Lihat sumber Presentasi grup

{{hatnote|"Relator "mengalihkan di sini. Untuk kegunaan lain, lihat [[Relator (disambiguasi)]]}}
{{distinguish|Representasi grup}}
{{About|menentukan generator dan relasi grup|mendeskripsikan modul di atas gelanggang|presentasi bebas}}
Dalam [[matematika]], '''presentasi''' adalah salah satu metode untuk menentukan [[grup (matematika)|grup]]. Presentasi dari grup '' G '' terdiri dari satu set '' S '' dari '''[[menghasilkan himpunan grup|generator]]''', sehingga setiap elemen grup dapat ditulis sebagai produk kekuatan dari beberapa generator ini, dan satu himpunan '' R '' dari '''relasi''' di antara generator tersebut. Kami kemudian mengatakan '' G '' memiliki presentasi

:<math>\langle S \mid R\rangle.</math>

Secara informal, '' G '' memiliki presentasi di atas jika itu adalah "grup paling bebas" yang dihasilkan oleh '' S '' yang hanya tunduk pada relasi '' R ''. Secara formal, grup '' G '' dikatakan memiliki presentasi di atas jika [[grup isomorfisme|isomorfik]] ke [[grup hasil bagi|hasil bagi]] dari [[grup bebas]] pada '' S bebas '' oleh [[Penutupan konjugasi|subgrup normal dihasilkan oleh]] relasi '' R ''.

Sebagai contoh sederhana, [[grup siklik]] dengan urutan '' n '' memiliki penyajian

:<math>\langle a \mid a^n = 1\rangle,</math>

dimana 1 adalah identitas grup. Ini dapat ditulis sama dengan

:<math>\langle a \mid a^n\rangle,</math>

berkat konvensi bahwa istilah-istilah yang tidak menyertakan tanda sama dengan dianggap sama dengan identitas grup.  Istilah seperti itu disebut '''relator''', membedakannya dari relasi yang menyertakan tanda sama dengan.

Setiap kelompok memiliki presentasi, dan ternyata banyak presentasi yang berbeda; presentasi sering kali merupakan cara paling ringkas untuk mendeskripsikan struktur grup.

Sebuah konsep yang terkait erat tetapi berbeda adalah konsep [[presentasi mutlak dari suatu grup]].

== Latar Belakang ==
[[Grup bebas]] pada himpunan '' S '' adalah grup di mana setiap elemen dapat '' secara unik '' dijelaskan sebagai produk panjang terbatas dari bentuk:

:<math>s_1^{a_1} s_2^{a_2} \cdots s_n^{a_n}</math>

dimana ''s<sub>i</sub>'' adalah elemen S, berdekatan ''s<sub>i</sub>'' berbeda, dan '' a<sub> i </sub> '' adalah bilangan bulat bukan nol (tetapi '' n '' bisa jadi nol). Dalam istilah yang kurang formal, grup tersebut terdiri dari kata-kata di generator '' dan inversnya '', hanya tunduk pada pembatalan generator dengan kejadian invers yang berdekatan.

Jika '' G '' adalah grup apa pun, dan '' S '' adalah subset yang menghasilkan dari '' G '', maka setiap elemen '' G '' juga berbentuk di atas; namun secara umum, produk ini tidak akan '' secara unik '' menggambarkan elemen '' G ''.

Misalnya, [[grup dihedral]] D<sub> 8 </sub> berorde enam belas dapat dihasilkan oleh rotasi, '' r '', berorde 8; dan flip, ''f'', of order 2; dan tentunya setiap elemen D <sub> 8 </sub> adalah produk dari ''r''{{'}} dan ''f''{{'}}.

Namun, kami memiliki, misalnya, {{math|1=''rfr'' = ''f''}}, {{math|1=''r''<sup>7</sup> = ''r''<sup>−1</sup>}}, dll., jadi produk seperti itu '' tidak unik '' di D<sub> 8 </sub>. Masing-masing produk ekuivalen dapat diekspresikan sebagai persamaan dengan identitas, seperti

:{{math|1=''rfrf'' = 1}}, 
:{{math|1=''r''<sup>8</sup> = 1}}, or
:{{math|1=''f''{{px2}}<sup>2</sup> = 1}}.

Secara informal, kita dapat menganggap produk ini di sisi kiri sebagai elemen dari grup bebas {{math|1=''F'' = <''r'', ''f''>}}, dan dapat mempertimbangkan subgrup '' R '' dari '' F '' yang dihasilkan oleh string ini; masing-masing juga akan sama dengan 1 jika dianggap sebagai produk dalam D<sub>8</sub>.

Jika kemudian kita membiarkan '' N '' menjadi subgrup dari '' F '' yang dihasilkan oleh semua konjugasi ''x''<sup>−1</sup>''Rx'' dari '' R '', maka berikut definisi bahwa setiap elemen '' N '' adalah produk hingga ''x''<sub>1</sub><sup>−1</sup>''r''<sub>1</sub>''x''<sub>1</sub> ... ''x<sub>m</sub>''<sup>−1</sup>''r<sub>m</sub>'' ''x<sub>m</sub>'' of anggota konjugat tersebut. Oleh karena itu, setiap elemen '' N '', jika dianggap sebagai produk pada D<sub>8</sub>, juga akan mengevaluasi ke 1; dan dengan demikian '' N '' adalah [[subgrup normal]] dari '' F ''. Jadi D<sub> 8 </sub> isomorfik ke [[grup hasil bagi]] {{math|1=''F''/''N''}}. Kami kemudian mengatakan bahwa D<sub> 8 </sub> memiliki presentasi

:<math>\langle r, f \mid r^8 = 1, f^2 = 1, (rf)^2 = 1\rangle.</math>

Di sini himpunan generatornya {{math|1=''S'' = {''r'', ''f''&nbsp;}}}, dan himpunan relasinya adalah {{math|1=''R'' = {''r'' <sup>8</sup> = 1, ''f'' <sup>2</sup> = 1, (''rf'' )<sup>2</sup> = 1} }}.  Kita sering melihat '' R '' disingkat, memberikan presentasi

:<math>\langle r, f \mid r^8 = f^2 = (rf)^2 = 1\rangle.</math>

Bentuk yang lebih pendek menghilangkan tanda-tanda kesetaraan dan identitas, untuk mendaftar hanya himpunan relator, yaitu {{math|1= {''r'' <sup>8</sup>, ''f'' <sup>2</sup>, (''rf'' )<sup>2</sup>} }}.  Melakukan ini memberikan presentasi

:<math>\langle r, f \mid r^8, f^2, (rf)^2 \rangle.</math>

Ketiga presentasi itu setara.

== Notasi ==

Meskipun notasi {{math|{{braket|bra-ket|''S'' | ''R''}}}}  digunakan dalam artikel ini untuk presentasi sekarang yang paling umum, penulis sebelumnya menggunakan variasi yang berbeda pada format yang sama.  Notasi tersebut meliputi:{{cn|date=Desember 2020}}
*{{math|{{braket|bra-ket|''S'' | ''R''}}}}
*{{math|(''S'' {{!}} ''R'')}}
*{{math|{''S''; ''R''}}}
*{{math|{{angbr|''S''; ''R''}}}}

== Definisi ==
Maka '' S '' menjadi satu set dan biarkan ''F<sub>S</sub>'' jadilah [[grup gratis]] di '' S ''. Misalkan '' R '' menjadi satu himpunan [[Kata (teori grup)|kata-kata]] pada '' S '', jadi '' R '' secara alami memberikan subset dari <math>F_S</math>. Untuk membentuk grup dengan presentasi <math>\langle S \mid R\rangle</math>, ambil hasil bagi dari <math> F_S </math> oleh subgrup normal terkecil yang berisi setiap elemen '' R ''.  (Subgrup ini disebut [[Penutupan normal (teori grup)|penutupan normal]] '' N '' dari '' R '' di <math> F_S </math>.)  Grup <math>\langle S \mid R\rangle</math> kemudian ditentukan sebagai [[grup hasil bagi]]
:<math>\langle S \mid R \rangle = F_S / N.</math>
Elemen '' S '' disebut '''generator''' dari <math>\langle S \mid R\rangle</math> dan elemen '' R '' disebut '''relator'''. Grup '' G '' dikatakan memiliki presentasi <math>\langle S \mid R\rangle</math> if ''G'' isomorfik menjadi <math>\langle S \mid R\rangle</math>.<ref name = Peifer>{{cite journal|first = David|last = Peifer|title = An Introduction to Combinatorial Group Theory and the Word Problem|journal = Mathematics Magazine | volume = 70 | issue = 1 | pages = 3–10 | doi = 10.1080/0025570X.1997.11996491 | year = 1997}}</ref>

Merupakan praktik umum untuk menulis relator dalam bentuk <math>x = y</math> di mana '' x '' dan '' y '' adalah kata-kata di '' S ''. Artinya adalah itu <math>y^{-1}x\in R</math>. Ini memiliki arti intuitif bahwa gambar '' x '' dan '' y '' seharusnya sama dalam kelompok hasil bagi. Jadi, misalnya, '' r<sup> n </sup> '' dalam daftar relator sama dengan <math>r^n=1</math>.<ref name = Peifer />

Untuk grup hingga '' G '', dimungkinkan untuk membuat presentasi '' G '' dari [[tabel Cayley|tabel perkalian grup]], sebagai berikut. Ambil '' S '' sebagai elemen set <math> g_i </math> dari '' G '' dan '' R '' menjadi semua kata dalam bentuk <math>g_ig_jg_k^{-1}</math>, dimana <math>g_ig_j=g_k</math> adalah entri dalam tabel perkalian.

=== Definisi alternatif ===
Definisi presentasi kelompok dapat disusun kembali dalam istilah [[kelas ekivalen]] dari kata-kata pada alfabet <math>S \cup S^{-1}</math>.  Dalam perspektif ini, kami mendeklarasikan dua kata menjadi setara jika memungkinkan untuk berpindah dari satu kata ke kata lain dengan serangkaian gerakan, di mana setiap gerakan terdiri dari menambah atau menghapus pasangan yang berurutan <math>x x^{-1}</math> or <math>x^{-1} x</math> untuk beberapa {{mvar | x}} di {{mvar | S}}, atau dengan menambahkan atau menghapus salinan relator yang berurutan. Elemen grup adalah kelas kesetaraan, dan operasi grup adalah penggabungan.<ref name = Peifer />

Sudut pandang ini sangat umum di bidang [[teori grup kombinatorial]].

== Grup disajikan dengan sempurna ==
Presentasi dikatakan '''[[grup dihasilkan secara hingga|dihasilkan secara terbatas]]''' jika '' S '' terbatas dan '''terkait dengan batas''' jika '' R '' terbatas. Jika keduanya terbatas maka dikatakan sebagai '''presentasi yang terbatas'''. Sebuah grup '''dihasilkan secara tak terbatas''' (masing-masing '''terkait secara tak terbatas''', '''{{visible anchor|disajikan dengan halus}}''') jika itu memiliki presentasi yang dihasilkan secara terbatas (masing-masing terkait dengan halus, presentasi terbatas). Grup yang memiliki presentasi terbatas dengan satu relasi disebut '''grup relator satu'''.

== Grup yang disajikan secara rekursif ==
Jika '' S '' diindeks oleh satu set '' I '' yang terdiri dari semua bilangan asli '''N''' atau subset yang terbatas dari mereka, maka mudah untuk mengatur pengkodean sederhana satu ke satu {{nowrap|''f'' : ''F<sub>S</sub>'' → '''N'''}} dari grup bebas di '' S '' ke [[bilangan asli]], sehingga kita dapat menemukan algoritme yang, diberikan '' f ''('' w ''), hitung '' w '', dan sebaliknya. Kami kemudian dapat memanggil subset '' U '' dari ''F<sub>S</sub>'' [[himpunan rekursif|rekursif]] (masing-masing [[dapat dihitung secara rekursif]]) jika '' f ''('' U '') adalah rekursif (masing-masing dapat dihitung secara rekursif). Jika '' S '' diindeks seperti di atas dan '' R '' dapat dihitung secara rekursif, maka penyajiannya adalah '''penyajian rekursif''' dan grup yang sesuai adalah '''disajikan secara rekursif'''. Penggunaan ini mungkin tampak aneh, tetapi dapat dibuktikan bahwa jika sebuah grup memiliki presentasi dengan '' R '' yang dapat dihitung secara rekursif, maka grup tersebut memiliki presentasi lain dengan '' R '' rekursif.

Setiap grup yang disajikan secara halus disajikan secara rekursif, tetapi ada grup yang disajikan secara rekursif yang tidak dapat disajikan secara halus.  Namun, teorema [[Graham Higman]] menyatakan bahwa grup yang dihasilkan tak terhingga memiliki presentasi rekursif jika dan hanya jika dapat disematkan dalam grup yang disajikan tak terhingga. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ada (hingga isomorfisme) hanya [[terhitung]] banyak grup disajikan rekursif yang dihasilkan secara halus. [[Bernhard Neumann]] telah menunjukkan bahwa terdapat [[terhitung]] banyak dua kelompok generator non-isomorfik. Oleh karena itu, ada grup yang dibuat secara terbatas yang tidak dapat disajikan secara rekursif.

== Sejarah ==
Salah satu presentasi paling awal dari grup oleh generator dan hubungan diberikan oleh ahli matematika Irlandia [[William Rowan Hamilton]] pada tahun 1856, dalam [[kalkulus icosian]] presentasi dari [[grup Katedral]].<ref>{{Cite journal |title=Memorandum respecting a new System of Roots of Unity |author=Sir William Rowan Hamilton |author-link=William Rowan Hamilton |url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Icosian/NewSys.pdf |journal=[[Philosophical Magazine]] |volume=12 |year=1856 |pages=446 }}</ref>
Studi sistematis pertama diberikan oleh [[Walther von Dyck]], siswa [[Felix Klein]], pada awal 1880-an, meletakkan dasar untuk [[teori grup kombinatorial]].<ref name="stillwell374">{{Cite book | publisher = Springer | isbn = 978-0-387-95336-6 | last = Stillwell | first = John | title = Mathematics and its history | date = 2002 | page = [https://books.google.com/books?id=WNjRrqTm62QC&pg=PA374 374] }}</ref>

== Contoh ==
Tabel berikut mencantumkan beberapa contoh presentasi untuk kelompok yang umum dipelajari. Perhatikan bahwa dalam setiap kasus ada banyak presentasi lain yang memungkinkan. Presentasi yang terdaftar belum tentu yang paling efisien.
{| border=1 class="wikitable"
!Grup || Presentasi || Komentar
|-
| [[grup bebas]] pada '' S '' || <math>\langle S \mid \varnothing \rangle</math>
| Grup bebas adalah "bebas" dalam arti tidak ada hubungan.
|-
| C<sub>''n''</sub>, [[grup siklik]] dengan urutan '' n ''
| <math>\langle a \mid a^n \rangle</math> 
|
|-
| D<sub>''n''</sub>, [[grup dihedral]] ketertiban 2''n''
| <math>\langle r,f \mid r^n , f^2 , (rf)^2 \rangle</math>
| Di sini '' r '' mewakili rotasi dan '' f '' refleksi 
|-
| D<sub>∞</sub>, [[grup hingga]]
| <math>\langle r,f \mid f^2, (rf)^2 \rangle</math>
|
|-
| Dic<sub>''n''</sub>, [[grup siklik]]
| <math>\langle r,f \mid r^{2n}, r^n=f^2, frf^{-1}=r^{-1} \rangle</math>
| [[Grup hasil bagi]] Q<sub> 8 </sub> adalah kasus khusus ketika '' n '' = 2
|-
| '''Z''' × '''Z'''
| <math>\langle x,y \mid xy = yx \rangle</math>
| 
|-
| '''Z'''/''m'''''Z''' × '''Z'''/''n'''''Z'''
| <math>\langle x,y \mid x^m, y^n, xy=yx \rangle</math>
| 
|-
| [[grup abelian bebas]] 0ada ''S''
| <math>\langle S \mid R \rangle</math> di mana '' R '' adalah himpunan dari semua [[komutator]] elemen '' S ''
| 
|-
| S<sub>''n''</sub>, [[grup simetris]] pada simbol '' n ''
| generators: <math>\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}</math><br>relasi:
*<math>\sigma_i^2 = 1</math>,
*<math>\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \mbox{ if } j \neq i\pm 1</math>,
*<math>\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}\ </math>

Kumpulan relasi terakhir dapat diubah menjadi 
*<math>{(\sigma_i\sigma_{i+1}})^3=1\ </math>
using <math>\sigma_i^2=1 </math>.
| Here ''σ''<sub>''i''</sub> adalah permutasi yang menukar elemen '' i''th dengan '' i '' + 1 satu. Produk ''σ''<sub>''i''</sub>''σ''<sub>''i''+1</sub> adalah 3-siklus pada himpunan {''i'', ''i''+1, ''i''+2}.
|-
| B<sub>''n''</sub>, [[grup Braid]]
| generator: <math>\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}</math><br>
relations:
*<math>\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \mbox{ if } j \neq i\pm 1</math>,
*<math>\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}\ </math>
| Perhatikan kesamaan dengan grup simetris; satu-satunya perbedaan adalah penghapusan relasi <math>\sigma_i^2 = 1</math>.
|-
| {{nowrap|T ≅ A<sub>4</sub>}}, [[grup tetrahedral]]
| <math>\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^3 \rangle</math>
| 
|-
| {{nowrap|O ≅ S<sub>4</sub>}}, [[grup oktahedral]]
| <math>\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^4 \rangle</math>
| 
|-
| {{nowrap|I ≅ A<sub>5</sub>}}, [[Simetri ikosahedral|kelompok ikosahedral]]
| <math>\langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^5 \rangle</math>
| 
|-
| Q<sub>8</sub>, [[grup hasil bagi]]
| <math>\langle i,j \mid jij = i, iji = j \rangle\,</math>
| Untuk presentasi alternatif lihat Dic<sub>''n''</sub> di atas dengan n = 2.
|-
| SL(2, '''Z''') 
| <math>\langle a,b \mid aba=bab, (aba)^4 \rangle</math>
| topologis '' a '' dan '' b '' dapat divisualisasikan sebagai [[Dehn twist]] pada [[torus]]
|-
| GL(2, '''Z''')
| <math>\langle a,b,j \mid aba=bab, (aba)^4,j^2,(ja)^2,(jb)^2 \rangle</math>
| nontrivial '''Z'''/2'''Z''' – [[ekstensi grup]] pada SL(2, '''Z''') 
|-
| PSL(2, '''Z'''), [[grup modular]]
| <math>\langle a,b \mid a^2, b^3 \rangle</math>
| PSL(2, '''Z''') adalah [[produk bebas]] dari grup siklik '''Z'''/2'''Z''' and '''Z'''/3'''Z'''
|-
| [[grup Heisenberg]] 
| <math>\langle x,y,z \mid z=xyx^{-1}y^{-1}, xz=zx, yz=zy \rangle</math>
| 
|-
| BS(''m'', ''n''), [[Grup Baumslag–Solitar]]
| <math>\langle a, b \mid  a^n = b a^m b^{-1}  \rangle</math>
| 
|-
| [[grup Tits]]
| <math>\langle a, b \mid a^2, b^3, (ab)^{13}, [a, b]^5, [a, bab]^4, ((ab)^4 ab^{-1})^6 \rangle</math>
| [''a'', ''b''] adalah [[komutator]]
|}

Contoh [[grup yang dibuat secara terbatas]] yang disajikan tidak terbatas adalah [[produk karangan bunga]] <math>\mathbf{Z} \wr \mathbf{Z}</math> dari grup [[bilangan bulat]] dengan dirinya sendiri.

== Beberapa teorema ==
<blockquote>'''Teorema.''' Setiap grio memiliki presentasi.</blockquote>

Untuk melihat ini, diberi grup '' G '', pertimbangkan grup bebas '' F<sub> G </sub> '' pada '' G ''. Dengan [[sifat universal]] grup bebas, terdapat [[homomorfisme grup]] {{math|φ : ''F<sub>G</sub>'' → ''G''}} yang batasannya untuk '' G '' adalah peta identitas. Misalkan '' K '' menjadi [[kernel (aljabar)|kernel]] dari homomorfisme ini. Kemudian '' K '' normal di ''F<sub>G</sub>'', Oleh karena itu sama dengan penutupan normalnya, jadi {{math|1=⟨''G'' {{!}} ''K''⟩ = ''F<sub>G</sub>''/''K''}}. Karena peta identitas bersifat surjektif, '' φ '' juga bersifat surjektif, jadi menurut [[Teorema Isomorfisme | Teorema Isomorfisme Pertama]], {{math|1=⟨''G'' {{!}} ''K''⟩ ≅ im(''φ'') = ''G''}}. Presentasi ini mungkin sangat tidak efisien jika '' G '' dan '' K '' lebih besar dari yang diperlukan.

<blockquote>'''Korollari.''' Setiap grup terbatas memiliki presentasi yang terbatas.</blockquote>

Seseorang dapat mengambil elemen grup untuk generator dan [[tabel Cayley]] untuk relasi.

=== Teorema Novikov – Boone ===
Solusi negatif untuk [[masalah kata untuk grup]] menyatakan bahwa ada presentasi yang terbatas  {{math|⟨''S'' {{!}} ''R''⟩}}  di mana tidak ada algoritma yang, diberikan dua kata '' u '', '' v '', memutuskan apakah '' u '' dan '' v '' mendeskripsikan elemen yang sama dalam grup. Hal ini ditunjukkan oleh [[Pyotr Novikov]] pada tahun 1955<ref>{{Citation|last=Novikov|first=Pyotr S.|authorlink=Pyotr Novikov|year=1955|title=On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory|language=Russian| zbl=0068.01301 | journal=[[Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics]]|volume=44|pages=1–143}}</ref> dan bukti yang berbeda diperoleh oleh [[William Boone (matematikawan)|William Boone]] pada tahun 1958.<ref>{{Citation|last=Boone|first=William W.| authorlink=William Boone (mathematician) | year=1958|title=The word problem|journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences]]|volume=44|issue=10|pages=1061–1065|url=http://www.pnas.org/cgi/reprint/44/10/1061.pdf|doi=10.1073/pnas.44.10.1061|zbl=0086.24701 |pmc=528693 |pmid=16590307}}</ref>

== Teori grup geometris ==
{{main article|Teori grup geometri}}
{{further information|Grafik Cayley}}
{{further information|Metrik kata}}

Presentasi dari sebuah grup menentukan sebuah geometri, dalam pengertian [[teori grup geometri]]: satu memiliki [[grafik Cayley]], yang memiliki [[Metrik (matematika)|metrik]], yang disebut [[metrik kata]]. Ini juga dua order yang dihasilkan, '' order lemah '' dan '' [[urutan Bruhat]] '', dan [[diagram Hasse]] yang sesuai. Contoh penting ada di [[grup Coxeter]].

Lebih lanjut, beberapa properti grafik ini ([[Struktur kasar|geometri kasar]]) bersifat intrinsik, yang berarti tidak bergantung pada pilihan generator.

== Lihat pula ==
* [[Transformasi Nielsen]]
* [[Transformasi Tietze]]
* [[Presentasi modul]]
* [[Presentasi monoid]]

== Catatan ==
{{Reflist}}

== Referensi ==
*{{cite book | last1=Coxeter | first1=H. S. M. | author-link1=Harold Scott Macdonald Coxeter | last2=Moser | first2=W. O. J. | author-link2=William Oscar Jules Moser | title=Generators and Relations for Discrete Groups | location=New York | publisher=Springer-Verlag | year=1980 | isbn=0-387-09212-9}} ― Referensi yang berguna ini memiliki tabel presentasi dari semua kelompok terbatas kecil, kelompok refleksi, dan seterusnya.
*{{cite book | last=Johnson | first=D. L. | author-link=D. L. Johnson | title=Presentations of Groups | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1997 | edition=2nd | isbn=0-521-58542-2}} ― Metode Schreier, metode Nielsen, presentasi gratis, subkelompok dan ekstensi HNN, [[Teorema Golod–Shafarevich]], dll.
*{{cite book | last=Sims | first=Charles C. | author-link=Charles Sims (mathematician) | title=Computation with Finitely Presented Groups | url=https://archive.org/details/computationwithf0000sims | url-access=registration | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1994 | edition=1st | isbn=978-0-521-13507-8}} ― algoritma dasar dari ilmu komputer teoritis, [[teori bilangan]] komputasi, dan aljabar komutatif komputasi, dll.

== Pranala luar ==
*{{MathWorld|title=Group Presentation|id=GroupPresentation|author=[[Yves de Cornulier|de Cornulier, Yves]]}}
*[http://groupnames.org Small groups and their presentations on GroupNames]

[[Kategori:Teori gruo kombinatorial]]
[[Kategori:Kombinatorik pada kata-kata]]