Lihat sumber Persegi

{{Regular polygon db|Regular polygon stat table|p4}}

Dalam [[geometri Euklides]], '''persegi''' adalah bangun [[poligon]] segi-empat [[Poligon reguler|reguler]], artinya bangun tersebut memiliki empat sisi yang sama panjang dan empat sudut yang sama besar (dengan sudut 90 [[Derajat (satuan sudut)|derajat]], π/2 [[radian]], atau [[sudut siku-siku]]). Bangun ini juga dapat didefinisikan sebagai bangun [[persegi panjang]] dengan semua sisi memiliki panjang yang sama. Persegi adalah satu-satunya [[poligon reguler]] dengan [[Sudut dalam dan luar|sudut dalam]], [[sudut pusat]], dan [[Sudut dalam dan luar|sudut luar]] yang sama besar (90°), dan dengan semua diagonalnya memiliki panjang yang sama. Persegi dengan titik sudut <math>ABCD</math> disimbolkan sebagai <math>\square\, ABCD.</math><ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Square|url=https://mathworld.wolfram.com/Square.html|website=Wolfram MathWorld|language=en|access-date=2020-09-02}}</ref>

== Definisi ==
Bangun poligon segi-empat disebut sebagai ''persegi'' [[jika dan hanya jika]] bangun tersebut merupakan salah satu bentuk dari bangun-bangun berikut:<ref>Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, p. 59, {{isbn|1-59311-695-0}}.</ref><ref>{{Cite web|title=Problem Set 1.3|url=http://jwilson.coe.uga.edu/MATH7200/ProblemSet1.3.html|website=jwilson.coe.uga.edu|access-date=2017-12-12}}</ref>

* [[Persegi panjang]] dengan semua sisi memiliki panjang yang sama
* [[Belah ketupat]] dengan sudut siku-siku
* Belah ketupat dengan semua sudutnya sama besar
* [[Jajar genjang]] yang memiliki sudut siku-siku dan dua sisi yang bersebelahan sama panjangnya
* [[Poligon]] segi-empat dengan panjang sisi yang sama dan empat sudut siku-siku
* Poligon dengan semua [[Diagonal|diagonalnya]] sama panjang, saling berpotongan [[tegak lurus]] dan saling membagi dua (contoh, belah ketupat dengan diagonal-diagonalnya sama panjang)

* Poligon segi-empat dengan sisi-sisi berurutan ''a'', ''b'', ''c'', dan ''d'', yang luasnya <math>L= \tfrac{1}{2}(a^2+c^2)=\tfrac{1}{2}(b^2+d^2).</math><ref name="J2014">Josefsson, Martin, [http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412.pdf#10 "Properties of equidiagonal quadrilaterals"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220927203229/https://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412.pdf#10|date=2022-09-27}} ''Forum Geometricorum'', 14 (2014), 129–144.</ref>{{rp|Corollary 15}}

== Sifat ==
Persegi adalah kasus khusus dari banyak bangun berikut (dengan sifat masing-masing dalam tanda kurung): [[belah ketupat]] (semua sisi sama panjang, semua sudut berhadapan sama besar), [[Layang-layang (geometri)|layang-layang]] (dua panjang sisi bersebelahan sama besar), [[trapesium]] (sepasang sisi berhadapan sejajar), [[jajar genjang]] (semua sisi berhadapan sejajar), [[persegi panjang]] (semua sisi berhadapan sama besar, semua sudut siku-siku), dan tetragon (poligon empat sisi). Akibatnya, persegi memiliki semua sifat dari bangun-bangun tersebut, meliputi:<ref>{{Cite web|title=Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram|url=https://www.mathsisfun.com/quadrilaterals.html|website=www.mathsisfun.com|access-date=2020-09-02}}</ref>

* Semua [[sudut dalam]] dari persegi sama besar (masing-masing sebesar 360°/4 = 90°, sudut siku-siku).
* [[Sudut pusat]] dari persegi sama dengan 90° (360°/4).

* [[Sudut dalam dan luar|Sudut luar]] dari persegi sama dengan 90° (360°/4).
* Kedua diagonal dari persegi sama besar dan saling memotong pada sudut 90°.
* Diagonal dari persegi membagi dua sudut dalamnya, masing-masing membentuk sudut 45°.
* Semua sisi dari persegi sama besar
* Semua sisi yang saling berhadapan sejajar

=== Keliling dan luas ===
[[Berkas:Five_Squared.svg|jmpl|Luas dari persegi adalah hasil perkalian dari panjang sisinya.]]
[[Keliling]] dari bangun persegi yang keempat sisinya memiliki panjang <math>\ell </math> adalah <math display="block">K = 4\ell</math>dan [[Luas|luasnya]]<ref name=":0" /> adalah <math display="block">L=\ell^2.</math>Pada [[Zaman Klasik|zaman klasik]], konsep [[Pangkat dua|kuadrat (pangkat dua)]] dijelaskan menggunakan luas dari bangun persegi, seperti pada rumus di atas. Pada perkembangan selanjutnya, seperti dalam [[bahasa Inggris]], ini menyebabkan penggunaan istilah ''square'' (persegi) untuk mengartikan kuadrat.

Luas dari persegi juga dapat dihitung menggunakan panjang diagonal ''d'', menggunakan rumus<math display="block">L=\frac{d^2}{2}.</math>Jika menggunakan [[lingkaran luar]] persegi dengan [[jari-jari]] <math>R,</math> luas persegi dapat dituliskan sebagai<math display="block">L=2R^2;</math>Karena luas dari lingkaran tersebut adalah <math>\pi R^2,</math> persegi akan mengisi <math>2/\pi \approx 0.6366</math> bagian dari lingkaran luarnya. Sedangkan menggunakan lingkaran dalam dengan jari-jari <math>r,</math> luas dari persegi adalah <math display="block">L=4r^2;</math>sehingga lingkaran dalam mengisi <math> \pi/4 \approx 0.7854</math> bagian dari persegi tersebut.

Karena persegi merupakan [[poligon reguler]], bangun ini memiliki keliling terkecil yang mengitari suatu luas tertentu. Dual dari pernyataan tersebut, persegi merupakan bangun segi-empat yang memiliki luas terbesar, dari semua segi-empat dengan suatu besar keliling tertentu.<ref>Chakerian, G.D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in ''Mathematical Plums'' (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.</ref><ref>{{Cite web|last=Lundsgaard Hansen|first=Martin|title=Vagn Lundsgaard Hansen|url=http://www2.mat.dtu.dk/people/V.L.Hansen/square.html|website=www2.mat.dtu.dk|access-date=2017-12-12}}</ref> Secara lebih matematis, jika <math>L</math> dan <math>K</math> masing-masing adalah luas dan keliling dari suatu segi-empat, maka berlaku [[pertidaksamaan isoperimetrik]] berikut: <math display="block">16L\le K^2</math>dengan persamaan terjadi [[jika dan hanya jika]] segi-empat tersebut adalah persegi.

=== Fakta lain ===

* Panjang diagonal dari persegi adalah <math display="inline">\sqrt{2}</math> (sekitar 1,414) kali panjang sisi persegi tersebut. Nilai ini, dikenal sebagai [[akar kuadrat dari 2]] dan konstanta Pythagoras,<ref name=":0" /> adalah bilangan pertama yang dibuktikan berupa [[bilangan irasional]].
* Persegi juga dapat didefinisikan sebagai [[jajar genjang]] dengan kedua diagonalnya memiliki panjang yang sama dan membagi dua sudut dalam jajar genjang tersebut.
* Jika suatu bangun berupa persegi panjang (memiliki sudut siku-siku) sekaligu belah ketupat (memiliki panjang sisi yang sama), maka bangun tersebut adalah persegi.
* [[Pengubinan persegi]] adalah salah satu dari tiga [[teselasi reguler]] pada bidang (bangun [[teselasi]] lainnya adalah [[segitiga sama sisi]] dan [[Heksagon|heksagon reguler]]).
* Persegi adalah anggota dari dua keluarga [[politop]] di dimensi dua: [[hiperkubus]] dan ''cross-polytope''. [[Simbol Schläfli]] untuk persegi adalah&nbsp;<math display="inline">\{4\}</math>&nbsp;.
* Persegi adalah objek yang sangat simetris. Persegi memiliki empat garis [[simetri refleksi]], dan [[simetri rotasi]] tingkat 4 (0°, 90°, 180° and 270°). [[Grup simetrik|Grup simetri]] dari bangun ini adalah [[grup dihedral]]&nbsp;D<sub>4</sub>.
* Sebangun persegi dapat dibuat di dalam (''inscribed'') sebarang poligon regular. Satu-satunya poligon lain dengan sifat ini adalah segitiga sama sisi.
* Jika [[Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga|lingkaran dalam]] dari persegi ''ABCD'' memiliki titik potong ''E'' pada sisi ''AB'', ''F'' pada ''BC'', ''G'' pada ''CD'', dan ''H'' pada ''DA'', maka untuk sebarang titik ''P'' pada lingkaran dalam tersebut,<ref>{{Cite web|title=Geometry classes, Problem 331. Square, Point on the Inscribed Circle, Tangency Points. Math teacher Master Degree. College, SAT Prep. Elearning, Online math tutor, LMS.|url=http://gogeometry.com/problem/p331_square_inscribed_circle.htm|website=gogeometry.com|access-date=2017-12-12}}</ref> <math> 2(PH^2-PE^2) = PD^2-PB^2.</math>
* Jika <math>d_i</math> adalah jarak dari berang titik di bidang ke sisi ke-''i'' dari sebangun persegi, dan <math>R</math> adalah [[lingkaran luar]] dari persegi tersebut, maka<ref>Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", [[Forum Geometricorum]] 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161010184811/http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf|date=2016-10-10}}</ref> <math display="block">\frac{d_1^4+d_2^4+d_3^4+d_4^4}{4} + 3R^4 = \left(\frac{d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2}{4} + R^2\right)^2.</math>
* Jika <math>L</math> dan <math>d_i</math> masing-masing menyatakan jarak dari sebarang titik pada bidang ke titik pusat dari persegi dan ke titik pusat dari sisi-sisinya, maka berlaku hubungan <ref name="Mamuka">{{cite journal|last1=Meskhishvili|first1=Mamuka|date=2021|title=Cyclic Averages of Regular Polygonal Distances|url=https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2020/12/4.-58-65.pdf|journal=International Journal of Geometry|volume=10|pages=58–65}}</ref> <math>d_1^2 + d_3^2 = d_2^2 + d_4^2 = 2(R^2+L^2)</math> dan <math> d_1^2d_3^2 + d_2^2d_4^2 = 2(R^4+L^4), </math> dengan <math>R</math> adalah [[lingkaran luar]] dari persegi tersebut.

== Kontruksi ==
Beberapa animasi berikut ini menunjukkan cara membuat persegi menggunakan [[Lukisan jangka dan mistar|jangka dan mistar]].
{{multiple image
| align             = center
| image1            = Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif
| caption1          = Konstruksi persegi menggunakan jangka dan mistar.
| image2            = 01-Quadrat-Seite-gegeben.gif
| caption2          = Persegi dari panjang sisi yang sudah ditentukan,<br /> sudut siku-siku dihasilkan dari [[teorema Thales]].
| image3            = 01-Quadrat-Diagonale-gegeben.gif
| caption3          = Persegi dari panjang diagonal yang sudah ditentukan
| width2            = 220
}}

== Geometri non-Euklides ==
Dalam [[geometri non-Euklides]], persegi didefinisikan secara lebih umum sebagai poligon dengan 4 sisi dengan panjang yang sama dan besar semua sudutnya sama.

Di [[geometri bola]], ''persegi sferis'' adalah poligon yang sisi-sisinya merupakan busur [[lingkaran besar]] dengan panjang yang sama, dan berpotongan pada besar sudut yang sama. Tidak seperti persegi pada geometri bidang (geometri Euklides), sudut persegi di geometri ini lebih besar daripada sudut siku-siku. Persegi sferis dengan ukuran yang lebih besar akan memiliki sudut yang lebih besar.

Di [[geometri hiperbolik]], tidak ada persegi dengan sudut siku-siku. Alih-alih, persegi dalam geometri hiperbolik memiliki sudut kurang dari sudut siku-siku. Persegi hiperbolik dengan ukuran yang lebih besar memiliki sudut yang lebih kecil.
{{multiple image
| align             = center
| image1            = Tetragonal_dihedron.png
| caption1          = Dua persegi dengan sudut dalam 180° dapat mengubin (''tile'') pemukaan bola. Sisi-sisi dari kedua persegi tersebut terletak di [[lingkaran besar]]. Persegi tersebut disebut dengan persegi sfreris (bola'')'' [[dihedron]], dengan [[simbol Schläfli]]&nbsp;{4,2}.
| image2            = Square_on_sphere.svg
| caption2          = Enam persegi dapat mengubi permukaan bola, dengan setiap titik sudut dikeliling oleh tiga persegi dan setiap persegi memiliki besar sudut dalam 120°. Objek ini disebut dengan kubus sferis, dengan simbol Schläfli&nbsp;{4,3}.
| image3            = Square_on_hyperbolic_plane.png
| caption3          = Persegi dapat mengubin bidang hiperbolik, dengan setiap sudut dikelilingi lima persegi, masing-masing dengan sudut dalam 72°. Malahan, untuk sebarang <math>n\geq5</math> ada suatu pengubinan hiperbolik yang setiap titik sudut persegi tersebut dikelilingi oleh <math>n</math> persegi.
}}

== Graf ==
[[Berkas:Tetrahedron petrie.png|115x115px|thumb|simpleks-3]]
[[Graf lengkap]] K<sub>4</sub> sering digambarkan sebagai persegi lengkap dengan kedua diagonalnya. Graf ini juga merupakan [[Proyeksi ortografi|proyeksi ortografik]] dari [[simpleks]]-3 sederhana (tetrahedron), yang memiliki 6 sisi dan 4 titik sudut.

== Lihat juga ==

* [[Persegi Latin]]

* [[Persegi bulat]]
* ''[[Squaring the square]]''

== Referensi ==
<references />
{{bangun}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Geometri]]
[[Kategori:Bentuk]]