Lihat sumber Logaritma alami

{{Tanpa referensi|date=Oktober 2021}}
{{E (konstanta matematika)}}
'''Logaritma alami''' atau '''logaritma natural''' ({{Lang-en|natural logarithm}}) adalah suatu [[logaritma]] yang berbasis ''[[e (konstanta matematika)|e]]'', di mana

:<math>e \approx 2.718281828459045\dots</math>.<ref>{{Cite web|title=What is a Logarithm?|url=http://www.mclph.umn.edu/mathrefresh/logs2.html|website=www.mclph.umn.edu|access-date=2020-08-21}}</ref>

Logaritma alami [[Definisi|terdefinisikan]] untuk semua [[bilangan real|bilangan real (riil)]] positif <math>x</math> dan dapat juga didefinisikan untuk [[bilangan kompleks]] yang bukan <math>0</math>.{{Butuh rujukan}}[[Berkas:Log.svg|jmpl|Grafik logaritma alami <math>y = \ln x</math> dengan <math>x > 0</math>]]Fungsi logaritma alami merupakan invers atau kebalikan dari [[fungsi eksponensial]].
:<math>\ e^{\ln(x)} = x \,\!</math> untuk semua <math>x</math> yang positif dan
:<math>\ln(e^x) = x \,\! </math> untuk semua <math>x</math> yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya ''e'', dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.

== Sejarah ==
{{Main|Sejarah logaritma}}

== Notasi logaritma alami ==
Dalam matematika, para matematikawan biasanya menggunakan <math>\ln(x)</math> atau <math>\log(x)</math> untuk menotasikan <math>\log_e (x)</math>. Begitu juga dengan para [[insinyur]], ahli [[biologi]] dan bidang-bidang yang lain. Dalam alat hitung, yakni [[kalkulator]], tombol '''ln''' diartikan sebagai logaritma alami.{{Butuh rujukan}}

== Definisi ==

Secara formal, ln(''a'') dapat didefinisikan sebagai luas di bawah grafik ([[integral]]) dari 1/''x'' dihitung dari 1 ke ''a'', atau,
:<math>\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.</math>

Definisi tersebut mendefinisikan suatu logaritma, karena memenuhi sifat fundamental dari logaritma, yaitu:

:<math>\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \,\!</math>
Ini dapat ditunjukkan dengan mendefinisikan <math>\phi(t)=at</math> dan dengan menggunakan [[rumus substitusi]]:

:<math>
\begin{align}
\ln (ab) &= \int_1^{ab} \frac{1}{x} \, \mathrm dx \\ 
&= \int_1^a \frac{1}{x} \, \mathrm dx + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \, \mathrm dx \\
&= \int_1^{a} \frac{1}{x} \, \mathrm dx + \int_1^{b} \frac{1}{t} \, \mathrm dt \\
&= \ln (a) + \ln (b)
\end{align}
</math>

Bilangan ''e'', selanjutnya dapat didefinisikan sebagai bilangan real (riil) yang unik yaitu ''a'' di mana <math>\ln(a) = 1</math>.

== Sifat ==
Beberapa sifat logaritma alami berkaitan dengan logaritma biasa (lihat [[Logaritma#Sifat|Sifat Logaritma]]), di antaranya.

* <math>\ln 1 = 0</math>
* <math>\ln e = 1</math>
* <math>\ln ab = \ln a + \ln b</math>
* <math>\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b</math>

== Lihat pula ==
* [[Logaritma natural dari 2]]

== Referensi ==
{{reflist}}
{{Daftar fungsi matematika}}
{{Authority control}}

[[Kategori:Matematika]]