Lihat sumber Lemma Euklidean

{{short description|Bilangan prima yang membagi produk membagi salah satu faktornya}}
{{Distinguish|Lemma divisi Euklides|Teorema Euklides|Algoritme Euklides}}
Dalam [[teori bilangan]], '''Lemma Euklidean''' adalah [[lemma (matematika)|lemma]] yang menangkap properti dasar [[bilangan prima]], yaitu:{{refn|group=note|It is also called '''Euclid's first theorem'''<ref>{{Harvnb|Bajnok|2013|loc=Theorem 14.5}}</ref><ref>{{Harvnb|Joyner|Kreminski|Turisco|2004|loc=Proposition 1.5.8, p.&nbsp;25}}</ref> meskipun nama itu lebih tepat termasuk dalam [[Solusi segitiga|kondisi sisi-sudut-sisi]] untuk menunjukkan bahwa [[segitiga]] adalah [[Kongruen (geometri)|kongruen]].<ref>{{Harvnb|Martin|2012|p=125}}</ref>}} {{math_theorem|name=Lemma Euklidean|math_statement=Jika bilangan prima {{math|''p''}} membagi produk {{math|''ab''}} dari dua bilangan bulat {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}, maka {{math|''p''}} harus membagi setidaknya satu dari bilangan bulat tersebut {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}.}} Misalnya, jika {{math|''p'' {{=}} 19}}, {{math|''a'' {{=}} 133}}, {{math|''b'' {{=}} 143}}, then {{math|''ab'' {{=}} 133 &times; 143 {{=}} 19019}}, dan karena ini habis dibagi 19, lemma menyiratkan bahwa satu atau keduanya dari 133 atau 143 pasti juga. Faktanya, {{math| 133 {{=}} 19 × 7}}.

Secara inheren, jika premis lemma tidak berlaku, yaitu, {{math|''p''}} adalah [[bilangan komposit]], konsekuensinya bisa benar atau salah. Contohnya, dalam kasus {{math|''p'' {{=}} 10}}, {{math|''a'' {{=}} 4}}, {{math|''b'' {{=}} 15}}, bilangan komposit 10 membagi {{math|''ab'' {{=}} 4 &times; 15 {{=}} 60}}, tapi 10 tidak membagi 4 atau 15.

Properti ini adalah kunci dalam pembuktian [[teorema fundamental aritmetika]].{{refn|group=note|Secara umum, untuk menunjukkan bahwa [[Integral domain|domain]] adalah [[domain faktorisasi unik]], itu cukup untuk membuktikan lemma Euclid dan [[kondisi rantai naik pada cita-cita prinsipal]] (ACCP)}} Ini digunakan untuk mendefinisikan [[elemen utama]] s, generalisasi dari bilangan prima ke sembarang [[cincin komutatif]]. Lemma [[Euklides|Euclid]] menunjukkan bahwa dalam bilangan bulat [[elemen tak tereduksi]] juga merupakan elemen prima. Pembuktiannya menggunakan [[induksi matematika|induksi]] sehingga tidak berlaku untuk semua [[integral domain]].

== Formulasi ==
Jika <math>p</math> menjadikan [[bilangan prima]] dan asumsi <math>p</math> jadi membagi hasil kali dua bilangan bulat <math>a</math> dan <math>b</math>. (Dalam simbol ini tertulis <math>p \mid ab</math>. Negasinya, <math> p </math> tidak membagi <math> ab </math> ditulis <math>p \nmid ab</math>.) Kemudian <math>p \mid a</math> atau <math>p \mid b</math> (atau keduanya). Pernyataan [[Kesetaraan logis|Setara]] adalah:
* Bila <math>p \nmid a</math> dan <math>p \nmid b</math>, kemudian <math>p \nmid ab</math>.
* Bila <math>p \nmid a</math> dan <math>p \mid ab</math>, kemudian <math>p \mid b</math>.

Lemma Euklidean dapat digeneralisasikan dari bilangan prima ke [[bilangan bulat]] apa pun:
{{math_theorem|If <math>n \mid ab</math>, dan <math>n</math> adalah [[bilangan bulat koprime|relatif prima]] menjadi <math> a </math> <math>n \mid b</math>.}}
Ini adalah generalisasi karena jika <math>n</math> adalah bilangan prima
* <math>n \mid a</math> atau
* <math> n </math> relatif prima dari <math> a </math>. 
Dalam kemungkinan kedua ini, <math>n \nmid a</math> jadi <math>n \mid b</math>.

== Sejarah ==
Lemma pertama kali muncul sebagai proposisi 30 dalam Buku VII dari ''[[Elemen Euklides]]''. Ini termasuk dalam hampir setiap buku yang mencakup teori bilangan dasar.<ref name="DA1">{{Harvnb|Gauss|2001|p=14}}</ref><ref>{{Harvnb|Hardy|Wright|Wiles|2008|loc=Theorem&nbsp;3}}</ref><ref>{{Harvnb|Ireland|Rosen|2010|loc=Proposition&nbsp;1.1.1}}</ref><ref>{{Harvnb|Landau|Goodman|1999|loc=Theorem&nbsp;15}}</ref><ref>{{Harvnb|Riesel|1994|loc=Theorem&nbsp;A2.1}}</ref>

Generalisasi lemma ke bilangan bulat muncul di buku teks [[Jean Prestet]] ''Nouveaux Elémens de Mathématiques'' pada tahun 1681.<ref>{{Harvnb|Euclid|1994|pp=338–339}}</ref>

Dalam risalah [[Carl Friedrich Gauss]] '' [[Disquisitiones Arithmeticae]] '', pernyataan lemma adalah Euclid's Proposition 14 (Bagian 2), yang ia gunakan untuk membuktikan keunikan dekompositio, mengakui keberadaannya sebagai "jelas." Dari keberadaan dan keunikan ini ia kemudian menyimpulkan generalisasi bilangan prima menjadi bilangan bulat.<ref name="DA2">{{Harvnb|Gauss|2001|loc=Article 19}}</ref> Untuk alasan ini, generalisasi lemma Euklid kadang-kadang disebut sebagai lemma Gauss, tetapi beberapa percaya penggunaan ini salah.<ref>
{{mathworld
  |title = Euclid's Lemma
  |id = EuclidsLemma
}}</ref> karena kebingungan dengan [[Lemma Gauss (teori bilangan)|Lemma Gauss pada residu kuadrat]].

== Bukti menggunakan Lemma Bézout ==
Pembuktian biasanya melibatkan lemma lain yang disebut [[identitas Bézout]].<ref>{{Harvnb|Hardy|Wright|Wiles|2008|loc=§2.10}}</ref> This states that if {{math|''x''}} dan {{math|''y''}} adalah [[bilangan bulat koprime|bilangan bulat prima relatif]] (yaitu mereka tidak berbagi pembagi umum selain 1 dan -1) ada bilangan bulat {{math|''r''}} dan {{math|''s''}} seperti yang
:<math>
rx+sy = 1.
</math>
Maka {{math|''a''}} dan {{math|''n''}} menjadi relatif prima, dan asumsikan bahwa {{math|''n''&#124;''ab''}}. Dengan identitas Bézout, ada {{math|''r''}} dan {{math|''s''}} penyusunan
:<math>
rn+sa = 1.
</math>
Kalikan kedua sisi dengan {{math|''b''}}:
:<math>
rnb+sab = b.
</math>
Suku pertama di kiri habis dibagi {{math|''n''}}, dan suku kedua habis dibagi {{math|''ab''}}, yang dengan [[hipotesis]] habis dibagi {{math|''n''}}. Oleh karena itu jumlah mereka, {{math | '' b ''}}, juga habis dibagi {{math | '' n ''}}. Ini adalah generalisasi dari lemma Euklid yang disebutkan di atas.

== Lihat pula ==
{{Div col}}
*[[Identitas Bézout]]
* [[Algoritma Euklides]]
* [[Teorema dasar aritmetika]]
*[[Elemen yang tidak dapat direduksi]]
* [[Elemen utama]]
*[[Bilangan prima]]
{{Div col end}}

== Catatan Kaki ==
=== Catatan ===
{{reflist|group=note}}

=== Kutipan ===
{{reflist|2}}

== Pranala luar ==
*{{MathWorld|title=Euclid's Lemma|id=EuclidsLemma}}

{{DEFAULTSORT:Lemma Euklidean}}
[[Kategori:Artikel yang memuat pembuktian]]
[[Kategori:Lemma]]
[[Kategori:Teorema tentang bilangan prima]]