Lihat sumber Produk Cartesius

{{Periksa terjemahan|en|Cartesian product}}[[Berkas:Cartesian Product qtl1.svg|thumb|Produk Cartesius <math>\scriptstyle A \times B</math> Set <math>\scriptstyle A=\{x,y,z\}</math> an <math>\scriptstyle B=\{1,2,3\}</math>]]
Dalam [[matematika]], khususnya [[teori himpunan]], '''produk Cartesius''' dari dua himpunan ''A'' dan ''B'', dilambangkan ''A''{{Hair space}}×{{Hair space}}''B,'' adalah himpunan semua [[pasangan terurut]] (''a'', ''b'') di mana ''a'' berada di ''A'' dan ''b'' berada di ''B''. Dalam [[Notasi ungkapan himpunan|notasi pembentuk himpunan]] dapat dinyatakan sebagai
: <math>A\times B = \{\,(a,b)\mid a\in A \ \mbox{ dan } \ b\in B\,\}.</math><ref>{{cite book|last=Warner|first=S.|title=Modern Algebra|url=https://archive.org/details/modernalgebra0000warn_r8y1|page=[https://archive.org/details/modernalgebra0000warn_r8y1/page/6 6]|publisher=[[Dover Publications]]|date=1990}}</ref>

Suatu tabel dapat dibuat dengan mengambil produk Cartesius dari suatu himpunan baris dan suatu himpunan kolom. Jika produk Cartesius ''baris × kolom'' diambil, sel-sel tabel berisi pasangan terurut dalam bentuk (nilai baris, nilai kolom).

Dengan cara yang sama, produk Cartesius dari n himpun, juga dikenal sebagai '''produk Cartesius ''n''-lipat''', yang dapat diwakili oleh himpunan ''n''-dimensi, di mana setiap elemen adalah ''n''-tuple. Pasangan yang dipesan adalah 2-tupel atau pasangan. Lebih umum lagi, kita dapat mendefinisikan produk Cartesius dari kumpulan set yang diindeks.

Produk Cartesius dinamai dari [[René Descartes]],<ref>{{cite web|title=Cartesian|date=2009|website=Merriam-Webster.com|accessdate=December 1, 2009|url=http://www.merriam-webster.com/dictionary/cartesian}}</ref>  yang formulasi [[geometri analitik]]nya memunculkan konsep, yang selanjutnya digeneralisasikan dalam hal [[produk langsung]].

== Contoh ==

=== Setumpuk kartu ===
[[Berkas:Piatnikcards.jpg|thumb|Dek standar 52 kartu]]

Contoh ilustrasinya adalah [[setumpuk 52 kartu standar]]. [[Kartu remi#Anglo-Amerika|kartu bermain standar]] peringkat {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} membentuk himpunan 13 elemen. Kartu ini cocok dengan {{nowrap|{♠, {{color|#c00000|♥}}, {{color|#c00000|♦}}, ♣} }} membentuk himpunan empat elemen. Hasil kali Cartesian dari set ini mengembalikan set 52 elemen yang terdiri dari 52 [[pasangan terurut]], yang sesuai dengan semua 52 kemungkinan kartu remi.

{{nowrap|''Ranks'' × ''Sets''}} mengembalikan satu himpunan formulir {(A, ♠), (A, {{color|#c00000|♥}}), (A, {{color|#c00000|♦}}), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, {{color|#c00000|♥}}), (2, {{color|#c00000|♦}}), (2, ♣)}.

{{nowrap|''Sets'' × ''Ranks''}} returns a set of the form {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

Kedua set ini berbeda, bahkan terputus-putus.

=== Sistem koordinat dua dimensi ===
[[Berkas:Cartesian-coordinate-system.svg|thumb|Koordinat cartesius dari titik contoh]]

Contoh sejarah utama adalah [[bidang cartesius]] dalam [[geometri analitik]]. Untuk merepresentasikan bentuk geometris dengan cara numerik, dan mengekstrak informasi numerik dari representasi numerik bentuk, [[René Descartes]] menetapkan pasangan [[bilangan real]] pada setiap titik di bidang, yang disebut [[koordinat]]. Biasanya, komponen pasangan pertama dan kedua masing-masing disebut koordinat ''x'' dan ''y'' (lihat gambar). Himpunan dari semua pasangan seperti itu (yaitu, hasil kali Cartesius {{nowrap|ℝ×ℝ}}, dengan ℝ menunjukkan bilangan riil) dengan demikian ditetapkan ke himpunan semua titik di bidang.{{cn|date=December 2019|reason=Berikan referensi sejarah untuk karya asli Descartes; memberikan referensi untuk asal nama 'Cartesian' (siapa yang menggunakannya lebih dulu?).}}

== Implementasi paling umum (teori himpunan) ==
{{Main article|Implementasi matematika dalam teori himpunan}}

Definisi formal produk Cartesian dari prinsip [[teori himpunan]] mengikuti dari definisi [[pasangan terurut]]. Definisi paling umum dari pasangan terurut, [[Definisi pasangan berurutan#Kuratowski|Definisi Kuratowski]] adalah <math>(x, y) = \{\{x\},\{x, y\}\}</math>. Di bawah ini pada terdapat definisi <math>(x, y)</math> adalah elemen dari <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y))</math>, dan <math>X\times Y</math> adalah bagian dari himpunan itu, di mana <math>\mathcal{P}</math> mewakili operator [[set daya]]. Oleh karena itu, keberadaan perkalian Cartesius dari dua himpunan manapun di [[ZFC]] mengikuti aksioma [[aksioma pemasangan|pemasangan]], [[aksioma serikat|serikat]], [[aksioma himpunan daya|himpunan daya]], dan [[skema aksioma spesifikasi|spesifikasi]]. Karena [[fungsi (matematika)|fungsi]] biasanya didefinisikan sebagai kasus khusus dari [[hubungan (matematika)|hubungan]], dan hubungan biasanya didefinisikan sebagai himpunan bagian dari produk Cartesius, definisi dari perkalian dua himpunan Cartesian harus sebelum sebagian besar definisi lainnya.

== Non-komutatif dan non-asosiatif ==
Karena ''A'', ''B'', ''C'', dan ''D'' menjadi himpunan produk.

Produk Cartesius {{nowrap|''A''×''B''}} bukan termasuk [[komutatif]],
: <math>A \times B \neq B \times A,</math><ref name=":2" />
karena [[pasangan terurut]] dibalik kecuali setidaknya satu dari kondisi berikut terpenuhi:<ref name="cnx"/>
* ''A'' sama dengan '' B '', atau
* ''A'' dan '' B '' adalah [[himpunan kosong]].

Sebagai contoh:
: ''A'' = {1,2}; ''B'' = {3,4}
:: ''A'' × ''B'' = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
:: ''B'' × ''A'' = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

: ''A'' = ''B'' = {1,2}
:: ''A'' × ''B'' = ''B'' × ''A'' = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

: ''A'' = {1,2}; ''B'' = ∅
:: ''A'' × ''B'' = {1,2} × ∅ = ∅
:: ''B'' × ''A'' = ∅ × {1,2} = ∅

Sebenarnya, produk Cartesius bukanlah [[asosiatif]] (kecuali salah satu set yang terlibat kosong).
: <math>(A\times B)\times C \neq A \times (B \times C)</math>
Kalau contohnya ''A'' = {1}, maka (''A'' × ''A'') × ''A'' = { ((1,1),1) } ≠ { (1,(1,1)) } = ''A'' × (''A'' × ''A'').

== Irisan, gabungan, dan himpunan bagian ==
{{multiple image
|align=center
| total_width = 750
|image1=CartDistr_svg.svg
|caption1=Contoh himpunan<br>
{{color|#0000c0|''A''}}={''y''∈[[bilangan riil|ℝ]]:1≤''y''≤4}, <br />
{{color|#c00000|''B''}}={''x''∈ℝ:2≤''x''≤5}, dan {{color|#00c000|''C''}}={''x''∈ℝ:4≤''x''≤7}, membuktikan <br />
''A''×(''B''∩''C'') = ({{highlight|''A''×''B''|#FCC6C6}})∩({{highlight|''A''×''C''|#C6FCC6}}), <br />
''A''×(''B''∪''C'') = ({{highlight|''A''×''B''|#FCC6C6}})∪({{highlight|''A''×''C''|#C6FCC6}}), dan <br />
''A''×(''B''{{tsp}}\{{hsp}}''C'') = ({{highlight|''A''×''B''|#FCC6C6}}){{tsp}}\{{hsp}}({{highlight|''A''×''C''|#C6FCC6}})
|image2=CartInts_svg.svg
|caption2=Contoh himpunan <br />
{{color|#c00000|''A''}}={''x''∈ℝ:2≤''x''≤5}, {{color|#00c000|''B''}}={''x''∈ℝ:3≤''x''≤7}, <br />
{{color|#c00000|''C''}}={''y''∈ℝ:1≤''y''≤3}, {{color|#00c000|''D''}}={''y''∈ℝ:2≤''y''≤4}, membuktikan <br />
{{highlight|(''A''∩''B'')×(''C''∩''D'')|#FCFCC6}} = {{highlight|(''A''×''C'')∩''(B''×''D'')|#FCFCC6}}.
|image3=CartUnion_svg.svg
|caption3={{highlight|(''A''∪''B'')×(''C''∪''D'')|#E0E0FC}} ≠ {{highlight|(''A''×''C'')|#FCC6C6}}∪{{highlight|(''B''×''D'')|#C6FCC6}} bisa dilihat dari contoh yang sama.
}}
Produk Cartesian memenuhi properti berikut sehubungan dengan [[Irisan (teori himpunan)|irisan]] (lihat gambar tengah).
: <math>(A \cap B) \times (C \cap D) = (A \times C) \cap (B \times D)</math><ref name="planetmath">{{planetmath reference|id=359|title=CartesianProduct}}</ref>

Dalam kebanyakan kasus, pernyataan di atas tidak benar jika kita mengganti interseksi dengan [[Gabungan (teori himpunan)|gabungan]] (lihat gambar paling kanan).
: <math>(A \cup B) \times (C \cup D) \neq (A \times C) \cup (B \times D)</math>

Faktanya, kami memiliki:
: <math>(A \times C) \cup (B \times D) = [(A \setminus B) \times C] \cup [(A \cap B) \times (C \cup D)] \cup [(B \setminus A) \times D]</math>

Untuk perbedaan set, kami juga memiliki identitas berikut:
: <math>(A \times C) \setminus (B \times D) = [A \times (C \setminus D)] \cup [(A \setminus B) \times C] </math>

Berikut adalah beberapa aturan yang menunjukkan distribusi dengan operator lain (lihat gambar paling kiri):<ref name="cnx">Singh, S. (August 27, 2009). ''Cartesian product''. Retrieved from the Connexions Web site: http://cnx.org/content/m15207/1.5/</ref>
: <math>\begin{align}
       A \times (B \cap C) &= (A \times B) \cap (A \times C), \\
       A \times (B \cup C) &= (A \times B) \cup (A \times C), \\
  A \times (B \setminus C) &= (A \times B) \setminus (A \times C),
\end{align}</math>
: <math>(A \times B)^\complement = \left(A^\complement \times B^\complement\right) \cup \left(A^\complement \times B\right) \cup \left(A \times B^\complement\right),</math><ref name="planetmath"/>

dimana <math>A^\complement</math> menunjukkan [[pelengkap mutlak]] dari ''A''.

Properti lain yang terkait dengan [[himpunan bagian]] adalah:
:<math>\text{Bila } A \subseteq B \text{, maka } A \times C \subseteq B \times C;</math>
:<math>\text{bila keduanya } A,B \neq \emptyset \text{, setelah itu } A \times B \subseteq C \times D \iff A \subseteq C\text{ dan } B \subseteq D.</math><ref>Cartesian Product of Subsets. (February 15, 2011). ''ProofWiki''. Retrieved 05:06, August 1, 2011 from https://proofwiki.org/w/index.php?title=Cartesian_Product_of_Subsets&oldid=45868</ref><!-- Lebih baik ganti kutipan dengan situs non-wiki. -->

== Kardinalitas ==
{{See also|Aritmetika kardinal}}

[[Kardinalitas]] dari suatu himpunan adalah jumlah elemen dari himpunan tersebut. Misalnya, mendefinisikan dua himpunan: {{nowrap|1=''A'' = {a, b}}} dan {{nowrap|1=''B'' = {5, 6}.}} Kedua himpunan '' A '' dan himpunan '' B '' masing-masing terdiri dari dua elemen. Produk Cartesian mereka, ditulis sebagai {{nowrap|''A'' × ''B''}}, menghasilkan himpunan baru yang memiliki elemen berikut:
: ''A'' × ''B'' = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}.

di mana setiap elemen '' A '' dipasangkan dengan setiap elemen '' B '', dan di mana setiap pasangan membentuk satu elemen himpunan keluaran.
Jumlah nilai di setiap elemen dari himpunan yang dihasilkan sama dengan jumlah himpunan yang produk Kartesiannya diambil; 2 dalam kasus ini.
Kardinalitas dari himpunan keluaran sama dengan hasil perkalian dari kardinalitas dari semua himpunan masukan. Maka rumusnya adalah,
: |''A'' × ''B''| = |''A''| · |''B''|.<ref name=":2" />
Pada kasus ini, |''A'' × ''B''| = 4

sama halnya
: |''A'' × ''B'' × ''C''| = |''A''| · |''B''| · |''C''|
and so on.

Himpunan {{nowrap|''A'' × ''B''}} adalah [[himpunan tak hingga]] dari '' A '' atau '' B '' pada bilangan tak hingga, dan himpunan lainnya yang bukan termasuk himpunan kosong.<ref>Peter S. (1998). Kursus Singkat dalam Matematika Himpunan Tak Terbatas. ''St. John's Review, 44''(2), 35–59. Retrieved August 1, 2011, from http://www.mathpath.org/concepts/infinity.htm</ref>

== Lihat pula ==
* [[Relasi biner]]
* [[Gabungan (matematika)#Gabungan pita kumpulan|Penggabungan kumpulan string]]
* [[Produk gabungan]]
* [[Produk silang]]
* [[Produk langsung dari grup]]
* [[Produk kosong]]
* [[Ruang Euklides]]
* [[Objek eksponensial]]
* [[Relasi finiter]]
* [[Gabungan (SQL)#Gabungan silang|Gabungan (SQL)§Gabung silang]]
* [[Total order#Pesanan pada produk Cartesius dari himpunan order seluruhnya|Pesanan pada produk Cartesius dari himpunan yang dipesan seluruhnya]]
* [[Aksioma himpunan daya#Konsekuensi Aksioma himpunan daya]] (untuk membuktikan keberadaan produk Cartesius)
* [[Produk (teori kategori)]]
* [[Topologi produk]]
* [[Tipe produk]]
* [[Ultraproduk]]

== Referensi ==
{{reflist}}

== Pranala luar ==
* [http://www.apronus.com/provenmath/cartesian.htm Cartesian Product at ProvenMath]
* {{springer|title=Direct product|id=p/d032730}}
* [http://education-portal.com/academy/lesson/how-to-find-the-cartesian-product.html How to find the Cartesian Product, Education Portal Academy]

{{Teori himpunan}}

[[Kategori:Aksioma pilihan]]
[[Kategori:Konsep dasar dalam teori himpunan]]
[[Kategori:Operasi biner]]