Lihat sumber Semigelanggang

{{Short description|gelanggang aljabar yang tidak menggunakan elemen negatif aditif}}
{{Sidebar teori gelanggang}}
Dalam [[aljabar abstrak]], '''semigelanggang''' adalah [[struktur aljabar]] dengan [[gelanggang (aljabar)|gelanggang]] tanpa persyaratan setiap elemen menggunakan [[aditif invers]].

[[Semigelanggang tropis]] adalah bidang penelitian aktif, yang menghubungkan [[Variasi aljabar|varietas aljabar]] dengan struktur [[Lipatan sesepenggal linier|linear sesepenggal]].<ref>{{Cite journal|last=Speyer|first=David|last2=Sturmfels|first2=Bernd|date=2009|title=Tropical Mathematics|url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/0025570X.2009.11953615|journal=Mathematics Magazine|language=en|volume=82|issue=3|pages=163–173|doi=10.1080/0025570X.2009.11953615|issn=0025-570X}}</ref>

{{Struktur aljabar |Ring}}

== Definisi ==
'''Semigelanggang''' adalah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] ''R'' dengan dua [[operasi biner]] + dan ⋅, disebut sebagai penjumlahan dan perkalian, maka:<ref>Berstel & Perrin (1985), [{{Google books|plainurl=y|id=GHJHqezwwpcC|page=26|text=a semiring K is a set equipped with two operations}} p. 26]</ref><ref name=LotIII211>Lothaire (2005) p.211</ref><ref name=Sak2728>Sakarovitch (2009) pp.27–28</ref>

* (''R'', +) adalah [[monoid komutatif]] dengan [[elemen identitas]] 0:
** (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'')
** 0 + ''a'' = ''a'' + 0 = ''a''
** ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''
* (''R'', &sdot;) adalah [[monoid]] dengan elemen identitas 1:
** (''a''&sdot;''b'')&sdot;''c'' = ''a''&sdot;(''b''&sdot;''c'')
** 1&sdot;''a'' = ''a''&sdot;1 = ''a''
* Perkalian kiri dan kanan [[hukum distributif|mendistribusikan]] di atas penambahan:
** ''a''&sdot;(''b'' + ''c'') = (''a''&sdot;''b'') + (''a''&sdot;''c'')
** (''a'' + ''b'')&sdot;''c'' = (''a''&sdot;''c'') + (''b''&sdot;''c'')
* Perkalian dengan 0 [[elemen pemusnah|menghilangkan]] ''R'':
** 0&sdot;''a'' = ''a''&sdot;0 = 0

Simbol ⋅ biasanya dihilangkan dari notasi; ''a''&sdot;''b'' ditulis ''ab''. Demikian pula, [[urutan operasi]] yang diterapkan sebelum + adalah {{nowrap|''a'' + ''bc''}} yaitu {{nowrap|''a'' + (''bc'').}}

Dibandingkan dengan [[gelanggang (aljabar)|gelanggang]], semigelanggang menghilangkan persyaratan untuk invers di bawah penjumlahan; artinya, ini hanya membutuhkan [[monoid komutatif]], bukan [[grup komutatif]]. Dalam sebuah gelanggang, syarat pembalikan aditif dengan keberadaan nol perkalian yang ditentukan secara eksplisit. Jika perkalian sebuah semigelanggang adalah [[komutatif]], maka disebut '''semigelanggang komutatif'''.<ref name=LotIII212>Lothaire (2005) p.212</ref>

Ada beberapa penulis yang lebih memilih untuk mengabaikan persyaratan bahwa semigelanggang memiliki 0 atau 1. Analogi antara ''[[gelanggang (aljabar)|gelanggang]]'' dan ''semigelanggang'' di satu sisi dan ''[[grup (matematika)|grup]]'' dan ''[[semigrup]]'' di sisi bekerja. Para penulis ini sering menggunakan ''rig'' untuk konsep definisi.<ref group="catatan">[http://www.proofwiki.org/wiki/Definisi: Rig Sebagai contoh lihat definisi rig di Proofwiki.org]{{Pranala mati|date=Juni 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>

== Teori ==

Seseorang dapat menggeneralisasi teori (asosiatif) [[aljabar (teori gelanggang)|aljabar]] dari [[gelanggang komutatif]] langsung ke teori aljabar melalui semigelanggang komutatif.{{citation needed|date=April 2021}}

Semigelanggang dimana setiap elemen adalah aditif [[idempotent]] (yaitu, ''a'' + ''a'' = ''a'' untuk semua elemen ''a'') disebut '''{{visible anchor|semigelanggang idempoten}}'''.<ref name=Esik08/> Semigelanggang idempoten khusus untuk teori semigelanggang karena setiap gelanggang dimana idempoten dalam penambahan adalah [[Gelanggang trivial|trivial]].<ref group=catatan>yaitu gelanggang yang terdiri dari satu elemen, karena gelanggang memiliki invers aditif, tidak dengan semigelanggang.</ref> Mendefinisikan [[urutan parsial]] ≤ pada semigelanggang idempoten dengan {{nowrap|''a'' &le; ''b''}} maka {{nowrap|1=''a'' + ''b'' = ''b''}} (atau, dengan kata lain, jika ''x'' dengan {{nowrap|1=''a'' + ''x'' = ''b''}}). Sangat mudah untuk melihat bahwa 0 adalah [[elemen terkecil]] sehubungan dengan urutan {{nowrap|0 &le; ''a''}} untuk semua ''a''. Penjumlahan dan perkalian menghormati urutan dalam arti bahwa {{nowrap|''a'' &le; ''b''}} menyiratkan {{nowrap|''ac'' &le; ''bc''}}, {{nowrap|''ca'' &le; ''cb''}} dan {{nowrap|(''a'' + ''c'') &le; (''b'' + ''c'')}}.

=== Aplikasi ===

{{nowrap|(max, +)}} dan {{nowrap|(min, +)}} [[semigelanggang tropikal]] pada riil, sering digunakan dalam [[evaluasi kinerja]] pada sistem kejadian diskrit. Bilangan sebenarnya adalah "biaya" atau "waktu kedatangan"; operasi "maks" berhubungan dengan harus menunggu semua prasyarat dari sementara operasi "min" dengan kemampuan untuk memilih yang sederhana; dan + sesuai dengan akumulasi di sepanjang jalur yang sama.

Dengan demikian, [[algoritma Floyd–Warshall]] untuk [[jalur terpendek]] dapat diformulasi ulang sebagai komputasi aljabar {{nowrap|(min, +)}}. Demikian pula, [[algoritma Viterbi]] untuk urutan keadaan yang paling mungkin sesuai dengan urutan pengamatan dalam [[Model Markov tersembunyi]] dirumuskan sebagai komputasi melalui {{nowrap|(maks, ×)}} aljabar tentang probabilitas.  Algoritma [[pemrograman dinamis]] bergantung pada [[sifat distributif]] dari semigelanggang terkait untuk menghitung jumlah secara besar-besaran untuk  eksponensial.<ref name="Pair1966">
{{citation
 | first = Claude | last = Pair
 | chapter =  Sur des algorithmes pour des problèmes de cheminement dans les graphes finis (Tentang algoritma untuk masalah jalur dalam grafik terbatas)
 | title = Théorie des graphes (journées internationales d'études) -- Teori Grafik (simposium internasional)
 | publisher = Dunod (Paris) et  Gordon and Breach (New York)
 | date = 1967
 | location = Roma (Italia), Juli 1966
 | page  = 271
 | editor = Rosentiehl
}}</ref><ref>
{{citation
 | first1 = Jean Claude | last1 = Derniame
 | first2 = Claude | last2 = Pair
 | title = Problèmes de cheminement dans les graphes (Masalah Jalur dalam Grafik)
 | publisher = Dunod (Paris)
 | year = 1971
}}</ref>

== Contoh ==

Menurut definisi, gelanggang juga merupakan semigelanggang. Contoh motivasi dari semigelanggang adalah himpunan [[bilangan asli]] '''N''' (termasuk [[0 (bilangan)|nol]]) di bawah penjumlahan dan perkalian biasa. Demikian pula, semigelanggang bentuk non-negatif [[bilangan rasional]] dan non-negatif [[bilangan real]]. Semua semigelanggang adalah sifat komutatif.<ref name=Gut08/><ref name=Sak28>Sakarovitch (2009) p.28</ref><ref name=BR4/>

=== Secara umum ===
* Himpunan untuk semua [[ideal (teori gelanggang)|ideal]] dari gelanggang tertentu membentuk semigelanggang idempoten di bawah penjumlahan dan perkalian ideal.
* Setiap [[kuantel|unital kuantel]] adalah semigelanggang idempoten dalam penggabungan dan perkalian.
* [[Kisi distributif]] adalah semigelanggang komutatif dan idempoten di bawah gabung dan temu.
* Secara khusus, [[Aljabar Boolean (struktur)|aljabar Boolean]] adalah semigelanggang. [[Gelanggang Boolean]] merupakan semigelanggang, tetapi tidak idempoten di bawah ''penjumlahan''. ''Semigelanggang Boolean'' adalah semigelanggang isomorfis ke subsemigelanggang dari aljabar Boolean.<ref name=Gut08>{{cite book | title=Surveys in Contemporary Mathematics | volume=347 | series=Seri Catatan Kuliah Masyarakat Matematika London | issn=0076-0552 | editor1-first=Nicholas | editor1-last=Young | editor2-first=Yemon | editor2-last=Choi | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2008 | isbn=0-521-70564-9 | chapter=Fungsi peringkat dan determinan untuk matriks di atas semigelanggang | first=Alexander E. | last=Guterman | pages=1–33  | zbl=1181.16042 }}</ref>
* [[Kisi condong]] normal dalam gelanggang ''R'' adalah semigelanggang idempoten untuk operasi perkalian dan nabla, dimana operasi terakhir didefinisikan oleh <math>a\nabla b=a+b+ba-aba-bab</math>.
* Semua [[c-semigelanggang]] merupakan semigelanggang dengan penambahan idempoten dan ditentukan melalui himpunan arbitrer.
* Kelas isomorfisme objek dalam operasi [[kategori distributif]], di bawah operasi [[produk bersama]] dan [[Produk (teori kategori)|produk]], semigelanggang yang dikenal sebagai gelang Burnside.<ref>Schanuel S.H. (1991) Himpunan negatif yang menggunakan karakteristik dan dimensi Euler. Dalam: Carboni A., Pedicchio M.C., Rosolini G. (eds) Teori Kategori. Catatan Kuliah Matematika, vol 1488. Springer, Berlin, Heidelberg</ref> Gelang Burnside adalah gelanggang [[jika dan hanya jika]] kategorinya adalah [[Kategori kategori kecil|trivial]].

==== Himpunan semigelanggang ====

'''Semigelanggang''' ('''himpunan''')<ref>Noel Vaillant, [http://www.probability.net/WEBcaratheodory.pdf Ekstensi Caratheodory], di probability.net.</ref> adalah himpunan S tidak kosong dari himpunan yang sedemikian rupa
# <math>\emptyset \in S</math>
# Jika <math>E \in S</math> dan <math>F \in S</math> maka <math>E \cap F \in S</math>.
# Jika <math>E \in S</math> dan <math>F \in S</math> maka sejumlah batas [[himpunan disjoin]] <math>C_i \in S</math> untuk <math>i=1,\ldots,n</math> sehingga <math>E \setminus F = \bigcup_{i=1}^n C_i</math>.

Semigelanggang digunakan dalam [[teori ukuran]]. Contoh semigelanggang dari himpunan adalah himpunan dari setengah terbuka, setengah tertutup riil [[interval (matematika)|interval]] <math>[a,b) \subset \mathbb{R}</math>.

=== Contoh spesifik ===
{{unordered list
| [[notasi posisi#Akhir pecahan|''Akhir pecahan'']] (non-negatif) <math>\frac{\N_0}{b^{\N_0}} := \left\{mb^{-n} \mid m, n \in \N_0 \right\}</math> dalam [[notasi posisi|sistem bilangan posisi]] ke basis tertentu <math>b\in \N</math>. Maka <math>\frac{\N_0}{b^{\N_0}} \subseteq \frac{\N_0}{c^{\N_0}}</math>{{zwj}} jika <math>b</math> bagi <math>c</math>. Selanjutnya, <math>\frac{\Z_0}{b^{\Z_0}} := \frac{\N_0}{b^{\N_0}} \cup \left(-\frac{\N_0}{b^{\N_0}}\right) </math> adalah gelanggang dari semua pecahan ke basis <math>b</math>, dan [[himpunan padat|padat]] dalam <math>\Q</math> untuk <math>|b| > 1</math>.
| [[Bilangan alami ekstensi]] {{nowrap|'''N''' ∪ {∞}{{null}}}} dengan penjumlahan dan perkalian ekstensi (dan {{nowrap|1=0⋅∞ = 0}}).<ref name=Sak28/>
| Diberikan semigelanggang ''S'', maka [[matriks semigelanggang]] <math>M_n(S)</math> dari persegi-''n'' dengan -''n'' [[matriks (matematika)|matriks]] membentuk semiring di bawah matriks biasa [[Penjumlahan matriks|penjumlahan]] dan [[perkalian matriks|perkalian]], dan semigelanggang matriks ini umumnya non-komutatif meskipun ''S'' komutatif. Misalnya, matriks dengan entri non-negatif, <math>M_n(\N)</math> bentuk matriks semigelanggang.<ref name=Gut08/>
| Jika ''A'' adalah monoid komutatif, himpunan End(''A'') dari [[endomorfisme]] {{nowrap|''f'' : ''A'' → ''A''}} bentuk sebuah semigelanggang, dimana penjumlahan adalah penjumlahan dan perkalian secara runcing [[komposisi fungsi]]. [[Morfisme nol]] dan identitas adalah elemen netral. Semigelanggang komposisi tidak terdistribusi pada penambahan searah yang tersisa: {{nowrap|''a''{{Thin space}}·{{Thin space}}(''b''+''c'') ≠ (''a''·''b'') + (''a''·''c'')}}. Jika ''A'' adalah monoid aditif dari bilangan asli kita memperoleh semigelanggang dari bilangan asli sebagai End(''A''), dan jika {{nowrap|1=''A'' = ''S''<sup>''n''</sup>}} dengan ''S'' semigelanggang (setiap morfisme ke matriks) semigelanggang matriks persegi ''n''-oleh-''n'' dengan koefisien dalam ''S''.
| '''{{visible anchor|Semigelanggang Boolean}}''' adalah semigelanggang komutatif '''B''' dari bentuk oleh [[aljabar Boolean dua elemen]] dan ditentukan oleh {{nowrap|1=1 + 1 = 1}}.<ref name=LotIII211/><ref name=Sak28/><ref name=BR4>Berstel & Reutenauer (2011) p.&nbsp;4</ref> Idempoten<ref name=Esik08/> dan merupakan contoh paling sederhana dari semigelanggang yang bukan gelanggang. Diberikan dua himpunan ''X'' dan ''Y'', [[relasi biner]] antara ''X'' dan ''Y'' dengan matriks indeks oleh ''X'' dan ''Y'' dengan entri dalam semigelanggang Boolean, [[penjumlahan matriks]] terkait dengan penyatuan relasi, dan [[perkalian matriks]] terkait dengan [[komposisi relasi]].<ref>{{cite newsgroup |title=quantum mechanics over a commutative rig |author=John C. Baez |author-link=John C. Baez |date=6 Nov 2001 |newsgroup=sci.physics.research |message-id=9s87n0$iv5@gap.cco.caltech.edu |url=https://groups.google.com/d/msg/sci.physics.research/VJNPMCfreao/TMKt9tFYNwEJ |access-date=November 25, 2018}}</ref>
| {{anchor|relasi biner}}Diketahui himpunan ''U'', himpunan [[relasi biner]] di atas ''U'' adalah semigelanggang dengan penambahan union (dari relasi sebagai himpunan) dan perkalian [[komposisi relasi]]. Nol semigelanggang adalah [[relasi kosong]] dan unitnya adalah [[relasi identitas]].<ref name="droste"/> Relasi ini sesuai dengan [[semiring matriks]] (memang, semialjabar matriks) dari [[matriks persegi]] indeks ''U'' dengan entri dalam semigelanggang Boolean, dan kemudian penjumlahan dan perkalian adalah operasi matriks biasa, sedangkan nol dan unit adalah [[matriks nol]] dan [[matriks identitas]] biasa.
| Himpunan [[polinomial]] dengan koefisien bilangan asli, dilambangkan '''N'''[''x''], membentuk semiring komutatif. Sebenarnya, ini adalah semigelanggang komutatif [[objek bebas|bebas]] pada generator tunggal {''x''}.
| [[Semigelanggang tropis]] ditentukan dengan berbagai cara. ''Maks-plus'' semigelanggang '''R''' &cup; {−∞} adalah komutatif, semiring idempoten dengan {{nowrap|max(''a'', ''b'')}} sebagai penjumlahan semigelanggang (identitas −∞) dan penjumlahan biasa (identitas 0) berfungsi sebagai perkalian semigelanggang. Dalam rumus alternatif, semigelanggang tropis adalah {{nowrap|'''R''' &cup; {∞},}} dan min menggantikan max sebagai operasi penjumlahan.<ref>{{cite journal |last=Speyer |first=David |last2=Sturmfels |first2=Bernd | author2-link=Bernd Sturmfels | arxiv=math/0408099 |title=Tropical Mathematics | orig-year=2004 | year= 2009 | zbl=1227.14051 | journal=Math. Mag. | volume=82 | number=3 | pages=163–173 | doi=10.4169/193009809x468760}}</ref> Versi terkait menggunakan {{nowrap|'''R''' &cup; {±&infin;}{{null}}}} sebagai himpunan dasar.<ref name=LotIII211/><ref name=Kuich11>{{cite book | last=Kuich | first=Werner | chapter=Algebraic systems and pushdown automata | zbl=1251.68135 | editor1-last=Kuich | editor1-first=Werner | title=Algebraic foundations in computer science. Essays dedicated to Symeon Bozapalidis on the occasion of his retirement | location=Berlin | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=978-3-642-24896-2 | series=Lecture Notes in Computer Science | volume=7020 | pages=228–256 | year=2011 }}</ref>
| Himpunan [[bilangan pokok]] lebih kecil dari [[tak hingga]] mana pun dari bentuk kardinal apa pun yang diberikan dalam penjumlahan dan perkalian kardinal. Kelas ''semua kardinal'' dari [[model dalam]] membentuk semiring (kelas) di bawah penjumlahan dan perkalian kardinal (model dalam).
| '''{{visible anchor|Probabilitas semigelanggang}}''' dari bilangan riil non-negatif dengan penjumlahan dan perkalian biasa.<ref name=LotIII211/>
| '''[[Log semigelanggang]]''' di atas '''R''' &cup; {±∞} dengan tambahan yang diberikan oleh
: <math> x \oplus y = - \log(e^{-x}+e^{-y}) \ , </math>
dengan perkalian +, elemen nol + ∞, dan elemen satuan 0.<ref name=LotIII211/>
| Keluarga (kelas kesetaraan isomorfisme) [[kelas kombinatorial]] (himpunan banyak objek dengan ukuran bilangan bulat non-negatif maka banyak objek tak hingga dari setiap ukuran) dengan kelas kosong sebagai objek nol, kelas yang hanya terdiri dari himpunan kosong sebagai unit, [[disjoint union]] kelas sebagai penjumlahan, dan [[produk Kartesius]] kelas sebagai perkalian.<ref>{{citation|title=Algebraic Cryptanalysis|first=Gregory V.|last=Bard|publisher=Springer|year=2009|isbn=9780387887579|at=Section 4.2.1, "Combinatorial Classes", ff., pp. 30–34|url=https://books.google.com/books?id=kjbp0mgu3IAC&pg=PA30}}.</ref>
| Semigelanggang [[Jan Łukasiewicz|Łukasiewicz]]: interval tertutup {{nowrap|[0, 1]}} dengan tambahan yang diberikan dengan maksimal argumen ({{nowrap|1=''a'' + ''b'' = maks(''a'',''b'')}}) dan perkalian ''ab'' diberikan oleh {{nowrap|max(0, ''a'' + ''b'' − 1)}} dalam [[logika multi-nilai]].<ref name="droste"/>
| Semigelanggang [[Andrew Viterbi|Viterbi]] ditentukan melalui himpunan dasar {{nowrap|[0, 1]}} dan maksimum sebagai penjumlahan, maka perkaliannya adalah perkalian biasa dari bilangan real. Ini sebagai [[penguraian probabilistik]].<ref name="droste"/>
| {{anchor|bahasa formal}}Diberikan alfabet (himpunan hingga) Σ, himpunan [[bahasa formal]] di atas Σ (himpunan bagian dari [[Bintang Kleene|Σ<sup>&lowast;</sup>]]) adalah semiring dengan produk induksi oleh [[pita penggabungan]] <math>L_1 \cdot L_2 = \left\{w_1 w_2 \mid w_1 \in L_1, w_2 \in L_2\right\}</math> dan penambahan sebagai penyatuan bahasa (yaitu, penyatuan sebagai kumpulan). Nol dari semigelanggang adalah himpunan kosong (bahasa kosong) dan unit semiring adalah bahasa yang hanya berisi [[pita kosong]].<ref name="droste"/>
| Menggeneralisasi contoh sebelumnya (dengan melihat Σ<sup>&lowast;</sup> sebagai [[monoid bebas]] di atas Σ), ambil ''M'' menjadi monoid; himpunan daya '''P'''(''M'') dari semua himpunan bagian ''M'' bentuk semigelanggang di bawah satuan teori himpunan sebagai penjumlahan dan perkalian himpunan: <math>U \cdot V = \{ u \cdot v : u \in U,\ v \in V \}</math>.<ref name=BR4/>
| Begitu pula jika <math>(M, e, \cdot)</math> adalah monoid, maka himpunan [[multihimpunan]] hingga dalam <math>M</math> bentuk sebuah semigelanggang. Artinya, elemen adalah fungsi <math>f : M \to \mathbb{N}</math>; diberikan elemen <math>M</math>, fungsi tersebut memberi tahu berapa kali elemen muncul dalam multihimpunan yang diwakilinya. Satuan aditif adalah fungsi nol konstan. Unit perkalian adalah fungsi memetakan <math>e</math> ke 1, dan semua elemen lain dari <math>M</math> ke 0. Jumlah diberikan oleh <math>(f + g)(x) = f(x) + g(x)</math> dan produk diberikan oleh <math>(fg)(x) = \sum\{ f(y)g(z) \mid y \cdot z = x \}</math>.
}}

== Variasi ==
=== Semigelanggang kompleks dan kontinu ===
'''Semigelanggang kompleks''' adalah semigelanggang yang aditif monoidnya adalah [[monoid kompleks]], artinya memiliki operasi jumlah [[Finiter|infiniter]] Σ<sub>''I''</sub> untuk setiap [[himpunan indeks]] ''I'' dan hukum distributif (tak hingga) berikut:<ref name="droste"/><ref name=Kuich11/><ref>{{cite book | last=Kuich | first=Werner | chapter=Semigelanggang kontinu ω, sistem aljabar, dan automata pushdown | pages=[https://archive.org/details/automatalanguage0000ical/page/103 103–110] | title=Automata, Bahasa dan Pemrograman: Kolokium Internasional ke-17, Universitas Warwick, Inggris, 16-20 Juli 1990, Prosiding | volume=443 | series=Catatan Kuliah Ilmu Komputer | editor1-first=Michael S. | editor1-last=Paterson | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1990 | isbn=3-540-52826-1 | url=https://archive.org/details/automatalanguage0000ical/page/103 }}</ref>

: <math>\sum_{i \in I}{\left(a \cdot a_i\right)} = a \cdot \left(\sum_{i \in I}{a_i}\right), \qquad \sum_{i \in I}{\left(a_i \cdot a\right)} = \left(\sum_{i \in I}{a_i}\right) \cdot a.</math>

Contoh semigelanggang kompleks adalah himpunan pangkat dari monoid di bawah gabungan dan semigelanggang matriks di atas semigelanggang kompleks.<ref name=Sak471/>

'''Semigelanggang kontinu''' didefinisikan sebagai penambahan monoid adalah [[monoid kontinu]]. Yaitu, diurutkan sebagian dengan [[Sifat batas atas terkecil#Generalisasi ke himpunan terurut|sifat batas atas terkecil]], dan penjumlahan dan perkalian sebagai ketertiban dan suprema. Semigelanggang {{nowrap|'''N''' ∪ {∞}{{null}}}} dengan penjumlahan biasa, perkalian dan urutan diperpanjang adalah semigelanggang kontinu.<ref>{{cite book | last1=Ésik | first1=Zoltán | last2=Leiß | first2=Hans | chapter=Bentuk normal Greibach di semigelanggang lengkap secara aljabar | zbl=1020.68056 | editor1-last=Bradfield | editor1-first=Julian | title=Logika ilmu komputer. Lokakarya internasional ke-16, CSL 2002, konferensi tahunan ke-11 EACSL, Edinburgh, Skotlandia, 22-25 September 2002. Prosiding | location=Berlin | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=Catatan Kuliah Ilmu Komputer | volume=2471 | pages=135–150 | year=2002 }}</ref>

Semua semigelanggang berkelanjutan selesai:<ref name=Kuich11/> sebagai bagian dari definisi.<ref name=Sak471>Sakaraovich (2009) p.471</ref>

=== Semigelanggang bintang ===

'''Semigelanggang bintang''' (terkadang dieja '''Semigelangbintang''') adalah semigelanggang dengan [[operasi uner]] tambahan {{sup|&lowast;}},<ref name=Esik08/><ref name="droste">Droste, M., & Kuich, W. (2009). Semirings dan Formal Power Series. ''Handbook of Weighted Automata'', 3–28. {{doi|10.1007/978-3-642-01492-5_1}}, pp. 7-10</ref><ref name=Lehmann>Lehmann, Daniel J. "Struktur aljabar untuk penutupan transitif." ''Ilmu Komputer Teoretis'' 4, no. 1 (1977): 59-76.</ref><ref name=BR27>Berstel & Reutenauer (2011) hal.27</ref> maka

:<math>a^* = 1 + aa^* = 1 + a^*a.</math>

'''[[Aljabar Kleene]]''' merupakan bintang semigelanggang dengan penambahan idempoten untuk teori [[bahasa formal]] dan [[ekspresi reguler]].<ref name="droste"/>

==== Semigelanggang bintang kompleks ====

Dalam '''semigelanggang bintang kompleks''', operasi bintang sebagai contoh [[bintang Kleene]]: untuk semigelanggang kompleks menggunakan operasi jumlah tak hingga untuk definisi bintang Kleene biasa:<ref name="droste"/>

:<math>a^* = \sum_{j \geq 0}{a^j},</math>
dimana <math>a^j = \begin{cases}
  1,                                 & j = 0,\\
  a \cdot a^{j-1} = a^{j-1} \cdot a, & j > 0.
\end{cases}</math>

==== Semigelanggang Conway ====

'''Semigelanggang Conway''' adalah bintang semigelanggang yang menggunakan persamaan bintang-penjumlahan dan bintang-produk:<ref name=Esik08/><ref>
{{cite book
 | last1=Ésik | first1=Zoltán
 | last2=Kuich | first2=Werner
 | chapter=Aksioma persamaan untuk teori automata
 | editor1-last=Martín-Vide | editor1-first=Carlos
 | title=Formal languages and applications
 | location=Berlin
 | publisher=[[Springer-Verlag]]
 | series=Studi di Fuzziness dan Soft Computing
 | volume=148 | pages=183–196
 | year=2004 | isbn=3-540-20907-7
 | zbl=1088.68117
}}</ref>
: <math>\begin{align}
  (a + b)^* &= \left(a^* b\right)^* a^*, \\
     (ab)^* &= 1 + a(ba)^* b.
\end{align}</math>

Setiap bintang semigelanggang kompleks sama dengan semigelanggang Conway,<ref name="droste15">Droste, M., & Kuich, W. (2009). Semirings dan Formal Power Series. ''Buku Pegangan Automata Tertimbang'', 3–28. {{doi|10.1007/978-3-642-01492-5_1}}, Teorema 3.4 hal. 15</ref> tapi kebalikannya tidak berlaku. Contoh semigelanggang Conway non-kompleks adalah himpunan [[bilangan rasional]] non-negatif {{nowrap|'''Q'''<sub>≥0</sub> ∪ {∞}{{null}}}} dengan penjumlahan dan perkalian biasa (ini adalah modifikasi dari contoh dengan riil non-negatif diberikan dalam bagian ini dengan menghilangkan [[bilangan irasional]]).<ref name="droste"/>

'''Semigelanggang iterasi''' adalah semigelanggang Conway menggunakan aksioma grup Conway,<ref name=Esik08>{{cite book | last=Ésik | first=Zoltán | chapter=Semigelanggang iterasi | zbl=1161.68598 | editor1-last=Ito | editor1-first=Masami | title=[] | location=Berlin | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=978-3-540-85779-2 | series=Catatan Kuliah Ilmu Komputer | volume=5257 | pages=1–20 | year=2008 | doi=10.1007/978-3-540-85780-8_1 }}</ref>  diasosiasikan oleh [[John Horton Conwa|John Conway]] ke grup dalam semigelanggang bintang.<ref>{{cite book | first=J.H. | last=Conway | author-link=John Horton Conway | title=Aljabar reguler dan mesin hingga | publisher=Chapman dan Hall | year=1971 | isbn=0-412-10620-5 | zbl=0231.94041 | location=London }}</ref>

==== Contoh ====

Contoh semigelanggang bintang meliputi:
* ([[#relasi biner|disebutkan di atas]]) semigelanggang [[relasi biner]] di atas beberapa himpunan dasar ''U'' dimana <math>R^* = \bigcup_{n \geq 0} R^n</math> untuk semua <math>R\subseteq U \times U</math>. Operasi bintang adalah [[Penutupan refleksif|refleksif]] dan [[penutupan transitif]] dari ''R'' (yaitu relasi biner refleksif dan transitif terkecil di atas ''U'' yang mengandung ''R'').<ref name="droste"/>
* [[#bahasa formal|semigelanggang bahasa formal]] merupakan bintang semigelanggang kompleks, dengan operasi bintang dengan bintang Kleene (untuk himpunan/bahasa).<ref name="droste"/>
* Himpunan [[ekstensi riil]] non-negatif {{nowrap|[0, ∞]}} dengan penjumlahan dan perkalian riil yang biasa adalah semigelanggang bintang kompleks dengan operasi bintang yang diberikan oleh {{nowrap|1=''a''<sup>∗</sup> = 1/(1 − ''a'')}} untuk {{nowrap|0 ≤ ''a'' < 1}} (yaitu [[deret geometri]]) dan {{nowrap|1=''a''<sup>∗</sup> = ∞}} for {{nowrap|''a'' ≥ 1}}.<ref name="droste"/>
* Semigelanggang Boolean dengan {{nowrap|1=0<sup>&lowast;</sup> = 1<sup>&lowast;</sup> = 1}}.{{efn|name=conway|Ini adalah semigelanggang bintang kompleks dan dengan demikian pula semigelanggang Conway.<ref name="droste"/>}}<ref name="droste"/>
* Semigelanggang aktif {{nowrap|'''N''' ∪ {∞},}} dengan penjumlahan dan perkalian ekstensi, dan {{nowrap|1=0<sup>&lowast;</sup> = 1}}, {{nowrap|1=''a''<sup>&lowast;</sup> = ∞}} untuk {{nowrap|''a'' ≥ 1}}.{{efn|name=conway}}<ref name="droste"/>

{{noteslist}}

=== Mogand ===
Istilah '''mogand''' (untuk "monoid ganda") telah digunakan untuk berbagai jenis semigelanggang:
* Digunakan oleh Kuntzman pada tahun 1972 untuk menunjukkan apa yang sekarang disebut semigelanggang.<ref>{{cite book | last=Kuntzmann | first=J. | title=Théorie des réseaux (graphes) | language=fr | zbl=0239.05101 | location=Paris | publisher=Dunod | year=1972 }}</ref>
* Penggunaan yang berarti subgrup idempoten diperkenalkan oleh Baccelli et al. pada tahun 1992.<ref>{{cite book | last1=Baccelli | first1=François Louis | last2=Olsder | first2=Geert Jan | last3=Quadrat | first3=Jean-Pierre | last4=Cohen | first4=Guy | title=Synchronization and linearity. An algebra for discrete event systems | zbl=0824.93003 | series=Deret Wiley tentang Probabilitas dan Statistik Matematika | location=Chichester | publisher=Wiley | year=1992 }}</ref>
* Nama "mogand" kadang digunakan untuk menunjukkan [[semigelanggang tatanan alami]].

== Generalisasi ==

Generalisasi semigelanggang tidak membutuhkan keberadaan identitas perkalian, sehingga perkalian adalah [[semigrup]] dari monoid. Struktur seperti itu disebut ''gelanggang hemi''<ref>Jonathan S. Golan, ''Semirings and their applications'', Chapter 1, p1</ref> atau ''pra-semigelanggang''.<ref>Michel Gondran, Michel Minoux, ''Graphs, Dioids, and Semirings: New Models and Algorithms'', Chapter 1, Section 4.2, p22</ref> Generalisasi lebih lanjut adalah ''pra-semigelanggang-kiri'',<ref>Michel Gondran, Michel Minoux, ''Graphs, Dioids, and Semirings: New Models and Algorithms'', Chapter 1, Section 4.1, p20</ref> yang tidak menggunakan distribusi-kanan (atau ''pra-semigelanggang-kanan'', yang tidak menggunakan distribusi-kiri).

Dalam [[teori kategori]], ''gelang-2'' adalah kategori dengan [[fungtor]] operasi ial analog dengan gelang. Bahwa bilangan kardinal membentuk gelang dapat dikategorikan untuk [[kategori himpunan]] (atau lebih umum, [[topos]]) adalah gelang-2.

== Lihat pula ==
* [[Himpunan gelanggang]]
* [[Aljabar penilaian]]

== Catatan ==
{{Reflist|group=catatan}}

== Kutipan ==
{{Reflist|2}}

== Sumber ==
* {{citation | first1 = Jean Claude | last1 = Derniame| first2 = Claude | last2 = Pair| title = Problèmes de cheminement dans les graphes (Path Problems in Graphs)| publisher = Dunod (Paris)| year = 1971}}
* [[François Baccelli]], Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, ''[http://cermics.enpc.fr/~cohen-g//SED/book-online.html Synchronization and Linearity (online version)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161104002419/http://cermics.enpc.fr/~cohen-g//SED/book-online.html |date=2016-11-04 }}'', Wiley, 1992, {{isbn|0-471-93609-X}}
* Golan, Jonathan S., ''Semirings and their applications''. Updated and expanded version of ''The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science'' (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, {{MathSciNet|id=1163371}}. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp. {{isbn|0-7923-5786-8}} {{MathSciNet|id=1746739}}
* {{cite book |last1= Berstel |first1=Jean |last2=Perrin |first2=Dominique |title=Theory of codes |series=Pure and applied mathematics |volume=117 |year=1985 |publisher=Academic Press |isbn=978-0-12-093420-1 | zbl=0587.68066 }}
*{{cite book | last=Lothaire | first=M. | author-link=M. Lothaire | title=Applied combinatorics on words | others=A collective work by Jean Berstel, Dominique Perrin, Maxime Crochemore, Eric Laporte, Mehryar Mohri, Nadia Pisanti, Marie-France Sagot, [[Gesine Reinert]], [[Sophie Schbath]], Michael Waterman, Philippe Jacquet, [[Wojciech Szpankowski]], Dominique Poulalhon, Gilles Schaeffer, Roman Kolpakov, Gregory Koucherov, Jean-Paul Allouche and [[Valérie Berthé]] | series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications | volume=105 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2005 | isbn=0-521-84802-4 | zbl=1133.68067 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/appliedcombinato0000loth }}
*{{cite book | last=Głazek | first=Kazimierz | title=A guide to the literature on semirings and their applications in mathematics and information sciences. With complete bibliography | location=Dordrecht | publisher=Kluwer Academic | year=2002 | isbn=1-4020-0717-5 | zbl=1072.16040 }}
* {{cite book | last=Sakarovitch | first=Jacques | title=Elements of automata theory | others=Translated from the French by Reuben Thomas | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2009 | isbn=978-0-521-84425-3 | zbl=1188.68177 }}
* {{cite book | last1=Berstel | first1=Jean | last2=Reutenauer | first2=Christophe | title=Noncommutative rational series with applications | series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications | volume=137 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2011 | isbn=978-0-521-19022-0 | zbl=1250.68007 }}

== Bacaan lebih lanjut ==
* {{cite book|first=Jonathan S. | last=Golan|title=Semirings and Affine Equations over Them|url=https://archive.org/details/semiringsaffinee0000gola |year=2003|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4020-1358-4 | zbl=1042.16038}}
* {{cite book|first1=Michel | last1=Gondran| first2=Michel | last2=Minoux | title=Graphs, Dioids and Semirings: New Models and Algorithms | year=2008 | location=Dordrecht | publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-75450-5 | zbl=1201.16038 | series=Operations Research/Computer Science Interfaces Series | volume=41}}
* {{cite journal | last=Grillet | first=Mireille P. | title=Green’s relations in a semiring | zbl=0227.16029 | journal=Port. Math. | volume=29 | pages=181–195 | year=1970 | url=https://eudml.org/doc/115127 }}
* {{cite book | last=Gunawardena | first=Jeremy | chapter=An introduction to idempotency | zbl=0898.16032 | editor1-last=Gunawardena | editor1-first=Jeremy | title=Idempotency. Based on a workshop, Bristol, UK, October 3–7, 1994 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | pages=1–49 | year=1998 | url=http://www.hpl.hp.com/techreports/96/HPL-BRIMS-96-24.pdf }}
* {{cite journal | first=P. | last=Jipsen | title=From semirings to residuated Kleene lattices | journal=Studia Logica | volume=76 | number=2 | year=2004 | pages=291–303 | zbl=1045.03049 | doi=10.1023/B:STUD.0000032089.54776.63 }}
* Steven Dolan (2013) [http://www.cl.cam.ac.uk/~sd601/papers/semirings.pdf Fun with Semirings] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180713052220/http://www.cl.cam.ac.uk/~sd601/papers/semirings.pdf |date=2018-07-13 }}, {{doi|10.1145/2500365.2500613}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Struktur aljabar]]
[[Kategori:Teori gelanggang]]