Lihat sumber Politop

{{Distinguish|Politrop}}
{| class="wikitable" style="margin-left:1em" align="right"
|-
|[[File:First stellation of octahedron.svg|50px]]
|[[File:First stellation of dodecahedron.svg|50px]]
|[[File:Second stellation of dodecahedron.svg|50px]]
|[[File:Third stellation of dodecahedron.svg|50px]]
|[[File:Sixteenth stellation of icosahedron.svg|50px]]
|[[File:First stellation of icosahedron.svg|50px]]
|-
| colspan="6" | [[Polihedron]] merupakan politop berdimensi-3.
|}
[[Berkas:Assorted polygons.svg|thumb|400px|right| [[Poligon]] merupakan poltop berdimensi-2.]]

Dalam [[geometri]] elementer, '''politop''' adalah suatu objek geometri yang memiliki [[Muka (geometri)|muka]], sisi yang datar. Politop secara umum merupakan perumuman dari [[polihedron]] berdimensi tiga menjadi sebarang dimensi. Politop yang mungkin ada dalam sebarang dimensi {{Math|''n''}} disebut sebagai '''politop berdimensi-{{Math|''n''}}'''. Sebagai contoh, [[poligon]] merupakan politop berdimensi-2, dan [[polihedron]] merupakan politop berdimensi-3. Pada konteks ini, "sisi yang datar" mengartikan bahwa sisi-sisi dari suatu politop berdimensi-{{Math|(''k'' + 1)}} terdiri dari politop berdimensi-{{Math|''k''}} yang dapat memiliki politop berdimensi-{{Math|(''k'' &ndash; 1)}} yang sama.

Ada beberapa teori yang memperumum gagasan lebih lanjut untuk memasukkan objek seperti [[apeirotop]] dan [[Teselasi|pengubinan]] yang tidak memliki batas, dekomposisi atau pengisi kurva [[manifold]] seperti [[polihedron sferis]], dan [[politop abstrak]].

Politop dengan dimensi yang lebih dari tiga pertama kali ditemukan oleh [[Ludwig Schläfli]] sebelum tahun 1853, yang menyebutnya '''polyschem'''.{{Sfn|Coxeter|1973|p=141&ndash;144, §7-x. Historical remarks}} Istilah ''polytop'' yang berasal dari [[bahasa Jerman]] diciptakan oleh matematikawan [[Reinhold Hoppe]], dan diperkenalkan kepada matematikawan asal Inggris yang bernama [[Alicia Boole Stott]] sebagai ''polytope''.

== Pendekatan definisi ==
Istilah ''politop'' saat ini merupakan istilah luas yang mencakup kelas-kelas objek yang sangat banyak, dan berbagai definisi ditemukan dalam kepustakaan matematika. Akan tetapi, banyak dari definisi ini tidak ekuivalen dengan satu sama lain, dan hal tersebut menghasilkan kumpulan objek bertumpang tindih yang berbeda, yang disebut ''politop''. Objek-objek tersebut mewakili pendekatan yang berbeda untuk memperumum [[politop cembung]] untuk memasukkan objek lain dengan sifat-sifat yang serupa.

Pendekatan asli secara luas diikuti oleh [[Ludwig Schläfli]], [[Thorold Gosset]] dan lainnya. Pendekatan tersebut berawal dari gagasan poligon (berdimensi dua) dan polihedron (berdimensi tiga) yang diperluas berdasarkan [[analogi]] menjadi dalam objek berdimensi empat atau lebih.{{sfn|Coxeter|1973}}

Upaya untuk memperumum [[karakteristik Euler]] dari polihedron menjadi politop berdimensi lebih tinggi mengakibatkan pengembangan [[topologi]] dan perlakuan dekomposisi atau [[kompleks CW]] (''CW complex'') menjadi analogi dengan politop.{{r|gem}} Berdasarkan pendekatan tersebut, politop dapat dipandang sebagai [[Teselasi|pengubinan]] atau dekomposisi dari beberapa [[manifold]]. Contoh pendekatan ini mendefinisikan politop sebagai sekumpulan titik yang memiliki [[kompleks sederhana|dekomposisi sederhana]]. Selain itu, politop dalam pendekatan tersebut juga merupakan gabungan dari tak berhingga banyaknya [[simpleks]] dengan adanya sifat tambahan yang berbunyi bahwa untuk sebarang dua buah simpleks yang memiliki irisan tak kosong, irisannya adalah titik sudut, ''edge'', atau muka dari dua simpleks yang berdimensi lebih tinggi.{{sfn|Grünbaum |2003}} Sayangnya, definisi ini tidak berlaku untuk [[politop bintang]] dengan struktur interior, sehingga definisi tersebut menjadi terbatas di cabang matematika tertentu.
Politop dalam jumlah dimensi yang lebih rendah memiliki nama yang standar:
{|class="wikitable"
!Dimensi politop
!Merupakan sebutan untuk{{r|standard}}
|-
|align=center|−1
|[[Nullitop]]
|-
|align=center|0
|[[Hiperkubus#Elemen|Monon]]
|-
|align=center|1
|[[Dion (geometri)|Dion]]
|-
|align=center|2
|[[Poligon]]
|-
|align=center|3
|[[Polihedron]]
|-
|align=center|4
|[[Polikhoron]]{{r|standard}}
|}

== Sifat-sifat ==
Karena politop cembung <math>P</math> (yang terisi) dengan <math>d</math> dimensi adalah [[Ruang kontraktibel|kontraktibel]] menjadi satu buah titik, [[karakteristik Euler]] <math>\chi</math> dari batasnya <math>\partial P</math> dirumuskan dengan penjumlahan berselang-seling:<math display="block">\chi = n_0 - n_1 + n_2 - \cdots \plusmn n_{d-1} = 1 + (-1)^{d-1}.</math>Notasi <math>n_j</math> pada rumus di atas menyatakan jumlah dari muka berdimensi-<math>j</math>. Karakteristik ini memperumum [[rumus Euler untuk polihedron]].{{r|pands}}

[[Teorema Gram–Euler]] juga memperumum penjumlahan selang-seling dari [[sudut internal dan eksternal|sudut internal]] <math display="inline"> \sum \varphi</math> untuk polihedron cembung ke politop dengan dimensi yang lebih tinggi.{{r|pands}}<math display="block">\sum \varphi = (-1)^{d-1}.</math>

== Perumuman ==
=== Politop tak terbatas ===
{{Main|Apeirotop}}
Tidak semua mainfold adalah terhingga. Apabila politop dianggap sebagai pengubinan atau dekomposisi manifold, maka gagasan ini dapat diperluas menjadi manifold tak terhingga. Karena itu, politop meliputi [[Teselasi|pengubinan bidang]], ([[Sarang lebah (geometri)|sarang lebah]]) pengisi ruang, dan [[pengubinan hiperbolik]]. Politop tersebut terkadang-kadang disebut [[apeirotop]] sebab memiliki banyak sel yang tak berhingga jumlahnya.

Dari antara politop-politop tersebut, terdapat bentuk yang beraturan seperti [[polihedron pencong beraturan]] dan deret tak terhingga dari pengubinan yang dinyatakan dengan [[apeirogon]] beraturan, pengubinan persegi, sarang lebah kubik, dan lain sebagainya.

=== Politop abstrak ===
{{Main article|Politop abstrak}}

Politop abstrak merupakan [[himpunan terurut parsial]] dari elemen atau anggota, yang mematuhi aturan-aturan tertentu. Politop ini merupakan [[struktur aljabar]] murni. Teori tentangnya dikembangkan supaya menghindari masalah-masalah yang menjadikannya sangat sulit untuk mencocokkan berbagai kelas geometris dalam sebuah struktur matematis yang konsisten. Suatu politop geometris dikatakan realisasi di beberapa ruang nyata dari politop abstrak yang terkait.{{r|abstract}}

=== Politop kompleks ===
{{Main article|Politop kompleks}}

Terdapat struktur yang mirip seperti dengan politop, dan struktur ada di [[ruang Hilbert]] kompleks <math> \Complex^n</math>, dengan dimensi real {{math|1=''n''}} yang disertai dengan {{math|1=''n''}} [[bilangan imajiner]]. Lebih-lebih, [[poltop kompleks beraturan]] diperlakukan sebagai [[Konfigurasi (politop)|konfigurasi]].{{r|coxeter}}

== Lihat pula ==
{{div col|colwidth=30em}}
*''[[Bounding volume]]''
*[[Daftar politop beraturan]]
*[[Perpotongan polihedron dengan garis]]
*[[Perluasan polihedron]]
*[[Sarang lebah (geometri)]]
{{div col end}}

== Referensi ==
=== Catatan ===
{{reflist|refs=
<ref name="pands">{{cite journal
| last1        = M. A. | first1 = Perles
| last2        = G. C. | first2 = Shephard
| year         = 1967
| title        = Angle sums of convex polytopes
| publisher    = ''Math. Scandinavica''
| volume       = 21
| issue        = 2
| date         = Maret 1967
| pages        = 199–218
}}</ref>

<ref name="abstract">{{citation
| last1        = McMullen | first1 = Peter | author1-link = Peter McMullen
| last2        = Schulte  | first2 = Egon
| title        = Abstract Regular Polytopes
| edition      = 1st
| publisher    = [[Cambridge University Press]]
| isbn         = 0-521-81496-0
| date         = Desember 2002
| url-access   = registration
| url          = https://archive.org/details/abstractregularp0000mcmu
}}</ref>

<ref name="coxeter">{{cite book
| last         = Coxeter | first = H.S.M.
| title        = Regular Complex Polytopes
| url         = https://archive.org/details/regularcomplexpo0000coxe | year         = 1974
}}</ref>

<ref name="standard">{{cite book
| last1        = Johnson | first1 = Norman W.
| title        = Geometries and Transformations
| publisher    = Cambridge University Press
| year         = 2018
| page         = 224
}}</ref>

<ref name="gem">{{cite book
| last        = Richeson | first = D.
| year        = 2008
| title       = Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
| title-link  = Euler's Gem
| publisher   = Princeton University Press
| authorlink  = David Richeson
| url-status  = live
}}</ref>

}}
=== Sumber ===
{{refbegin}}
* {{citation
| last           = Coxeter | first = Harold Scott MacDonald
| authorlink     = Harold Scott MacDonald Coxeter
| title          = Regular Polytopes
| title-link     = Regular Polytopes (buku)
| publisher      = Dover Publications
| publisher-link = Dover Publications
| location       = New York
| isbn           = 978-0-486-61480-9
| year           = 1973
| pp             = 141&ndash;144, §7-x. Historical remarks
}}

*{{Citation |last=Grünbaum |first=Branko |authorlink=Branko Grünbaum |title=Convex polytopes|title-link=Convex Polytopes |location=New York & London |publisher=[[Springer-Verlag]] |year=2003 |isbn=0-387-00424-6 |edition=2nd |editor1-first=Volker |editor1-last=Kaibel |editor2-first=Victor |editor2-last=Klee |editor2-link=Victor Klee |editor3-first=Günter M. |editor3-last=Ziegler |editor3-link=Günter M. Ziegler}}.
*{{Citation |last=Ziegler |first=Günter M. |authorlink=Günter M. Ziegler |title=Lectures on Polytopes |publisher=[[Springer-Verlag]] |location=Berlin, New York |series=Graduate Texts in Mathematics |year=1995 |volume=152}}.
{{refend}}

== Pranala luar ==
{{Wiktionary|polytope}}
*{{mathworld |urlname=Polytope |title=Polytope}}
*[http://www.businessweek.com/magazine/content/06_04/b3968001.htm "Math will rock your world"] – application of polytopes to a database of articles used to support custom news feeds via the [[Internet]] – (''Business Week Online'')
*[https://web.archive.org/web/20030818121038/http://presh.com/hovinga/regularandsemiregularconvexpolytopesashorthistoricaloverview.html Regular and semi-regular convex polytopes a short historical overview:]

{{Topik dimensi}}

[[Kategori:Politop]]
[[Kategori:Geometri aljabar real]]