Lihat sumber Rasio emas

[[Berkas:Golden ratio line.svg|jmpl|Ruas garis dalam rasio emas]]

[[Berkas:SimilarGoldenRectangles.svg|ka|jmpl|Sebuah [[persegi panjang emas]] dengan sisi panjang <span style="color:blue;">'''''a'''''</span> dan sisi pendek <span style="color:red;">'''''b'''''</span>, jika diletakkan berhimpitan dengan bujur sangkar dengan panjang sisi <span style="color:blue;">'''''a'''''</span>, maka akan menghasilkan [[kemiripan geometri|kemiripan]] persegi emas dengan sisi panjang <span style="color:green;">'''''a + b'''''</span> dan sisi pendek <span style="color:blue;">'''''a'''''</span>. Hal ini dirumuskan melalui persamaan matematika: <math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \varphi</math>]]

[[Berkas:Golden Rectangle Construction.svg|ka|jmpl|Cara menggambar sebuah [[persegi panjang emas]]:<br/>
1. Buatlah gambar sebuah bujur sangkar/[[persegi]] (merah).<br/>
2. Tarik satu garis memotong tepat di tengah persegi membaginya menjadi 2 bagian.<br/>
3. Tarik garis dari titik perpotongan garis tengah dengan sisi persegi ke sudut persegi (panah abu-abu), jadikan ini sebagai jari-jari lingkaran.<br/>
4. Dengan menggunakan jangka buatlah satu lingkaran dengan pusat di titik perpotongan sesuai jari-jari, lingkaran menyentuh dua sudut persegi.<br/>
5. Tarik satu garis baru sesuai sisi persegi hingga berpotongan dengan lingkaran, buat persegi panjang baru berdasarkan titik pertemuan sisi-sisi ini (biru). Gabungan persegi dengan persegi panjang membentuk persegi panjang emas.]]

Dalam [[matematika]], dua nilai dianggap berada dalam hubungan '''rasio emas (<math>\varphi</math>)''' jika [[rasio]] antara jumlah kedua nilai itu terhadap nilai yang besar sama dengan rasio antara nilai besar terhadap nilai kecil. Nilai yang lebih besar dilambangkan dengan huruf ''a'', sedangkan nilai yang lebih kecil dilambangkan dengan huruf ''b''. Gambar di sebelah kanan menggambarkan hubungan geometrik yang jika dirumuskan secara aljabar adalah sebagai berikut:

:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \varphi</math>
dimana huruf Yunani [[Phi (huruf)|phi]] (<math>\varphi</math>) mewakili rasio emas. Nilainya adalah:

:<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.61803\,39887\ldots.</math><ref name="quadform">Rasio emas dapat diwujudkan dalam [[formula kuadrat]], dengan memulai angka pertama dengan 1, lalu menentukan angka kedua dengan huruf ''x'', dimana rasio (''x''&nbsp;+&nbsp;1)/''x'' = ''x''/1 atau (dikalikan dengan ''x'') menghasilkan: ''x''&nbsp;+&nbsp;1 = ''x''<sup>2</sup>, atau dengan persamaan kuadrat: ''x''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;''x''&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0. Kemudian, oleh formula kuadrat, untuk ''x'' postif = (−''b''&nbsp;+&nbsp;√(''b''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;4''ac''))/(2''a'') dengan ''a''&nbsp;=&nbsp;1, ''b''&nbsp;=&nbsp;−1, ''c''&nbsp;=&nbsp;−1, solusi untuk ''x'' adalah: (−(−1)&nbsp;+&nbsp;√((−1)<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;4·1·(−1)))/(2·1) or (1&nbsp;+&nbsp;√(5))/2.</ref>

Setidaknya sejak [[Abad Renaisans]], banyak [[seniman]] dan [[arsitek]] telah membuat proporsi karya sesuai dengan rasio emas—terutama dalam bentuk [[persegi emas]], yaitu perbandingan sisi panjang terhadap sisi pendek sesuai dengan nilai rasio emas—dipercaya proporsi ini secara [[estetika]] sangat ideal. Sebuah persegi panjang emas dapat dipotong menjadi [[persegi]] dan [[persegi panjang]] kecil dengan [[rasio aspek]] yang sama persis. Para ahli matematika sejak zaman [[Euclid]] telah mempelajari rasio emas karena sifatnya yang unik dan menarik. Rasio emas juga digunakan dalam analisis [[pasar keuangan]], serta strategi seperti [[retraksi Fibonacci]].

Rasio emas sering kali disebut '''bagian emas''' (Latin: ''sectio aurea'') atau '''rata-rata emas'''.<ref name="livio">{{Cite book|last=Livio|first=Mario|year=2002|title=The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number|publisher=Broadway Books|location=New York|isbn=0-7679-0815-5|url=http://books.google.com/books?id=w9dmPwAACAAJ}}</ref><ref>Piotr Sadowski, ''The Knight on His Quest: Symbolic Patterns of Transition in Sir Gawain and the Green Knight'', Cranbury NJ: Associated University Presses, 1996.</ref><ref name="dunlap">Richard A Dunlap, ''The Golden Ratio and Fibonacci Numbers'', World Scientific Publishing, 1997.</ref> Nama lainnya antara lain '''rasio ekstrem dan rata-rata''',<ref name="Elements 6.3">Euclid, ''[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Elements]'', Book 6, Definition 3.</ref> '''bagian tengah''', '''proporsi ilahiah''', '''bagian ilahiah''' (Latin: ''sectio divina''), '''proporsi emas''', '''potongan emas''',<ref>Summerson John, ''Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture'' (New York: W.W. Norton, 1963) p. 37. "And the same applies in architecture, to the rectangles representing these and other ratios (e.g. the 'golden cut'). The sole value of these ratios is that they are intellectually fruitful and suggest the rhythms of modular design."</ref> '''angka emas''', dan '''rata-rata [[Phidias]]'''.<ref>Jay Hambidge, ''Dynamic Symmetry: The Greek Vase'', New Haven CT: Yale University Press, 1920.</ref><ref>William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, ''Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference'', Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003.</ref><ref name="Pacioli">Pacioli, Luca. ''[[De divina proportione]]'', Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.</ref>

{{TOC limit|3}}

== Perhitungan ==
Dua nilai ''a'' dan ''b'' dinyatakan berada dalam hubungan ''rasio emas'' ''φ'' jika:

:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi.</math>

Salah satu cara untuk menemukan nilai φ adalah dengan memulai pembagian sisa. Dengan cara menyederhanakan pembilang dan penyebutnya dalam b/a = 1/φ,

:<math>\frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi},</math>

hal ini menunjukkan

:<math> 1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi.</math>

Dikalikan dengan ''φ'' menghasilkan

:<math>\varphi + 1 = \varphi^2</math>

yang dapat diatur menjadi

:<math>{\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0.</math>

Dengan menggunakan [[Persamaan kuadrat|formula kuadrat]] menghasilkan hasil positif yakni sebagai berikut.

:<math>\begin{aligned} \varphi&=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)}\\&=\frac{1\pm \sqrt{1+4}}{2}\\ &=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} \end{aligned}</math>
Dari perhitungan persamaan kuadrat, dapat diambil nilai positifnya, yakni sebagai berikut. 

<math display="block">\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.6180339887\dots</math>
:
:
:
:
:


== Sejarah ==
[[Berkas:Phi uc lc.svg|jmpl|200px|Ahli matematika [[Mark Barr]] mengusulkan menggunakan huruf pertama nama seorang pematung Yunani [[Phidias]], ''phi'', untuk melambangkan rasio emas. Biasanya digunakan huruf kecil (φ). Kadang-kadang huruf besar (Φ) idigunakan dalam [[Resiprokal (matematika)|resiprokal]] rasio emas, 1/φ.]]

Rasio emas telah memikat kaum intelektual barat dari berbagai latar belakang disiplin ilmu selama sekurangnya 2.400 tahun. Menurut [[Mario Livio]]:

{{quote|Sekian banyak cendekiawan matematika dari berbagai era, seperti [[Pythagoras]] dan [[Euclid]] dari [[Yunani kuno]], sampai ahli matematika Italia abad pertengahan [[Leonardo da Pisa]] dan ahli astronomi Renaissance [[Johannes Kepler]], hingga tokoh-tokoh ilmuwan seperti pakar fisika dari Oxford [[Roger Penrose]], telah menghabiskan banyak waktu untuk memahami rasio sederhana ini dengan sifat-sifatnya. Akan tetapi ketakjuban akan rasio emas ini tidak hanya terbatas di kalangan ahli matematika saja. Ahli biologi, seniman, musisi, sejarawan, arsitek, psikolog, dan bahkan ahli mistik telah berdebat mengenai hakikat keserbaadaannya dan daya tariknya. Bahkan, mungkin patut dikatakan bahwa rasio emas telah mengilhami begitu banyak pemikir dari berbagai disiplin ilmu dibandingkan angka apapun dalam sejarah matematika.<ref>Mario Livio,''The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number'', p.6</ref>}}

Ahli matematika [[Yunani kuno]] pertama kali mempelajari hal yang kini dikenal sebagai rasio emas karena kerap muncul dalam [[geometri]]. Pembagian garis menjadi "rasio ekstrem dan rata-rata" (bagian emas) sangat penting dalam geometri [[pentagram]] dan [[pentagon]]. Bangsa Yunani biasanya mengaitkan penemuan konsep ini dengan [[Pythagoras]] atau pengikutnya. Pentragram yang dibubuhi pentagon menjadi lambang kaum pendukung paham Pythagoras.

Elemen [[Euclid]] ([[Bahasa Yunani|Yunani]]: {{lang|grc|Στοιχεῖα}}) memberikan definisi tertulis pertama mengenai apa yang disebut sebagai rasio emas: "Sebuah garis dikatakan telah ''dipotong dalam rasio ekstrem dan rata-rata'' ketika panjang seluruh garis berbanding ruas panjang adalah sama dengan ruas panjang berbanding ruas pendek."<ref name="Elements 6.3"/> Euclid menjelaskan cara memotong sebuah garis dalam "rasio ekstrem dan rata-rata", yaitu rasio emas.<ref>Euclid, ''[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Elements]'', Book 6, Proposition 30.</ref> Di seluruh ''Element'', beberapa pengajuan gagasan ([[teorema]] dalam istilah modern) serta pembuktiannya menggunakan rasio emas.<ref>Euclid, ''[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Elements]'', Book 2, Proposition 11; Book 4, Propositions 10–11; Book 13, Propositions 1–6, 8–11, 16–18.</ref> Beberapa dari gagasan yang diajukan ini menunjukkan bahwa rasio emas adalah [[bilangan irasional]].

Nama "rasio ekstrem dan rata-rata" adalah istilah utama yang digunakan pada abad ke-3 SM <ref name="Elements 6.3"/> hingga sekitar abad ke-18 M.

Sejarah modern rasio emas dimulai dengan karya [[Luca Pacioli]] ''[[De divina proportione]]'' pada tahun 1509, yang memukau para seniman, arsitek, ilmuwan, dan mistik dengan rumusan matematika dan sifat-sifat istimewa rasio emas.

[[Berkas:Michael Maestlin.jpg|ka|jmpl|[[Michael Maestlin]], pertama kali menerbitkan perkiraan desimal rasio emas pada 1597.]]

Perkiraan inversi rasio emas dalam bentuk pecahan desimal, disebutkan bernilai "sekitar 0,6180340," pertama kali ditulis pada 1597 oleh [[Michael Maestlin]] dari Universitas Tübingen, dalam suratnya untuk mantan muridnya [[Johannes Kepler]].<ref>{{cite web| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Golden_ratio.html | title = The Golden Ratio | work = The MacTutor History of Mathematics archive | accessdate = 2007-09-18}}</ref>

Sejak abad ke-20, rasio emas diwakili dengan [[huruf Yunani]] '''''Φ''''' atau '''''φ''''' ([[phi]], berdasarkan nama [[Phidias]], (pematung yang disebut-sebut menggunakan rasio ini) atau secara tidak lazim juga dilambangkan dengan '''''τ''''' ([[tau]], huruf pertama untuk kata dalam Yunani kuno τομή yang berarti ''memotong''.<ref name="livio"/><ref>{{Mathworld|title=Golden Ratio|urlname=GoldenRatio}}</ref>

=== Liniwaktu ===
Liniwaktu menurut Priya Hemenway.<ref name=Hemenway,P>{{Cite book
|last = Hemenway
|first = Priya
|title = Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science
|url = https://archive.org/details/divineproportion0000heme
|year = 2005
|publisher = Sterling
|location = New York
|isbn = 1-4027-3522-7
|pages = [https://archive.org/details/divineproportion0000heme/page/20 20]–21
 }}</ref>
* [[Phidias]] (490–430 SM) membuat patung-patung [[Parthenon]] yang dinilai mengandung rasio emas.
* [[Plato]] (427–347 SM), dalam karyanya ''[[Timaeus]]'', menyebutkan lima bangun bentuk yang umum ([[Bangun Plato]]: [[tetrahedron]], [[kubus]], [[oktahedron]], [[dodekahedron]], dan [[ikosahedron]]), beberapa diantaranya terkait rasio emas.<ref>{{cite web
| last = Plato
| authorlink = Plato
| year = 360 BC) (Benjamin Jowett trans.
| url = http://classics.mit.edu/Plato/timaeus.html
| title = Timaeus
| publisher = The Internet Classics Archive
| accessdate = May 30, 2006
| archive-date = 2012-05-01
| archive-url = https://web.archive.org/web/20120501013742/http://classics.mit.edu/Plato/timaeus.html
| dead-url = yes
}}</ref>
* [[Euclid]] (sekitar 325–265 SM), dalam karyanya ''[[Elemen]]'', memberikan catatan pertama definisi rasio emas, yang disebutnya gave "rasio ekstrem dan rata-rata" (Greek: ἄκρος καὶ μέσος λόγος).<ref name="Elements 6.3"/>
* [[Fibonacci]] (1170–1250) menyebutkan deret bilangan yang kini dinamai sesuai namanya dalam karyanya ''[[Liber Abaci]]''; rasio deret elemen [[bilangan Fibonacci]] mendekati rasio emas.
* [[Luca Pacioli]] (1445–1517) mendefinisikan rasio emas sebagai "rasio ilahiah" dalam karyanya ''Divina Proportione''.
* [[Michael Maestlin]] (1550–1631) menerbitkan perkiraan pertama yang diketahui mengenai (inversi) rasio emas sebagai [[pecahan desimal]].
* [[Johannes Kepler]] (1571–1630) membuktikan bahwa rasio emas adalah limit rasio keberlanjutan Fibonacci numbers,<ref name=tatt>
{{Cite book
|title = Elementary number theory in nine chapters
|edition = 2nd
|author = James Joseph Tattersall
|publisher = [[Cambridge University Press]]
|year = 2005
|isbn = 978-0-521-85014-8
|page = 28
|url = http://books.google.com/?id=QGgLbf2oFUYC&pg=PA29&dq=golden-ratio+limit+fibonacci+ratio+kepler&q=golden-ratio%20limit%20fibonacci%20ratio%20kepler
 }}</ref> dan menggambarkan rasio emas sebagai "permata berharga": "Geometri memiliki dua khazanah: yang pertama adalah [[Teorema Pythagoras]], dan yang lainnya adalah pembagian garis menjadi rasio ekstrem dan rata-rata; yang pertama kita dapat mengandaikannya sebagai emas, yang kedua dapat kita namakan sebagai permata berharga." Kedua khazanah ini berpadu dalam [[segitiga Kepler]].
* [[Charles Bonnet]] (1720–1793) menyoroti bahwa spiral tanaman [[phyllotaxis]] berputar searah jarum jam dan berlawanan jarum jam biasanya sesuai deret bilangan Fibonacci.
* [[Martin Ohm]] (1792–1872) dipercaya sebagai orang yang pertama menggunakan istilah ''goldener Schnitt'' (bagian emas) untuk menggambarkan rasio ini pada tahun 1835.<ref>{{Cite book|title = Die Macht der Zahl: Was die Numerologie uns weismachen will|author = Underwood Dudley|publisher = Springer|year = 1999|isbn = 3-7643-5978-1|page = 245|url = http://books.google.com/?id=r6WpMO_hREYC&pg=PA245&dq=%22goldener+Schnitt%22+ohm }}</ref>
* [[Édouard Lucas]] (1842–1891) memberikan urutan angka yang kini disebut deret bilangan Fibonacci.
* Mark Barr (abad ke-20 M) mengusulkan huruf Yunani phi ('''φ'''), sebagai inisial pematung ternama Yunani, Phidias, sebagai lambang rasio emas.<ref>{{Cite book
|last = Cook
|first = Theodore Andrea
|title = The Curves of Life
|origyear = 1914
|url = http://books.google.com/?id=ea-TStM-07EC&pg=PA420&dq=phi+mark+barr+intitle:The+intitle:Curves+intitle:of+intitle:Life
|year = 1979
|publisher = Dover Publications
|location = New York
|isbn = 0-486-23701-X
}}</ref>
* [[Roger Penrose]] (lahir 1931) menemukan pola simetris yang menggunakan rasio emas dalam bidang [[tegel aperiodik]], yang mengarah kepada temuan snxnsn baru mengenai [[quasikristal]].

== Penerapan dan pengamatan di alam ==
[[Berkas:Fibonacci spiral 34.svg|jmpl|ka|250px|Spiral Fibonacci]]
[[Berkas:spiral kerang.jpg|jmpl|250px|Spiral Kerang yang berdasar rasio emas.]]
Salahsatu makhluk hidup sederhana yang memiliki kaidah ini adalah [[Rasio emas pada kerang]].
=== Estetika ===

''De Divina Proportione'', sebuah buku tiga volume karya [[Luca Pacioli]], diterbitkan pada 1509. Pacioli, seorang pendeta [[Fransiskan]], dikenal sebagai ahli matematika, tetapi ia diketahui tertarik dan terlatih dalam bidang seni. ''De Divina Proportione'' mengeksplorasi matematika dari rasio emas. Sering disebutkan bahwa Pacioli adalah penganjur penerapan rasio emas untuk menghasilkan proporsi yang harmonis, indah, dan menyenangkan. Livio menunjukkan bahwa penafsiran ini salah akibat salah penerjemahan yang dirunut terjadi pada 1799, bahwa Pacioli sesungguhnya menganjurkan sistem [[Vitruvius]] untuk proporsi rasional.<ref name="livio"/> Pacioli juga melihat signifikansi iman Katolik dalam rasio ini, hal inilah yang mendorongnya memberi judul karyanya seperti demikian. Terdapat ilustrasi bangun karya [[Leonardo da Vinci]], sahabat dan kolega Pacioli, ''De Divina Proportione'' menjadi pengaruh utama bagi seniman dan arsitek.

=== Arsitektur ===

[[Berkas:Acropolis of Athens 01361.JPG|jmpl|ka|250px|Proporsi beberapa bagian [[Parthenon]] dianggap menampilkan rasio emas.]]

Fasad dan elemen Parthenon serta bagian lainnya disebut-sebut dipengaruhi persegi panjang emas.<ref>Van Mersbergen, Audrey M., "Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis with a Philosophical Polemic", ''Communication Quarterly'', Vol. 46 No. 2, 1998, pp 194-213.</ref> Sementara para ilmuwan lainnya menolak anggapan bahwa Yunani menghubungkan keindahan dengan rasio emas.

== Lihat juga ==
{{div col|colwidth=20em}}
* [[Sudut emas]]
* [[Daftar karya dengan rasio emas]]
* [[Tegel Penrose]]
* [[Angka plastis]]
* [[Geometri suci]]
* [[Rasio perak]]
{{div col end}}

== Referensi ==
{{reflist|30em}}

== Bacaan lebih lanjut ==
{{refbegin|30em}}
* {{Cite book
|last = Doczi
|first = György
|title = The Power of Limits: Proportional Harmonies in Nature, Art, and Architecture
|origyear = 1981
|year = 2005
|publisher = Shambhala Publications
|location = Boston
|isbn = 1-59030-259-1
}}
* {{Cite book
|last = Huntley
|first = H. E.
|title = The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty
|url =https://archive.org/details/divineproportion0000hunt_o2w9
|year = 1970
|publisher = Dover Publications
|location = New York
|isbn = 0-486-22254-3
}}
* {{Cite book
|last = Livio
|first = Mario
|title = The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number
|origyear = 2002
|url =https://archive.org/details/goldenratiostory00livi
|edition = Hardback
|year = 2002
|publisher = Broadway (Random House)
|location = NYC
|isbn = 0-7679-0815-5
}}
* {{Cite book
|last = Joseph
|first = George G.
|title = The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics
|origyear = 1991
|url =https://archive.org/details/crestofpeacockno00jose
|edition = New
|year = 2000
|publisher = Princeton University Press
|location = Princeton, NJ
|isbn = 0-691-00659-8
}}
* {{Cite book
|last = Sahlqvist
|first = Leif
|title = Cardinal Alignments and the Golden Section: Principles of Ancient Cosmography and Design
|edition = 3rd Rev.
|year = 2008
|publisher = BookSurge
|location = Charleston, SC
|isbn = 1-4196-2157-2
}}
* {{Cite book
|last = Schneider
|first = Michael S.
|title = A Beginner's Guide to Constructing the Universe: The Mathematical Archetypes of Nature, Art, and Science
|url =https://archive.org/details/beginnersguideto00schn
|year = 1994
|publisher = HarperCollins
|location = New York
|isbn = 0-06-016939-7
}}
* {{Cite book
|last = Stakhov
|first = A. P.
|title = The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science
|url =https://archive.org/details/mathematicsofhar0000stak
|year = 2009
|publisher = World Scientific Publishing
|location = Singapore
|isbn = 978-981-277-582-5
}}
* {{Cite book
|last = Walser
|first = Hans
|others = Peter Hilton trans.
|title = The Golden Section
|origyear = ''Der Goldene Schnitt'' 1993
|url =https://archive.org/details/goldensection0000wals_w8v9
|year = 2001
|publisher = The Mathematical Association of America
|location = Washington, DC
|isbn = 0-88385-534-8
}}
* {{Cite book
|last = Scimone
|first = Aldo
|title = La Sezione Aurea. Storia culturale di un leitmotiv della Matematica
|year = 1997
|publisher = Sigma Edizioni
|location = Palermo
|isbn = 88.7231.025.6}}
{{refend}}

== Pranala luar ==
{{Commons category|Golden ratio}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/GoldenSection/ "Golden Section"] by Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
* [http://photoinf.com/Golden_Mean/Eugene_Ilchenko/GoldenSection.html Golden Section in Photography: Golden Ratio, Golden Triangles, Golden Spiral]
* {{MathWorld|title=Golden Ratio|urlname=GoldenRatio}}
* {{cite web|url=http://www.physorg.com/news180531747.html |title=Researcher explains mystery of golden ratio |work=[[PhysOrg]] |date=December 21, 2009 |postscript=<!--None--> }}.
* {{cite web
| url = http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/phi.html
| title = The Golden section ratio: Phi
| last = Knott
| first = Ron
| date =
}} Information and activities by a mathematics professor.
* [https://web.archive.org/web/20071105084747/http://www.contracosta.cc.ca.us/math/pentagrm.htm The Pentagram & The Golden Ratio]. Green, Thomas M. Updated June 2005. Archived November 2007. Geometry instruction with problems to solve.
* {{cite arxiv
|first1=Robert P.
|last1=Schneider
|eprint=1109.3216
|title=A Golden Pair of Identities in the Theory of Numbers}} Proves formulas that involve the golden mean and the [[Euler totient]] and [[Möbius function]]s.

{{DEFAULTSORT:Rasio emas}}
[[Kategori:Rasio emas| ]]
[[Kategori:Geometri datar Euclid]]
[[Kategori:Penemuan Yunani]]
[[Kategori:Angka irasional]]
[[Kategori:Konstanta matematika]]
[[Kategori:Sejarah geometri]]
[[Kategori:Teori senirupa]]