Lihat sumber Limit invers

Dalam [[matematika]], '''limit invers''' ({{Lang-en|inverse limit}}), atau disebut juga sebagai '''limit proyektif''' ({{Lang-en|projective limit}}) adalah konstruksi yang memungkinkan seseorang untuk "merekatkan" beberapa [[objek matematika |objek]] terkait, cara yang tepat dari proses perekatan yang ditentukan dengan morfisme di antara objek. Limit invers dapat didefinisikan dalam [[kategori (matematika) |kategori]], dan merupakan kasus khusus dari konsep [[Limit (teori kategori) | limit dalam teori kategori]].

== Objek aljabar ==
Pemahaman terkait limit invers dimulai dengan definisi '''sistem invers''' (atau sistem proyektif) dari [[grup (matematika) |grup]] dan [[homomorfisme grup |homomorfisme]]. Misalkan ({{mvar | I}}, ≤) adalah [[poset]] [[himpunan terarah|terarah]] atau  (tidak semua penulis memerlukan {{mvar | I}} untuk diarahkan). Misalkan {{math|1=''A''<sub>•</sub> = (''A''<sub>''i''</sub>)<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>}} adalah [[keluarga indeks |keluarga]] dari kelompok dan misalkan diperoleh keluarga homomorfisme <math>f_{ij}: A_j \to A_i</math> untuk semua <math>i \leq j</math> (perhatikan urutannya), dengan sifat berikut:
# <math>f_{ii}</math> adalah identitas pada <math>A_i</math>,
#<math>f_{ik} = f_{ij} \circ f_{jk}</math> untuk semua <math>i \leq j \leq k</math>.

Maka pasangan <math>\left( A_{\bull}, \left( f_{ij} \right)_{i\leq j\in I} \right)</math> disebut sistem invers dari grup dan morfisme atas <math> I </math>, dan morfisme <math>f_{ij}</math> disebut morfisme peralihan dari sistem. 

'''Limit invers''' dari sistem invers <math>((A_i)_{i\in I}, (f_{ij})_{i\leq j\in I})</math> didefinisikan sebagai [[subgrup]] tertentu dari [[produk langsung|darab langsung]] dari ''<math>A_i</math>'':

:<math>A = \varprojlim_{i\in I}{A_i} = \left\{\left.\vec a \in \prod_{i\in I}A_i \;\right|\; a_i = f_{ij}(a_j) \text{ untuk semua } i \leq j \text{ in } I\right\}.</math>

Limit invers <math> A </math> dilengkapi dengan ''proyeksi alami'' ({{Lang-en|natural projections}}) <math>\pi _i \colon A \to A_i</math> yang memilih komponen dari darab langsung ke-<math>i</math> untuk setiap <math> i </math> di <math> I </math>.

Konstruksi yang sama dapat dilakukan jika <math> A_i </math> adalah [[Himpunan (matematika) |himpunan]],<ref name="same-construction">John Rhodes & Benjamin Steinberg. The q-theory of Finite Semigroups. p. 133. {{ISBN|978-0-387-09780-0}}.</ref> semigrup,<ref name="same-construction"/> ruang topologi,<ref name="same-construction"/> [[cincin (matematika) | gelanggang]], [[modul (matematika) |modul]] (atas ''fixed ring''), [[aljabar di atas bidang | aljabar]] (atas ''fixed ring''), dsb,. dan [[homomorfisme]] adalah morfisme dalam [[teori kategori |kategori]] padanan. Limit invers juga merupakan bagian dalam kategori tersebut.

== Definisi umum ==

Sama seperti definisi sebelumnya, limit invers dapat didefinisikan secara abstrak dalam [[kategori (matematika) |kategori]] sebarang dengan menggunakan [[sifat universal]]. Misalkan <math>(X_i,f_{ij})</math> adalah sistem invers dari objek dan [[morfisme]] di kategori <math>C</math>. Limit invers dari sistem invers merupakan objek <math>X</math> di <math>C</math> dan juga dengan morfisme <math>\pi_i \colon X \to X_i</math> (yang disebut ''proyeksi'') memenuhi sifat <math>\pi_i = f_{ij} \circ \pi_j</math> untuk semua <math>i \le j</math>. Pasangan <math>(X,\pi_i)</math> harus universal, dalam artian bahwa untuk setiap pasangan lain <math>(Y,\psi_i)</math>, maka ada morfisme unik <math>u:Y \to X</math> sehingga diagram berikut 

<div style="text-align: center;">[[Gambar:InverseLimit-01.png]]</div>

[[Diagram komutatif|komutatif]] untuk setiap <math>i \le j</math>. Jadi, limit invers seringkali dinyatakan sebagai 
:<math>X = \varprojlim X_i</math>
dengan sistem invers {{math|(''X''<sub>''i''</sub>, ''f''<sub>''ij''</sub>)}}. 

Limit invers dari sistem invers tertentu tidak ada dalam beberapa kategori. Namun jika ada, maka dikatakan unik dalam pernyataan kuat berikut: diberikan dua limit invers{{mvar | X}} dan {{math|''X''<sub>2</sub>}} dari sistem invers, maka terdapat [[isomorfisme]] ''unik'' <math>X' \to X</math> yang bersifat komutatif dengan peta proyeksi.

== Fungtor yang diturunkan dari limit invers ==

Untuk suatu [[kategori Abel]] <math>C</math>, fungtor limit invers
:<math>\varprojlim:C^I\rightarrow C</math>
[[Fungtor eksak|eksak kiri]]. Jika <math>I</math> terurut (tidak hanya terurut sebagian) dan [[Himpunan terhitung|terhitung]], dan <math>C</math> adalah kategori <math>\operatorname{Ab}</math> dari grup Abel, maka syarat Mittag-Leffler adalah syarat pada morfisme pengalihan <math>f_{ij}</math> yang menjamin ketepatan <math>\varprojlim</math>. Secara khusus, [[Samuel Eilenberg |Eilenberg]] mengonstruksi suatu fungsi
:<math>\varprojlim{}^1:\operatorname{Ab}^I\rightarrow\operatorname{Ab}</math>
sehingga jika <math>(A_i.f_{ij})</math>, <math>(B_i.g_{ij})</math>, dan <math>(C_i.h_{ij})</math>  adalah tiga sistem invers dari grup Abel, dan
:<math>0\rightarrow A_i\rightarrow B_i\rightarrow C_i\rightarrow0</math>
adalah [[Barisan sempurna#Barisan sempurna pendek|barisan eksak pendek]] dari sistem invers, maka
:<math>0\rightarrow\varprojlim A_i\rightarrow\varprojlim B_i\rightarrow\varprojlim C_i\rightarrow\varprojlim{}^1A_i</math>
merupakan barisan eksak di <math>\operatorname{Ab}</math>.
<!--
===Mittag-Leffler condition===

If the ranges of the morphisms of an inverse system of abelian groups (''A''<sub>''i''</sub>, ''f''<sub>''ij''</sub>) are ''stationary'', that is, for every ''k'' there exists ''j'' ≥ ''k'' such that for all ''i'' ≥ ''j'' :<math> f_{kj}(A_j)=f_{ki}(A_i)</math> one says that the system satisfies the '''Mittag-Leffler condition'''.

The name "Mittag-Leffler" for this condition was given by Bourbaki in their chapter on uniform structures for a similar result about inverse limits of complete Hausdorff uniform spaces. Mittag-Leffler used a similar argument in the proof of [[Mittag-Leffler's theorem]].

The following situations are examples where the Mittag-Leffler condition is satisfied: 
* a system in which the morphisms ''f''<sub>''ij''</sub> are surjective
* a system of finite-dimensional vector spaces or finite abelian groups or modules of finite length or Artinian modules.

An example where <math>\varprojlim{}^1</math> is non-zero is obtained by taking ''I'' to be the non-negative [[integer]]s, letting ''A''<sub>''i''</sub> = ''p''<sup>''i''</sup>'''Z''', ''B''<sub>''i''</sub> = '''Z''', and ''C''<sub>''i''</sub> = ''B''<sub>''i''</sub> / ''A''<sub>''i''</sub> = '''Z'''/''p''<sup>''i''</sup>'''Z'''. Then
:<math>\varprojlim{}^1A_i=\mathbf{Z}_p/\mathbf{Z}</math>
where '''Z'''<sub>''p''</sub> denotes the [[p-adic integers]].

===Further results===

More generally, if ''C'' is an arbitrary abelian category that has [[Injective object#Enough injectives|enough injectives]], then so does ''C''<sup>''I''</sup>, and the right [[derived functors]] of the inverse limit functor can thus be defined. The ''n''th right derived functor is denoted
:<math>R^n\varprojlim:C^I\rightarrow C.</math>
In the case where ''C'' satisfies [[Grothendieck]]'s axiom [[Abelian category#Grothendieck's axioms|(AB4*)]], [[Jan-Erik Roos]] generalized the functor lim<sup>1</sup> on '''Ab'''<sup>''I''</sup> to series of functors lim<sup>n</sup> such that
:<math>\varprojlim{}^n\cong R^n\varprojlim.</math>
It was thought for almost 40 years that Roos had proved (in ''Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications. '') that lim<sup>1</sup> ''A''<sub>''i''</sub> = 0 for (''A''<sub>''i''</sub>, ''f''<sub>''ij''</sub>) an inverse system with surjective transition morphisms and ''I'' the set of non-negative integers (such inverse systems are often called "[[Mittag-Leffler]] sequences"). However, in 2002, [[Amnon Neeman]] and [[Pierre Deligne]] constructed an example of such a system in a category satisfying (AB4) (in addition to (AB4*)) with lim<sup>1</sup> ''A''<sub>''i''</sub> ≠ 0. Roos has since shown (in "Derived functors of inverse limits revisited") that his result is correct if ''C'' has a set of generators (in addition to satisfying (AB3) and (AB4*)).

[[Barry Mitchell (mathematician)|Barry Mitchell]] has shown (in "The cohomological dimension of a directed set") that if ''I'' has [[cardinality]] <math>\aleph_d</math> (the ''d''th [[Aleph number|infinite cardinal]]), then ''R''<sup>''n''</sup>lim is zero for all ''n'' ≥ ''d'' + 2. This applies to the ''I''-indexed diagrams in the category of ''R''-modules, with ''R'' a commutative ring; it is not necessarily true in an arbitrary abelian category (see Roos' "Derived functors of inverse limits revisited" for examples of abelian categories in which lim<sup>''n''</sup>, on diagrams indexed by a countable set, is nonzero for&nbsp;''n''&nbsp;>&nbsp;1).-->

== Lihat pula ==

* [[Limit langsung]]

== Referensi ==
{{reflist}}

== Bibliografi ==
* {{Bierstedt An Introduction to Locally Convex Inductive Limits}} <!-- {{sfn | Bierstedt | 1988 | p=}} -->
* {{citation|first=Nicolas|last=Bourbaki|authorlink=Nicolas Bourbaki|title=Algebra I|publisher=Springer|year=1989|isbn=978-3-540-64243-5|oclc=40551484}}
* {{Bourbaki General Topology Part I Chapters 1-4}} <!-- {{sfn | Bourbaki | 1998 | p=}} -->
* {{Dugundji Topology}} <!-- {{sfn | Dugundji | 1966 | p=}} -->
* {{Grothendieck Topological Vector Spaces}} <!-- {{sfn | Grothendieck | 1973 | p=}} -->
* {{citation|first=Saunders |last=Mac Lane |authorlink=Saunders Mac Lane|title=[[Categories for the Working Mathematician]] | edition=2nd |date=September 1998 |publisher=Springer|isbn=0-387-98403-8}}
* {{Citation | last=Mitchell | first=Barry | author-link=Barry Mitchell (mathematician) | title=Rings with several objects | journal=[[Advances in Mathematics]] | mr=0294454  | year=1972 | volume=8 | pages=1–161 | doi=10.1016/0001-8708(72)90002-3}}
* {{Citation | last=Neeman | first=Amnon | author-link=Amnon Neeman | title=A counterexample to a 1961 "theorem" in homological algebra (with appendix by Pierre Deligne) | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | mr=1906154  | year=2002 | volume=148 | issue=2 | pages=397–420 | doi=10.1007/s002220100197}}
* {{Citation | last=Roos | first=Jan-Erik | author-link=Jan-Erik Roos | title=Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications | journal=C. R. Acad. Sci. Paris | mr=0132091  | year=1961 | volume=252 | pages=3702–3704}}
* {{Citation | last=Roos | first=Jan-Erik | author-link=Jan-Erik Roos | title=Derived functors of inverse limits revisited | journal=[[London Mathematical Society|J. London Math. Soc.]] |series=Series 2 | mr=2197371  | year=2006 | volume=73 | issue=1 | pages=65–83 | doi=10.1112/S0024610705022416}}
* Section 3.5 of {{Weibel IHA}}

{{Teori kategori}}

[[Kategori:Limit (teori kategori)]]
[[Kategori:Aljabar abstrak]]

<!--[[de:Limes (Kategorientheorie)]]-->