Lihat sumber Rasio

{{Short description|Hubungan dua bilangan yang sejenis}}
{{other uses}}
[[File:Aspect-ratio-4x3.svg|thumb|Rasio antara lebar dengan tinggi dari [[televisi definisi standar]]]]
Dalam [[matematika]], '''rasio''' ({{Lang-en|[[:en:Ratio|Ratio]]}}), '''nisbah''' atau '''perbandingan''' menyatakan berapa kali suatu [[bilangan]] termuat pada bilangan lainnya. Sebagai contoh, jika terdapat sembilan jeruk dan enam semangka, maka rasio dari jeruk dengan semangka ialah sembilan banding enam (ditulis <math>9 : 6</math>, yang setara dengan rasio <math>3 : 2</math>). Dengan cara serupa, maka rasio dari semangka dengan jeruk ialah <math>6 : 9</math> (atau <math>2 : 3</math>) dan rasio antara jeruk dan banyaknya buah ialah <math>9 : 15</math> (atau <math>3 : 5</math>).

Bilangan pada suatu rasio dapat menyatakan kuantitas apa pun, seperti banyaknya orang atau objek, atau bahkan ukuran panjang, berat, waktu, dll. Dalam banyak kasus, kedua bilangan dibatasi bernilai [[bilangan asli|positif]].

Rasio dapat dinyatakan dengan memberikan kedua bilangan pembentuknya, yang ditulis <math>a : b</math>, atau dengan memberikan nilai [[hasil bagi]]nya, yaitu <math>\tfrac{a}{b}</math>.<ref>New International Encyclopedia</ref><ref>{{Cite web
| trans-title      = Rasio
| lang             = en
| title            = Ratios
| url              = https://www.mathsisfun.com/numbers/ratio.html
| access-date      = 2020-08-22
| website          = www.mathsisfun.com}}</ref><ref>{{Cite web
| last             = Stapel
| first            = Elizabeth
| trans-title      = Rasio
| lang             = en
| title            = Ratios
| url              = https://www.purplemath.com/modules/ratio.htm
| access-date      = 2020-08-22
| website          = Purplemath}}</ref> Hasil bagi yang bernilai sama berpadanan dengan rasio yang sama. Suatu pernyataan yang mengekspresikan kesamaan dua rasio disebut sebagai '''''proporsi'''''.

Akibatnya, rasio dapat dipandang sebagai pasangan bilangan yang terurut, suatu [[pecahan]] yang bilangan pertamanya ialah pembilang dan yang kedua ialah penyebut. Rasio perhitungan, yang diberikan oleh bilangan asli (tak nol), adalah [[bilangan rasional]], dan mungkin saja merupakan bilangan asli.

== Notasi dan terminologi ==
Rasio dari bilangan <math>A</math> dan <math>B</math> dapat dinyatakan sebagai:<ref>New International Encyclopedia</ref>
* Rasio antara <math>A</math> dengan <math>B</math>
* <math>A : B</math>
* <math>A</math> terhadap <math>B</math> (saat diikuti dengan "sama seperti <math>C</math> terhadap <math>D</math>{{hairspace}}"; lihat di bawah)
* Suatu [[pecahan]] dengan <math>A</math> sebagai pembilang dan <math>B</math> sebagai penyebut (atau dengan kata lain, <math>A</math> dibagi <math>B</math>, atau <math>\tfrac{A}{B}</math>). Hal ini dapat dinyatakan sebagai pecahan sederhana, desimal, atau sebagai persentase, dll.<ref>Pecahan desimal sering digunakan dalam ranah teknologi dimana perbandingan rasio adalah hal penting, seperti [[rasio aspek (gambar)]], [[rasio kompresi]] (mesin atau [[Kompresi data|penyimpanan data]]), dsb.</ref>

Ketika rasio ditulis dalam bentuk <math>A : B</math>, simbol dua titik diantara <math>A</math> dan <math>B</math> terkadang merupakan [[tanda titik dua]].<ref name="MathWorld-colon">{{cite web
| url              = https://mathworld.wolfram.com/Colon.html
| trans-title      = Titik dua
| lang             = en
| title            = Colon
| last             = Weisstein
| first            = Eric W.
| author-link      = Eric W. Weisstein
| website          = [[MathWorld]]
| date             = 2022-11-04
| access-date      =2022-11-26}}</ref> Dalam [[Unicode]], simbol ini ialah {{unichar|3a|colon}}, walau Unicode juga menyediakan simbol yang dikhususkan untuk menyatakan rasio, yaitu {{unichar|2236|ratio}}.<ref name="Unicode">{{cite web
| url              = https://www.unicode.org/charts/PDF/U0000.pdf
| publisher        = Unicode, Inc.
| website          = The Unicode Standard, Version 15.0
| trans-title      = Tanda baca ASCII
| lang             = en
| title            = ASCII Punctuation
| date             = 2022
| access-date      = 2022-11-26
| quote            = [003A is] also used to denote division or scale; for that mathematical use 2236 {{not a typo|∶}} is preferred
| trans-quote      = [003A] juga digunakan untuk menyatakan pembagian atau skala; untuk penggunaan matematika 2236 {{not a typo|∶}} lebih dianjurkan}}</ref>

Suatu pernyataan yang mengekspresikan persamaan dua rasio <math>A : B</math> dan <math>C : D</math> disebut sebagai '''proporsi''',<ref>Heath, p. 126</ref> yang ditulis sebagai <math>A : B = C : D</math>. Saat kesamaan rasio ini diucapkan secara lisan, seringkali hal ini dinyatakan sebagai
: (<math>A</math> terhadap <math>B</math>) sama seperti (<math>C</math> terhadap <math>D</math>)

Rasio terkadang digunakan dengan tiga suku atau lebih. Sebagai contoh, proporsi campuran yang bagus (dalam satuan volume) untuk fondasi beton ialah
<math display="block">\text{semen : pasir : kerikil } = 1 : 2 : 3</math>

Untuk campuran (kering) <math>4/1</math> bagian pada volume semen dengan air, maka dapat dikatakan bahwa rasio semen dan air ialah <math>4 : 1</math>, yaitu terdapat 4 kali lipat semen dibandingkan air, atau banyaknya air ialah seperempat (1/4) dari banyaknya semen.

== Banyaknya suku dan hubungannya dengan pecahan ==
Secara umum, perbandingan kuantitas dari rasio dua [[entitas]] dapat dinyatakan sebagai suatu [[pecahan (matematika)|pecahan]] yang diperoleh dari rasio yang diberikan. Sebagai contoh, jika rasionya ialah <math>2 : 3</math>, maka ukuran, volume, atau banyaknya kuantitas dari entitas pertama ialah <math>\tfrac{2}{3}</math> kalinya entitas kedua.

Jika terdapat 2 nanas dan 3 mangga, rasio nanas dengan mangga ialah <math>2 : 3</math>, dan rasio pisang dengan jumlah keseluruhan buah ialah <math>2 : 5</math>. Rasio-rasio ini juga dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan: terdapat <math>\tfrac{2}{3}</math> banyaknya nanas dari banyaknya mangga, dan <math>\tfrac{2}{5}</math> dari banyaknya buah yang ada merupakan buah nanas. Jika konsentrat jus nanas diencerkan dengan air dengan rasio <math>1 : 4</math>, maka satu bagian konsentrat dicampur dengan empat bagian air, sehingga menghasilkan lima bagian; jumlah konsentrat jus nanas adalah <math>\tfrac{1}{4}</math> dari jumlah air, sedangkan jumlah konsentrat jus nanas adalah <math>\tfrac{1}{5}</math> dari total cairan. Baik rasio maupun pecahan, penting untuk menperjelas entitas apa yang sedang dibandingkan, sehingga kesalahpahaman dapat dihindari.

Pecahan juga dapat disimpulkan dari rasio dengan lebih dari dua entitas; akan tetapi, rasio dengan lebih dari dua pecahan tidak dapat secara utuh diubah menjadi satu pecahan, sebab pecahan hanya dapat membandingkan dua kuantitas. Pecahan berbeda dapat digunakan untuk membandingkan kuantitas dari dua entitas yang tercakup dalam rasio yang diberikan. Sebagai contoh, dari rasio <math>2 : 3 : 7</math>, maka dapat disimpulkan bahwa kuantitas entitas kedua adalah <math>\tfrac{3}{7}</math> dari kuantitas entitas ketiga.

== Proporsi dan persentase rasio ==
Jika semua kuantitas yang terlibat pada suatu rasio dikalikan dengan bilangan yang sama, maka rasionya tidak berubah. Sebagai contoh, rasio <math>3 : 2</math> sama dengan <math>12 : 8</math>. Seringkali rasionya disederhanakan menjadi [[penyebut persekutuan terkecil]], atau menyatakan rasionya menjadi [[persentase]].

Jika suatu campuran mengandung zat <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math> dengan rasio <math>5 : 9 : 4 : 2</math>, maka untuk setiap <math>9</math> bagian dari <math>B</math>, terdapat <math>5</math> bagian dari <math>A</math>, <math>4</math> bagian dari <math>C</math>, dan <math>2</math> bagian dari <math>D</math>. Oleh karena <math>5 + 9 + 4 + 2 = 20</math>, maka campurannya mengandung <math>\tfrac{5}{20}</math> zat <math>A</math> (<math>5</math> bagian dari <math>20</math>), <math>\tfrac{9}{20}</math> zat <math>B</math>, <math>\tfrac{4}{20}</math> zat <math>C</math>, dan <math>\tfrac{2}{20}</math> zat <math>D</math>. Jika semua zat yang terlibat dibagi dengan total zat pada campuran, lalu dikalikan dengan <math>100</math>, maka pecahannya berubah menjadi [[persentase]]: <math>25 \% \; A</math>, <math>45 \% \; B</math>, <math>20 \% \; C</math>, dan <math>10 \% \; D</math> (yang setara dengan menulis rasionya sebagai <math>25 : 45 : 20 : 10</math>).

Jika dua (atau lebih) kuantitas mencakup seluruh kuantitas pada suatu situasi, maka jumlah seluruh bagian-bagiannya disebut sebagai "keseluruhan". Sebagai contoh, suatu keranjang buah berisi dua apel dan tiga jeruk. Jika tidak ada buah lain pada keranjang tersebut, maka keranjangnya terdiri dari dua bagian apel dan tiga bagian jeruk. Pada kasus ini, <math>\tfrac{2}{5}</math> atau <math>40 \%</math> keseluruhan merupakan buah apel, dan <math>\tfrac{3}{5}</math> atau <math>60 \%</math> keseluruhan merupakan buah jeruk. Perbandingan antara kuantitas spesifik dengan "keseluruhan" semacam ini dikenal sebagai proporsi.

Jika rasionya hanya terdiri dari duaa nilai, maka rasionya dapat dinyatakan sebagai pecahan, termasuk pecahan desimal. Sebagai contoh, [[televisi]] lawas memiliki [[Rasio bidang layar|rasio aspek]] <math>4 : 3</math>, yang berarti lebar televisinya ialah <math>\tfrac{4}{3}</math> dari tinggi televisinya (rasionya juga dapat dinyatakan sebagai <math>1.33 : 1</math> atau <math>1.33</math>, apabila dibulatkan dua angka di belakang koma). TV layar lebar yang lebih mutakhir memiliki rasio aspek <math>16 : 9</math>, atau <math>1.78</math> apabila dibulatkan dua angka di belakang koma. Salah satu rasio yang populer untuk [[film]] layar lebar ialah <math>2.35 : 1</math>, atau <math>2.35</math> saja. Dengan menyatakan rasio sebagai pecahan desimal, maka membandingkan dua rasio berbeda akan jauh lebih sederhana. Saat membandingkan nilai <math>1.33</math>, <math>1.78</math>, dan <math>2.35</math>, terlihat jelas format mana yang menawarkan gambar yang lebih lebar. Perbandingan semacam ini hanya dapat bekerja ketika nilai yang dibandingkan bersifat konsisten, seperti selalu menyatakan lebar sebagai kelipatan dari tinggi.

== Penyederhanaan rasio ==
Rasio dapat [[reduksi (matematika)|disederhanakan]] (sama seperti pecahan) dengan membagi setiap kuantitas dengan faktor persekutuan dari semua kuantitas. Sebagai contoh, makna rasio <math>40 : 60</math> akan setara dengan rasio <math>2 : 3</math>, yang dapat diperoleh dengan membagi kedua kuantitas dengan <math>20</math>. Secara matematis, hal ini dapat dituliskan <math>40 : 60 = 2 : 3</math>. Kalimat verbal yang setara ialah "40 terhadap 60 sama seperti 2 terhadap 3".

Rasio yang menggunakan bilangan bulat untuk kedua kuantitasnya dan tidak dapat disederhanakan lagi (menggunakan bilangan bulat) disebut sebagai [[Pecahan tak tersederhanakan|bentuk paling sederhana]]. Secara matematis, rasio <math>a : b</math> (atau dalam bentuk pecahan, <math>\tfrac{a}{b}</math>) dikatakan memiliki bentuk paling sederhana jika <math>a</math> dan <math>b</math> [[Koprima (bilangan)|saling prima]], yaitu [[Faktor persekutuan terbesar|<math>\operatorname{FPB} \! \left( a, \, b \right) = 1</math>]].

== Rasio yang irasional ==
Rasio juga dapat dibuat antara kuantitas yang [[komensurabilitas (matematika)|inkomensurabel]], yaitu kuantitas yang rasionya, saat dinyatakan sebagai pecahan, merupakan [[bilangan irasional]]. Contoh paling awal yang ditemukan, ditemukan oleh [[Pythagoreanisme]], ialah rasio antara panjang diagonal <math>d</math> dengan panjang sisi <math>s</math> dari suatu [[persegi]], yaitu [[akar kuadrat dari 2]]. Secara simbolis, maka <math>s : d = 1 : \sqrt{2}</math>. Contoh lainnya ialah rasio antara keliling [[lingkaran]] dengan diameternya, yang disebut sebagai [[pi|<math>\pi</math>]], yang tidak hanya [[bilangan irasional]], namun juga merupakan [[bilangan transenden]].

Contoh lain yang cukup terkenal ialah [[rasio emas]] antara dua panjang <math>a</math> dan <math>b</math> yang memenuhi proporsi berikut:
<math display="block">a : b = \left( a + b \right) : a \qquad \text{atau secara ekuivalen, } \qquad a : b = \left( 1 + \tfrac{b}{a} \right) : 1</math>
Jika didefinisikan <math>x = \tfrac{b}{a}</math>, maka nilai <math>x</math> adalah penyelesaian dari persamaan
<math display="block">x = 1 + \tfrac{1}{x} \qquad \text{atau} \qquad x^2 - x - 1 = 0</math>
yang memiliki penyelesaian positif irasional <math>x = \tfrac{a}{b} = \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>
Akibatnya, setidaknya salah satu dari <math>a</math> atau <math>b</math> merupakan bilangan irasional, agar nilai <math>x</math> menjadi rasio emas. Contoh dari kemunculan rasio emas dalam matematika ialah nilai limit dari barisan rasio dua [[bilangan Fibonacci]] berurutan: walaupun semua suku barisannya merupakan rasio dari dua bilangan bulat (yang nilainya rasional), nilai limit dari barisan rasio yang rasional ini ialah rasio emas yang irasional.

Serupa seperti sebelumnya, [[rasio perak]] dari <math>a</math> dan <math>b</math> didefinisikan sebagai proporsi
<math display="block">a : b = \left( 2a + b \right) : a \qquad \text{atau secara ekuivalen, } \qquad a : b = \left( 2 + \tfrac{b}{a} \right) : 1</math>
yang berpadanan dengan persamaan <math>x^2 - 2x - 1 = 0</math>. Persamaan ini memiliki penyelesaian irasional positif <math>x = \tfrac{a}{b} = 1 + \sqrt{2}</math>, sehingga setidaknya salah satu dari <math>a</math> atau <math>b</math> pada rasio perak haruslah bernilai irasional.

== Gasal ==
{{Main|Gasal}}
''Gasal'' (seperti dalam perjudian) dinyatakan sebagai suatu rasio. Misalnya, gasal "<math>7</math> lawan <math>3</math>" (<math>3 : 7</math>) berarti peluang terjadinya suatu kejadian ialah <math>\tfrac{3}{7}</math> kalinya peluang tidak terjadinya kejadian tersebut. Dengan kata lain, peluang suksesnya ialah <math>30 \%</math>. Dalam setiap sepuluh percobaan, maka diharapkan terjadi tiga kemenangan dan tujuh kekalahan.

== Satuan ==
Rasio mungkin saja [[Besaran nirdimensi|tidak memiliki satuan]], seperti pada kasus saat rasio digunakan untuk membandingkan kuantitas dengan satuan yang [[Analisis dimensi|berdimensi]] sama, namun [[satuan]]nya berbeda. Sebagai contoh, rasio {{nowrap|satu menit : 40 detik}} dapat disederhanakan dengan mengganti nilai pertama menjadi 60 detik, sehingga rasionya menjadi {{nowrap|60 detik : 40 detik}}. Setelah satuannya sama, maka satuannya dapat dihilangkan, dan rasionya dapat disederhanakan menjadi <math>3 : 2</math>.

Di sisi lain, terdapat hasil bagi dengan satuan tertentu, yang dikenal sebagai [[laju (matematika)|''laju'']].<ref>{{cite book
|quote            ="Velocity" can be defined as the ratio... "Population density" is the ratio... "Gasoline consumption" is measure as the ratio...
| lang             = en
| title            = Ratio and Proportion: Research and Teaching in Mathematics Teachers
| year             = 2012
| publisher        = Springer Science & Business Media
| url              = https://books.google.co.id/books?id=eawKLY71xvkC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
| author1          = David Ben-Chaim
| author2          = Yaffa Keret
| author3          = Bat-Sheva Ilany
| isbn             = 9789460917844}}</ref><ref>{{cite book
| quote            = ''Ratio as a Rate''. The first type [of ratio] defined by [[Hans Freudenthal|Freudenthal]], above, is known as rate, and illustrates a comparison between two variables with difference units. (...) A ratio of this sort produces a unique, new concept with its own entity, and this new concept is usually not considered a ratio, per se, but a rate or density.
| lang             = en
| title            = Ratio and Proportion: Research and Teaching in Mathematics Teachers
| page             = 29
| year             = 2012
| publisher        = Springer Science & Business Media
| url              = https://books.google.co.id/books?id=eawKLY71xvkC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
| author1          = David Ben-Chaim
| author2          = Yaffa Keret
| author3          = Bat-Sheva Ilany
| isbn             = 9789460917844}}</ref> Dalam [[kimia]], rasio [[Konsentrasi massa (kimia)|konsentrasi massa]] biasanya dinyatakan sebagai pecahan massa per volume. Sebagai contoh, konsentrasi <math>3 \% \, w/v</math> biasanya diartikan sebagai <math>3g</math> zat dalam setiap <math>100 \, mL</math> larutan. Rasio ini tidak dapat diubah ke rasio tanpa dimensi, seperti massa per massa atau volume per volume.

== Lihat juga ==
{{Div col|colwidth=25em}}
* [[Rasio silang]]
* [[Rasio pengenceran]]
* [[Besaran nirdimensi]]
* [[Rasio keuangan]]
* [[Interval (musik)]]
* [[Rasio ganjil]]
* [[Notasi bagian per]]
* [[Kesebandingan (matematika)]]
* [[Distribusi rasio]]
* [[Pendugaan rasio]]
* [[laju (matematika)]]
* [[Risiko relatif]]
* [[Skala (peta)]]
* [[Skala (statistik)]]
* [[Rasio jenis kelamin]]
* [[Kemiringan]]
{{div col end}}

== Referensi ==
{{Reflist|30em}}

== Bacaan lanjutan ==
* {{En icon}} [https://books.google.com/books?id=ZqsrAAAAYAAJ&pg=PA307 "Ratio" ''The Penny Cyclopædia'' vol. 19], The Society for the Diffusion of Useful Knowledge (1841) Charles Knight and Co., London pp.&nbsp;307ff
* {{En icon}} [https://books.google.com/books?id=qgAoAAAAYAAJ&pg=PA270 "Proportion" ''New International Encyclopedia, Vol. 19'' 2nd ed. (1916) Dodd Mead & Co. pp270-271]
* {{En icon}} [https://books.google.com/books?id=sqMXAAAAYAAJ&pg=PA55 "Ratio and Proportion" ''Fundamentals of practical mathematics'', George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co. pp. 55ff]
* {{cite book
| trans-title      = Tiga belas buku dari Elemen Euklid
| lang             = en
| title            = The thirteen books of Euclid's Elements
| volume           = 2
| year             = 1908
| others           = trans. Sir Thomas Little Heath (1908)
| publisher        = Cambridge Univ. Press
| pages            = 112ff
| url              = https://archive.org/details/bub_gb_lxkPAAAAIAAJ}}
* {{En icon}} D.E. Smith, ''History of Mathematics, vol 2'' Ginn and Company (1925) pp.&nbsp;477ff.  Reprinted 1958 by Dover Publications.

== Pranala luar ==
{{KBBI|Rasio}}
{{Wiktionary}}

{{Pecahan dan rasio}}

[[Kategori:Matematika dasar]]
[[Kategori:Aljabar]]
[[Kategori:Rasio]]
[[Kategori:Hasil bagi]]