Lihat sumber Metode Newton

Dalam [[analisis numerik]], '''metode Newton''' adalah suatu [[Algoritma pencari akar|algoritma pencari akar fungsi]] yang mencari hampiran yang lebih baik hampiran terhadap akar [[fungsi riil|fungsi bernilai riil]]. Metode ini juga dikenal sebagai '''metode Newton–Raphson''', yang mendapat nama dari [[Isaac Newton]] dan [[Joseph Raphson]]. Metode ini dimulai dari diketahui suatu fungsi <math>f(x)</math> yang terdefinisi dari untuk suatu bilangan real <math>x</math>, beserta [[turunan]]<nowiki/>nya <math>f'(x)</math>, serta memulai dengan tebakan nilai awal <math>x_0</math>. Jika suatu fungsi memenuhi asumsi serta tebakan nilai awal semakin mendekat, maka hampiran yang lebih baik untuk <math>x_1</math> adalah<math display="block">x_{1} = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}.</math>Hampiran di atas memberikan hampiran akar yang lebih baik daripada {{math|''x''<sub>0</sub>}}. Secara geometris, {{math|(''x''<sub>1</sub>, 0)}} merupakan perpotongan dari sumbu-{{math|''x''}} dan [[garis singgung]] dari [[grafik fungsi]] {{math|''f''}} di {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''<span style{{=}}"letter-spacing:0.2em">f</span>''(''x''<sub>0</sub>))}}. Ini berarti bahwa tebakan nilai yang diperhalus merupakan akar tunggal dari [[hampiran linear]] di titik awal. Proses tersebut akan berulang, yang dituliskan sebagai,<math display="block">x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},</math>sampai proses tersebut mencapai nilai yang tepat.

== Deskripsi ==
Gagasan metode ini menjelaskan dimulai dengan tebakan nilai awal. Setelah itu, fungsi tersebut dihampiri dengan [[garis singgung]]nya. dan terakhir menghitung perpotongan garis ini dengan sumbu-<math>x</math>. Perpotongan dengan sumbu-<math>x</math> ini biasanya merupakan hampiran yang lebih baik ke akar fungsi daripada tebakan awal, dan metode ini dapat diiterasi.

[[Berkas:newton iteration.svg|jmpl|ka|300px|Ilustrasi salah satu iterasi metode Newton (fungsi ''ƒ'' ditunjukkan dengan warna biru dan garis singgung dalam warna merah). Dapat dilihat bahwa ''x''<sub>''n''+1</sub> adalah hampiran yang lebih baik daripada ''x''<sub>''n''</sub>untuk akar ''x'' dari fungsi ''f''.]]Jika suatu [[Garis singgung|garis yang menyinggung]] ke kurva <math>f(x)</math> di <math>x = x_n</math>memotong sumbu-<math>x</math> di <math>x_{n+1}</math>, maka kemiringannya adalah<math display="block">f'(x_{n}) = \frac{ \Delta y }{ \Delta x } = \frac{ f( x_{n} ) - 0 }{ x_{n} - x_{n+1} }.</math>

Pada rumus di atas, <math>f'</math> melambangkan [[turunan]] dari fungsi <math>f</math>. Dengan menyelesaikan <math>x_{n+1}</math>, akan memberikan<math display="block">x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.</math>Proses ini dimulai dengan nilai awal sembarang <math>x_0</math>. Metode ini biasanya akan mengerucut pada akar, dengan syarat tebakan awal cukup dekat pada akar tersebut, dan bahwa <math>f'(x_0) \ne 0</math>.

== Sejarah ==
Nama "metode Newton" berasal dari karya milik [[Isaac Newton]] yang menjelaskan tentang kasus istimewa dari metode. Karya tersebut adalah ''[[De analysi per aequationes numero terminorum infinitas]]'' yang ditulis pada 1669, dan diterbitkan pada 1711 oleh [[William Jones (metematikawan)|William Jones]]; serta ''De metodis fluxionum et serierum infinitarum'' yang ditulis di tahun 1671, dan kemudian diterjemahkan dan diterbitkan sebagai ''[[Method of Fluxions]]'' di tahun 1736 oleh [[John Colson]]. Sayangnya, metode tersebut sangatlah berbeda daripada metode modern yang diberikan di atas. Metode yang digunakan Newton hanyalah polinomial, yang dimulai dari perkiraan akar awal dan menyaring barisan dari koreksi galat. Newton menggunakan setiap koreksi tersebut untuk menulis ulang polinomial dalam bentuk galat yang tersisa, dan kemudian menyelesaikan koreksi baru dengan mengabaikan suku-suku yang lebih tinggi. Newton dengan tegas tidak mengaitkan metode dengan turunan atau menyajikan rumus umum. Newton menerapkan metode ini pada masalah numerik dan aljabar, yang menghasilkan [[deret Taylor]] dalam kasus terakhir.

Ada kemungkinan bahwa metode yang dipakai Newton diambil dari metode milik [[François Viète|Vieta]], tetapi metode itu kurang akurat. Gagasan dasar tentang metode Vieta dapat ditemukan dalam karya seorang [[Matematika Islam abad pertengahan|matematikawan berkebangsaan Persia]] yang bernama [[Sharaf al-Din al-Tusi]], sedangkan penerusnya, [[Jamshīd al-Kāshī]], menggunakan metode penyelesaian Newton <math>x^P - N = 0</math> untuk menemukan akar dari <math>N</math>.<ref>{{harvtxt|Ypma|1995}}</ref> Kasus istimewa dari metode Newton untuk menghitung [[akar kuadrat]] telah dikenal sejak zaman kuno, dan metode tersebut kerapkali disebut [[metode Babilonia]].

Metode Newton digunakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan [[Jepang]] yang bernama [[Seki Kōwa]] pada abad ke-17. Seki menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan persamaan variabel tunggal, meskipun tidak terdapat kaitannya dengan kalkulus.<ref>{{cite web |title=Chapter 2. Seki Takakazu |url=http://www.ndl.go.jp/math/e/s1/2.html |website=Japanese Mathematics in the Edo Period |publisher=National Diet Library |accessdate=24 Februari 2019}}</ref>

Metode Newton pertama kali diterbitkan dalam karya [[John Wallis]] pada tahun 1685, yang berjudul ''A Treatise of Algebra both Historical and Practical''.<ref>{{cite book|last=Wallis|first=John|date=1685|url=http://www.e-rara.ch/zut/content/titleinfo/2507537|title=A Treatise of Algebra both Historical and Practical|location=Oxford|publisher=Richard Davis|doi=10.3931/e-rara-8842|authorlink=John Wallis|url-status=live}}</ref> Pada tahun 1690, [[Joseph Raphson]] menerbitkan deskripsi yang disederhanakan dalam karyanya, ''Analysis aequationum universalis''.<ref>{{cite book |last=Raphson |first=Joseph |authorlink=Joseph Raphson |title=Analisis Æequationum Universalis |edition=2nd |language=la |date=1697 |publisher=Thomas Bradyll |location=London |url=https://archive.org/details/bub_gb_4nlbAAAAQAAJ |doi=10.3931/e-rara-13516}}</ref> Raphson juga menerapkan metode ini hanya untuk polinomial, tetapi ia menghindari proses penulisan ulang Newton yang membosankan dengan menyaring setiap koreksi dari polinomial asli secara beruntun. Hal ini memungkinnya untuk mendapatkan ekspresi berulang yang dapat digunakan kembali untuk setiap masalah. Hingga pada tahun 1740, [[Thomas Simpson]] mendeskripsikan metode Newton sebagai metode berulang untuk menyelesaikan persamaan non-linear umum dengan menggunakan kalkulus. Dalam terbitan yang sama, Simpson juga memberikan perumuman untuk sistem dua persamaan, dan mencatat bahwa metode Newton dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan menetapkan gradien bernilai nol.

[[Arthur Cayley]] dalam karyanya ''The Newton–Fourier imaginary problem'', yang diterbitkan di tahun 1879, adalah orang pertama yang menyadari kesulitan dalam memperumum metode Newton ke akar kompleks polinomial dengan derajat yang lebih besar dari 2, dan nilai awalan kompleks. Adanya perumuman tersebut dapat membuka jalan untuk mempelajari [[Himpunan Julia|teori iterasi]] dari [[fungsi rasional]].

== Lihat pula ==
{{div col|colwidth=20em}}
* [[Akar kuadrat bilangan bulat]]
* [[Akar kuadrat invers cepat]]
* [[Algoritma pencari akar]]
* [[Ekstrapolasi Richardson]]
* ''[[Gradient descent]]''
* [[Metode bagi dua]]
* [[Metode Euler]]
* [[Metode Laguerre]]
* [[Metode menghitung akar kuadrat]]
* [[Metode Newton dalam optimisasi]]
* [[Metode sekan]]
* [[Metode Steffensen]]
* [[Metode subgradien]]
* [[Proses delta kuadrat Aitken]]
* [[Skoring Fisher]]
* [[Teorema Kantorovich]]
{{div col end}}

== Catatan ==
{{reflist|colwidth=30em}}

== Referensi ==
* {{cite book |last1=Gil |first1=A. |last2=Segura |first2=J. |last3=Temme |first3=N. M. |url=https://www.researchgate.net/publication/220693008 |title=Numerical methods for special functions |isbn=978-0-89871-634-4 |date=2007 |publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics |ref=harv}}
* {{cite book |author1-link=Endre Süli |first1=Endre |last1=Süli |first2=David |last2=Mayers |title=An Introduction to Numerical Analysis |publisher=Cambridge University Press |date=2003 |isbn=0-521-00794-1 |ref=harv}}

== Bacaan lebih lanjut ==
* Kendall E. Atkinson, ''An Introduction to Numerical Analysis'', (1989) John Wiley & Sons, Inc, {{isbn|0-471-62489-6}}
* Tjalling J. Ypma, Historical development of the Newton–Raphson method, ''SIAM Review'' '''37''' (4), 531–551, 1995. {{doi|10.1137/1037125}}.
* {{cite book|last1=Bonnans|first1=J.&nbsp;Frédéric|last2=Gilbert|first2=J.&nbsp;Charles|last3=Lemaréchal|first3=Claude| authorlink3=Claude Lemaréchal|last4=Sagastizábal|first4=Claudia&nbsp;A.|author4-link= Claudia Sagastizábal |title=Numerical optimization: Theoretical and practical aspects|url=https://www.springer.com/mathematics/applications/book/978-3-540-35445-1|edition=Second revised ed. of translation of 1997 <!-- ''Optimisation numérique: Aspects théoriques et pratiques'' --> French| series=Universitext|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin|year=2006|pages=xiv+490|isbn=3-540-35445-X|doi=10.1007/978-3-540-35447-5|mr=2265882}}
* P. Deuflhard, ''Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms.'' Springer Series in Computational Mathematics, Vol. 35. Springer, Berlin, 2004. {{isbn|3-540-21099-7}}.
* C. T. Kelley, ''Solving Nonlinear Equations with Newton's Method'', no 1 in Fundamentals of Algorithms, SIAM, 2003. {{isbn|0-89871-546-6}}.
* J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt, ''Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables.'' Classics in Applied Mathematics, SIAM, 2000. {{isbn|0-89871-461-3}}.
*{{Cite book |last1=Press |first1=W. H. |last2=Teukolsky |first2=S. A. |last3=Vetterling |first3=W. T. |last4=Flannery |first4=B. P. |year=2007 |title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing |edition=3rd |publisher=Cambridge University Press |location=New York |isbn=978-0-521-88068-8 |chapter=Chapter 9. Root Finding and Nonlinear Sets of Equations Importance Sampling |chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=442}}. See especially Sections [http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=456 9.4], [http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=473 9.6], and [http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=477 9.7].
* {{cite book |first=Mordecai |last=Avriel |title=Nonlinear Programming: Analysis and Methods |url=https://archive.org/details/nonlinearprogram0000avri |location= |publisher=Prentice Hall |year=1976 |isbn=0-13-623603-0 |pages=[https://archive.org/details/nonlinearprogram0000avri/page/216 216]–221 }}

== Pranala luar ==
{{Commons category|Newton Method}}
{{Wikibooks category|Newton's method}}
* {{springer|title=Newton method|id=p/n066560}}
*{{MathWorld|title=Newton's Method|urlname=NewtonsMethod}}
*[http://en.citizendium.org/wiki/Newton%27s_method Newton's method, Citizendium.]
*[https://web.archive.org/web/20190524083302/http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/n2003/NewtonAccelerateMod.html Mathews, J., The Accelerated and Modified Newton Methods, Course notes.]
*[http://www.ece.mcmaster.ca/~xwu/part2.pdf Wu, X., Roots of Equations, Course notes.]

{{Isaac Newton}}
{{Algoritme pengoptimalan}}
{{Algoritme pencarian root}}
{{authority control}}

{{authority control}}

{{DEFAULTSORT:Newton's Method}}
[[Kategori:Optimization algorithms and methods]]
[[Kategori:Root-finding algorithms]]
[[Kategori:Analisis numerik|Newton]]
[[Kategori:Isaac Newton|Metode]]