Lihat sumber Limit langsung

{{Periksa terjemahan|en|Direct limit}}

Dalam [[matematika]], '''limit langsung''' adalah cara untuk membangun objek (biasanya besar) dari banyak objek (biasanya lebih kecil) yang disatukan dengan cara tertentu. Objek ini mungkin [[Grup (matematika)|grup]], [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], [[ruang vektor]] atau dalam objek umum dari [[Kategori (matematika)|kategori]]. Cara mereka disatukan ditentukan oleh sistem [[homomorfisme]] (homomorfisme kelompok, homomorfisme gelanggang, atau secara umum morfisme dalam kategori) di antara objek-objek yang lebih kecil. Limit langsung benda <math>A_i</math>, di mana <math> i </math> berkisar di beberapa [[himpunan terarah]] <math>I</math>, dilambangkan dengan <math>\varinjlim A_i </math>. (Ini adalah sedikit [[penyalahgunaan notasi]] karena menekan sistem homomorfisme yang penting untuk struktur batas.)

Batas langsung adalah kasus khusus dari konsep [[batas (teori kategori)|kolom]] di [[teori kategori]]. Limit langsung adalah [[Ganda (teori kategori)|ganda]] sampai [[limit invers]] yang juga merupakan kasus khusus [[Limit (teori kategori)|limit]] dalam teori kategori.

== Definisi formal ==
Pertama kami akan memberikan definisi untuk [[struktur aljabar]] seperti [[Grup (matematika)|grup]] dan [[Modul (matematika)|modul]], dan kemudian definisi umumnya, yang bisa digunakan dalam setiap kategori

=== Limit langsung objek aljabar ===
Dalam bagian ini objek dipahami terdiri dari [[Himpunan (matematika)|himpunan]] yang mendasari dengan [[struktur aljabar]] yang diberikan, seperti[[kelompok (matematika)|kelompok]], [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], [[modul (matematika)|modul]] (di atas gelanggang tetap), [[aljabar di atas bidang|aljabar]] (di atas bidang tetap), dll. Dengan pemikiran ini, '' [[homomorfisme]] '' dipahami dalam pengaturan yang sesuai ([[grup homomorfisme]], dll.) .

Karenanya <math>\langle I,\le\rangle</math> jadilah kumpulan [[himpunan diarahkan|diarahkan]] [[Urutan parsial|dipesan sebagian]] (perhatikan bahwa tidak semua pengarang memerlukan {{mvar | I}} untuk diarahkan). Maka {{math|1=''A''<sub>•</sub> = (''A''<sub>''i''</sub>)<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>}} menjadi keluarga objek [[kumpulan indeks|indeks]] oleh <math>I\,</math> dan  <math> f_{ij}\colon A_i \rightarrow A_j </math> menjadi homomorfisme untuk semua <math>i \le j</math> dengan properti berikut:
# <math>f_{ii}\,</math> adalah identitas <math>A_i\,</math> , dan
#'''Kondisi kompatibilitas ''': <math>f_{ik}= f_{jk}\circ f_{ij}</math> untuk <math>i\le j\le k</math>; maka adalah <math>A_{i} \xrightarrow{f_{ij}}  A_{j} \xrightarrow{f_{jk}} A_{k} \;\; \text{ adalah sama dengan } \;\; A_{i} \xrightarrow{f_{ik}} A_{k}.</math>

Setelah itu pasangan <math>\langle A_{\bull}, f_{ij} \rangle</math> disebut '''sistem langsung melalui <math> I </math>'''. Peta {{math|''f''&thinsp;<sub>''ij''</sub>}} disebut '''ikatan''', '''menghubungkan''', '''transisi''', atau '''menghubungkan''' '''peta'''/'''morfisme''' dari sistem. Jika peta ikatan dipahami atau jika tidak perlu memberikan simbol (misalnya seperti dalam pernyataan beberapa teorema) maka peta ikatan akan sering dihilangkan (yaitu tidak tertulis); untuk alasan ini adalah umum untuk melihat pernyataan seperti "maka <math>A_{\bull}</math> menjadi sistem langsung. "<ref group="note">Ini adalah penyalahgunaan notasi dan terminologi sejak pemanggilan <math>A_{\bull}</math> sistem langsung secara teknis tidak benar.</ref> 
<!--
The system is said to be '''injective''' (resp. '''surjective''', etc.) if this is true of all bonding maps. 
If {{mvar|I}} is directed (resp. [[countable set|countable]]) then the system is said to be '''directed''' (resp. '''countable''').{{sfn | Bierstedt | 1988 | pp=41-56}}

The '''direct limit''' of the direct system <math>\left\langle A_{\bull}, f_{ij} \right\rangle</math> is denoted by <math>\varinjlim A_i</math> and is defined as follows. Its underlying set is the [[disjoint union]] of the <math>A_i\,</math>'s [[Modulo (jargon)|modulo]] a certain {{nowrap|[[equivalence relation]] <math>\sim\,</math>}}:

:<math>\varinjlim A_i = \bigsqcup_i A_i\bigg/\sim.</math>

Here, if <math>x_i\in A_i</math> and <math>x_j\in A_j</math>, then <math>x_i\sim\, x_j</math> [[iff]] there is some <math>k\in I</math> with <math>i \le k</math> and <math>j \le k</math> and such that <math>f_{ik}(x_i) = f_{jk}(x_j)\,</math>.
Heuristically, two elements in the disjoint union are equivalent if and only if they "eventually become equal" in the direct system. An equivalent formulation that highlights the duality to the [[inverse limit]] is that an element is equivalent to all its images under the maps of the direct system, i.e. <math>x_i\sim\, f_{ij}(x_i)</math> whenever <math>i \le j</math>.

One naturally obtains from this definition ''canonical functions'' <math>\phi_i \colon A_i\rightarrow \varinjlim A_i</math> sending each element to its equivalence class. The algebraic operations on <math>\varinjlim A_i\,</math> are defined such that these maps become homomorphisms.  Formally, the direct limit of the direct system <math>\langle A_i,f_{ij}\rangle</math> consists of the object <math>\varinjlim A_i</math> together with the canonical homomorphisms <math>\phi_i \colon A_i\rightarrow \varinjlim A_i</math>.-->

=== Limit langsung dalam kategori sebarang ===
Batas langsung dapat ditentukan dalam sembarang [[kategori (matematika)|kategori]] <math>\mathcal{C}</math> melalui [[sifat universal]]. Maka <math>\langle X_i, f_{ij}\rangle</math> menjadi sistem langsung dari objek dan morfisme <math>\mathcal{C}</math> (seperti yang didefinisikan di atas). Sebuah '''target''' atau '''kocone''' adalah sepasang <math>\langle X, \phi_i\rangle</math> dimana <math>X\,</math> adalah objek pada <math>\mathcal{C}</math> dan <math>\phi_i \colon X_i \rightarrow X</math> adalah morfisme untuk masing-masing <math>i \in I</math> seperti yang <math>\phi_i = \phi_j \circ f_{ij}</math> bilamana <math>i \le j</math>. '''limit''' dari sistem langsung <math>\langle X_i, f_{ij}\rangle</math> is a '''secara universal menolak target''' <math>\langle X, \phi_i\rangle</math> dalam arti itu <math>\langle X, \phi_i\rangle</math> adalah target dan untuk setiap target <math>\langle Y, \psi_i\rangle</math>, ada morfisme yang unik <math> u\colon X\rightarrow Y</math> seperti yang <math>u\circ \phi_i=\psi_i</math> untuk setiap '' i ''. Diagram berikut
<div style="text-align: center;">[[Gambar:Direct limit category.svg]]</div>
kemudian akan [[diagram komutatif|perjalanan]] untuk semua ''i'', ''j''.

Limit langsung sering kali dilambangkan
:<math>X = \varinjlim X_i</math>
dengan sistem langsung <math>\langle X_i, f_{ij}\rangle</math> dan morfisme kanonik <math>\phi_i</math> dipahami.

Tidak seperti objek aljabar, tidak setiap sistem langsung dalam kategori arbitrer memiliki batas langsung. Namun, jika ya, batas langsungnya unik dalam arti yang kuat: diberi batas langsung lain ''X''′ ada ''unik'' [[isomorfisme]] ''X''′ → ''X'' yang beralih dengan morfisme kanonik.

== Sifat-sifat ==
Batas langsung ditautkan ke [[limit invers]] melalui

:<math>\mathrm{Hom} (\varinjlim X_i, Y) = \varprojlim \mathrm{Hom} (X_i, Y).</math>

Properti penting adalah bahwa mengambil batasan langsung dalam kategori [[modul (matematika)|modul]] adalah [[fungsi tepat]]. Ini berarti bahwa jika Anda mulai dengan sistem terarah dari urutan persis pendek <math>0 \to A_i \to B_i \to C_i \to 0</math> dan membentuk limit langsung, Anda mendapatkan urutan persis yang pendek <math>0 \to \varinjlim A_i \to \varinjlim B_i \to \varinjlim C_i \to 0</math>.

== Terminologi ==
Dalam literatur ditemukan istilah "batas terarah", "batas induktif langsung", "colimit terarah", "garis batas langsung "dan" batas induktif "untuk konsep batas langsung yang didefinisikan di atas. Istilah" batas induktif "bersifat ambigu, karena beberapa penulis menggunakannya untuk konsep umum kolom.

== Catatan ==
{{refs}}
{{reflist}}
{{reflist|group=note}}

== Referensi ==

* {{Bierstedt An Introduction to Locally Convex Inductive Limits}} <!-- {{sfn | Bierstedt | 1988 | p=}} -->
* {{Bourbaki General Topology Part I Chapters 1-4}} <!-- {{sfn | Bourbaki | 1998 | p=}} -->
* {{Citation | last=Bourbaki | first=Nicolas | author-link=Nicolas Bourbaki | year=1968 | title=Elements of mathematics. Theory of sets | publisher=Hermann | location=Paris | series=Translated from French | mr=0237342 }}
* {{Dugundji Topology}} <!-- {{sfn | Dugundji | 1966 | p=}} -->
* {{Grothendieck Topological Vector Spaces}} <!-- {{sfn | Grothendieck | 1973 | p=}} -->
* {{Citation |last=Mac Lane |first=Saunders |authorlink=Saunders Mac Lane |year=1998 |title=[[Categories for the Working Mathematician]] |edition=2nd |series=[[Graduate Texts in Mathematics]] |volume=5 |publisher=Springer-Verlag}}

{{Category theory}}

{{DEFAULTSORT:Direct Limit}}
[[Kategori:Limits (category theory)]]
[[Kategori:Abstract algebra]]