknik lain untuk mempelajari semigrup, seperti [[Relasi Green]], tidak menyerupai dalam teori grup.

Teori semigrup hingga menjadi sangat penting dalam [[ilmu komputer teoretis]] sejak tahun 1950-an karena relasi alami antara semigrup hingga dan [[automata hingga]] melalui [[monoid sintaktik]]<!-- ({{harvnb|Eilenberg|1973}}, [[#CITEREFEilenberg1976|1976]])-->. Dalam [[teori probabilitas]], semigrup dikaitkan dengan [[proses Markov]].<ref>{{harv|Feller|1971}}</ref> Di bidang lain [[matematika terapan]], semigrup adalah model fundamental untuk [[sistem invarian waktu linear]]. Dalam [[persamaan diferensial parsial]], semigrup dikaitkan dengan setiap persamaan yang evolusi spasialnya tidak bergantung pada waktu.

Terdapat [[kelas khusus dari semigrup]], semigrup dengan difat tambahan, yang muncul dalam aplikasi tertentu. Beberapa dari kelas ini bahkan lebih dekat ke grup dengan beberapa sifat tambahan tetapi tidak semua dari grup. Dari jumlah tersebut menyebutkan: [[semigrup biasa]], [[semigrup ortodoks]], [[semigrup dengan involusi]], [[semigrup invers]] dan [[semigrup pembatal]]. Ada pula kelas dari semigrup yang tidak menggunakan grup kecuali [[grup trivial]]; contoh dari jenis yang terakhir adalah [[pita (matematika)|pita]] dan subkelas komutatifnya [[semikisi]], lihat pula [[:Kategori:Struktur aljabar terurut|struktur aljabar terurut]].

{{Struktur aljabar |Grup}}

== Definisi ==
Semigrup adalah [[himpunan (matematika)|himpunan]] <math> S </math> dengan [[operasi biner]] "<math>\cdot</math>" (yaitu, [[fungsi (matematika)|fungsi]] <math>\cdot:S\times S\rightarrow S</math>) yang menggunakan [[sifat asosiatif]]:

:Untuk <math>a,b,c\in S</math>, persamaan <math>(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)</math>.

Lebih singkatnya, semigrup adalah asosiatif [[magma (aljabar)|magma]].

== Contoh semigrup ==
* [[Semigrup kosong]]: [[himpunan kosong]] membentuk semigroup dengan [[fungsi kosong]] sebagai operasi biner.
* [[Semigrup dengan satu elemen]]: pada dasarnya hanya ada satu (khususnya, satu [[hingga]] [[isomorfisme]]), singleton {'' a ''} dengan operasi {{nowrap|1=''a'' · ''a'' = ''a''}}.
* [[Semigrup dengan dua elemen]]: lima yang pada dasarnya berbeda.
* Monoid "flip-flop": [[semigrup dengan tiga elemen]] mewakili tiga operasi pada sakelar setel, dan reset.
* Himpunan [[bilangan bulat]] positif dengan penjumlahan. (Dengan 0 disertakan, menjadi [[monoid]].)
* Himpunan [[bilangan bulat]] dengan minimum atau maksimum. (Dengan infinity positif/negatif disertakan, ini menjadi monoid.)
* Persegi [[matriks non-negatif]] dengan ukuran tertentu dengan perkalian matriks.
* Semua [[gelanggang ideal|ideal]] dari [[gelanggang (aljabar)|gelanggang]] dengan perkalian gelanggang.
* Himpunan hingga [[string (ilmu komputer)|string]] di atas alfabet tetap Σ dengan [[rangkaian]] pita sebagai operasi semigrup, yang disebut "[[semigrup bebas]] lebih dari Σ". Dengan string kosong disertakan, semigrup ini menjadi [[monoid bebas]] di atas Σ.
* [[distribusi probabilitas]] F dengan semua [[pangkat konvolusi]] dari F, dengan operasi konvolusi. Disebut semigrup konvolusi.
* [[Transformasi semigrup]] dan [[transformasi monoid|monoid]].
* Himpunan [[fungsi kontinu]] dari suatu [[ruang topologi]] ke [[komposisi fungsi]] membentuk sebuah monoid dengan [[fungsi identitas]] bertindak sebagai identitas. Lebih umum lagi, [[endomorfisme]] dari setiap objek dari [[Kategori (matematika)|kategori]] membentuk sebuah monoid dalam komposisi.

== Konsep dasar ==

=== Identitas dan nol ===
'''[[Identitas kiri]]''' dari semigroup <math> S </math> (atau lebih umum lagi, [[magma (aljabar)|magma]]) adalah elemen <math>e</math> sedemikian rupa sehingga untuk semua <math> x </math> pada <math>S</math>, <math>ex = x</math>. Demikian pula, '''[[identitas kanan]]''' adalah elemen <math> f </math> sedemikian rupa sehingga untuk semua <math> x </math> pada <math>S</math>, <math>xf = x</math>. Identitas kiri dan kanan sama-sama disebut '''identitas sepihak'''. Semigrup memiliki satu atau lebih identitas kiri tetapi tidak memiliki identitas kanan, dan sebaliknya.

'''Identitas dua sisi''' (atau '''identitas''') adalah elemen yang merupakan identitas kiri dan kanan. Semigrup dengan identitas dua sisi disebut '''[[monoid]]'''.  Semigrup memiliki lebih dari satu identitas dua sisi. Dari sebuah semigrup yang memiliki identitas dua sisi, maka identitas dua sisi merupakan satu-satunya identitas satu sisi pada semigrup tersebut.  Jika semigrup memiliki identitas kiri dan kanan, maka ia memiliki identitas dua sisi (yang karenanya merupakan identitas satu sisi).

Semigrup <math> S </math> tanpa identitas [[embedding|embedded]] dalam sebuah monoid yang dibentuk dengan menyatukan elemen <math>e \notin S</math> ke <math> S </math> dan mendefinisikan <math>e \cdot s = s \cdot e = s</math> untuk <math>s \in S \cup \{e\}</math>.<ref>{{harvnb|Jacobson|2009|p=30, ex. 5}}</ref><ref name="lawson98">{{harvnb|Lawson|1998|loc=[{{Google books|plainurl=y|id=_F78nQEACAAJ|page=20|text=adjoining an identity}} p. 20]}}</ref> Notasi <math> S^1 </math> menunjukkan monoid yang digunakan dari <math> S </math> dengan menggabungkan identitas ''jika perlu'' (untuk monoid <math>S^1 = S</math>).<ref name="lawson98"/>

Demikian pula, setiap magma memiliki paling banyak satu [[elemen penyerap]], yang dalam teori semigrup disebut '''nol'''. Dengan konstruksi di atas, untuk setiap semigrup <math> S </math>, kita dapat mendefinisikan <math> S^0 </math>, sebuah semigrup dengan 0 yang menyematkan <math> S </math>.

=== Subsemigrup dan ideal ===

Operasi semigrup menginduksi operasi pada [[himpunan bagian]]: diberikan himpunan bagian ''A'' dan ''B'' dari semigrup ''S'', produk {{nowrap|''A'' · ''B''}}, ditulis secara umum sebagai ''AB'', adalah himpunan {{nowrap|{ ''ab'' {{!}} ''a'' pada ''A'' dan ''b'' pada ''B'' }.}} (Gagasan ini didefinisikan secara identik sebagai [[Produk himpunan bagian grup|untuk grup]]) Dalam hal operasi ini, himpunan bagian ''A'' disebut
* '''subsemigrup''' jika ''AA'' adalah bagian dari ''A'',
* '''ideal kanan''' jika ''AS'' adalah himpunan bagian dari ''A'', dan
* '''ideal kiri''' jika ''SA'' adalah himpunan bagian dari ''A''.

Jika ''A'' adalah ideal kiri dan ideal kanan maka itu disebut '''ideal''' (atau '''ideal dua sisi''').

Jika ''S'' adalah setengah grup, maka perpotongan dari kumpulan sub-grup dari ''S'' merupakan sub-grup dari ''S''.
Jadi sub-grup dari ''S'' membentuk [[kisi lengkap]].

Contoh dari semigrup tanpa minimal ideal adalah himpunan bilangan bulat positif yang ditambahkan. Ideal minimal dari semigrup [[komutatif]].

[[Relasi Green]], himpunan lima [[relasi ekuivalen]] yang mencirikan elemen dalam istilah [[prinsip ideal]] yang mereka hasilkan, adalah alat penting untuk menganalisis ideal semigrup dan gagasan terkait tentang struktur.

Himpunan bagian dengan sifat elemen selang-seling dengan elemen lain dari semigrup disebut '''[[pusat (aljabar)|pusat]]''' dari semigrup.<ref name="KilpKilʹp2000">{{cite book |first=Mati |last=Kilp |first2=U. |last2=Knauer |first3=Aleksandr V. |last3=Mikhalev |title=Monoids, Acts, and Categories: With Applications to Wreath Products and Graphs : a Handbook for Students and Researchers |url=https://books.google.com/books?id=4gPhmmW-EGcC&pg=PA25 |year=2000 |publisher=Walter de Gruyter |isbn=978-3-11-015248-7 |page=25 |zbl=0945.20036}}</ref> The center of a semigroup is actually a subsemigroup.<ref name="Li͡apin1968">{{cite book |first=E. S. |last=Li͡apin|title=Semigroups|url=https://books.google.com/books?id=G8pWKPp4tKwC&pg=PA96|year=1968|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-8641-0|page=96}}</ref>

=== Homomorfisme dan kongruensi ===

'''Semigrup [[homomorfisme]]''' adalah fungsi yang mempertahankan struktur semigrup. Sebuah fungsi {{nowrap|''f'': ''S'' → ''T''}} antara dua grup semigrup adalah homomorfisme jika persamaan
:{{nowrap|1=''f''(''ab'') = ''f''(''a'')''f''(''b'')}}. Untuk semua elemen ''a'', ''b'' dalam ''S'', yaitu hasilnya sama saat melakukan operasi semigrup setelah atau sebelum menerapkan peta ''f''.

Homomorfisme semigrup antara monoid identitas jika itu adalah [[homomorfisme monoid]]. Tetapi ada homomorfisme semigrup yang bukan homomorfisme monoid, misal penyematan kanonik dari semigrup <math> S </math> tanpa identitas ke dalam <math>S^1</math>. Kondisi yang mencirikan homomorfisme monoid dibahas lebih lanjut. Misalkan <math> f:S_0\to S_1 </math> menjadi homomorfisme semigrup. Citra <math>f</math> merupakan semigrup. Jika <math> S_0 </math> adalah monoid dengan elemen identitas <math> e_0 </math>, maka <math> f(e_0) </math> adalah elemen identitas dalam gambar <math>f</math>. Jika <math> S_1 </math> juga merupakan monoid dengan elemen identitas <math> e_1 </math> dan <math> e_1 </math> dari citra <math> f </math>, maka <math>f(e_0)=e_1</math>, yaitu <math> f </math> adalah homomorfisme monoid. Khususnya, jika <math> f </math> adalah [[sujektif]], maka itu adalah homomorfisme monoid.

Dua semigrup ''S'' dan ''T'' dikatakan [[isomorfisme|isomorfis]] jika [[bijeksi]] {{nowrap|''f'' : ''S'' ↔ ''T''}} dengan sifat tersebut, untuk setiap elemen ''a'', ''b'' dalam ''S'', {{nowrap|1=''f''(''ab'') = ''f''(''a'')''f''(''b'')}}. Semigrup isomorfik memiliki struktur yang sama.

'''Kesesuaian semigrup''' <math>\sim</math> adalah [[relasi ekuivalen]] yang kompatibel dengan operasi semigroup. Yaitu, bagian himpunan <math>\sim\;\subseteq S\times S</math> adalah relasi ekuivalen dan <math>x\sim y\,</math> dan <math>u\sim v\,</math> menyiratkan <math>xu\sim yv\,</math> untuk setiap <math> x, y, u, v </math> dalam ''S''. Seperti relasi ekuivalen, kongruensi semigrup <math>\sim</math> dari induksi [[kelas kesetaraan|kelas kongruensi]]

:<math>[a]_\sim = \{x\in S\vert\; x\sim a\}</math>

dan operasi semigrup dari induksi operasi biner <math>\circ</math> pada kelas kongruensi:

:<math>[u]_\sim\circ [v]_\sim = [uv]_\sim</math>

== Struktur semigrup ==
Untuk setiap himpunan bagian ''A'' dari ''S'' ada himpunan bagian terkecil ''T'' dari ''S'' yang digunakan ''A'', dan ''A'' '''menghasilkan''' ''T''. Sebuah elemen ''x'' dari ''S'' menghasilkan sub-grup { ''x''<sup>''n''</sup> {{!}} ''n'' ∈ '''Z'''<sup>+</sup> }. Maka ''x'' dikatakan dari '''urutan hingga''' atau '''urutan tak hingga'''.
Semigrup dikatakan '''periodik''' jika semua elemennya berurutan.
Semigrup yang dihasilkan oleh satu elemen disebut sebagai [[semigrup monogenik|monogenik]] (atau [[Semigrup siklik|siklik]]). Jika semigrup monogenik tak hingga maka isomorfik ke semigrup positif [[bilangan bulat]] dengan operasi penjumlahan.
Jika hingga dan tidak kosong, maka  setidaknya satu [[idempoten]].
Oleh karena itu, setiap semigrup periodik tidak kosong memiliki setidaknya satu idempoten.

Sebuah subgrup yang merupakan grup disebut '''[[subgrup]]'''. Ada relasi antara subgrup dari sebuah semigrup dan idempoten. Setiap subgrup tepat satu idempoten, yaitu elemen identitas subgrup. Untuk setiap idempoten ''e'' dari semigrup dengan subgrup maksimal unik yang berisi ''e''. Setiap subgrup muncul dengan cara tersebut, jadi, jika terdapat korespondensi satu-ke-satu antara idempotensi dan subkelompok maksimal. Di sini istilah ''[[subgrup maksimal]]'' berbeda dari penggunaan standarnya dalam teori grup.

Lebih dikatakan ketika order hingga. Misalnya, setiap semigroup terbatas tidak kosong adalah periodik, dan memiliki minimal [[ideal (teori gelanggang)|ideal]] dan setidaknya satu idempoten. Jumlah semigrup hingga ukuran tertentu (lebih dari 1) (jelas) lebih besar dari jumlah grup dengan ukuran yang sama. Misalnya, dari enam belas kemungkinan "tabel perkalian" untuk satu himpunan dua elemen {{nowrap|{a, b},}} delapan bentuk semigrup<ref group="catatan">Yaitu: semigrup trivial di mana (untuk '' x '' dan '' y '') {{nowrap|1=''xy'' = a}} dan di mana {{nowrap|1=''xy'' = b}}, semigrup berdasarkan perkalian modulo 2 (memilih ''a'' atau ''b'' sebagai elemen identitas 1), grup dengan ekuivalen penjumlahan modulo 2 (memilih a atau b sebagai elemen identitas 0), dan semigroup dimana elemen-elemennya merupakan identitas kiri atau keduanya identitas kanan.</ref> sedangkan hanya empat di antaranya adalah monoid dan hanya dua grup bentuk. Untuk mengetahui lebih lanjut tentang struktur semigroup hingga, lihat pula [[Teori Krohn–Rhodes]].

== Metode semigrup dalam persamaan diferensial parsial ==
{{further|Semigrup-C0}}

Teori semigrup dapat digunakan untuk mempelajari beberapa masalah di bidang [[persamaan diferensial parsial]]. Secara khusus, pendekatan semigrup adalah menganggap persamaan diferensial parsial dependen-waktu sebagai [[persamaan diferensial biasa]] pada ruang fungsi  Misalnya, pertimbangkan masalah nilai awal / batas berikut untuk [[persamaan panas]] pada spasial [[interval (matematika)|interval]] {{nowrap|(0, 1) ⊂ '''R'''}} dan {{nowrap|''t'' ≥ 0}}:

:<math>\begin{cases} \partial_{t} u(t, x) = \partial_{x}^{2} u(t, x), & x \in (0, 1), t > 0; \\ u(t, x) = 0, & x \in \{ 0, 1 \}, t > 0; \\ u(t, x) = u_{0} (x), & x \in (0, 1), t = 0. \end{cases}</math>

Maka {{nowrap|1=''X'' = ''L''<sup>2</sup>((0, 1) '''R''')}} menjadi [[ruang Lp|ruang-''L''<sup>''p''</sup>]] dari fungsi bilangan riil diintegrasikan sebagai persegi dengan domain interval {{nowrap|(0, 1)}} dan misalkan ''A'' menjadi operator turunan kedua dengan [[domain fungsi|domain]]

:<math>D(A) = \big\{ u \in H^{2} ((0, 1); \mathbf{R}) \big| u(0) = u(1) = 0 \big\},</math>

dengan ''H''<sup>2</sup> adalah [[ruang Sobolev]]. Maka masalah nilai awal / batas di atas dapat diartikan sebagai masalah nilai awal untuk persamaan diferensial biasa pada ruang ''X'':

:<math>\begin{cases} \dot{u}(t) = A u (t); \\ u(0) = u_{0}. \end{cases}</math>

Pada tingkat heuristik, solusi untuk masalah ini "seharusnya" ada {{nowrap|1=''u''(''t'') = exp(''tA'')''u''<sub>0</sub>}}.  Namun, untuk perlakuan yang ketat, makna harus diberikan pada [[eksponensial]] dari ''tA''. Sebagai fungsi dari ''t'', exp(''tA'') adalah semigrup operator dari ''X'' ke dirinya sendiri, mengambil ''u''<sub>0</sub> pada menit {{nowrap|1=''t'' = 0}} ke bagian {{nowrap|1=''u''(''t'') = exp(''tA'')''u''<sub>0</sub>}} pada waktu ''t''. Operator ''A'' dikatakan sebagai [[Semigrup-C0#Infinitesimal generator|infinitesimal generator]] dari semigrup.

== Sejarah ==
Studi tentang semigroup mengikuti di belakang struktur aljabar lainnya dengan aksioma yang lebih kompleks seperti [[grup (matematika)|grup]] atau [[gelanggang (aljabar)|gelanggang]]. Sejumlah sumber<ref>[http://jeff560.tripod.com/s.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]</ref><ref name=Hollings>[https://www.webcitation.org/query?url=http://uk.geocities.com/cdhollings/suschkewitsch3.pdf&date=2009-10-25+04:13:15  An account of Suschkewitsch's paper by Christopher Hollings]</ref> atribut penggunaan pertama istilah (dalam bahasa Prancis) untuk J.-A. de Séguier dalam ''{{lang-fr|Élements de la Théorie des Groupes Abstraits}}'' (Elemen Teori Grup Abstrak) pada tahun 1904. Istilah ini digunakan dalam bahasa Inggris pada tahun 1908 dalam ''Theory of Groups of Finite Order'' karya Harold Hinton.

[[Anton Sushkevich]] memperoleh hasil non-sepele pertama tentang semigroup. Makalahnya tahun 1928 "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit" ("Pada grup berhingga tanpa aturan pembalikan unik") ditentukan struktur [[semigroup sederhana]] terbatas dan menunjukkan bahwa ideal minimal (atau [[Hubungan Green]] J-class) dari semigroup hingga sederhana.<ref name=Hollings/> Sejak saat itu, dasar-dasar teori semigroup selanjutnya diletakkan oleh [[David Rees (matematikawan)|David Rees]], [[James Alexander Green]], [[Evgenii Sergeevich Lyapin]], [[Alfred H. Clifford]] dan [[Gordon Preston]]. Dua yang terakhir menerbitkan monograf dua jilid tentang teori semigroup masing-masing pada tahun 1961 dan 1967. Pada tahun 1970, terbitan berkala baru yang disebut '' [[Semigroup Forum]] '' (saat ini diedit oleh [[Springer Verlag]]) menjadi salah satu dari sedikit jurnal matematika yang sepenuhnya membahas teori semigroup.

[[Teori representasi]] dari semigroup dikembangkan pada tahun 1963 oleh [[Boris Schein]] menggunakan [[relasi biner]] pada himpunan '' A '' dan [[komposisi relasi]] untuk produk semigrup.<ref>B. M. Schein (1963) "Representasi dari semigroup melalui hubungan biner "(Rusia), [[Matematicheskii Sbornik]] 60: 292–303 {{mr|id=0153760}}</ref>  Pada konferensi aljabar pada tahun 1972 Schein mensurvei literatur tentang B<sub>''A''</sub>, semigroup relasi pada '' A ''.<ref>B. M. Schein (1972) ''Miniconference on semigroup Theory'', {{mr|id=0401970}}</ref> Pada tahun 1997 Schein dan [[Ralph McKenzie]] membuktikan bahwa setiap semigroup isomorfik ke semigroup transitif dari hubungan biner.<ref>B. M. Schein & R. McKenzie (1997) "Every semigroup is isomorphic to a transitive semigroup of binary relations", [[Transactions of the American Mathematical Society]] 349(1): 271–85 {{mr|id=1370647}}</ref>

Dalam beberapa tahun terakhir, para peneliti di lapangan telah menjadi lebih terspesialisasi dengan monograf khusus yang muncul di kelas penting semigrup, seperti [[inverse semigroup]], serta monograf yang berfokus pada aplikasi di [[teori automata aljabar]], khususnya untuk automata terbatas, dan juga dalam [[analisis fungsional]].

== Generalisasi ==
{{Group-like structures}}
Jika aksioma asosiatif dari semigroup dijatuhkan, hasilnya adalah [[magma (matematika)|magma]], yang tidak lebih dari satu set '' M '' yang dilengkapi dengan [[operasi biner]] yang tertutup {{math|1=''M'' × ''M'' → ''M''}}.

Menggeneralisasi ke arah yang berbeda, '''''n''-ari semigrup''' (juga '''''n''-semigrup''', '''semigrup poliadic''' atau '''multiary semigroup''') adalah generalisasi dari semigroup ke himpunan '' G '' dengan [[ariti|'' n '' - operasi ary]] daripada operasi biner.<ref>{{Citation |last=Dudek |first=W.A. |title=On some old problems in ''n''-ary groups |url=http://www.quasigroups.eu/contents/contents8.php?m=trzeci |archive-url=https://web.archive.org/web/20090714003319/http://www.quasigroups.eu/contents/contents8.php?m=trzeci |url-status=dead |archive-date=2009-07-14 |journal=Quasigroups and Related Systems |year=2001 |volume=8 |pages=15–36 }}</ref> Hukum asosiatif digeneralisasikan sebagai berikut: asosiatif terner adalah {{math|1=(''abc'')''de'' = ''a''(''bcd'')''e'' = ''ab''(''cde'')}}, yaitu string '' abcde '' dengan tiga elemen yang berdekatan dalam tanda kurung. '' N '' - asosiatif ary adalah string panjang {{math|''n'' + (''n'' − ''1'')}} dengan setiap elemen '' n '' yang berdekatan dalam tanda kurung. Sebuah semigroup 2-ary hanyalah sebuah semigroup. Aksioma selanjutnya mengarah ke [[grup n-ari|'' n '' - grup ary]].

Generalisasi ketiga adalah [[semigroupoid]], di mana persyaratan bahwa relasi biner menjadi total diangkat. Karena kategori menggeneralisasi monoid dengan cara yang sama, semigroupoid berperilaku seperti kategori tetapi tidak memiliki identitas.

Generalisasi infiniter dari semigroup komutatif kadang-kadang telah dipertimbangkan oleh berbagai penulis.<ref>Lihat referensi di Udo Hebisch dan Hanns Joachim Weinert, ''Semirings  and  Semifields'', in particular, Section 10, ''Semirings  with  infinite sums'', in M.  Hazewinkel, Handbook of Algebra, Vol. 1, Elsevier, 1996. Notice that in this context the authors use the term ''semimodule'' in place of ''semigroup''.</ref>

== Lihat pula ==
* [[Elemen penyerap]]
* [[Himpunan Biordered]]
* [[Grup setengah kosong]]
* [[Pembalikan umum]]
* [[Elemen identitas]]
* [[Uji asosiatif Cahaya]]
* [[Semigroup dinamis kuantum]]
* [[Gelanggang semigrup]]
* [[Pembalikan lemah]]

== Catatan ==
{{reflist|group="catatan"}}

== Kutipan ==
{{reflist}}

== Referensi ==
{{refbegin}}
;Referensi umum
*{{citation|last= Howie|first= John M.|authorlink=John Mackintosh Howie|title=Fundamentals of Semigroup Theory|year=1995|publisher=[[Clarendon Press]]|isbn=978-0-19-851194-6|zbl=0835.20077}}.
* {{citation |first=A. H. |last=Clifford |first2=G. B. |last2=Preston |title=The Algebraic Theory of Semigroups |url=https://books.google.com/books?id=4vXG2rjCUmUC |year=1961 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-0271-7 |volume=1 |authorlink1= Alfred H. Clifford |authorlink2=Gordon Preston |zbl=0111.03403}}.
* {{citation |first=A. H. |last=Clifford |first2=G. B. |last2=Preston |title=The Algebraic Theory of Semigroups |url=https://books.google.com/books?id=756KAwAAQBAJ |year=1967 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-0272-4 |volume=2 |zbl=0178.01203}}.
* {{citation |first=Pierre A. |last=Grillet |title=Semigroups: An Introduction to the Structure Theory |url=https://books.google.com/books?id=yM544W1N2UUC |year=1995 |publisher=Marcel Dekker |isbn=978-0-8247-9662-4 |zbl=0830.20079 }}.
* {{citation |first=Pierre A. |last=Grillet |title=Commutative Semigroups |url=https://books.google.com/books?id=7QOOxYbCpggC |year=2001 |publisher=Springer Verlag |isbn=978-0-7923-7067-3 |zbl=1040.20048}}.
* Hollings, Christopher (2009) "The early development of the algebraic theory of semigroups", [[Archive for History of Exact Sciences]] 63(5): 497–536.
* {{citation |first=Christopher |last=Hollings|title=Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups|year=2014|publisher=American Mathematical Society|isbn=978-1-4704-1493-1|zbl=1317.20001}}.
* {{citation |first=Mario |last=Petrich|title=Introduction to Semigroups|year=1973|publisher=Charles E. Merrill|isbn=978-0-675-09062-9|zbl=0321.20037}}.

;Referensi khusus
<!-- di sini tidak cukup tentang koneksi dengan automata untuk menggunakannya sebagai referensi.
*{{citation|last=Eilenberg|first=Samuel|authorlink=Samuel Eilenberg|title=Automata, Languages, and Machines |volume=A |publisher=[[Academic Press]]|year= 1973|isbn=0-12-234001-9}}
*{{citation|last=Eilenberg|first=Samuel|authorlink=Samuel Eilenberg|title=Automata, Languages, and Machines |volume=B|publisher=Academic Press|year= 1976|isbn=0-12-234002-7}}
-->
* {{Citation | last1=Feller | first1=William | author1-link=William Feller | title=An introduction to probability theory and its applications |volume=II | publisher=Wiley |edition=2nd | mr=0270403  | year=1971}}.
*{{Citation | last1=Hille | first1=Einar | authorlink1=Einar Hille | last2=Phillips | first2=Ralph S. | authorlink2=Ralph Phillips (mathematician) | title=Functional analysis and semi-groups | publisher=[[American Mathematical Society]] | mr=0423094  | year=1974 |isbn=978-0821874646 |url=https://books.google.com/books?id=gf2VAwAAQBAJ}}.
* {{Citation | last1=Suschkewitsch | first1=Anton | authorlink=Anton Sushkevich |title=Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit | doi=10.1007/BF01459084 | mr=1512437  | year=1928 | journal=[[Mathematische Annalen]] | issn=0025-5831 | volume=99 | issue=1 | pages=30–50| hdl=10338.dmlcz/100078 | hdl-access=free }}.
* {{citation |first=Shmuel |last=Kantorovitz |title=Topics in Operator Semigroups |url=https://books.google.com/books?id=bQdLAAAAQBAJ&pg=PP5 |year=2009 |publisher=Springer |isbn=978-0-8176-4932-6 |zbl=1187.47003}}.
* {{Citation| last=Jacobson| first=Nathan| author-link=Nathan Jacobson| year=2009| title=Basic algebra| edition=2nd| volume = 1 | publisher=Dover| isbn = 978-0-486-47189-1}}
* {{citation |last1=Lawson |first1=M.V. |title=Inverse semigroups: the theory of partial symmetries |year=1998 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-02-3316-7  |zbl=1079.20505 }}
* {{citation | last=Lothaire | first=M. | authorlink=M. Lothaire | title=Algebraic combinatorics on words | origyear=2002 | series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications | volume=90| publisher=Cambridge University Press | year=2011 | isbn=978-0-521-18071-9 | zbl=1221.68183 }}
{{refend}}

[[Kategori:Teori semigrup]]
[[Kategori:Struktur aljabar]]