Lihat sumber Ranah integral

{{short description|Struktur aljabar dengan dua operasi biner}}
{{Short description|Gelanggang komutatif tanpa pembagi nol selain nol}}
{{distinguish |text= [[Integral|ranah integrasi]]}}
{{Teori gelanggang sidebar}}
Dalam [[matematika]], khususnya [[aljabar abstrak]], sebuah '''ranah integral''' atau '''domain integral''' adalah [[gelanggang komutatif]] [[gelanggang nol|bukan nol]] dimana produk dari dua elemen bukan nol yang merupakan bukan nol.<ref>Bourbaki, p.&nbsp;116.</ref><ref>Dummit dan Foote, hal. 228.</ref> Ranah integral adalah generalisasi dari [[gelanggang bilangan bulat]] dan pengaturan untuk mempelajari [[Keterbagian (teori gelanggang)|keterbagian]]. Dalam ranah integral, setiap elemen bukan nol ''a'' memiliki [[sifat pembatalan]], yaitu jika {{nowrap|''a'' ≠ 0}}, persamaan {{nowrap|''ab'' {{=}} ''ac''}} mengartikan {{nowrap|''b'' {{=}} ''c''}}.

"Ranah integral" didefinisikan hampir secara universal sebagai contoh di atas, tetapi terdapat beberapa variasi. Artikel ini menggunakan konvensi bahwa gelanggang memiliki [[identitas perkalian]], umumnya dilambangkan dengan 1, tetapi beberapa penulis tidak menggunakan ini, dengan tidak mewajibkan ranah integral untuk memiliki identitas perkalian.<ref>B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, p. 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966.</ref><ref>I.N. Herstein, Topics in Algebra, p. 88-90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.</ref> Ranah integral nonkomutatif terkadang diterima.<ref>J.C. McConnell and J.C. Robson "Noncommutative Noetherian Rings" ([[Graduate Studies in Mathematics]] Vol. 30, AMS)</ref> Artikel ini, menggunakan konvensi yang jauh lebih umum tentang penggunaan istilah "ranah integral" untuk kasus komutatif dan menggunakan "[[ranah (teori gelanggang)|ranah]]" untuk kasus umum termasuk gelanggang nonkomutatif.

Beberapa sumber, terutama [[Serge Lang|Lang]], menggunakan istilah '''seluruh gelanggang''' untuk ranah integral.<ref>Pages 91–92 of {{Lang Algebra|edition=3}}</ref>

Beberapa jenis domain integral tertentu diberikan dengan rantai berikut [[subkelas (teori himpunan)|inklusi kelas]]:

{{Kelas gelanggang komutatif}}

{{Struktur aljabar |Gelanggang}}

== Definisi ==
''Ranah integral'' adalah [[gelanggang komutatif]] [[gelanggang nol|bukan nol]] dimana produk dari dua elemen bukan nol adalah bukan nol.  Ekuivalen:
* Ranah integral adalah gelanggang komutatif bukan nol tanpa nol [[pembagi nol]].
* Ranah integral adalah gelanggang komutatif dimana [[nol ranah]] {0} adalah [[ranah prima]].
* Ranah integral adalah gelanggang komutatif bukan nol untuk setiap elemen bukan nol [[sifat pembatalan|pembatalan]]nya dalam perkalian.
* Ranah integral adalah sebuah gelanggang untuk himpunan elemen bukan nol yang merupakan komutatif [[monoid]] dalam perkalian (karena sebuah monoid [[penutupan (matematika)|tertutup]] di bawah perkalian).
* Ranah integral adalah gelanggang komutatif bukan nol dimana setiap elemen bukan nol ''r'', fungsi yang memetakan setiap elemen ''x'' dari gelanggang ke produk ''xr'' adalah [[injeksi]]. Elemen ''r'' dengan sifat ini disebut ''regular'', jadi ekuivalen dengan mensyaratkan setiap elemen bukan nol dari gelanggang menjadi reguler.
* Ranah integral adalah sebuah gelanggang yang [[isomorfik]] ke [[subgelanggang]] dari [[medan (matematika)|medan]]. Diberikan domain integral, untuk menyematkan dalam [[medan pecahan]].

== Contoh ==

* Contoh pola dasar adalah gelanggang <math>\Z</math> dari semua [[bilangan bulat]].
* Setiap [[medan (matematika)|medan]] adalah ranah integral. Misalnya, medan <math>\R</math> dari semua [[bilangan riil]] adalah ranah integral. Sebaliknya, setiap ranah integral [[gelanggang Artinian|Artinian]] adalah medan. Secara khusus, semua ranah integral hingga adalah [[medan hingga]] (lebih umum, oleh [[teorema kecil Wedderburn]], [[ranah (teori gelanggang)|ranah]] hingga adalah [[Medan hingga]]). Gelanggang bilangan bulat <math>\Z</math> diberikan contoh ranah integral tak hingga non-Artinian yang bukan medan, memiliki urutan ranah yang menurun tak hingga, sebagai:

::<math>\Z \supset 2\Z \supset \cdots \supset 2^n\Z \supset 2^{n+1}\Z \supset \cdots</math>

* Gelanggang [[polinomial]] adalah ranah integral, jika koefisien berasal dari ranah integral. Misalnya, gelanggang <math>\Z[x]</math> dari semua polinomial dalam satu variabel dengan koefisien bilangan bulat adalah ranah integral; begitu pula dengan gelanggang <math>\Complex[x_1,\ldots,x_n]</math> dari semua polinomial dalam variabel-''n'' dengan koefisien [[Bilangan kompleks|kompleks]].
* Contoh sebelumnya dapat dieksploitasi lebih lanjut dengan mengambil hasil bagi dari ideal utama. Misalnya, gelanggang <math>\Complex[x,y]/(y^2 - x(x-1)(x-2))</math> dengan medan [[kurva elips]] adalah domain integral. Integralitas dapat ditunjukkan dengan <math>y^2 - x(x-1)(x-2)</math> yang merupakan [[polinomial tak tersederhanakan]].
* Gelanggang <math>\Z[x]/(x^2 - n) \cong \Z[\sqrt{n}]</math> adalah ranah integral untuk bilangan bulat yang bukan kuadrat <math>n</math>. Jika <math>n > 0</math> maka gelanggang ini merupakan subgelanggang dari <math>\R</math>, jika tidak, ini adalah subgelanggang dari <math>\Complex.</math>
* Gelanggang [[bilangan p-adik|bilangan bulat p-adik]] <math>\Z_p</math> adalah ranah integral.
* Jika <math>U</math> adalah [[himpunan bagian terbuka]] yang [[keterhubungan|terhubung]] dari [[bilangan kompleks|bidang kompleks]] <math>\Complex</math>, maka gelanggang <math>\mathcal{H}(U)</math> terdiri dari semua [[fungsi holomorfik]] adalah ranah integral. Hal yang sama berlaku untuk gelanggang [[fungsi analitik]] pada himpunan bagian terbuka yang terhubung dari [[lipatan]] analitik yang terhubung.
* [[Gelanggang lokal reguler]] adalah ranah integral. Faktanya, gelanggang lokal biasa adalah [[ranah faktorisasi unik|RFU]].<ref>{{cite journal |last1=Auslander |first1=Maurice |last2=Buchsbaum |first2=D. A. | title=Unique factorization in regular local rings | journal=Proc. Natl. Acad. Sci. USA | volume=45 | pages=733–734 | year=1959 | doi= 10.1073/pnas.45.5.733 | pmid= 16590434 | issue= 5 | pmc= 222624 }}</ref><ref>{{cite journal |author=Masayoshi Nagata | author-link=Masayoshi Nagata | title=A general theory of algebraic geometry over Dedekind domains. II | journal=Amer. J. Math. | volume=80 | year=1958 | pages=382–420 | doi=10.2307/2372791 | jstor=2372791 | issue=2 | publisher=The Johns Hopkins University Press }}</ref>

== Bukan contoh ==
Gelanggang berikut adalah ranah integral ''bukan'' contoh.

* [[Gelanggang nol]] yang merupakan <math>0=1</math>.
* [[Gelanggang hasil bagi]] <math>\Z/m\Z</math> ketika ''m'' adalah [[bilangan komposit]]. Memilih faktorisasi <math>m = xy</math>: artinya <math>x</math> dan <math>y</math> tidak sama dengan <math>1</math> or <math>m</math>. Maka <math>x \not\equiv 0 \bmod{m}</math> dan <math>y \not\equiv 0 \bmod{m}</math>, melainkan <math>xy \equiv 0 \bmod{m}</math>.
* [[gelanggang produk|Produk]] adalah dua gelanggang komutatif bukan nol. Dalam produk <math>R \times S</math>, memiliki <math>(1,0) \cdot (0,1) = (0,0)</math>.
* [[Gelanggang hasil bagi]] <math>\Z[x]/(x^2 - n^2)</math> untuk <math>n \in \mathbb{Z}</math>. Citra dari <math>x+n</math> dan <math>x-n</math> adalah bukan nol, sedangkan produknya adalah 0 di gelanggang ini.
* [[gelanggang matriks|Gelanggang]] dari  [[Matriks (matematika)|matriks]] ''n'' × ''n'' untuk setiap [[gelanggang nol|gelanggang bukan nol]] ''n'' ≥ 2. Jika <math>M</math> dan <math>N</math> adalah matriks sedemikian rupa sehingga citra <math>N</math> dimuat dalam kernel <math>M</math>, maka <math>MN = 0</math>. Misalnya, untuk <math>M = N = (\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix})</math>.
* Gelanggang hasil bagi <math>k[x_1,\ldots,x_n]/(fg)</math> untuk setiap medan <math>k</math> dan semua polinomial tidak konstan <math>f,g \in k[x_1,\ldots,x_n]</math>. Citra dari {{math|''f''}} dan {{math|''g''}} dalam gelanggang hasil bagi ini adalah elemen bukan nol yang hasil kalinya 0. Argumen ini menunjukkan, secara ekuivalen, bahwa <math>(fg)</math> bukanlah [[prima ideal]]. Interpretasi geometris dari hasil ini adalah bahwa [[nol fungsi|nol]] dari {{math|''fg''}} bentuk [[himpunan aljabar affin]] yang tidak direduksi (yaitu, bukan [[variasi aljabar]]) secara umum. Satu-satunya kasus dimana himpunan aljabar ini mungkin tidak direduksi adalah ketika {{math|''fg''}} adalah pangkat dari [[polinomial tak tereduksi]], yang mendefinisikan himpunan aljabar yang sama.
* Gelanggang [[fungsi kontinu]] pada [[interval unit]]. Pertimbangkan fungsi
::<math> f(x) = \begin{cases} 1-2x & x \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ 0 & x \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases} \qquad g(x) = \begin{cases} 0 & x \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ 2x-1 & x \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases}</math>
:Baik <math>f</math> maupun <math>g</math> terdapat dimana-mana adalah nol, tetapi <math>fg</math> ada.

* [[Produk tensor aljabar|Produk tensor]] <math>\Complex \otimes_{\R} \Complex</math>. Gelanggang ini memiliki dua non-trivial [[idempoten (teori gelanggang)|idempoten]], <math>e_1 = \tfrac{1}{2}(1 \otimes 1) - \tfrac{1}{2}(i \otimes i)</math> and <math>e_2 = \tfrac{1}{2}(1 \otimes 1) + \tfrac{1}{2}(i \otimes i)</math>. Salah satu dari semua adalah ortogonal, artinya <math>e_1e_2 = 0</math>, dan karenanya <math>\Complex \otimes_{\R} \Complex</math> bukan ranah. Faktanya, terdapat isomorfisme <math>\Complex \times \Complex \to \Complex \otimes_{\R} \Complex</math> didefinisikan oleh <math>(z, w) \mapsto z \cdot e_1 + w \cdot e_2</math>. Kebalikannya yang ditentukan oleh <math>z \otimes w \mapsto (zw, z\overline{w})</math>. Contoh ini menunjukkan bahwa [[produk serat skema|produk serat]] dari skema affin yang tidak direduksi tidak perlu tereduksi.

== Keterbagian, elemen utama, dan elemen yang tidak direduksi ==<!-- Bagian ini dialihkan dari [[Elemen asosiasi]] -->
{{see also|Keterbagian (teori gelanggang)}}
Di bagian ini, ''R'' adalah ranah integral.

Diberikan elemen ''a'' dan ''b'' dari ''R'', bahwa ''a'' ''dibagi'' ''b'', atau bahwa ''a'' adalah ''[[Keterbagian (teori gelanggang)|pembagi]]'' dari ''b'', atau ''b'' adalah ''kelipatan'' dari ''a'', jika elemen ''x'' dalam ''R'' sedemikian rupa sehingga {{nowrap|1=''ax'' = ''b''}}.

''[[Unit (teori gelanggang)|Unit]]'' dari ''R'' adalah elemen yang membagi 1; tepatnya elemen invers di ''R''. Unit membagi semua elemen lainnya.

Jika ''a'' membagi ''b'' dan ''b'' membagi ''a'', maka ''a'' dan ''b'' adalah '''elemen asosiasi''' atau '''asosiasi'''.<ref>{{cite book |last=Durbin |first=John R. |title=Modern Algebra: An Introduction |url=https://archive.org/details/modernalgebraint0000durb_t6d3 |edition=3rd |date=1993 |publisher=John Wiley and Sons |isbn=0-471-51001-7 |page=[https://archive.org/details/modernalgebraint0000durb_t6d3/page/224 224] |quote=Elemen ''a'' dan ''b'' dari [domain integral] disebut ''asosiasi'' jika ''a''|''b'' dan ''b''|''a''.}}</ref>  Secara ekuivalen, ''a'' dan ''b'' adalah asosiatif jika {{nowrap|1=''a'' = ''ub''}} untuk beberapa [[unit (teori gelanggang)|unit]] ''u''.

''[[Elemen tak tereduksi]]'' adalah bukan nol yang tidak dapat dituliskan sebagai produk dari dua bukan satuan.

Bukan nol bukan unit ''p'' adalah ''[[elemen prima]]'', jika setiap ''p'' membagi produk ''ab'', maka ''p'' membagi ''a'' atau ''p'' membagi ''b''. Secara ekuivalen, elemen ''p'' adalah bilangan prima jika dan hanya jika [[ideal utama]] (''p'') adalah ideal prima bukan nol.

Kedua gagasan tentang elemen tak tersederhanakan dan elemen prima menggeneralisasi definisi biasa dari [[bilangan prima]] di gelanggang <math>\Z,</math> jika kita menganggap bilangan prima negatif sebagai prima.

Setiap elemen utama tidak direduksi. Kebalikannya tidak benar secara umum: misalnya, dalam gelanggang [[bilangan bulat kuadrat]] <math>\Z\left[\sqrt{-5}\right]</math> elemen 3 tidak direduksi (jika difaktorkan secara nontrivial, faktor tersebut harus memiliki norma 3, tetapi tidak ada elemen norma 3 karena <math>a^2+5b^2=3</math> tidak memiliki solusi bilangan bulat), tetapi tidak prima (karena 3 membagi <math>\left(2 + \sqrt{-5}\right)\left(2 - \sqrt{-5}\right)</math> tanpa membagi salah satu faktor). Dalam domain faktorisasi unik (atau lebih umum, [[ranah GCD]]), elemen yang tidak direduksi adalah elemen prima.

Sementara [[Teorema dasar aritmetika|faktorisasi unik]] tidak berlaku <math>\Z\left[\sqrt{-5}\right]</math>, terdapat faktorisasi unik dari [[Ideal (teori gelanggang)|ideal]]. Lihat [[teorema Lasker–Noether]].

== Sifat ==
* Gelanggang komutatif ''R'' adalah domain integral [[jika dan hanya jika]] ideal (0) dari ''R'' adalah ideal prima.
* Jika ''R'' adalah gelanggang komutatif dan ''P'' adalah [[ideal (teori gelanggang)|ideal]] dalam ''R'', maka [[gelanggang hasil bagi]] ''R/P'' adalah ranah integral jika dan hanya jika ''P'' adalah [[prima ideal]].
* Misalkan ''R'' sebagai ranah integral. Maka [[gelanggang polinomial]] di atas ''R'' (dalam jumlah tak tentu) adalah ranah integral. Ini khususnya terjadi jika ''R'' adalah [[medan (matematika)|medan]].
* Sifat pembatalan berlaku dalam setiap ranah integral: untuk setiap ''a'', ''b'', dan ''c'' dalam ranah integral, jika ''a'' ≠ ''0'' dan ''ab'' = ''ac'' maka ''b'' = ''c''. Cara lain untuk menyatakan ini adalah fungsi ''x'' {{mapsto}} ''ax'' adalah injektif untuk sembarang ''a'' bukan nol dalam ranah.
* Sifat pembatalan berlaku untuk ideal dalam ranah integral: jika ''xI'' = ''xJ'', maka salah satu ''x'' adalah nol atau ''I'' = ''J''.
* Ranah integral sama dengan perpotongan [[lokalisasi gelanggang|lokalisasi]] pada ideal maksimalnya.
* [[Limit induktif]] dari ranah integral merupakan ranah integral.
* Jika <math>A, B</math> adalah ranah integral di atas medan tertutup aljabar ''k'', maka <math>A \otimes_k B</math> adalah ranah integral. Ini adalah konsekuensi dari [[nullstellensatz Hilbert]],<ref group=catatan>Bukti: Pertama, asumsikan ''A'' yang dihasilkan secara halus sebagai aljabar-''k'' dan pilih basis-<math>k</math> dengan <math>g_i</math> dari <math>B</math>. Seharusnya <math display="inline">\sum f_i \otimes g_i \sum h_j \otimes g_j = 0</math> (hanya <math>f_i, h_j</math> yang bukan nol). Untuk setiap ideal maksimal <math>\mathfrak{m}</math> dari <math>A</math>, pertimbangkan homomorfisme gelanggang <math>A \otimes_k B \to A/\mathfrak{m} \otimes_k B = k \otimes_k B \simeq B</math>. Maka citranya adalah <math display="inline">\sum \overline{f_i} g_i \sum \overline{h_i} g_i = 0</math> dan dengan demikian <math display="inline">\sum \overline{f_i} g_i = 0</math> atau <math display="inline">\sum \overline{h_i} g_i = 0</math> dan, dengan kebebasan linear, <math>\overline{f_i} = 0</math> untuk semua <math>i</math> atau <math>\overline{h_i} = 0</math> untuk semua <math>i</math>. Karena <math>\mathfrak{m}</math> adalah arbitrari, maka <math display="inline">(\sum f_iA) (\sum h_iA) \subset \operatorname{Jac}(A) = </math> persimpangan dari semua ideal maksimal <math>= (0)</math> dimana persamaan terakhir adalah oleh Nullstellensatz. Karena <math>(0)</math> adalah ideal utama, ini berarti <math display="inline">\sum f_iA</math> atau <math display="inline">\sum h_iA</math> adalah ideal nol; yaitu, baik <math>f_i</math> semuanya nol atau <math>h_i</math> semuanya nol. Terakhir, <math>A</math> adalah batas induktif dari ''k'' yang dihasilkan secara hingga aljabar yang merupakan ranah integral dan karenanya, menggunakan sifat sebelumnya, <math>A \otimes_k B = \varinjlim A_i \otimes_k B</math> adalah ranah integral. <math>\square</math></ref> dan, dalam [[geometri aljabar]], ini menyiratkan pernyataan bahwa gelanggang koordinat dari hasil kali dua varietas aljabar affin di atas medan tertutup secara aljabar merupakan ranah integral.

== Medan pecahan ==
{{Main|Medan pecahan}}

[[Medan pecahan]] ''K'' dari ranah integral ''R'' adalah himpunan pecahan ''a''/''b'' dengan ''a'' dan ''b'' dalam ''R'' dan ''b'' ≠ 0 modulo relasi ekuivalen yang sesuai, dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Ini adalah "bidang terkecil yang mengandung ''R''" dalam arti bahwa terdapat homomorfisme gelanggang injeksi {{nowrap|''R'' → ''K''}} sedemikian rupa, maka setiap homomorfisme gelanggang injeksi dari ''R'' ke faktor medan melalui ''K''. Medan pecahan gelanggang bilangan bulat <math>\Z</math> adalah medan [[bilangan rasional]] <math>\Q.</math> Medan pecahan suatu bidang adalah [[isomorfisme|isomorfik]] ke medan itu sendiri.

== Karakteristik dan homomorfisme ==

[[Karakteristik (aljabar)|Karakteristik]] dari ranah integral adalah 0 atau [[bilangan prima]].

Jika ''R'' adalah ranah integral dari karakteristik prima ''p'', maka [[endomorfisme Frobenius]] ''f''(''x'') = ''x''<sup>''p''</sup> adalah [[injektif]].

== Lihat pula ==
{{Wikibooks|Aljabar abstrak|Ranah integral}}
* [[Norma Dedekind–Hasse]] - struktur tambahan yang diperlukan untuk ranah integral menjadi prinsipal
* [[Sifat produk nol]]

== Catatan ==
{{reflist|group=catatan}}
{{reflist}}

== Referensi ==
* {{cite book |last=Adamson |first=Iain T. | title=Elementary rings and modules | series=University Mathematical Texts | publisher=Oliver and Boyd | year=1972 | isbn=0-05-002192-3 }}
* {{Cite book | last=Bourbaki | first=Nicolas | author-link=Nicolas Bourbaki | title=Algebra, Chapters 1–3 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-64243-5 | year=1998}}
* {{Cite book | last1=Mac Lane | first1=Saunders | author-link1=Saunders Mac Lane | last2=Birkhoff | first2=Garrett | author-link2=Garrett Birkhoff | title=Algebra | url=https://archive.org/details/algebra00macl | publisher=The Macmillan Co. | location=New York | mr=0214415 | year=1967 | isbn=1-56881-068-7}}
* {{Cite book | last1=Dummit | first1=David S. | last2=Foote | first2=Richard M. | title=Abstract Algebra | publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]] | location=New York | edition=3rd | isbn=978-0-471-43334-7 | year=2004}}
* {{Cite book | last=Hungerford | first=Thomas W. | author-link=Thomas W. Hungerford | title=Abstract Algebra: An Introduction | publisher=Cengage Learning | edition=3rd | year=2013 | isbn= 978-1-111-56962-4 }}
* {{Cite book | last=Lang | first=Serge | author-link=Serge Lang | title=Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-95385-4 | mr=1878556  | year=2002 | volume=211}}
* {{cite book |last=Sharpe |first=David | title=Rings and factorization |url=https://archive.org/details/ringsfactorizati0000shar |url-access=registration | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1987 | isbn=0-521-33718-6 }}
* {{cite book |last=Rowen |first=Louis Halle | title=Algebra: groups, rings, and fields | publisher=[[A K Peters]] | year=1994 | isbn=1-56881-028-8 }}
* {{cite book |last=Lanski |first=Charles | title=Concepts in abstract algebra | publisher=AMS Bookstore | year=2005 | isbn=0-534-42323-X }}
* {{cite book |last1=Milies |first1=César Polcino |last2=Sehgal |first2=Sudarshan K. | title=An introduction to group rings | publisher=Springer | year=2002 | isbn=1-4020-0238-6 }}
* B.L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1966.

== Pranala luar ==
*{{cite web |url=https://math.stackexchange.com/q/45945 |title=Darimana istilah "ranah integral" berasal? }}

{{DEFAULTSORT:Integral Domain}}
[[Kategori:Aljabar komutatif]]
[[Kategori:Teori gelanggang]]