Lihat sumber Rumus Vieta untuk Pi

{{Orphan|date=Desember 2024}}

{{About|rumus {{pi}}|rumus mengenai polinomial|rumus Vieta}}
[[File:Viète's formula.png|thumb|400px|Rumus Vieta dalam {{lang|la|Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII}} (1593) karya François Viète.]]
Dalam [[matematika]], '''rumus Vieta untuk pi''' adalah [[Darab takhingga|perkalian takhingga]] [[akar kuadrat tersarang]] yang sama dengan dua kali [[Invers perkalian|invers]] (kebalikan) {{Mvar|[[pi|π]]}}, yakni
<math display="block">\frac2\pi = \frac{\sqrt 2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt 2}}}2 \cdots</math>
Selain bentuk tersebut, rumus Vieta juga dapat dinyatakan sebagai
<math display="block">\frac2\pi = \prod_{n=1}^{\infty} \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}.</math>Nama rumus tersebut diambil dari [[François Viète]] yang memperkenalkannya pada tahun 1593.{{r|beckmann}} Dalam sejarah matematika Eropa, rumus tersebut merupakan yang pertama menggunakan perhitungan takhingga.{{r|maor}} Oleh karena itu, rumus tersebut dapat secara [[Keketatan matematika|ketat]] dinyatakan sebagai [[Limit (matematika)|limit]] suatu [[Ekspresi (matematika)|ungkapan]].{{r|eymlaf}} Selain itu, penggunaan perhitungan takhingga pada rumus tersebut menandai awal berkembangnya [[Analisis matematis|analisis matematika]]. Rumus tersebut memiliki [[Laju konvergensi|laju konvergensi linier]] dalam menghitung {{Mvar|π}}.{{r|kreminski}} Sehubungan dengan konvergensi, ada banyak rumus sebelum dan sesudahnya dengan keakuratan lebih baik dalam menghitung konstanta tersebut. Selain digunakan untuk menghitung {{Mvar|π}}, rumus tersebut juga digunakan dalam perhitungan sifat pegas dan massa.{{r|cullerne}} Lebih lanjut, rumus tersebut merupakan contoh tersirat tentang konsep [[Kebebasan statistk|kejadian saling bebas]].

Rumus tersebut dapat diperoleh dengan pengalian takhingga berteleskop atas [[luas]] atau [[keliling]] sekumpulan [[poligon]] tersarang yang membentuk [[lingkaran]]. Sementara itu, [[Generalisasi|perumuman]] rumus tersebut dapat diperoleh dengan menyubtitusi secara berulang [[Daftar identitas trigonometri#Sudut setengah rangkap|rumus setengah sudut]] [[trigonometri]], penemuan [[Leonhard Euler]], yang salah satu bentuknya merupakan rumus Vieta. Selain Vieta, ada banyak rumus lain yang menggunakan [[akar kuadrat]] tersarang.

== Signifikansi ==
François Viète (1540—1603) adalah seorang advokat, penasihat pribadi kepada dua [[Daftar Raja Prancis|Raja Perancis]], dan matematikawan. Ia memperkenalkan rumus hitung {{Mvar|π}} dalam karyanya ''Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII'' pada tahun 1593. Saat ia memperkenalkan rumus tersebut, [[Aproksimasi π|metode menghitung {{Mvar|π}}]] dengan keakurasian tertentu telah lama diketahui. Rumus Vieta sendiri dapat dipahami sebagai bentuk lain atas cara [[Archimedes]] menentukan [[keliling lingkaran]] dengan menggunakan keliling poligon.{{r|beckmann}} Cara tersebut digunakan Archimedes untuk mengapit{{sfn|Beckmann|1971|p=67}}
<math display=block>\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}.</math>Dengan memperkenalkan metode hitungnya dalam bentuk rumus, Viète telah menyajikan salah satu penggunaan [[Darab takhingga|perkalian takhingga]] dalam matematika,{{r|desmith|mgc}} dan contoh rumus eksplisit nilai pasti {{Mvar|π}} yang pertama.{{r|morrison|oms}} Karena merupakan salah satu metode pertama yang menggunakan perhitungan takhingga untuk menentukan nilai suatu konstanta dalam sejarah matematika Eropa,{{r|plofker}} [[Eli Maor]] menggangap keberadaan rumus Vieta sebagai awal berkembangnya [[Analisis matematis|analisis matematika]].{{r|maor}} Lagi, [[Jonathan Borwein]] menganggap keberadaan rumus tersebut sebagai "awal bangkitnya matematika modern".{{r|borwein}}

Viète menghitung nilai {{Mvar|π}} hingga [[Digit|digit desimal]] ke-9 dengan menggunakan rumusnya.{{r|kreminski}} Namun demikian, perhitungan tersebut bukan yang paling akurat pada waktu itu karena [[Jamshīd al-Kāshī]], seorang [[Matematika Islam abad pertengahan|matematikawan Persia]], telah terlebih dahulu menghitung nilai {{Mvar|π}} hingga [[seksagesimal]] ke-9 dan desimal ke-16 pada tahun 1424.{{r|borwein}} Tidak lama setelah Viète memperkenalkan rumusnya, [[Ludolph van Ceulen]] menggunakan metode perhitungan mirip dengan Viète untuk menghitung nilai {{Mvar|π}} hingga digit ke-35 yang baru dipublikasi setelah kematiannya pada tahun 1610.{{r|borwein}}

Di luar signifikansinya dalam konteks matematika dan sejarah, rumus Vieta dapat digunakan untuk mempelajari [[Hubungan sebaran|variasi kecepatan gelombang ketika frekuensinya berbeda]] pada beragam pegas dan massa dengan {{Mvar|π}} sebagai pembatas atas kecepatan tersebut.{{r|cullerne}} Lebih lanjut, perolehan rumus tersebut dalam bentuk perkalian [[integral]] [[sistem Rademacher]] yang sama dengan perkalian integral berfungsi serupa merupakan salah satu contoh tersirat tentang [[kejadian saling bebas]].{{r|kac}}

== Pemahaman dan konvergensi ==
Rumus Vieta dapat dinyatakan ulang dan dipahami sebagai limit ungkapan{{r|eymlaf}}
<math display="block">\lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{i=1}^n \frac{a_i}{2} = \frac2\pi</math>
dengan
<math display=block>\begin{align} a_1 &= \sqrt{2} \\ a_n &= \sqrt{2+a_{n-1}}. \end{align}</math>
Untuk sembarang <math>n</math>, ungkapan pada limit tersebut hanya perkalian terhitung. Sementara itu, apabila <math>n</math> semakin besar, perkalian terhitung tersebut akan mendekati nilai rumus Vieta. Karena Viète memperoleh rumusnya jauh sebelum konsep limit serta pembuktian ketat [[Limit (matematika)|konvergensi]] dikembangkan dalam matematika, kebenaran adanya limit tersebut baru diberikan oleh [[Ferdinand Rudio]] pada tahun 1891.{{r|beckmann|rudio}}

[[File:comparison_pi_infinite_series.svg|thumb|Perbandingan konvergensi Vieta ({{red|'''×'''}}) dengan rumus {{pi}} lainnya. Pada grafik ini, {{math|''S<sub>n</sub>''}} adalah perkiraan nilai konstanta tersebut setelah menghitung hingga suku {{mvar|n}}. Di samping itu, setiap tanda panah menuju arah kanan adalah pembesaran sepuluh kali lipat atas batang abu-abu atau interval.|388x388px]]

[[Laju konvergensi]] suatu limit mengendalikan seberapa banyak suku atau jumlah perhitungan yang dibutuhkan untuk memperoleh digit sesuai konstanta terkait. Pada rumus Vieta sendiri, banyak [[Suku Dan|suku dan]] digit saling berbanding satu sama lain. Sebagai contoh, hasil kali dari suku {{Mvar|n}} pertama pada limit rumus tersebut menghasilkan nilai {{Mvar|π}} yang sekitar {{math|0,6''n''}} digit.{{r|kreminski|osler}} Hal tersebut hampir menyamai [[produk Wallis]], salah satu rumus {{Mvar|π}} dalam bentuk perkalian takhingga yang terkenal di kemudian waktu. Walaupun Viète hanya menghitung hingga digit ke-9, bentuk [[Percepatan deret|percepatan]] rumusnya telah digunakan untuk menghitung {{Mvar|π}} hingga pada ribuan digit.{{r|kreminski}}

== Rumus berkaitan ==
Lebih seabad setelah Viète memperkenalkan metode hitungnya, rumus Vieta diketahui sebagai kasus khusus dari salah satu rumus [[Fungsi sinc|sinc]] yang sering dianggap sebagai penemuan [[Leonhard Euler]]{{r|euler}}, yakni{{r|beckmann}}
<math display=block>\frac{\sin x}{x} = \cos\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{4} \cdot \cos\frac{x}{8} \cdots</math>
Dengan subtitusi {{math|''x'' {{=}} {{pi}}/2}} pada rumus tersebut, diperoleh<ref>{{cite book |last1=Wilson |first1=Robin J. |title=Euler's pioneering equation: the most beautiful theorem in mathematics |date=2018 |publisher=Oxford University Press |location=Oxford, Inggris |isbn=9780198794929 |pages=57–58|language=en |edition=1 }}</ref>
<math display=block>\frac{2}{\pi} = \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{16} \cdots</math>
Setelah itu, dengan mengubah setiap ungkapan yang dikali pada bagian kanan persamaan tersebut menggunakan rumus setengah sudut
<math display=block>\cos\frac{x}{2} = \sqrt\frac{1+\cos x}{2},</math>
diperoleh rumus Vieta.{{r|morrison}}

Lebih lanjut, rumus Vieta dapat digunakan untuk memperoleh rumus berkaitan yang hanya menggunakan satu operasi kali, yakni{{r|servi}}
<math display=block>\pi = \lim_{k\to\infty} 2^{k} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}}}}_{\text{sebanyak }k\text{ akar kuadrat}}</math>
yang dapat dinyatakan ulang lebih rapi sebagai
<math display=block>\begin{align}
 \pi &= \lim_{k\to\infty} 2^k\sqrt{2-a_{k}}, \\
 a_1 &= 0, \\
 a_k &= \sqrt{2+a_{k-1}}.
\end{align}</math>
Ada banyak rumus untuk {{Mvar|π}} dan konstanta lainnya, seperti [[rasio emas]], yang diketahui. Sama seperti Vieta, rumus tersebut menggunakan akar kuadrat tersarang atau perkalian takhingga [[Fungsi trigonometrik|fungsi trigonometri]].{{r|mgc|servi|nyblom|levin|levin2|osler2|stolarsky|allen}}

== Perolehan ==
[[File:Viète nested polygons.svg|thumb|Barisan [[poligon beraturan]] bersisi [[Perpangkatan bilangan dua|pangkat bilangan dua]] yang digambarkan pada sebuah lingkaran. Setiap rasio luas atau keliling poligon yang saling berurutan pada barisan tersebut merupakan suku pada rumus Vieta.|251x251px]]
Dalam memperoleh rumusnya, Viète membandingkan [[luas]] [[poligon beraturan]] bersisi {{math|2<sup>''n''</sup>}} dengan bersisi {{math|2<sup>''n'' + 1</sup>}} yang masing-masing digambarkan pada sebuah [[lingkaran]].{{r|beckmann|maor}} Agar lebih jelas, suku pertama pada rumus tersebut, <math>\sqrt{2}/2</math>, adalah rasio luas persegi dengan luas [[Segi delapan|oktagon]]. Sementara itu, suku keduanya adalah rasio luas oktagon dengan luas [[heksadekagon]], dst. Oleh karena sebagian besar [[Pecahan|penyebut]] suku sebelumnya sama dengan [[Pecahan|pembilang]] suku berikutnya, perkalian rumus tersebut [[Deret teleskop|berteleskop]], beruntun hilang, yang menyisakan rasio luas persegi (poligon pertama pada lingkaran) dengan luas lingkaran (batas akhir poligon bersisi {{math|2<sup>''n''</sup>}}). Selain sudut pandang tersebut, setiap suku pada rumus Vieta dapat dipahami sebagai rasio keliling antara dua poligon dengan urutan sama seperti sebelumnya. Pada konteks ini, suku pertama adalah rasio keliling [[digon]] (diameter lingkaran dihitung dua kali) dengan keliling persegi. Selanjutnya, suku kedua adalah rasio keliling persegi dengan keliling oktagon, dst.{{r|rummler}}

Rumus Vieta juga dapat diperoleh menggunakan [[Daftar identitas trigonometri|identitas trigonometri]] dan rumus Euler. Dalam hal ini, dengan menyubtitusi secara berulang [[Daftar identitas trigonometri#Sudut dua rangkap|rumus dua kali sudut]]
<math display="block">\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}</math>
pada dirinya sendiri, diperoleh rumus baru yang dapat dibuktikan menggunakan [[induksi matematika]], yakni untuk setiap [[bilangan bulat positif]] {{mvar|n}},
<math display=block>\sin x = 2^n \sin\frac{x}{2^n}\left(\prod_{i=1}^n \cos\frac{x}{2^i}\right).</math>Bagian {{math|2<sup>''n''</sup> sin(''x''/2<sup>''n''</sup>)}} mendekati {{mvar|x}} apabila {{mvar|n}} mendekati takhingga yang mengarah pada rumus Euler. Dari rumus tersebut, rumus Vieta dapat diperoleh dengan menyubtitusi {{math|''x'' {{=}} {{pi}}/2}}.{{r|morrison|kac}}
{{clear}}
== Lihat juga ==

* [[Hukum Morrie]], identitas serupa dengan subtitusi <math>x=2^{n}\alpha
</math> pada perumuman rumus Vieta
* [[Daftar identitas trigonometri]]

== Referensi ==
{{reflist|refs=
<ref name=beckmann>{{cite book
 | last = Beckmann | first = Petr | author-link = Petr Beckmann
 | edition = 2
 | isbn = 978-0-88029-418-8
 | mr = 0449960
 | pages = [https://books.google.com/books?id=XqqUUSyz138C&pg=PA94 94–95]
 | language = en
 | publisher = The Golem Press | location = Boulder, Colorado
 | title = A History of {{pi}}
 | title-link = A History of Pi
 | year = 1971
}}</ref>

<ref name=maor>{{cite book
 | last = Maor | first = Eli | author-link = Eli Maor
 | isbn = 978-1-4008-4282-7
 | pages = 50, 140
 | publisher = Princeton University Press | location = Princeton, New Jersey
 | title = Trigonometric Delights
|language=en
 | year = 2011}}</ref>

<ref name=eymlaf>{{cite book
 | last1 = Eymard | first1 = Pierre
 | last2 = Lafon | first2 = Jean Pierre
 | translator-last = Wilson | translator-first = Stephen S.
 | contribution = 2.1 Viète's infinite product
 | contribution-url = https://books.google.com/books?id=qZcCSskdtwcC&pg=PA44
 | isbn = 978-0-8218-3246-2
 | mr = 2036595
 | pages = 44–46
 | publisher = American Mathematical Society | location = Providence, Rhode Island
 | title = The Number pi
|language=en
 | year = 2004}}</ref>

<ref name=kreminski>{{cite journal
 | last = Kreminski | first = Rick
 | doi = 10.1080/0025570X.2008.11953549
 | issue = 3
 | journal = [[Mathematics Magazine]]
 | jstor = 27643107
 | pages = 201–207
 | title = {{pi}} to thousands of digits from Vieta's formula
 | volume = 81
|language=en

 | year = 2008| s2cid = 125362227
 }}</ref>

<ref name=cullerne>{{cite journal
 | last1 = Cullerne | first1 = J. P.
 | last2 = Goekjian | first2 = M. C. Dunn
 | date = December 2011
 | doi = 10.1088/0031-9120/47/1/87
 | issue = 1
 | journal = Physics Education
 | pages = 87–91
 | title = Teaching wave propagation and the emergence of Viète's formula
|language=en
 | volume = 47| s2cid = 122368450
 }}</ref>

<ref name=desmith>{{cite book
 | last = De Smith | first = Michael J.
 | isbn = 978-1905237-81-4
 | page = 165
 | publisher = Matador | location = Leicester
 | title = Maths for the Mystified: An Exploration of the History of Mathematics and Its Relationship to Modern-day Science and Computing
 |language=en
 | url = https://books.google.com/books?id=HlOVuklrQPAC&pg=PA165
 | year = 2006}}</ref>

<ref name=mgc>{{cite journal
 | last1 = Moreno | first1 = Samuel G.
 | last2 = García-Caballero | first2 = Esther M.
 | doi = 10.1016/j.jat.2013.06.006 | doi-access = free
 | journal = [[Journal of Approximation Theory]]
 | mr = 3090772
 | pages = 90–112
 | title = On Viète-like formulas
 |language=en
 | volume = 174
 | year = 2013}}</ref>

<ref name=morrison>{{cite journal
 | last = Morrison | first = Kent E.
 | arxiv = math/0411380
 | doi = 10.2307/2974641
 |language=en
 | issue = 8
 | journal = [[The American Mathematical Monthly]]
 | jstor = 2974641
 | mr = 1357488
 | pages = 716–724
 | title = Cosine products, Fourier transforms, and random sums
 | volume = 102
 | year = 1995}}</ref>

<ref name=oms>{{cite book
 | last1 = Oldham | first1 = Keith B.
 | last2 = Myland | first2 = Jan C.
 | last3 = Spanier | first3 = Jerome
 | doi = 10.1007/978-0-387-48807-3
 | isbn = 978-0-387-48807-3
 | page = 15
 | publisher = Springer | location = New York
 | title = An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator
 |language=en
 | url = https://books.google.com/books?id=UrSnNeJW10YC&pg=PA15
 | year = 2010}}</ref>

<ref name=plofker>Rumus dengan perhitungan takhingga dalam bentuk deret trigonometri untuk <math>\pi</math> didapati pada sebuah teks [[Matematika India|matematika di India]] yang ditulis oleh [[Madhava dari Sangamagrama]] (1340—1425), tetapi rumus tersebut tidak diketahui di Eropa hingga beberapa waktu kemudian. Lihat: {{cite book
 | last = Plofker | first = Kim | author-link = Kim Plofker
 | contribution = 7.3.1 Mādhava on the circumference and arcs of the circle
 | contribution-url = https://books.google.com/books?id=DHvThPNp9yMC&pg=PA221
 | isbn = 978-0-691-12067-6
 | pages = 221–234
 | publisher = Princeton University Press | location = Princeton, New Jersey
 | title = Mathematics in India
 |language=en
 | title-link = Mathematics in India (book)
 | year = 2009}}</ref>

<ref name=borwein>{{cite book
 | last = Borwein
 | first = Jonathan M.
 | title = From Alexandria, Through Baghdad
 | date = 2014
 | author-link = Jonathan Borwein
 | editor1-last = Sidoli
 | editor1-first = Nathan
 | editor2-last = Van Brummelen
 | editor2-first = Glen
 | editor2-link = Glen Van Brummelen
 | contribution = The life of Pi: From Archimedes to ENIAC and beyond
 | contribution-url = https://carmamaths.org/resources/jon/pi-2010.pdf
 |language = en
 | doi = 10.1007/978-3-642-36736-6_24
 | isbn = 978-3-642-36735-9
 | pages = 531–561
 | publisher = Springer
 | location = Berlin & Heidelberg
 | access-date = 2024-08-20
 }}</ref>

<ref name=kac>{{cite book
 | last = Kac | first = Mark | author-link = Mark Kac
 | contribution = Chapter 1: From Vieta to the notion of statistical independence
 | mr = 0110114
 | pages = 1–12
 | publisher = John Wiley & Sons for the Mathematical Association of America | location = New York
 | series = [[Carus Mathematical Monographs]]
 | title = Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory
 | language = en
 | volume = 12
 | year = 1959}}</ref>

<ref name=rudio>{{cite journal
 | last = Rudio | first = F. | author-link = Ferdinand Rudio
 | journal = Historisch-litterarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik
 | jfm = 23.0263.02
 | language = de
 | pages = 139–140
 | title = {{not a typo|Ueber}} die {{not a typo|Convergenz}} einer von Vieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung
 | url = https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN599415665_0036?tify=%7B%22pages%22%3A%5B557%5D%7D
 | volume = 36
 | year = 1891}}</ref>

<ref name=osler>{{cite journal
 | last = Osler | first = Thomas J. | author-link = Thomas J. Osler
 | doi = 10.1080/00207390601002799
 | issue = 1
 | journal = International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
 | pages = 136–142
 | title = A simple geometric method of estimating the error in using Vieta's product for {{pi}}
|language = en
 | volume = 38
 | year = 2007| s2cid = 120145020 }}</ref>

<ref name=osler2>{{cite journal
 | last = Osler | first = Thomas J. | author-link = Thomas J. Osler
 | issue = 3
 | journal = [[Fibonacci Quarterly]]
 | mr = 2437033
 | pages = 202–204
 | title = Vieta-like products of nested radicals with Fibonacci and Lucas numbers
 | language = en
 | volume = 45
 | year = 2007}}</ref>

<ref name=euler>{{cite journal
 | last = Euler | first = Leonhard | author-link = Leonhard Euler
 | journal = Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae
 | language = la
 | pages = 222–236
 | title = De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi
 | trans-title = On various methods for expressing the quadrature of a circle with verging numbers
 | url = https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/74/
 | volume = 9
 | year = 1738}} Diterjemahkan dalam bahasa Inggris oleh Thomas W. Polaski. Lihat rumus pada halaman akhir. Rumus tersebut juga didapati pada {{cite journal
 | last = Euler | first = Leonhard | author-link = Leonhard Euler
 | journal = Opuscula Analytica
 | language = la
 | pages = 345–352
 | title = Variae observationes circa angulos in progressione geometrica progredientes
 | trans-title = Various observations about angles proceeding in geometric progression
 | url = https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/561/
 | volume = 1
 | year = 1783}} Diterjemahkan dalam bahasa Inggris oleh Jordan Bell, {{arxiv|1009.1439}}. Lihat rumus pada paragraf yang dinomori tiga.</ref>

<ref name=servi>{{cite journal
 | last = Servi | first = L. D.
 | doi = 10.2307/3647881
 | issue = 4
 | journal = [[The American Mathematical Monthly]]
 | jstor = 3647881
 | mr = 1984573
 | pages = 326–330
 | title = Nested square roots of 2
 | language = en
 | volume = 110
 | year = 2003}}</ref>

<ref name=nyblom>{{cite journal
 | last = Nyblom | first = M. A.
 | doi = 10.1216/RMJ-2012-42-2-751 | doi-access = free
 | issue = 2
 | journal = [[Rocky Mountain Journal of Mathematics]]
 | mr = 2915517
 | pages = 751–758
 | title = Some closed-form evaluations of infinite products involving nested radicals
 | language = en
 | volume = 42
 | year = 2012}}</ref>

<ref name=levin>{{cite journal
 | last = Levin | first = Aaron
 | doi = 10.2307/27641976
 | issue = 6
 | journal = [[The American Mathematical Monthly]]
 | jstor = 27641976
 | mr = 2231136
 | pages = 510–520
 | title = A geometric interpretation of an infinite product for the lemniscate constant
 | language = en
 | volume = 113
 | year = 2006}}</ref>
 
<ref name=levin2>{{cite journal
 | last = Levin | first = Aaron
 | doi = 10.1007/s11139-005-4852-z
 | issue = 3
 | journal = [[The Ramanujan Journal]]
 | mr = 2193382
 | pages = 305–324
 | title = A new class of infinite products generalizing Viète's product formula for {{pi}}
 | language = en
 | volume = 10
 | year = 2005| s2cid = 123023282
 }}</ref>

<ref name=stolarsky>{{cite journal
 | last = Stolarsky | first = Kenneth B.
 | doi = 10.2140/pjm.1980.89.209
 | issue = 1
 | journal = [[Pacific Journal of Mathematics]]
 | mr = 596932
 | pages = 209–227
 | title = Mapping properties, growth, and uniqueness of Vieta (infinite cosine) products
 | language = en
 | url = https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102779384
 | volume = 89
 | year = 1980| doi-access = free
 }}</ref>

<ref name=allen>{{cite journal
 | last = Allen | first = Edward J.
 | doi = 10.2307/3617569
 | issue = 450
 | journal = [[The Mathematical Gazette]]
 | jstor = 3617569
 | pages = 261–263
 | title = Continued radicals
 | language = en
 | volume = 69
 | year = 1985| s2cid = 250441699
 }}</ref>

<ref name=rummler>{{cite journal
 | last = Rummler | first = Hansklaus
 | doi = 10.2307/2324662
 | issue = 9
 | journal = [[The American Mathematical Monthly]]
 | jstor = 2324662
 | mr = 1247533
 | pages = 858–860
 | title = Squaring the circle with holes
 | language = en
 | volume = 100
 | year = 1993}}</ref>

}}

==Pranala luar==
{{Portal|Mathematika}}
* Buku Viète [https://books.google.com/books?id=7_BCAAAAcAAJ ''Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII''] (1593) pada [[Google Buku]]. Rumus {{Mvar|π}} ada pada pertengahan hlm.&nbsp;30.


{{DEFAULTSORT:Rumus Vieta untuk Pi}}
[[Kategori:Darab takhingga]]
[[Category:Algoritma Pi]]