Lihat sumber Logaritma biner

{{Infobox mathematical function|image=Binary logarithm plot with ticks.svg|name=Logaritma biner|domain=<math> (0,\infty) </math>|kodomain=<math> (-\infty,\infty) </math>|max=Tidak ada|min=Tidak ada|derivative=<math> \frac{1}{x \ln 2} </math>|zero=<math> 1 </math>|fields_of_application=[[Teori musik]]|inverse=<math> x = 2^y </math>}}

'''Logaritma biner''' ({{lang-en|binary logarithm}}) dalam [[matematika]] adalah, adalah [[logaritma]] dengan [[Sistem bilangan biner|basis 2]], yang biasanya dilambangkan dengan <math>\log_2 n</math> atau <math>^2\!\log n</math>. Logaritma biner merupakan [[fungsi invers]] dari [[fungsi kuadrat|fungsi kuadrat atau fungsi pangkat dua]]. Logaritma biner <math>n</math> adalah kepangkatan bilangan [[2 (angka)|dua]] untuk mendapatkan nilai <math>n</math>. Jadi:
:<math>x=\log_2 n \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x=n.</math>
Misalnya logaritma biner 1 adalah 0, logaritma biner 2 adalah 1, logaritma biner 4 adalah 2, logaritma biner 8 adalah 3, logaritma biner 16 adalah 4, logaritma biner 32 adalah 5 dan seterusnya.

Logaritma biner terkait erat dengan [[sistem bilangan biner]]. Dalam sejarahnya, aplikasi pertama logaritma biner adalah dalam [[teori musik]], oleh [[Leonhard Euler]]: logaritma biner dari perbandingan frekuensi antara dua nada menghasilkan perbedaan [[oktaf]] antara nada-nada tersebut. Bidang lain yang sering menggunakan logaritma biner di antaranya adalah [[teori informasi]], [[kombinatorika]], [[ilmu komputer]], [[bioinformatika]], desain turnamen olahraga, dan [[fotografi]].

== Sejarah ==
[[Berkas:Leonhard Euler.jpg|jmpl|180px|[[Leonhard Euler]] adalah orang pertama yang menerapkan logaritma biner pada [[teori musik]], pada tahun 1739.]]
Tabel pangkat dua dipublikasikan oleh [[Michael Stifel]] pada tahun 1544 dan dapat ditafsirkan (dengan membalikkan baris-barisnya) sebagai tabel logaritma biner.<ref>
{{Citation|title = Precalculus mathematics|first1 = Vivian Shaw|last1= Groza |first2= Susanne M. |last2=Shelley|publisher = Holt, Rinehart and Winston|location=New York|year=1972|isbn=978-0-03-077670-0|page = 182|url = http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182}}.</ref><ref>{{citation
 | last = Stifel | first = Michael | author-link = Michael Stifel
 | language = Latin
 | page = 31
 | title = Arithmetica integra
 | url = http://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=PA22
 | year = 1544}}. A copy of the same table with two more entries appears on p.&nbsp;237, and another copy extended to negative powers appears on p.&nbsp;249b.</ref> Aplikasi logaritma biner pada teori musik dilakukan oleh [[Leonhard Euler]] pada tahun 1739, jauh sebelum teori informasi dan ilmu komputer menjadi bidang studi. Sebagai bagian karyanya dalam bidang ini, Euler menyertakan suatu tabel logaritma biner untuk [[bilangan bulat]] dari 1 sampai 8, sampai dengan tujuh desimal untuk keakuratannya.<ref>{{citation
 | last = Euler | first = Leonhard | author-link = Leonhard Euler
 | contribution = Chapter VII. De Variorum Intervallorum Receptis Appelationibus
 | language = Latin
 | pages = 102–112
 | publisher = Saint Petersburg Academy
 | title = Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae
 | url = http://eulerarchive.maa.org/pages/E033.html
 | year = 1739}}.</ref><ref>{{citation|title=London encyclopaedia; or, Universal dictionary of science, art, literature and practical mechanics: comprising a popular view of the present state of knowledge, Volume 4|first=Thomas|last=Tegg|year=1829|contribution=Binary logarithms|pages=142–143|url=http://books.google.com/books?id=E-ZTAAAAYAAJ&pg=PA142}}.</ref>

== Notasi ==
Dalam matematika, logaritma biner suatu bilangan ''n'' ditulis sebagai <math>\log_2 n</math> atau <math>^2\!\log n</math>. Namun, sejumlah notasi lain fungsi ini telah diusulkan dan digunakan dalam berbagai bidang.

Sejumlah pengarang menuliskan logaritma biner sebagai <math>\lg n </math>.<ref name="clrs">{{Introduction to Algorithms|pages=34, 53–54|edition=2}}</ref><ref name="sw11">{{citation|title=Algorithms|first1=Robert|last1=Sedgewick|author1-link=Robert Sedgewick (computer scientist)|first2=Kevin Daniel|last2=Wayne|publisher=Addison-Wesley Professional|year=2011|isbn=9780321573513|page=185|url=http://books.google.com/books?id=MTpsAQAAQBAJ&pg=PA185}}.</ref> [[Donald Knuth]] mengungkapkan bahwa notasi ini didapatnya dari usulan [[Edward Reingold]],<ref name="knuth">{{citation|title=[[The Art of Computer Programming]], Volume 1: Fundamental Algorithms|first=Donald E.|last=Knuth|authorlink=Donald Knuth|edition=3rd|publisher=Addison-Wesley Professional|year=1997|isbn=9780321635747}}, [http://books.google.com/books?id=x9AsAwAAQBAJ&pg=PA11 p.&nbsp;11]. The same notation was in the 1973 2nd edition of the same book (p.&nbsp;23) but without the credit to Reingold.</ref> tetapi penggunaannya dalam teori informasi maupun ilmu komputer tampaknya sudah ada sebelum Reingold aktif.<ref>{{citation
 | last = Trucco | first = Ernesto
 | doi = 10.1007/BF02477836
 | journal = Bull. Math. Biophys.
 | mr = 0077919
 | pages = 129–135
 | title = A note on the information content of graphs
 | volume = 18
 | year = 1956}}.</ref><ref>{{citation
 | last = Mitchell | first = John N.
 | doi = 10.1109/TEC.1962.5219391
 | issue = 4
 | journal = IRE Transactions on Electronic Computers
 | pages = 512–517
 | title = Computer multiplication and division using binary logarithms
 | volume = EC-11
 | year = 1962}}.</ref> Logaritma biner juga pernah ditulis sebagai '''<math>\log n</math>''', dengan catatan bahwa basis default logaritma adalah bilangan 2 (bukan 10 sebagaimana lazimnya).<ref>{{citation|title=Mathematics for Engineers|first1=Georges|last1=Fiche|first2=Gerard|last2=Hebuterne|publisher=John Wiley & Sons|year=2013|isbn=9781118623336|page=152|url=http://books.google.com/books?id=TqkckiuuXg8C&pg=PT152|quote=In the following, and unless otherwise stated, the notation log ''x'' always stands for the logarithm to the base 2 of ''x''}}.</ref><ref>{{citation|title=Elements of Information Theory|first1=Thomas M.|last1=Cover|first2=Joy A.|last2=Thomas|edition=2nd|publisher=John Wiley & Sons|year=2012|isbn=9781118585771|page=33|url=http://books.google.com/books?id=VWq5GG6ycxMC&pg=PT33|quote=Unless otherwise specified, we will take all logarithms to base 2}}.</ref><ref name="gt02">{{citation|first1=Michael T.|last1=Goodrich|author1-link=Michael T. Goodrich|first2=Roberto|last2=Tamassia|author2-link=Roberto Tamassia|title=Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples|publisher=John Wiley & Sons|year=2002|page=23|quote=One of the interesting and sometimes even surprising aspects of the analysis of data structures and algorithms is the ubiquitous presence of logarithms ... As is the custom in the computing literature, we omit writing the base ''b'' of the logarithm when ''b''&nbsp;=&nbsp;2.}}</ref>

Notasi lain yang terkadang digunakan untuk fungsi tersebut (terutama dalam [[bahasa Jerman]]) adalah <math>\operatorname{ld} n</math>, dari frasa [[bahasa Latin]] ''[[wikt:logarithmus#bahasa Latin|logarithmus]] [[wikt:dualis#bahasa Latin|duālis]]''.<ref>For instance, see {{citation|title=Origins and Foundations of Computing: In Cooperation with Heinz Nixdorf MuseumsForum|first=Friedrich L.|last=Bauer|publisher=Springer Science & Business Media|year=2009|isbn=9783642029929|page=54|url=http://books.google.com/books?id=y4uTaLiN-wQC&pg=PA54}}.</ref> Spesifikasi [[ISO 31-11]] dan [[ISO 80000-2]] menyarankan notasi lainnya, <math>\operatorname{lb} n</math>; dalam spesifikasi ini, <math>\lg n </math> digunakan untuk <math>\log_{10} n</math>.<ref>For DIN 1302 see {{citation
 | title=Brockhaus Enzyklopädie in zwanzig Bänden | language=de |trans-title=Brockhaus Encyclopedia in Twenty Volumes
 | volume=11 | page=554
 | publisher=F.A. Brockhaus | location=Wiesbaden
 | isbn=978-3-7653-0000-4
 | year=1970
}}.</ref><ref>For ISO 31-11 see {{citation
 | last1 = Thompson | first1 = Ambler
 | last2 = Taylor | first2 = Barry M
 | date = March 2008
 | page = 33
 | publisher = [[NIST]]
 | title = Guide for the Use of the International System of Units (SI) — NIST Special Publication 811, 2008 Edition — Second Printing
 | url = http://physics.nist.gov/cuu/pdf/sp811.pdf}}.</ref><ref>For ISO 80000-2 see {{citation
 | chapter-url=http://www.ise.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf
 | title=International Standard ISO 80000-2
 | chapter=Quantities and units – Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology
 | edition=1st|date=December 1, 2009
 | at=Section 12, Exponential and logarithmic functions, p.&nbsp;18}}.</ref>

==Penerapan==
===Teori informasi===
Banyak digit ([[bit]]) dalam [[representasi biner]] sebuah bilangan bulat positif <math>n</math> adalah [[Fungsi lantai dan atap|bagian bulat]] dari <math>1 + \log_2 n</math>, yakni<ref name="sw11"/>

:<math> \lfloor \log_2 n\rfloor + 1. \, </math>

Dalam teori informasi, definisi dari banyak [[konten informasi]] dan [[entropi informasi]] sering diekspresikan dengan logaritma biner, menyebabkan bit menjadi satuan fundamental untuk informasi. Akan tetapi, [[logaritma alami]] dan [[Nat (satuan)|nat]] juga digunakan dalam notasi alternatif untuk definisi tersebut.<ref>{{citation|title=Information Theory|first=Jan C. A.|last=Van der Lubbe|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=9780521467605|page=3|url=http://books.google.com/books?id=tBuI_6MQTcwC&pg=PA3}}.</ref>

===Kombinatorika===
[[Berkas:SixteenPlayerSingleEliminationTournamentBracket.svg|thumb|280px|Sebuah [[braket turnamen]] [[sistem gugur]] 16-pemain yang berstruktur [[pohon biner]] lengkap. Tinggi pohon tersebut (banyak babak dalam turnamen) sama dengan logaritma biner untuk pohon biner lengkap yang banyak daunnya adalah [[perpangkatan dari dua]], dan satu nilai lebih besar daripada logaritma biner untuk pohon dengan banyak daun selain itu.]]
Meskipun [[logaritma alami]] lebih penting daripada logaritma biner dalam banyak bidang [[matematika murni]] seperti [[teori bilangan]] dan [[analisis matematis]], logaritma biner memiliki beberapa penerapan dalam [[kombinatorik]]:
*Semua [[pohon biner]] dengan <math>n</math> daun memiliki tinggi paling tidak sebesar <math>\log_2 n</math>, dengan nilainya sama persisi apabila <math>n</math> merupakan [[perpangkatan dari dua]] dan pohonnya merupakan [[pohon biner lengkap]].<ref>{{citation
 | last = Leiss | first = Ernst L.
 | isbn = 9781420011708
 | page = 28
 | publisher = CRC Press
 | title = A Programmer's Companion to Algorithm Analysis
 | url = http://books.google.com/books?id=E6BNGFQ6m_IC&pg=RA2-PA28
 | year = 2006}}.</ref>
*Semua [[keluarga himpunan]] dengan <math>n</math> himpunan berbeda memiliki paling tidak <math>\log_2 n</math> anggota dalam gabungannya, dengan nilainya sama persis apabila keluarga tersebut merupakan sebuah [[himpunan kuasa]].<ref>Ekuivalennya, sebuah keluarga dengan ''k'' anggota berbeda punya maksimal 2<sup>''k''</sup> himpunan berbeda, dengan nilainya sama persis apabila keluarganya merupakan himpunan kuasa.</ref><!--
*Every [[partial cube]] with ''n'' vertices has isometric dimension at least <math>\log_2 n</math>, and at most <math>\frac{1}{2}n\log_2 n</math> edges, with equality when the partial cube is a [[hypercube graph]].<ref>{{citation
 | last = Eppstein | first = David | authorlink = David Eppstein
 | arxiv = cs.DS/0402028
 | doi = 10.1016/j.ejc.2004.05.001
 | issue = 5
 | journal = European Journal of Combinatorics
 | mr = 2127682
 | pages = 585–592
 | title = The lattice dimension of a graph
 | volume = 26
 | year = 2005}}.</ref>
*According to [[Ramsey's theorem]], every ''n''-vertex [[undirected graph]] has either a [[Clique (graph theory)|clique]] or an [[Independent set (graph theory)|independent set]] of size logarithmic in ''n''. The precise size that can be guaranteed is not known, but the best bounds known on its size involve binary logarithms. In particular, all graphs have a clique or independent set of size at least <math>\frac{1}{2}\log_2 n(1-o(1))</math> and almost all graphs do not have a clique or independent set of size larger than <math>2\log_2 n(1+o(1))</math>.<ref>{{citation
 | last1 = Graham | first1 = Ronald L. | author1-link = Ronald Graham
 | last2 = Rothschild | first2 = Bruce L. | author2-link = Bruce Lee Rothschild
 | last3 = Spencer | first3 = Joel H. | author3-link = Joel Spencer
 | page = 78
 | publisher = Wiley-Interscience
 | title = Ramsey Theory
 | year = 1980}}.</ref>-->

===Kompleksitas komputasi===
[[Berkas:Binary search into array - example.svg|thumb|240px|[[Pencarian biner]] pada larik yang berurut merupakan algoritma yang kompleksitas waktunya melibatkan logaritma biner]]
Logaritma biner juga sering muncul dalam [[analisis algoritma]],<ref name="gt02"/> bukan hanya karena aritmetika bilangan biner kerap digunakan dalam algoritma, tetapi juga karena logaritma biner muncul dalam analisis algoritma yang menggunakan percabangan dua arah.<ref name="knuth"/> Jika suatu masalah awalnya punya ''<math>n</math>'' pilihan untuk dipilih, dan setiap pengulangan algoritma membagi dua banyak pilihannya, maka banyak pengulangan yang diperlukan untuk mendapatkan satu pilihan adalah bagian bulat dari <math>\log_2 n</math>. Ide ini digunakan dalam menganalisis beberapa [[algoritma]] dan [[struktur data]]. Contohnya, dalam [[pencarian biner]], ukuran masalah dibagi dua pada setiap pengulangannya, sehingga perlu kira-kira <math>\log_2 n</math> pengulangan untuk mendapatkan masalah berukuran 1, yang bisa diselesaikan dalam waktu konstan. Tidak jauh berbeda, [[pohon pencarian biner]] yang seimbang dan memiliki ''n'' element pasti punya tinggi <math>\log_2 n + 1</math>.

Namun, lama waktu dijalankannya algoritma biasanya diekspresikan dalam [[notasi O besar]], yang mengabaikan faktor konstanta. Karena <math>\log_2 n = \frac{\log_k n}{\log_k 2}</math>, dengan <math>k</math> adalah suatu bilangan yang lebih dari 1, algoritma yang berjalan dalam waktu <math>O(\log_2 n)</math> bisa juga dikatakan berjalan dalam waktu <math>O(\log_{13} n)</math>. Jadi basis logaritma dalam ekspresi-ekspresi seperti <math>O(\log n)</math> atau <math>O(n \log n)</math> tidaklah penting.<ref name="clrs"/> Akan tetapi, dalam beberapa konteks, basis logaritma perlu dijelaskan. Contohnya <math>O(2^{\log_2 n})</math> tidak sama dengan <math>O(2^{\ln n})</math> karena yang pertama sama dengan <math>O(n)</math> sedangkan yang kedua sama dengan <math>O(n^{0.6931\dots})</math>.

Algoritma dengan waktu jalan <math>O(n \log n)</math> terkadang disebut ''linearitmik''.<ref>{{harvtxt|Sedgewick|Wayne|2011}}, [http://books.google.com/books?id=MTpsAQAAQBAJ&pg=PA186 p.&nbsp;186].</ref> Contoh algoritma dengan waktu jalan <math>O(\log n)</math> atau <math>O(n \log n)</math> di antaranya:

*[[quicksort|Waktu rata-rata dari ''quicksort'']] dan beberapa algoritma pengurutan lainnya<ref>Cormen et al., p.&nbsp;156; Goodrich & Tamassia, p.&nbsp;238.</ref>
*Pencarian dalam [[pohon pencarian biner]] yang seimbang<ref>Cormen et al., p.&nbsp;276; Goodrich & Tamassia, p.&nbsp;159.</ref>
*[[Pemangkatan dengan menguadratkan]]<ref>Cormen et al., pp.&nbsp;879–880; Goodrich & Tamassia, p.&nbsp;464.</ref>
*[[Subbarisan naik terpanjang]]<ref>{{citation|title=How to Think About Algorithms|first=Jeff|last=Edmonds|publisher=Cambridge University Press|year=2008|isbn=9781139471756|page=302|url=http://books.google.com/books?id=hGuixQMQS_0C&pg=PT280}}.</ref>
Logarimta biner juga muncul dalam bentuk eksponen batas waktu untuk beberapa [[algoritma divide and conquer|algoritma ''divide and conquer'']], seperti [[algortima Karatsuba]] untuk perkalian bilangan ''n''-bit dalam waktu <math>O(n^{\log_2 3})</math>.<ref>Cormen et al., p.&nbsp;844; Goodrich & Tamassia, p.&nbsp;279.</ref>

===Bioinformatika===
[[Berkas:Mouse cdna microarray.jpg|thumb|280px|Sebuah data [[mikrolarik]] dari ekspresi kira-kira 8700 gen. Tingkat ekspresi relatif dari gen-gen tersebut direpresentasikan menggunakan logaritma biner.]]
Dalam analisis data [[mikrolarik]] dalam [[bioinformatika]], tingkat [[ekspresi gen]] biasanya dibandingkan dengan menggunakan logaritma biner dari rasio tingkat ekspresi. Dengan menggunakan logaritma basis 2, tingkat ekspresi yang menjadi dua kali lipat bisa digambarkan dengan rasio <math>\log 1</math>, tingkat ekspresi yang menjadi setengah bisa digambarkan dengan log rasio −1, dan tingkat ekspresi yang tidak berubah bisa digambarkan dengan rasio log nol, sebagai contoh.<ref>{{citation|title=Microarray Gene Expression Data Analysis: A Beginner's Guide|first1=Helen|last1=Causton|first2=John|last2=Quackenbush|first3=Alvis|last3=Brazma|publisher=John Wiley & Sons|year=2009|isbn=9781444311563|pages=49–50|url=http://books.google.com/books?id=bg6D_7mdG70C&pg=PA49}}.</ref> Titik-titik data yang didapatkan dengan cara ini biasanya divisualisasikan sebagai sebuah [[diagram pencar]] di mana salah satu atau kedua sumbu koordinatnya adalah logaritma biner dari rasio intensitas, atau dalam visualisasi seperti [[diagram MA]] dan [[diagram RA]] yang memutar dan menskalakan rasio log dari diagram pencarnya.<ref>{{citation|title=Computational and Statistical Methods for Protein Quantification by Mass Spectrometry|first1=Ingvar|last1=Eidhammer|first2=Harald|last2=Barsnes|first3=Geir Egil|last3=Eide|first4=Lennart|last4=Martens|publisher=John Wiley & Sons|year=2012|isbn=9781118493786|page=105|url=http://books.google.com/books?id=3Z3VbhLz6pMC&pg=PA105}}.</ref>

=== Teori musik ===
Dalam [[teori musik]], [[Interval (musik)|interval]] atau perbedaan dalam persepsi antara dua nada ditentukan oleh rasio kedua [[frekuensi]]nya. Interval yang datang dari rasio [[bilangan rasional]] dengan pembilang dan penyebut kecil pada khususnya dianggap merdu. Interval yang paling sederhana dan paling penting adalah [[oktaf]], suatu rasio frekuensi <math>2:1</math>. Bilangan oktaf dari perbedaan dua nada merupakan logaritma biner dari rasio frekuensi kedua nada itu.<ref name="mga">{{citation|title=The Musician's Guide to Acoustics|first1=Murray|last1=Campbell|first2=Clive|last2=Greated|publisher=Oxford University Press|year=1994|isbn=9780191591679|page=78|url=http://books.google.com/books?id=iiCZwwFG0x0C&pg=PA78}}.</ref>

Untuk mempelajari [[sistem penalaan]] dan aspek lain dari teori musik dibutuhkan pembedaan yang lebih peka antara nada-nada, sehingga diperlukan suatu pengukuran besarnya interval yang lebih halus dari suatu oktaf dan dapat ditambah (sebagaimana suatu [[logaritma]]) bukannya dikalikan (sebagaimana rasio frekuensi). Jadi, jika nada-nada <math>x</math>, <math>y</math>, dan <math>z</math> membentuk urutan nada-nada yang menaik, maka ukuran interval dari <math>x</math> ke <math>y</math> ditambah ukuran interval dari <math>y</math> ke <math>z</math> seharusnya sama dengan ukuran interval dari ''<math>x</math>'' ke <math>z</math>. Pengukuran semacam ini dilakukan dengan satuan [[Sen (musik)|sen]], yang membagi suatu oktaf menjadi 1200 interval yang sama (12 [[semitone]] yang masing-masing terdiri dari 100 ''cent''). Secara matematis, nada-nada dengan frekuensi <math>f_1</math> dan <math>f_2</math>, mempunyai jumlah sen dalam interval dari <math>x</math> ke <math>y</math> sebesar<ref name="mga"/>
:<math>\left|1200\log_2\frac{f_1}{f_2}\right|.</math>
Istilah [[milioktaf]] didefinisikan dengan cara yang sama, tetapi dengan pengali 1000 bukannya 1200.

===Penjadwalan olahraga===
Dalam permainan dan olah raga dengan dua pemain atau tim dalam masing-masing permainan atau pertandingannya, logaritma biner menunjukkan banyak babak yang diperlukan untuk menentukan pemengang dalam suatu turnamen dengan [[sistem gugur]]. Sebagai contoh, turnamen dengan 4 pemain perlu log<sub>2</sub>(4)&nbsp;=&nbsp;2 babak untuk menentukan pemenangnya, turnamen dengan 32 tim memerlukan log<sub>2</sub>(32)&nbsp;=&nbsp;5 babak, dsb. Dalam kasus di mana terdapat ''n'' pemain/tim dan ''n'' bukan perpangkatan dari 2, log<sub>2</sub>''n'' dibulatkan ke atas karena akan diperlukan paling tidak satu babak di mana tidak semua pesertanya bertanding. Misalnya, log<sub>2</sub>(6) kira-kira sama dengan 2,585, dibulatkan ke atas, menunjukkan bahwa turnamen dengan 6 tim memerlukan 3 babak (bisa jadi 2 tim tidak bermain di babak pertama, atau satu tim tidak bermain di babak kedua). Banyak babak yang sama juga diperlukan untuk menentukan pemenang yang jelas dalam [[turnamen sistem Swiss]].<ref>{{citation|title=Introduction to Physical Education and Sport Science|first=Robert|last=France|publisher=Cengage Learning|year=2008|isbn=9781418055295|page=282|url=http://books.google.com/books?id=dH2nB1CX2SMC&pg=PA282}}.</ref>

=== Fotografi ===
Dalam [[fotografi]], [[nilai eksposur]] diukur menggunakan logaritma biner jumlah cahaya yang mencapai film atau sensor, sejalan dengan [[hukum Weber–Fechner]] yang menyatakan respons logaritmik sistem penglihatan manusia terhadap cahaya. Satu stop exposur adalah satu unit dalam skala logaritma basis-2.<ref>{{citation|title=The Manual of Photography|first1=Elizabeth|last1=Allen|first2=Sophie|last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis|year=2011|isbn=9780240520377|page=228|url=http://books.google.com/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA228}}.</ref><ref name="btzs">{{citation|title=Beyond the Zone System|first=Phil|last=Davis|publisher=CRC Press|year=1998|isbn=9781136092947|page=17|url=http://books.google.com/books?id=YaVEAQAAQBAJ&pg=PA17}}.</ref> Lebih tepatnya, nilai exposure suatu foto didefinisikan sebagai:
:<math>\log_2 \frac{N^2}{t}</math>
di mana <math>N</math> adalah [[bilangan-f]] yang mengukur [[bukaan (fotografi)|bukaan]] lensa selama exposur, dan <math>t</math> adalah jumlah detik lamanya exposur.

Logaritma biner (diekspresikan dalam satuan stop) juga digunakan dalam [[densitometri]], untuk mengekspresikan [[rentang dinamis]] dari bahan atau sensor digital yang sensitif cahaya.<ref>{{citation|title=Visual Effects Society Handbook: Workflow and Techniques|first1=Susan|last1=Zwerman|first2=Jeffrey A.|last2=Okun|publisher=CRC Press|year=2012|isbn=9781136136146|page=205|url=http://books.google.com/books?id=3rLpAwAAQBAJ&pg=PA205}}.</ref>

== Kalkulasi ==
<!--
=== Konversi dari basis-basis lain ===
Suatu cara mudah untuk menghitung <sup>2</sup>log (''n'') pada [[kalkulator]] yang tidak mempunyai fungsi log<sub>2</sub> adalah menggunakan fungsi [[logaritma natural]] (ln) atau [[logaritma umum]] (log), yang biasanya ada pada kebanyakan [[:en:scientific calculator|scientific calculator]]. Rumus [[:en:Logarithm#Change of base|perubahan basis logaritma]] adalah:<ref name="btzs"/><ref>{{citation|title=Secret History: The Story of Cryptology|first=Craig P.|last=Bauer|publisher=CRC Press|year=2013|isbn=9781466561861|page=332|url=http://books.google.com/books?id=EBkEGAOlCDsC&pg=PA332}}.</ref>

:<math>\log_2 n = \frac{\ln n}{\ln 2} = \frac{\log_{10} n}{\log_{10} 2},</math>
or approximately
:<math>\log_2 n \approx 1.442695\ln n \approx 3.321928\log_{10} n.</math>
<!--
===Integer rounding===
The binary logarithm can be made into a function from integers and to integers by [[rounding]] it up or down.  These two forms of integer binary logarithm are related by this formula:

:<math> \lfloor \log_2(n) \rfloor = \lceil \log_2(n + 1) \rceil - 1, \text{ if }n \ge 1.</math><ref name="Hackers">{{Cite book | title=[[Hacker's Delight]] | first1=Henry S. | last1=Warren Jr. | year=2002 | publisher=Addison Wesley | isbn=978-0-201-91465-8 | pages=215}}</ref>
The definition can be extended by defining <math> \lfloor \log_2(0) \rfloor = -1</math>. Extended in this way, this function is related to the [[number of leading zeros]] of the 32-bit unsigned binary representation of ''x'', nlz(''x'').
:<math>\lfloor \log_2(n) \rfloor = 31 - \operatorname{nlz}(n).</math><ref name="Hackers" />

The integer binary logarithm can be interpreted as the zero-based index of the most significant 1 bit in the input. In this sense it is the complement of the [[find first set]] operation, which finds the index of the least significant 1 bit. Many hardware platforms include support for finding the number of leading zeros, or equivalent operations, which can be used to quickly find the binary logarithm; see [[find first set]] for details. The <code>fls</code> and <code>flsl</code> functions in the [[Linux kernel]]<ref>[https://www.kernel.org/doc/htmldocs/kernel-api/API-fls.html fls], Linux kernel API, [[kernel.org]], retrieved 2010-10-17.</ref> and in some versions of the [[libc]] software library also compute the binary logarithm (rounded up to an integer, plus one).

===Recursive approximation===

For a general [[positive number|positive real number]], the binary logarithm may be computed in two parts:<ref name="ml73">{{citation
 | last1 = Majithia | first1 = J. C.
 | last2 = Levan | first2 = D.
 | doi = 10.1109/PROC.1973.9318
 | issue = 10
 | journal = Proceedings of the IEEE
 | pages = 1519–1520
 | title = A note on base-2 logarithm computations
 | volume = 61
 | year = 1973}}.</ref>
# Compute the [[integer]] part, <math>\lfloor\log_2 x\rfloor</math> (called the mantissa of the logarithm)
# Compute the fractional part (the characteristic of the logarithm)

Computing the integral part is straightforward.  For any ''x''&nbsp;>&nbsp;0, there exists a unique integer ''n'' such that 2<sup>''n''</sup>&nbsp;≤&nbsp;''x''&nbsp;<&nbsp;2<sup>''n''+1</sup>, or equivalently 1&nbsp;≤&nbsp;2<sup>−''n''</sup>''x''&nbsp;<&nbsp;2.  Now the integer part of the logarithm is simply ''n'', and the fractional part is log<sub>2</sub>(2<sup>−''n''</sup>''x'').<ref name="ml73"/>  In other words:

:<math>\log_2 x = n + \log_2 y \quad\text{where } y = 2^{-n}x \text{ and } y \in [1,2)</math>

The fractional part of the result is <math>\log_2 y</math>, and can be computed [[recursion|recursively]], using only elementary multiplication and division.<ref name="ml73"/>  To compute the fractional part:
# Start with a real number <math>y \in [1,2)</math>.  If <math>y=1</math>, then we are done and the fractional part is zero.
# Otherwise, square <math>y</math> repeatedly until the result is <math>z \in [2,4)</math>.  Let <math>m</math> be the number of squarings needed.  That is, <math>z = y^{2^m}</math> with <math>m</math> chosen such that <math>z \in [2,4)</math>.
# Taking the logarithm of both sides and doing some algebra:
#:<math>\begin{align}
\log_2 z &= 2^m \log_2 y \\
\log_2 y &= \frac{ \log_2 z }{ 2^m } \\
&= \frac{ 1 + \log_2(z/2) }{ 2^m } \\
&= 2^{-m} + 2^{-m}\log_2(z/2)
\end{align}</math>
# Once again <math>z/2</math> is a real number in the interval <math>[1,2)</math>. Return to step 1, and compute the binary logarithm of <math>z/2</math> using the same method recursively.

The result of this is expressed by the following formulas, in which <math>m_i</math> is the number of squarings required in the ''i''-th recursion of the algorithm:
:<math>\begin{align}
\log_2 x &= n + 2^{-m_1} \left( 1 + 2^{-m_2} \left( 1 + 2^{-m_3} \left( 1 + \cdots \right)\right)\right) \\
&= n + 2^{-m_1} + 2^{-m_1-m_2} + 2^{-m_1-m_2-m_3} + \cdots
\end{align}</math>

In the special case where the fractional part in step 1 is found to be zero, this is a ''finite'' sequence terminating at some point.  Otherwise, it is an [[infinite series]] which [[convergent series|converge]]s according to the [[ratio test]], since each term is strictly less than the previous one (since every <math>m_i>0</math>).  For practical use, this infinite series must be truncated to reach an approximate result.  If the series is truncated after the ''i''-th term, then the error in the result is less than <math>2^{-(m_1+m_2+\cdots+m_i)}</math>.

An alternative algorithm that computes a single bit of the output in each iteration, using a sequence of shift and comparison operations to determine which bit to output, is also possible.<ref>{{citation
 | last = Kostopoulos | first = D. K.
 | doi = 10.1109/12.102831
 | issue = 11
 | journal = IEEE Transactions on Computers
 | pages = 1267–1270
 | title = An algorithm for the computation of binary logarithms
 | volume = 40
 | year = 1991}}.</ref>
-->
=== Dukungan perpustakaan software ===
Fungsi <code>log2</code> dimasukkan ke dalam [[fungsi matematika C]] standar. Versi default fungsi ini mengambil argumen ''[[double precision]]'' tetapi varian-variannya mengizinkan argumen dalam bentuk ''single-precision'' atau sebagai ''[[long double]]''.<ref>{{citation | url=http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/docs/n1124.pdf | title=ISO/IEC 9899:1999 specification | page=226| contribution = 7.12.6.10 The log2 functions }}.</ref>

== Referensi ==
{{reflist|30em}}{{Daftar fungsi matematika}}

== Pranala luar ==
* {{mathworld|id=BinaryLogarithm|title=Binary Logarithm}}

[[Kategori:Aritmetika biner]]
[[Kategori:Kalkulus]]
[[Kategori:Logaritma]]