Lihat sumber Perkalian

{{about|operasi matematika}}
{{short description|Operasi aritmetika}}
{{more citations needed|date=April 2012}}
<div class="tright">{{Operasi aritmetika}}</div>
[[Berkas:Multiply 4 bags 3 marbles.svg|thumb|right|Empat kantong dengan tiga kelereng per kantong menghasilkan dua belas kelereng (4 × 3 = 12).]]
[[Berkas:Multiply scaling.svg|thumb|right|Perkalian juga bisa sebagai [[Faktor skala|penskalaan]]. Di sini kita melihat 2 dikalikan dengan 3 menggunakan penskalaan, menghasilkan 6 sebagai hasilnya.]]
[[Berkas:Multiplication as scaling integers.gif|thumb|Animasi untuk perkalian 2 × 3 = 6.]]
[[Berkas:Multiplication scheme 4 by 5.jpg|thumb|right|4 × 5 = 20. Persegi panjang besar terdiri dari 20 kotak, masing-masing memiliki dimensi 1 kali 1.]]
[[Berkas:Multiply field fract.svg|thumb|right|Luas sehelai kain {{nowrap|1=4,5m × 2,5m = 11,25m<sup>2</sup>}}; {{nowrap|1=4½ × 2½ = 11¼}}]]
'''Perkalian''' atau '''pendaraban''' (dilambangkan dengan [[Tanda perkalian|simbol silang]] {{char|'''×'''}}, oleh garis tengah [[#Notasi dan terminologi|operator titik]] {{char|'''⋅'''}}, oleh [[penjajaran]], atau, pada [[komputer]], dengan [[asterisk]] {{char|'''*'''}}) adalah salah satu dari empat [[Aritmetika dasar|dasar]] [[Operasi (matematika)|operasi matematika]] dari [[aritmetika]], dengan yang lainnya adalah [[penambahan]], [[pengurangan]] dan [[pembagian (matematika)|pembagian]]. Hasil dari operasi perkalian disebut '''hasil kali''', '''[[darab (matematika)|darab]]''', atau '''kinali'''.

Perkalian [[Bilangan asli|bilangan bulat]] dapat dianggap sebagai [[Perkalian dan penjumlahan berulang|penjumlahan berulang]]; yaitu, perkalian dua bilangan sama dengan menjumlahkan sebanyak mungkin salinan salah satunya, ''perkalian'', sebagai kuantitas yang lain, "pengganda". Kedua angka tersebut dapat disebut sebagai ''faktor''.
:<math>a\times b = \underbrace{b + \cdots + b}_{a \text{ kali}}</math>

Misalnya, 4 dikalikan 3, ditulis sebagai <math> 3 \times 4 </math> dan diucapkan sebagai "3 dikali 4", dapat dihitung dengan menambahkan 3 salinan dari 4 secara bersamaan:
:<math>3 \times 4 = 4 + 4 + 4 = 12</math>
Maka, 3 (''pengganda'') dan 4 (''pengganda'') adalah ''faktor'', dan 12 adalah ''produk''.

Salah satu [[#Sifat|sifat]] utama dari perkalian adalah [[sifat komutatif]], yang menyatakan dalam hal ini bahwa menambahkan 3 salinan dari 4 memberikan hasil yang sama dengan menambahkan 4 salinan dari 3:
:<math>4 \times 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12</math>

Dengan demikian penunjukan pengali dan pengali tidak mempengaruhi hasil perkalian.<ref name="Devlin">{{cite web |last=Devlin |first=Keith |url=http://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_01_11.html |title=What Exactly is Multiplication? |author-link=Keith Devlin |publisher=[[Mathematical Association of America]] |date=January 2011 |quote=Dengan perkalian Anda memiliki pengali (ditulis kedua) dikalikan dengan pengali (ditulis pertama) |access-date=May 14, 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170527070801/http://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_01_11.html |archive-date=Mei 27, 2017 |url-status=live }}</ref>

Perkalian [[bilangan bulat]] (termasuk bilangan negatif), [[bilangan rasional]] (pecahan) dan [[bilangan riil]] didefinisikan oleh [[#Perkalian berbagai jenis bilangan|generalisasi]] sistematis dari definisi dasar ini.

Perkalian juga divisualisasikan sebagai menghitung objek yang disusun dalam [[persegi panjang]] (untuk bilangan bulat), atau mencari [[luas]] persegi panjang yang sisi-sisinya memiliki [[panjang]] tertentu. Luas persegi panjang tidak bergantung pada sisi mana yang diukur terlebih dahulu—konsekuensi dari sifat komutatif.

Produk dari dua pengukuran adalah jenis pengukuran baru. Misalnya, mengalikan panjang kedua sisi persegi panjang memberikan luasnya. Darab tersebut adalah subjek [[analisis dimensi]].

Operasi invers dari perkalian adalah [[pembagian (matematika)|pembagian]]. Misalnya, karena 4 dikalikan 3 sama dengan 12, 12 dibagi 3 sama dengan 4. Memang, perkalian dengan 3, diikuti dengan pembagian 3, menghasilkan bilangan asli. Pembagian bilangan selain 0 dengan sendirinya sama dengan 1.

Perkalian juga didefinisikan untuk jenis bilangan lain, seperti [[bilangan kompleks]], dan konstruksi yang abstrak seperti [[matriks (matematika)|matriks]]. Untuk beberapa konstruksi yang abstrak ini, urutan operan dikalikan menjadi penting. Daftar berbagai jenis produk yang digunakan dalam matematika diberikan oleh [[Darab (matematika)]].

== Notasi ==
{{See also|Pengganda (linguistik)}}
[[Gambar:Multiplication Sign.svg|thumb|right|Tanda perkalian ×]]
Dalam [[aritmetika]], perkalian sering ditulis menggunakan tanda "<math>\times</math>" diantara suku-sukunya (yaitu, dalam [[notasi infiks]]).<ref>{{Citation |last=Khan Academy |title=Pengantar perkalian {{!}} Perkalian dan pembagian {{!}} Aritmetika {{!}} Khan Academy |date=2015-08-14 |url=https://www.youtube.com/watch?v=RNxwasijbAo |access-date=2017-03-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170324175113/https://www.youtube.com/watch?v=RNxwasijbAo |archive-date=2017-03-24 |url-status=live }}</ref> Misalnya,
:<math>2\times 3 = 6</math> ("dua kali tiga [[tanda sama dengan|sama dengan]] enam")
:<math>3\times 4 = 12</math>
:<math>2\times 3\times 5 = 6\times  5 = 30</math>
:<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math>

Tanda kode dalam Unicode di {{unichar|D7|TANDA PERKALIAN|nlink=Multiplication sign|html=}}.

Ada [[notasi matematika]] lain untuk perkalian:
* Perkalian juga dilambangkan dengan tanda titik,<ref>{{Citation |last=Khan Academy |title=Mengapa kita tidak menggunakan tanda perkalian? {{!}} Pengantar aljabar {{!}} Aljabar I {{!}} Khan Academy |date=2012-09-06 |url=https://www.youtube.com/watch?v=vDaIKB19TvY |access-date=2017-03-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170327163705/https://www.youtube.com/watch?v=vDaIKB19TvY |archive-date=2017-03-27 |url-status=live }}</ref> biasanya titik posisi tengah ([[pemberhentian penuh|titik]]):
:{{math|5 ⋅ 2}} atau {{math|5 . 3}}
:Notasi titik tengah, dikodekan dalam Unicode sebagai {{unichar|22C5|operator bintik}}, adalah standar di Amerika Serikat dan negara lain dimana periode digunakan sebagai [[pemisah desimal|titik desimal]]. Jika karakter operator titik tidak dapat diakses, [[sela]] (·) digunakan. Di Inggris dan Irlandia, titik/pemberhentian penuh digunakan untuk perkalian dan titik tengah digunakan untuk titik desimal, meskipun penggunaan titik/pemberhentian penuh untuk titik desimal adalah umum. Di negara lain yang menggunakan [[Koma (tanda baca)|koma]] sebagai tanda desimal, baik titik atau titik tengah digunakan untuk perkalian.{{citation needed|date=August 2011}}
* {{anchor|Implisit|Eksplisit}}Dalam [[aljabar]], perkalian yang melibatkan [[Variabel (matematika)|variabel]] ditulis sebagai [[wikt:penjajaran|penjajaran]] (misalnya, ''xy'' untuk ''x'' kali ''y'' atau 5''x'' untuk lima kali ''x''), juga disebut ''perkalian tersirat/implisit''.<ref>{{cite book |title=Announcing the TI Programmable 88! |publisher=[[Texas Instruments]] |date=1982<!--atau 1983--> |url=http://www.datamath.net/Leaflets/TI-88_Announcement.pdf |access-date=2017-08-03 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20170803091337/http://www.datamath.net/Leaflets/TI-88_Announcement.pdf |archive-date=2017-08-03}}</ref> Notasi juga dapat digunakan untuk besaran yang diapit [[tanda kurung]] (misalnya, 5(2) atau (5)(2) untuk lima kali dua). Penggunaan perkalian implisit ini disebabkan ambiguitas ketika variabel gabungan kebetulan cocok dengan nama variabel lain, ketika nama variabel di depan tanda kurung dapat dikacaukan dengan nama fungsi, atau dalam penentuan [[urutan operasi]] yang benar.
* Dalam [[perkalian vektor]], terdapat perbedaan antara simbol tanda silang dan titik. Simbol silang umumnya menunjukkan pengambilan [[perkalian silang]] dari dua [[vektor (matematika)|vektor]], menghasilkan vektor sebagai hasilnya, sedangkan titik menunjukkan pengambilan [[produk titik]] dari dua vektor, menghasilkan [[skalar (matematika)|skalar]].

Dalam [[pemrograman komputer]], [[tanda bintang]] (seperti dalam <code>5*2</code>) masih merupakan notasi yang paling umum. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa sebagian besar komputer secara historis terbatas pada [[himpunan karakter]] kecil (seperti [[ASCII]] dan [[EBCDIC]]) yang tidak memiliki tanda perkalian (seperti <code>⋅</code> atau <code>×</code>), sementara tanda bintang muncul di setiap keyboard. Penggunaan ini berasal dari bahasa pemrograman [[Fortran|FORTRAN]].

Hasil perkalian disebut [[darab (matematika)|darab]]. Hasil kali bilangan bulat adalah [[kelipatan (matematika)|kelipatan]] dari setiap faktor. Misalnya, 15 adalah hasil kali 3 dan 5, dan merupakan kelipatan 3 dan kelipatan 5.

==Komputasi==
{{Main|Algoritma perkalian}}
[[Berkas:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|right|thumb|The Educated Monkey – mainan kaleng tertanggal 1918, digunakan sebagai “kalkulator” perkalian. <small>Misalnya: atur kaki monyet ke 4 dan 9, dan dapatkan produk – 36 – di tangannya.</small>]]

Metode umum untuk mengalikan angka menggunakan pensil dan kertas memerlukan [[tabel perkalian]] hasil perkalian bilangan kecil yang dihafal atau dikonsultasikan (biasanya dua angka dari 0 hingga 9), namun satu metode adalah algoritma [[perkalian Mesir Kuno|perkalian petani]].<!--Banyak kurikulum matematika yang dikembangkan menurut standar 1989 [[NCTM]] tidak mengajarkan metode aritmatika standar, alih-alih membimbing siswa untuk menemukan metode perhitungan mereka sendiri. Meskipun secara luas diadopsi oleh banyak distrik sekolah di negara-negara seperti Amerika Serikat, mereka menghadapi perlawanan dari beberapa orang tua dan ahli matematika, dan beberapa kabupaten sejak itu meninggalkan kurikulum tersebut demi [[matematika tradisional]].-->

Mengalikan angka ke lebih dari beberapa tempat desimal dengan tangan membosankan dan rawan kesalahan. [[Logaritma umum]] diciptakan untuk menyederhanakan perhitungan tersebut, karena menambahkan logaritma setara dengan mengalikan. [[Mistar geser]] memungkinkan angka dikalikan dengan cepat hingga sekitar tiga tempat akurasi. Dimulai pada awal abad ke-20, [[kalkulator]] mekanis, seperti [[Kalkulator Marchant|Marchant]], penggandaan otomatis hingga 10 angka. [[Komputer]] elektronik modern dan kalkulator telah sangat mengurangi kebutuhan akan perkalian dengan tangan.

===Algoritma historis===
Metode perkalian didokumentasikan dalam tulisan [[Mesir Kuno]], [[Yunani Kuno|Yunani]], [[Peradaban India Kuno|India]] dan [[Sejarah China#China Kuno|China]].

[[Tulang Ishango]], berasal dari sekitar 18.000 hingga 20.000 SM, mungkin mengisyaratkan pengetahuan tentang perkalian di era [[Paleolitik Akhir]] di [[Afrika Tengah]], namun ini spekulatif.

====Mesir====
{{Main|Perkalian Mesir Kuno}}
Metode perkalian bilangan bulat dan pecahan Mesir, yang didokumentasikan dalam [[Ahmes Papyrus]], adalah dengan penjumlahan dan penggandaan yang berurutan. Misalnya, untuk menemukan produk dari 13 dan 21, seseorang harus menggandakan 21 tiga kali, memperoleh {{nowrap|1=2 × 21 = 42}}, {{nowrap|1=4 × 21 = 2 × 42 = 84}}, {{nowrap|1=8 × 21 =  2 × 84 = 168}}. Darab lengkap kemudian dapat ditemukan dengan menambahkan istilah yang sesuai yang ditemukan dalam urutan penggandaan:
:13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

====Babilonia====
[[Orang Babilonia]] menggunakan [[seksagesimal]] [[sistem bilangan posisional]], analog dengan [[ekspansi desimal|sistem desimal]] modern. Jadi, perkalian Babilonia sangat mirip dengan perkalian desimal modern. Karena relatif sulitnya mengingat {{nowrap|60 × 60}} darao yang berbeda, matematikawan Babilonia menggunakan [[tabel perkalian]]. Tabel ini terdiri dari daftar dua puluh kelipatan pertama dari ''bilangan pokok'' ''n'' tertentu: ''n'', 2''n'', ..., 20''n''; diikuti dengan kelipatan 10''n'': 30''n'' 40''n'', dan 50''n''. Kemudian untuk menghitung darab seksagesimal, maka 53''n'', hanya perlu menambahkan 50''n'' dan 3''n'' yang dihitung dari tabel.

====Tiongkok====
{{see also|Tabel perkalian Tiongkok}}
[[Berkas:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]
Dalam teks matematika ''[[Zhoubi Suanjing]]'', pada tahun sebelum 300 SM, dan ''[[Sembilan Bab tentang Seni Matematika]]'', perhitungan perkalian ditulis dengan kata-kata, meskipun matematikawan Tiongkok awal menggunakan [[kalkulus batang]] yang melibatkan penambahan nilai tempat, pengurangan, perkalian dan pembagian. Orang Tiongkok sudah menggunakan [[Tabel perkalian Tiongkok|tabel perkalian desimal]] pada akhir periode [[zaman Negara-negara Berperang|negara-negara Berperang]].<ref name="Nature">{{cite journal | url =http://www.nature.com/news/ancient-times-table-hidden-in-chinese-bamboo-strips-1.14482 | title =Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips | journal =Nature | author =Jane Qiu | date =7 January 2014 | access-date =22 January 2014 | doi =10.1038/nature.2014.14482 | s2cid =130132289 | archive-url =https://web.archive.org/web/20140122064930/http://www.nature.com/news/ancient-times-table-hidden-in-chinese-bamboo-strips-1.14482 | archive-date =22 January 2014 | url-status =live }}</ref>

===Metode modern===
[[Gambar:Gelosia multiplication 45 256.png|right|250px|thumb|Hasilkali 45 dan 256. Perhatikan urutan angka pada 45 dibalik kolom kiri. Langkah penerus perkalian dapat dilakukan pada tahap akhir perhitungan (dicetak tebal), mengembalikan produk akhir {{nowrap|1=45 × 256 = 11520}}. Ini adalah varian dari [[Perkalian kisi]].]]
Metode modern perkalian berdasarkan [[sistem angka Hindu-Arab]] pertama kali dijelaskan oleh [[Brahmagupta]]. Brahmagupta memberikan aturan untuk penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. [[Henry Burchard Fine]], saat itu profesor Matematika di [[Universitas Princeton]], menulis sebagai berikut:
:''Orang India adalah penemu tidak hanya dari sistem desimal posisi itu sendiri, tetapi dari sebagian besar proses yang terlibat dalam perhitungan dasar dengan sistem. Penambahan dan pengurangan yang mereka lakukan cukup seperti yang dilakukan saat ini; perkalian mereka terpengaruh dalam banyak hal, milik kita di antara mereka, tetapi pembagian mereka lakukan dengan tidak praktis.''<ref>{{cite book |last=Fine |first=Henry B. |author-link=Henry Burchard Fine |title=The Number System of Algebra – Treated Theoretically and Historically |edition=2nd |date=1907 |page=90 |url=https://archive.org/download/numbersystemofal00fineuoft/numbersystemofal00fineuoft.pdf}}</ref>
Algoritma aritmetika desimal nilai tempat ini diperkenalkan ke negara-negara Arab oleh [[Al Khawarizmi]] pada awal abad ke-9, dan dipopulerkan di dunia Barat oleh [[Fibonacci]] pada abad ke-13.

====Metode kisi====
[[Perkalian metode Grid]] atau metode kotak, digunakan di [[sekolah dasar]] di Inggris dan Wales dan di beberapa daerah di Amerika Serikat untuk membantu mengajarkan pemahaman tentang cara kerja perkalian beberapa digit. Contoh mengalikan 34 dengan 13 adalah dengan meletakkan angka-angka dalam kisi seperti:

:{| class="wikitable" style="text-align: center;"
! scope="col" width="40pt" | &nbsp;
! scope="col" width="120pt" | 30
! scope="col" width="40pt" | 4
|-
! scope="row" | 10
|300
|40
|-
! scope="row" | 3
|90
|12
|}

dan kemudian tambahkan entri.

===Algoritma komputer===
{{main|Algoritma perkalian#Algoritma perkalian cepat untuk input besar}}
Metode klasik untuk mengalikan dua bilangan {{math|''n''}} memerlukan digit perkalian {{math|''n''<sup>2</sup>}}. [[Algoritma perkalian]] telah dirancang untuk mengurangi waktu komputasi secara signifikan saat mengalikan bilangan besar. Metode berdasarkan [[Transformasi Fourier diskret#Perkalian bilangan bulat besar|transformasi Fourier diskret]] mengurangi [[kompleksitas komputasi]] menjadi {{math|''O''(''n'' log ''n'' log log ''n'')}}. Baru-baru ini, faktor {{math|log log ''n''}} telah digantikan oleh fungsi yang meningkat jauh lebih lambat meskipun masih tidak konstan (seperti yang diharapkan).<ref>{{Cite journal|last1=Harvey|first1=David|last2=van der Hoeven|first2=Joris|last3=Lecerf|first3=Grégoire|title=Even faster integer multiplication|year=2016|journal=Journal of Complexity|volume=36|pages=1–30|doi=10.1016/j.jco.2016.03.001|issn=0885-064X|arxiv=1407.3360|s2cid=205861906}}</ref>

Pada bulan Maret 2019, David Harvey dan Joris van der Hoeven mengirimkan artikel yang menyajikan algoritma perkalian bilangan bulat dengan kompleksitas diklaim oleh <math>O(n\log n).</math><ref>David Harvey, Joris Van Der Hoeven (2019). [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02070778 Perkalian bilangan bulat dalam perkalian O(n log n)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190408180939/https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02070778 |date=2019-04-08 }}</ref> Algoritma juga berdasarkan transformasi Fourier cepat, diperkirakan optimal asimtotik.<ref>{{Cite web|url=https://www.quantamagazine.org/mathematicians-discover-the-perfect-way-to-multiply-20190411/|title=Mathematicians Discover the Perfect Way to Multiply|last=Hartnett|first=Kevin|website=Quanta Magazine|language=en|access-date=2020-01-25}}</ref> Algoritma ini tidak dianggap berguna secara praktis, karena keuntungannya hanya muncul ketika mengalikan bilangan besar (memiliki lebih dari {{math|2<sup>1729<sup>12</sup></sup>}} bits).<ref>{{Cite web|url=https://cacm.acm.org/magazines/2020/1/241707-multiplication-hits-the-speed-limit/fulltext|title=Multiplication Hits the Speed Limit|last=Klarreich|first=Erica|website=cacm.acm.org|language=en|access-date=2020-01-25|archive-url=https://archive.today/20201031123457/https://cacm.acm.org/magazines/2020/1/241707-multiplication-hits-the-speed-limit/fulltext|archive-date=2020-10-31|url-status=live|dead-url=no}}</ref>

==Ukuran perkalian==
{{Main|Analisis dimensi}}
Apabila makna penambahan atau mengurangi jumlah dari jenis yang sama, tetapi jumlah dari jenis yang berbeda dapat dikalikan atau dibagi tanpa masalah. Misalnya, empat kantong dengan tiga kelereng masing-masing dapat dianggap sebagai:<ref name="Devlin"/>
:[4 kantong] × [3 kelereng per kantong] = 12 kelereng.

Ketika dua pengukuran dikalikan bersama-sama, produk adalah jenis yang tergantung pada jenis pengukuran. Teori umum diberikan oleh [[analisis dimensi]]. Analisis ini secara rutin diterapkan dalam fisika, tetapi juga memiliki aplikasi yang ditemukan di bidang keuangan dan bidang terapan lainnya.

Contoh umum dalam fisika adalah fakta bahwa mengalikan [[kecepatan]] dengan [[Waktu dalam fisika|waktu]] menghasilkan [[jarak]]. Sebagai contoh:
:50 kilometer per jam × 3 jam = 150 kilometer.
Dalam hal ini, unit jam menghasilkan darab dengan hanya unit kilometer.

Contoh lain dari perkalian yang melibatkan unit meliputi:
:2,5 meter × 4,5 meter = 11,25 meter persegi
:11 meter/detik × 9 detik = 99 meter
:4,5 penduduk per rumah × 20 rumah = 90 penduduk

==Perkalian barisan{{anchor|Darab barisan|Darab barisan}}==<!--link dari bawah-->
=== Notasi kapital Pi===<!--Bagian ini ditautkan dari [[Pi (huruf)]], [[notasi Pi Kapital]], [[notasi Pi kapital]]-->
Perkalian dari barisan faktor dapat ditulis dengan simbol produk, yang berasal dari huruf kapital <math>\textstyle \prod</math> (pi) dalam [[abjad Yunani]] (sama seperti huruf kapital <math>\textstyle \sum</math> (sigma) digunakan dalam konteks [[penjumlahan]]).<ref>{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-16|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Product|url=https://mathworld.wolfram.com/Product.html|access-date=2020-08-16|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=Summation and Product Notation|url=https://math.illinoisstate.edu/day/courses/old/305/contentsummationnotation.html|access-date=2020-08-16|website=math.illinoisstate.edu}}</ref> Posisi Unicode U+220F (∏) berisi ''glyph'' untuk menunjukkan produk semacam itu, berbeda dari U+03A0 (Π), huruf tersebut. Arti dari notasi ini diberikan oleh:
:<math>\prod_{i=1}^4 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,</math>
adalah
:<math>\prod_{i=1}^4 i = 24.</math>

Subskrip memberikan simbol untuk [[variabel bebas dan variabel terikat|variabel terikat]] (<math>i</math> dalam kasus ini), yang disebut "indeks perkalian", bersama dengan batas bawahnya (''1''), sedangkan superskrip (''4'') memberikan batas atasnya. Batas bawah dan atas adalah ekspresi yang menunjukkan bilangan bulat. Faktor-faktor produk diperoleh dengan mengambil ekspresi berikut operator produk, dengan nilai bilangan bulat berturut-turut menggantikan indeks perkalian, mulai dari batas bawah dan bertambah 1 sampai (dan termasuk) batas atas. Misalnya:
:<math>\prod_{i=1}^6 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 \cdot 6 = 720</math>

Secara lebih umum, notasi didefinisikan sebagai
:<math>\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n</math>
dimana <math>m</math> dan <math>n</math> adalah bilangan bulat atau ekspresi yang mengevaluasi bilangan bulat. Jika <math>m = n</math>, nilai hasil kali sama dengan faktor tunggal <math>x_m</math>; jika <math>m > n</math>, perkalian adalah [[perkalian kosong]] yang nilainya <math>1</math>—terlepas dari ekspresi faktornya.

==== Sifat ====
:<math>\prod_{i=1}^{n}x_i=x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n</math>

Jika semua suku identik, barisan darab setara dengan eksponensial.

:<math>\prod_{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot\ldots\cdot x=x^n</math>

:<math>\prod_{i=1}^{n}e=e\cdot e\cdot\ldots\cdot e=e^n</math>

:<math>\prod_{i=1}^{n}{x_iy_i}=\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)\left(\prod_{i=1}^{n}y_i\right)=x_1y_1\cdot x_2y_2\cdot\ldots\cdot x_ny_n</math>

:<math>\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^a=\prod_{i=1}^{n}x_i^a=x_1^a\cdot x_2^a\cdot\ldots\cdot x_n^a</math>

:<math>\prod_{i=1}^{n}e^{x_i}=e^{\sum_{i=1}^{n}x_i}</math>

===Perkalian takhingga===
{{Main|Perkalian tak hingga}}
Untuk mempertimbangkan perkalian dari banyak istilah yang tak hingga; ini disebut [[perkalian takhingga]]. Secara notasi, ini terdiri dari penggantian ''n'' atas dengan [[Tak hingga|simbol takhingga]] ∞. Hasil kali barisan tak hingga tersebut didefinisikan sebagai [[batas barisan|batas]] dari hasil kali suku <math>n</math> pertama, karena <math>n</math> tumbuh tanpa batas. Maka, itu adalah,
:<math>\prod_{i=m}^\infty x_i = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^n x_i.</math>

Untuk mengganti ''m'' dengan tak hingga negatif, dan mendefinisikan:
:<math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n x_i\right),</math>
asalkan kedua batas itu ada.

==Sifat==
[[Gambar:Multiplication chart.svg|thumb|right|Perkalian angka 0–10. Label garis = perkalian. Sumbu X = pengali. sumbu Y = produk.<br>Perluasan pola ini ke kuadran lain memberikan alasan mengapa bilangan negatif dikalikan bilangan negatif menghasilkan bilangan positif.<br>Perhatikan juga bagaimana perkalian dengan nol menyebabkan pengurangan dimensi, seperti halnya perkalian dengan [[matriks tunggal]] dimana [[determinan]] adalah 0. Dalam proses ini, informasi hilang dan tidak dapat diperoleh kembali.]]
Untuk bilangan [[bilangan real|real]] dan [[bilangan kompleks|kompleks]], yang mencakup misalnya [[bilangan asli]], [[bilangan bulat]], dan [[bilangan rasional|pecahan]], perkalian memiliki sifat-sifat tertentu:

;[[Sifat komutatif]]
:Urutan perkalian dua angka:
::<math>x\cdot y = y\cdot x.</math>

;[[Sifat asosiatif]]
:Ekspresi yang hanya melibatkan perkalian atau penambahan adalah invarian sehubungan dengan [[urutan operasi]]:
::<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math>

;[[Sifat distributif]]
:Berlaku dengan perkalian atas penambahan. Identitas ini sangat penting dalam menyederhanakan ekspresi aljabar:
::<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math>

;[[Elemen identitas]]
:Identitas perkalian adalah 1; sesuatu dikalikan dengan 1 adalah dirinya sendiri. Fitur 1 ini dikenal sebagai '''sifat identitas''':
::<math>x\cdot 1 = x</math>

;[[Elemen penyerap|Sifat 0]]
:Setiap angka dikalikan dengan 0 adalah 0. Ini dikenal sebagai '''sifat nol''' dari perkalian:
::<math>x\cdot 0 = 0</math>

;[[Aditif invers|Negasi]]
:−1 kali angka berapa pun sama dengan '''[[aditif invers]]''' dari angka tersebut.
::<math>(-1)\cdot x = (-x)</math> dimana <math>(-x)+x=0</math>

:–1 kali –1 adalah 1.
::<math>(-1)\cdot (-1) = 1</math>

;[[Elemen invers]]
:Setiap bilangan ''x'', [[pembagian dengan nol|kecuali 0]], memiliki '''[[perkalian invers]]''', <math>\frac{1}{x}</math>, sehingga <math>x\cdot\left(\frac{1}{x}\right) = 1</math>.

;[[Teori order|Urutan]] kelestarian
:Perkalian dengan bilangan positif mempertahankan [[Teori order|urutan]]:
::Untuk {{nowrap|''a'' > 0}}, jika {{nowrap|''b'' > ''c''}} maka {{nowrap|''ab'' > ''ac''}}.
:Perkalian dengan bilangan negatif membalik urutan:
::Untuk {{nowrap|''a'' < 0}}, jika {{nowrap|''b'' > ''c''}} maka {{nowrap|''ab'' < ''ac''}}.
:[[Bilangan kompleks]] tidak memiliki urutan.

Sistem matematika lain yang menyertakan operasi perkalian mungkin tidak memiliki semua sifat ini. Misalnya, perkalian pada umumnya tidak bersifat komutatif untuk [[Matriks (matematika)|matriks]] dan [[kuaternion]].

==Aksioma==
{{Main|Aksioma Peano}}
Dalam buku ''[[Arithmetices principia, nova methodo exposita]]'', [[Giuseppe Peano]] mengusulkan aksioma untuk aritmatika berdasarkan aksiomanya untuk bilangan asli.<ref>{{cite web |url=http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html |title=Peano arithmetic |publisher=[[PlanetMath]] |access-date=2007-06-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070819031025/http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html |archive-date=2007-08-19 |url-status=live }}</ref> Aritmetika Peano memiliki dua aksioma untuk perkalian:
:<math>x \times 0 = 0</math>
:<math>x \times S(y) = (x \times y) + x</math>

Di sisi lain, ''S''(''y'') mewakili [[Ordinal penerus|penerus]] dari ''y'', atau bilangan asli yang ''mengikuti'' ''y''. Berbagai sifat seperti asosiatif dapat dibuktikan dari ini dan aksioma aritmetika Peano lainnya termasuk [[Induksi matematika|induksi]]. Misalnya ''S''(0), dilambangkan dengan 1, adalah identitas perkalian karena
:<math>x \times 1 = x \times S(0) = (x \times 0) + x = 0 + x = x</math>

Aksioma untuk [[bilangan bulat]] biasanya mendefinisikannya sebagai kelas ekuivalen dari [[pasangan terurut]] dari bilangan asli. Model ini didasarkan pada memperlakukan (''x'',''y'') setara dengan {{nowrap|''x'' − ''y''}} ketika ''x'' dan ''y'' sebagai bilangan bulat. Jadi (0,1) dan (1,2) ekuivalen dengan −1. Aksioma perkalian untuk bilangan bulat yang didefinisikan dengan cara ini adalah
:<math>(x_p,\, x_m) \times (y_p,\, y_m) = (x_p \times y_p + x_m \times y_m,\; x_p \times y_m + x_m \times y_p)</math>

Aturan bahwa −1 × −1 = 1 kemudian dapat disimpulkan dari
:<math>(0, 1) \times (0, 1) = (0 \times 0 + 1 \times 1,\, 0 \times 1 + 1 \times 0) = (1,0)</math>

Perkalian diperluas dengan cara yang mirip dengan [[bilangan rasional]] dan kemudian ke [[bilangan real]].

== Perkalian dengan teori himpunan ==
Produk bilangan bulat non-negatif dapat didefinisikan dengan [[teori himpunan]] menggunakan [[Bilangan kardinal#Perkalian kardinal|bilangan kardinal]] atau [[Aksioma Peano#Aritmetika|aksioma Peano]]. Lihat [[#Perkalian berbagai jenis bilangan|di bawah]] cara memperluasnya ke perkalian bilangan bulat arbitrer, dan kemudian bilangan rasional arbitrer. Produk bilangan real didefinisikan dalam hal produk bilangan rasional, lihat [[konstruksi bilangan real]].

==Perkalian dalam teori grup==<!--terhubung dari bawah-->
Terdapat berbagai himpunan, dibawah operasi perkalian, memenuhi aksioma yang mendefinisikan struktur [[grup (matematika)|grup]]. Aksioma tersebut adalah penutupan, asosiatif, dan penyertaan elemen identitas dan invers.

Contoh sederhana adalah himpunan bukan nol [[bilangan rasional]]. Apabila memiliki identitas 1, sebagai lawan dari grup dibawah penambahan dimana identitas biasanya 0. Perhatikan bahwa dengan rasional, mengecualikan nol karena dibawah perkalian, tidak memiliki invers: tidak ada bilangan rasional yang dikalikan dengan nol untuk menghasilkan 1. Dalam contoh ini kita memiliki [[grup abelian]], tetapi tidak selalu demikian.

Untuk melihat ini, pertimbangkan himpunan [[matriks persegi]] inversi dari dimensi tertentu atas [[medan (matematika)|medan]] yang diberikan. Di sini, sangat mudah untuk memverifikasi penutupan, asosiasi, dan penyertaan identitas ([[matriks identitas]]) dan invers. Namun, [[perkalian matriks]] tidak komutatif, yang menunjukkan bahwa grup ini non-abelian.

Fakta lain yang perlu diperhatikan adalah bahwa bilangan bulat di bawah perkalian bukanlah grup—bahkan apabila jika mengecualikan nol. Hal ini mudah terlihat dengan tidak adanya invers untuk semua elemen selain 1 dan −1.

Perkalian dalam teori grup biasanya dinotasikan dengan titik, atau dengan penjajaran (penghilangan simbol operasi antar elemen). Jadi perkalian elemen '''a''' dengan elemen '''b''' dinotasikan sebagai '''a''' <math>\cdot</math> '''b''' atau ''' ab'''. Saat merujuk ke grup melalui indikasi set dan operasi, titik digunakan. Misalnya, contoh pertama kami dapat ditunjukkan oleh <math>\left( \mathbb{Q}/ \{ 0 \} ,\, \cdot \right)</math>.

==Perkalian berbagai jenis bilangan==<!--linked from above-->
Bilangan dapat ''menghitung'' (3 apel), ''mengurutkan'' (apel ke-3), atau ''mengukur'' (tinggi 3,5 kaki); karena sejarah matematika telah berkembang dari menghitung dengan jari menjadi pemodelan mekanika kuantum, perkalian telah digeneralisasi ke jenis bilangan yang lebih rumit dan abstrak, dan untuk hal-hal yang bukan bilangan (seperti [[Matriks (matematika)|matriks]]) atau yang tidak terlalu mirip dengan bilangan (seperti [[kuaternion]]).

;Bilangan bulat
:<math>N\times M</math> adalah jumlah salinan ''N'' dari ''M'' ketika ''N'' dan ''M'' adalah bilangan bulat positif. Ini memberikan jumlah hal dalam himpunan lebar ''N'' dan tinggi ''M''. Generalisasi ke bilangan negatif dapat dilakukan dengan
:<math>N\times (-M) = (-N)\times M = - (N\times M)</math> dan
:<math>(-N)\times (-M) = N\times M</math>
:Aturan tanda yang sama berlaku untuk bilangan rasional dan bilangan real.

;[[Bilangan rasional]]
:Generalisasi pecahan <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D}</math> adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut masing-masing: <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D} = \frac{(A\times C)}{(B\times D)}</math>. Ini memberikan luas persegi panjang <math>\frac{A}{B}</math> tinggi dan <math>\frac{C}{D}</math> lebar, dan sama dengan jumlah hal dalam himpunan ketika bilangan rasional kebetulan adalah bilangan bulat.

;[[Bilangan real]]
:Bilangan real dan darabnya [[Konstruksi dari bilangan real#Konstruksi dari barisan Cauchy|dapat didefinisikan dalam barisan bilangan rasional]].

;[[Bilangan kompleks]]
:Mempertimbangkan bilangan kompleks <math>z_1</math> dan <math>z_2</math> sebagai pasangan terurut dari bilangan real <math>(a_1, b_1)</math> dan <math>(a_2, b_2)</math>, darab <math>z_1\times z_2</math> adalah <math>(a_1\times a_2 - b_1\times b_2, a_1\times b_2 + a_2\times b_1)</math>. Ini sama dengan real, <math>a_1\times a_2</math>, ketika ''bagian imajiner'' <math>b_1</math> dan <math>b_2</math> adalah nol.

:Secara ekuivalen, menyatakan <math>\sqrt{-1}</math> sebagai <math>i</math>, kita memiliki <math>z_1 \times z_2 = (a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1 \times a_2)+(a_1\times b_2i)+(b_1\times a_2i)+(b_1\times b_2i^2)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i.</math>

;Generalisasi lebih lanjut
:Lihat [[#Perkalian dalam teori grup|Perkalian dalam teori grup]], atas, dan [[Grup perkalian]], yang misalnya termasuk perkalian matriks. Konsep perkalian sangat umum dan abstrak adalah sebagai [[operasi biner]] "dinotasikan secara perkalian" (kedua) dalam [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]. Contoh gelanggang yang bukan salah satu dari sistem bilangan atas adalah [[gelanggang polinomial]], contohnya: Anda dapat menjumlahkan dan mengalikan polinomial, tetapi polinomial bukanlah bilangan dalam pengertian biasa.

;Pembagian
:Seringkali pembagian, <math>\frac{x}{y}</math>, sama dengan perkalian dengan invers, <math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math> . Perkalian untuk beberapa jenis "bilangan" mungkin memiliki pembagian yang sesuai, tanpa invers; dalam [[ranah integral]] ''x'' mungkin tidak memiliki invers "<math>\frac{1}{x}</math>" tetapi <math>\frac{x}{y}</math> dapat didefinisikan. Dalam [[gelanggang pembagian]] adalah invers, tetapi <math>\frac{x}{y}</math> mungkin ambigu dalam ring non-komutatif karena <math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math> tidak harus sama dengan <math>\left(\frac{1}{y}\right)x</math>.

==Eksponensial==
{{Main|Eksponensial}}
Ketika perkalian diulang, operasi yang dihasilkan dikenal sebagai '''[[eksponensial]]'''. Misalnya, hasil kali tiga faktor dari dua (2×2×2) adalah "dua pangkat tiga", dan dilambangkan dengan 2<sup>3</sup>, dua dengan [[superskrip]] tiga. Dalam contoh ini, angka dua adalah '''basis''', dan tiga adalah '''eksponen'''. Secara umum, eksponen (atau superskrip) menunjukkan berapa kali basis muncul dalam ekspresi, sehingga ekspresi
:<math>a^n = \underbrace{a\times a \times \cdots  \times a}_n</math>

menunjukkan bahwa salinan ''n'' dari basis ''a'' harus dikalikan bersama. Notasi ini dapat digunakan bila perkalian diketahui sebagai [[asosiatif kuasa]].

==Lihat pula==
{{col-begin}}
{{col-break|width=33%}}
* [[Analisis dimensi]]
* [[Algoritma perkalian]]
** [[Algoritma Karatsuba]], untuk jumlah besar
** [[Perkalian Toom–Cook]], untuk bilangan besar
** [[Algoritma Schönhage–Strassen]], untuk bilangan besar
{{col-break|width=33%}}
* [[Tabel perkalian]]
* [[Pengganda biner]], bagaimana komputer ganda
** [[Algoritma perkalian Booth]]
** [[Titik kambang]]
** [[Perkalian tambahan–ganda]]
** [[Pengganda–akumulasi]]
** [[Pohon Wallace]]
{{col-break}}
* [[Perkalian invers]], timbal-balik
* [[Faktorial]]
* [[Kaidah Genaille–Lucas]]
* [[Tulang Napier]]
* [[Perkalian peasant]]
* [[Darab (matematika)]], untuk generalisasi
* [[Kaidah geser]]
{{col-end}}

==Catatan==
{{Reflist}}

==Referensi==
* {{cite book |author=[[Carl Boyer|Boyer, Carl B.]] (revised by [[Uta Merzbach|Merzbach, Uta C.]]) |title=History of Mathematics |publisher=John Wiley and Sons, Inc. |year=1991 |isbn=978-0-471-54397-8 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye }}

==Pranala luar==
* [https://www.cut-the-knot.org/do_you_know/multiplication.shtml Perkalian] dan [http://www.cut-the-knot.org/blue/SysTable.shtml Operasi Aritmetika Dalam Berbagai Sistem Bilangan] di [[cut-the-knot]]
* [https://web.archive.org/web/20120719043305/http://webhome.idirect.com/~totton/suanpan/mod_mult/ Teknik Perkalian Tiongkok Modern pada Sempoa]

{{Aritmetika dasar}}
{{Hiperoperasi}}
{{Authority control}}{{Operator besar}}

[[Kategori:Perkalian| ]]
[[Kategori:Aritmetika dasar]]
[[Kategori:Notasi matematika]]
[[Kategori:Artikel yang memuat pembuktian]]