Lihat sumber Pembagi

[[Berkas:Cuisenaire ten.JPG|jmpl|Pembagi bilangan 10 diilustrasikan dengan [[Cuisenaire rods]]: 1, 2, 5, dan 10]]

Dalam ilmu [[matematika]], '''pembagi''' ({{Lang-en|divisor}}) atau '''faktor''' ({{Lang-en|factor}}) dari suatu [[bilangan bulat]] <math>n</math> adalah suatu bilangan bulat <math>m</math> yang dikalikan dengan bilangan bulat tertentu untuk menghasilkan <math>n</math>, sehingga <math>n</math> merupakan hasil [[perkalian]] <math>m</math>. Dalam kasus tersebut, <math>n</math> '''habis dibagi''' dengan <math>m</math> jika <math>m</math> merupakan pembagi dari <math>n</math>, sehingga <math>n</math> dibagi <math>m</math> tidak menghasilkan sisa (atau sisa pembagian sama dengan 0).

== Definisi ==
Suatu [[bilangan bulat]] <math>n</math> habis dibagi oleh bilangan bulat taknol <math>m</math> jika terdapat bilangan bulat <math>k</math> yang memenuhi <math>n=km</math>. Definisi tersebut dapat dirumuskan sebagai:

: <math>m\mid n</math>

Notasi tersebut dapat dibaca: <math>m</math> membagi <math>n,</math> <math>m</math> adalah pembagi <math>n,</math> <math>m</math> adalah faktor dari <math>n,</math> atau <math>n</math> adalah hasil perkalian <math>m.</math> Jika <math>m</math> tidak membagi <math>n</math>, maka notasinya adalah <math>m\not\mid n.</math>{{sfn|ps=|Hardy|Wright|1960|p=1}}{{sfn|ps=|Niven|Zuckerman|Montgomery|1991|p=4}}

Terdapat dua [[Ekspresi (matematika)|ekspresi matematika]] yang berhubungan dengan definisi tersebut, tergantung pada ketentuan apakah nol diperbolehkan untuk <math>m</math>:
* Jika ekspresi tersebut tidak memuat syarat tambahan untuk <math>m</math>, <math>m \mid 0</math> untuk setiap bilangan bulat <math>m</math>.{{sfn|ps=|Hardy|Wright|1960|p=1}}{{sfn|ps=|Niven|Zuckerman|Montgomery|1991|p=4}}
* Jika ekspresi tersebut mensyaratkan <math>m</math> bukan bilangan nol, <math>m \mid 0</math> untuk setiap bilangan bulat taknol <math>m</math>.{{sfn|ps=|Sims|1984|p=42}}{{sfnp|ps=|Durbin|2009|p=57|loc=Chapter III Section 10}}

== Pengertian umum ==
Pembagi dapat berupa [[Bilangan nyata negatif|bilangan negatif]] atau bilangan positif, meskipun istilah ini umumnya terfokus pada bilangan pembagi positif. Misalnya, angka 4 sebenarnya memiliki enam pembagi, yaitu 1, 2, 4, −1, −2, dan −4, tetapi hanya bilangan positif (1, 2, and 4) yang biasanya disebutkan sebagai pembagi angka 4.

1 dan −1 dapat membagi (atau merupakan pembagi) setiap [[bilangan bulat]]. Setiap bilangan bulat (dan lawan bilangan negatifnya) adalah faktor bilangan itu sendiri. Bilangan bulat yang habis dibagi 2 disebut [[bilangan genap]], dan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 disebut [[bilangan ganjil]].

1, −1, <math>n</math> dan <math>-n</math> disebut '''pembagi trivial''' dari <math>n</math>, sedangkan pembagi <math>n</math> yang bukan merupakan pembagi trivial disebut '''pembagi nontrivial'''.{{refn|{{cite web| url = https://perso.crans.org/cauderlier/org/ITP17_draft.pdf| title = FoCaLiZe and Dedukti to the Rescue for Proof Interoperability by Raphael Cauderlier and Catherine Dubois}}}} Bilangan bulat taknol yang memiliki setidaknya satu pembagi nontrivial disebut [[bilangan komposit]]. Angka −1 dan 1 serta [[bilangan prima]] tidak memiliki pembagi nontrivial.

[[Aturan keterbagian]] dapat memprediksi pembagi-pembagi tertentu dari suatu bilangan dengan melihat angkanya.

== Contoh ==
[[Berkas:Highly_composite_numbers.svg|jmpl|250px|Plot bilangan pembagi bilangan bulat dari 1 sampai 1000. [[Bilangan prima]] mempunyai tepat dua pembagi, dan [[:en:highly composite number|bilangan yang sangat komposit]] dalam huruf tebal.]]
* 7 adalah pembagi dari 42 karena <math>7 \times 6 = 42</math>, sehingga dapat dikatakan <math>7 \mid 42</math>. Dapat pula dikatakan bahwa 42 habis dibagi 7, 42 adalah hasil perkalian 7, 7 dapat membagi 42, atau 7 adalah faktor dari 42.
* Pembagi nontrivial dari 6 adalah 2, −2, 3, −3.
* Pembagi positif dari 42 adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
* <math>5 \mid 0</math>, karena <math>5 \times 0 = 0</math>.
* [[Himpunan]] semua faktor 60, <math>A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \}</math>, yang jika [[Himpunan terurut parsial|diurutkan secara parsial]] berdasarkan [[Aturan keterbagian|keterbagian]] (''divisibility''), dapat ditampilkan sebagai berikut dengan [[diagram Hasse]]:

[[Berkas:Lattice of the divisibility of 60; factors.svg|pus|350px]]

== Pembahasan lanjutan<!-- Perfect number links here. --> ==
Sejumlah kaidah dasar yang berhubungan dengan pembagi adalah sebagai berikut.

* Jika <math>a \mid b</math> dan <math>b \mid c</math>, maka <math>a \mid c</math>. Kaidah tersebut termasuk [[relasi transitif]].
* Jika <math>a \mid b</math> dan <math>b \mid a</math>, maka <math>a = b</math> atau <math>a = -b.</math>
* Jika <math>a \mid b</math> dan <math>a \mid c,</math> maka <math> a \mid (b + c)</math> berlaku, seperti halnya <math> a \mid (b - c).</math>{{efn|<math>a \mid b,\, a \mid c</math> <math>\Rightarrow \exists j\colon ja=b,\, \exists k\colon ka=c</math> <math>\Rightarrow \exists j,k\colon (j+k)a=b+c</math> <math>\Rightarrow a \mid (b+c).</math> Demikian pula, <math>a \mid b,\, a \mid c</math> <math>\Rightarrow \exists j\colon ja=b,\, \exists k\colon ka=c</math> <math>\Rightarrow \exists j,k\colon (j-k)a=b-c</math> <math>\Rightarrow a \mid (b-c).</math>}} Namun, jika <math>a \mid b</math> dan <math>c \mid b,</math> maka <math>(a + c) \mid b</math> ''tidak'' selalu berlaku (misalnya, <math>2\mid6</math> dan <math>3 \mid 6</math>, tapi <math>5\not\mid 6.</math>).

Jika <math>a \mid bc</math> dan <math>\gcd(a, b) = 1</math>{{efn|<math>\gcd</math> merujuk pada [[faktor persekutuan terbesar]] (FPB).}}, maka <math>a \mid c</math>. Kaidah ini disebut [[Lemma Euklidean]].

Jika <math>p</math> merupakan [[bilangan prima]] dan <math>p \mid ab</math>, maka <math>p \mid a</math> atau <math>p \mid b.</math>

Bilangan pembagi postif <math>n</math> yang tidak sama dengan <math>n</math> disebut '''{{vanchor|pembagi sejati}}''' atau '''{{vanchor|bagian alikuot}}''' dari <math>n</math> (misalnya, pembagi sejati bilangan 6 ialah 1, 2, and 3). Bilangan yang tidak habis membagi <math>n</math> melainkan menyisakan sisa pembagian terkadang disebut '''{{vanchor|bagian alikuan}}''' dari <math>n</math>.

Bilangan bulat <math>n > 1</math> yang hanya memiliki angka 1 sebagai pembagi sejatinya disebut [[bilangan prima]]. Oleh karena itu, bilangan prima didefinisikan sebagai [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] yang memiliki tepat dua bilangan faktor positif, yakni angka 1 dan dirinya sendiri.

Suatu pembagi positif dari bilangan <math>n</math> merupakan [[Darab|darab (hasil kali)]] atas bilangan faktor prima dari <math>n</math> yang dipangkatkan. Kaidah ini merupakan akibat dari [[teorema dasar aritmetika]].

Bilangan <math>n</math> merupakan [[bilangan sempurna]] jika bilangan tersebut sama dengan hasil jumlah pembagi sejatinya, merupakan [[bilangan defisien]] jika hasil jumlah pembagi sejatinya kurang dari <math>n,</math> atau merupakan [[bilangan berlimpah]] jika hasil jumlah tersebut lebih dari <math>n.</math>
<!--
The total number of positive divisors of <math>n</math> is a [[multiplicative function]] <math>d(n),</math> meaning that when two numbers <math>m</math> and <math>n</math> are [[relatively prime]], then <math>d(mn)=d(m)\times d(n).</math> For instance, <math>d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)</math>; the eight divisors of 42 are 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 and 42. However, the number of positive divisors is not a totally multiplicative function: if the two numbers <math>m</math> and <math>n</math> share a common divisor, then it might not be true that <math>d(mn)=d(m)\times d(n).</math> The sum of the positive divisors of <math>n</math> is another multiplicative function <math>\sigma (n)</math> (for example, <math>\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42</math>). Both of these functions are examples of [[Divisor function|divisor functions]].

{{anchor|number_of_divisors_formula}}If the [[prime factorization]] of <math>n</math> is given by

: <math> n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k} </math>

then the number of positive divisors of <math>n</math> is

: <math> d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_k + 1), </math>

and each of the divisors has the form

: <math> p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_k^{\mu_k} </math>

where <math> 0 \le \mu_i \le \nu_i </math> for each <math>1 \le i \le k.</math>

For every natural <math>n,</math> <math>d(n) < 2 \sqrt{n}.</math>

Also,{{sfn|Hardy|Wright|1960|ps=|p=264|loc=Theorem 320}}

: <math>d(1)+d(2)+ \cdots +d(n) = n \ln n + (2 \gamma -1) n + O(\sqrt{n}),</math>

where <math> \gamma </math> is [[Euler–Mascheroni constant]]. One interpretation of this result is that a randomly chosen positive integer ''n'' has an average number of divisors of about <math>\ln n.</math> However, this is a result from the contributions of [[Highly composite number|numbers with "abnormally many" divisors]].
-->
== Lihat pula ==
* [[Fungsi aritmetik]]
* [[Kaidah divisibilitas]]
* [[Fungsi pembagi]]
* [[Algoritme Euclid]]
* [[Pecahan]]
* [[Tabel pembagi]]—Sebuah tabel pembagi bilangan prima dan bilangan non-prima untuk 1–1000
* [[Tabel faktor bilangan prima]]—A table of prime factors for 1–1000

== Referensi ==
{{reflist}}

== Pustaka ==
* {{cite book|last=Durbin|first=John R.|title=Modern Algebra: An Introduction|edition=3rd|year=1992|publisher=Wiley|location=New York|isbn=0-471-51001-7|url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000258.html}}
* [[Richard K. Guy]], ''Unsolved Problems in Number Theory'' (3rd ed), [[Springer Verlag]], 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.
* {{citation |first=I. N. |last=Herstein |title=Abstract Algebra |year=1986 |publisher=Macmillan Publishing Company |place=New York |isbn=0-02-353820-1}}
* [[Øystein Ore]], Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
* {{citation |first=Charles C. |last=Sims |title=Abstract Algebra: A Computational Approach |year=1984 |publisher=John Wiley & Sons |place=New York |isbn=0-471-09846-9}}

{{Divisor classes}}
{{Fractions and ratios}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Teori bilangan]]
[[Kategori:Matematika]]