Lihat sumber Monoid

{{short description|Struktur aljabar dengan operasi asosiatif dan elemen identitas}}
{{for|objek monoid dalam teori kategori|Monoid (teori kategori)}}
{{Distinguish|Monad (disambiguasi){{!}}Monad}}
{{Struktur aljabar |grup}}
[[Berkas:Magma to group4.svg|thumb|right|300px|Struktur aljabar antara [[Magma (aljabar)|magma]] dan [[Grup (matematika)|grup]]. Monoid adalah [[semigrop]] dengan identitas.]]
Dalam [[aljabar abstrak]], cabang [[matematika]], '''monoid''' adalah himpunan kompleks dengan [[asosiatif]] [[operasi biner]] dan [[elemen identitas]]

Monoid adalah [[semigrup]] dengan identitas. [[Struktur aljabar]] terjadi di beberapa cabang matematika.

Misal, fungsi dari suatu himpunan membentuk monoid dengan komposisi fungsi. Secara lebih umum, dalam [[teori kategori]], morfisme dari sebuah [[objek (teori kategori)|objek]] dengan membentuk sebuah monoid, dan, sebaliknya, sebuah monoid dapat dipandang sebagai kategori dengan satu objek.

Dalam [[ilmu komputer]] dan [[pemrograman komputer]], himpunan [[string (ilmu komputer)|string]] dari himpunan [[Karakter (komputasi)|karakter]] adalah [[monoid bebas]]. [[Transisi monoid]] dan [[monoid sintaktik]] digunakan untuk mendeskripsikan [[mesin keadaan hingga]]. [[Jejak monoid]] dan [[sejarah monoid]] memberikan dasar untuk [[proses bate]] dan [[komputasi bersamaan]].

Dalam [[ilmu komputer teoretis]], studi tentang monoid sangat penting untuk [[teori automata]] ([[teori Krohn–Rhodes]]), dan [[teori bahasa formal]] ([[masalah ketinggian bintang]]) .

Lihat [[semigrup]] untuk sejarah subjek, dan beberapa sifat umum monoid lainnya.

== Definisi ==

Misalnya ''S'' adalah [[himpunan (matematika)|himpunan]] dan • adalah beberapa [[operasi biner]] {{math|1=''S'' × ''S'' → ''S''}}, maka '' S '' dengan • adalah '''monoid''' jika memenuhi dua aksioma berikut:

; Asosiatif: untuk '' a '', '' b '' dan '' c '' dalam ''S'' dengan persamaan {{math|1=(''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c'')}}.
; Elemen identitas: elemen ''e'' dalam ''S'' untuk setiap elemen ''a'' dalam ''S'' dengan persamaan {{math|1=''e'' • ''a'' = ''a'' • ''e'' = ''a''}}.

Dengan kata lain, monoid adalah [[semigrup]] dengan [[elemen identitas]]. Monoid disebut sebagai [[magma (aljabar)|magma]] dengan asosiasi dan identitas.<ref>Jika ''e''<sub>1</sub> dan ''e''<sub>2</sub> memenuhi persamaan diatas, maka ''e''<sub>1</sub> = ''e''<sub>1</sub> • ''e''<sub>2</sub> = ''e''<sub>2</sub>.</ref> Untuk alasan identitas sebagai [[Konstanta (matematika)|konstanta]], yaitu operasi 0-ari (atau nullari). Oleh karena itu, monoid diartikan sebagai spesifikasi [[rangkap (matematika)|rangkap]] (''S'', • , ''e'').

Bergantung pada konteksnya, simbol untuk operasi biner dapat dihilangkan, maka operasi tersebut dilambangkan dengan penjajaran; misalnya, aksioma monoid ditulis sebagai <math>(ab)c = a(bc)</math> dan <math>ea=ae=a</math>. Notasi tersebut tidak menyiratkan bahwa bilangan yang dikalikan.

Monoid setiap elemen menggunakan [[elemen invers|invers]] adalah [[grup (matematika)|grup]].

== Struktur monoid ==

=== Submonoid ===
'''Submonoid''' dari sebuah monoid {{math|(''M'', •)}} adalah [[himpunan bagian]] ''N'' dari ''M'' dibawah operasi monoid dan elemen identitas ''e'' dari ''M''.{{sfn|Jacobson|2009}}<ref>Beberapa penulis mengabaikan persyaratan bahwa submonoid mengandung elemen identitas dari definisinya, hanya mensyaratkan bahwa ia memiliki elemen identitas ''an'' dibedakan dari elemen identitas ''M''.</ref> Secara simbolis, ''N'' adalah submonoid dari ''M'' jika {{math|''N'' ⊆ ''M''}}, {{math|''x'' • ''y'' ∈ ''N''}} dimana {{math|''x'', ''y'' ∈ ''N''}}, dan {{math|''e'' ∈ ''N''}}. ''N'' dengan monoid dibawah operasi biner yang digunakan dari ''M''.

=== Generator ===
Himpunan bagian ''S'' dari ''M'' sebagai '''generator''' dari ''M'' jika ''M'' adalah himpunan terkecil ''S'' yaitu [[penutupan (matematika)|penutupan]] dibawah operasi monoid, atau ''M'' adalah hasil dari penerapan [[operasi penutupan keuangan]] ke ''S''. Jika generator dari ''M'' kardinalitas hingga, maka ''M'' sebagai '''dihasilkan secara hingga'''. Tidak setiap himpunan ''S'' akan menghasilkan monoid, karena struktur yang dihasilkan tidak memiliki elemen identitas.

=== Monoid komutatif ===
Monoid dimana operasi [[komutatif]] disebut '''monoid komutatif''' (atau '''abelian monoid'''). Monoid komutatif ditulis secara aditif. Setiap monoid komutatif dengan '''aljabar''' [[preorder]] {{math|≤}} ditentukan dari {{math|''x'' ≤ ''y''}} dan ''z'' adalah {{math|1=''x'' + ''z'' = ''y''}}.<ref>{{cite book|first1=Michel |last1=Gondran |first2=Michel |last2=Minoux |title=Graphs, Dioids and Semirings: New Models and Algorithms |year=2008 |location=Dordrecht |publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=978-0-387-75450-5 |zbl=1201.16038 |series=Operations Research/Computer Science Interfaces Series |volume=41 | page=13}}</ref> '''unit-order''' dari monoid komutatif ''M'' adalah elemen ''u'' dari ''M'' maka untuk setiap elemen ''x'' dari ''M'', ''v'' dalam himpunan yang dihasilkan oleh ''u'' adalah {{math|''x'' ≤ ''v''}}. Jika ''M'' adalah [[Grup terurut|kerucut positif]] dari [[himpunan terurut sebagian|terurut sebagian]] untul [[grup abelian]] ''G'', dalam ''u'' adalah unit order ''G''.

=== Monoid sebagian komutatif ===
Monoid dimana operasinya bersifat komutatif untuk semua elemennya adalah [[jejak monoid]]; jejak monoid biasanya terjadi dalam teori [[komputasi bersamaan]].

== Contoh ==
* Dari 16 kemungkinan [[tabel kebenaran#Tabel kebenaran untuk semua operasi logika biner|operasi Boolean biner]] dari empat yang memiliki identitas dua sisi komutatif dan asosiatif dan dengan demikian membuat himpunan {salah, benar} menjadi monoid komutatif. Dibawah definisi standar, [[Relasi logika|AND]] dan [[berdwisyarat logika|XNOR]] menggunakan identitas sedangkan [[Disjungsi eksklusif|XOR]] dan [[Disjungsi logika|OR]] memiliki identitas yang salah. Monoid dari AND dan OR untuk [[idempoten]] dari XOR dan XNOR.
* Himpunan [[bilangan asli]] <math>\N = \{0,1,2,\ldots\}</math> adalah monoid komutatif dibawah penjumlahan (elemen identitas [[0 (bilangan)|0]]) atau perkalian (elemen identitas [[1 (bilangan)|1]]). Submonoid dari {{math|'''N'''}} dibawah penambahan disebut [[monoid numerik]].
* Himpunan [[bilangan bulat positif]] <math>\N \setminus \{0\}</math> adalah monoid komutatif dalam perkalian (elemen identitas 1).
* Diberikan himpunan {{mvar|A}}, himpunan himpunan bagian dari {{mvar|A}} adalah monoid komutatif dibawah (elemen identitasnya adalah {{mvar|A}} sendiri).
* Diberikan himpunan {{mvar|A}}, himpunan bagian dari {{mvar|A}} adalah monoid komutatif dibawah gabungan (elemen identitas adalah [[himpunan kosong]]).
* Generalisasi contoh sebelumnya, setiap [[semikis]] batas adalah monoid komutatif [[idempoten]].
** Secara khusus, setiap [[kisi (order)|kisi]] berbatas dapat diberkahi dengan struktur monoid [[gabungan dan bertemu (matematika)|bertemu]] dan [[gabungan dan bertemu (matematika)|gabungan]]. Elemen identitas adalah bagian atas dan bawah kisi. Karena kisi-kisi, [[Aljabar Heyting]] dan [[Aljabar Boolean (struktur)|Aljabar Boolean]] diberkahi dengan struktur monoid ini.
* Setiap [[himpunan singleton]] {{math|{{mset|''x''}}}} penutupan dibawah operasi biner • bentuk monoid trivial (satu elemen) merupakan [[grup trivial]].
* Setiap [[grup (matematika)|grup]] adalah monoid dan setiap [[grup abelian]] adalah monoid komutatif.
* Semua [[semigrup]] {{mvar|S}} dapat diubah menjadi monoid dengan menggabungkan elemen {{mvar|e}} bukan {{mvar|S}} dan menentukan {{math|1=''e'' • ''s'' = ''s'' = ''s'' • ''e''}} untuk semua {{math|''s'' ∈ ''S''}}. Konversi semigrup di monoid ini dilakukan oleh [[funktor bebas]] antara kategori semigrup dan kategori monoid.<ref>{{citation|title=Teori-q dari Semigrup Hingga: Sebuah Pendekatan Baru|volume=71|series=Springer Monographs in Mathematics|first1=John|last1=Rhodes|first2=Benjamin|last2=Steinberg|publisher=Springer|year=2009|isbn=9780387097817|page=22|url=https://books.google.com/books?id=8L0QIEj0PI4C&pg=PA22}}.</ref>
** Jadi, monoid idempoten (sebagai ''temukan-pertama'') dapat dibentuk dengan menggabungkan elemen identitas {{mvar|e}} ke [[semigrup nol kiri]] diatas himpunan {{mvar|S}}. Monoid (disebut ''temukan-terakhir'') bentuk dari [[grup nol kanan]] diatas {{mvar|S}}.
*** Adjoin dari sebuah identitas {{mvar|e}} ke semigrup kiri-nol dengan dua elemen {{math|{{mset|lt, gt}}}}. Kemudian monoid idempoten dihasilkan {{math|{{mset|lt, ''e'', gt}}}} memodelkan [[urutan leksikografis]] dari suatu urutan yang diberi urutan elemennya, dengan ''e'' mewakili persamaan.
* Himpunan yang mendasari setiap [[gelanggang (aljabar)|gelanggang]], dengan operasi penjumlahan atau perkalian. Menurut definisi, gelanggang memiliki identitas perkalian 1.
** [[Bilangan bulat]], [[bilangan rasional]], [[bilangan riil]], atau [[bilangan kompleks]], dengan operasi penjumlahan atau perkalian.{{sfn|Jacobson|2009|p=29, examples 1, 2, 4 & 5}}
** Himpunan semua {{mvar|n}} oleh {{mvar|n}} [[matriks (matematika)|matriks]] diatas gelanggang tertentu, dengan [[penambahan matriks]] atau [[perkalian matriks]] sebagai operasi.
* Himpunan semua [[string (ilmu komputer)|string]] hingga beberapa alfabet tetap {{math|Σ}} membentuk monoid dengan [[rangkaian string]] sebagai operasinya. [[String kosong]] berfungsi sebagai elemen identitas. Monoid ini dilambangkan {{math|Σ<sup>∗</sup>}} dan disebut '''[[monoid bebas]]''' di atas {{math|Σ}}.
* Diberikan monoid {{math|''M''}}, ''monoid berlawanan'' {{math|''M''<sup>op</sup>}} memiliki himpunan operasi dan elemen identitas yang sama {{math|''M''}}, dan operasi ditentukan oleh {{math|1=''x'' •<sup>op</sup> ''y'' = ''y'' • ''x''}}. [[Monoid komutatif]] adalah kebalikan dari monoid itu sendiri.
* Diberikan dua himpunan {{mvar|M}} dan {{mvar|N}} dengan struktur monoid (atau, secara umum, sejumlah terbatas monoid, {{math|''M''<sub>1</sub>, …, ''M<sub>k</sub>'')}}, [[produk Kartesius]] mereka {{math|''M'' × ''N''}} adalah monoid (masing-masing, {{math|''M<sub>1</sub>'' × ⋯ × ''M<sub>k</sub>''}}). Operasi asosiatif dan elemen identitas ditentukan berpasangan.{{sfn|Jacobson|2009|p=35}}
* Monoid {{math|''M''}}. Himpunan semua fungsi dari himpunan tertentu ke {{math|''M''}} adalah monoid. Elemen identitas adalah [[fungsi konstanta]] yang memetakan nilai ke identitas {{math|''M''}}; operasi asosiatif ditentukan [[sesetitik]].
* Monoid {{math|''M''}} dengan operasi {{math|•}} dan elemen identitas {{mvar|e}}, dan pertimbangkan [[himpunan kuasa]] {{math|''P''(''M'')}} terdiri dari semua [[himpunan bagian]] dari {{math|''M''}}. Operasi biner untuk himpunan bagian tersebut dapat ditentukan dengan {{math|1=''S'' • ''T'' = {{mset| ''s'' • ''t'' : ''s'' ∈ ''S'', ''t'' ∈ ''T'' }}}}. Nilai berubah ke {{math|''P''(''M'')}} menjadi monoid dengan elemen identitas {{math|{{mset|''e''}}}}. Dengan cara yang sama, himpunan kuasa grup {{math|''G''}} adalah monoid di bawah [[produk himpunan bagian grup]].
* Misalkan {{mvar|S}} menjadi satu himpunan. Himpunan semua fungsi {{math|''S'' → ''S''}} membentuk monoid dibawah [[komposisi fungsi]]. Identitas hanyalah [[fungsi identitas]]. Ini disebut sebagai '''[[monoid transformasi penuh]]''' dari {{mvar|S}}. Jika {{mvar|S}} hingga dengan elemen {{mvar|n}}, monoid fungsi pada {{mvar|S}} hingga dengan elemen {{math|''n''<sup>''n''</sup>}}.
* Generalisasi contoh sebelumnya, misalkan {{math|''C''}} menjadi [[kategori (matematika)|kategori]] dan {{math|''X''}} objek {{math|''C''}}. Himpunan dari semua [[endomorfisme]] dari {{math|''X''}}, dilambangkan {{math|End<sub>''C''</sub>(''X'')}}, membentuk monoid dibawah komposisi [[morfisme]]. Untuk lebih lanjut tentang relasi antara teori kategori dan monoid, lihat dibawah.
* Himpunan [[homeomorfisme]] [[Kelas (teori himpunan)|kelas]] dari [[permukaan kompak]] dengan [[jumlah terhubung]]. Elemen unitnya adalah kelas bola-2 biasa. Selanjutnya, jika {{math|''a''}} menunjukkan kelas dari [[torus]], dan ''b'' menunjukkan kelas bidang proyektif, maka setiap elemen ''c'' dari monoid memiliki ekspresi unik berupa {{math|1=''c'' = ''na'' + ''mb''}} dimana {{mvar|n}} adalah bilangan bulat positif dan {{math|1=''m'' = 0, 1}}, atau {{math|2}}. Maka {{math|1=3''b'' = ''a'' + ''b''}}.
* Maka <math>\langle f\rangle</math> menjadi monoid siklik urutan {{mvar|n}}, yaitu <math>\langle f\rangle = \left\{f^0,f^1,\dots,f^{n-1}\right\}</math>. Kemudian <math>f^n = f^k</math> untuk beberapa <math>0 \le k < n</math>. Faktanya, setiap {{mvar|''k''}} tersebut memberikan monoid yang berbeda dengan urutan {{mvar|n}}, dan setiap monoid siklik isomorfik untuk salah satu dari ini.<br/>Selain itu, {{mvar|f}} sebagai fungsi pada titik <math>\{0,1,2,\dots,n-1\}</math> diberikan oleh
:: <math>\begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & k\end{bmatrix}</math>
:atau, secara ekuivalen
:: <math>f(i) := \begin{cases} i+1, & \text{jika }  0 \le i < n-1  \\ k,  & \text{jika } i = n-1. \end{cases} </math>
:Perkalian elemen dalam <math>\langle f\rangle</math>  kemudian diberikan komposisi fungsi.
:Jadi <math>k = 0</math> maka fungsi {{mvar|f}} adalah permutasi dari <math>\{0,1,2,\dots,n-1\},</math> dan [[grup siklik]] unik dari urutan {{mvar|n}}.

== Aksi dan monoid operator ==
{{main|Tindakan monoid}}
Misalkan ''M'' bentuk dari monoid, dengan operasi biner dilambangkan dengan • dan elemen identitas dan dilambangkan dengan ''e''. Maka (kiri) '''''M''-ari''' (atau aksi kiri diatas ''M'') adalah satu himpunan ''X'' dengan operasi {{math|⋅ : ''M'' × ''X'' → ''X''}} yang kompatibel dengan struktur monoid sebagai berikut:
* untuk ''x'' dalam ''X'': {{math|1=''e'' ⋅ ''x'' = ''x''}};
* untuk ''a'', ''b'' pada ''M'' dan ''x'' pada ''X'': {{math|1=''a'' ⋅ (''b'' ⋅ ''x'') = (''a'' • ''b'') ⋅ ''x''}}.
Ini adalah analogi dalam teori monoid (kiri) [[Grup aksi (matematika)|grup aksi]]. Baik aksi ''M'' didefinisikan dengan cara biasa. Monoid dengan suatu aksi dikenal sebagai '''[[operasi monoid]]'''. Contoh yang termasuk [[sistem transisi]] dari [[semiautomata]]. [[Transformasi semigrup]] dapat dibuat menjadi operasi monoid dengan menggabungkan transformasi identitas.

== Monoid homomorfisme ==

[[Berkas:Exponentiation as monoid homomorphism svg.svg|thumb|x200px|Monoid homomorfisme <math>f</math> dari monoid {{math|{{color|#008000|('''N''', +, 0)}}}} ke monoid {{math|{{color|#800000|('''N''', ×, 1)}}}}, didefinisikan dari <math>f(x) = 2^x</math>. Fungsi tersebut adalah [[Fungsi injektif|injeksi]], bukan [[Fungsi konjektur|konjektur]].]]
[[Bilangan riil]] adalah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] yang menggunakan penembahab dan perkalian. Himpunan semua 2 × 2 [[matriks (matematika)|matriks]] merupakan gelanggang, dibawah [[penambahan matriks]] dan [[perkalian matriks]]. Jika mendefinisikan fungsi antara gelanggang, sebagai berikut:
:<math>f(r) = \begin{pmatrix}
   r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix}</math>
dimana {{mvar|r}} adalah bilangan riil, maka {{mvar|f}} adalah homomorfisme gelanggang, karena {{mvar|f}} mempertahankan dua penambahan:
:<math>f(r+s) = \begin{pmatrix}
  r+s & 0 \\
   0 & r+s
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
   s & 0 \\
   0 & s
\end{pmatrix} = f(r) + f(s)</math>
dan perkalian:
:<math>f(rs) = \begin{pmatrix}
  rs & 0 \\
   0 & rs
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   r & 0 \\
   0 & r
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   s & 0 \\
   0 & s
\end{pmatrix} = f(r)\,f(s).</math>

Untuk contoh lain, bukan-nol untuk [[bilangan kompleks]] membentuk [[grup (matematika)|grup]] dibawah operasi perkalian, seperti halnya bilangan riil bukan-nol. Nol dihilangkan dari kedua grup karena tidak memiliki [[invers perkalian]], yang diperlukan untuk elemen grup.  Tentukan fungsi <math>f</math> dari bilangan kompleks bukan nol ke bilangan riil bukan nol dengan
:<math>f(z) = |z| .</math>
Artinya, <math>f</math> adalah [[nilai mutlak]] (atau modulus) dari bilangan kompleks <math>z</math>. Maka <math>f</math> adalah homomorfisme grup, karena perkalian:
:<math>f(z_1 z_2) = |z_1 z_2| = |z_1| |z_2| = f(z_1) f(z_2).</math>
Perhatikan bahwa {{math|''f''}} tidak dapat diperpanjang menjadi homomorfisme gelanggang (dari bilangan kompleks ke bilangan riil), karena tidak termasuk penambahan:
:<math>|z_1 + z_2| \ne |z_1| + |z_2|.</math>

Sebagai contoh lain, diagram menunjukkan homomorfisme monoid <math>f</math> dari monoid <math>(\mathbb{N}, +, 0)</math> ke monoid <math>(\mathbb{N}, \times, 1)</math>. Karena nama berbeda dari operasi terkait, sifat pelestarian struktur yang dipenuhi oleh <math> f </math> dihasilkan sebagai <math>f(x+y) = f(x) \times f(y)</math> dan <math>f(0) = 1</math>.

[[Komposisi aljabar]] <math> A </math> diatas bidang <math> F </math> menggunakan [[bentuk kuadrat]], yang disebut ''norma'', <math>N: A \to F</math>, yang merupakan homomorfisme grup dari [[grup perkalian]] dari <math> A </math> ke grup perkalian dari <math> F </math>.

== Persamaan presentasi ==
{{main|Presentasi dari sebuah monoid}}

Monoid dapat diberikan '''presentasi''', dengan cara yang sama seperti grup dapat ditentukan melalui [[presentasi grup]]. Seseorang melakukan ini dengan menentukan satu set generator Σ, dan satu set relasi pada [[monoid bebas]] Σ<sup>∗</sup>. Seseorang melakukannya dengan memperluas (finite) [[relasi biner]] pada Σ<sup>*</sup> ke kongruensi monoid, dan kemudian membangun monoid hasil bagi, seperti di atas.

Diberikan relasi biner {{math|''R'' ⊂ Σ<sup>∗</sup> × Σ<sup>∗</sup>}}, satu mendefinisikan penutupan simetrisnya sebagai {{math|''R'' ∪ ''R''<sup>−1</sup>}}. Ini dapat diperluas ke hubungan simetris {{math|''E'' ⊂ Σ<sup>∗</sup> × Σ<sup>∗</sup>}} dengan mendefinisikan {{math|''x'' ~<sub>''E''</sub> ''y''}} jika dan hanya jika {{math|1=''x'' = ''sut''}} dan {{math|1=''y'' = ''svt''}} untuk beberapa pita {{math|''u'', ''v'', ''s'', ''t'' ∈ Σ<sup>∗</sup>}} dengan {{math|(''u'',''v'') ∈ ''R'' ∪ ''R''<sup>−1</sup>}}. Akhirnya, seseorang mengambil penutupan refleksif dan transitif dari '' E '', yang kemudian merupakan kongruensi monoid.

Dalam situasi tipikal, relasi '' R '' hanya diberikan sebagai sekumpulan persamaan, sehingga <math>R=\{u_1=v_1,\cdots,u_n=v_n\}</math>. Thus, for example,
: <math>\langle p,q\,\vert\; pq=1\rangle</math>
adalah presentasi persamaan untuk [[monoid bisiklik]], dan

: <math>\langle a,b \,\vert\; aba=baa, bba=bab\rangle</math>
adalah [[monoid plaktik]] derajat 2 (memiliki urutan tak terhingga). Elemen monoid plastik ini dapat ditulis sebagai <math>a^ib^j(ba)^k</math> untuk integer '' i '', '' j '', '' k '', karena hubungan menunjukkan bahwa '' ba '' bolak-balik dengan '' a '' dan '' b ''.

== Kaitannya dengan teori kategori ==
{{Group-like structures}}
Monoid dapat dipandang sebagai kelas khusus [[teori kategori|kategori]]. Memang, aksioma yang diperlukan dari operasi monoid persis seperti yang diperlukan dari komposisi [[morfisme]] ketika dibatasi pada himpunan semua morfisme yang sumber dan targetnya adalah objek tertentu.<ref name=Awo10>{{cite book |zbl=1100.18001 |title=Category Theory |volume=49 |series=Oxford Logic Guides |first=Steve |last=Awodey |authorlink=Steve Awodey |publisher=[[Oxford University Press]] |year=2006 |isbn=0-19-856861-4 |page=10}}</ref> adalah,
: ''Monoid, pada dasarnya, sama dengan kategori dengan satu objek.''
Lebih tepatnya, diberi monoid {{math | ('' M '', •)}}, seseorang dapat membuat kategori kecil dengan hanya satu objek dan yang morfismenya adalah elemen dari ''M''. Komposisi morfisme diberikan oleh operasi monoid •.

Demikian juga, homomorfisme monoid hanyalah [[funktor]] antara kategori objek tunggal.<ref name=Awo10/>  Jadi konstruksi ini memberikan [[kesetaraan kategori|kesetaraan]] antara [[kategori monoid | kategori monoid (kecil)]] '''Mon''' dan subkategori lengkap kategori kategori (kecil) '''Cat'''. Demikian pula, [[kategori grup]] setara dengan subkategori lengkap lainnya '''Cat'''.

Dalam pengertian ini, teori kategori dapat dianggap sebagai perluasan dari konsep monoid. Banyak definisi dan teorema tentang monoid dapat digeneralisasikan ke kategori kecil dengan lebih dari satu objek. Misalnya, hasil bagi dari kategori dengan satu objek hanyalah hasil bagi monoid.

Monoid, seperti struktur aljabar lainnya, juga membentuk kategorinya sendiri, '''Mon''', yang objeknya monoid dan morfisme homomorfisme monoid.<ref name=Awo10/>

Ada pula pengertian [[monoid (teori kategori)|objek monoid]] yang merupakan definisi abstrak dari apa yang dimaksud dengan monoid dalam suatu kategori. Objek monoid dalam '''[[kategori himpunan|Set]]' '' hanyalah sebuah monoid.

== Monoid dalam ilmu komputer ==
Dalam ilmu komputer, banyak [[tipe data abstrak]] dapat diberkahi dengan struktur monoid. Dalam pola yang sama, Sebuah [[urutan]] elemen monoid adalah "[[lipat (fungsi orde tinggi)|dilipat]]" atau "terakumulasi" untuk menghasilkan nilai akhir. Misalnya, banyak algoritme iteratif perlu memperbarui beberapa jenis "menjalankan total" pada setiap iterasi; pola ini dapat diekspresikan secara elegan dengan operasi monoid. Alternatifnya, asosiasi operasi monoid memastikan bahwa operasi dapat [[paralelisasi|paralel]] dengan menggunakan [[jumlah awalan]] atau algoritma serupa, untuk memanfaatkan banyak inti atau prosesor secara efisien.

Diberikan urutan nilai tipe '' M '' dengan elemen identitas <math>\varepsilon</math> dan operasi asosiatif <math>\bullet</math>, operasi '' lipat '' didefinisikan sebagai berikut:
: <math>\mathrm{kelipatan}: M^{*} \rarr M = l \mapsto \begin{cases} \varepsilon & \mbox{jika } l = \mathrm{nil} \\ m \bullet \mathrm{kelipatan} \, l' & \mbox{jika } l = \mathrm{cons} \, m \, l' \end{cases}</math>

Selain itu, [[struktur data]] apa pun dapat 'dilipat' dengan cara yang sama, mengingat serialisasi elemennya. Misalnya, hasil dari "melipat" sebuah [[pohon biner]] mungkin berbeda tergantung pada pemesanan di muka vs. setelah pesanan [[traversal pohon]].

== Monoid lengkap ==
Sebuah '''monoid lengkap''' adalah monoid komutatif yang dilengkapi dengan operasi jumlah [[Finiter|infiniter]] <math>\Sigma_I</math> untuk [[himpunan indeks]] {{mvar | I}} apa pun yang:<ref name="droste">Droste, M., & Kuich, W. (2009). Semirings and Formal Power Series. ''Handbook of Weighted Automata'', 3–28. {{doi|10.1007/978-3-642-01492-5_1}}, pp.&nbsp;7–10</ref><ref>{{cite journal |last=Hebisch |first=Udo |title=Eine algebraische Theorie unendlicher Summen mit Anwendungen auf Halbgruppen und Halbringe |language=German |zbl=0747.08005 |journal=Bayreuther Mathematische Schriften |volume=40 |pages=21–152 |year=1992}}</ref><ref>{{cite book |last=Kuich |first=Werner |chapter=ω-continuous semirings, algebraic systems and pushdown automata |pages=[https://archive.org/details/automatalanguage0000ical/page/103 103–110] |title=Automata, Languages and Programming: 17th International Colloquium, Warwick University, England, July 16-20, 1990, Proceedings |volume=443 |series=Lecture Notes in Computer Science |editor1-first=Michael S. |editor1-last=Paterson |publisher=[[Springer-Verlag]] |year=1990 |isbn=3-540-52826-1 |url=https://archive.org/details/automatalanguage0000ical/page/103 }}</ref><ref name=Kuich11>{{cite book |last=Kuich |first=Werner |chapter=Algebraic systems and pushdown automata |zbl=1251.68135 |editor1-last=Kuich |editor1-first=Werner |title=Algebraic foundations in computer science. Essays dedicated to Symeon Bozapalidis on the occasion of his retirement |location=Berlin |publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=978-3-642-24896-2 |series=Lecture Notes in Computer Science |volume=7020 |pages=228–256 |year=2011}}</ref>

: <math>\sum_{i \in \emptyset}{m_i} =0;\quad \sum_{i \in \{j\}}{m_i} = m_j;\quad \sum_{i \in \{j, k\}}{m_i} = m_j+m_k \quad \text{ for } j\neq k</math>

dan

: <math>\sum_{j \in J}{\sum_{i \in I_j}{m_i}} = \sum_{i \in I}(m_i)\quad  \text{ if } \bigcup_{j\in J} I_j=I \text{ and } I_j \cap I_{j'} = \emptyset \quad \text{ for } j\neq j'</math>

'''monoid kontinu''' adalah monoid komutatif terurut di mana setiap [[himpunan terarah]] memiliki [[batas atas terkecil]] yang kompatibel dengan operasi monoid:

: <math>a + \sup S = \sup(a + S) \ . </math>

Kedua konsep ini terkait erat: monoid kontinu adalah monoid lengkap di mana jumlah infiniter dapat didefinisikan sebagai

: <math> \sum_I a_i = \sup \sum_E a_i </math>

di mana supremum di sebelah kanan berjalan di atas semua himpunan bagian terbatas {{mvar | E}} dari {{mvar | I}} dan setiap jumlah di sebelah kanan adalah jumlah yang terbatas di monoid.<ref name=Kuich11/>

== Lihat pula ==
* [[Relasi Green]]
* [[Monad (pemrograman fungsional)]]
* [[Semigelanggang]] dan [[Aljabar Kleene]]
* [[Masalah ketinggian bintang]]
* [[Kotak Weda]]

== Catatan ==
{{reflist}}

== Referensi ==
* {{citation | first=John M. | last=Howie | authorlink=John Mackintosh Howie | title=Fundamentals of Semigroup Theory | series=London Mathematical Society Monographs. New Series | volume=12 | year=1995 | publisher=Clarendon Press | location=Oxford | isbn=0-19-851194-9 | zbl=0835.20077 }}
* {{citation | last=Jacobson | first=Nathan | author-link=Nathan Jacobson | title=Lectures in Abstract Algebra | volume=I | publisher=D. Van Nostrand Company | year=1951 | isbn=0-387-90122-1}}
* {{Citation|last=Jacobson |first=Nathan |author-link=Nathan Jacobson |year=2009 |title=Basic algebra |edition=2nd |volume=1 |publisher=Dover |isbn=978-0-486-47189-1 |ref=harv}}
* {{citation | zbl=0945.20036 | last1=Kilp | first1=Mati | last2=Knauer | first2=Ulrich | last3=Mikhalev | first3=Alexander V. | title=Monoids, acts and categories. With applications to wreath products and graphs. A handbook for students and researchers| series=de Gruyter Expositions in Mathematics | volume=29 | location=Berlin | publisher=Walter de Gruyter | year=2000 | isbn=3-11-015248-7 }}
* {{citation | last=Lothaire | first=M. | authorlink=M. Lothaire | others=Perrin, D.; Reutenauer, C.; Berstel, J.; Pin, J. E.; Pirillo, G.; Foata, D.; Sakarovitch, J.; Simon, I.; Schützenberger, M. P.; Choffrut, C.; Cori, R.; Lyndon, Roger; Rota, Gian-Carlo. Foreword by Roger Lyndon | title=Combinatorics on words | edition=2nd | series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications | volume=17 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1997 | doi = 10.1017/CBO9780511566097 | isbn=0-521-59924-5 | mr = 1475463  | zbl=0874.20040 }}

== Pranala luar ==
* {{springer|title=Monoid|id=p/m064740}}
* {{MathWorld | urlname=Monoid | title=Monoid}}
* {{PlanetMath| urlname=Monoid | title=Monoid | id=389}}

[[Kategori:Struktur aljabar]]
[[Kategori:Teori kategori]]
[[Kategori:Teori semigrup]]