Lihat sumber Persamaan medan Einstein

{{Short description|Persamaan medan dalam relativitas umum}}
{{Sidebar relativitas umum|persamaan}}{{For|1=persamaan E = mc<sup>2</sup>|2=Ekuivalensi massa–energi}}
Dalam teori [[relativitas umum]], '''persamaan medan Einstein''' ({{lang-en|Einstein's field equations}}, disingkat '''EFE'''; juga disebut '''persamaan Einstein''') menghubungkan geometri dari [[ruang waktu]] dengan distribusi [[materi]] di dalamnya.<ref name="ein">{{cite journal |last=Einstein |first=Albert |authorlink= |title=The Foundation of the General Theory of Relativity |journal=[[Annalen der Physik]] |volume=354 |issue=7 |pages=769 |year=1916 |url=http://www.alberteinstein.info/gallery/science.html |doi=10.1002/andp.19163540702 |format=[[PDF]] |id= |accessdate= |bibcode=1916AnP...354..769E |archive-url=https://web.archive.org/web/20120206225139/http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html |archive-date=2012-02-06}}</ref>

Persamaan ini pertama kali diterbitkan oleh Einstein pada tahun 1915 dalam bentuk [[Tensor|persamaan tensor]]<ref name=Ein1915>{{cite journal |last=Einstein |first=Albert |authorlink=Albert Einstein |date=November 25, 1915 |title=Die Feldgleichungen der Gravitation |journal=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |pages=844–847 |url=http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/echo/einstein/sitzungsberichte/6E3MAXK4/index.meta |accessdate=2017-08-21}}</ref> yang menghubungkan ''{{vanchor|[[lengkungan]] ruang waktu|SPACETIME_CURVATURE}}'' lokal (diekspresikan dengan [[tensor Einstein]]) dengan energi dan [[momentum]] lokal di dalam ruang waktu tersebut (diekspresikan dengan [[tensor tegangan–energi]]).{{sfnp|Misner|Thorne|Wheeler|1973|p=916 [ch. 34]}}

Sebagaimana [[medan elektromagnetik]] ditentukan menggunakan [[Muatan listrik|muatan]] dan [[Arus listrik|arus]] melalui [[persamaan Maxwell]], persamaan ini digunakan untuk menentukan [[geometri ruang waktu]] yang dihasilkan dari keberadaan massa–energi dan momentum linear, dengan kata lain, mereka menentukan [[Tensor metrik (relativitas umum)|tensor metrik]] dari ruang waktu untuk suatu susunan tegangan–energi dalam ruang waktu. Hubungan antara tensor metrik dan tensor Einstein memungkinkan persamaan EFE ditulis sebagai sehimpunan [[persamaan diferensial parsial]] non-linear apabila digunakan seperti ini. Penyelesaian dari persamaan EFE adalah komponen dari tensor metrik. Lintasan [[inersia]] dari partikel dan radiasi ([[Geodesik dalam relativitas umum|geodesik]]) dalam geometri yang dihasilkan kemudian dihitung menggunakan [[persamaan geodesik]].

Selain mematuhi kekekalan energi–momentum lokal, persamaan EFE bisa disederhanakan menjadi [[hukum gravitasi universal Newton]] apabila medan gravitasinya lemah dan kecepatannya jauh lebih kecil daripada [[laju cahaya]].<ref name="Carroll">{{cite book |last=Carroll |first=Sean |authorlink=Sean M. Carroll |year=2004 |title=Spacetime and Geometry – An Introduction to General Relativity |pages=151–159 |isbn=0-8053-8732-3}}</ref>

Penyelesaian eksak untuk EFE hanya bisa ditemukan menggunakan asumsi untuk menyederhanakannya misalnya [[Simetri ruang waktu|simetri]]. Kasus-kasus khusus untuk [[Penyelesaian eksak dalam relativitas umum|penyelesaian-penyelesaian eksak]] lebih sering dipelajari karena mereka memodelkan banyak fenomena gravitasi, seperti [[lubang hitam yang berotasi]] dan [[perluasan alam semesta]]. Penyederhanaan lebih lanjut diperoleh dengan menyerhanakan ruang waktu menjadi [[ruang Minkowski|ruang waktu yang datar]] dengan sedikit penyimpangan, menghasilkan [[Gravitasi terlinear#Persamaan medan Einstein terlinear|EFE terlinear]]. Persamaan-persamaan ini digunakan untuk mempelajari fenomena-fenomena seperti [[gelombang gravitasi]].

==Bentuk matematis==
Persamaan medan Einstein bisa ditulis dalam bentuk:<ref name="ein"/><ref>{{cite book |title=Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology |edition=illustrated |first1=Øyvind |last1=Grøn |first2=Sigbjorn |last2=Hervik |publisher=Springer Science & Business Media |year=2007 |isbn=978-0-387-69200-5 |page=180 |url=https://books.google.com/?id=IyJhCHAryuUC&pg=PA180}}</ref>

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>R_{\mu \nu} - \tfrac{1}{2}R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G }{c^4} T_{\mu \nu}</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}
[[Berkas:EinsteinLeiden4.jpg|thumb|Persamaan EFE di sebuah dinding di [[Leiden]] ]]
di mana {{mvar|R{{sub|μν}}}} adalah [[Lengkungan Ricci|tensor lengkungan Ricci]], {{mvar|R}} adalah [[lengkungan skalar]], {{mvar|g{{sub|μν}}}} adalah [[tensor metrik (relativitas umum)|tensor metrik]], {{mvar|Λ}} adalah [[konstanta kosmologis]], {{mvar|G}} adalah [[konstanta gravitasi|konstanta gravitasi Newton]], {{mvar|c}} adalah [[laju cahaya]] dalam ruang hampa, dan {{mvar|T{{sub|μν}}}} adalah [[tensor tegangan–energi]].

Persamaan EFE merupakan sebuah persamaan tensor yang menghubungkan sehimpunan [[tensor simetris|tensor 4&nbsp;×&nbsp;4 yang simetris]]. Masing-masing tensor memiliki 10 komponen saling lepas. Keempat [[identitas Bianchi]] mengurangi banyak persamaan saling lepas dari 10 menjadi 6, memberikan metrik empat [[derajat kebebasan (fisika dan kimia)|derajat kebebasan]] yang menentukan ''gauge'', yang bersesuaian dengan kebebasan memilih sistem koordinat.

Meskipun persamaan medan Einstein awalnya dirumuskan dalam konteks teori empat dimensi, beberapa teoretikus telah mencoba mencari tahu konsekuensi persamaan tersebut dalam {{mvar|n}} dimensi.<ref name="Stephani et al">{{cite book | last = Stephani | first = Hans |first2=D. |last2=Kramer |first3=M. |last3=MacCallum |first4=C. |last4=Hoenselaers |first5=E. |last5=Herlt | title = Exact Solutions of Einstein's Field Equations | publisher = [[Cambridge University Press]] | year = 2003 | isbn = 0-521-46136-7 }}</ref> Persamaan tersebut dalam konteks di luar relativitas umum tetap disebut sebagai persamaan medan Einstein. Persamaan medan vakum (didapatkan ketika {{mvar|T}} identik dengan nol) mendefinisikan [[manifol Einstein]].

Meskipun persamaannya tampak sederhana, persamaan ini sebenarnya cukup rumit. Jika diberikan distribusi materi dan energi dalam bentuk tensor tegangan–energi, maka persamaan EFE akan menjadi persamaan untuk tensor metrik {{mvar|g{{sub|μν}}}}, karena tensor Ricci dan lengkungan skalar bergantung pada metrik tersebut dalam cara nonlinear yang rumit. Bahkan, jika dituliskan sepenuhnya, persamaan EFE merupakan sebuah sistem sepuluh [[persamaan diferensial parsial]] bertautan, nonlinear dan hiperbolik-eliptis.<ref>Alan D. Rendall,“Theorems on Existence and Global Dynamics for the Einstein Equations”,Living Rev. Relativity,8, (2005), 6. [Online Article]: cited [2019-12-10],http://www.livingreviews.org/lrr-2005-6</ref>

Persamaan EFE bisa ditulis dalam bentuk yang lebih pendek dengan mendefinisikan [[tensor Einstein]]
:<math>G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \tfrac{1}{2} R g_{\mu \nu},</math>

yang merupakan sebuah tensor simetris rank dua yang merupakan fungsi dari metrik. Setelah itu, persamaan EFE bisa ditulis
:<math>G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}.</math>

Dalam satuan standar, masing-masing suku di sisi kiri memiliki satuan 1/panjang<sup>2</sup>. Jika [[konstanta Einstein]] dipilih sebagai 8πG/c<sup>4</sup>, maka tensor tegangan–energi di sisi kanan persamaan harus ditulis dengan setiap komponennya bersatuan kerapatan energi (energi per volume).

Jika menggunakan [[satuan tergeometrisasi]] di mana {{math|''G'' {{=}} ''c'' {{=}} 1}}, ini bisa ditulis ulang sebagai
:<math>G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu}\,.</math>

Ekspresi di sisi kiri melambangkan kelengkungan ruang waktu sebagaimana ditentukan oleh metrik; ekspresi di sisi kanan melambangkan isi materi/energi dari ruang waktu. Persamaan EFE bisa ditafsirkan sebagai sehimpunan persamaan yang mengatur bagaimana materi/energi memengaruhi kelengkungan ruang waktu.

Persamaan ini, bersama dengan [[geodesik dalam relativitas umum|persamaan geodesik]],<ref name="SW1993">{{cite book|last=Weinberg |first=Steven|title=Dreams of a Final Theory: the search for the fundamental laws of nature|url=https://archive.org/details/dreamsoffinalthe00wein |year=1993|publisher=Vintage Press|pages=[https://archive.org/details/dreamsoffinalthe00wein/page/107 107], 233|isbn=0-09-922391-0}}</ref> yang mengatur bagaimana materi yang jatuh bebas bergerak melalui ruang waktu, membentuk inti dari [[matematika relativitas umum|perumusan matematis]] [[relativitas umum]].

===Konvensi tanda===
Bentuk EFE di atas adalah standar yang ditentukan olehy [[Gravitation (buku)|Misner, Thorne, dan Wheeler]].{{sfnp|Misner|Thorne|Wheeler|1973|p=501ff}} Para penulis tersebut menganalisa semua konvensi yang ada dan mengelompokkan mereka berdasarkan tiga tanda (S1, S2, S3):

:<math>
\begin{align}
g_{\mu \nu} & = [S1] \times \operatorname{diag}(-1,+1,+1,+1) \\[6pt]
{R^\mu}_{\alpha \beta \gamma} & = [S2] \times \left(\Gamma^\mu_{\alpha \gamma,\beta}-\Gamma^\mu_{\alpha \beta,\gamma}+\Gamma^\mu_{\sigma \beta}\Gamma^\sigma_{\gamma \alpha}-\Gamma^\mu_{\sigma \gamma}\Gamma^\sigma_{\beta \alpha}\right) \\[6pt]
G_{\mu \nu} & = [S3] \times \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}
\end{align}
</math>

Tanda ketiga di atas berkaitan dengan pilihan konvensi untuk tensor Ricci:
:<math>R_{\mu \nu}=[S2]\times [S3] \times {R^\alpha}_{\mu\alpha\nu} </math>

Dengan definisi-definisi di atas [[Gravitation (buku)|Misner, Thorne, dan Wheeler]] mengelompokkan diri mereka sebagai {{math|(+ + +)}}, sedangkan Weinberg (1972){{sfnp|Weinberg|1972}} tergolong {{math|(+ − −)}}, Peebles (1980)<ref>{{cite book |last=Peebles |first=Phillip James Edwin |title=The Large-scale Structure of the Universe |url=https://archive.org/details/largescalestruct0000peeb |location= |publisher=Princeton University Press |year=1980 |isbn=0-691-08239-1 }}</ref> dan Efstathiou dll. (1990)<ref>{{cite journal |last=Efstathiou |first=G. |first2=W. J. |last2=Sutherland |first3=S. J. |last3=Maddox |title=The cosmological constant and cold dark matter |journal=[[Nature (jurnal)|Nature]] |volume=348 |issue=6303 |year=1990 |pages=705 |doi=10.1038/348705a0 |bibcode=1990Natur.348..705E }}</ref> tergolong {{math|(− + +)}}, Collins Martin & Squires (1989)<ref>{{cite book |last=Collins |first=P. D. B. |last2=Martin |first2=A. D. |last3=Squires |first3=E. J. |year=1989 |title=Particle Physics and Cosmology |location=New York |publisher=Wiley |isbn=0-471-60088-1 }}</ref> dan Peacock (1999){{sfnp|Peacock|1999}} tergolong {{math|(− + −)}}.

Beberapa penulis seperti Einstein menggunakan tanda yang berbeda dalam definisi mereka untuk tensor Ricci yang menyebabkan tanda di sisi kanan menjadi negatif
:<math>R_{\mu \nu} - \tfrac{1}{2} R g_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = -\frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}.</math>

Tanda dari suku kosmologis (yang sangat kecil) akan berubah di kedua versi apabila [[konvensi tanda]] metrik {{math|(+ − − −)}} digunakan bukannya konvensi tandam metrik MTW {{math|(− + + +)}} yang digunakan di sini.

===Perumusan ekuivalen===
Jika diambil [[Lengkungan skalar#Definisi|teras terhadap metrik]] dari kedua sisi EFE, maka akan diperoleh
:<math>R - \frac{D}{2} R + D \Lambda = \frac{8 \pi G}{c^4} T \,</math>

di mana {{mvar|D}} adalah dimensi ruang waktu. Ekspresi ini juga bisa ditulis sebagai
:<math>-R + \frac{D \Lambda}{\frac{D}{2} -1} = \frac{8 \pi G}{c^4} \frac{T}{\frac{D}{2}-1} \,.</math>

Jika ditambahkan {{math|−{{sfrac|1|2}}''g{{sub|μν}}''}} dikali ini ke EFE, maka akan diperoleh bentuk "teras terbalik" yang ekuivalen berikut
:<math>R_{\mu \nu} - \frac{ \Lambda g_{\mu \nu}}{\frac{D}{2}-1} = \frac{8 \pi G}{c^4} \left(T_{\mu \nu} - \frac{1}{D-2}Tg_{\mu \nu}\right) .\,</math>

Contohnya, dalam {{math|''D'' {{=}} 4}} dimensi, ini disederhanakan menjadi
:<math>R_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} \left(T_{\mu \nu} - \tfrac{1}{2}T\,g_{\mu \nu}\right) .\,</math>

Membalikkan terasnya lagi akan mengembalikan EFE yang awal. Bentuk teras terbalik bisa jadi lebih nyaman digunakan dalam beberapa kasus (contohnya, ketika ingin membatasi untuk medan yang lemah dan bisa mengganti {{mvar|g{{sub|μν}}}} dalam ekspresi di sisi kanan dengan [[metrik Minkowski]] tanpa kehilangan akurasi yang signifikan).

==Lihat pula==
{{Div col|colwidth=25em}}
*[[Kalkulus Ricci]]
*[[Matematika relativitas umum]]
*[[Penyelesaian eksak dalam relativitas umum]]
*[[Persamaan Hamilton–Jacobi–Einstein]]
*[[Prinsip ekuivalensi]]
*[[Relativitas numerik]]
*[[Sejarah relativitas umum]]
*[[Tindakan Einstein–Hilbert]]
{{Div col end}}

==Referensi==
{{reflist|30em}}

==Pranala luar==
* {{springer|title=Einstein equations|id=p/e035210}}
* [https://web.archive.org/web/20110621005940/http://www.black-holes.org/relativity6.html Caltech Tutorial on Relativity] — Pengantar sederhana kepada persamaan medan Einstein.
* [http://math.ucr.edu/home/baez/einstein/einstein.html The Meaning of Einstein's Equation] — Penjalasan persamaan medan Einstein, penurunannya, dan beberapa konsekuensinya
*[https://www.youtube.com/watch?v=8MWNs7Wfk84&feature=PlayList&p=858478F1EC364A2C&index=2 Video Lecture on Einstein's Field Equations] oleh Profesor Fisika [[MIT]] Edmund Bertschinger.
*[http://scitation.aip.org/content/aip/magazine/physicstoday/article/68/11/10.1063/PT.3.2979 Arch and scaffold: How Einstein found his field equations] Physics Today November 2015, History of the Development of the Field Equations
*[http://ilorentz.org/history/wallformulas/images/pages/page_2.html Persamaan medan Einstein di dinding di Museum Boerhaave di Leiden] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170118033047/http://ilorentz.org/history/wallformulas/images/pages/page_2.html |date=2017-01-18 }}

{{Albert Einstein}}
{{Relativitas}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Albert Einstein]]
[[Kategori:Persamaan fisika]]
[[Kategori:Relativitas umum]]
[[Kategori:Persamaan diferensial parsial]]