Lihat sumber Ruang Hilbert

{{short description|Konsep matematika yang menggeneralisasi pengertian ruang Euklides}}
{{Dablink|Untuk kurva pengisian ruang Hilbert, lihat [[kurva Hilbert]].}}
[[Berkas:Standing waves on a string.gif|thumb|Keadaan [[pita bergetar]] dapat dimodelkan sebagai titik dalam ruang Hilbert. Dekomposisi dawai yang bergetar menjadi getarannya dalam [[nada tambahan]] yang berbeda diberikan oleh proyeksi titik ke sumbu koordinat di ruang.]]

Konsep [[matematika]] dari '''ruang Hilbert''', dinamai [[David Hilbert]], menggeneralisasi gagasan [[ruang Euklides]]. Maka memperluas metode [[aljabar linear|aljabar vektor]] dan [[kalkulus]] dari dua dimensi [[bidang (geometri)|bidang Euclidean]] dan ruang tiga dimensi ke ruang dengan berhingga atau tak hingga. Ruang Hilbert adalah [[ruang vektor]] yang dilengkapi dengan [[hasil kali dalam]], sebuah operasi yang memungkinkan untuk menentukan panjang dan sudut. Lebih lanjut, ruang Hilbert adalah [[Ruang metrik lengkap|lengkap]], yang berarti bahwa ada cukup [[limit (matematika)|limit]] di ruang untuk memungkinkan teknik kalkulus digunakan.

Ruang Hilbert muncul secara alami dan sering dalam [[matematika]] dan [[fisika]], biasanya sebagai [[dimensi tak hingga]] [[ruang fungsi]]. Ruang Hilbert paling awal dipelajari dari sudut pandang ini pada dekade pertama abad ke-20 oleh [[David Hilbert]], [[Erhard Schmidt]], dan [[Frigyes Riesz]]. Mereka adalah alat yang sangat diperlukan dalam teori [[persamaan diferensial parsial]] s, [[formulasi matematika mekanika kuantum|mekanika kuantum]], [[Analisis Fourier]] (yang mencakup aplikasi untuk [[pemrosesan sinyal]] dan perpindahan panas), dan [[teori ergodik]] (yang membentuk dasar matematika [[termodinamika]]). [[John von Neumann]] menciptakan istilah '' ruang Hilbert '' untuk konsep abstrak yang mendasari banyak aplikasi yang beragam ini. Keberhasilan metode ruang Hilbert mengantarkan era yang sangat bermanfaat bagi [[analisis fungsional]]. Terlepas dari ruang Euclidean klasik, contoh ruang Hilbert meliputi [[ruang Lp|ruang fungsi terintegralkan persegi]], [[ruang urutan]], [[Ruang Sobolev]] terdiri dari [[fungsi umum]], dan [[Ruang Hardy]] dari [[fungsi holomorfik]].

Intuisi geometris memainkan peran penting dalam banyak aspek teori ruang Hilbert. Analog tepat dari [[Teorema Pythagoras]] dan [[hukum jajaran genjang]] berlaku di ruang Hilbert. Pada tingkat yang lebih dalam, proyeksi tegak lurus ke subruang (analog dari "[[ketinggian (segitiga)|menurunkan ketinggian]]" dari segitiga) memainkan peran penting dalam masalah pengoptimalan dan lainnya sebagai. Sebuah elemen ruang Hilbert dapat secara unik ditentukan oleh koordinatnya sehubungan dengan satu set [[sumbu koordinat]] (sebuah [[basis orthonormal]]), dalam analogi dengan [[koordinat Kartesius]] pada bidang. Ketika himpunan sumbu itu [[countably infinite]], ruang Hilbert juga dapat dianggap berguna dalam hal ruang [[urutan tak hingga]] yang [[norma Lp|persegi summabel]]. Ruang terakhir sering dalam literatur yang lebih tua disebut sebagai '' ruang '' Hilbert. [[Operator linear]] pada ruang Hilbert juga merupakan objek yang cukup konkret: dalam kasus yang baik, mereka hanyalah transformasi yang meregangkan ruang oleh faktor-faktor berbeda dalam arah yang saling tegak lurus dalam arti yang dibuat tepat oleh studi [[Spektrum (analisis fungsional)|spektrum]].

== Definisi dan ilustrasi ==

=== Contoh motivasi: Ruang vektor Euklides ===
Salah satu contoh paling umum dari ruang Hilbert adalah [[ruang vektor Euklides]] yang terdiri dari [[vektor Euklides|vektor]] tiga dimensi, dilambangkan dengan {{math|ℝ<sup>3</sup>}}, dan dilengkapi dengan [[dot product]]. Perkalian titik mengambil dua vektor {{math|'''x'''}} dan {{math|'''y'''}}, dan menghasilkan bilangan riil {{math|'''x''' · '''y'''}}. Jika {{math|'''x'''}} dan {{math|'''y'''}} direpresentasikan dalam [[koordinat kartesius]], kemudian perkalian titik didefinisikan oleh

:<math>\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix} = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 \,.</math>

Produk titik memenuhi sifat:
# Simetri dalam {{math|'''x'''}} dan {{math|'''y'''}}: {{math|'''x''' · '''y''' {{=}} '''y''' · '''x'''}}.
# [[fungsi linear|Linear]] dalam argumen pertamanya: {{math|(''a'''''x'''<sub>1</sub> + ''b'''''x'''<sub>2</sub>) · '''y''' {{=}} ''a'''''x'''<sub>1</sub> · '''y''' + ''b'''''x'''<sub>2</sub> · '''y'''}} untuk semua skalar {{mvar | a}}, {{mvar | b}}, dan vektor {{math|'''x'''<sub>1</sub>}}, {{math|'''x'''<sub>2</sub>}}, dan {{math|'''y'''}}.<!-- Apakah argumen keduanya juga linear? -->
# [[Bentuk bilinear|Bentuk positif]]: untuk semua vektor {{math|'''x'''}}, {{math|'''x''' · '''x''' ≥ 0 }}, dengan kesetaraan [[jika dan hanya jika]] {{math| '''x''' {{=}} '''0'''}}.

Operasi pada pasangan vektor yang, seperti perkalian titik, memenuhi ketiga sifat ini dikenal sebagai (riil) [[hasil kali dalam]]. Sebuah [[ruang vektor]] yang dilengkapi dengan hasil kali dalam seperti itu dikenal sebagai [[ruang hasil kali dalam]]. Setiap ruang hasilkali dalam berdimensi-hingga juga merupakan ruang Hilbert. Fitur dasar dari perkalian titik yang menghubungkannya dengan geometri Euclidean adalah bahwa ia terkait dengan panjang (atau [[norma (matematika)|norma]]) vektor, dilambangkan {{math|{{norm|'''x'''}}}}, dan untuk sudut {{mvar | θ}} antara dua vektor {{math|'''x'''}} dan {{math|'''y'''}} melalui rumus

:<math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \|\mathbf{x}\|\,\|\mathbf{y}\|\,\cos\theta \,.</math>

[[Berkas:Completeness in Hilbert space.png|thumb|right|Kelengkapan berarti bahwa jika sebuah partikel bergerak di sepanjang jalur yang putus (berwarna biru) menempuh jarak total yang terbatas, maka partikel tersebut memiliki perpindahan bersih [[definisi well]] (berwarna oranye).]]
[[Kalkulus multivariabel]] dalam ruang Euklides bergantung pada kemampuan untuk menghitung [[limit (matematika)|limit]], dan memiliki kriteria yang berguna pada [[deret (matematika)|deret matematika]]
: <math>\sum_{n=0}^\infty \mathbf{x}_n</math>

terdiri dari vektor dalam {{math|ℝ<sup>3</sup>}} adalah [[konvergensi absolut]] asalkan jumlah panjangnya konvergen sebagai rangkaian bilangan riil biasa:<ref>{{harvnb|Marsden|1974|loc=§2.8}}</ref>
: <math>\sum_{k=0}^\infty \|\mathbf{x}_k\| < \infty \,.</math>

Sama seperti deret skalar, deret vektor yang bertemu secara mutlak juga konvergen ke beberapa vektor batas {{math | '''L'''}} di ruang Euklides, dalam arti bahwa
: <math>\left\|\mathbf{L}-\sum_{k=0}^N\mathbf{x}_k\right\|\to \mathbf{0}\quad\text{as }N\to\infty \,.</math>

Properti ini mengungkapkan '' kelengkapan '' ruang Euclidean: bahwa rangkaian yang menyatu secara mutlak juga menyatu dalam pengertian biasa.

Spasi Hilbert sering kali diambil alih dari [[bilangan kompleks]]. [[Bidang kompleks]] yang dilambangkan dengan {{math | ℂ}} dilengkapi dengan gagasan besaran, [[bilangan absolut|modulus kompleks]] {{math|{{abs|''z''}}}} yang didefinisikan sebagai akar kuadrat dari hasil kali {{mvar | z}} dengan [[konjugasi kompleks]]:
: <math>|z|^2 = z\overline{z} \,.</math>

Jika {{math|''z'' {{=}} ''x'' + ''iy''}} adalah dekomposisi dari {{mvar | z}} menjadi bagian nyata dan imajinernya, maka modulusnya adalah panjang dua dimensi Euklides yang biasa:

: <math>|z| = \sqrt{x^2 + y^2} \,.</math>

Hasil kali dalam dari pasangan bilangan kompleks {{mvar | z}} dan {{mvar | w}} adalah hasil kali dari {{mvar | z}} dengan konjugasi kompleks dari {{mvar | w}}:
: <math>\langle z, w\rangle = z\overline{w}\,.</math>

Ini bernilai kompleks. Bagian riil dari {{math|{{angbr|''z'', ''w''}}}} memberikan Euclidean dua dimensi biasa [[perkalian titik]].

Contoh kedua adalah ruang {{math|ℂ<sup>2</sup>}} yang elemennya adalah pasangan bilangan kompleks {{math|''z'' {{=}} (''z''<sub>1</sub>, ''z''<sub>2</sub>)}}. Kemudian hasil kali dalam dari {{mvar | z}} dengan vektor lain {{math|''w'' {{=}} (''w''<sub>1</sub>, ''w''<sub>2</sub>)}} dirumuskan
:<math>\langle z, w\rangle = z_1\overline{w_1} + z_2\overline{w_2}\,.</math>

Bagian riil dari {{math|{{angbr|''z'', ''w''}}}} kemudian adalah perkalian titik Euclidean dua dimensi. Hasil kali dalam ini simetris '' Hermitian '', yang berarti hasil pertukaran {{mvar | z}} dan {{mvar | w}} adalah konjugat kompleks:
:<math>\langle w, z\rangle = \overline{\langle z, w\rangle}\,.</math>

=== Definisi ===
{{em|Ruang Hilbert}} {{math|''H''}} adalah [[bilangan riil|riil]] atau [[bilangan kompleks|kompleks]] [[hasil kali dalam]] yang juga merupakan [[ruang metrik lengkap]] sehubungan dengan fungsi jarak yang diinduksi oleh hasil kali dalam.<ref name="General">Materi matematika di bagian ini dapat ditemukan di buku teks yang bagus tentang analisis fungsional, seperti {{Harvtxt|Dieudonné|1960}}, {{Harvtxt|Hewitt|Stromberg|1965}}, {{Harvtxt|Reed|Simon|1980}} or {{Harvtxt|Rudin|1987}}.</ref>

Mengatakan bahwa {{math | '' H ''}} adalah {{em | ruang hasil kali dalam kompleks}} {{math | '' H ''}} adalah ruang vektor kompleks yang di dalamnya terdapat bagian dalam produk {{math|{{angbr|''x'', ''y''}}}} mengaitkan bilangan kompleks ke setiap pasangan elemen {{math | '' x '', '' y ''}} dari {{math | '' H ''}} yang memenuhi properti berikut:
# Hasil kali dalam adalah simetris konjugasi; yaitu, hasil kali dalam dari sepasang elemen sama dengan [[konjugasi kompleks]] dari produk dalam dari elemen yang ditukar:
#: <math>\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}\,.</math>
# Hasil kali dalam adalah [[fungsional linear|linier]] pada awalnya<ref group=nb>Dalam beberapa konvensi, hasil kali dalam berbentuk linier dalam argumen keduanya.</ref> argumen. Untuk bilangan kompleks {{math | '' a ''}} dan {{math | '' b ''}},
#: <math>\langle ax_1 + bx_2, y\rangle = a\langle x_1, y\rangle + b\langle x_2, y\rangle\,.</math>
#: <math>\begin{cases}
  \langle x, x\rangle > 0 &x \neq 0 \\
  \langle x, x\rangle = 0 &x = 0\,.
\end{cases}</math>

Ini mengikuti dari properti 1 dan 2 bahwa produk dalam kompleks adalah {{em | [[Peta antilinear|antilinear]]}}, juga disebut {{em | konjugasi linear}}, dalam argumen keduanya, yang berarti bahwa
:<math>\langle x, ay_1 + by_2\rangle = \bar{a}\langle x, y_1\rangle + \bar{b}\langle x, y_2\rangle\,.</math>

{{em|Ruang perkalian dalam riil}} didefinisikan dengan cara yang sama, kecuali bahwa {{math | '' H ''}} adalah ruang vektor nyata dan hasil kali dalam mengambil bilangan riil. Produk dalam seperti itu adalah [[peta bilinear]] dan {{math|(''H'', ''H'', {{angbr| ⋅, ⋅}})}} akan membentuk [[sistem ganda]].{{sfn | Schaefer | Wolff | 1999 | pp=122-202}}

[[Norma (matematika)|norma]] adalah fungsi nilai riil
:<math>\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}\,,</math>

dan jarak {{math | '' d ''}} antara dua titik {{math | '' x '', '' y ''}} di {{math | '' H ''}} didefinisikan dalam istilah dari norma oleh
:<math>d(x, y) = \|x - y\| = \sqrt{\langle x - y, x - y \rangle}\,.</math>

Bahwa fungsi ini adalah fungsi jarak, pertama-tama fungsi ini simetris dalam {{math | '' x ''}} dan {{math | '' y ''}}, kedua jarak antara {{math | '' x ''}} dan itu sendiri nol, dan sebaliknya jarak antara {{math | '' x ''}} dan {{math | '' y ''}} harus positif, dan terakhir [[pertidaksamaan segitiga]] tahan, artinya panjang salah satu kaki segitiga {{math | '' xyz ''}} tidak boleh melebihi jumlah panjang kedua kaki lainnya:
:<math>d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)\,.</math>
:[[Berkas:Triangle inequality in a metric space.svg|300px|none]]

Properti terakhir ini pada akhirnya merupakan konsekuensi dari [[pertidaksamaan Cauchy–Schwarz]] yang lebih mendasar, yang menegaskan
:<math>\bigl|\langle x, y\rangle\bigr| \le \|x\|\,\|y\|</math>

dengan persamaan jika dan hanya jika {{math | '' x ''}} dan {{math | '' y ''}} adalah [[independen linear|dependen linear]].

Dengan fungsi jarak yang ditentukan dengan cara ini, setiap hasil kali dalam adalah [[ruang metrik]], dan terkadang dikenal sebagai {{em | ruang Hausdorff}}.<ref>{{harvnb|Dieudonné|1960|loc=§6.2}}</ref> Setiap ruang pra-Hilbert yang juga merupakan ruang [[ruang komplek|kompleks]] adalah ruang Hilbert.

{{Em | kelengkapan}} dari {{math | '' H ''}} diekspresikan menggunakan bentuk [[Kriteria Cauchy]] untuk urutan dalam {{math | '' H ''}}: ruang pra-Hilbert {{math | '' H ''}} selesai jika setiap [[urutan Cauchy]] [[limit (matematika)|menyatu sehubungan dengan norma ini]] ke elemen dalam ruang. Kelengkapan dapat dicirikan oleh kondisi ekivalen berikut: jika serangkaian vektor
: <math>\sum_{k=0}^\infty u_k</math>

[[konvergensi absolut|menyatu secara mutlak]] dalam arti itu
:<math>\sum_{k=0}^\infty\|u_k\| < \infty\,,</math>

kemudian deret tersebut menyatu di {{math | '' H ''}}, dalam arti bahwa jumlah parsial menyatu ke elemen {{math | '' H ''}}.

=== Contoh kedua: ruang urutan ===
[[Ruang urutan]] {{math | '' l '' <sup> 2 </sup>}} terdiri dari semua [[urutan (matematika)|urutan tak hingga]] {{math|'''z''' {{=}} (''z''<sub>1</sub>, ''z''<sub>2</sub>, …)}} dari bilangan kompleks sehingga [[deret (matematika)|deret]]
: <math>\sum_{n=1}^\infty |z_n|^2</math>

[[deret konvergensi|menyatu]]. Produk bagian dalam aktif {{math|''l''<sup>2</sup>}} didefinisikan oleh
: <math>\langle \mathbf{z}, \mathbf{w}\rangle = \sum_{n=1}^\infty z_n\overline{w_n}\,,</math>

dengan seri terakhir berkumpul sebagai konsekuensi dari [[pertidaksamaan Cauchy–Schwarz]].

Kelengkapan ruang yang dipegang asalkan sederet elemennya berasal {{math|''l''<sup>2</sup>}} konvergen mutlak (dalam norma), lalu menyatu ke elemen {{math|''l''<sup>2</sup>}}. Buktinya adalah dasar dalam [[analisis matematis]], dan memungkinkan deret matematika elemen ruang untuk dimanipulasi dengan kemudahan yang sama seperti deret bilangan kompleks (atau vektor hingga).<ref>{{harvnb|Dieudonné|1960}}</ref>

== Sejarah ==
[[Berkas:Hilbert.jpg|thumb|right|[[David Hilbert]]]]
Sebelum pengembangan ruang Hilbert, generalisasi lain dari ruang Euklides diketahui [[matematikawan]] dan fisikawan. Secara khusus, gagasan tentang [[ruang vektor|ruang linier abstrak (ruang vektor)]] telah mendapatkan daya tarik menjelang akhir abad ke-19:<ref>Largely from the work of [[Hermann Grassmann]], at the urging of [[August Ferdinand Möbius]] {{harv|Boyer|Merzbach|1991|pp=584–586}}. Kisah aksiomatik modern pertama dari ruang vektor abstrak akhirnya muncul dalam kisah 1888 [[Giuseppe Peano]]. ({{harvnb|Grattan-Guinness|2000|loc=§5.2.2}}; {{harvnb|O'Connor|Robertson|1996}}).</ref> ini adalah ruang yang elemen-elemennya dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan skalar ([[bilangan riil|riil]] atau [[bilangan kompleks]]) tanpa perlu mengidentifikasi elemen-elemen ini dengan [[vektor (geometri)|vektor "geometris"]], seperti vektor posisi dan momentum dalam sistem fisik. Objek lain yang dipelajari oleh ahli matematika pada pergantian abad ke-20, dalam ruang tertentu [[urutan (matematika)|urutan]] (termasuk [[deret (matematika)|deret]]) dan ruang fungsi,<ref>Penjelasan rinci tentang sejarah ruang Hilbert dapat ditemukan di {{harvnb|Bourbaki|1987}}.</ref> secara alami dapat dianggap sebagai ruang linier. Fungsi, misalnya, dapat ditambahkan atau dikalikan dengan skalar konstan, dan operasi ini mematuhi hukum aljabar yang dipenuhi oleh penjumlahan dan perkalian skalar dari vektor spasial.

Pada dekade pertama abad ke-20, perkembangan paralel mengarah pada pengenalan ruang Hilbert. Yang pertama adalah pengamatan, yang muncul selama [[David Hilbert]] dan [[Erhard Schmidt]] mempelajari [[persamaan integral]],<ref>{{harvnb|Schmidt|1908}}</ref> bahwa dua fungsi bernilai nyata [[square-integrable]] {{mvar | f}} dan {{mvar | g}} pada interval {{math|[''a'', ''b'']}} memiliki '' produk dalam ''

: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)\, \mathrm{d}x</math>

yang memiliki banyak sifat familiar dari perkalian titik Euklides. Secara khusus, gagasan tentang keluarga fungsi [[ortogonalitas|ortogonal]] memiliki makna. Schmidt mengeksploitasi kemiripan hasil kali dalam ini dengan hasil kali titik biasa untuk membuktikan analog dari [[teorema spektral|dekomposisi spektral]] untuk operator bentuk

: <math>f(x) \mapsto \int_a^b K(x, y) f(y)\, \mathrm{d}y</math>

di mana {{mvar | K}} adalah [[fungsi kontinu]] yang simetris di {{mvar | x}} dan {{mvar | y}}. [[Perluasan fungsi eigen]] yang dihasilkan menyatakan fungsi {{mvar | K}} sebagai rangkaian bentuk

: <math>K(x, y) = \sum_n \lambda_n\varphi_n(x)\varphi_n(y)</math>

dimana fungsi {{mvar|φ<sub>n</sub>}} ortogonal dalam arti bahwa {{math|⟨''φ''<sub>''n''</sub>''φ''<sub>''m''</sub>⟩ {{=}} 0}} maka {{math|''n'' ≠ ''m''}}. Istilah individu dalam seri ini terkadang disebut sebagai solusi produk dasar. Namun, ada perluasan fungsi eigen yang gagal untuk menyatu dalam arti yang sesuai ke fungsi yang dapat diintegrasikan persegi: bahan yang hilang, yang memastikan konvergensi, adalah kelengkapan.<ref>{{harvnb|Titchmarsh|1946|loc=§IX.1}}</ref>

Perkembangan kedua adalah [[integral Lebesgue]], alternatif dari [[integral Riemann]] yang diperkenalkan oleh [[Henri Lebesgue]] pada tahun 1904.<ref>{{harvnb|Lebesgue|1904}}. Rincian lebih lanjut tentang sejarah teori integrasi dapat ditemukan {{harvtxt|Bourbaki|1987}} dan {{harvtxt|Saks|2005}}.</ref> Integral Lebesgue memungkinkan untuk mengintegrasikan kelas fungsi yang lebih luas. Pada tahun 1907, [[Frigyes Riesz]] dan [[Ernst Sigismund Fischer]] secara independen membuktikan bahwa ruang {{math|''L''<sup>2</sup>}} of fungsi terintegralkan Lebesgue persegi adalah [[ruang metrik komplek]].<ref>{{harvnb|Bourbaki|1987}}.</ref> Sebagai konsekuensi dari interaksi antara geometri dan kelengkapan, hasil abad ke-19 [[Joseph Fourier]], [[Friedrich Bessel]] dan [[Marc-Antoine Parseval]] pada [[deret trigonometri]] dengan mudah dibawa ke ruang yang lebih umum ini, menghasilkan aparatus geometris dan analitik yang sekarang biasanya dikenal sebagai [[teorema Riesz–Fischer]].<ref>{{harvnb|Dunford|Schwartz|1958|loc=§IV.16}}</ref>

Hasil dasar lebih lanjut dibuktikan pada awal abad ke-20. Misalnya, [[Teorema representasi Riesz]] secara independen ditetapkan oleh [[Maurice Fréchet]] dan [[Frigyes Riesz]] pada tahun 1907.<ref>In {{harvtxt|Dunford|Schwartz|1958|loc=§IV.16}}, hasil bahwa setiap fungsi linear aktif {{math|''L''<sup>2</sup>[0,1]}} diwakili oleh integrasi secara dikaitkan {{harvtxt|Fréchet|1907}} dan {{harvtxt|Riesz|1907}}. Hasil umumnya, bahwa rangkap ruang Hilbert diidentifikasi dengan ruang Hilbert itu sendiri, dapat ditemukan di {{harvtxt|Riesz|1934}}.</ref> [[John von Neumann]] menciptakan istilah '' ruang Hilbert abstrak '' dalam karyanya pada [[Operator adjoint mandiri|Operator Hermitian]].<ref>{{Harvnb|von Neumann|1929}}.</ref> Meskipun ahli matematika lain seperti [[Hermann Weyl]] dan [[Norbert Wiener]] telah mempelajari ruang Hilbert tertentu dengan sangat rinci, sering kali dari sudut pandang motivasi fisik, von Neumann memberikan perlakuan pertama yang lengkap dan aksiomatik terhadap mereka.<ref>{{harvnb|Kline|1972|p=1092}}</ref> Von Neumann kemudian menggunakannya dalam pekerjaan penting tentang dasar-dasar mekanika kuantum,<ref>{{Harvnb|Hilbert|Nordheim|von Neumann|1927}}</ref> dan terus bekerja dengan [[Eugene Wigner]]. Nama "ruang Hilbert" segera diadopsi oleh orang lain, misalnya oleh Hermann Weyl dalam bukunya tentang mekanika kuantum dan teori grup.<ref name="Weyl31">{{Harvnb|Weyl|1931}}.</ref>

Signifikansi konsep ruang Hilbert digarisbawahi dengan kesadaran bahwa ia menawarkan salah satu [[formulasi matematis mekanika kuantum|formulasi matematis kuantitatif]]<ref>{{harvnb|Prugovečki|1981|pp=1–10}}.</ref> Singkatnya, status sistem mekanik kuantum adalah vektor di ruang Hilbert tertentu, yang dapat diamati adalah [[operator pertapa]] di ruang tersebut, [[simetri|kesimetrian]] dari sistem adalah [[operator kesatuan]] s, dan [[pengukuran kuantum|pengukuran]] adalah [[proyeksi ortogonal]]. Hubungan antara kesimetrian mekanika kuantum dan operator kesatuan memberikan dorongan untuk pengembangan [[representasi kesatuan|kesatuan]] [[teori representasi]] dari [[grup (matematika)|grup]] dimulai pada tahun 1928 karya Hermann Weyl.<ref name="Weyl31" /> Di sisi lain, pada awal tahun 1930-an menjadi jelas bahwa [[mekanika klasik]] dapat dijelaskan dalam istilah ruang Hilbert ([[Mekanika klasik Koopman-von Neumann]]) dan beberapa sifat klasik [[sistem dinamis]] dapat dianalisis menggunakan teknik ruang Hilbert dalam kerangka [[teori ergodik]].<ref name="von Neumann 1932">{{harvnb|von Neumann|1932}}</ref>

Aljabar [[teramati]] dalam mekanika kuantum secara alami adalah aljabar operator yang ditentukan pada ruang Hilbert, menurut formulasi [[mekanika matriks]] kuantum th [[Werner Heisenberg]] Von Neumann mulai menyelidiki [[operator aljabar]] pada tahun 1930-an, sebagai [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] operator di ruang Hilbert. Jenis aljabar yang dipelajari oleh von Neumann dan orang-orang sezamannya sekarang dikenal sebagai [[aljabar Von Neumann]]. Pada tahun 1940-an, [[Israel Gelfand]], [[Mark Naimark]] dan [[Irving Segal]] memberikan definisi sejenis aljabar operator yang disebut [[C*-aljabar]] yang di satu sisi tidak referensi ke yang mendasari  dan di sisi lain mengekstrapolasi banyak fitur berguna dari aljabar operator yang sebelumnya telah dipelajari. Teorema spektral untuk operator self-adjoint khususnya yang mendasari banyak teori ruang Hilbert yang ada digeneralisasikan menjadi C*-aljabar. Teknik-teknik ini sekarang menjadi dasar dalam analisis harmonik abstrak dan teori representasi.

== Pelengkap dan proyeksi ortogonal ==
Jika {{math | '' S ''}} adalah [[himpunan bagian]] dari spasi Hilbert {{math | '' H ''}}, himpunan vektor ortogonal ke {{math | '' S ''}} didefinisikan oleh
: <math>S^\perp = \left\{ x \in H : \langle x, s \rangle = 0\ \forall s \in S \right\} \,.</math>

{{math|''S''<sup>⊥</sup>}} adalah subruang [[himpunan tertutup|tertutup]] dari {{math | '' H ''}} (dapat dibuktikan dengan mudah menggunakan linearitas dan kontinuitas hasil kali dalam) sehingga membentuk ruang Hilbert sendiri. Jika {{math | '' V ''}} adalah subruang tertutup dari {{math | '' H ''}}, maka {{math|''V''<sup>⊥</sup>}} disebut '' pelengkap ortogonal '' dari {{math | '' V ''}}. Faktanya, setiap {{math|''x'' ∈ ''H''}} kemudian dapat ditulis secara unik sebagai {{math|''x'' {{=}} ''v'' + ''w''}}, dengan {{math|''v'' ∈ ''V''}} dan {{math|''w'' ∈ ''V''<sup>⊥</sup>}}. Oleh karena itu, {{math | '' H ''}} adalah penjumlahan internal Hilbert dari {{math | '' V ''}} dan {{math|''V''<sup>⊥</sup>}}.

Operator linear {{math|''P<sub>V</sub>'' : ''H'' → ''H''}} yang memetakan {{math | '' x ''}} ke {{math | '' v ''}} disebut '' proyeksi ortogonal '' ke {{math | '' V ''}}. Ada korespondensi satu-ke-satu [[transformasi natural|natural]] antara himpunan semua subruang tertutup dari {{math | '' H ''}} dan himpunan semua operator adjoint mandiri yang dibatasi {{math | '' P ''}} dirumuskan {{math|''P''<sup>2</sup> {{=}} ''P''}}.

{{math_theorem|Proyeksi ortogonal {{math|''P<sub>V</sub>''}} adalah operator linear adjoint pada {{math | '' H ''}} dari norma ≤ 1 dengan properti {{math|''P''{{su|p=2|b=''V''}} {{=}} ''P<sub>V</sub>''}}. Selain itu, setiap operator linear adjoint mandiri {{math | '' E ''}} sedemikian rupa sehingga {{math|''E''<sup>2</sup> {{=}} ''E''}} adalah dari bentuk {{math|''P<sub>V</sub>''}}, dengan {{math | '' V ''}} adalah rentang dari {{math | '' E ''}}. Untuk setiap {{math | '' x ''}} dalam {{math | '' H ''}}, {{math|''P<sub>V</sub>''(''x'')}} adalah elemen unik {{math | '' v ''}} dari {{math | '' V ''}} yang meminimalkan jarak {{math|{{norm|''x'' − ''v''}}}}.}}

Maka hal ini memberikan interpretasi geometris dari {{math|''P<sub>V</sub>''(''x'')}}: itu adalah perkiraan terbaik untuk '' x '' dengan elemen '' V ''.<ref>{{harvnb|Young|1988|loc=Teorema 15.3}}</ref>

Proyeksi {{math|''P<sub>U</sub>''}} dan {{math|''P<sub>V</sub>''}} disebut saling ortogonal jika {{math|''P''<sub>''U''</sub>''P''<sub>''V''</sub> {{=}} 0}}. Ini setara dengan {{math | '' U ''}} dan {{math | '' V ''}} ortogonal sebagai subruang dari {{math | '' H ''}}. Jumlah dari dua proyeksi {{math|''P''<sub>''U''</sub>}} dan {{math|''P''<sub>''V''</sub>}} adalah proyeksi hanya jika {{math | '' U ''}} dan {{math | '' V ''}} ortogonal satu sama lain, dan dalam hal itu {{math|''P''<sub>''U''</sub> + ''P''<sub>''V''</sub> {{=}} ''P''<sub>''U''+''V''</sub>}}. Komposit {{math|''P''<sub>''U''</sub>''P''<sub>''V''</sub>}} umumnya bukan proyeksi; pada kenyataannya, komposit adalah proyeksi jika dan hanya jika dua proyeksi tersebut berpindah-pindah, dan dalam kasus {{math|''P''<sub>''U''</sub>''P''<sub>''V''</sub> {{=}} ''P''<sub>''U''∩''V''</sub>}}.

Dengan membatasi codomain ke ruang Hilbert {{math | '' V ''}}, proyeksi ortogonal {{math|''P''<sub>''V''</sub>}} memunculkan pemetaan proyeksi {{math|''π'' : ''H'' → ''V''}}; itu adalah ujung dari [[pemetaan inklusi]]

: <math>i : V \to H \,,</math>

yang berarti bahwa

: <math>\left\langle i x, y\right\rangle_H = \left\langle x, \pi y \right\rangle_V</math>

pada {{math|''x'' ∈ ''V''}} dan {{math|''y'' ∈ ''H''}}.

Norma operator dari proyeksi ortogonal {{math|''P''<sub>''V''</sub>}} ke subruang tertutup bukan nol {{math | '' V ''}} sama dengan 1:
: <math>\|P_V\| = \sup_{x \in H, x\not=0} \frac{\|P_V x\|}{\|x\|} = 1 \,.</math>

Oleh karena itu, setiap subruang tertutup '' V '' dari ruang Hilbert adalah citra operator {{math | '' P ''}} dari norma satu sehingga {{math|''P''<sup>2</sup> {{=}} ''P''}}. Properti memiliki operator proyeksi yang sesuai menjadi ciri ruang Hilbert:<ref>{{harvnb|Kakutani|1939}}</ref>

* Ruang Banach dengan dimensi lebih tinggi dari 2 adalah (secara isometrik) ruang Hilbert jika dan hanya jika, untuk setiap subruang tertutup {{math | '' V ''}}, terdapat operator {{math|''P''<sub>''V''</sub>}} dari norma satu yang citranya adalah {{math | '' V ''}} maka {{math|''P''{{su|b=''V''|p=2}} {{=}} ''P<sub>V</sub>''}}.

Sementara hasil ini mencirikan struktur metrik ruang Hilbert, struktur ruang Hilbert sebagai [[ruang vektor topologis]] itu sendiri dapat dicirikan dalam hal keberadaan komponen:<ref>{{harvnb|Lindenstrauss|Tzafriri|1971}}</ref>
* Spasi Banach {{math | '' X ''}} secara topologi dan linier isomorfik ke ruang Hilbert jika dan hanya jika, untuk setiap subruang tertutup {{math | '' V ''}}, ada subruang tertutup {{math | '' W ''}} sedemikian rupa sehingga {{math | '' X ''}} sama dengan jumlah langsung internal {{math|''V'' ⊕ ''W''}}.

Pelengkap ortogonal memenuhi beberapa hasil yang lebih mendasar. Ini adalah [[fungsi monoton]] dalam arti jika {{math|''U'' ⊂ ''V''}}, kemudian {{math|''V''<sup>⊥</sup> ⊆ ''U''<sup>⊥</sup>}} dengan kepemilikan persamaan jika dan hanya jika {{math | '' V ''}} terdapat dalam [[penutupan (topologi)|penutupan]] dari {{math | '' U ''}}. Hasil ini adalah kasus khusus dari [[Teorema Hahn–Banach]]. Penutupan subruang dapat sepenuhnya dicirikan dalam istilah komplemen ortogonal: jika {{math | '' V ''}} adalah subruang dari {{math | '' H ''}}, maka penutupan dari {{math | '' V ''}} sama dengan {{math|''V''<sup>⊥⊥</sup>}}. Jadi, komplemen ortogonal adalah [[koneksi Galois]] pada [[urutan parsial]] dari subruang ruang Hilbert. Secara umum, komplemen ortogonal dari sejumlah subruang adalah perpotongan dari komplemen:<ref>{{harvnb|Halmos|1957|loc=§12}}</ref>
: <math>\left(\sum_i V_i\right)^\perp = \bigcap_i V_i^\perp \,.</math>

Jika {{math|''V''<sub>''i''</sub>}} juga ditutup, maka
: <math>\overline{\sum_i V_i^\perp} = \left(\bigcap_i V_i\right)^\perp \,.</math>

== Teori spektral ==
Ada [[teori spektral]] yang dikembangkan dengan baik untuk operator self-adjoint di ruang Hilbert, yang secara kasar dapat dianalogikan dengan studi [[matriks simetris]] pada real atau matriks adjoint sendiri pada bilangan kompleks.<ref>Penjelasan umum teori spektral di ruang Hilbert dapat ditemukan di {{harvtxt|Riesz|Sz.-Nagy|1990}}. Ada akun yang lebih canggih dalam bahasa C*-aljabar {{harvtxt|Rudin|1973}} atau {{harvtxt|Kadison|Ringrose|1997}}</ref> Dalam pengertian yang sama, seseorang dapat memperoleh "diagonalisasi" dari operator adjoint sendiri sebagai jumlah yang sesuai (sebenarnya merupakan integral) dari operator proyeksi ortogonal.

[[Spektrum operator]] {{math | '' T ''}}, dilambangkan dengan {{math|''σ''(''T'')}}, adalah himpunan bilangan kompleks {{math | '' λ ''}} sedemikian rupa sehingga {{math|''T'' − ''λ''}} tidak memiliki pembalikan terus menerus. Jika {{math | '' T ''}} dibatasi, maka spektrum selalu merupakan [[himpunan kompak]] dalam bidang kompleks, dan terletak di dalam cakram {{math|{{abs|''z''}} ≤ {{norm|''T''}}}}. Jika {{math | '' T ''}} adalah self-adjoint, maka spektrumnya nyata. Faktanya, itu terkandung dalam interval {{math|[''m'', ''M'']}} dimana
: <math>m = \inf_{\|x\|=1}\langle Tx, x\rangle \,,\quad M = \sup_{\|x\|=1}\langle Tx, x\rangle \,.</math>

Selain itu, {{math | '' m ''}} dan {{math | '' M ''}} keduanya sebenarnya berada dalam spektrum.

Eigenpaces dari operator {{math | '' T ''}} dirumuskan
: <math>H_\lambda = \ker(T - \lambda)\,.</math>

Tidak seperti matriks berhingga, tidak setiap elemen spektrum {{math | '' T ''}} harus berupa nilai eigen: operator linear {{math|''T'' − ''λ''}} mungkin hanya kekurangan invers karena tidak surjective. Elemen spektrum operator dalam pengertian umum dikenal sebagai '' nilai spektral ''. Karena nilai spektral tidak harus berupa nilai eigen, dekomposisi spektral sering kali lebih halus daripada dalam dimensi yang terbatas.

Namun, [[teorema spektral]] dari operator adjoint sendiri {{math | '' T ''}} mengambil bentuk yang sangat sederhana jika, sebagai tambahan, {{math | '' T ''}} diasumsikan jadilah [[operator kompak]]. [[Operator kompak pada ruang Hilbert#Teorema spektral|teorema spektral untuk operator adjoint kompak]] menyatakan:<ref>Lihat, misalnya, {{harvtxt|Riesz|Sz.-Nagy|1990|loc=Chapter VI}} atau {{harvnb|Weidmann|1980|loc=Chapter 7}}. Hasil ini sudah diketahui {{harvtxt | Schmidt | 1908}} dalam kasus operator yang muncul dari kernel integral.</ref>
* Operator adjoint mandiri yang ringkas {{math | '' T ''}} hanya memiliki banyak nilai spektral yang terhitung (atau tak terbatas). Spektrum {{math | '' T ''}} tidak memiliki [[titik batas]] dalam bidang kompleks kecuali mungkin nol. Eigenpaces dari {{math | '' T ''}} menguraikan {{math | '' H ''}} menjadi jumlah langsung ortogonal:
*: <math>H=\bigoplus_{\lambda\in\sigma(T)}H_\lambda \,.</math>
: jika {{math|''E<sub>λ</sub>''}} menunjukkan proyeksi ortogonal ke ruang eigen {{math|''H<sub>λ</sub>''}}, then
:: <math>T = \sum_{\lambda\in\sigma(T)} \lambda E_\lambda \,,</math>
: di mana jumlah tersebut menyatu sehubungan dengan norma di {{math|B(''H'')}}.

Teorema ini memainkan peran fundamental dalam teori [[persamaan integral]], karena banyak operator integral kompak, khususnya yang muncul dari [[operator Hilbert–Schmidt]].

Teorema spektral umum untuk operator self-adjoint melibatkan semacam operator bernilai [[integral Riemann–Stieltjes]], daripada penjumlahan tak terbatas.<ref>{{harvnb|Riesz|Sz.-Nagy|1990|loc=§§107–108}}</ref> '' Keluarga spektral '' yang terkait dengan {{math | '' T ''}} terkait dengan setiap bilangan riil λ sebuah operator {{math|''E<sub>λ</sub>''}}, yang merupakan proyeksi ke ruang null operator {{math|(''T'' − ''λ'')<sup>+</sup>}}, dengan bagian positif dari operator adjoint ditentukan oleh
: <math>A^+ = \tfrac{1}{2}\left(\sqrt{A^2} + A\right) \,.</math>

Operator {{math|''E<sub>λ</sub>''}} Apakah monoton meningkat relatif terhadap urutan parsial yang ditentukan pada operator adjoint sendiri; nilai eigen sama persis dengan diskontinuitas lompatan. Seseorang memiliki teorema spektral, yang menegaskan
: <math>T = \int_\mathbb{R} \lambda\, \mathrm{d}E_\lambda \,.</math>

Integral dipahami sebagai integral Riemann–Stieltjes, konvergen sehubungan dengan norma di {{math|B(''H'')}}. Secara khusus, seseorang memiliki representasi integral nilai skalar biasa
: <math>\langle Tx, y\rangle = \int_{\mathbb{R}} \lambda\,\mathrm{d}\langle E_\lambda x, y\rangle \,.</math>

Dekomposisi spektral yang agak mirip berlaku untuk operator normal, meskipun karena spektrum sekarang mungkin berisi bilangan kompleks non-nyata, ukuran Stieltjes yang dihargai operator {{math|d''E<sub>λ</sub>''}} sebagai gantinya harus diganti dengan [[resolusi identitas]].

Aplikasi utama dari metode spektral adalah [[teorema pemetaan spektral]], yang memungkinkan seseorang untuk diterapkan ke operator adjoint mandiri {{math | '' T ''}} fungsi kompleks berkelanjutan apa pun {{math | '' f ''}} yang ditentukan pada spektrum {{math | '' T ' '}} dengan membentuk integral
: <math>f(T) = \int_{\sigma(T)} f(\lambda)\,\mathrm{d}E_\lambda \,.</math>

[[Kalkulus fungsional berkelanjutan]] yang dihasilkan memiliki aplikasi khususnya untuk [[operator pseudodiferensial]].<ref>{{harvnb|Shubin|1987}}</ref>

Teori spektral operator self-adjoint '' tidak terbatas '' hanya sedikit lebih sulit daripada operator terikat. Spektrum operator tak terbatas didefinisikan dengan cara yang persis sama: {{math|''λ''}} adalah nilai spektral jika [[operator penyelesai]]
: <math>R_\lambda = (T - \lambda)^{-1}</math>

gagal menjadi operator berkelanjutan yang terdefinisi dengan baik. Penyesuaian diri {{math | '' T ''}} masih menjamin bahwa spektrumnya riil. Dengan demikian, gagasan penting untuk bekerja dengan operator tak terbatas adalah untuk melihat resolvent {{math|''R<sub>λ</sub>''}} dimana {{math|''λ''}} tidak nyata. Ini adalah operator normal '' terbatas '', yang mengakui representasi spektral yang kemudian dapat ditransfer ke representasi spektral dari {{math | '' T ''}}. Strategi serupa digunakan, misalnya, untuk mempelajari spektrum operator Laplace: daripada menangani operator secara langsung, seseorang malah terlihat sebagai resolvent terkait.

Versi tepat dari teorema spektral dalam kasus ini adalah:<ref>{{harvnb|Rudin|1973|loc=Theorem 13.30}}.</ref>
: Diketahui operator adjoint mandiri yang didefinisikan secara padat {{math | '' T ''}} pada spasi Hilbert {{math | '' H ''}}, terdapat kesamaan [[resolusi identitas]] {{math | '' E ''}} pada himpunan Borel
:: <math>\langle Tx, y\rangle = \int_\mathbb{R} \lambda\,\mathrm{d}E_{x,y}(\lambda)</math>
: pada {{math|''x'' ∈ ''D''(''T'')}} and {{math|''y'' ∈ ''H''}}. Ukuran spektral {{math | '' E ''}} terkonsentrasi pada spektrum {{math | '' T ''}}.
Ada juga versi teorema spektral yang berlaku untuk operator normal tak terbatas.

== Dalam budaya populer ==
[[Thomas Pynchon]] memperkenalkan karakter fiksi, Sammy Hilbert-Spaess (plesetan dari "ruang Hilbert"), dalam novel tahun 1973, [[Gravity's Rainbow]]. Hilbert-Spaess pertama kali digambarkan sebagai "agen ganda di mana-mana" dan kemudian sebagai "setidaknya agen ganda".<ref>{{cite web|url=https://gravitys-rainbow.pynchonwiki.com/wiki/index.php?title=H&oldid=1593|title=H - Hilbert-Spaess, Sammy|website=Thomas Pynchon Wiki: Gravity's Rainbow|access-date=2018-10-23}}</ref> Novel tersebut sebelumnya telah mereferensikan karya sesama matematikawan Jerman [[Kurt Gödel]] [[Teorema ketidaklengkapan Gödel|Teorema Ketidaklengkapan]],<ref>{{cite web|url=https://gravitys-rainbow.pynchonwiki.com/wiki/index.php?title=G|title=G - Gödel's Theorem|website=Thomas Pynchon Wiki: Gravity's Rainbow|access-date=2018-10-23}}</ref> yang menunjukkan bahwa [[Program Hilbert]], rencana formal Hilbert untuk menyatukan matematika menjadi satu set aksioma, tidak mungkin.<ref>{{Cite book|title=Gravity's Rainbow|last=Thomas|first=Pynchon|publisher=Viking Press|year=1973|isbn=978-0143039945|pages=217, 275}}</ref>

== Lihat pula ==
{{portal | Matematika}}
* {{annotated link|Ruang Banach}}
* {{annotated link|Teorema dasar ruang Hilbert}}
* {{annotated link|Ruang Hadamard}}
* {{annotated link|Aljabar Hilbert (disambiguasi) | Aljabar Hilbert}}
* {{annotated link|Hilbert modul-C*}}
* {{annotated link|lipatan Hilbert}}
* {{annotated link|Produk L-semi-dalam}}
* {{annotated link|Ruang vektor topologis konveks lokal}}
* {{annotated link|Teori operator}}
* {{annotated link|Topologi operator}}
* {{annotated link|Rijet ruang Hilbert}}
* {{annotated link|Ruang vektor topologis}}

== Catatan ==
=== Keterangan ===
{{reflist|group=nb}}

=== Kutipan ===
{{reflist|colwidth=30em}}

=== Referensi ===
{{Refbegin|colwidth=30em}}

* {{Citation | last1=Bachman | first1=George | last2=Narici | first2=Lawrence | last3=Beckenstein | first3=Edward | title=Fourier and wavelet analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-0-387-98899-3 | mr=1729490 | year=2000}}.
* {{citation|last1= Bers|first1=Lipman|author-link=Lipman Bers|first2=Fritz|last2= John|author-link2=Fritz John | first3= Martin | last3= Schechter|title=Partial differential equations | publisher= American Mathematical Society|year=1981|isbn=978-0-8218-0049-2}}.
* {{citation|last=Bourbak|first=Nicolasi|author-link=Nicolas Bourbaki|title=Spectral theories|series=Elements of mathematics|publisher= Springer-Verlag|location=Berlin|year=1986|isbn=978-0-201-00767-1}}.
* {{citation|last=Bourbaki|first=Nicolas|author-link=Nicolas Bourbaki|title=Topological vector spaces|series=Elements of mathematics|publisher= Springer-Verlag|location=Berlin|year=1987|isbn=978-3-540-13627-9}}.
* {{citation|last1=Boyer|first1=Carl Benjamin|author-link1=Carl Benjamin Boyer|last2=Merzbach|first2=Uta C|author2-link=Uta Merzbach|year=1991|title=A History of Mathematics|edition=2nd|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|isbn=978-0-471-54397-8|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye}}.
* {{citation|last1=Brenner|first1=S.|first2=R. L.|last2=Scott|title=The Mathematical Theory of Finite Element Methods|edition=2nd|publisher=Springer|year=2005|isbn=978-0-387-95451-6}}.
* {{Citation | last1=Buttazzo | first1=Giuseppe | last2=Giaquinta | first2=Mariano | last3=Hildebrandt | first3=Stefan | title=One-dimensional variational problems | publisher=The Clarendon Press Oxford University Press | series=Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications | isbn=978-0-19-850465-8 | mr=1694383 | year=1998 | volume=15}}.
* {{citation|last=Clarkson|first=J. A.|title=Uniformly convex spaces|journal=Trans. Amer. Math. Soc.|volume=40|year=1936|pages=396–414|doi=10.2307/1989630|issue=3|jstor=1989630|doi-access=free}}.
* {{citation|last1=Courant|first1=Richard|author-link=Richard Courant|first2=David|last2=Hilbert|author-link2=David Hilbert|title=Methods of Mathematical Physics, Vol. I|publisher=Interscience|year=1953}}.
* {{citation | last = Dieudonné | first = Jean | author-link=Jean Dieudonné|title= Foundations of Modern Analysis|publisher = Academic Press| year= 1960}}.
* {{citation|last=Dirac|first=P.A.M.|author-link=Paul Dirac|title=The Principles of Quantum Mechanics |publisher=Clarendon Press|location=Oxford|year=1930|title-link=The Principles of Quantum Mechanics}}.
* {{citation|last1=Dunford|first1=N.|first2=J.T.|last2=Schwartz|author-link2=Jacob T. Schwartz|title=Linear operators, Parts I and II|publisher=Wiley-Interscience|year=1958}}.
* {{citation|last= Duren|first=P.|title=Theory of H<sup>p</sup>-Spaces|year=1970|publisher= Academic Press|location= New York}}.
<!--*{{Citation | last1=Feintuch | first1=Avraham | last2=Saeks | first2=Richard | title=System theory | publisher=Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers] | location=London | series=Pure and Applied Mathematics | isbn=978-0-12-251750-1 | mr=663906 | year=1982 | volume=102}}.-->
* {{citation |title=Fourier analysis and its application |first=Gerald B.|last=Folland |url=https://books.google.com/books?as_isbn=0-8218-4790-2 |isbn=978-0-8218-4790-9 |publisher=American Mathematical Society Bookstore |year=2009 |edition=Reprint of Wadsworth and Brooks/Cole 1992}}.
* {{citation|last=Folland|first=Gerald B.|title=Harmonic analysis in phase space|series=Annals of Mathematics Studies|volume= 122|publisher=Princeton University Press|year= 1989|isbn= 978-0-691-08527-2}}.
* {{citation|last=Fréchet|first=Maurice|title=Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires|journal=C. R. Acad. Sci. Paris|volume=144|pages=1414–1416|year=1907}}.
* {{citation|last=Fréchet|first=Maurice|title=Sur les opérations linéaires|year=1904|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=5|issue=4|pages=493–499|doi=10.2307/1986278|jstor=1986278}}.
* {{citation|last=Giusti|first=Enrico|title=Direct Methods in the Calculus of Variations|publisher=World Scientific|year=2003|isbn=978-981-238-043-2}}.
* {{Citation | last1=Grattan-Guinness | first1=Ivor | title=The search for mathematical roots, 1870–1940 | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Princeton Paperbacks | isbn=978-0-691-05858-0 | mr=1807717 | year=2000}}.
* {{citation| last =Halmos| first =Paul| author-link=Paul Halmos|title=Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity|year=1957|
publisher=Chelsea Pub. Co}}
* {{citation| last=Halmos|first=Paul|author-link=Paul Halmos|title=A Hilbert Space Problem Book|year=1982|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-90685-0}}.
* {{citation| last1 = Hewitt| first1 = Edwin| last2 = Stromberg| first2 = Karl| title = Real and Abstract Analysis| year = 1965| publisher = Springer-Verlag| location = New York}}.
* {{citation| last1=Hilbert| first1=David| author-link1 = David Hilbert| last2=Nordheim| first2 = Lothar (Wolfgang)| author-link2= Lothar Nordheim| last3= von Neumann| first3= John|author-link3= John von Neumann| title = Über die Grundlagen der Quantenmechanik| url=http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D27779| journal = Mathematische Annalen| volume = 98| pages = 1–30| year = 1927| doi=10.1007/BF01451579| s2cid=120986758}}{{dead link|date=July 2016}}.
* {{citation|last=Kac|first=Mark|author-link=Mark Kac|title=Can one hear the shape of a drum?|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=73|issue=4, part 2|year=1966|pages=1–23|doi=10.2307/2313748|jstor=2313748}}.
* {{Citation | last1=Kadison | first1=Richard V. | last2=Ringrose | first2=John R. | title=Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol. I | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Graduate Studies in Mathematics | isbn=978-0-8218-0819-1 | mr=1468229 | year=1997 | volume=15}}.
* {{Citation | last1=Kadison | first1=Richard V. | last2=Ringrose | first2=John R. |year= 1983 | title=Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I: Elementary Theory |location= New York |publisher= Academic Press, Inc.}}

<!--* {{citation | last1 = Колмогоров| first1 = А. Н.| authorlink1 = Andrey Kolmogorov| last2= Фомин|first2= С. В.| authorlink2 = Sergei Fomin | title = Элементы теории функций и функционального анализа|year = 1989| edition = sixth Russian (with corrections)| publisher = "Nauka", Moscow| isbn= 5-02-013993-9}}.-->
* {{Citation | last1=Kakutani | first1=Shizuo | author1-link=Shizuo Kakutani | title=Some characterizations of Euclidean space | mr=0000895 | year=1939 | journal=Japanese Journal of Mathematics | volume=16 | pages=93–97| doi=10.4099/jjm1924.16.0_93 | doi-access=free }}.
* {{Citation | last1=Kline | first1=Morris | author1-link=Morris Kline | title=Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 3 | year=1972 | publisher=[[Oxford University Press]] | edition=3rd | isbn=978-0-19-506137-6 | publication-date=1990 | url=https://archive.org/details/mathematicalthou00morr }}.
* {{citation | last1 = Kolmogorov | first1 = Andrey | author-link1 = Andrey Kolmogorov | last2 = Fomin| first2 = Sergei V.| author-link2 = Sergei Fomin| title = Introductory Real Analysis | year = 1970| edition = Revised English edition, trans. by Richard A. Silverman (1975)| publisher = Dover Press| isbn = 978-0-486-61226-3| url = https://archive.org/details/introductoryreal00kolm_0}}.
* {{Citation | last1=Krantz | first1=Steven G. | author-link=Steven Krantz|title=Function Theory of Several Complex Variables | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-2724-6 | year=2002}}.
* {{citation | last=Lanczos | first=Cornelius | title=Applied analysis | isbn=978-0-486-65656-4 | publisher=Dover Publications | year=1988 | edition=Reprint of 1956 Prentice-Hall | url=https://books.google.com/books?as_isbn=0-486-65656-X}}.
*{{citation|last=Lebesgue|first=Henri|title=Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives|url=https://books.google.com/books?id=VfUKAAAAYAAJ&q=%22Lebesgue%22%20%22Le%C3%A7ons%20sur%20l'int%C3%A9gration%20et%20la%20recherche%20des%20fonctions%20...%22&pg=PA1|year=1904|publisher=Gauthier-Villars}}.
* {{springer|id=H/h047380|title=Hilbert space|first=B.M. |last=Levitan}}.
* {{Citation | last1=Lindenstrauss | first1=J. | last2=Tzafriri | first2=L. | title=On the complemented subspaces problem | mr=0276734 | year=1971 | journal=Israel Journal of Mathematics | issn=0021-2172 | volume=9 | pages=263–269 | doi=10.1007/BF02771592 | issue=2| s2cid=119575718 }}.
* {{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold E. | author1-link=Jerrold E. Marsden | title=Elementary classical analysis | publisher=W. H. Freeman and Co. | mr=0357693 | year=1974}}.
* {{citation| last=von Neumann| first=John| author-link=John von Neumann| title=Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren| journal=Mathematische Annalen| volume = 102| pages = 49–131| year = 1929| doi=10.1007/BF01782338| s2cid=121249803}}.
* {{Narici Beckenstein Topological Vector Spaces|edition=2}} <!-- {{sfn | Narici | 2011 | p=}} -->
* {{citation | last=von Neumann | first=John|author-link=John von Neumann|title=Physical Applications of the Ergodic Hypothesis|year=1932|journal=Proc Natl Acad Sci USA|volume=18|pages=263–266|doi=10.1073/pnas.18.3.263|pmid=16587674|issue=3|pmc=1076204|jstor=86260|bibcode = 1932PNAS...18..263N }}.
*{{Citation | last1=von Neumann | first1=John | author1-link=John von Neumann | title=Mathematical Foundations of Quantum Mechanics | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Princeton Landmarks in Mathematics | isbn=978-0-691-02893-4 | mr=1435976 | publication-date=1996|year=1955| title-link=Mathematical Foundations of Quantum Mechanics |translator-first=Robert T. |translator-last=Beyer}}.
* {{MacTutor|class=HistTopics|id=Abstract_linear_spaces|title=Abstract linear spaces|date=1996}}
* {{citation| last=Prugovečki|first=Eduard|title=Quantum mechanics in Hilbert space|publisher=Dover|edition=2nd|year=1981|publication-date=2006|isbn=978-0-486-45327-9}}.
* {{citation | last1=Reed | first1=Michael|author-link=Michael C. Reed|first2=Barry|last2=Simon|author-link2=Barry Simon|series=Methods of Modern Mathematical Physics|title=Functional Analysis|publisher=Academic Press|year=1980|isbn= 978-0-12-585050-6}}.
* {{citation | last1=Reed | first1=Michael|author-link=Michael C. Reed|first2=Barry|last2=Simon|author-link2=Barry Simon|title=Fourier Analysis, Self-Adjointness|series=Methods of Modern Mathematical Physics|publisher=Academic Press|year=1975|isbn=9780125850025 }}.
* {{citation | last=Riesz | first=Frigyes | author-link=Frigyes Riesz|title=Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables|journal=C. R. Acad. Sci. Paris|volume=144|pages=1409–1411|year=1907}}.
* {{citation | last=Riesz | first=Frigyes |author-link=Frigyes Riesz|title=Zur Theorie des Hilbertschen Raumes|journal=Acta Sci. Math. Szeged |volume=7|pages=34–38|year=1934}}.
* {{citation | last1=Riesz | first1=Frigyes | author-link=Frigyes Riesz|first2=Béla|last2=Sz.-Nagy|author-link2=Béla Szőkefalvi-Nagy|title=Functional analysis|publisher=Dover|year=1990|isbn= 978-0-486-66289-3}}.
* {{Rudin Walter Functional Analysis|edition=1}} <!-- {{sfn | Rudin | 1991 | p=}} -->
* {{citation | last=Rudin | first=Walter|author-link=Walter Rudin|title=Real and Complex Analysis|year=1987|publisher=McGraw-Hill|isbn=978-0-07-100276-9}}.
* {{citation | last=Saks | first=Stanisław |author-link=Stanisław Saks|title=Theory of the integral|publisher=Dover|year=2005|edition=2nd Dover|isbn=978-0-486-44648-6}}; originally published ''Monografje Matematyczne'', vol. 7, Warszawa, 1937.
* {{Schaefer Wolff Topological Vector Spaces|edition=2}} <!-- {{sfn | Schaefer | 1999 | p=}} -->
* {{citation| last=Schmidt| first=Erhard|author-link=Erhard Schmidt|title=Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten|journal=Rend. Circ. Mat. Palermo|volume=25|pages=63–77|year=1908 | doi=10.1007/BF03029116| s2cid=120666844}}.
* {{Citation | last1=Shubin | first1=M. A. | title=Pseudodifferential operators and spectral theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Springer Series in Soviet Mathematics | isbn=978-3-540-13621-7 | mr=883081 | year=1987}}.
* {{Citation | last1=Sobrino | first1=Luis | title=Elements of non-relativistic quantum mechanics | journal=<!-- Citation bot--> | publisher=World Scientific Publishing Co. Inc. | location=River Edge, New Jersey | isbn=978-981-02-2386-1 | mr=1626401 | year=1996| bibcode=1996lnrq.book.....S | doi=10.1142/2865 | doi-access=free }}.
* {{citation | last=Stewart | first=James|title=Calculus: Concepts and Contexts|edition=3rd|publisher=Thomson/Brooks/Cole|year=2006}}.
* {{citation | last=Stein | first=E|title=Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions|publisher=Princeton Univ. Press|year=1970|isbn=978-0-691-08079-6|url-access=registration|url=https://archive.org/details/singularintegral0000stei}}.
* {{citation|last1=Stein|first1=Elias|author-link1=Elias Stein|first2=Guido|last2=Weiss|author-link2=Guido Weiss|title=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces|publisher=Princeton University Press|year=1971|isbn=978-0-691-08078-9|location=Princeton, N.J.|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontofo0000stei}}.
* {{citation|last1=Streater|first1=Ray|author-link1=Ray Streater|last2=Wightman|first2=Arthur|author-link2=Arthur Wightman|title= PCT, Spin and Statistics and All That|year=1964|publisher=W. A. Benjamin, Inc}}.
* {{cite book| last = Teschl| given = Gerald|author-link=Gerald Teschl| title=Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators| publisher=[[American Mathematical Society]]| place = [[Providence, Rhode Island|Providence]]| year=2009 |url=https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ |isbn=978-0-8218-4660-5 }}.
* {{citation| last=Titchmarsh|first=Edward Charles|author-link=Edward Charles Titchmarsh|title=Eigenfunction expansions, part 1|year=1946|publisher=Clarendon Press|location=Oxford University}}.
* {{citation|first=François|last=Trèves|title=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels|publisher=Academic Press|year=1967}}.
* {{Citation | last1=Warner | first1=Frank | title=Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90894-6 | year=1983}}.
* {{Citation | last1=Weidmann | first1=Joachim | title=Linear operators in Hilbert spaces | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-90427-6 | mr=566954 | year=1980 | volume=68}}.
* {{citation | last=Weyl| first=Hermann| author-link=Hermann Weyl| title = The Theory of Groups and Quantum Mechanics| year = 1931| publisher = Dover Press| edition = English 1950| isbn= 978-0-486-60269-1}}.
* {{citation| last=Young|first=Nicholas|title=An introduction to Hilbert space|publisher=Cambridge University Press|year=1988|zbl=0645.46024|isbn=978-0-521-33071-8}}.
{{Refend}}

== Pranala luar ==
{{Wikibooks|Analisis fungsional/Ruang Hilbert}}
* {{Commonscatinline}}
* {{springer|title=Hilbert space|id=p/h047380}}
* [http://mathworld.wolfram.com/HilbertSpace.html Hilbert space at Mathworld]
* [http://terrytao.wordpress.com/2009/01/17/254a-notes-5-hilbert-spaces/ 245B, notes 5: Hilbert spaces] by [[Terence Tao]]

{{Analisis Fungsional}}
{{Ruang Hilbert}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Ruang Hilbert| ]]
[[Kategori:Aljabar linear]]
[[Kategori:Teori operator]]
[[Kategori:Mekanika kuantum]]
[[Kategori:Analisis fungsional]]
[[Kategori:David Hilbert| Ruang]]