Lihat sumber Magma (aljabar)

{{About|struktur aljabar|grupoid dalam teori kategori|Grupoid|kegunaan lain|Magma (disambiguasi)}}
{{Struktur aljabar |Grup}}
[[Gambar:Magma to group4.svg|thumb|right|300px|Struktur aljabar antara magma dan [[Grup (matematika)|grup]].]]
Dalam [[aljabar abstrak]], '''magma''', '''biner'''<ref>{{citation |first=Clifford |last=Bergman|title=Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics}}</ref> atau '''grupoid''' adalah jenis dasar dari [[struktur aljabar]]. Magma terdiri dari [[Himpunan (matematika)|himpunan]] dengan [[operasi biner]] tunggal [[penutupan (operasi biner)|tertutup]] menurut definisi.

== Sejarah dan istilah ==
Istilah ''groupoid'' ditemukan pada tahun 1927 oleh [[Heinrich Brandt]] yang menggambarkan [[Brandt groupoid]] (dari [[bahasa Jerman]] ''Gruppoid''). Istilah ini kemudian digunakan oleh B. A. Hausmann dan [[Øystein Ore]] (1937).<ref>{{citation |first=B. A. |last=Hausmann |first2=Øystein |last2=Ore |title=Theory of quasi-groups |journal=American Journal of Mathematics |volume=59 |issue=4 |pages=983–1004 |year=October 1937 |jstor=2371362 |doi=10.2307/2371362}}</ref> Dalam beberapa ulasan makalah [[Zentralblatt]] tidak setuju dengan istilah yang berlebihan ini. Groupoid Brandt adalah [[grupoid]] dalam arti yang digunakan dalam teori kategori dalam arti yang digunakan oleh Hausmann dan Ore. Namun, buku dalam teori semigrup, termasuk [[Alfred Hoblitzelle Clifford|Clifford]] dan [[G. B. Preston|Preston]] (1961) dan [[John Mackintosh Howie|Howie]] (1995) menggunakan grupoid. Hollings (2014) menulis bahwa istilah '' groupoid '' adalah "mungkin paling sering digunakan dalam matematika modern" dalam arti yang digunakan dalam teori kategori.<ref name="Hollings2014">{{citation |first=Christopher |last=Hollings |title=Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups |url=https://books.google.com/books?id=O9wJBAAAQBAJ&pg=PA142 |year=2014 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-1-4704-1493-1 |pages=142–3}}</ref>

Menurut Bergman dan Hausknecht (1996): 
{{Quote|"Tidak ada kata yang diterima secara umum untuk himpunan dengan operasi biner asosiatif yang tidak harus. Kata '' groupoid '' digunakan aljabar universal, tetapi para pekerja dalam teori kategori dan bidang terkait sangat menolak penggunaan ini karena mereka menggunakan kata yang sama untuk mengartikan 'kategori di mana semua morfisme invers'. Istilah '' magma '' digunakan oleh [[Jean-Pierre Serre|Serre]] [aljabar Lie dan grup Lie, 1965]."<ref name="BergmanHausknecht1996">{{citation |first=George M. |last=Bergman |first2=Adam O. |last2=Hausknecht |title=Cogroups and Co-rings in Categories of Associative Rings |url=https://books.google.com/books?id=s6NnkQs3JBMC&pg=PA61 |year=1996 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-0495-7 |page=61}}</ref>}} Hal ini juga muncul dalam buku oleh [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] ''[[Éléments de mathématique]]'', Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970.<ref name="Bourbaki1998">{{citation |first=N. |last=Bourbaki |title=Algebra I: Chapters 1–3 |chapter=Algebraic Structures: §1.1 Laws of Composition: Definition 1 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=STS9aZ6F204C&pg=PA1 |year=1998 |publisher=Springer |isbn=978-3-540-64243-5 |page=1 |orig-year=1970}}</ref>

== Definisi ==
Magma adalah [[himpunan (matematika)|himpunan]] <math>M</math> dengan [[Operasi biner|operasi]] <math>\bullet</math> dimana [[elemen (matematika)|elemen]] <math>a, b \in M</math> ke elemen <math>a \bullet b</math>. Simbol <math>\bullet</math> adalah ''placeholder'' umum untuk operasi yang ditentukan. Untuk magma, himpunan dan operasi <math>(M,\bullet)</math> menggunakan sebagai berikut (dikenal sebagai ''magma ''atau '' aksioma ketertutupan''):

: Untuk <math>a</math>, <math>b</math> dan <math>M</math>, hasil operasi <math>a \bullet b</math> adalah <math>M</math>.

Dan dalam notasi matematika:
: <math>a,b \in M \implies a \cdot b \in M</math>.

Jika <math>\bullet</math> [[operasi parsial]], maka <math>(M,\bullet)</math> disebut '''magma parsial'''<ref name="Müller-HoissenPallo2012">{{citation |editor-first=Folkert |editor-last=Müller-Hoissen |editor2-first=Jean Marcel |editor2-last=Pallo |editor3-first=Jim |editor3-last=Stasheff |title=Associahedra, Tamari Lattices and Related Structures: Tamari Memorial Festschrift |url=https://books.google.com/books?id=Y01d6g5UemQC&pg=PA11 |year=2012 |publisher=Springer |isbn=978-3-0348-0405-9 |page=11}}</ref> atau disebut juga [[grupoid parsial]].<ref name="Müller-HoissenPallo2012"/><ref name="Silver">{{citation |editor-first=Ben |editor-last=Silver |title=Nineteen Papers on Algebraic Semigroups |publisher=American Mathematical Society |isbn=0-8218-3115-1 |last=Evseev |first=A. E. |chapter=A survey of partial groupoids |year=1988}}</ref>

== Morfisme magma ==
Sebuah [[morfisme]] magma adalah sebuah fungsi, <math>f \colon M \to N</math>, memetakan magma <math>M</math> ke magma <math>N</math>, yang dimana operasi biner:

:<math>f(x \bullet _M y) = f(x) \bullet_N f(y)</math>

dimana <math>\bullet_M</math> dan <math>\bullet_N</math> menunjukkan operasi biner pada <math>M</math> dan <math>N</math>.

== Notasi dan kombinatorik ==
Operasi magma, dan takasosiatif, urutan dinotasikan dengan tanda kurung. Maka operasi <math>\bullet</math> dihilangkan dan dinotasikan dengan penjajaran:
: <math>(a \bullet (b \bullet c)) \bullet d = (a(bc))d</math>

Singkatan untuk mengurangi jumlah tanda kurung, di mana operasi paling dalam dan tanda kurung dihilangkan, diganti hanya dengan penjajaran, <math>xy \bullet z = (x \bullet y) \bullet z</math>. Sebagai contoh, di atas menjadi ekspresi berikut:
:<math>(a \bullet bc)d</math>.
Penggunaan tanda kurung adalah [[notasi prefiks]], di mana ekspresi ditulis <math>\bullet \bullet a \bullet bcd</math>. Maka, [[notasi postfiks]] ([[Notasi Polandia invers]]) di mana ekspresi ditulis <math>abc\bullet \bullet d \bullet</math>, di mana urutan dari kiri ke kanan (tanpa [[Currying]]).

Himpunan dari [[Untai (ilmu komputer)|untai]] yang terdiri dari simbol yang menunjukkan elemen magma, dan himpunan tanda kurung disebut [[bahasa Dyck]]. Jumlah total berbeda untuk menulis aplikasi <math>n</math> dari operator magma dari [[bilangan Catalan]], <math>C_n</math>.  Jadi, <math>C_2 = 2</math>, yang mana hanya pernyataan <math>(ab)c</math> dan <math>a(bc)</math> adalah dua untuk tiga elemen magma dengan dua operasi: <math>C_3 = 5</math>: <math>((ab)c)d</math>, <math>(a(bc))d</math>, <math>(ab)(cd)</math>, <math>a((bc)d)</math>, dan <math>a(b(cd))</math>.

Terdapat <math>n^{n^2}</math> magma dengan elemen <math>n</math> adalah 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ... {{OEIS|A002489}} dan magma dengan elemen 0, 1, 2, 3, 4, .... Jumlah magma tak[[isomorfik]] adalah 1, 1, 10, 3330, 178981952, ... {{OEIS|A001329}} dan jumlah magma takisomorfik dan tak[[antiisomorfik]] adalah 1, 1, 7, 1734, 89521056, ... {{OEIS|A001424}}.<ref>{{mathworld|urlname=Groupoid|title=Groupoid}}</ref>

== Magma bebas ==
'''Magma bebas''', <math>M_X</math>, himpunan <math>X</math> adalah magma yang digunakan untuk <math>X</math> (yaitu, tidak memiliki hubungan atau aksioma pada pembangkit; lihat [[objek bebas]]). Hal ini dijelaskan sebagai himpunan takasosiatif pada <math>X</math> dengan tanda kurung dan menjajarkannya dalam urutan yang sama. Contohnya:
:<math>(a \bullet b) = (a)(b)</math>
:<math>(a \bullet (a \bullet b)) = (a)((a)(b))</math>
:<math>(a \bullet a) \bullet b = ((a)(a))(b)</math>
<math>M_X</math> dapat dijelaskan sebagai himpunan kata takasosiatif <math>X</math> dengan tanda kurung dipertahankan.<ref>{{citation | title=Graduate Algebra: Noncommutative View | page=321 | series=[[Graduate Studies in Mathematics]] | first=Louis Halle | last=Rowen | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2008 | isbn=0-8218-8408-5 |chapter=Definition 21B.1. |chapter-url=https://books.google.com/books?id=8svFC09gGeMC&pg=PA321 }}</ref>

Hal ini juga dapat dilihat dalam istilah yang dikenal di [[ilmu komputer]], sebagai magma [[pohon biner]] dengan daun label elemen <math>X</math>. Operasi menggabungkan pohon di akarnya, maka peran mendasar dalam [[sintaks]].

Magma bebas memiliki [[sifat universal]], jika <math>f \colon X \to N</math> adalah fungsi dari <math>X</math> ke magma, <math>N</math>, maka perluasan dari <math>f</math> ke morfisme magma, <math>f'</math>
: <math>f' \colon M_X \to N</math>.

{{see also|Semigrup bebas|Grup bebas|Himpunan Hall|Bilangan Wedderburn–Etherington}}

== Jenis magma ==
Magma kadang dipelajari; beberapa jenis magma, bergantung pada aksioma apa yang harus dipenuhi oleh operasi tersebut. Jenis magma yang umum dipelajari meliputi:
;[[Grup semu]]: Magma di mana [[pembagian]] selalu mungkin
;[[Gelung (aljabar)|Gelung]]: Kuasigrup dengan [[elemen identitas]]
;[[Semigrup]]: Magma yang dimana operasinya [[asosiatif]]
;[[Semigrup balikan]]: Semigrup dengan balikan.
;[[Semikisi]]: Semigrup operasinya [[komutatif]] dan [[idempoten]]
;[[Monoid]]: Semigrup dengan [[elemen identitas]]
;[[Grup (matematika)|Grup]]: Sebuah monoid dengan [[elemen invers]], atau ekuivalennya, gelung asosiatif, atau kuasigroup asosiatif yang tidak kosong
;[[Grup Abelian]]: Grup yang operasinya bersifat komutatif

Perhatikan bahwa pembagian dan pembatalan adalah [[sifat pembatalan]].

== Penggolongan berdasarkan sifat ==
{{Group-like structures}}
Magma <math>(S,\bullet)</math>, dengan <math>x, y, u, z \in S</math>, disebut

;[[Magma medial|Medial]]: Jika identitas, <math>xy \bullet uz \equiv xu \bullet yz</math>
;Semimedial kiri: Jika identitas, <math>xx \bullet yz \equiv xy \bullet xz</math>
;Semimedial kanan: Jika identitas, <math>yz \bullet xx \equiv yx \bullet zx</math>
;Semimedial: Jika keduanya semimedial kiri dan kanan
;Distributif kiri: Jika memenuhi identitas, <math>x \bullet yz \equiv xy \bullet xz</math>
;Distributif kanan: Jika memenuhi identitas, <math>yz \bullet x \equiv yx \bullet zx</math>
;Autodistributif: Jika keduanya distributif kiri dan kanan
;[[Magma komutatif|Komutatif]]: Jika memenuhi identitas, <math>xy \equiv yx</math>
;[[Idempoten]]: Jika identitas, <math>xx \equiv x</math>
;[[Unipoten]]: Jika identitas, <math>xx \equiv yy</math>
;Nolpoten: Jika identitas, <math>xx \bullet y \equiv xx \equiv y \bullet xx</math><ref>{{citation |first=T. |last=Kepka |first2=P. |last2=Němec |title=Simple balanced groupoids |journal=Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica |volume=35 |issue=1 |pages=53–60 |year=1996 |format=PDF |url=http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/120353/ActaOlom_35-1996-1_7.pdf }}</ref>
;Alternatif: Jika identitas <math>xx \bullet y \equiv x \bullet xy</math> dan <math>x \bullet yy \equiv xy \bullet y</math>
;[[Daya-asosiatif]]: Jika submagma yang dihasilkan oleh suatu elemen bersifat asosiatif
;[[Aljabar fleksibel|Fleksibel]]: jika <math>xy \bullet x \equiv x \bullet xy</math>
;[[Semigrup]], atau [[asosiatif]]: Jika identitas, <math>x \bullet yz \equiv xy \bullet z</math>
;Uner kiri: Jika identitas, <math>xy \equiv xz</math>
;Uner kanan: Jika identitas, <math>yx \equiv zx</math>
;Semigrup dengan perkalian nol, atau [[semigrup nol]]: Jika identitas, <math>xy \equiv uv</math>
;Unital: Jika memiliki elemen identitas

== Kategori magma ==
Kategori magma, dilambangkan '''Mag''', adalah [[Kategori (matematika)|kategori]] objek dari magma, dan [[morfisme]] adalah [[#Kategori magma|homomorfisme magma]]. Kategori '''Mag''' memiliki [[Produk (teori kategori)|produk langsung]], dan [[funktor inklusi]]: {{nobr|'''[[kategori himpunan|Himpunan]] → [[kategori magma medial|Med]] ↪ Mag'''}} sebagai magma trivial, dengan [[operasi biner|operasi]] oleh [[Projeksi (matematika)|projeksi]]: <math>x \, \mathrm T \, y = y</math>.

Sifat adalah [[injeksi]] [[endomorfisme]] yang digunakan [[automorfisme]] dari magma [[ekstensi aljabar|perluasan]], [[kolimit]] dari (urutan [[Fungsi konstan|tetapan]]) [[keendomorfan]].

Karena [[himpunan satuan]] <math>(\{^*\},^*)</math> adalah [[objek nol]] dari '''Mag''', dan karena '''Mag''' adalah [[kategori aljabar|aljabar]] '''Mag''' pada [[kategori kompleks|kompleks]].<ref>{{Cite book |title=Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories |last1=Borceux |first1=Francis |last2=Bourn |first2=Dominique |publisher=Springer |year=2004 |pages=7,19 |isbn=1-4020-1961-0|url=https://books.google.com/books?id=olmeksCI22cC&pg=PA19}}</ref>

== Perampatan ==
Lihat [[Grup n-er|grup ''n''-er]].

== Lihat pula ==
* [[Kategori magma]]
* [[Objek magma otomatis]]
* [[Aljabar universal]]
* [[Sistem aljabar komputer magma]], dinamai menurut objek artikel ini.
* [[Magma takasosiatif komutatif]]
* [[Struktur aljabar#Struktur dimana semua aksioma adalah identitas|Struktur aljabar yang semua aksioma adalah identitas]]
* [[Aljabar grupoid]]
* [[Himpunan Hall]]

== Referensi ==
{{reflist}}
{{refbegin}}
* {{springer|id=m/m110040|author=M. Hazewinkel|title=Magma}}
* {{springer|id=Groupoid|author=M. Hazewinkel|title=Groupoid}}
* {{springer|id=f/f110190|author=M. Hazewinkel|title=Free magma}}
* {{mathworld|urlname=Groupoid|title=Groupoid}}
{{refend}}

== Bacaan lebih lanjut ==
* {{citation |first=Richard Hubert |last=Bruck |author-link=Richard Hubert Bruck |title=A survey of binary systems |year=1971 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-03497-3 |edition=3rd}}

{{DEFAULTSORT:Magma (Algebra)}}
[[Kategori:Aljabar takasosiatif]]
[[Kategori:Operasi biner]]
[[Kategori:Struktur aljabar]]