Lihat sumber Rangkap tiga Pythagoras

[[Berkas:Pythagorean theorem - Ani.gif|jmpl|Animasi menunjukkan rangkap tiga Pythagoras paling sederhana, <math>3^2 + 4^2 = 5^2</math>.]]

Sebuah '''rangkap tiga Pythagoras''' (atau umumnya disebut '''tripel Pythagoras''') terdiri dari tiga [[bilangan bulat]] positif <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math>, sehingga <math>a^2 + b^2 = c^2</math>. Seperti sebuah rangkap tiga biasanya ditulis <math>(a,b,c)</math>, dan sebuah contoh yang terkenal adalah <math>(3,4,5)</math>. Jika <math>(a,b,c)</math> adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka begitu juga dengan <math>(ka, kb, kc)</math> untuk suatu bilangan bulat positif <math>k</math>. Sebuah '''rangkap Pythagoras primitif''' adalah salah satu di mana <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> adalah [[koprima]] (yaitu, mereka tidak mempunyai pembagi persekutuan lebih besar dari <math>1</math>).<ref>{{harvtxt|Long|1972|p=48}}</ref> Sebuah segitiga yang sisinya membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras disebut '''segitiga Pythagoras''', dan selalu sebuah [[segitiga siku-siku]].

Namanya diturunkan dari [[teorema Pythagoras]], menyatakan bahwa setiap segitiga siku-siku memiliki panjang sisi yang memenuhi rumus <math>a^2 + b^2 = c^2</math>; demikian, rangkap tiga Pythagoras menggambarkan tiga panjang sisi bilangan bulat dari sebuah segitiga siku-siku. Namun, segitiga siku-siku dengan sisi tak bilangan bulat tidak membentuk rangkap tiga Pythagoras. Misalnya, [[segitiga]] dengan sisi <math>a = b = 1</math> dan <math>c = \sqrt{2}</math> merupakan sebuah segitiga siku-siku, tetapi <math>(1,1,\sqrt{2})</math> bukanlah sebuah rangkap tiga Pythagoras karena <math>\sqrt{2}</math> bukanlah sebuah bilangan bulat. Selain itu, <math>1</math> dan <math>\sqrt{2}</math> tidak memiliki sebuah kelipatan persekutuan bilangan bulat karena <math>\sqrt{2}</math> adalah [[Bilangan irasional|irasional]].

Rangkap tiga Pythagoras telah dikenal sejak waktu kuno. Catatan terlama yang dikenal dari [[Plimpton 322]], sebuah loh tanah liat Babylonian dari sekitar 1800 SM, ditulis dalam sebuah sistem bilangan [[seksagesimal]]. Ini ditemukan oleh [[Edgar James Banks]] sesaat setelah tahun 1900, dan dijual ke [[George Arthur Plimpton]] pada tahun 1922, untuk $10.<ref>{{citation|first=Eleanor|last=Robson|title=Words and Pictures: New Light on Plimpton 322|journal=Mathematical Association of America Monthly|volume=109|year=2002|issue=2|pages=105–120|doi=10.1080/00029890.2002.11919845|s2cid=33907668|url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/news/monthly105-120.pdf}}</ref>

Ketika menelusuri untuk penyelesaian bilangan bulat, persamaan <math>a^2 + b^2 = c^2</math> merupakan sebuah [[persamaan Diophantus]]. Demikian rangkap tiga Pythagoras adalah penyelesaian terlama yang diketahui mengenai sebuah persamaan Diophantus [[Persamaan linear|taklinear]]

== Contoh-contoh ==
[[Berkas:Pythagorean Triples Scatter Plot.png|jmpl|[[Plot pencar]] kaki <math>(a,b)</math> dari rangkap tiga Pythagoras pertama dengan <math>a</math> dan <math>b</math> lebih kecil dari 6000. Nilai negatif tercakup untuk mengilustrasikan pola parabolik. "Sinar"nya merupakan sebuah hasil dari fakta bahwa jika <math>(a,b,c)</math> adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka begitu juga dengan <math>(2a, 2b, 2c)</math>, <math>(3a, 3b, 3c)</math> dan, lebih umumnya, <math>(ka, kb, kc)</math> untuk suatu bilangan bulat positif <math>k</math>.]]

Terdapat 16 rangkap tiga Pythagoras primitif sampai dengan 100:
{| style="margin:auto;"  cellspacing="0" cellpadding="0"
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"|<math>(3,4,5)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(5,12,13)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(8,15,17)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(7,24,25)</math>
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"|<math>(20,21,29)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(12,35,37)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(9,40,41)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(28,45,53)</math>
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"|<math>(11,60,61)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(16,63,65)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(33,56,65)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(48,55,73)</math>
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"|<math>(13,84,85)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(36,77,85)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(39,80,89)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(65,72,97)</math>
|}
Setiap titik-titik ini membentuk sebuah garis pemancar dalam plot pancar. Rangkap tiga Pythagoras kecil lainnya seperti <math>(6,8,10)</math> tidak terdaftar karena mereka bukanlah primitf, misalnya <math>(6,8,10)</math> merupakan kelipatan dari <math>(3,4,5)</math>.

Ini sebagai tambahannya merupakan sisa rangkap tiga Pythagoras primitif sampai dengan 300:
{| style="margin:auto;"  cellspacing="0" cellpadding="0"
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"|<math>(20,99,101)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(60,91,109)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(15,112,113)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(44,117,125)</math>
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"|<math>(88,105,137)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(17,144,145)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(24,143,145)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(51,140,149)</math>
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"|<math>(85,132,157)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(119,120,169)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(52,165,173)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(19,180,181)</math>
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"|<math>(57,176,185)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(104,153,185)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(95,168,193)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(28,195,197)</math>
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"|<math>(84,187,205)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(133,156,205)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(21,220,221)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(140,171,221)</math>
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"|<math>(60,221,229)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(105,208,233)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(120,209,241)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(32,255,257)</math>
|- style="text-align:right;"|style="padding:0 1em"|<math>(23,264,265)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(96,247,265)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(69,260,269)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(115,252,277)</math>
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"|<math>(160,231,281)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(161,240,289)</math>
|style="padding:0 1em"|<math>(68,285,293)</math>
|}

== Menghasilkan sebuah rangkap tiga ==
[[Berkas:PrimitivePythagoreanTriplesRev08.svg|jmpl|300x300px|Rangkap tiga Pythagoras primitif. Kaki ganjil <math>a</math> diplot pada sumbu horizontal, kaki genap <math>b</math> pada vertikal. Kisi kurvilinear dikomposisi oleh kurva mengenai tetapan <math>m - n</math> dan tetapan <math>m + n</math> dalam rumus Euclid.]]
[[Berkas:Pythagorean Triples from Grapher.png|jmpl|300x300px|Sebuah plot mengenai rangkap tiga dihasilkan oleh rumus Euclid menyusun bagian dari kerucut <math>z^2 = x^2 + y^2</math>. Sebuah tetapan <math>m</math> dan <math>n</math> melacak bagian [[Irisan kerucut|parabola]] mengenai kerucut.]]

'''Rumus Euclid<ref>{{citation|date=June 1997|last=Joyce|first=D. E.|chapter-url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookX/propX29.html|title=Euclid's Elements|chapter=Book X , Proposition XXIX|publisher=Clark University}}</ref>''' merupakan sebuah rumus dasar untuk menghasilkan rangkap tiga Pythagoras yang diberikan sebuah pasangan sembarang bilangan bulat <math>m</math> dan <math>n</math> dengan <math>m > n > 0</math>. Rumusnya menyatakan bahwa bilangan bulat

membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras. Rangkapya dihasilkan oleh rumus Euclid adalah primitif jika dan hanya jika <math>m</math> dan <math>n</math> adalah [[koprima]] dan keduanya bukan bilangan ganjil. Ketika keduanya <math>m</math> dan <math>n</math> adalah ganjil, maka <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> akan menjad genap, dan rangkap tiganya tidak akan menjadi primitif, namun, membagi <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> oleh 2 akan menghasilkan sebuah rangkap tiga primitf ketika <math>m</math> dan <math>n</math> adalah koprima dan keduanya ganjil.<ref>{{citation|first=Douglas W.|last=Mitchell|title=An Alternative Characterisation of All Primitive Pythagorean Triples|journal=The Mathematical Gazette|volume=85|issue=503|pages=273–5|date=July 2001|jstor=3622017|doi=10.2307/3622017}}</ref>

''Setiap'' rangkap tiga primitif muncul (setelah pertukaran <math>a</math> dan <math>b</math>, jika <math>a</math> adalah genap) dari sebuah pasangan tunggal bilangan koprima <math>m</math>, <math>n</math>, salah satunya yang genap. Ini mengikuti bahwa terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif banyak. Hubungan ini mengenai <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> dengan <math>m</math> dan <math>n</math> dari rumus Euclid direferensikan sepanjang sisa halaman ini.

Meski menghasilkan semua rangkap tiga primitif, rumus Euclid tidak menghasilkan semua rangkap tiga—contohnya, <math>(9,12,15)</math> tidak dapat dihasilkan menggunakan bilangan bulat <math>m</math> dan <math>n</math>. Ini dapat diperbaiki dengan memasukkan sebuah parameter tambahan <math>k</math> ke rumusnya. Berikut ini akan menghasilkan semua rangkap tiga Pythagoras dengan tunggal:

:<math> a = k\cdot(m^2 - n^2)   ,\ \, b = k\cdot(2mn) ,\ \, c = k\cdot(m^2 + n^2)</math>

dimana <math>m</math>, <math>n</math>, dan <math>k</math> adalah [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] dengan <math>m > n</math>, dan dengan <math>m</math> dan <math>n</math> adalah koprima dan keduanya bukanlah ganjil.

Bahwa rumus-rumus ini menghasilkan rangkap tiga Pythagoras dapat diverifikasikan dengan memperluas <math>a^2 + b^2</math> menggunakan [[aljabar elementer]] dan memverifikasikan bahwa hasilnya sama dengan <math>c^2</math>. Karena setiap rangkap tiga Pythagoras dapat dibagi melalui oleh suatu bilangan bulat <math>k</math> untuk memperoleh sebuah rangkap tiga primitif, setiap rangkap tiga dapat secara tunggal dengan menggunakan rumus dengan <math>m</math> dan <math>n</math> untuk menghasilkan pasangan primitifnya dan kemudian mengalikan melalui oleh <math>k</math> seperti dalam persamaan terakhirnya.

Memilih <math>m</math> dan <math>n</math> dari barisan bilangan tertentu memberikan hasil yang menarik. Contohnya, jika <math>m</math> dan <math>n</math> adalah [[bilangan Pell]] berturut-turut, <math>a</math> dan <math>b</math> akan berbeda oleh 1.<ref>https://oeis.org/A000129</ref>

Banyak rumus-rumsu untuk menghasilkan rangkap tiga dengan sifat-sifat khusus telah dikembangkan sejak zaman Euclid.

=== Bukti rumus Euclid ===
Kepuasannya mengenai rumus Euclid oleh <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> adalah [[Syarat perlu dan cukup|cukup]] untuk segitiga menjadi Pythagoras rupanya dari fakta bahwa untuk bilangan bulat positif <math>m</math> dan <math>n</math>, <math>m > n</math>, <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> diberikan oleh rumus adalah bilangan positif semua, dan dari fakta bahwa

:<math> a^2+b^2 = (m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2 = c^2</math>.

Sebuah bukti ''keperluan''nya bahwa <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> diungkapkan oleh rumus Euclid untuk suatu rangkap tiga Pythagoras priitif adalah sebagai berikut.<ref>{{citation|last1=Beauregard|first1=Raymond A.|last2=Suryanarayan|first2=E. R.|chapter=Parametric representation of primitive Pythagorean triples|editor-first=Roger B.|editor-last=Nelsen|title=Proofs Without Words: More Exercises in Visual Thinking|year=2000|publisher=[[Mathematical Association of America]]|isbn=978-0-88385-721-2|volume=II|oclc=807785075|page=[https://archive.org/details/proofswithoutwor0000nels/page/120 120]|chapter-url=https://archive.org/details/proofswithoutwor0000nels/page/120}}</ref> Semua seperti rangkap tiga dapat ditulis sebagai <math>(a,b,c)</math> dimana <math>a^2 + b^2 = c^2</math> dan <math>a</math>, <math>b</math>, serta <math>c</math> adalah [[Koprima (bilangan)|koprima]]. Demikian juga, <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> adalah [[Koprima (bilangan)|koprima sepasangan]] (jika sebuah bilangan prima dibagi dua dari mereka, ini juga akan mendorong untuk membagi yang ketiganya). Karena <math>a</math> dan <math>b</math> adalah koprima, setidaknya salah satu darinya adalah ganjil, jadi kita dapat menganggap bahwa <math>a</math> adalah ganjil, dengan menukarkan, jika diperlukan <math>a</math> dan <math>b</math>. Ini menyiratkan bahwa <math>b</math> adalah genap dan <math>c</math> adalah ganjil (jika <math>b</math> adalah ganjil, <math>c</math> akan menjadi genap, dan <math>c^2</math> akan menjadi sebuah kelipatan dari 4, sementara <math>a^2 + b^2</math> akan menjadi [[kongruen]] dengan 2 modulo 4, sebagai sebuah bilangan kuadrat ganjil adalah kongruen dengan 1 modulo 4).

Dari <math>a^2 + b^2 = c^2</math>, kita memperoleh <math>c^2 - a^2 = b^2</math> dan karena itu <math>(c - a)(c + a) = b^2</math>. Maka <math>\frac{(c+a)}{b}=\frac{b}{(c-a)}</math>. Karena <math>\frac{(c + a)}{b}</math> adalah rasional, kita meletakkannya sama dengan <math>\frac{m}{n}</math> dalam jangka terendah. Demikian <math>\frac{(c-a)}{b}=\frac{n}{m}</math>, menjadi timbal balik dari <math>\frac{(c + a)}{b}</math>. Lalu menyelesaikan

:<math>\frac{c}{b}+\frac{a}{b}=\frac{m}{n}, \quad \quad  \frac{c}{b}-\frac{a}{b}=\frac{n}{m}</math>

untuk <math>\frac{c}{b}</math> dan <math>\frac{a}{b}</math> memberikan

:<math>\frac{c}{b}=\frac{1}{2}\left(\frac{m}{n}+\frac{n}{m}\right)=\frac{m^2+n^2}{2mn}, \quad \quad \frac{a}{b}=\frac{1}{2}\left(\frac{m}{n}-\frac{n}{m}\right)=\frac{m^2-n^2}{2mn}.</math>

Karena <math>\frac{m}{n}</math> tereduksi dengan penuh, <math>m</math> dan <math>n</math> adalah koprima, dan mereka tidak dapat menjadi genap. Jika mereka keduanya ganjil, pembilang dari <math>\frac{m^2 - n^2}{2mn}</math> akan menjadi sebuah kelipatan dari 4 (karena sebuah bilangan kuadrat ganjil kongruen dengan 1 modulo 4), dan penyebutnya <math>2mn</math> tidak akan menjadi sebuah kelipatan dari 4. Karena 4 akan menjadi faktor genap minimum mungkin dalam pembilang dan 2 akan menjadi faktor genap maksimum mungkin dalam penyebut, ini akan menyiratkan <math>a</math> menjadi genap meskipun menentukannya sebagai ganjil. Demikian salah satu dari <math>m</math> dan <math>n</math> adalah ganjil dan lainnya adalah genap, dan pembilangnya dari dua pecahan dengan penyebut <math>2mn</math> adalah ganjil. Demikian pecahan-pecahan ini adalah tereduksi dengan penuh (sebuah bilangan prima ganjil membagi penyebut ini dibagi salah satu dari <math>m</math> dan <math>n</math> tetapi bukan yang lainnya; demikian ini tidak membagi <math>m^2 \pm n^2</math>). Salah satunya dapat demikian menyamakan penyebut, memberikan rumus Euclid.

:<math> a = m^2 - n^2   ,\ \, b = 2mn ,\ \, c = m^2 + n^2</math> dengan <math>m</math> dan <math>n</math> adalah koprima dan paritas yang berlawanan.

Sebuah bukti yang lebih panjang tapi lebih umum diberikan di Maor (2007)<ref>[[Eli Maor|Maor, Eli]], ''The Pythagorean Theorem'', Princeton University Press, 2007: Appendix B.</ref> dan Sierpiński (2003).<ref name="Sierpinski2"/> Bukti lain diberikan dalam {{Nowrap|{{slink|Persamaan Diophantus|Contoh rangkap tiga Pythagoras}}}}, sebagai sebuah contoh mengenai sebuah metode umum yang berlaku dengan setiap persamaan Diophantus [[Polinomial homogen|homogen]] derajat dua.

=== Interpretasi mengenai parameter dalam rumus Euclid ===
Andaikan sisi segitiga Pythagoras memiliki panjang <math>m^2 - n^2</math>, <math>2mn</math>, <math>m^2 + n^2</math>, dan menganggap sudutnya antara kaki dengan panjang <math>m^2 - n^2</math> dan [[hipotenusa]] dengan panjang <math>m^2 + n^2</math> dilambangkan sebagai <math>\beta</math>. Maka <math>\tan \left( \frac \beta 2 \right) = \frac m n</math> dan nilai trigonometrik sudut penuhnya adalah <math>\sin \beta = \frac{2mn}{m^2 + n^2}</math>, dan <math>\cos \beta = \frac{m^2 - n^2}{m^2 + n^2}</math>, dan <math>\tan \beta = \frac{2mn}{m^2 - n^2}</math>.<ref>{{citation|editor-first=Roger B.|editor-last=Nelsen|title=Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking|chapter-url=https://books.google.com/books?id=cyyhZr-SffcC|year=1993|publisher=Mathematical Association of America|isbn=978-0-88385-700-7|oclc=29664480|last=Houston|first=David|chapter=Pythagorean triples via double-angle formulas|page=141}}</ref>

=== Sebuah varian ===
Varian berikut mengenai rumus Euclid terkadang lebih cocok, karena menjadi lebih simetrik dalam <math>m</math> dan <math>n</math> (syarat paritas yang sama pada <math>m</math> dan <math>n</math>)

Jika <math>m</math> dan <math>n</math> adalah dua bilangan bulat ganjil sehingga <math>m > n</math>, maka

:<math> a = mn ,\ \,  b =\frac {m^2 - n^2}{2} ,\ \, c = \frac{m^2 + n^2}{2} </math>

adalah tiga bilangan bulat membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras, yang adalah primitif jika dan hanya jika <math>m</math> dan <math>n</math> adalah koprima. Sebaliknya, setiap rangkap tiga Pythagoras primitif muncul (setelah pertukaran <math>a</math> dan <math>b</math>, jika <math>a</math> adalah genap) dari sebuah pasangan tunggal <math>m > n > 0</math> mengenai bilangan bulat ganjil.

== Sifat-sifat elementer rangkap tiga Pythagoras primitif ==

=== Sifat-sifat umum ===
Sifat-sifat rangkap tiga Pythagoras primitif <math>(a,b,c)</math> dengan <math>a < b < c</math> (tanpa menentukan yang mana <math>a</math> atau <math>b</math> adalah genap daan yang mana ganjil) mencakup:

* <math>\frac{(c-a)(c-b)}{2}</math> selalu sebuah bilangan kuadrat sempurna.<ref>{{citation|title=The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty|first=Alfred S.|last=Posamentier|publisher=Prometheus Books|year=2010|isbn=9781616141813|page=[https://archive.org/details/pythagoreantheor0000posa/page/156 156]|url=https://archive.org/details/pythagoreantheor0000posa/page/156}}.</ref> Karena ini hanya sebuah syarat yang perlu tapi bukan yang cukup, ini dapat digunakan dalam pemeriksaan jika sebuah rangkap tiga bilangan yang diberikan ''bukanlah'' sebuah rangkap tiga Pythagoras ketika mereka gagal melakukan uji. Contohnya, <math>\{6,12,18\}</math> lolos ujinya bahwa <math>\frac{(c-a)(c-b)}{2}</math> adalah sebuah bilangan kuadrat sempurna, tapi bukanlah sebuah rangkap tiga Pythagoras.
* Ketika sebuah rangkap tiga bilangan <math>a </math>, <math>b </math>, dan <math>c </math> membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka (<math>c </math> dikurangi kaki genap) dan satu setengah dari (<math>c </math> dikurangi kaki ganjil) adalah keduanya bilangan kuadrat sempurna; namun ini bukanlah sebuah syarat yang cukup, karena bilangan <math>\{1,8,9\}</math> lolos uji bilangan kuadrat sempurna tapi bukanlah sebuah rangkap tiga ketika <math>1^2 + 8^2 \ne 9^2</math>.
* Sebanyak salah satu dari <math>a </math>, <math>b </math>, dan <math>c </math> adalah sebuah bilangan kuadrat.<ref>Untuk ketidakberadaan penyelesaian dimana <math>a </math> dan <math>b </math> adalah keduanya bilangan kuadrat, awalnya dibuktikan oleh Fermat, lihat {{citation|title=Elementary Number Theory with Applications|first=Thomas|last=Koshy|publisher=Academic Press|year=2002|isbn=9780124211711|page=545|url=https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA545}}. Untuk kasus lainnya, di mana <math>c </math> adalah salah satu dari bilangan kuadrat, lihat {{citation|title=Numbers and Geometry|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|first=John|last=Stillwell|author-link=John Stillwell|publisher=Springer|year=1998|isbn=9780387982892|page=133|url=https://books.google.com/books?id=4elkHwVS0eUC&pg=PA133}}.</ref>
* Luas segitiga Pythagoras tidak dapat menjadi bilangan kuadrat<ref name="Carmichael">Carmichael, R. D., 1914, "Diophantine analysis,"  in second half of R. D. Carmichael, ''The Theory of Numbers and Diophantine Analysis'', Dover Publ., 1959.</ref>{{rp|p. 17}} atau dua kali kuadrat<ref name="Carmichael" />{{rp|p. 21}} bilangan asli.
* Tepat salah satu dari <math>a </math>, <math>b </math> adalah [[Bilangan ganjil|ganjil]]; <math>c </math> adalah ganjil.<ref name="Sierpinski2"/>{{rp|23–25}}
* Tepat salah satu dari <math>a </math>, <math>b </math> habis dibagi oleh 3.<ref name="Sierpinski2">{{citation|author-link=Waclaw Sierpinski|first=Wacław|last=Sierpiński|title=Pythagorean Triangles|title-link=Pythagorean Triangles|at=[https://books.google.com/books?id=6vOfpjmCd7sC&pg=PR4 pp. iv–vii]|year=2003|publisher=Dover|isbn=978-0-486-43278-6}}</ref>{{rp|23–25}}
* Tepat salah satu dari <math>a </math>, <math>b </math> habis dibagi oleh 4.<ref name="Sierpinski2"/>
* Tepat salah satu dari <math>a </math>, <math>b </math>, <math>c </math> habis dibagi oleh 5.<ref name="Sierpinski2"/>
* Bilangan terbesar yang selalu membagi <math>abc</math> adalah 60.<ref name="MacHale">{{citation|last1=MacHale|first1=Des|last2=van den Bosch|first2=Christian|title=Generalising a result about Pythagorean triples|journal=[[Mathematical Gazette]]|volume=96|pages=91–96|date=March 2012|doi=10.1017/S0025557200004010}}</ref>
* Suatu bilangan gajil dari bentuk <math>2m + 1</math>, dimana <math>m </math> adalah sebuah bilangan bulat dan <math>m > 1</math>, dapat menjadi kaki ganjil rangkap tiga Pythagoras primitif. Lihat [[Rangkap tiga Pythagoras#Rangkap tiga Pythagoras primitif hampir samakaki|rangkap tiga Pythagoras primitif hampir samakaki]] di bagian bawah. Namun, hanya bilangan genap habis dibagi oleh 4 dapat menjadi kaki genap dari sebuah rangkap tiga Pythagoras primitif. Ini dikarenakan [[rumus Euclid]] untuk kaki genap yang diberikan di atas adalah <math>2mn </math> dan salah satu dari <math>m </math> dan <math>n </math> harus genap.
* Hipotenusa <math>c </math> adalah jumlah dari dua bilangan kuadrat. Ini memerlukan semua faktor prima menjadi [[Bilangan prima Pythagoras|prima dari bentuk {{Math|4''n'' + 1}}]].<ref>{{citation|title=Roots to Research: A Vertical Development of Mathematical Problems|first=Judith D.|last=Sally|publisher=American Mathematical Society|year=2007|isbn=9780821872673|pages=74–75|url=https://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA74}}.</ref> Oleh karena itu <math>c </math> dari bentuk <math>4n + 1</math>. Sebuah barisan bilangan hipotenusa mungkin untuk rangkap tiga Pythagoras primitif dapat ditemukan di {{OEIS|A008846|}}
* Luasnya (<math>K = \tfrac{ab}{2}</math>) adalah sebuah [[bilangan kongruen]]<ref>Ini mengikuti secepatnya dari fakta bahwa <math>ab</math> habis dibagi duabelas, bersama dengan definisi bilangan kongruen sebagai luas segitiga kanan dengan sisi rasional. Lihat misalnya {{citation|title=Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms|volume=97|series=Graduate Texts in Mathematics|first=Neal|last=Koblitz|publisher=Springer|year=1993|isbn=9780387979663|page=3|url=https://books.google.com/books?id=99v9XcOjhO4C&pg=PA3}}.</ref> habis dibagi 6.
* Dalam setiap rangkap tiga Pythagoras, jari-jari dari lingkaran dalam jari-jari dari tiga lingkaran singgung luar adalah bilangan asli. Secara spesifik, untuk sebuah rangkap tiga primitif, jari-jari dari lingkaran dalam adalah <math>r = n(m - n)</math>, dan jari-jari dari lingkaran singgung luar berlawanan dengan sisi <math>m^2 - n^2 </math>, <math>2mn </math>, dan hipotenusa <math>m^2 + n^2 </math> masing-masing <math>m(m - n)</math>, <math>n(m + n)</math>, dan <math>m(m + n)</math>.<ref>{{citation|title=A Survey of Classical and Modern Geometries: With Computer Activities|first=Arthur|last=Baragar|publisher=Prentice Hall|year=2001|isbn=9780130143181|at=Exercise 15.3, p. 301}}</ref>
* Adapun suatu segitiga siku-siku, kebalikan [[teorema Thales]] mengatakan bahwa diameter dar [[lingkaran luar]] sama dengan hipotenusa; karena itu untuk rangkap tiga primitif, diameter lingkaran luarnya adalah <math>m^2 + n^2</math>, dan jari-jari lingkaran luar adalah setengahnya ini dan demkan merupakan bilangan rasonal tapi bukan bilangan bulat (karena <math> m</math> dan <math> n</math> memiliki paritas yang berlawanan).
* Ketika luas segitiga Pythagoras dikalikan oleh [[kelengkungan]] lingkaran dalamnya dan 3 lingkaran singgung luar, hasilnya empat bilangan bulat positif <math>w > x > y > z</math>, masing-masing. Bilangan bulat <math>-w, x, y, z</math> memenuhi [[Teorema Descartes|Persamaan Lingkaran Descartes]].<ref name="Bernhart">{{cite arXiv|last1=Bernhart|first1=Frank R.|last2=Price|first2=H. Lee|title=Heron's formula, Descartes circles, and Pythagorean triangles|year=2005|eprint=math/0701624}}</ref> Dengan setaranya, jari-jari dari [[Titik isoperimetrik#Titik isoperimetrik dan lingkaran Soddy|lingkaran Soddy luar]] mengenai suatu segtga siku-siku sama dengan semiperimeternya. Pusat Soddy luarnya terletak di <math>D</math>, dimana <math>ACBD</math> adalah sebuah persegi panjang, <math>ACB</math> adalah segitiga siku-siku dan <math>AB</math> adalah hipotenusanya.<ref name="Bernhart" />{{rp|hlm. 6}}
* Hanya dua sisi rangkap tiga Pythagoras primitif dapat dengan secara bersamaan menjadi prmia karena oleh [[rumus Euclid]] untuk menghasilkan sebuah rangkap tiga Pythagoras, salah satu dari kakinya harus komposit dan genap.<ref>{{cite web|title=OEIS A237518|url=http://oeis.org/A237518|publisher=The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences}}</ref> Namun, hanya satu sisi dapat menjad sebuah bilangan bulat pangkat sempurna <math>p \ge 2</math> karena dua sisinya adalah bilangan bulat pangkat sempurna dengan eksponen <math>p</math> yang sama akan menentang fakra bahwa tidak ada penyelesaian bilangan bulat untuk [[persamaan Diophantus]] <math>x^{2p} \pm y^{2p} = z^2</math>, dengan <math>x</math>, <math>y</math>, dan <math>z</math> menjadi koprima sepasangan.<ref name="DM">H. Darmon and L. Merel. Winding quotients and some variants of Fermat’s Last Theorem, J. Reine Angew. Math. 490 (1997), 81–100.</ref>
* Tidak ada segitiga Pythagoras di mama hipotenusa dan satu kaki adalah kaki segitiga Pythagoras lainnya: ini adalah salah satu dari bentuk setara [[teorema segitiga siku-siku Fermat]].<ref name="Carmichael" />{{rp|p. 14}}
* Setiap segitiga Pythagoras primitif memiliki sebuah rasio luas, <math>K</math>, untuk menguadratkan [[semiperimeter]], <math>s</math>, yaitu tunggal dengan sendirinya dan diberikan oleh<ref>{{citation|last1=Rosenberg|first1=Steven|last2=Spillane|first2=Michael|last3=Wulf|first3=Daniel B.|title=Heron triangles and moduli spaces|journal=Mathematics Teacher|volume=101|pages=656–663|date=May 2008|doi=10.5951/MT.101.9.0656|url=http://www.nctm.org/publications/article.aspx?id=19484}}</ref>

:<math>\frac{K}{s^2} = \frac{n(m-n)}{m(m+n)} = 1-\frac{c}{s}</math>.

* Tidak ada segitiga Pythagoras primitif memiliki sebuah ketinggian bilangan bulat dari hipotenusanya, yaitu, setiap segtiga Pythagoras primitif adalah takteruraikan.<ref name="Yiu">{{citation|first=Paul|last=Yiu|title=Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles|url=http://math.fau.edu/yiu/Southern080216.pdf|year=2008|publisher=41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America|page=17}}</ref>
* Himpunan semua rangkap tiga Pythagoras primitif membentuk sebuah [[pohon terner]] berakar dalam cara yang alam; lihat [[Pohon rangkap tiga Pythagoras primitif]].
* Baik bukan dari [[Sudut (geometri)#Sudut lancip|sudut lancip]] segitiga Pythagoras dapat menjadi sebuah [[bilangan rasional]] atau [[Derajat (satuan sudut)|derajat]].<ref>{{Cite journal|last=Weisstein|first=Eric W|title=Rational Triangle|url=http://mathworld.wolfram.com/RationalTriangle.html|journal=MathWorld}}</ref> (Ini diikuti dari [[teorema Niven]])

=== Kasus khusus ===
Sebagai tambahan, rangkap tiga Pythagoras khusus dengan sifat-sifat tertentu dapat dijamin untuk ada:

* Setap bilangan bulat lebih besar dari 2 tidak [[Bilangan genap tunggal dan ganda|kongruen dengan {{Math|2  mod 4}}]] (dengan kata lain, setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 yang ''bukan'' dari bentuk <math>4k + 2</math>) merupakan bagian rangkap tiga Pythagoras. (Jika bilangna bulat memiliki bentuk <math>4k</math>, salah satunya dapat mengambil <math>n = 1</math> dan <math>m = 2k</math> dalam rumus Euclid, jika blangan bulatnya adalah <math>2k + 1</math>, salah satunya dapat ambil <math>n = k</math> dan <math>m = k + 1</math>.)
* Setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 merupakan bagian rangkap tiga Pythagoras primtif atau takprimitif. Contohnya, bilangan bulat 6, 10, 14, dan 18 bukan bagian rangkap tiga primitif, tetapi merupakan bagian dari rangkap tiga takprimitif <math>(6,8,10)</math>, <math>(14, 48, 50)</math> dan <math>(18,80,82)</math>.
* Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki terpanjang berbeda dengan tepat satu. Seperti rangkap tiga adalah primitif perlu dan memiliki bentuk <math>(2n + 1, 2n^2 + 2n, 2n^2 + 2n + 1)</math>. Hasil ini dari rumus Euclid dengan berkomentar bahwa syaratnya menyiratkan bahwa rangkap tiganya adalah primitif dan harus membenarkan <math>(m^2 + n^2) - 2mn = 1</math>. Ini menyiratkan <math>(m - n)^2 = 1</math>, dan demikian <math>m = n + 1</math>. Bentuk di atas dari hasil rangkap tiga mengenai substitusi <math>m</math> untuk <math>n + 1</math> dalam rumus Euclid. 
* Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki terpanjang berbeda dengan tepat dua. Mereka semua primitif, dan diperoleh dengan meletakkan <math>n = 1</math> dalam rumus Euclid. Lebih umumnya, untuk setiap bilangan bulat <math>k > 0</math>, terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki ganjil berbeda dengan <math>2k^2</math>. Mereka diperoleh dengan menaruh <math>n = k</math> dalam rumus Euclid. 
* Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana dua kaki berbeda dengan tepat satu. Contohnya, <math>20^2 + 21^2 = 29^2</math>, ini dihasilkan oleh rumus Euclid ketika <math>\frac{m - n}n</math> adalah [[Pecahan kontinu rampat|konvergen]] dengan <math>\sqrt{2}</math>. 
* Untuk setiap bilangan asli <math>k </math>, terdapat rangkap tiga Pythagoras <math>k </math> dengan hipotenusa yang berbeda dan luas yang sama. 
* Untuk setiap bilangan asli <math>k </math>, terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif <math>k </math> yang berbeda dengan kaki <math>a</math> yang sama, dimana <math>a</math> adalah suatu bilangan asli (Panjang dari kaki genap adalah <math>2mn</math>, dan cukup untuk memilih <math>a</math> dengan banyak faktorisasi, contohnya <math>a = 4b</math>, dimana <math>b</math> adalah sebuah darab bilangan prima ganjil <math>k </math> yang berbeda; ini menghasilkan setidaknya <math>2^k</math> rangkap tiga primitif yang berbeda).<ref name="Sierpinski2"/>{{rp|30}} 
* Untuk setiap bilangan asli <math>n</math>, terdapat setidaknya rangkap tiga Pythagoras <math>n</math> yang berbeda dengan hipotenusa yang sama.<ref name="Sierpinski2"/>{{rp|31}} 
* Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya dengan bilangan kuadrat untuk keduanya hipotenusa <math>c</math> dan jumlah dari kaki <math>a + b</math>. Menurut Fermat, yang '''paling terkecil''' seperti rangkap tiga<ref>{{citation|author-link=Clifford A. Pickover|last=Pickover|first=Clifford A.|chapter=Pythagorean Theorem and Triangles|chapter-url=https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA40|title=The Math Book|publisher=Sterling|year=2009|isbn=978-1402757969|page=40|url=https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC}}</ref> memiliki sisi <math>a = 4\,565\,486\,027\,761</math>, <math>b=1\,061\,652\,293\,520</math>, <math>c = 4\,687\,298\,610\,289</math>. Disini <math>a + b = 2\,372\,159^2</math> dan <math>c = 2\,165\,017^2</math>. Ini dihasilkan oleh rumus Euclid dengan nilai parameter <math>m = 2\,150\,905</math> dan <math>n = 246\,792</math>. 
* Terdapat [[Segitiga Pythagoras dengan ketinggian bilangan bulat dari hipotenusa|segitiga Pythagoras]] takprimitif [[Segitiga bilangan bulat#Segitiga Pythagoras dengan ketinggian bilangan bulat dari hipotenusa|dengan ketinggian bilangan bulat dari hipotenusa]].<ref>Voles, Roger, "Integer solutions of ''a''<sup>−2</sup>&nbsp;+&nbsp;''b''<sup>−2</sup>&nbsp;=&nbsp;''d''<sup>−2</sup>," ''Mathematical Gazette'' 83, July 1999, 269–271.</ref><ref name="Richinik">Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," ''Mathematical Gazette'' 92, Juli 2008, 313–317.</ref> Seperti segitiga Pythagoras dikenal sebagai '''teruraikan''' karena mereka dapat dipisahkan sepanjang ketinggian ini menjadi dua pemisah dan segitiga Pythagoras lebih kecil.<ref name="Yiu"/>

== Geometri mengenai rumus Euclid ==

=== Titik rasional pada sebuah lingkaran satuan ===
[[Berkas:Pythagorean triple and rational point on unit triangle 1.svg|jmpl|3,4,5, memetakan ke x,y, titik <math>\left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)</math> pada lingkaran satuan.]]
[[Berkas:Stereographic projection of rational points.png|jmpl|[[Titik rasional]] pada sebuah lingkaran berpadanan, terhadap [[Proyeksi stereografik|projeksi stereografik]], dengan titik rasional dari garis.]]

Rumus Euclid untuk sebuah rangkap tiga Pythagoras

:<math>a = 2mn,\quad b=m^2-n^2,\quad c=m^2+n^2</math>

dapat dipahami dalam istilah dari geometri [[titik rasional]] pada [[satuan lingkaran]] {{harv|Trautman|1998}}.

Faktanya, sebuah titik dalam [[Sistem koordinat Kartesius|bidang Cartesius]] dengan koordinat <math>(x,y)</math> menjadi miliki [[lingkaran satuan]] jika <math>x^2 + y^2 = 1</math>. Titiknya adalah ''rasional'' jika <math>x</math> dan <math>y</math> adalah [[bilangan rasional]], yaitu, jika terdapat [[bilangan bulat koprima]] <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> sehingga

:<math>\biggl(\frac{a}{c}\biggr)^2 + \biggl(\frac{b}{c}\biggr)^2=1</math>.

Dengan mengalikan kedua anggota <math>c^2</math>, salah satunya dapat lihat bahwa titik rasional pada lingkaran adalah dalam berpadanan satu-ke-satu dengan rangkap tiga Pythagoras primitif.

Lingkaran satuan juga dapat didefinisikan oleh sebuah [[persamaan parametrik]]

:<math>x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\quad y=\frac{2t}{1+t^2}</math>.

Rumus Euclid untuk rangkap tiga Pythagoras berarti bahwa, kecuali untuk <math>(-1,0)</math>, sebuah titik pada lingkaran adalah rasional jika dan hanya jika nilainya berpadanan dari <math>t</math> adalah sebuah bilangan rasional.

=== Pendekatan stereografik ===
[[Berkas:Stereoprojzero.svg|jmpl|Projeksi stereografik dari lingkaran satuan ke dalam sumbu-<math>x</math>. Diberikan sebuah titik <math>P</math> pada lingkaran satuan, gambar sebuah garis dari <math>P</math> ke titik <math>N = (0,1)</math> (''kutub utara''). Titik <math>P'</math> dimana garis memotong sumbu-<math>x</math> adalah projeksi stereografik dari <math>P</math>. Kebalikannya, memulai dengan menggambar sebuah garis dari <math>P'</math> ke <math>N</math>, projeksi stereografik inversnya adalah titik <math>P</math> dimana garis memotong lingkaran satuan.]]

Ini adalah sebuah padanan antara [[Grup titik rasional pada lingkaran satuan|titik pada lingkaran satuan dengan koordinat rasional]] dan rangkap tiga Pythagoras primitif. Di poin ini, rumus Euclid dapat diturunkan baik oleh metode [[trigonometri]] maupun dengan setara menggunakan [[Proyeksi stereografik|projeksi stereografik]].

Untuk pendekatan stereografik, andaikan bahwa <math>P'</math> adalah sebuah titik pada sumbu-<math>x</math> dengan koordinat rasional

:<math>P' = \left(\frac{m}{n}, 0 \right)</math>.

Maka, ini dapat ditunjukkan oleh aljabar dasar bahwa titik <math>P</math> memiliki koordinat

:<math>P = \left(
 \frac{2\left(\frac{m}{n}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)^2+1},
 \frac{\left(\frac{m}{n}\right)^2-1}{\left(\frac{m}{n}\right)^2+1}
\right) =
\left(
 \frac{2mn}{m^2+n^2},
 \frac{m^2-n^2}{m^2+n^2}
\right)</math>.

Ini menetapkan bahwa setiap [[titik rasional]] dari sumbu-<math>x</math> berjalan lewat ke sebuah titik rasional dari lingkaran satuan. Sebaliknya, bahwa setiap titik rasional dari lingkaran satuan datang dari seperti sebuah titik dari sumbu-<math>x  </math>, mengikuti dengan menerapkan projeksi stereografik inversnya. Andaikan bahwa <math>P(x,y)</math> merupakan sebuah titik dari lingkaran satuan dengan <math>x </math> dan <math>y </math> bilangan rasional. Mka titik <math>P'</math> diperoleh dari projeksi stereografik pada sumbu-<math>x</math> memiliki koordinat

:<math>\left(\frac{x}{1-y},0\right)</math>

yang merupakan rasional.

Dalam istilah [[geometri aljabar]], [[varietas aljabar]] mengenai titik rasional pada lingkaran satuan adalah [[birasional]] ke [[garis afin]] atas bilangan rasional. Demikian lingkaran satuan disebut sebuah [[lengkung rasional]], dan ini adalah fakta yang memungkinkan sebuah parameterisasi eksplisit dari titik (bilangan rasional) pada hal itu melalui [[fungsi rasional]].

== Segitiga Pythagoras dalam sebuah kekisi 2 dimensi ==
Sebuah [[Kekisi (grup)|kekisi]] 2 dimensi merupakan sebuah larik beraturan mengenai titik terpencil dimana jika suatu satu titik dipilih sebagai titik asal Cartesius <math>(0,0)</math>, maka semua titik lainnya ada di <math>(x,y)</math> dimana <math>x</math> dan <math>y</math> mengembara di semua bilangan bulat positif dan negatif. Suatu segitiga Pythagoras dengan rangkap tiga <math>(a,b,c)</math> dapat digambar dalam sebuah kekisi 2 dimensi dengan verteks di koordinat <math>(0,0)</math>, <math>(a,0)</math>, dan <math>(0,b)</math>. Jumlah langkah titik kekisi terletak sempurna dalam batas dari segitiga diberikan oleh <math>\frac{(a-1)(b-1)-\gcd{(a,b)}+1}{2}</math>;<ref>{{Cite web|last=Yiu|first=Paul|year=2003|title=Recreational Mathematics|url=http://math.fau.edu/Yiu/RecreationalMathematics2003.pdf|work=Course Notes|publisher=Dept. of Mathematical Sciences, Florida Atlantic University|at=Bab. 2, hlm. 110}}</ref> untuk rangkap tiga Pythagoras primitif, kekisi dalam ini adalah <math>\frac{(a - 1)(b - 1)}{2}</math>. Luasnya (oleh [[teorema Pick]] sama dengan satu lebih kecil dari jumlah langkah kekisi dalam ditambah setengah dari jumlah langkah kekisi batas) sama dengan <math>\frac{ab}{2}</math>.

Kejadian pertama mengenai dua rangkap tiga Pythagoras primitif membagi luas yang sama terjadi dengan segitiga dengan sisi <math>(20,21,29)</math>, <math>(12,35,37)</math> dan luas umumnya adalah 210 {{OEIS|id=A093536}}. Kejadian pertama mengenai dua rangkap tiga Pythgoras primitif membagi jumlah langkah kekisi dalam yang sama terjadi dengan <math>(18108,252685,253333)</math>, <math>(28077,162964,165365)</math> dan jumlah kekisi dalam adalah 2287674594 {{OEIS|id=A225760}}. Tiga rangkap tiga Pythagoras primitif telah ditemukan membagi luas yang sama: <math>(4485,5852,7373)</math>, <math>(3059,8580,9109)</math>, <math>(1380,19019,19069)</math> dengan luas 13123110. Hingga kini, tidak ada himpunan tiga rangkap tiga Pythagoras primitif telah ditemukan membagi jumlah langkah kekisi dalam.

== Enumerasi rangkap tiga Pythagoras primitif ==
Oleh rumus Euclid, semua rangkap tiga Pythagoras primitif dapat dihasilkan dari bilangan bulat <math>m</math> dan <math>n</math> dengan <math>m > n > 0</math>, <math>m + n</math> adalah ganjil dan <math>\gcd(m,n) = 1</math>. Karena itu terdapat sebuah 1 ke 1 pemetaan rasional (dalam suku terkecil) ke rangkap tiga Pythagoras primitid dimana <math>\frac{n}{m}</math> ada di dalam selang <math>(0,1)</math> dan <math>m+n</math> adalah ganjil.

Pemetaan terbalik dari sebuah rangkap tiga primitif <math>(a,b,c)</math> dimana <math>c > b > a > 0</math> ke sebuah rasional <math>\frac{n}{m}</math> dicapai dengan mempelajari dua jumlah <math>a + c</math> dan <math>b + c</math>. Salah satu dari jumlah ini akan menjadi sebuah bilangan kuadrat yang dapat disamakan dengan <math>(m + n)^2</math> dan lainnya akan menjadi dua kali sebuah bilangan kuadrat yang dapat disamakan dengan <math>2m^2</math>. Ini kemudian mungkin untuk menentukan rasional <math>\frac{n}{m}</math>.

Dalam rangka untuk menghitung rangkap tiga Pythagoras primitif, rasionalnya dapat diungkapkan sebagai sebuah pasangan terurut <math>(n,m)</math> dan dipetakan ke sebuah bilangan bulat menggunakan sebuah [[fungsi pasangan Cantor]]. Sebuah contoh dapat dilihat pada {{OEIS|A277557|}}. Ini dimulai

<math>8,18,19,32,33,34,\dots</math> dan memberikan rasional <math>\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{2}{5},\frac{1}{6},\dots</math> ini, ternyata, menghasilkan rangkap tiga primitif <math>(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(12,35,37),\dots</math>

== Spinor dan grup modular ==
Rangkap tiga Pythagoras dapat juga disandikan menjadi sebuah [[matriks persegi]] dari bentuk

:<math>X = \begin{bmatrix}
c+b & a\\
a & c-b
\end{bmatrix}</math>.

Sebuah matriks bentuk ini adalah [[Matriks simetrik|simetrik]]. Lebih lanjut, [[determinan]] <math>X</math> adalah

:<math>\det X = c^2 - a^2 - b^2</math>

yang adalah nol tepatnya ketika <math>(a,b,c)</math> adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras. Jika <math>X</math> berpadanan dengan sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka sebagai sebuah matriks harus memiliki [[Peringkat matriks|peringkat]] 1.

Karena <math>X</math> adalah simetrik, ini mengikuti dari sebuah hasil dalam [[aljabar linear]] bahwa terdapat sebuah [[vektor kolom]] <math>\xi = \begin{bmatrix} m & n \end{bmatrix}^T</math> sehingga [[darab luar]]
{{NumBlk|:|<math>X = 2\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}[m\ n] = 2\xi\xi^T\,</math>|1}}
berlaku, dimana <math>T</math> melambangkan [[transpos matriks]]. Vektor <math>\xi</math> disebut sebuah [[spinor]] (untuk [[grup Lorentz]] <math>\mathrm{SO}(1,2)</math>). Dalam istilah abstrak, rumus Euclidnya berarti bahwa setiap rangkap tiga Pythagoras primitif dapat ditulis sebagai darab luar dengan sendirinya mengenai sebuah spinor dengan entri-entri bilangna bulat, seperti di ({{EquationNote|1}}).

Grup modular <math>\Gamma</math> adalah himpunan matriks 2×2 dengan entri-entri bilangan bulat

:<math>A = \begin{bmatrix}\alpha&\beta\\ \gamma&\delta\end{bmatrix}</math>

dengan determinan sama dengan satu: <math>\alpha \delta - \beta \gamma = 1</math>. Himpunan ini membentuk sebuah [[Grup (matematika)|grup]], karena inversnya matriks dalam <math>\Gamma</math> adalah lagi di <math>\Gamma</math>, karena merupakan darab dua matriks di <math>\Gamma</math>. Grup modular bertindak pada kumpulan semua spinor bilangan bulat. Lebih lanjut, grupny transitif mengenai kumpulan spinor bilangan bulat dengan entri-entri relatif prima. Untuk jika <math>\begin{bmatrix} m & n \end{bmatrix}^T</math> memiliki entri-entri relatif prima, maka

:<math>\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}</math>

dimana <math>u</math> dan <math>v</math> dipilih (oleh [[algoritme Euclides]]) sehingga <math>mu + nv = 1</math>.

Dengan bertindak pada spinor <math>\xi</math> di ({{EquationNote|1}}), tindakan <math>\Gamma</math> berjalan ke sebuah tindakan pada rangkap tiga Pythagoras, disediakan salah satunya memungkinkan untuk  rangkap tiga dengan komponen negatif mungkin. Demikian jika <math>A</math> adalah sebuah matriks di <math>\Gamma</math>, maka
{{NumBlk|:|<math>2(A\xi)(A\xi)^T = A X A^T\,</math>|2}}
memunculkan untuk sebuah tindakan pada matriks <math>X</math> di ({{EquationNote|1}}). Ini tidak memberikan sebuah tindakan didefinisikan dengan baik pada rangkap tiga primitif, karena ini dapat mengambil sebuah rangkap tiga primitif ke yang takprimitif. Ini cocok pada poin ini (tiap {{harvnb|Trautman|1998}}) untuk menyebut sebuah rangkap tiga <math>(a,b,c)</math> '''standar''' jika <math>c > 0</math> dan baik <math>(a,b,c)</math> adalah relatif prima maupun <math>\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)</math> adalah relatif prima dengan <math>\frac{a}{2}</math> adalah ganjil. Jika spinornya <math>\begin{bmatrix} m & n \end{bmatrix}^T </math> memiliki entri-entri relatif prima, maka rangkap tiga iring <math>(a,b,c)</math> ditentukan oleh ({{EquationNote|1}}) adalah sebuah rangkap tiga standar. Ini mengikuti bahwa tindakan dari grup modular adalah transitif mengenai himpunan rangkap tiga standar.

Secara bergantian, perhatian larangan untuk nilai-nilai tersebut dari <math>m</math> dan <math>n</math> yang mana <math>m</math> adalah ganjil dan <math>n</math> adalah genap. Misalkan [[subgrup]] <math>\Gamma(2)</math> dari <math>\Gamma</math> menjadi [[kernel]] dari [[kehomomorfan grup]]

:<math>\Gamma=\mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})\to \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z}_2)</math>

dimana <math>\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}_2)</math> adalah [[grup linear khusus]] atas [[medan hingga]] <math>\mathbb{Z}_2</math> dari [[Aritmetika modular|bilangan bulat modulo 2]]. Maka <math>\Gamma(2)</math> adalah grup transformasi unimodular yang mempertahankan paritas setiap entri. Demikian jika entri pertama <math>\xi</math> adalah ganjil dan entri kedua adalah genap, maka yang sama adalah benar dari <math>A\xi</math> untuk semua <math>A \in \Gamma(2)</math>. Faktanya, terhadap tindakan ({{EquationNote|2}}), grup <math>\Gamma(2)</math> bertindak secara transitif pada kumpulan rangkap tiga Pythagoras primitif {{harv|Alperin|2005}}.

Grup <math>\Gamma(2)</math> merupakan [[grup bebas]] yang pembangkitnya adalah matriks

:<math>U=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}</math>, <math>L=\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}</math>.

Akibatnya, setiap rangkap tiga Pythagoras primitif dapat diperoleh dalam sebuah cara yang unik sebagai sebuah darab salinan dari matriks <math>U</math> dan <math>L</math>.

== Hubungan induk/anak ==
Melalui sebuah hasil dari {{harvtxt|Berggren|1934}}, semua rangkap tiga Pythagoras primitif dapat dihasilkan dari segitiga <math>(3, 4, 5)</math> dengan menggunakan tiga [[transformasi linear]] <math>T_1</math>, <math>T_2</math>, <math>T_3</math> di bawah, dimana <math>a, b, c</math> adalah sisi rangkap tiga:
{|
|
|sisi baru <math>a</math>
|sisi baru <math>b</math>
|sisi baru <math>c</math>
|-
|<math>T_1</math>
|<math>a - 2b + 2c</math>
|<math>2a - b + 2c</math>
|<math>2a - 2b + 3c</math>
|-
|<math>T_2</math>
|<math>a + 2b + 2c</math>
|<math>2a + b + 2c</math>
|<math>2a + 2b + 3c</math>
|-
|<math>T_3</math>
|<math>-a + 2b + 2c</math>
|<math>-2a + b + 2c</math>
|<math>-2a + 2b + 3c</math>
|}
Dengan kata lain, setiap rangkap tiga primitif akan menjadi sebuah "induk" untuk tiga tambahan rangkap tiga primitif. Mulai dari simpul awal dengan <math>a = 3</math>, <math>b = 4</math>, <math>c = 5</math>, operasi <math>T_1</math> menghasilkan rangkap tiga baru

:<math>(3 - (2 \times 4) + (2 \times 5), (2 \times 3) - 4 + (2 \times 5), (2 \times 3) - (2 \times 4) + (3 \times 5)) = (5, 12, 13)</math>

dan dengan cara yang serupa <math>T_2</math> dan <math>T_3</math> menghasilkan rangkap tiga <math>(21, 20, 19)</math> dan <math>(15, 8, 17)</math>.

Transformasi linear <math>T_1</math>, <math>T_2</math>, dan <math>T_3</math> memiliki sebuah interpretasi geometrik dalam bahasa [[bentuk kuadrat]]. Mereka terhubung erat dengan (tapi tidak sama dengan) cerminan menghasilkan [[grup ortogonal]] <math>x^2 + y^2 - z^2</math> atas bilangan bulat.<ref>{{harv|Alperin|2005}}</ref>

== Hubungan dengan bilangan bulat Gauss ==
Secara bergantian, rumus Euclid dapat dianalisis dan dibuktikan menggunakan [[bilangan bulat Gauss]].<ref>{{citation|first=John|last=Stillwell|title=Elements of Number Theory|chapter-url=https://books.google.com/books?id=LiAlZO2ntKAC&pg=PA110|year=2002|publisher=Springer|isbn=978-0-387-95587-2|pages=110–2|chapter=6.6 Pythagorean Triples}}</ref> Bilangan bulat Gauss merupakan [[bilangan kompleks]] dari bentuk <math>\alpha = u + vi</math>, dimana <math>u</math> dan <math>v</math> adalah [[bilangan bulat]] biasa dan <math>i</math> adalah [[Satuan khayal|akar kuadrat dari negatif satu]]. Satuan bilangan bulat Gauss adalah <math>\pm 1</math> dan <math>\pm i</math>. Bilangan bulat biasa disebut [[Bilangan bulat|bilangan bulat rasional]] dan dilambangkan sebagai <math>\mathbb{Z}</math>. Bilangan bulat Gauss dilambangkan sebagai <math>\mathbb{Z}[i]</math>. Ruas sebelah kanan dari [[teorema Pythagoras]] dapat difaktorkan dalam bilangan bulat Gauss:

:<math>c^2 = a^2+b^2 = (a+bi)\overline{(a+bi)} = (a+bi)(a-bi)</math>.

Sebuah rangkap tiga Pythagoras primitif adalah salah satu di mana <math>a</math> dan <math>b</math> adalah [[Koprima (bilangan)|koprima]], yaitu, mereka tidak membagi faktor bilangan prima dalam bilangan bulat. Untuk seperti sebuah rangkap tiga, baik <math>a</math> maupun <math>b</math> adalah genap, dan lainnya ganjil; dari ini, mengikuti bahwa <math>c</math> juga ganjil.

Dua faktor <math>z := a + bi</math> dan <math>z^\star := a - bi</math> rangkap tiga Pythagoras setiap sama dengan kuadrat bilangan Gauss. Ini dapat dibuktikan menggunakan sifat bahwa setiap bilangan bulat Gauss dapat difaktorkan dengan unik menjadi bilangan prima Gauss [[sampai dengan]] [[Satuan (teori gelanggang)|satuan]].<ref name="Gauss_1832">{{Citation|author=Gauss CF|year=1832|title=Theoria residuorum biquadraticorum|journal=Comm. Soc. Reg. Sci. Gött. Rec.|volume=4|postscript=.|author-link=Carl Friedrich Gauss}} See also ''Werke'', '''2''':67–148.</ref> (Faktorisasi tunggal ini diikuti dari dari fakta bahwa, bahasa kasarnya, sebuah versi dari [[Algoritme Euklidean|algoritme Euclides]] dapat didefinisikan padanya.) Buktinya telah memiliki tiga langkah, Pertama, jika <math>a</math> dan <math>b</math> tidak membagikan faktor prima dalam bilangan bulat, maka mereka juga tidak membagikan faktor prima dalam Gauss. (Asumsi <math>a = gu</math> dan <math>b = gv</math> dengan bilangan bulat Gauss <math>g</math>, <math>u</math>, dan <math>v</math> dan <math>g</math> bukanlah sebuah satuan. Maka <math>u</math> dan <math>v</math> terletka pada garis yang sama melalui asalnya. Semua bilangan bulat Gauss pada seperti sebuah garis adalah kelipatan bilangan bulat mengenai suatu bilangan bulat Gauss <math>h</math>. Tapi kemudian bilangan bulat <math>gh \ne \pm 1</math> membagi keduanya <math>a</math> dan <math>b</math>.) Kedua, ini mengikuti bahwa <math>z</math> dan <math>z^\star</math> juga tidak membagikan faktor prima dalam bilangan bulat Gauss. Untuk jika melakukannya, maka pembagi persekutuan <math>\delta</math> juga akan membagi <math>z + z^\star = 2a</math> dan <math>z - z^\star = 2ib</math>. Karena <math>a</math> dan <math>b</math> adalah koprima, yang menyiratkan bahwa <math>\delta</math> membagi <math>2 = (1 + i)(1 - i) = i(1 - i^2)</math>. Dari rumus <math>c^2 = zz^\star</math>, yang ternyata akan menyiratkan bahwa <math>c</math> adalah genap. Ketiga, karena <math>c^2</math> adalah sebuah bilangan kuadrat, setiap bilangan prima Gauss dalam faktorisasinya adalah berganda, yaitu, muncul sebuah genap perkalian. Karena <math>z</math> dan <math>z^\star</math> tidak membagikan faktor prima, pengandaan ini juga benar untuknya. Karena itu, <math>z</math> dan <math>z^\star</math> adalah bilangan kuadrat.

Demikian, faktor pertamanya dapat ditulis

:<math>a+bi = \varepsilon\left(m + ni \right)^2</math>, <math>\quad \varepsilon\in\{\pm 1, \pm i\}</math>.

Bagian real dan imajiner persamaan ini memberikan dua rumus:

:<math>\begin{cases}\varepsilon = +1, & \quad a = +\left( m^2 - n^2 \right),\quad b = +2mn \\ \varepsilon = -1, & \quad a = -\left( m^2 - n^2 \right),\quad b = -2mn \\ \varepsilon = +i, & \quad a = -2mn,\quad b = +\left( m^2 - n^2 \right) \\ \varepsilon = -i, &  \quad a = +2mn,\quad b = -\left( m^2 - n^2 \right) \end{cases}</math>

Untuk suatu rangkap tiga Pythagoras primitif, pasti ada bilangan bulat <math>m</math> dan <math>n</math> sehingga kedua persamaannya memenuhi. Karena itu, setiap rangkap tiga Pythagoras dapat dihasilkan untuk suatu pemilihan bilangan bulat ini.

=== Sebagai bilangan bulat Gauss kuadrat sempurna ===
Jika kita menganggap kuadratnya bilangan bulat Gauss, kita mendapatkan interpretasi langsung berikut mengenai rumus Euclid sebagai wakilan kuadrat sempurna bilangan Gauss.

:<math>(m+ni)^2 = (m^2-n^2)+2mni</math>.

Menggunakan fakta bahwa bilangan bulat Gauss adalah sebuah ranah Euclides dan bahwa untuk sebuah bilangan bulat Gauss <math>p</math>, <math>\left|p \right|^2</math> selalu sebuah bilangan kuadrat ini, ini mungkin untuk menunjukkan bahwa sebuah rangkap tiga Pythagoras berpadanan dengan kuadrat bilangan bulat Gauss prima jika hipotenusanya adalah prima.

Jika bilangan bulat Gausas bukanlah prima, maka darab dua bilangan bulat Gauss <math>p</math> dan <math>q</math> dengan bilangan bulat <math>\left|p\right|^2</math> dan <math>\left|q \right|^2</math>. Karena besarannya dikalikan dalam bilangan bulat Gauss, darabnya harus <math>\left| p \right| \left| q \right|</math>, yang ketika dikuadratkan untuk mencari sebuah rangkap tiga Pythagoras harus komposit. Kontrapositifnya melengkapi pembuktiannya.

== Relasi untuk elips dengan dimensi integral ==
[[Berkas:Pythagorean triples in ellipses.svg|jmpl|Hubungan antara rangkap tiga Pythagoras dan elips dengan eksentrisitas linear integral, dan sumbu panjang dan sumbu pendek]]

Dengan acuan ke gambar dan definisi dari [[Elips#Fokus|fokus elips]], <math>F_1</math> dan <math>F_2</math>, untuk suatu titik <math>P</math> pada elips, <math>F_1 P + P F_2</math> adalah tetapan.

Karena titik <math>A</math> dan <math>B</math> adalah keduanya elips, <math>F_1 A + A F_2 = F_1 B + B F_2</math>. Karena simetri, <math>F_1A + AF_2 = F_2A' + AF_2 = AA' = 2 AC</math>, dan <math>F_1B + BF_2 = 2 BF_2</math>. Karena itu, <math>AC = BF_2</math>.

Demikian, jika <math>BCF_2</math> adalah sebuah segitiga sudut siku-siku dengan sisi integral, pemisahan dari fokus, eksentrisitas linear, sumbu pendek dan sumbu panjang juga bilangan bulat semua.<ref>{{cite web|title=Derivation of standard equation for ellipse from the locus definition of an ellipse|url=http://nebula.deanza.edu/~bloom/math43/ellipse-derivation.pdf|website=nebula.deanza.edu|archive-url=https://web.archive.org/web/20160705145159/http://nebula.deanza.edu/~bloom/math43/ellipse-derivation.pdf|archive-date=5 July 2016|access-date=18 July 2016|url-status=dead}}</ref>

== Sebaran rangkap tiga ==
[[Berkas:Pythagorean triple scatterplot.svg|jmpl|Sebuah [[plot pencar]] dari kaki <math>(a,b)</math> mengenai rangkap tiga Pythagoras pertama dengan <math>a  </math> dan <math>b  </math> lebih kecil dari <math>4500</math>.]]

Terdapat sejumlah hasil mengenai sebaran rangkap tiga Pythagoras. Dalam plot pencar, sebuah bilangan mengenai pola yang jelas sudah nyata. Setiap kali <math>(a,b)</math> mengenai sebuah pola primitif muncul dalam plot, semua kelipatan bilangan bulat <math>(a,b)</math> juga muncul dalam plot, dan sifat ini menghasilkan penampakan garis yang memancar dari asalnya di diagram.

Dalam pencarnya, ada himpunan-himpunan pola [[Parabola|parabolik]] dengan sebuah kerapatan tinggi titik-titik dan semua fokus pada asalnya, membuka dalam semua empat arah. Parabola yang berbeda memotong pada sumbu dan muncul untuk mencerminkan sumbu dengan sebuah sudut insidens 45 derajat, dengan sebuah parabola ketiga memasuki dalam sebuah mode tegak lurus. Dalam kuadran ini, setiap busur terpusat pada asalnya menunjukkan bahwa bagian dari parabola yang terletak di antara ujungnya dalam perpotongannya dengan ''[[Irisan kerucut|rektum semi-latus]]''nya.

Pola-pola ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Jika <math>\frac{a^2}{4n}</math> adalah sebuah bilangan bulat, maka <math>\left(a, \left|n-\frac{a^2}{4n}\right|, n+\frac{a^2}{4n}\right)</math> adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras. (Faktanya setiap rangkap tiga Pythagoras <math>(a, b, c)</math> dapat ditulis dalam hal ini dengan bilangan bulat <math>n</math>, kemungkinan setelah penukaran <math>a  </math> dan <math>b  </math> ditukar, dan kurva padanan dengan <math>a  </math> dan <math>b  </math>. Jika <math>a  </math> beragam untuk diberikan <math>n</math> (yaitu, pada sebuah parabola yang diberikan), nilai bilangan bulat <math>b  </math> berlangsung relatif dengan sering jika <math>n</math> adalah sebuah bilangan kuadrat atau semua kelipatan kecil dari sebuah bilangan kuadrat. Jika beberapa di antara nilai-nilainya terjadi terletak berdekatan, parabola padanan hampir berimpit, dan kelompok rangkap tiganya dalam sebuah pita parabolik sempit. Contohnya <math>38^2 = 1444</math>, <math>2 \times 27^2 = 1458</math>, <math>3 \times 22^2 = 1452</math>, <math>5 \times 17^2 = 1445</math> dan <math>10 \times 12^2 = 1440</math>, pita parabolik padanan sekitar <math>n \approx 1450</math> jelas terlihat dalam plot pencar.

Sifat-sifat sudut digambarkan di atas mengikuti dengan seketika dari bentuk fungsional dari parabola. Parabolanya dicerminkan pada sumbu-<math>a</math> pada <math>a = 2n</math>, dan turunan <math>b</math> terhadap <math>a</math> pada titik ini adalah <math>-1</math>, karena itu sudut insidensnya adalah <math>45^\circ</math>. Karena kelompok, seperti semua rangkap tiga, berulang pada kelipatan bilangan bulat, nilai <math>2n</math> juga padanan dengan sebuah kelompok. Parabola padanan memotong sumbu-<math>b</math> pada sudut siku-siku di <math>b = 2n</math>, dan karena itu cerminannya setelah saling tukar mengenai <math>a</math> dan <math>b</math> memotong sumbu-<math>a</math> pada sudut siku-siku pada <math>a = 2n</math>, tepat ketika parabola untuk <math>n</math> dicerminkan pada sumbu-<math>a</math>. (Yang sama tentu saja benar untuk <math>a</math> dan <math>b</math> saling tukar.)

Albert Fässler dan lainnya menyediakan wawasan ke dalam  arti penting mengenai parabola-parabola ini dalam konteks pemetaan konformal.<ref>[http://conservancy.umn.edu/handle/4878 1988 Preprint] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110809123211/http://conservancy.umn.edu/handle/4878|date=2011-08-09}} See Figure 2 on page 3., later published as {{citation|first=Albert|last=Fässler|title=Multiple Pythagorean number triples|journal=American Mathematical Monthly|volume=98|issue=6|pages=505–517|date=June–July 1991|jstor=2324870|doi=10.2307/2324870|url=http://purl.umn.edu/4878}}</ref><ref>{{citation|first1=Manuel|last1=Benito|first2=Juan L.|last2=Varona|title=Pythagorean triangles with legs less than ''n''|journal=Journal of Computational and Applied Mathematics|volume=143|pages=117–126|date=June 2002|issue=1|doi=10.1016/S0377-0427(01)00496-4|bibcode=2002JCoAM.143..117B|doi-access=free}} as [http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Benito-Varona-JCAM-Publicado.pdf PDF]</ref>

== Kasus khusus dan persamaan yang berkaitan ==

=== Barisan Platonik ===
Kasus <math>n = 1</math> dari konstruksi rangkap tiga Pythagoras yang lebih umum untuk waktu yang lama. [[Proclus]], dalam komentarnya untuk [[Teorema Pythagoras|Proposisi ke-47]] dari buku pertama ''[[Elemen Euklides|Euclid's Elements]]'', digambarkan sebagai berikut:<blockquote>Metode tertentu untuk penemuan segitiga mengenai jenis ini diturunlan, salah satunya yang mana mereka merujuk ke Plato, dan lainnya ke [[Pythagoras]]. (Yang terakhir) dimulai dari bilangan ganjil. Untuk membuatnya bilangan ganjil lebih kecil dari sisi-sisi mengenai sudut siku-siku, maka ini mengambil kuadratnya, mengurangi persatuan dan memuat setengah beda lebih besar dari sisi-sisi mengenai sudut siku-siku; terakhir ini menambakan persatuan untuk ini dan demikian membentuk sisi-sisi yang tersisa.

...Untuk meotde Plato berdebat dari bilangan genap. Ini mengambil diberikan bilangan genap dan membuatnya salah satu dari sisi-sisi mengenai sudut siku-siku; maka, membagi dua bilangan ini dan menguadratkan bentuk hipotenusa, dan mengurangi persatuannya dari bilangna kuadat untuk membentuk sisi lainnya mengenai sudut siku-siku. ...Demikian ini membentuk segitiga yang sama yang diperoleh oleh metode lainnya.</blockquote>Dalam bentuk persamaan, ini menjadi:

:<math> a</math> adalah ganjil (Pythagoras, sekitar 540 SM):

:<math>\text{sisi }a : \text{sisi }b = {a^2 - 1 \over 2} : \text{sisi }c = {a^2 + 1 \over 2}</math>.

:<math> a</math> adalah genap (Plato, sekitar 380 SM):

:<math>\text{sisi }a : \text{sisi }b = \left({a \over 2}\right)^2 - 1 : \text{sisi }c = \left({a \over 2}\right)^2 + 1</math>.

Ini dapat ditunjukkan bahwa semua rangkap tiga Pythagoras dapat diperoleh, dengan skala ulang yang sesuai, dari barisan Platonic dasar <math>\left(a, \frac{a^2 - 1}{2} \text{ dan }\frac{a^2 + 1}{2} \right)</math> dengan memungkinkan <math>a</math> untuk mengambil nilai rasional bukan bilangan bulat. Jika <math>a</math> digantikan dengan pecahan <math>\frac{m}{n}</math> dalam barisan, hasilnya sama dengan pembangkit rangkap tiga 'standar' <math>\left(2mn, m^2 - n^2, m^2 + n^2 \right)</math> setelah skala ulang. Ini mengikuti bahwa setiap rangkap tiga memiliki sebuah rasional padanan nilai <math>a</math> yang dapat digunakan untuk menghasilkan sebuah segitiga [[Keserupaan (geometri)|sebangun]] (satu dengan tiga sudut yang sama dan dengan sisi-sisi dalam proposisi yang sama sebagai asalnya). Contohnya, setara Platonic <math>(56,33,65)</math> dihasilkan oleh <math>a = \frac{m}{n} = \frac{7}{4}</math> sebagai <math>\left(a, \frac{a^2 - 1}{2}, \frac{a^2 + 1}{2} \right) = \left( \frac{56}{32}, \frac{33}{32}. \frac{65}{32} \right)</math>. Barisam Platonic sendiri dapat diturunkan{{clarify|What does this mean?|date=April 2015}} dengan mengikuti langkah-langkah untuk "memisahkan kuadrat' digambarkan dalam [[Diophantus II. VIII]].

=== Persamaan Jacobi–Madden ===
Persamaan,

:<math>a^4+b^4+c^4+d^4 = (a+b+c+d)^4</math>

setara dengan rangkap tiga Pythagoras khusus

:<math>(a^2+ab+b^2)^2+(c^2+cd+d^2)^2 = ((a+b)^2+(a+b)(c+d)+(c+d)^2)^2</math>.

Ada sebuah jumlah penyelesaian yang takterhingga untuk persamaan ini karena meyelesaikan untuk peubahnya melibatkan sebuah [[kurva eliptik]]. Yang kecil adalah,

:<math>a, b, c, d = -2634, 955, 1770, 5400</math>

=== Jumlah sama dari dua jumlah bilangan kuadrat ===
Salah satu untuk menghasilkan penyelesaian untuk <math>a^2 + b^2 = c^2 + d^2</math> adalah untuk mengukur <math>a,b,c,d</math> dalam suku bilangan bulat <math>m,n,p,q</math> sebagai berikut:<ref>Nahin, Paul. ''An Imaginary Tale: The Story of'' {{math|{{sqrt|−1}}}}, pp. 25–26.</ref>

:<math>(m^2+n^2)(p^2+q^2)=(mp-nq)^2+(np+mq)^2=(mp+nq)^2+(np-mq)^2</math>

=== Jumlah sama dari dua bilangan pangkat empat ===
Diberikan dua himpunan rangkap tiga Pythagoras,

:<math>(a^2-b^2)^2+(2a b)^2 = (a^2+b^2)^2</math>

:<math>(c^2-d^2)^2+(2c d)^2 = (c^2+d^2)^2</math>

masalah mencari hasilkali yang sama mengenai sebuah [[Cathetus|sisi takhipotenusa]] dan hipotenusanya,

:<math>(a^2 -b^2)(a^2+b^2) = (c^2 -d^2)(c^2+d^2)</math>

dengan mudah dilihat menjadi setara dengan persamaannya,

:<math>{\displaystyle a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4}}</math>

dan pertama kali dipecahkan oleh Euler sebagai <math>a, b, c, d = 133,59,158,134</math>. Karena beliau menunjukkan  ini adalah sebuah titik rasional dalam sebuah [[kurva eliptik]], maka ada sebuah jumlah penyelesaian yang takhingga. Faktanya, dia juga menemukan sebuah parameterisasi polinomial derajat 7.

=== Teorema Lingkaran Descartes ===
Untuk kasus [[Teorema Descartes|teorema lingkaran Descartes]] dimana semua peubah adalah bilangan kuadrat,

:<math>2(a^4+b^4+c^4+d^4) = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2</math>

Euler menunjukkan ini adalah setara dengan tiga rangkap tiga Pythagoras simultan,

:<math>(2ab)^2+(2cd)^2 = (a^2+b^2-c^2-d^2)^2</math>

:<math>(2ac)^2+(2bd)^2 = (a^2-b^2+c^2-d^2)^2</math>

Terdapat juga jumlah penyelesaian yang takterhingga, dan untuk kasus khusus dimana <math>a + b = c</math>, maka persamaannya menyederhanakan ke,

dengan penyelesaian yang kecil sebagai <math>a, b, c, d = 3, 5, 8, 14</math> dan dapat dipecahkan sebagai [[bentuk kuadratik biner]].

=== Rangkap tiga Pythagoras hampir sama kaki ===
Tidak ada rangkap tiga Pythagoras adalah [[sama kaki]], karena rasio dari hipotenusa untuk salah satu sisi lainnya adalah {{Radic|2}}, tapi [[Akar kuadrat dari 2#Bukti keirasionalan|{{Radic|2}} tidak dapat diungkapkan sebagia rasio 2 bilangan bulat]].

Itu adalah, nbnamun, [[Segitiga siku-siku khusus#Rangkap tiga Pythgoras hampir sama kaki|segitiga bersudut siku-siku]] dengan sisi integral untuk yang panjangnya dari [[sisi takhipotenusa]] berbeda dengan satunya, seperti,

:<math>3^2+4^2 = 5^2</math>

dan jumlah lainnya takterhingga. Mereka dapat diukur lengkap sebagai,

:<math>\left(\frac{x-1}{2}\right)^2+\left(\frac{x+1}{2}\right)^2 = y^2</math>

dimana <math>\{x,y\}</math> adalah penyelesaian untuk [[persamaan Pell]] <math>x^2 - 2y^2 = -1</math>

Jika <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> adalah sisi-sisi tipe ini mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif, maka penyelesaian untuk persamaan Pell diberikan oleh [[Relasi pengulangan|rumus rekursif]]

:<math>a_n=6a_{n-1}-a_{n-2}+2</math> dengan <math>a_1 = 3</math> dan <math>a_2 = 20</math>

:<math>b_n=6b_{n-1}-b_{n-2}-2</math> dengan <math>b_1 = 4</math> dan <math>b_2 = 21</math>

:<math>c_n=6c_{n-1}-c_{n-2}</math> dengan <math>c_1 = 5</math> dan <math>c_2 = 29</math>.<ref>{{cite web|title=OEIS A001652|url=http://oeis.org/A001652|publisher=The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences}}</ref><ref>{{cite web|title=OEIS A001653|url=http://oeis.org/A001653|publisher=The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences}}</ref>

Barisan ini mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif membentuk batang pusat dari [[Pohon rangkap tiga Pythagoras primitif|pohon terner berakar]] mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif.

Ketika ini sisi takhipotenusa yang panjang dan hipotenusa yang berbeda dengan satunya, seperti di

:<math>5^2+12^2 = 13^2</math>

:<math>7^2+24^2 = 25^2</math>

maka penyelesaian lengkap untuk rangkap tiga Pythagoras primitif <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> adalah

:<math>a=2m+1</math>, <math>b=2m^2+2m</math>, <math>c=2m^2+2m+1</math>

dan

:<math>(2m+1)^2+(2m^2+2m)^2=(2m^2+2m+1)^2</math>

dimana bilangan bulat <math>m > 0</math> adalah parameter pembangkit.

Ini menunjukkan bahwa semua [[bilangan ganjil]] (lebih dari 1) muncul dalam tipe ini mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif hampir sama kaki. Barisan rangkap tiga Pythagoras ini membentuk batang luar sisi sebelah kanan dari pohon terner berakar mengenai rangkap tiga Pythgoras primitif.

Sifat tipe ini lainnya mengenai rangkap tiga Pythagoras primtiif hampir sama kaki adalah bahwa sisi-sisinya berkaitan sehingga

:<math>a^b+b^a=Kc</math>

untuk suatu bilangan bulat <math>K</math>. Atau dengan kata lain <math>a^b + b^a</math> habis dibagi oleh <math>c</math> seperti di

:<math>\frac{5^{12}+12^5}{13} = 18799189</math>.<ref>{{cite web|title=OEIS A303734|url=http://oeis.org/A303734|publisher=The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences}}</ref>

=== Bilangan Fibonacci dalam rangkap tiga Pythagoras ===
Dimulai dengan 5, setiap [[bilangan Fibonacci]] adalah panjang dari hipotenus segitiga siku-siku dengan sisi bilangan bulat, atau dengan kata lain, bilangan terbesar dalam sebuah rangkap tiga Pythagoras, diperoleh dari rumus

:<math>(F_nF_{n+3})^2 + (2F_{n+1}F_{n+2})^2 = F_{2n+3}^2</math>.

Barisan segitiga Pythagiras diperoleh dari rumus ini memiliki sisi panjang

:<math>(3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), \dots</math>

Sisi tengah mengenai setiap segitiga ini adalah jumlah dari tiga sisi dari segitiga sebelumnya.<ref>{{citation|last=Pagni|first=David|date=September 2001|issue=4|journal=Mathematics in School|jstor=30215477|pages=39–40|title=Fibonacci Meets Pythagoras|volume=30}}</ref>

== Perampatan ==
Terdapat beberapa cara untuk merampat konsep rangkap tiga Pythagoras.

=== Rangkap-''n'' Pythagoras ===
Menggunakan [[identitas aljabar]] sederhana,

:<math>(x_1^2-x_0)^2 + (2x_1)^{2}x_0 = (x_1^2+x_0)^2</math>

untuk sebarang <math>x_0</math>, <math>x_1</math>, ini mudah untuk membuktikan bahwa bilangan kuadrat dari jumlah kuadrat <math>n</math> adalah jumlah kuadrat <math>n</math>  itu sendiri dengan memisalkan <math>x_0 = x_2 ^2 + x_3 ^2 + \dots + x_n ^2</math> dan kemudian mendistribusikan suku-suku.<ref>{{cite web|title=A Collection of Algebraic Identities: Sums of n Squares|url=http://sites.google.com/site/tpiezas/005b|access-date=2021-05-04|archive-date=2012-03-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20120306122543/http://sites.google.com/site/tpiezas/005b|dead-url=yes}}</ref> Salah satunya dapat lihat bagaimana rangkap tiga dan rangkap empat Pythagoras hanyalah kasus khusus <math>x_0 = x_2 ^2</math> dan <math>x_0 = x_2^2 + x_3^2</math>, masing-masing, dan seterusnya untuk <math>n</math> lain, dengan rangkap lima diberikan oleh

:<math>(a^2-b^2-c^2-d^2)^2 + (2ab)^2 + (2ac)^2 + (2ad)^2 = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2</math>.

Karena jumlah <math>F(k,m)</math> mengenai bilangan kuadrat berturutan <math>k</math> diawali dengan <math>m^2</math> diberikan oleh rumus,<ref>{{cite web|title=Sum of consecutive cubes equal a cube|url=http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/cube.sum|archive-url=https://web.archive.org/web/20080515132209/http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/cube.sum|archive-date=2008-05-15|url-status=dead}}</ref>

:<math>F(k,m)=km(k-1+m)+\frac{k(k-1)(2k-1)}{6}</math>

salah satunya dapat mencari nilai <math>(k, m)</math> sehingga <math>F(k,m)</math> adalah sebuah bilangan kuadrat, seperti saklah satunya oleh Hirschhorn dimana jumlah suku-suku adalah sebuah bilangan kuadrat itu sendiri,<ref>{{citation|last=Hirschhorn|first=Michael|title=When is the sum of consecutive squares a square?|journal=The Mathematical Gazette|volume=95|pages=511–2|date=November 2011|doi=10.1017/S0025557200003636|oclc=819659848|issn=0025-5572}}</ref>

:<math>m=\frac{v^4-24v^2-25}{48}</math>, <math>k=v^2</math>, <math>F(m,k)=\frac{v^5+47v}{48}</math>

dan <math>v \ge 5</math> adalah suatu bilangan bulat tidak habs dibagi oleh 2 atau 3. Untuk kasus terkecil <math>v = 5</math>, karena <math>k = 25</math>, ini menghasilkan masalah pengepakan peluru meriam terkenal dari [[Édouard Lucas|Lucas]].

:<math>0^2+1^2+2^2+\dots+24^2 = 70^2</math>

sebuah fakta yang terhubung dengan [[kekisi Leech]].

Sebagai tambahan, jka dalam sebuah rangkap-<math>n</math> Pythagoras (<math>n \ge 4</math>), semua [[penambahan]] adalah berturutan kecuali satu, satunya dapat menggunakan persamaannya,<ref>{{citation|last=Goehl|first=John F. Jr.|title=Reader reflections|journal=Mathematics Teacher|volume=98|issue=9|page=580|date=May 2005|doi=10.5951/MT.98.9.0580|url=http://www.nctm.org/publications/article.aspx?id=18884}}</ref>

:<math>F(k,m) + p^{2} = (p+1)^{2}</math>

Karena pangkat dua <math>p</math> membatalkan, ini hanya linear dan dengan mudah dipecahkan sebab ketika <math>p=\frac{F(k,m)-1}{2}</math> meskipun <math>k</math>, <math>m</math> seharusnya dipilih sehingga <math>p</math> adalah sebuah bilangan bulat, dengan sebuah contoh kecil menjadi <math>k = 5</math>, <math>m = 1</math> menghasilkan,

:<math>1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+27^2=28^2</math>

Demikian, salah satu cara untuk menghasilkan rangkap-<math>n</math> Pythagoras adalah dengan menggunakan, untuk berbagai <math>x</math>,<ref>Goehl, John F., Jr., "Triples, quartets, pentads", ''Mathematics Teacher'' 98, May 2005, p. 580.</ref>

:<math>x^2+(x+1)^2+\cdots +(x+q)^2+p^2=(p+1)^2</math>,

dimana <math>q = n - 2</math> dan dimana

:<math>p=\frac{(q+1)x^2+q(q+1)x+\frac{q(q+1)(2q+1)}{6} -1}{2}</math>.

==== Rangkap empat Pythgoras ====
Sebuah himpunan empat bilangan bulat positif <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, dan <math>d</math> sehingga <math>a^2 + b^2 + c^2 = d^2</math> disebut [[rangkap empat Pythagoras]]. Contoh paling sederhananya adalah <math>(1,2,2,3)</math>, karena <math>1^2 + 2^2 + 2^2 = 3^2</math>. Contoh (primitif) paling sederhana berikutnya adalah <math>(2,3,6,7)</math> karena <math>2^2 + 3^2 + 6^2 = 7^2</math>.

Semua rangkap empat diberikan oleh rumus

:<math>(m^2+n^2-p^2-q^2)^2+(2mq+2np)^2+(2nq-2mp)^2=(m^2+n^2+p^2+q^2)^2</math>.

=== Teorema Terakhir Fermat ===
Sebuah perampatan dari konsep rangkap tiga Pythagoras adalah penelusuran untuk rangkap tiga bilangan bulat positif  <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> , sehingga <math>a^n + b^n = c^n</math>, untuk suatu <math>n</math> sempurna lebih besar dari 2. [[Pierre de Fermat]] pada tahun 1637 mengklaim bahwa seperti rangkap tiga itu tidak ada, sebuah klaim yang datang diketahui sebagai [[Teorema Terakhir Fermat]] karena ini mengambil lebih lama dari suatu konjektur lainnya oleh Fermat untuk dibuktikan atau dibantah. Bukti pertama diberikan oleh [[Andrew Wiles]] pada tahun 1994.

=== Menjumlahkan bilangan pangkat ke-<math>n-1</math> atau <math> n </math> untuk sebuah bilangan pangkat <math> n </math> ===
Perampatan lainnya adalah penelusuran untuk barisan bilangan bulat positif <math>n + 1</math> untuk yang bilangan pangkat ke-<math>n</math> terakhirnya adalah jumlah pangkat ke-<math>n</math>  dari suku sebelumnya. Barisan terkecil untuk nilai <math> n </math> yang dikenal adalah:

* <math>n = 3 \colon \{3,4,5;6\}</math>
* <math>n = 4 \colon \{30, 120, 272, 315; 353\}</math>
* <math>n = 5 \colon \{19, 43, 46, 47, 67; 72\}</math>
* <math>n = 7 \colon \{127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568\}</math>
* <math>n = 8 \colon \{90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409\}</math>

Untuk kasus <math>n = 3</math>, di mana <math>x^3 + y^3 + z^3 = w^3</math>, disebut [[kubik Fermat]], sebuah rumus umum ada memberikan semua penyelesaian.

Sebuah sedikit perampatan yang berbeda memungkinkan jumlah pangkat ke-<math>(k+1)</math> menyamakan jumlah pangkat ke-<math>(n-k)</math>. Contohnya:

* <math>(n = 3)\colon 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3</math>, dibuat terkenal oleh ingatan Hardy mengenai sebuah percakapan dengan [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]] tentang bilangan 1729 menjadi bilangan terkecil yang dapat diungkapkan sebagai sebuah jumlah dua kubik dalam dua cara yang berbeda.

Ini juga ada bilangan bulat positif <math>n-1</math> yang jumlah pangkat ke-<math> n </math> (meskipun, oleh [[Teorema Terakhir Fermat|teorema terakhir Fermat]], bukan untuk <math>n = 3</math>); ini adalah contoh berlawanan dengan [[jumlah Euler mengenai konjektur pangkat]]. Contoh berlawanan terkecil yang dikenal adalah<ref>{{citation|first=Scott|last1=Kim|title=Bogglers|journal=[[Discover (magazine)|Discover]]|page=82|date=May 2002|url=http://discovermagazine.com/2002/may/bogglers|quote=The equation w<sup>4</sup> + x<sup>4</sup> + y<sup>4</sup> = z<sup>4</sup> is harder. In 1988, after 200 years of mathematicians' attempts to prove it impossible, [[Noam Elkies]] of Harvard found the counterexample, 2,682,440<sup>4</sup> + 15,365,639<sup>4</sup> + 18,796,760<sup>4</sup> = 20,615,673<sup>4</sup>.}}</ref><ref>{{citation|author-link=Noam Elkies|last=Elkies|first=Noam|title=On A<sup>4</sup> + B<sup>4</sup> + C<sup>4</sup> = D<sup>4</sup>|journal=Mathematics of Computation|volume=51|issue=184|pages=825–835|year=1988|mr=930224|url=https://www.ams.org/journals/mcom/1988-51-184/S0025-5718-1988-0930224-9/|doi=10.2307/2008781|jstor=2008781}}</ref><ref name="MacHale"/>

* <math>n = 4 \colon (95800, 217519, 414560; 422481)</math>
* <math>n = 5\colon (27, 84, 110, 133; 144)</math>

=== Rangkap tiga segitiga Heron ===
Sebuah '''segitiga Heron''' biasanya didefinisikan sebagai salah satunya dengan sisi bilangan bulat yang luasnya juga sebuah bilangan bulat, dan kita harus menganggap segitiga Heron dengan sisi bilangan bulat yang ''berbeda''. Panjang dari sisi seperti sebuah segitiga membentuk sebuah '''rangkap tiga Heron''' <math>(a, b, c)</math> disediakan <math>a < b < c</math>. Setiap rangkap tiga Pythagoras adalah sebuah rangkap tiga Heron, karena setidaknya salah satu dari kaki <math>a</math>, <math>b</math> harus menjadi genap dalam sebuah rangkap tiga Pythagoras, jadi luasnya <math>\frac{ab}{2}</math> adalah sebuah bilangan bulat. Tidak setiap rangkap tiga Heorn adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras, namun, sebagai contoh <math>(4,13,15)</math> dengan luas 24 yang ditunjukkan.

Jika <math>(a,b,c)</math> adalah sebuah rangkap tiga Heron, begitu juga <math>(ma,mb,mc)</math> dimana <math>m</math> adalah suatu bilangan bulat positif; luasnya akan menjadi bilangan bulat yaitu <math>m^2</math> dikali luas bilangan bulat dari segitiga <math>(a,b,c)</math>. Rangkap tiga Heron <math>(a,b,c)</math> adalah '''primitif''' disediakan <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> adalah [[Bilangan bulat koprima#Koprimalitas dalam himpunan|koprima sehimpunan]]. (Dengan rangkap tiga Pythagoras primitif, pernyataan yang lebih kuat yang mereka adalah koprima ''sepasangan'' juga menerapkan, tapi dengan segitiga Heron primitif, pernyataan yang lebih kuat tidak selalu berlaku benar, seperti dengan <math>(7,15,20)</math>.) Disini ada beberapa rangkap tiga Heron primitif paling sederhana yang bukan rangkap tiga Pythagoras:

:<math>(4,13,15)</math> dengan luas <math>24</math>

:<math>(3,25,26)</math> dengan luas <math>36</math>

:<math>(7,15,20)</math> dengan luas <math>42</math>

:<math>(6,25,29)</math> dengan luas <math>60</math>

:<math>(11,13,20)</math> dengan luas <math>66</math>

:<math>(13,14,15)</math> dengan luas <math>84</math>

:<math>(13,20,21)</math> dengan luas <math>126</math>

Oleh [[rumus Heron]], syarat tambahan untuk sebuah rangkap tiga bilangan bulat <math>(a,b,c)</math> dengan <math>a<b<c</math> menjadi Heron adalah

:<math>(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)</math>

atau dengan setara

:<math>2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) - (a^4 + b^4 + c^4)</math>

menjadi bilangan kuadrat sempurna taknol habis dibagi 16.

=== Penerapan untuk kriptografi ===
Rangkap tiga Pythagoras primitif telah digunakan dalam kriptografi sebagai barisan acak dan untuk generasi kunci.

== Lihat pula ==

* [[Aritmetika modular]]
* [[Batu bata Euler]]
* [[Bilangan prima Pythagoras]]
* [[Bilangan takhipotenusa]]
* [[Diophantus II. VIII]]
* [[Identitas trigonometrik]]
* [[Kongruum]]
* [[Masalah rangkap tiga Pythagoras Boole]]
* [[Plimpton 322]]
* [[Rangkap tiga Eisenstein]]
* [[Rangkap empat Pythagoras]]
* [[Rumus setengah sudut tangen]]
* [[Segitiga bilangan bulat]]
* [[Segitiga Heron]]
* [[Teorema 90 Hilbert]]

== Catatan ==
<references />

== Referensi ==

* {{citation|last=Alperin|first=Roger C.|author-link=Roger C. Alperin|title=The modular tree of Pythagoras|journal=American Mathematical Monthly|volume=112|year=2005|pages=807–816|url=http://www.math.sjsu.edu/~alperin/pt.pdf|jstor=30037602|issue=9|mr=2179860|doi=10.2307/30037602|citeseerx=10.1.1.112.3085}}]
* {{citation|last=Berggren|first=B.|title=Pytagoreiska trianglar|journal=Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi|volume=17|year=1934|pages=129–139|language=sv}}
* {{citation|first=F.J.M.|last=Barning|title=Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices|journal=Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk.|volume=ZW-011|year=1963|page=37|url=https://ir.cwi.nl/pub/7151/7151D.pdf|language=nl}}
* {{citation|last=Eckert|first=Ernest|title=Primitive Pythagorean triples|journal=The College Mathematics Journal|volume=23|year=1992|pages=413–417|issue=5|jstor=2686417|doi=10.2307/2686417}}
* {{citation|first=Noam|last=Elkies|author-link=Noam Elkies|title=Pythagorean triples and Hilbert's theorem 90|url=http://www.math.harvard.edu/~elkies/Misc/hilbert.pdf}}
* {{citation|first=Thomas|last=Heath|author-link=T. L. Heath|title=The Thirteen Books of Euclid's Elements Vol. 1 (Books I and II)|publisher=Dover Publications|edition=2nd|year=1956|isbn=978-0-486-60088-8|url-access=registration|url=https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl}}
* {{citation|first1=Calvin T.|last1=Long|year=1972|title=Elementary Introduction to Number Theory|edition=2nd|publisher=[[D. C. Heath and Company]]|location=Lexington|lccn=77171950}}
* {{citation|last=Martin|first=Artemas|author-link=Artemas Martin|title=Rational right angled triangles nearly isosceles|journal=[[Annals of Mathematics|The Analyst]]|volume=3|issue=2|pages=47–50|year=1875|doi=10.2307/2635906|jstor=2635906}}
* {{citation|first=Darryl|last=McCullough|title=Height and excess of Pythagorean triples|journal=Mathematics Magazine|volume=78|year=2005|url=http://www.math.ou.edu/~dmccullough/teaching/pythagoras2.pdf|issue=1|pages=26–44|doi=10.1080/0025570X.2005.11953298|s2cid=1701449}}
* {{citation|first=Dan|last=Romik|title=The dynamics of Pythagorean triples|url=https://www.ams.org/journals/tran/2008-360-11/S0002-9947-08-04467-X/S0002-9947-08-04467-X.pdf|journal=Trans. Amer. Math. Soc.|volume=360|issue=11|year=2008|pages=6045–6064|arxiv=math.DS/0406512|doi=10.1090/S0002-9947-08-04467-X|doi-access=free|mr=2425702}}
* {{citation|title=On Generating Pythagorean Triples|first1=M.G.|last1=Teigen|first2=D.W.|last2=Hadwin|journal=The American Mathematical Monthly|volume=78|year=1971|pages=378–379|issue=4|jstor=2316903|doi=10.2307/2316903}}
* T{{citation|first=Andrzej|last=Trautman|author-link=Andrzej Trautman|chapter=Pythagorean spinors and Penrose twistors|chapter-url=http://www.fuw.edu.pl/~amt/oxford.ps|title=Geometric universe|editor1=S.A. Hugget|editor2=L.J. Mason|editor3=K.P. Tod|editor4=S.T. Tsou|editor5=N.M.J. Woodhouse|year=1998|type=Postscript}}

== Pranala luar ==

* [https://web.archive.org/web/20100613033436/http://www.math.siu.edu/kocik/pracki/44Cliffpdf.pdf Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples]
* [https://web.archive.org/web/20060917145537/http://learn.sdstate.edu/vestald/publications/Curious%20Consequences.pdf Curious Consequences of a Miscopied Quadratic]
* [https://web.archive.org/web/20051129025352/http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Pythag/pythag.html Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems]
* {{springer|title=Pythagorean numbers|id=p/p075950}}
* [http://www.hbmeyer.de/pythagen.htm Interactive Calculator for Pythagorean Triples]
* [http://www.numbertheory.org/php/negative_pell.html The negative Pell equation and Pythagorean triples]
* [http://blah.math.tu-graz.ac.at/~frisch/wwwpdf/pytha.pdf Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials]
* {{cite arxiv|first=H. Lee|last=Price|title=The Pythagorean Tree: A New Species|year=2008|eprint=0809.4324|mode=cs2|class=math.HO}}
* [http://www.math.brown.edu/~jhs/frintch2ch3.pdf Pythagorean Triples and the Unit Circle], bab 2–3, di "[http://www.math.brown.edu/~jhs/frint.html A Friendly Introduction to Number Theory]" oleh Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, {{isbn|0-13-186137-9}}
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/pythTriple.shtml Pythagorean Triples] di [[cut-the-knot]] Interactive Applet menunjukkan hubungan lingkaran satuan dengan Rangkap Tiga Pythagoras
* [http://www.friesian.com/pythag.htm Pythagorean Triplets]
* [http://www.rowan.edu/colleges/las/departments/math/facultystaff/osler/InCircle.pdf The Remarkable Incircle of a Triangle]
* [http://mathcentral.uregina.ca/mp/previous2005/feb06sol.php Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples]
* [https://web.archive.org/web/20081223140307/http://www.math.rutgers.edu/~erowland/pythagoreantriples.html Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry]
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PT_matrix.shtml The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples] di [[cut-the-knot]]
* {{MathWorld|urlname=PythagoreanTriple|title=Pythagorean Triple}}

[[Kategori:Kuadrat dalam teori bilangan]]
[[Kategori:Teorema Pythagoras]]
[[Kategori:Persamaan Diophantus]]
[[Kategori:Masalah aritmetika mengenai geometri bidang]]