Lihat sumber Modul (matematika)

{{short description|Generalisasi ruang vektor, dengan skalar di dalam gelanggang, bukan di lapangan}}
{{More footnotes|date=Desember 2020}}
{{Struktur aljabar|Modul}}
{{Teori gelanggang sidebar}}
Dalam [[matematika]], '''modul''' adalah suatu [[struktur aljabar]] dasar yang digunakan dalam [[aljabar abstrak]]. '''Modul''' diatas [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]<!--huruf tebal per WP:R#PLA--> meru generalisasi dari gagasan [[ruang vektor]] diatas [[medan (matematika)|medan]], dimana [[skalar (matematika)|skalar]] sesuai apabila elemen dari gelanggang yang diberikan secara sembarang (dengan identitas) dan perkalian (di kiri dan/atau di kanan) didefinisikan antara elemen gelanggang dan elemen modul. Modul mengambil skalar dari gelanggang ''R'' disebut modul-''R''.

Jadi, modul sebagai ruang vektor, adalah aditif [[grup abelian]]; produk didefinisikan antara elemen gelanggang dan elemen modul distributif selama operasi penambahan setiap parameter dan [[tindakan semigrup|kompatibel]] dengan perkalian gelanggang.

Modul sangat erat kaitannya dengan [[teori wakilan]] dari [[grup (matematika)|grup]]. Dan juga merupakan salah satu pengertian sentral [[aljabar komutatif]] dan [[aljabar homologis]], dan digunakan secara luas dalam [[geometri aljabar]] dan [[topologi aljabar]].

== Pendahuluan dan definisi ==

=== Motivasi ===
Dalam ruang vektor, himpunan [[skalar (matematika)|skalar]] adalah [[medan (matematika)|medan]] dan bekerja pada vektor dengan perkalian skalar, apabila aksioma tertentu seperti [[hukum distributif]]. Dalam modul, skalar digunakan [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], jadi konsep modul mewakilan generalisasi yang signifikan. Dalam aljabar komutatif, [[ideal (teori gelanggang)|ideal]] dan [[gelanggang hasil bagi]] adalah modul, sehingga banyak argumen tentang ideal atau gelanggang hasil bagi yang menggabungkan satu argumen tentang modul. Dalam aljabar non-komutatif, perbedaan antara ideal kiri, ideal, dan modul menjadi lebih jelas, meskipun beberapa kondisi teori gelanggang apabila diekspresikan baik tentang ideal kiri atau modul kiri.<!-- Gelanggang (semi) sempurna misalnya memiliki lintang "Foo benar untuk semua ideal kiri jika dan hanya jika foo benar untuk semua ideal kiri yang dihasilkan tanpa batas jika dan hanya jika foo benar untuk semua modul siklik jika dan hanya jika foo benar untuk semua modul" -->

Sebagian besar teori modul terdiri dari perluasan sebanyak mungkin properti ruang vektor yang diinginkan ke ranah modul melalui gelanggang, seperti [[prinsip ideal]]. Namun, modul bisa sedikit lebih rumit daripada ruang vektor; misalnya, tidak semua modul memiliki [[basis (aljabar linear)|basis]], dan bahkan yang memiliki, [[modul bebas]], tidak perlu memiliki peringkat unik jika gelanggang yang mendasarinya tidak memenuhi kondisi [[bilangan basis invarian]], tidak seperti ruang vektor, yang selalu memiliki basis (mungkin tak hingga) yang kardinalitasnya kemudian unik. Dua pernyataan terakhir ini membutuhkan [[aksioma pilihan]] secara umum, tetapi tidak dalam kasus ruang berdimensi hingga, atau ruang berdimensi tak hingga tertentu yang berperilaku baik seperti [[Ruang Lp|Ruang L<sup>''p''</sup>]].

=== Definisi formal ===
Misalkan ''R'' adalah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] dan 1 adalah identitas perkaliannya.
'''Modul kiri-''R''''' pada ''M'' yang terdiri dari [[grup abelian]] {{nowrap|(''M'', +)}} dan operasi {{nowrap|⋅ : ''R'' × ''M'' → ''M''}} maka ''r'', ''s'' di ''R'' dan ''x'', ''y'' di ''M'', memiliki:
#<math> r \cdot ( x + y ) = r \cdot x + r \cdot y </math>
#<math> ( r + s ) \cdot x = r \cdot x + s \cdot x </math>
#<math> ( r s ) \cdot x = r \cdot ( s \cdot x ) </math>
#<math> 1 \cdot x = x .</math>

Pengoperasian gelanggang pada ''M'' disebut ''perkalian skalar'', dan biasanya ditulis dengan penjajaran, yaitu sebagai ''rx'' untuk ''r'' pada ''R'' dan ''x'' pada ''M'', meskipun dilambangkan sebagai {{nowrap|''r'' ⋅ ''x''}} untuk membedakannya dari operasi perkalian gelanggang, yang dilambangkan dengan penjajaran. Notasi <sub>''R''</sub>''M'' menunjukkan modul kiri-''R'' pada ''M''. Sebuah '''modul kanan-''R''''' pada ''M'' atau ''M''<sub>''R''</sub> didefinisikan serupa, kecuali bahwa gelanggang itu bekerja di sebelah kanan; yaitu, perkalian skalar mengambil bentuk {{nowrap|⋅ : ''M'' × ''R'' → ''M''}}, dan aksioma atas ditulis dengan skalar ''r'' dan ''s'' sebelah kanan ''x'' dan ''y''.

Penulis yang tidak memerlukan gelanggang menjadi [[aljabar unital|unital]] untuk menghilangkan ketentuan 4 atas dalam definisi modul ''R'', dan apabila struktur yang didefinisikan atas "unital kiri ''R''". Dalam artikel ini, sesuai dengan [[glosarium teori gelanggang]], semua gelanggang dan modul dianggap tidak sama.<ref name="DummitFoote">{{cite book | title=Abstract Algebra | publisher=John Wiley & Sons, Inc. |author1=Dummit, David S.  |author2=Foote, Richard M.  |name-list-style=amp | year=2004 | location=Hoboken, NJ | isbn=978-0-471-43334-7}}</ref>

== Contoh ==

*Jika ''K'' adalah [[medan (matematika)|medan]], maka [[ruang vektor]]-''K'' (ruang vektor atas ''K'') dan modul identik-''K''.
*Jika ''K'' adalah medan, dan ''K''[''x''] univariat [[gelanggang polinomial]], maka [[gelanggang polinomial#Modul|modul-''K''[''x'']]] ''M'' adalah modul ''K'' dengan aksi tambahan ''x'' pada ''M'' pada komutatif dengan tindakan ''K'' di ''M''. Dengan kata lain, modul ''K''[''x''] adalah ruang vektor ''K'' pada ''M'' yang dikombinasikan dengan [[peta linear]] dari ''M'' ke ''M''. Menerapkan [[Teorema struktur untuk modul yang dihasilkan hingga pada domain ideal utama]] pada contoh ini menunjukkan keberadaan [[Bentuk kanonik rasional|rasional]] dan bentuk [[Bentuk normal Yordania|kanonik Yordania]].
*Konsep modul '''Z''' menyetujui dengan gagasan grup abelian. Artinya, setiap [[grup abelian]] adalah modul di atas gelanggang [[bilangan bulat]] '''Z''' dengan unik. Untuk {{nowrap|''n'' > 0}}, misal {{nowrap|1=''n'' ⋅ ''x'' = ''x'' + ''x'' + ... + ''x''}} (''n''), {{nowrap|1=0 ⋅ ''x'' = 0}}, dan {{nowrap|1=(−''n'') ⋅ ''x'' = −(''n'' ⋅ ''x'')}}. Modul tersebut tidak perlu memiliki [[basis (aljabar linear)|basis]]—grup yang berisi [[elemen torsi]]. Misalnya, dalam grup bilangan bulat [[modular arithmetic|modulo]] 3, apabila tidak menemukan satu elemenpun yang memenuhi definisi himpunan bebas linear karena ketika sebuah bilangan bulat seperti 3 atau 6 mengalikan sebuah elemen, hasilnya adalah 0. Namun, jika [[medan hingga]] sebagai modul atas medan hingga yang sama diambil sebagai gelanggang adalah ruang vektor dan memiliki basis.
*[[Pecahan desimal]] (termasuk yang negatif) dalam bentuk modul atas bilangan bulat. Hanya [[tunggal (matematika)|tunggal]] yang merupakan himpunan bebas linear, tetapi tidak ada tunggal yang dapat digunakan sebagai basis, jadi modul tidak memiliki dasar dan tidak memiliki peringkat.
*Jika ''R'' adalah gelanggang sembarang dan ''n'' sebuah [[bilangan asli]], maka [[produk Kartesius]] ''R''<sup>''n''</sup> adalah modul kiri-''R'' dan kanan atas ''R'' jika kita menggunakan komponen-operasi. Oleh karena itu ketika {{nowrap|1=''n'' = 1}}, ''R'' adalah modul ''R'', dimana perkalian skalar hanyalah perkalian gelanggang. Kasus {{nowrap|1=''n'' = 0}} menghasilkan modul ''R''-{0} yang hanya terdiri dari [[elemen identitas]]. Modul jenis ini disebut [[modul bebas|bebas]] dan jika ''R'' memiliki [[bilangan basis invarian]] (misalnya gelanggang atau medan komutatif) bilangan ''n'' kemudian menjadi peringkat modul bebas.
*Jika M<sub>''n''</sub>(''R'') adalah gelanggang {{nowrap|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} [[matriks (matematika)|matriks]] atas gelanggang ''R'', ''M'' adalah modul-M<sub>''n''</sub>(''R''), dan ''e''<sub>''i''</sub> adalah matriks {{nowrap|''n'' × ''n''}} dengan 1 entri {{nowrap|(''i'', ''i'')}} (dan nol di tempat), maka ''e''<sub>''i''</sub>''M'' adalah modul-''R'', karena {{nowrap|1=''re''<sub>''i''</sub>''m'' = ''e''<sub>''i''</sub>''rm'' ∈ ''e''<sub>''i''</sub>''M''}}. Jadi ''M'' dipecah sebagai jumlah langsung dari modul ''R'', {{nowrap|1=''M'' = ''e''<sub>1</sub>''M'' ⊕ ... ⊕ ''e''<sub>''n''</sub>''M''}}. Sebaliknya, diberikan modul-''R'' pada ''M''<sub>0</sub>, maka ''M''<sub>0</sub><sup>⊕''n''</sup> adalah modul-M<sub>''n''</sub>(''R''). Sebenarnya, [[kategori modul|kategori modul-''R'']] dan [[kategori (matematika)|kategori]] dari modul-M<sub>''n''</sub>('' R'') adalah [[ekuivalen kategori|ekuivalen]]. Kasus khusus adalah bahwa modul ''M'' apabila ''R'' sebagai modul atasnya, maka ''R''<sup>''n''</sup> adalah modul-M<sub>''n''</sub>(''R'').
*Jika ''S'' adalah [[himpunan (matematika)|himpunan]] [[himpunan kosong|tak kosong]], ''M'' adalah modul kiri-''R'', dan ''M''<sup>''S''</sup> adalah himpunan semua [[fungsi (matematika)|fungsi]] {{nowrap|''f'' : ''S'' → ''M''}}, maka dengan penjumlahan dan perkalian skalar dalam ''M''<sup>''S''</sup> didefinisikan titik demi titik oleh {{nowrap|1=(''f'' + ''g'')(''s'') = ''f''(''s'') + ''g''(''s'')}} dan {{nowrap|1=(''rf'')(''s'') = ''rf''(''s'')}}, ''M''<sup>''S''</sup> adalah modul kiri-''R''. Kasus modul-''R'' yang tepat adalah analog. Khususnya, jika ''R'' komutatif maka himpunan ''homomorfisme modul-R'' {{nowrap|''h'' : ''M'' → ''N''}} (lihat di bawah) adalah modul-''R'' (dan sebenarnya adalah ''submodul'' dari ''N''<sup>''M''</sup>).
*Jika ''X'' adalah [[lipatan mulus]], maka [[fungsi mulus]] dari ''X'' ke [[bilangan riil]] dalam bentuk gelanggang ''C''<sup>∞</sup>(''X''). Himpunan semua [[medan vektor]] mulus yang didefinisikan pada ''X'' dalam bentuk modul atas ''C''<sup>∞</sup>(''X''), dan begitu juga [[medan tensor]] dan [[bentuk diferensial]] pada ''X''.  Lebih umum, bagian dari [[bundel vektor]] dalam bentuk [[modul proyektif]] atas ''C''<sup>∞</sup>(''X''), dan dengan [[teorema Swan]], setiap modul proyektif adalah isomorfik pada modul bagian dari beberapa bundel; [[kategori (matematika)|kategori]] dari modul ''C''<sup>∞</sup>(''X'') dan kategori bundel vektor atas ''X'' adalah [[kategori ekuivalen|ekuivalen]].
*Jika ''R'' adalah sembarang gelanggang dan ''I'' adalah [[gelanggang ideal|ideal kiri]] di ''R'', maka ''I'' adalah modul kiri-''R'', dan ideal kanan secara analog dalam ''R'' adalah modul kanan-''R''.
*Jika ''R'' adalah sebuah gelanggang, apabi5 didefinisikan [[gelanggang berlawanan]] ''R''<sup>op</sup> yang memiliki [[himpunan dasar]] yang sama dan operasi penjumlahan yang sama, namun perkalian inversnya: jika {{nowrap|1=''ab'' = ''c''}} pada ''R'', maka {{nowrap|1=''ba'' = ''c''}} pada ''R''<sup>op</sup>. Setiap modul ''kiri''-''R'' pada ''M'' maka dilihat sebagai modul ''kanan'' atas ''R''<sup>op</sup>, dan modul kanan atas-''R'' sebagai modul kiri atas ''R''<sup>op</sup>.
* [[Glosarium aljabar Lie#Teori wakilan|Modu atas aljabar Lie]] adalah modul (aljabar asosiatif) di atas [[aljabar pembungkus universal]].
*Jika ''R'' dan ''S'' adalah gelanggang dengan [[gelanggang homomorfisme]] ''φ'' : ''R'' → ''S'', maka setiap modul-''S'' pada ''M'' adalah modul ''R'' dengan mendefinisikan ''rm'' = ''φ''(''r'')''m''. Secara khusus, ''S'' sendiri adalah modul-''R''.

== Submodul dan homomorfisme ==

Misalkan ''M'' adalah modul-''R'' kiri dan ''N'' adalah [[subgrup]] dari ''M''. Maka ''N'' adalah '''submodul''' (atau lebih eksplisit ''R'') apabila ''n'' pada ''N'' dan ''r'' pada ''R'', produk {{nowrap|''r'' ⋅ ''n''}} adalah ''N'' (atau {{nowrap|''n'' ⋅ ''r''}} untuk modul-''R''.

Jika ''X'' adalah [[himpunan bagian]] dari modul-''R'', maka submodul yang direntang oleh ''X'' didefinisikan sebagai <math display="inline">\langle X \rangle = \,\bigcap_{N\supseteq X} N</math>, dimana ''N'' submodul atas dari ''M'' yang berisi ''X'', atau secara eksplisit <math display="inline">\left\{\sum_{i=1}^k r_ix_i \mid r_i \in R, x_i \in X\right\}</math>, yang terpenting dalam definisi adalah produk tensor.<ref>{{Cite web|url=http://people.maths.ox.ac.uk/mcgerty/Algebra%20II.pdf|title=ALGEBRA II: RINGS AND MODULES|last=Mcgerty|first=Kevin|date=2016}}</ref>

Himpunan submodul dari modul tertentu ''M'', bersama dengan dua [[operasi biner]] + dan ∩, dalam bentuk sebuah [[kekisi (tatanan)|kekisi]] yang memenuhi '''[[kisi modular|hukum modular]]''':
Diberikan submodul ''U'', ''N''<sub>1</sub>, ''N''<sub>2</sub> dari ''M'' sedemikian rupa sehingga {{nowrap|''N''<sub>1</sub> ⊂ ''N''<sub>2</sub>}}, maka dua submodul berikut ini: {{nowrap|1=(''N''<sub>1</sub> + ''U'') ∩ ''N''<sub>2</sub> = ''N''<sub>1</sub> + (''U'' ∩ ''N''<sub>2</sub>)}}.

Jika ''M'' dan ''N'' misal modul ''R'', maka sebuah [[peta (matematika)|peta]] {{nowrap|''f'' : ''M'' → ''N''}} adalah '''[[modul homomorfisme|homomorfisme dari modul-''R'']]''' jika untuk setiap ''m'', ''n'' dalam ''M'' dan ''r'', ''s'' dalam ''R'',
:<math>f(r \cdot m + s \cdot n) = r \cdot f(m) + s \cdot f(n)</math>.
[[Homomorfisme]] ini objek matematika lainnya, hanyalah pemetaan dengan mempertahankan struktur objek. Nama lain untuk homomorfisme modul ''R'' adalah [[peta linear]]-''R''.

Sebuah [[bijektif]] modul homomorfisme {{nowrap|''f'' : ''M'' → ''N''}} disebut modul [[isomorfisme]], dan dua modul ''M'' dan ''N'' disebut '''isomorfik'''. Dua modul isomorfik identik untuk semua tujuan praktis, hanya berbeda dalam notasi untuk elemennya.

[[Kernel (aljabar)|Kernel]] dari modul homomorfisme {{nowrap|''f'' : ''M'' → ''N''}} adalah submodul dari ''M'' yang terdiri dari semua elemen urutan ke nol oleh ''f'', dan [[citra (matematika)|citra]] dari ''f'' adalah submodul dari ''N'' yang terdiri dari nilai ''f''(''m'') untuk semua elemen ''m'' dari ''M''.<ref>{{Cite web|url=https://faculty.math.illinois.edu/~r-ash/Algebra/Chapter4.pdf|title=Module Fundamentals|last=Ash|first=Robert|website=Abstract Algebra: The Basic Graduate Year}}</ref> [[Teorema isomorfisme]] yang familiar dari grup dan ruang vektor valid untuk modul-''R''.

Diberikan gelanggang-''R'', himpunan semua modul kiri-''R'' bersama dengan homomorfisme modul dalam bentuk [[kategori abelian]], dilambangkan dengan '''Mod'''-''R''(lihat [[kategori modul]]).

== Jenis modul ==

; Terbangkit hingga: Sebuah modul-''R'' pada ''M'' adalah [[modul terbangkit hingga|dihasilkan secara terbatas]] apabila jika terdapat elemen ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> dalam ''M'' sedemikian rupa sehingga setiap elemen ''M'' adalah [[kombinasi linear]] elemen tersebut dengan koefisien dari gelanggang ''R''.
; Siklik: Sebuah modul disebut [[modul siklik]] jika dihasilkan oleh satu elemen.
; Bebas: [[modul bebas|modul-''R'' bebas]] adalah modul yang memiliki basis, atau ekuivalen diantara isomorfik ke [[jumlah modul langsung|jumlah langsung]] dari salinan gelanggang ''R''. Ini adalah modul perilaku yang mirip dengan ruang vektor.
; Proyektif: [[Modul proyektif]] adalah [[jumlah langsung]] modul bebas dan berbagi banyak sifat yang diinginkan.
; Injektif: [[Modul injektif]] didefinisikan secara ganda untuk modul proyektif.
; Rata: Sebuah modul disebut [[modul rata|rata]] jika mengambil [[produk tensor modul|produk tensor]] dari modul tersebut dengan [[urutan tepat]] dari modul ''R'' pertahanan ketepatan.
; Tanpa torsi: Sebuah modul disebut [[modul tanpa torsi|tanpa torsi]] jika disematkan ke dual aljabarnya.
; Sederhana: Sebuah [[modul sederhana]] ''S'' adalah modul yang bukan {0} dan submodulnya {0} dan ''S''. Modul sederhana terkadang disebut ''takreduksi''.<ref>Jacobson (1964), [https://books.google.com/books?id=KlMDjaJxZAkC&pg=PA4 p. 4], Def. 1; {{PlanetMath|urlname=IrreducibleModule|title=Irreducible Module}}</ref>
; Semisederhana: [[modul semisederhana]] adalah penjumlahan langsung (hingga atau tidak) dari modul sederhana. Secara historis modul ini juga disebut "komplekmen ireduksi".
; Takdekomposisi: [[modul takdekomposisi]] adalah modul bukan nol yang tidak tertulis sebagai [[jumlah langsung modul|jumlah langsung]] dari dua submodul bukan nol. Setiap modul sederhana takdekomposisi, tetapi apabila modul takdekomposisi tak sederhana (mis. [[modul seragam]]).
; Kesesuaian: Sebuah [[modul sesuai]] ''M'' adalah salah satu dimana tindakan setiap {{nowrap|''r'' ≠ 0}} dalam ''R'' atas ''M'' non-trivial (yaitu {{nowrap|''r'' ⋅ ''x'' ≠ 0}} untuk beberapa ''x'' dalam ''M'').  Secara ekuivalen, [[annihilator (teori gelanggang)|annihilator]] dari ''M'' adalah [[ideal nol]].
; Bebas torsi: [[modul bebas torsi]] adalah modul atas gelanggang sehingga 0 adalah satu-satunya elemen annihilator oleh elemen reguler (non [[pembagi nol]]) dari gelanggang, secara ekuivalen <math>rm=0</math> mengartikan <math>r=0</math> atau <math>m=0</math>.
; Noetherian: [[Modul Noetherian]] adalah modul yang memenuhi [[kondisi kaidah naik]] pada submodul, yaitu, setiap kaidah submodul ditingkatkan sebagai stasioner setelah banyak langkah. Secara ekuivalen, setiap submodul dibangkitkan secara hingga.
; Artinian: [[Modul Artinian]] adalah modul yang memenuhi [[kondisi kaidah turun]] pada submodul, yaitu, setiap kaidah submodul turun sebagai stasioner setelah banyak langkah.
; Gradasi: Sebuah [[modul bergradasi]] adalah modul dengan dekomposisi sebagai jumlah langsung {{nowrap|1=''M'' = {{resize|140%|⨁}}<sub>''x''</sub> ''M''<sub>''x''</sub>}} [[Gelanggang bertingkat]] atas {{nowrap|1=''R'' = {{resize|140%|⨁}}<sub>''x''</sub> ''R''<sub>''x''</sub>}} sedemikian rupa sehingga {{nowrap|''R''<sub>''x''</sub>''M''<sub>''y''</sub> ⊂ ''M''<sub>''x''+''y''</sub>}} untuk semua ''x'' dan ''y''.
; Seragam: Sebuah [[modul seragam]] adalah modul dimana semua pasangan submodul bukan nol memiliki persimpangan bukan nol.

== Modul atas aljabar asosiatif ==

Jika <math>R</math> adalah [[gelanggang komutatif]] dan <math>A</math> adalah [[Aljabar asosiatif|aljabar asosiatif-''R'']], maka adalah ''modul kiri''-<math>A</math> dengan modul-<math>R</math> pada <math> M </math> bersama dengan modul homomorfisme-<math>R</math> 
: <math> A \otimes_RM \to M, \quad a\otimes m\mapsto am,</math>
dirumuskan sebagai
:<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> untuk <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math>
gilt.

''Modul kanan''-<math>A</math> adalah modul-<math>R</math> pada <math> M </math> bersama dengan modul homomorfisme-<math>R</math> 
:<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math>
dirumuskan sebagai
:<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> für <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math>
gilt.

Modul ''gabungan'' dan ''bimodul'' didefinisikan secara analogi dengan kasus gelanggang.

== Lihat pula ==
* [[Grup gelanggang]]
* [[Aljabar (teori gelanggang)]]
* [[Modul (teori model)]]
* [[Spektrum modul]]
* [[Annihilator (teori gelanggang)|Annihilator]]

== Referensi ==
{{Reflist}}

== Pranala luar ==
* {{springer|title=Module|id=p/m064470}}
* [https://mathoverflow.net/q/5243 Why is it a good idea to study the modules of a ring ?] on [[MathOverflow]]
* {{nlab|id=module}}

{{Authority control}}

[[Kategori:Struktur aljabar]]
[[Kategori:Teori modul| * Modul]]