Lihat sumber Pangkat dua

{{redirect3|²|Merupakan bilangan "[[2 (angka)|2]]" [[superskrip]]}}

[[Berkas:Five_Squared.svg|ka|jmpl|168px<!-- at 160px and 200px lines render with unequal widths
-->|{{math|5⋅5}}, atau {{math|5<sup>2</sup>}} (5 kuadrat atau 5 pangkat 2), dapat ditunjukkan dalam bentuk grafik menggunakan suatu [[bujursangkar]]. Setiap blok mewakili satu unit, {{math|1⋅1}}, dan seluruh bujursangkar mewakili {{math|5⋅5}}, atau luas bujursangkar.]]
'''Pangkat dua''' atau '''bilangan kuadrat''' ({{lang-en|square}}) dalam [[matematika]] adalah hasil [[perkalian]] antara suatu [[bilangan]] dengan bilangan itu sendiri. Kata kerja "memangkatkan dua" atau "mengkuadratkan" merujuk kepada operasi ini. Dalam pelaksanaannya operasi ini sama dengan [[Eksponen|memangkatkan]] dengan bilangan&nbsp;[[2 (angka)|2]], dan dilambangkan dengan angka 2 dalam posisi [[superskrip]]. Misalnya kuadrat dari 3 dapat ditulis 3<sup>2</sup>, yang sama dengan bilangan 9. Dalam sejumlah kasus di mana penayangan superskrip tidak dimungkinkan, misalnya pada [[bahasa pemrograman]] atau [[teks biasa]], notasi <kbd>''x''^2</kbd> atau <kbd>''x''**2</kbd> dapat digunakan untuk menggantikan <kbd>''x''<sup>2</sup></kbd>.

Hasil pangkat dua suatu [[bilangan bulat]] dapat juga disebut "bilangan kuadrat" atau "kuadrat sempurna". Dalam [[aljabar]], operasi pengkuadratan banyak diperumum ke [[polinomial]], [[Ekspresi (matematika)|ekspresi]] lain, atau bentuk-bentuk dalam sistem matematika yang tidak menyertakan angka. Misalnya, pangkat dua dari [[fungsi linear]] {{math|''x'' + 1}} adalah [[Fungsi kuadrat|polinomial kuadrat]] {{math|''x''<sup>2</sup> + 2''x'' + 1}}.

Salah satu sifat penting dari kuadrat, pada semua bilangan maupun pada banyak sistem matematika lainnya, adalah bahwa untuk setiap {{mvar|x}} (dapat berupa bilangan atau objek matematika lainnya), pangkat dua dari {{mvar|x}} memiliki hasil yang sama dengan pangkat dua dari [[Invers aditif|invers aditifnya]], {{math|−''x''}}. Dengan kata lain, fungsi kuadrat memenuhi persamaan {{math|1=''x''<sup>2</sup> = (−''x'')<sup>2</sup>}}. Hal ini mengartikan fungsi kuadrat merupakan suatu [[fungsi genap]].

== Dalam sistem bilangan bulat ==
[[Berkas:The_sum_of_the_first_n_odd_integers_is_n²._1+3+5+...+(2n-1)=n²..gif|jmpl|Hasil penjumlahan ''n'' bilangan ganjil positif pertama adalah ''n''<sup>2</sup>. {{nowrap|1 + 3 + 5 + ... + (2''n'' − 1) {{=}} ''n''<sup>2</sup>}}. Visualisasi bukti secara 3D pada sebuah tetrahedron.]]
Bilangan ''kuadrat sempurna'' adalah bilangan bulat yang merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat lainnya. Sebagai contoh, 9 adalah kuadrat sempurna karena bernilai sama dengan <math>3^2</math>, dan dapat ditulis sebagai <math>3\times3</math>. Pada sistem bilangan real, definisi lain untuk kuadrat sempurna adalah bilangan yang akar kuadratnya merupakan bilangan bulat. Sebagai contoh, 9 adalah bilangan kuadrat karena <math>\sqrt{9} = 3</math> merupakan bilangan bulat.

[[Bilangan asli|Bilangan bulat positif]] yang tidak memiliki [[pembagi]] berupa bilangan kuadrat selain 1, disebut sebagai bilangan ''bebas kuadrat''.

=== Sifat ===
Bilangan <math>m</math> adalah bilangan kuadrat jika dan hanya jika <math>m</math> titik dapat disusun sebagai sebuah persegi seperti berikut:
{| cellpadding="8"
|{{bigmath|1=''m'' = 1<sup>2</sup> = 1}}
|[[Berkas:Square_number_1.png]]
|-
|{{bigmath|1=''m'' = 2<sup>2</sup> = 4}}
|[[Berkas:Square_number_4.png]]
|-
|{{bigmath|1=''m'' = 3<sup>2</sup> = 9}}
|[[Berkas:Square_number_9.png]]
|-
|{{bigmath|1=''m'' = 4<sup>2</sup> = 16}}
|[[Berkas:Square_number_16.png]]
|-
|{{bigmath|1=''m'' = 5<sup>2</sup> = 25}}
|[[Berkas:Square_number_25.png]]
|}
Bentuk untuk bilangan kuadrat ke-<math>n</math> adalah <math>n^2</math>. Bentuk ini sama dengan jumlah <math>n</math> bilangan ganjil (positif) pertama. Seperti pada gambar di atas, bilangan kuadrat baru dapat dihasilkan dari bilangan kuadrat  dengan menambahkan sejumlah ganjil titik baru (ditandai dengan warna ungu). Secara matematis, visualisasi tersebut menunjukkan hubungan <math display="block">n^2 = \sum_{k=1}^n (2k-1).</math> Sebagai contoh, {{math|1=5<sup>2</sup> = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9}}. Fakta <math>n^2</math> adalah bilangan kuadrat ke-<math>n</math> juga menyimpulkan bahwa terdapat  <math>\lfloor \sqrt{n} \rfloor</math> bilangan kuadrat sempurna diantara 1 sampai (dan termasuk) <math>m</math>, dengan notasi <math>\lfloor x \rfloor</math> menyatakan [[Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil|fungsi lantai]] dari <math>x</math>.
Sifat lain dari bilangan kuadrat sempurna (selain 0) adalah mereka memiliki pembagi positif dengan jumlah yang ganjil, sedangkan bilangan bulat lainnya memiliki jumlah yang genap.

[[Teorema empat-kuadrat Lagrange]] menyatakan bahwa setiap bilangan bulat positif dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari empat (atau kurang) bilangan kuadrat sempurna. Jumlah dari tiga kuadrat sempurna tidak dapat menghasilkan bilangan berbentuk {{math|4<sup>''k''</sup>(8''m'' + 7)}}.<ref>{{Cite book|last=Garge|first=Anuradha S.|date=Desember 2012|url=https://cdn.azimpremjiuniversity.edu.in/apuc3/media/publications/downloads/magazine/AtRiA_Vol-1_No.-2_Dec-2012_English_Decimal-Fraction_2023-03-29-105121_lmjw.pdf|title=At Right Angles|publisher=Azim Premji University, Community Mathematics Centre, Rishi Valley|editor-last=Shirali|editor-first=Shailesh|volume=1|pages=5-9|editor-last2=Titus|editor-first2=Sneha|url-status=live}}</ref> Bilangan bulat positif dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dua kuadrat sempurna ketika [[Faktorisasi prima|faktorisasi primanya]] tidak mengandung pangkat ganjil dari [[bilangan prima]] berbentuk {{math|4''k'' + 3}}.<ref>{{cite book|last=Dudley|first=Underwood|year=1969|url=https://archive.org/details/ElementaryNumberTheory|title=Elementary Number Theory|publisher=W.H. Freeman and Company|pages=135–139|chapter=Sums of Two Squares|author-link=Underwood Dudley|chapter-url=https://archive.org/details/ElementaryNumberTheory/page/n145/mode/2up|url-status=dead}}</ref> Hubungan ini dapat diperumum menjadi [[masalah Waring]].

Secara umum, jika bilangan prima <math>p</math> membagi suatu kuadrat sempurna <math>m</math>, maka kuadrat dari <math>p</math> juga membagi <math>m</math>. Dalam bentuk lain, jika {{mvar|p}} tidak dapat membagi {{math|{{sfrac|''m''|''p''}}}}, maka <math>m</math> pasti bukan bilangan kuadrat sempurna. Dengan menggunakan sifat pembagian ini secara berulang, dapat disimpulkan setiap bilangan prima akan membagi suatu kuadrat sempurna dengan sebanyak genap kali (termasuk sebanyak 0 kali). Akibatnya, bilangan <math>m</math> adalah kuadrat sempurna [[jika dan hanya jika]] semua ekponen pada [[Teorema dasar aritmetika#representasi kanonik|representasi kanoniknya]] merupakan bilangan genap.

Uji kekuadratan dapat digunakan sebagai cara alternatif [[faktorisasi]] bilangan berukuran besar. Daripada menguji keterbagian, uji sifat kekuadratan bilangan: untuk suatu {{mvar|m}} dan bilangan&nbsp;{{mvar|k}}, jika {{math|''k''<sup>2</sup> − ''m''}} adalah kuadrat dari suatu bilangan bulat &nbsp;{{mvar|n}} maka {{math|''k'' − ''n''}} membagi {{mvar|m}}. Sebagai contoh, {{math|100<sup>2</sup> − 9991}} adalah kuadrat dari 3, akibatnya {{math|100 − 3}} membagi 9991. Uji ini bersifat deterministik untuk pembagi ganjil yang berada di [[Selang (matematika)|selang]] {{math|''k'' − ''n''}} sampai {{math|''k'' + ''n''}}, dengan {{mvar|k}} adalah bilangan bulat yang memenuhi <math>k \geq \sqrt{m}.</math>

Bilangan kuadrat sempurna tidak dapat berupa [[bilangan sempurna]].

Jumlah dari <math>n</math> kuadrat sempurna pertama memenuhi hubungan<math display="block">\sum_{n=0}^N n^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \cdots + N^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.</math>Bilangan-bilangan ini disebut ''bilangan piramida persegi'' {{OEIS|id=A000330}}, dengan beberapa nilai pertamanya adalah:
<blockquote>0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...</blockquote>Jumlah dari <math>n</math> bilangan [[Pangkat tiga|kubik]] pertama sama dengan kuadrat dari jumlah <math>n</math> bilangan positif pertama. Hubungan ini dikenal dengan [[teorema Nicomachu]].

== Dalam teori bilangan dan aljabar abstrak ==
{{See also|Residu kuadratik}}

Konsep pengkuadratan berperan penting dalam [[Medan hingga|lapangan hingga]] <math>\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}</math>, yang dibentuk dari bilangan-bilangan bulat [[Operasi modulus|modulo]] [[bilangan prima]] ganjil <math>p</math>. Elemen tak-nol dari lapangan ini disebut ''[[residu kuadratik]]'' jika ia merupakan kuadrat di <math>\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}</math>, dan selain itu disebut ''nonresidu kuadratik''. Nol, walau merupakan kuadrat, tidak dianggap sebagai residu kuadratik. Setiap lapangan hingga jenis ini memiliki tepat <math>(p-1)/2</math> residu kuadratik dan tepat <math>(p-1)/2</math> nonresidu kuadratik. Residu-residu kuadratik membentuk sebuah [[Grup (matematika)|grup]] terhadap perkalian. Sifat-sifat dari residu kuadrat banyak digunakan dalam [[teori bilangan]].

Fungsi kuadrat terdefinisi di sembarang [[Lapangan (matematika)|lapangan]] maupun [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]]. Elemen dari hasil pemetaan dari fungsi ini disebut ''kuadrat'', sedangkan [[elemen invers]] pemetaannya disebut ''[[akar kuadrat]]''. Lebih umum, fungsi kuadrat pada gelanggang yang berbeda dapat memiliki sifat-sifat yang berbeda, yang dapat digunakan untuk mengklasifikasikan gelanggang.

Elemen nol mungkin merupakan kuadrat dari suatu elemen tak-nol. [[Gelanggang komutatif]] yang setiap kuadrat elemen tak-nolnya tidak bernilai nol, disebut dengan [[gelanggang tereduksi]]. Secara umum, [[ideal radikal]] adalah [[Ideal (teori gelanggang)|ideal]] <math>I</math> yang memenuhi sifat: <math>x^2 \in I</math> mengakibatkan <math>x \in I</math>.

Elemen gelanggang yang bernilai sama dengan kuadratnya sendiri disebut [[idempoten]]. Pada sembarang gelanggang, 0 dan 1 bersifat idempoten. Selain dua elemen tersebut, tidak ada idempoten lain pada lapangan (dan secara umum pada [[Ranah integral|domain integral]]). Tapi, pada gelanggang dari bilangan-bilangan bulat modulo <math>n</math> akan terdapat sebanyak <math>2^k</math> idempoten, dengan <math>k</math> adalah banyaknya faktor prima unik dari <math>n</math>.  Gelanggang komutatif yang setiap elemennya sama dengan kuadratnya disebut dengan [[gelanggang Boolean]].

Pada [[Gelanggang terurut|gelanggang terurut total]], berlaku {{math|''x''<sup>2</sup> ≥ 0}} untuk sembarang {{mvar|x}}. Lebih lanjut {{math|1=''x''<sup>2</sup> = 0}} berlaku jika dan hanya jika  {{math|1=''x'' = 0}}.

== Dalam sistem bilangan real ==
[[Berkas:Parabola2.svg|jmpl|266x266px|Kurva [[fungsi kuadrat]] {{math|1=''y'' = ''x''<sup>2</sup>}} mempunyai bentuk [[parabola]]. Hasil pangkat dua angka-angkanya membentuk suatu [[hukum kuadrat]].]]
Pada [[Bilangan riil|bilangan real]], fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai [[Peta (matematika)|pemetaan]] dari himpunan bilangan real ke himpunan bilangan real nonnegatif. Fungsi kuadrat melestarikan tatanan bilangan-bilangan positif: bilangan yang lebih besar mempunyai nilai kuadrat yang lebih besar. Dengan kata lain, pengkuadratan merupakan suatu [[fungsi monotonik]] pada [[Interval (matematika)|interval]] {{tutup-buka|0, +∞}}. Sedangkan pada bilangan-bilangan negatif, bilangan-bilangan yang nilai absolutnya lebih besar mempunyai nilai kuadrat yang lebih besar, sehingga pengkuadratan merupakan suatu fungsi yang menurun secara monotonik pada interval {{buka-tutup|−∞,0}}. Kedua hal tersebut mengartikan bilangan [[nol]] merupakan nilai [[minimum]] global dari fungsi kuadrat. Hanya pada kasus tertentu didapatkan pengkuadratan suatu bilangan {{mvar|x}} menghasilkan bilangan yang lebih kecil dari {{mvar|x}}, yaitu ketika {{math|0 < ''x'' < 1}}. Kasus ini menyiratkan bahwa pengkuadratan suatu bilangan bulat tidak pernah bernilai lebih kecil daripada bilangan bulat tersebut.

Setiap [[bilangan real]] positif merupakan kuadrat dari dua bilangan, yang satu positif dan yang lain negatif. Bilangan [[nol]] hanya merupakan kuadrat dari satu bilangan saja, yakni nol itu sendiri. Karenanya, dimungkinkan untuk mendefinisikan fungsi [[akar kuadrat]], yang memadankan bilangan real non-negatif <math>y</math> dengan bilangan nonnegatif <math>x</math> yang kuadratnya sama dengan <math>y</math>.

Bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat dalam sistem bilangan real, karena sifat kuadrat dari sembarang bilangan real bernilai nonnegatif. Ketidakadaan akar kuadrat untuk bilangan negatif dapat digunakan untuk memperumum sistem bilangan real menjadi [[Bilangan kompleks|sistem bilangan kompleks]]. Perumuman ini dapat dilakukan dengan mendefinisikan suatu [[unit imajiner]] <math>i</math>, yang nilainya sama dengan akar kuadrat dari -''&nbsp;''1. Sifat kuadrat pada sistem bilangan real juga dapat diperumum ke konsep ''lapangan real tertutup'', yakni [[lapangan terurut]] yang setiap elemen nonnegatifnya merupakan kuadrat dan setiap polinomial berderajat ganjil memiliki sebuah akar. Lapangan real tertutup tidak dapat dibedakan dari sistem bilangan real hanya dari sifat-sifat aljabar mereka. Hal ini mengartikan setiap sifat sistem bilangan real yang dapat dinyatakan lewat [[Logika predikat tingkat pertama|logika tingkat-pertama]] juga berlaku bagi sembarang lapangan real tertutup, dan sebaliknya.

== Dalam sistem bilangan kompleks ==
{{see also|Eksponensiasi#Eksponensial kompleks}}Kuadrat dari [[nilai absolut]] suatu bilangan kompleks disebut dengan ''kuadrat absolut'' atau ''modulus kuadrat.''<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Absolute Square|url=https://mathworld.wolfram.com/AbsoluteSquare.html|website=mathworld.wolfram.com}}</ref>{{better source|date=April 2023}} Kuadrat ini dihasilkan dari perkalian bilangan kompleks dengan [[Konjugat kompleks|konjugat kompleksnya]], dan nilainya sama dengan jumlah dari kuadrat bagian real dan bagian imajiner dari bilangan kompleks tersebut. Kuadrat absolut dari sembarang bilangan kompleks selalu bernilai nonnegatif, dan bernilai 0 hanya ketika bilangan kompleksnya adalah 0. Fungsi ini lebih mudah dihitung ketimbang mencari nilai absolut (tidak menggunakan fungsi akar kuadrat) dan merupakan [[fungsi mulus]] bernilai real. Karena dua sifat ini, fungsi kuadrat absolut cenderung digunakan ketimbang fungsi nilai absolut, dalam komputasi numerik dan ketika metode-metode [[Analisis matematis|analisis matematika]] digunakan (misalnya terkait [[optimisasi]] dan [[Integral|integrasi]]).

== Dalam geometri ==
Terdapat beberapa penggunaan fungsi kuadrat yang umum dalam geometri. Dalam pendefinisian [[luas]] misalnya, luas dari [[persegi]] dengan sisi sepanjang&nbsp;''{{mvar|l}}'' adalah {{math|''l''<sup>2</sup>}}. Luas daerah ini bergantung kuadratik dengan panjang sisi: persegi dengan sisi ''{{mvar|n}}''&nbsp;kali lebih panjang memiliki luas {{math|''n''<sup>2</sup>}}&nbsp;kali lebih besar. Sifat ini juga berlaku pada luas di dimensi tiga; sebagai contoh, luas permukaan [[Bola (geometri)|bola]] sebanding dengan kuadrat panjang radiur bola tersebut. Pada dunia nyata, sifat ini terlihat dalam [[Hukum kuadrat terbalik|hukum kuadrat-terbalik]] yang menjelaskan kekuatan besaran-besaran fisika (kekuatan gravitasi, gaya elektrostatik, intensitas suara) berubah bergantung jarak dari pemancarnya.

Fungsi kuadrat memiliki hubungan dengan besaran [[Jarak Euklides|jarak]] lewat [[teorema Pythagoras]] dan perumumannya, [[hukum jajaran genjang]].

[[Perkalian titik|Hasil kali titik]] dari sembarang [[vektor Euklides]] dengan dirinya sendiri, akan sama dengan kuadrat dari panjang vektor tersebut: <math>\mathbf{v}\cdot \mathbf{v} = \lVert \mathbf{v} \rVert^2</math>. Sifat ini selanjutnya dapat diperumum ke [[bentuk kuadratik]] dalam [[ruang vektor]] dengan menggunakan bantuan [[hasil kali dalam]]. Secara fisik, sifat ini menunjukkan hubungan antara [[momen inersia]] dengan jarak (ukuran) benda.

Terdapat tak hingga banyaknya [[tripel Pythagoras]], yakni pasangan tiga bilangan bulat positif yang kuadrat bilangan terbesarnya sama dengan jumlah dari kuadrat dua bilangan yang lain. Setiap tripel ini menghasilkan [[segitiga siku-siku]] yang panjang setiap sisinya berupa bilangan bulat.

== Penggunaan lainnya ==
Konsep pengkuadratan berperan penting dalam aljabar maupun hampir di semua bidang matematika lainnya, juga dalam [[fisika]]. Bilangan kuadrat dapat diperumum ke beberapa sistem bilangan lainnya. Pada sistem [[bilangan rasional]], bilangan kuadrat dapat didefinisikan sebagai bilangan yang dapat dituliskan sebagai rasio dari dua bilangan bulat kuadrat; sebagai contoh, <math>\textstyle \frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2</math>.

Dalam [[analisis regresi]], metode [[kuadrat terkecil]] umum dipakai dalam sistem ''overdetermined'' (sistem yang memiliki lebih banyak persamaan ketimbang variabel).

Pengkuadratan juga digunakan dalam [[Statistika matematika|statistika]] dan [[teori probabilitas]] dalam menentukan [[simpangan baku]] dari suatu himpunan nilai atau suatu [[variabel acak]]. Penyimpangan setiap nilai&nbsp;''{{mvar|x<sub>i</sub>}}'' dari [[Rata-rata|rerata himpunan]] &nbsp;<math>\overline{x}</math> didefinisikan sebagai deviasi <math>x_i - \overline{x}</math>. [[Varians]] himpunan didefinisikan sebagai rerata dari hasil pengkuadratan setiap deviasi. Sedangkan akar kuadrat dari varians disebut simpangan baku.

== Lihat pula ==
* [[Persamaan kuadrat]]
* [[Pangkat tiga]]
* [[Eksponensiasi dengan kuadrat]]
* [[Polinomial SOS]], representasi dari sebuah polinomial tak negatif sebagai penjumlahan kuadrat polinomial
* [[Masalah ketujuhbelas Hilbert]], untuk representasi [[polinomial positif]] sebagai sebuah penjumlahan kuadrat [[fungsi rasional]]
* [[Polinomial bebas-persegi]]
* [[Tensor metrik]]
* [[Gelanggang polinomial]]

=== Identitas terkait ===
; Aljabar<span style="font-weight:400"> (membutuhkan suatu [[gelanggang komutatif]])</span>
* [[Selisih dua kuadrat]]
* [[Identitas Brahmagupta–Fibonacci]], berkaitan dengan bilangan kompleks [[#.7Cz.7C²|dalam arti yang dibahas di atas]]
* [[Identitas Euler empat kuadrat]], berkaitan dengan [[kuaternion]] dengan cara yang sama
* [[Identitas Degen delapan kuadrat]], berkaitan dengan [[oktonion]] dengan cara yang sama
* [[Identitas Lagrange]]
; Lain-lain
* [[Identitas trigonometrik Pythagoras]]
* [[Identitas Parseval]]

=== Kuantitas fisik terkait ===
* [[Percepatan]], panjang per kuadrat waktu
* [[Penampang lintang (fisika)]], suatu kuantitas berdimensi area
* [[Konstanta kopling]] (mempunyai muatan kuadrat pada penyebut, dan dapat diekspresikan dengan jarak kuadrat pada numerator)
* [[Energi kinetik]] (ketergantungan kuadrat pada kecepatan)
* [[Energi spesifik]], sebuah kuantitas berdimensi (kecepatan kuadrat)

== Referensi ==
{{reflist}}

== Pustaka tambahan ==

* Marshall, Murray Positive polynomials and sums of squares. Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 pp. {{isbn|978-0-8218-4402-1}}, {{isbn|0-8218-4402-4}}
* {{cite book|last=Rajwade|first=A. R.|year=1993|title=Squares|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=0-521-42668-5|series=London Mathematical Society Lecture Note Series|volume=171|zbl=0785.11022}}

* [[J.H. Conway|Conway, J. H.]] and [[R.K. Guy|Guy, R. K.]] ''The Book of Numbers''. New York: Springer-Verlag, pp.&nbsp;30–32, 1996. {{isbn|0-387-97993-X}}
* Kiran Parulekar. ''Amazing Properties of Squares and Their Calculations''. Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC
{{Authority control}}

[[Kategori:Eksponensial]]
[[Kategori:Aljabar]]
[[Kategori:Aritmetika]]