Lihat sumber Lapangan (matematika)

{{disambiginfo|Medan (disambiguasi)}}

[[Berkas:Regular_polygon_7_annotated.svg|thumb|262px|[[Segi tujuh]] [[Poligon beraturan|biasa]]  tidak dapat dibangun hanya dengan menggunakan [[konstruksi garis lurus dan kompas]]; ini dapat dibuktikan menggunakan bidang [[bilangan konstruksibel]].]]
{{Struktur aljabar}}
{{Teori gelanggang sidebar|Komutatif}}
'''Lapangan''' atau '''medan''' (juga disebut '''bidang''') dalam [[matematika]] adalah suatu [[struktur aljabar]] dengan operasi seperti [[penambahan]], [[pengurangan]], [[perkalian]], dan [[pembagian]] yang memenuhi [[aksioma]] tertentu. Lapangan yang kerap kali dijumpai adalah lapangan [[bilangan riil]], lapangan [[bilangan kompleks]] dan [[bilangan rasional]].

Medan yang paling dikenal adalah medan [[bilangan rasional]], bidang [[bilangan riil]] dan medan [[bilangan kompleks]]. Terdapat medan lainnya, seperti [[medan fungsi rasional]], [[medan fungsi aljabar]], [[medan bilangan aljabar]], dan [[bilangan p-adik|Medan ''p''-adik]] umumnya digunakan dan dipelajari dalam matematika, terutama dalam teori bilangan dan [[geometri aljabar]]. Sebagian besar [[protokol kriptografi]] mengandalkan [[Medan hingga]], yaitu bidang dengan banyak [[elemen (himpunan)|elemen]].

Relasi dua medan diekspresikan dengan gagasan tentang [[ekstensi medan]]. [[Teori Galois]] yang diprakarsai oleh [[Évariste Galois]] pada tahun 1830-an, dikhususkan untuk memahami kesimetrian perluasan medan. Di antara hasil lainnya, teori ini menunjukkan bahwa [[segitiga tiga sudut]] dan [[mengkuadratkan lingkaran]] tidak dapat dilakukan dengan [[kompas dan garis lurus]]. Selain itu, ini menunjukkan bahwa [[persamaan kuintik]], secara umum, tidak berpenyelesaian secara aljabar.

Medan berfungsi sebagai gagasan dasar dalam beberapa ranah matematika. Ini mencakup berbagai cabang [[analisis matematika]] yang didasarkan pada medan dengan struktur tambahan. Teorema dasar dalam analisis bergantung pada sifat struktural medan bilangan riil. Yang terpenting untuk tujuan aljabar, medan yang digunakan sebagai [[skalar (matematika)|skalar]] untuk [[ruang vektor]], yang merupakan konteks umum standar untuk [[aljabar linear]]. [[Medan bilangan]] bagian dari medan bilangan rasional, dipelajari secara mendalam di [[teori bilangan]]. [[Medan fungsi dari varietas aljabar|Medan fungsi]] dapat membantu mendeskripsikan sifat objek geometris.

== Definisi ==
Contoh sebuah lapangan adalah [[himpunan]] bilangan rasional '''Q'''. Dalam '''Q''' terdapat empat operasi dasar: [[penjumlahan]] bersama dengan [[pengurangan]], dan [[perkalian]] dengan [[pembagian]]. Secara intuitif, suatu lapangan adalah himpunan bilangan yang memiliki empat operasi seperti itu. Agar memenuhi syarat sebagai lapangan, operasi-operasi tersebut harus memenuhi aksioma tertentu.

Sebuah ''lapangan'' adalah sebuah [[himpunan]], misalkan dinamakan ''F'', bersama dengan dua [[operasi biner]], yang biasanya dinamakan sebagai ''penambahan'' dan ''perkalian'', masing-masing dilambangkan sebagai + dan ·, sehingga aksioma berikut berlaku:

;''Tertutup'' terhadap penambahan dan perkalian
:Untuk semua ''a'', ''b'' anggota ''F'', baik ''a'' + ''b'' dan ''a'' · ''b'' ada dalam ''F'' (atau, dengan rumusan lebih formal, + dan . adalah [[operasi biner]] terhadap ''F'').
;Sifat [[Sifat asosiatif|asosiatif]] penambahan dan perkalian
:Untuk semua ''a'', ''b'', and ''c'' dalam ''F'', persamaan berikut berlaku: {{nowrap begin}}''a'' + (''b'' + ''c'') = (''a'' + ''b'') + ''c''{{nowrap end}} dan {{nowrap begin}}''a'' · (''b'' · ''c'') = (''a'' · ''b'') · ''c''{{nowrap end}}.
;''Sifat [[Sifat komutatif|komutatif]]'' penjumlahan dan perkalian
:Untuk semua ''a'' dan ''b'' dalam ''F'', kesamaan berikut berlaku: {{nowrap begin}}''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''{{nowrap end}} dan {{nowrap begin}}''a'' · ''b'' = ''b'' · ''a''{{nowrap end}}.
;''Unsur identitas'' dalam penambahan dan perkalian
:Terdapat anggota atau unsur ''F'', yang dinamakan unsur ''identitas penambahan'' yang dilambangkan sebagai 0, sehingga untuk semua ''a'' dalam ''F'', {{nowrap begin}}''a'' + 0 = ''a''{{nowrap end}}. Begitu pula, terdapat anggota, yang dinamakan sebagai unsur ''identitas perkalian'' yang dilambangkan dengan 1, sehingga untuk semua ''a'' dalam ''F'', {{nowrap begin}}''a'' · 1 = ''a''{{nowrap end}}. Unsur identitas penambahan dan perkalian disyaratkan berbeda, untuk alasan teknis.

;''Invers'' penambahan dan perkalian
:Untuk setiap ''a'' dalam ''F'', terdapat sebuah anggota, ''-a'' dalam ''F'', sehingga {{nowrap begin}}''a'' + (−''a'') = 0{{nowrap end}}. Dengan cara yang sama, untuk setiap ''a'' dalam ''F'' selain 0, terdapat anggota ''a''<sup>−1</sup> in ''F'',sehingga {{nowrap begin}}''a'' · ''a''<sup>−1</sup> = 1{{nowrap end}}. (Unsur ''a''&nbsp;+&nbsp;(−''b'') dan ''a''&nbsp;·&nbsp;''b''<sup>−1</sup> masing-masing dinamakan ''a''&nbsp;−&nbsp;''b'' and ''a''/''b'') Dengan kata lain, terdapat operasi pengurangan dan pembagian.
;''Sifat [[distributif]]'' perkalian terhadap penjumlahan
:Untuk semua ''a'', ''b'' dan ''c'' dalam ''F'', kesamaan berikut berlaku: {{nowrap begin}}''a'' · (''b'' + ''c'') = (''a'' · ''b'') + (''a'' · ''c''){{nowrap end}}.

== Contoh ==

=== Bilangan rasional ===
{{main|Bilangan rasional}}
Bilangan rasional telah banyak digunakan jauh sebelum elaborasi konsep lapangan.
Itu adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai [[pecahan (matematika)|pecahan]]
{{math|''a''/''b''}}, dimana {{math|''a''}} dan {{math|''b''}} adalah [[bilangan bulat]], dan {{math|''b'' ≠ 0}}. Kebalikan aditif dari pecahan tersebut adalah {{math|−''a''/''b''}}, dan pembalikan perkalian (asalkan {{math|''a'' ≠ 0}}) adalah {{math|''b''/''a''}}, yang bisa dilihat sebagai berikut:

: <math> \frac b a \cdot \frac a b = \frac{ba}{ab} = 1.</math>

Aksioma bidang yang diperlukan secara abstrak direduksi menjadi sifat standar bilangan rasional. Misalnya hukum distributivitas dapat dibuktikan sebagai berikut:<ref name="Beachy 2006 loc=p. 120, Ch. 3">{{harvtxt|Beachy|Blair|2006|loc=p. 120, Ch. 3}}</ref>
:<math>
\begin{align}
& \frac a b \cdot \left(\frac c d + \frac e f \right) \\[6pt]
= {} & \frac a b  \cdot \left(\frac c d  \cdot \frac f f + \frac e f \cdot \frac d d \right) \\[6pt]
= {} & \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{cf}{df} + \frac{ed}{fd}\right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{cf + ed}{df} \\[6pt]
= {} & \frac{a(cf + ed)}{bdf} = \frac{acf}{bdf} +  \frac{aed}{bdf} = \frac{ac}{bd} +  \frac{ae}{bf} \\[6pt]
= {} & \frac a b \cdot \frac c d + \frac a b \cdot \frac e f.
\end{align}
</math>

=== Bilangan riil dan kompleks ===

[[Berkas:Complex multi.svg|thumb|255px|Perkalian bilangan kompleks dapat divisualisasikan secara geometris dengan rotasi dan skala.]]

{{main|Bilangan riil | Bilangan kompleks}}
[[Bilangan riil]] {{math|'''R'''}}, dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang biasa, juga membentuk bidang. [[Bilangan kompleks]] {{math|'''C'''}} terdiri dari ekspresi
:{{math|''a'' + ''bi'',}} dengan {{math|''a'', ''b''}},
dimana {{math|''i''}} adalah [[unit imajiner]], yaitu bilangan (non-nyata) memuaskan {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}.
Penjumlahan dan perkalian bilangan real didefinisikan sedemikian rupa sehingga ekspresi jenis ini memenuhi semua aksioma medan dan karenanya berlaku untuk {{math|'''C'''}}. Misalnya, penegakan hukum distributif
:{{math|1=(''a'' + ''bi'')(''c'' + ''di'') = ''ac'' + ''bci'' + ''adi'' + ''bdi''<sup>2</sup> = ''ac''−''bd'' + (''bc'' + ''ad'')''i''.}}
Ini langsung bahwa ini lagi-lagi merupakan ekspresi dari tipe di atas, dan bilangan kompleks membentuk bidang. Bilangan kompleks dapat direpresentasikan secara geometris sebagai titik dalam [[Bidang (geometri)|bidang]]. dengan [[koordinat kartesius]] yang diberikan oleh bilangan real dari ekspresi yang mendeskripsikannya, atau sebagai panah dari asal ke titik-titik ini, ditentukan oleh panjangnya dan sudut tertutup dengan beberapa. Penambahan kemudian sesuai dengan penggabungan panah ke jajaran genjang intuitif (menambahkan koordinat Kartesius), dan perkaliannya, kurang intuitif, menggabungkan putaran dan skala panah (menambahkan sudut dan mengalikan panjangnya). Bidang bilangan real dan kompleks digunakan di seluruh matematika, fisika, teknik, statistik, dan banyak disiplin ilmu lainnya.

=== Bilangan konstruksibel ===
[[Berkas:Root_construction_geometric_mean5.svg|thumb|255px|[[Teorema rata-rata geometris]] menegaskan bahwa {{math|1=''h''<sup>2</sup> = ''pq''}}. Memilih {{math|1=''q''&nbsp;=&nbsp;1}} memungkinkan pembangunan akar kuadrat dari bilangan yang dapat dibangun {{math|''p''}}.]]
{{main|Bilangan konstruksibel}}

Di zaman kuno, beberapa masalah geometris menyangkut kelayakan (dalam) konstruksi bilangan tertentu dengan [[kompas dan garis lurus]]. Misalnya, orang Yunani tidak mengetahui bahwa secara umum tidak mungkin untuk membagi dua sudut tertentu dengan cara ini. Masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan bidang [[bilangan konstruksibel]].<ref>{{harvtxt|Artin|1991|loc=Chapter 13.4}}</ref> Bilangan konstruktif riil, menurut definisi, adalah panjang segmen garis yang dapat dibangun dari titik 0 dan 1 dalam banyak langkah tak terhingga hanya dengan menggunakan [[kompas]] dan [[garis lurus]]. Angka-angka ini, diberkahi dengan operasi bidang bilangan real, terbatas pada bilangan yang dapat dibangun, membentuk bidang, yang mencakup bidang {{math|'''Q'''}} of angka rasional. Ilustrasi menunjukkan konstruksi [[akar kuadrat]] dari bilangan yang dapat dibangun, tidak harus terkandung di dalamnya {{math|'''Q'''}}. Menggunakan label dalam ilustrasi, buat segmen {{math|''AB''}}, {{math|''BD''}}, dan [[setengah lingkaran]] berakhir {{math|''AD''}} (pusatkan di [[titik tengah]] {{math|''C''}}), yang memotong garis [[tegak lurus]] melalui {{math|''B''}} pada satu titik {{math|''F''}}, pada jarak tepat <math>h=\sqrt p</math> dari {{math|''B''}} jika {{math|''BD''}} memiliki panjang satu.

Tidak semua bilangan real dapat dibangun. Dapat ditunjukkan bahwa <math>\sqrt[3] 2</math> bukanlah bilangan yang dapat dibangun, yang menyiratkan bahwa tidak mungkin untuk membangun dengan kompas dan meluruskan panjang sisi sebuah [[Kubus ganda|kubus dengan volume 2]], masalah lain yang ditimbulkan oleh orang Yunani kuno.

=== Bidang dengan empat elemen ===
{|class="wikitable floatright"
|+
! scope="col" style="float:text-align:center;"| Penambahan
! scope="col" style="float:text-align:center'"| Perkalian
|-
! scope="row" |
{| class="wikitable"
|-
! style="width:20%;"| + !! style="width:20%;"| {{math|''O''}} !! style="width:20%;"| {{math|''I''}} !! style="width:20%;"| {{math|''A''}} !! style="width:20%;"| {{math|''B''}}
|-
! {{math|''O''}}
| style="background:#fdd;"|{{color|blue| {{math|''O''}}}}
| style="background:#fdd;"| {{color|blue| {{math|''I''}}}}
|| {{math|''A''}}
|| {{math|''B''}}
|-
! {{math|''I''}}
| style="background:#fdd;"| {{color|blue| {{math|''I''}}}}
| style="background:#fdd;"| {{color|blue| {{math|''O''}}}}
|| {{math|''B''}}
|| {{math|''A''}}
|-
! {{math|''A''}}
|| {{math|''A''}}
|| {{math|''B''}}
|| {{math|''O''}}
|| {{math|''I''}}
|-
! {{math|''B''}}
|| {{math|''B''}}
|| {{math|''A''}}
|| {{math|''I''}}
|| {{math|''O''}}
|}
! scope="row" |
{| class="wikitable"

|-
! style="width:20%;"| · !! style="width:20%;"| {{math|''O''}} !! style="width:20%;"| {{math|''I''}} !! style="width:20%;"| {{math|''A''}} !! style="width:20%;"| {{math|''B''}}
|-
! {{math|''O''}}
| style="background:#fdd;"|{{color|blue| {{math|''O''}}}}
| style="background:#fdd;"|{{color|blue| {{math|''O''}}}}
|| {{math|''O''}}
|| {{math|''O''}}
|-
! {{math|''I''}}
| style="background:#fdd;"|{{color|blue| {{math|''O''}}}}
| style="background:#fdd;"|{{color|blue| {{math|''I''}}}}
|| {{math|''A''}}
|| {{math|''B''}}
|-
! {{math|''A''}}
|| {{math|''O''}}
|| {{math|''A''}}
|| {{math|''B''}}
|| {{math|''I''}}
|-
! {{math|''B''}}
|| {{math|''O''}}
|| {{math|''B''}}
|| {{math|''I''}}
|| {{math|''A''}}
|}
|}

Selain sistem bilangan yang sudah dikenal seperti rasio, ada contoh bidang lain yang kurang langsung. Contoh berikut adalah bidang yang terdiri dari empat elemen yang disebut {{math|''O''}}, {{math|''I''}}, {{math|''A''}}, dan {{math|''B''}}. Notasi {{math|''O''}} memainkan peran elemen identitas aditif (dilambangkan 0 dalam aksioma di atas), dan I adalah identitas perkalian (dilambangkan 1 dalam aksioma di atas). Aksioma medan dapat diverifikasi dengan menggunakan beberapa teori medan lagi, atau dengan perhitungan langsung. Sebagai contoh,

: {{math|1=''A'' · (''B'' + ''A'') = ''A'' · ''I'' = ''A''}}, yang sama dengan {{nowrap|1={{math|1=''A'' · ''B'' + ''A'' · ''A'' = ''I'' + ''B'' = ''A''}}}}, seperti yang dipersyaratkan oleh distribusi.

Bidang ini disebut [[bidang hingga]] dengan empat elemen, dan dilambangkan {{math|'''F'''<sub>4</sub>}} or {{math|GF(4)}}.<ref>{{harvtxt|Lidl|Niederreiter|2008|loc=Example 1.62}}</ref> Bagian terdiri dari {{math|''O''}} and {{math|''I''}} (disorot dengan warna merah pada tabel di sebelah kanan) juga merupakan bidang, yang dikenal sebagai '' [[bidang biner]] '' {{math|'''F'''<sub>2</sub>}} atau {{math|GF(2)}}. Dalam konteks [[ilmu komputer]] dan [[Aljabar Boolean]], {{math|''O''}} dan {{math | '' I ''}} masing-masing sering dilambangkan dengan '' false '' dan '' true '', penambahan kemudian dilambangkan [[XOR]] (eksklusif atau), dan perkalian dilambangkan [[Bitwise AND|AND]]. Dengan kata lain, struktur bidang biner adalah struktur dasar yang memungkinkan dilakukannya komputasi dengan [[bit]].

== Gagasan dasar ==
Dalam bagian ini, {{math|''F''}} menunjukkan medan sembarang dan {{math|''a''}}, serta {{math|''b''}} [[elemen (teori himpunan)|elemen]] sembarang dari {{math|''F''}}.

=== Konsekuensi dari definisi ===
Satu memiliki {{math|1=''a'' · 0 = 0}} dan {{math|1=−''a'' = (−1) · ''a''}}. Secara khusus, seseorang dapat menyimpulkan kebalikan aditif dari setiap elemen segera setelah dia mengetahui {{math|–1}}.<ref name="Beachy 2006 loc=p. 120, Ch. 3"/>

Jika {{math|1=''ab'' = 0}} kemudian {{math|1=''a''}} atau {{math|''b''}} harus 0, karena, jika {{math|''a'' ≠ 0}}, kemudian
{{math|1=''b'' = (''a''<sup>–1</sup>''a'')''b'' = ''a''<sup>–1</sup>(''ab'')  = ''a''<sup>–1</sup>⋅0 = 0}}. Ini berarti bahwa setiap bidang adalah [[domain integral]].

Selain itu, properti berikut ini berlaku untuk semua elemen {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}:
:{{math|1=−0 = 0}}
:{{math|1=1<sup>−1</sup> = 1}}
:{{math|1=(−(−''a'')) = ''a''}}
:{{math|1=(''a''<sup>–1</sup>)<sup>−1</sup> = ''a''}}
:{{math|1=(–''a'') · ''b'' = ''a'' · (−''b'') = −(''a'' · ''b'')}}

=== Aditif dan grup perkalian dari sebuah medan ===
Aksioma sebuah medan {{math|''F''}} adalah [[grup abelian]] di bawah tambahan. Grup ini disebut [[grup aditif]] pada bidang, dan terkadang dilambangkan dengan {{math|(''F'', +)}} ketika hanya menandai sebagai {{math|''F''}} yang hanya membingungkan.

Demikian pula, elemen ''bukan nol'' dari {{math|''F''}} membentuk grup abelian dalam perkalian yang disebut [[grup perkalian]], dan dilambangkan dengan {{math|(''F'' \ {0}, ·)}} untuk {{math|''F'' \ {0} }} atau {{math|''F''<sup>*</sup>}}.

Medan didefinisikan sebagai himpunan {{math|''F''}} dengan dua operasi yang dilambangkan sebagai penjumlahan dan perkalian sehingga {{math|''F''}} adalah grup abelian dalam penjumlahan, {{math|''F'' \ {0} }} adalah grup abelian dalam perkalian,<ref group=catatan>dimana 0 adalah elemen identitas penjumlahan</ref> dan perkalian adalah [[sifat distributif|distributif]] di atas penjumlahan.<ref group=nb>Sama halnya, medan adalah [[struktur aljabar]] {{math|⟨''F'', +, ·, −, <sup>−1</sup>, 0, 1⟩}} dari tipe {{math|⟨2, 2, 1, 1, 0, 0⟩}}, sehingga {{math|0<sup>−1</sup>}} tidak ditentukan, {{math|⟨''F'', +, -, 0⟩}} dan
{{math|⟨''F'' ∖ {0}, ·, <sup>−1</sup>⟩}} adalah gro abelian, dan
· bersifat distributif di atas +. {{harvtxt|Wallace|1998|loc=Th. 2}}</ref> Oleh karena itu, beberapa pernyataan dasar tentang medan diperoleh dengan menerapkan fakta umum [[grup (matematika)|grup]]. Misalnya, penjumlahan dan perkalian inversi {{math|−''a''}} dan {{math|''a''<sup>−1</sup>}} ditentukan secara unik oleh {{math|''a''}}.

Persyaratan yang mengikuti {{math|1 ≠ 0}}, karena 1 adalah elemen identitas grup tidak berisi 0.<ref>{{harvtxt|Sharpe|1987|loc=Teorema 1.3.2}}</ref> Jadi, [[gelanggang trivial]] yang terdiri dari satu elemen adalah bukan medan.

Setiap subgrup hingga dari grup perkalian sebuah bidang adalah [[grup siklik|siklik]] (lihat {{slink|Akar kesatuan|Grup siklik}}).

=== Karakteristik ===
Selain perkalian dua elemen ''F'', dimungkinkan untuk mendefinisikan produk {{math|''n'' ⋅ ''a''}} dari elemen arbitrer {{math|''a''}} dari {{math|''F''}} dengan [[bilangan bulat]] positif {{math|''n''}} sebagai jumlah lipat-{{math|''n''}} 
:{{math|''a'' + ''a'' + ⋅⋅⋅ + ''a''}} (yang merupakan elemen dari {{math|''F''}}.)

Jika tidak ada bilangan bulat positif, maka
:{{math|1=''n'' ⋅ 1 = 0}},
maka {{math|''F''}} dikatakan memiliki [[karakteristik (aljabar)|karakteristik]] 0.<ref>{{harvtxt|Adamson|2007|loc=§I.2, p.&nbsp;10}}</ref> Misalnya medan bilangan rasional {{math|'''Q'''}} memiliki karakteristik 0 karena tidak ada bilangan bulat positif {{math|''n''}} adalah nol. Sebaliknya, jika ''adalah'' bilangan bulat positif {{math|''n''}} yang memenuhi persamaan ini, bilangan bulat positif terkecil dapat ditampilkan sebagai [[bilangan prima]]. Biasanya dilambangkan dengan {{math|''p''}} dan kemudian medan dikatakan memiliki karakteristik {{math|''p''}}.
Misalnya, medan {{math|'''F'''<sub>4</sub>}} memiliki karakteristik 2 dalam<ref group=catatan>dalam notasi tabel penjumlahan di atas</ref> {{math| 1= I + I = O }}.

Jika {{math|''F''}} memiliki karakteristik {{math|''p''}}, maka {{math |1=''p''⋅''a''=0}} untuk semua {{math|''a''}} dalam {{math|''F''}}. Ini menjelaskan
:{{math|1=(''a'' + ''b'')<sup>''p''</sup> = ''a''<sup>''p''</sup> + ''b''<sup>''p''</sup>}},
karena semua [[koefisien binomial]] lainnya yang muncul dalam [[rumus binomial]] habis dibagi {{math|''p''}}. Maka, {{math|1=''a''<sup>''p''</sup> := ''a'' ⋅ ''a'' ⋅ ... ⋅ ''a''}} (faktor {{math|''p''}}) adalah kuasa-{{math|''p''}}, yaitu, hasil kali lipat-{{math|''p''}} dari elemen {{math|''a''}}. Oleh karena itu, [[peta Frobenius]]
:{{math|Fr: ''F'' → ''F'', ''x'' ⟼ ''x''<sup>''p''</sup>}}
kompatibel dengan penambahan dalam {{math|''F''}} (dan juga dengan perkalian), dan merupakan homomorfisme medan.<ref>{{harvtxt|Escofier|2012|loc=14.4.2}}</ref> Adanya homomorfisme ini membuat medan dengan karakteristik {{math|''p''}} sangat berbeda dengan bidang dengan karakteristik 0.

=== Submedan dan medan utama ===
Sebuah ''[[Ekstensi medan|submedan]]'' {{math|''E''}} dari medan {{math|''F''}} adalah himpunan bagian dari {{math|''F''}} yang merupakan medan yang terkait dengan operasi medan dari {{math|''F''}}. Setara dengan {{math|''E''}} adalah himpunan bagian dari {{math|''F''}} yang merupakan {{math|1}}, dan sebagai penutupan dengan penjumlahan, perkalian, aditif invers dan perkalian invers dari elemen bukan nol. Maka {{math|1 ∊ ''E''}}, untuk semua {{math|''a'', ''b'' ∊ ''E''}} kedua {{math|''a'' + ''b''}} dan {{math|''a'' · ''b''}} adalah {{math|''E''}}, dan untuk semua {{math|''a'' ≠ 0}} dal5 {{math|''E''}}, kedua {{math|–''a''}} dan {{math|1/''a''}} adalah {{math|''E''}}.

== Medan hingga ==
{{main|Medan hingga}}
''Medan hingga'' (juga disebut ''medan Galois'') adalah medan dengan elemen hingga dimana jumlahnya yang disebut sebagai urutan medan. Contoh pengantar di atas {{math|'''F'''<sub>4</sub>}} adalah medan dengan empat elemen. Submedan {{math|'''F'''<sub>2</sub>}} adalah medan terkecil, karena menurut definisi medan memiliki setidaknya dua elemen berbeda {{math|1 ≠ 0}}.

[[Berkas:Clock group.svg|thumb|Dalam aritmetika modular 12, 9 + 4 = 1 karena 9 + 4 = 13 dalam {{math|'''Z'''}}, yang dibagi 12 daun sisa 1. Namun, {{math|'''Z'''/12'''Z'''}} bukan bidang karena 12 bukan bilangan prima.]]
Kolom hingga yang sederhana, dengan tatanan utama langsung diakses menggunakan [[aritmetika modular]]. Untuk bilangan bulat positif tetap {{math|''n''}}, aritmetika "modulo {{math|''n''}}" artinya melakukan dengan angka
:{{math|1='''Z'''/''n'''''Z''' = {0, 1, ..., ''n'' − 1}.}}
Penambahan dan perkalian pada himpunan ini dilakukan dengan melakukan operasi yang dimaksud himpunan bilangan bulat {{math|'''Z'''}}, membagi dengan {{math|''n''}} dan mengambil sisanya sebagai hasil. Konstruksi ini menghasilkan bidang persis jika {{math|'' n ''}} adalah [[bilangan prima]]. Misalnya mengambil bilangan prima {{math|1=''n''&nbsp;=&nbsp;2}} hasil di bidang yang disebutkan di atas {{math|'''F'''<sub>2</sub>}}. Untuk {{math|1=''n''&nbsp;=&nbsp;4}} dan secara lebih umum, untuk setiap [[bilangan komposit]] (yaitu, bilangan apa pun {{math|'' n ''}} yang dapat diekspresikan sebagai produk {{math|1=''n''&nbsp;=&nbsp;''r''⋅''s''}} dari dua bilangan asli yang lebih kecil), {{math|1='''Z'''/''n'''''Z'''}} bukan bidang: produk dari dua elemen bukan nol adalah nol karena {{math|1=''r''⋅''s''&nbsp;=&nbsp;0}} pada {{math|'''Z'''/''n'''''Z'''}}, yang, seperti yang dijelaskan [[#Konsekuensi dari definisi|di atas]], dengan {{math|'''Z'''/''n'''''Z'''}} dari menjadi lapangan. Lapangan {{math|'''Z'''/''p'''''Z'''}} dengan {{math|''p''}} elemen ({{math|''p''}} menjadi prima) dibangun dengan cara ini biasanya dilambangkan dengan {{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}}.

Setiap bidang terbatas yang dimiliki {{math|'' F ''}} adalah {{math|1=''q''&nbsp;=&nbsp;''p''<sup>''n''</sup>}} elemen, di mana {{math|1=''p''}} adalah bilangan prima dan {{math|''n''&nbsp;≥&nbsp;1}}. Pernyataan ini berlaku karena {{math|'' F ''}} dapat dilihat sebagai [[ruang vektor]] di atas bidang utamanya. [[Dimensi ruang vektor|dimensi]] dari ruang vektor ini harus terbatas, katakanlah {{math|'' n ''}}, yang menyiratkan pernyataan yang ditegaskan.<ref>{{harvtxt|Lidl|Niederreiter|2008|loc=Lemma 2.1, Theorem 2.2}}</ref>

Bidang dengan {{math|1=''q''&nbsp;=&nbsp;''p''<sup>''n''</sup>}} elemen dapat dibuat sebagai [[bidang pemisah]] dari polinomial
:{{math|1=''f''(''x'') = ''x''<sup>''q''</sup> − ''x''}}.
Bidang pemisahan seperti itu merupakan perpanjangan dari {{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}} di mana polinomial {{math | '' f ''}} memiliki {{math | '' q ''}} nol. Ini berarti {{math | '' f ''}} memiliki angka nol sebanyak mungkin karena [[derajat polinomial|derajat]] dari {{math|''f''}} adalah {{math|''q''}}. Untuk {{math|1=''q''&nbsp;=&nbsp;2<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;4}}, itu dapat diperiksa kasus per kasus menggunakan tabel perkalian di atas yang keempat elemennya {{math|'''F'''<sub>4</sub>}} memenuhi persamaan {{math|1=''x''<sup>4</sup>&nbsp;=&nbsp;''x''}}, jadi mereka adalah nol {{math|''f''}}. Sebaliknya, pada {{math|'''F'''<sub>2</sub>}}, {{math|''f''}} hanya memiliki dua angka nol (yaitu 0 dan 1), jadi {{math | '' f ''}} tidak dibagi menjadi faktor linier dalam bidang yang lebih kecil ini. Menguraikan lebih lanjut pengertian teori medan dasar, dapat ditunjukkan bahwa dua bidang berhingga dengan urutan yang sama adalah isomorfik.<ref>{{harvtxt|Lidl|Niederreiter|2008|loc=Theorem 1.2.5}}</ref> Oleh karena itu, adalah kebiasaan untuk menyebut bidang berhingga dengan elemen {{math | '' q ''}}, dilambangkan dengan {{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}} atau {{math|GF(''q'')}}.

== Sejarah ==
Secara historis, tiga disiplin ilmu aljabar mengarah pada konsep bidang: soal menyelesaikan persamaan polinomial, [[teori bilangan aljabar]], dan [[geometri aljabar]].<ref>{{harvtxt|Kleiner|2007|loc=p. 63}}</ref> Langkah pertama menuju gagasan bidang dibuat pada tahun 1770 oleh [[Joseph-Louis Lagrange]], yang mengamati bahwa mengubah angka nol {{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>}} dari [[polinomial kubik]] dalam pernyataan tersebut
:{{math|(''x''<sub>1</sub> + ω''x''<sub>2</sub> + ω<sup>2</sup>''x''<sub>3</sub>)<sup>3</sup>}}
(dengan {{math | ω}} menjadi [[akar persatuan]] ketiga) hanya menghasilkan dua nilai. Dengan cara ini, Lagrange secara konseptual menjelaskan metode solusi klasik [[Scipione del Ferro]] dan [[François Viète]], yang melanjutkan dengan mengurangi persamaan kubik untuk {{math | '' x ''}} yang tidak diketahui menjadi persamaan kuadrat untuk {{math|''x''<sup>3</sup>}}.<ref>{{harvtxt|Kiernan|1971|loc=p. 50}}</ref> Bersama dengan pengamatan serupa untuk [[polinomial kuartik|persamaan derajat 4]], Lagrange menghubungkan apa yang akhirnya menjadi konsep bidang dan konsep grup.<ref>{{harvtxt|Bourbaki|1994|loc=pp. 75–76}}</ref> [[Alexandre-Théophile Vandermonde|Vandermonde]], juga pada tahun 1770, dan secara lebih luas, [[Carl Friedrich Gauss]], dalam karyanya ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' (1801), mempelajari persamaan
:{{math|1=''x''<sup>''p''</sup> = 1}}
untuk bilangan prima {{math | '' p ''}} dan, lagi-lagi menggunakan bahasa modern, hasil siklik [[grup Galois]]. Gauss menyimpulkan bahwa [[poligon beraturan|regular {{math|''p''}}-gon]] dapat dibangun jika {{math|1=''p''&nbsp;=&nbsp;2<sup>2<sup>''k''</sup></sup>&nbsp;+&nbsp;1}}. Berdasarkan karya Lagrange, [[Paolo Ruffini]] menyatakan (1799) bahwa [[persamaan kuintik]] s (persamaan polinomial derajat 5) tidak dapat diselesaikan secara aljabar; Namun, argumennya salah. Celah ini diisi oleh [[Niels Henrik Abel]] pada tahun 1824.<ref>{{harvtxt|Corry|2004|loc=p.24}}</ref> [[Évariste Galois]], pada tahun 1832, merancang kriteria yang diperlukan dan cukup agar persamaan polinomial dapat dipecahkan secara aljabar, sehingga menetapkan efek yang sekarang dikenal sebagai [[teori Galois]]. Baik Abel dan Galois bekerja dengan apa yang sekarang disebut [[bidang angka aljabar]], tetapi tidak memahami gagasan eksplisit tentang bidang, atau pun grup.

Pada tahun 1871 [[Richard Dedekind]] diperkenalkan, untuk satu set bilangan real atau kompleks yang ditutup di bawah empat operasi aritmatika, kata [[Jerman (bahasa)|Jerman]] '' Körper '', yang berarti "tubuh" atau "korpus" (untuk menyarankan entitas yang tertutup secara organik). Istilah Inggris "field" diperkenalkan oleh {{harvtxt|Moore|1893}}.<ref>[http://jeff560.tripod.com/f.html ''Penggunaan Paling Awal dari Beberapa Kata Matematika (F)'']</ref>

{{Quote|text=Yang kami maksud dengan bidang adalah setiap sistem tak terbatas dari bilangan real atau kompleks yang begitu tertutup dengan sendirinya dan menyempurnakan penjumlahan, pengurangan itu, perkalian, dan pembagian salah satu dari dua bilangan ini lagi-lagi menghasilkan bilangan sistem.
|author=Richard Dedekind, 1871<ref>{{harvtxt|Dirichlet|1871|loc=p. 42}}, translation by {{harvtxt|Kleiner|2007|loc=p. 66}}</ref>}}

Pada tahun 1881 [[Leopold Kronecker]] mendefinisikan apa yang dia sebut sebagai '' domain rasionalitas '', yang merupakan bidang [[pecahan rasional]] dalam istilah modern. Gagasan Kronecker tidak mencakup bidang semua bilangan aljabar (yang merupakan bidang dalam pengertian Dedekind), tetapi di sisi lain lebih abstrak daripada Dedekind karena tidak membuat asumsi khusus tentang sifat elemen suatu bidang. Kronecker menafsirkan bidang seperti {{math|'''Q'''(π)}} secara abstrak sebagai bidang fungsi rasional {{math|'''Q'''(''X'')}}. Sebelum ini, contoh bilangan transendental telah diketahui sejak karya [[Joseph Liouville]] pada tahun 1844, sampai [[Charles Hermite]] (1873) dan [[Ferdinand von Lindemann]] (1882) membuktikan transendensi {{math|''e''}} dan {{math|π}}.<ref>{{harvtxt|Bourbaki|1994|loc=p. 81}}</ref>

== Medan dengan struktur tambahan ==
Sejak medan ada di mana-mana dalam matematika dan seterusnya, beberapa penyempurnaan konsep telah disesuaikan dengan kebutuhan bidang matematika tertentu.

=== Medan tatanan ===
{{main|Medan tatanan}}
Medan ''F'' disebut ''medan tatanan'' jika terdapat dua elemen yang dapat dibandingkan, sehingga {{math|''x'' + ''y'' ≥ 0}} dan {{math|''xy''&nbsp;≥&nbsp;0}} dengan {{math|''x''&nbsp;≥&nbsp;0}} dan {{math|''y''&nbsp;≥&nbsp;0}}. Misalnya, bilangan riil membentuk Medan tatanan, dengan tatanan seperti biasa {{math|≥}}. [[Teorema Artin–Schreier]] menyatakan bahwa suatu medan diurutkan jika dan hanya jika itu adalah [[medan riil secara formal]], yang berarti bahwa persamaan kuadrat apa pun
:<math>x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 = 0</math>
hanya solusi {{math|1=''x''<sub>1</sub> = ''x''<sub>2</sub> = ⋅⋅⋅ = ''x''<sub>''n''</sub> = 0}}.<ref>{{harvtxt|Bourbaki|1988|loc=Chapter VI, §2.3, Corollary 1}}</ref> Himpunan semua kemungkinan tatanan pada medan tetap {{math|''F''}} isomorfik ke himpunan [[gelanggang homomorfisme]] dari [[Gelanggang Witt (bentuk)|gelanggang Witt]] {{math|W(''F'')}} dari [[bentuk kuadrat]] berakhir dengan {{math | ''F''}}, sebagai {{math|'''Z'''}}.<ref>{{harvtxt|Lorenz|2008|loc=§22, Theorem 1}}</ref>

Sebuah [[medan Archimedean]] adalah medan yang diurutkan sedemikian rupa sehingga untuk setiap elemen terdapat ekspresi hingga
:{{math|1 + 1 + ··· + 1}}
yang nilainya lebih besar dari elemen itu, artinya tidak ada elemen tak hingga. Sama halnya, medan yang tidak digunakan [[infinitesimal]] (elemen lebih kecil dari semua bilangan rasional); atau, ekuivalen medan isomorfik ke submedan dari {{math|'''R'''}}.

[[Berkas:Illustration of supremum.svg|thumb|300px|Setiap himpunan riil hingga memiliki batas atas terkecil.]]
Bidang yang diurutkan adalah [[Dedekind-complete]] jika semua [[batas atas]], [[batas bawah]] (lihat [[kelengkapan Dedekind]]) dan batas. Secara lebih formal, setiap [[himpunan hingga|himpunan bagian hingga]] dari {{math|''F''}} harus memiliki batas atas terkecil. Setiap medan lengkap tetap menggunakan Archimedean,<ref>{{harvtxt|Prestel|1984|loc=Proposisi 1.22}}</ref> karena dalam medan non-Archimedean tidak terdapat rasional yang sangat kecil atau paling tidak positif, darimana tatanannya {{math|1/2, 1/3, 1/4, ...}}, setiap elemen yang lebih besar dari kecil, tidak memiliki batas.

Karena setiap subkolom riil menggunakan celah seperti itu, {{math|'''R'''}} adalah kolom tatanan lengkap unik, hingga isomorfisme.<ref>{{harvtxt|Prestel|1984|loc=Teorema 1.23}}</ref> Beberapa hasil dasar dalam [[kalkulus]] mengikuti langsung dari karakterisasi riil ini.

[[Hiperriil]] {{math|'''R'''<sup>*</sup>}} membentuk Medan tatanan yang bukan Archimedean. Ini adalah ekstensi dari riil yang diperoleh dengan memasukkan bilangan tak hingga dan infinitesimal tak hingga. Ini lebih besar masing-masing lebih kecil dari bilangan riil. Hiperriil membentuk dasar dasar [[analisis non-standar]].

=== Medan topologi ===
Perbaikan lain dari pengertian bidang adalah [[medan topologi]], dimana himpunan {{math|''F''}} adalah [[ruang topologi]], maka semua operasi medan (penambahan, perkalian, peta {{math|''a'' ↦ −''a''}} dan {{math|''a'' ↦ ''a''<sup>−1</sup>}}) adalah [[peta kontinu]] sehubungan dengan topologi ruang.<ref>{{harvtxt|Warner|1989|loc=Chapter 14}}</ref>
Topologi semua medan yang dibahas di bawah ini diinduksi dari [[metrik (matematika)|metrik]], yaitu fungsi
:{{math|''d'' : ''F'' × ''F'' → '''R''',}}
yang mengukur ''jarak'' antara dua elemen {{math|''F''}}.

[[Pelengkapan (ruang metrik)|Pelengkapan]] dari {{math|''F''}} adalah medan lain dimana "celah" di medan asli {{math|''F''}}. Misalnya, [[bilangan irasional]] {{math|''x''}}, misal {{math|1=''x''&nbsp;=&nbsp;{{radic|2}}}}, adalah "celah" dalam rasio {{math|'''Q'''}} dalam arti bahwa ini adalah bilangan riil yang didekati secara acak oleh bilangan rasional {{math|''p''/''q''}}, dalam arti jarak {{math|''x''}} dan {{math|''p''/''q''}} diberikan [[nilai mutlak]] {{math|{{!}} ''x'' – ''p''/''q'' {{!}}}}.
Tabel berikut mencantumkan beberapa contoh konstruksi ini. Kolom keempat menunjukkan contoh nol [[urutan]], yaitu, urutan yang batasnya (untuk {{math|''n''&nbsp;→&nbsp;∞}}) adalah nol.

{| class="wikitable"
! Medan !! Metrik !! Pelengkapan !! Tatanan nol
|-
| {{math|'''Q'''}} || {{math|<nowiki>|</nowiki> ''x'' – ''y'' <nowiki>|</nowiki>}} (biasa [[nilai absolut]]) || '''R''' || {{math|1/''n''}}
|-
| {{math|'''Q'''}}
|| diperoleh dengan menggunakan [[valuasi p-adik|valuasi ''p''-adik]], untuk bilangan prima {{math|''p''}}
|| {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} ([[bilangan p-adik|bilangan {{math|''p''}}-adic]])
|| {{math|''p''<sup>''n''</sup>}}
|-
| {{math|''F''(''t'')}}<br /> ({{math|''F''}} bidang apapun)
|| diperoleh dengan menggunakan valuasi {{math|''t''}}-adik
|| {{math|''F''((''t''))}}
|| {{math|''t''<sup>''n''</sup>}}
|}

=== Medan diferensial ===
[[Medan diferensial]] adalah medan yang dilengkapi dengan [[turunan (aljabar abstrak)|turunan]], yaitu, memungkinkan untuk mengambil turunan elemen di medan.<ref>{{harvtxt|van der Put|Singer|2003|loc=§1}}</ref> Misalnya, medan '''R'''(''X''), dengan turunan standar polinomial membentuk medan diferensial. Medan ini adalah pusat [[teori Galois diferensial]], varian dari teori Galois yang berhubungan dengan [[persamaan diferensial linear]].

== Gagasan terkait ==

Selain struktur tambahan dengan menggunakan medan, medan menerima berbagai gagasan terkait lainnya. Karena dalam medan 0 ≠ 1, medan memiliki setidaknya dua elemen. Meskipun demikian, ada konsep [[medan dengan satu elemen]] yang disarankan untuk menjadi batas medan hingga {{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}}, karena {{math|''p''}} cenderung 1.<ref>{{harvtxt|Tits|1957}}</ref> Selain gelanggang pembagian, ada berbagai yang lebih lemah lainnya, struktur aljabar yang terkait dengan medan seperti [[medan kuasi]], [[medan dekat (matematika)|medan dekat]] dan [[medan semimedan]].

Ada juga [[kelas kesesuai]] dengan struktur medan, yang terkadang disebut '''Medan''' (atau '''Field'''), dengan huruf besar M. [[Bilangan surriil]] membentuk medan riil, dan akan menjadi medan kecuali fakta bahwa mereka adalah kelas yang tepat, bukan satu himpunan. [[Angka]] adalah konsep dari [[teori permainan]], untuk medan seperti itu juga.<ref>{{harvtxt|Conway|1976}}</ref>

=== Gelanggang pembagian ===
[[Berkas:Hairy_ball.png|thumb|Teorema bola berbulu menyatakan bahwa bola tidak bisa disisir. Secara formal, tidak ada [[Fungsi kontinu|kontinu]] [[berkas tangen|medan vektor singgung]] pada [[bola (matematika)|bola]] {{math|S<sup>2</sup>}}, yang di mana-mana bukan nol.]]

Menjatuhkan satu atau beberapa aksioma dalam definisi medan mengarah ke struktur aljabar lainnya. Seperti disebutkan di atas, gelanggang komutatif memenuhi semua aksioma medan, kecuali untuk invers perkalian. Menjatuhkan kondisi bahwa perkalian bersifat komutatif mengarah ke konsep ''[[gelanggang pembagian]]'' atau ''medan miring''.<ref group=nb>Secara historis, gelanggang pembagian kadang-kadang disebut sebagai medan, sedangkan medan disebut ''medan komutatif''.</ref> Gelanggang pembagian satu-satunya yang berdimensi-hingga vektor-{{math|'''R'''}} ruang {{math|'''R'''}} sendiri, {{math|'''C'''}} (yang merupakan medan), [[kuaternion]] {{math|'''H'''}} (dimana perkalian tidak komutatif), dan [[oktonion]] {{math|'''O'''}} (dimana perkalian tidak bersifat komutatif atau asosiatif). Fakta ini dibuktikan dengan menggunakan metode [[topologi aljabar]] pada tahun 1958 oleh [[Michel Kervaire]], [[Raoul Bott]], dan [[John Milnor]].<ref>{{harvtxt|Baez|2002}}</ref> Tidak adanya aljabar pembagian berdimensi ganjil lebih klasik. Ini dapat disimpulkan dari [[teorema bola berbulu]] yang diilustrasikan di sebelah kanan.{{citation needed|date=September 2018}}

== Catatan ==
{{reflist|group=nb}}

{{reflist|30em}}

== Referensi ==
{{Wikibooks|Aljabar abstrak|Medan}}

{{refbegin|30em}}
* {{Citation|title=Introduction to Field Theory| last=Adamson|first=I. T.|isbn=978-0-486-46266-0|year=2007|publisher=Dover Publications}}
* {{Citation | last1=Allenby | first1=R. B. J. T. | title=Rings, Fields and Groups | publisher=Butterworth-Heinemann | isbn=978-0-340-54440-2 | year=1991}}
* {{Citation | last1=Artin | first1=Michael | author1-link=Michael Artin | title=Algebra | publisher=[[Prentice Hall]] | isbn=978-0-13-004763-2 | year=1991}}, especially Chapter 13
* {{Citation|last1=Artin|first1=Emil|last2=Schreier|first2=Otto|author1-link=Emil Artin|author2-link=Otto Schreier|title=Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper|journal=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg|issn=0025-5858| volume=5|pages=225–231|year=1927|language=de|doi=10.1007/BF02952522|jfm=53.0144.01|s2cid=121547404}}
* {{Citation| last=Ax |first=James|author-link=James Ax|year=1968|title=The elementary theory of finite fields|journal=Ann. of Math. |series= 2|volume=88|issue=2|pages=239–271|doi=10.2307/1970573|jstor=1970573}}
* {{Citation|last=Baez|first=John C.|author-link=John C. Baez|title=The octonions|journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] |volume=39|issue=2|year=2002|pages=145–205|doi=10.1090/S0273-0979-01-00934-X|arxiv=math/0105155|s2cid=586512}}
* {{Citation| last=Banaschewski|first=Bernhard|title=Algebraic closure without choice.|year=1992|journal=Z. Math. Logik Grundlagen Math.|volume=38|issue=4|pages=383–385|zbl=0739.03027|doi=10.1002/malq.19920380136}}
* {{Citation|last1=Beachy|first1=John. A|last2=Blair|first2=William D.|title=Abstract Algebra|edition=3|publisher=Waveland Press|isbn=1-57766-443-4|year=2006}}
* {{Citation | last1=Blyth | first1=T. S. | last2=Robertson | first2=E. F. |author2-link=Edmund F. Robertson| title=Groups, rings and fields: Algebra through practice| publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1985}}. See especially Book 3 ({{ISBN|0-521-27288-2}}) and Book 6 ({{ISBN|0-521-27291-2}}).
* {{Citation|last1=Borceux|first=Francis|last2=Janelidze|first2=George|title=Galois theories|
isbn=0-521-80309-8|year=2001|publisher=Cambridge University Press|zbl=0978.12004}}
* {{Citation|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|author-link=Nicolas Bourbaki|title=Elements of the history of mathematics|publisher=Springer|year=1994|isbn=3-540-19376-6|mr=1290116|doi=10.1007/978-3-642-61693-8}}
* {{Citation|title=Algebra II. Chapters 4–7|last=Bourbaki|first=Nicolas|author-link=Nicolas Bourbaki|isbn=0-387-19375-8|year=1988|publisher=Springer}}
* {{Citation|last=Cassels|first=J. W. S.|author-link=J. W. S. Cassels|title=Local fields|series=London Mathematical Society Student Texts|volume=3|publisher=Cambridge University Press|year=1986|isbn=0-521-30484-9|mr=861410|doi=10.1017/CBO9781139171885}}
* {{Citation|title=Elements of Abstract Algebra|last=Clark|first=A.|isbn=978-0-486-64725-8|series=Dover Books on Mathematics Series|year=1984|publisher=Dover|url=https://books.google.com/books?id=bj1kOY8gOfcC}}
* {{Citation
|first1=John Horton
|last1=Conway
|author-link1=John Horton Conway
|title=On Numbers and Games
|publisher=[[Academic Press]]
|year=1976
|title-link=On Numbers and Games
}}
* {{Citation|last=Corry|first=Leo|author-link=Leo Corry|title=Modern algebra and the rise of mathematical structures|edition=2nd|isbn=3-7643-7002-5|year=2004|publisher=Birkhäuser|zbl=1044.01008}}
* {{Citation|last1=Dirichlet|first1=Peter Gustav Lejeune|author-link=Peter Gustav Lejeune Dirichlet|editor-last=Dedekind|editor-first=Richard|editor-link=Richard Dedekind|year=1871|edition=2nd|language=de|volume=1|location=Braunschweig, Germany|publisher=Friedrich Vieweg und Sohn|title=Vorlesungen über Zahlentheorie (Lectures on Number Theory)|url=https://books.google.com/books?id=SRJTAAAAcAAJ&pg=PA424}}
* {{Citation| last=Eisenbud|first=David|author-link=David Eisenbud | title=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry | location=New York | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=150 | year=1995 | mr=1322960 | isbn=0-387-94268-8 | doi=10.1007/978-1-4612-5350-1}}
* {{Citation|last=Escofier|first=J. P.|isbn=978-1-4613-0191-2|title=Galois Theory|publisher=Springer|year=2012}}
* {{ citation | last1 = Fraleigh | first1 = John B. | year = 1976 | isbn = 0-201-01984-1 | title = A First Course In Abstract Algebra | edition = 2nd | publisher = [[Addison-Wesley]] | location = Reading }}
* {{Citation | last1= Fricke | first1= Robert | author1-link= Robert Fricke | last2= Weber | first2= Heinrich Martin | author2-link= Heinrich Martin Weber | title= Lehrbuch der Algebra | language= de | url= http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN234788267 | publisher= Vieweg | year= 1924 | jfm= 50.0042.03 }}
* {{Citation|title=''p''-adic numbers|
last=Gouvêa|first=Fernando Q.|author-link=Fernando Q. Gouvêa|edition=2nd|year=1997|publisher=Springer|series=Universitext}}
* {{Citation|title=A Guide to Groups, Rings, and Fields|
last=Gouvêa|first=Fernando Q.|author-link=Fernando Q. Gouvêa|isbn=978-0-88385-355-9|year=2012|publisher=Mathematical Association of America}}
* {{springer|title=Field|id=p/f040090}}
* {{Citation|last1=Hensel|first1=Kurt|author1-link=Kurt Hensel|title=Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen|journal=Journal für die Reine und Angewandte Mathematik|issn=0075-4102|volume=128|pages=1–32|year=1904|language=de|jfm=35.0227.01|url=https://eudml.org/doc/149187}}
* {{Citation| last=Jacobson| first=Nathan| author-link=Nathan Jacobson| year=2009| title=Basic algebra| edition=2nd| volume = 1 | publisher=Dover| isbn = 978-0-486-47189-1}}
* {{Citation|mr=0679774|first1=Uwe|last1=Jannsen|first2=Kay|last2=Wingberg|title=Die Struktur der absoluten Galoisgruppe 𝔭-adischer Zahlkörper. [The structure of the absolute Galois group of 𝔭-adic number fields]|journal=Invent. Math.|volume=70|year=1982|issue=1|pages=71–98|url=http://epub.uni-regensburg.de/26689/|doi=10.1007/bf01393199|bibcode=1982InMat..70...71J|s2cid=119378923}}
* {{Citation|last=Kleiner|first=Israel|editor1-first=Israel|editor1-last=Kleiner|author-link=Israel Kleiner (mathematician)|title=A history of abstract algebra|publisher=Birkhäuser|year=2007|isbn=978-0-8176-4684-4|mr=2347309|doi=10.1007/978-0-8176-4685-1}}
* {{Citation|last=Kiernan|first=B. Melvin|title=The development of Galois theory from Lagrange to Artin|journal=Archive for History of Exact Sciences
|volume=8|year=1971|number=1–2|pages=40–154|mr=1554154|doi=10.1007/BF00327219|s2cid=121442989}}
* {{Citation|last1=Kuhlmann|first=Salma|title=Ordered exponential fields|series=Fields Institute Monographs|volume=12|publisher=American Mathematical Society|year=2000|isbn=0-8218-0943-1|mr=1760173}}
* {{Citation|first=Serge|last=Lang|author-link=Serge Lang|title=Algebra|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=211|edition=3rd|publisher=Springer|year=2002|isbn=0-387-95385-X|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0}}
* {{Citation|first1=Rudolf|last1=Lidl|first2=Harald|last2=Niederreiter|author2-link=Harald Niederreiter|title=Finite fields| edition=2nd|year=2008|isbn=978-0-521-06567-2|publisher=Cambridge University Press|zbl=1139.11053}}
* {{Citation|last=Lorenz|first=Falko|title=Algebra, Volume II: Fields with Structures, Algebras and Advanced Topics|year=2008|isbn=978-0-387-72487-4|publisher=Springer}}
* {{Citation|last1=Marker|first1=David|last2=Messmer|first2=Margit|last3=Pillay|first3=Anand|title=Model theory of fields|series=Lecture Notes in Logic|volume=5|edition=2nd|publisher=Association for Symbolic Logic|year=2006|isbn=978-1-56881-282-3|mr=2215060|citeseerx=10.1.1.36.8448|url-access=registration|url=https://archive.org/details/modeltheoryoffie0000mark}}
* {{ citation | last1 = McCoy | first1 = Neal H. | title = Introduction To Modern Algebra, Revised Edition | location = Boston | publisher = [[Allyn and Bacon]] | year = 1968 | lccn = 68015225 }}
* {{Citation|last1=Mines|first1=Ray|last2=Richman|first2=Fred|last3=Ruitenburg|first3=Wim|title=A course in constructive algebra|series=Universitext|publisher=Springer|year=1988|isbn=0-387-96640-4|mr=919949|doi=10.1007/978-1-4419-8640-5}}
* {{citation
 | last = Moore | first = E. Hastings | author-link = E. H. Moore
 | doi = 10.1090/S0002-9904-1893-00178-X
 | issue = 3
 | journal = [[Bulletin of the American Mathematical Society]]
 | mr = 1557275
 | pages = 73–78
 | title = A doubly-infinite system of simple groups
 | volume = 3
 | year = 1893| doi-access = free
 }}
* {{Citation|last=Prestel|first=Alexander|title=Lectures on formally real fields
 |series=Lecture Notes in Mathematics    |volume=1093|publisher=Springer|year=1984|isbn=3-540-13885-4|mr=769847|doi=10.1007/BFb0101548}}
* {{Citation|last=Ribenboim|first=Paulo|author-link=Paulo Ribenboim|title=The theory of classical valuations|series=Springer Monographs in Mathematics|publisher=Springer|year=1999|isbn=0-387-98525-5|mr=1677964| doi=10.1007/978-1-4612-0551-7}}
* {{Citation|last=Scholze|first=Peter|author-link=Peter Scholze|chapter=Perfectoid spaces and their Applications|year=2014|chapter-url=http://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/ICM.pdf|title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2014|url=http://www.icm2014.org/en/vod/proceedings.html|isbn=978-89-6105-804-9|accessdate=2020-12-29|archive-date=2019-08-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20190825060842/http://www.icm2014.org/en/vod/proceedings.html|dead-url=yes}}
* {{Citation|last=Schoutens|first=Hans|isbn=978-3-642-13367-1|title=The Use of Ultraproducts in Commutative Algebra|year=2002|publisher=Springer|series=Lecture Notes in Mathematics|volume=1999}}
* {{Citation|last=Serre|first=Jean-Pierre|author-link=Jean-Pierre Serre|title=A course in arithmetic. Translation of ''Cours d'arithmetique''|edition=2nd|orig-year=1978|series=Graduate Text in Mathematics|volume=7|publisher=Springer|zbl=0432.10001|isbn=9780387900407|year=1996|url-access=registration|url=https://archive.org/details/courseinarithmet00serr}}
* {{Citation|last=Serre|first=Jean-Pierre|author-link=Jean-Pierre Serre|title=Local fields|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=67|publisher=Springer|year=1979|isbn=0-387-90424-7|mr=554237}}
* {{Citation|first=Jean-Pierre|last=Serre|author-link=Jean-Pierre Serre|title=Topics in Galois theory|isbn=0-86720-210-6|year=1992|publisher=Jones and Bartlett Publishers|zbl=0746.12001}}
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link= Jean-Pierre Serre | title=Galois cohomology | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Springer Monographs in Mathematics | isbn=978-3-540-42192-4 | mr=1867431 | year=2002 | zbl=1004.12003 | others=Translated from the French by [[Patrick Ion]]}}
* {{Citation|last=Sharpe|first=David|title=Rings and factorization|isbn=0-521-33718-6|year=1987|publisher=Cambridge University Press|zbl=0674.13008|url-access=registration|url=https://archive.org/details/ringsfactorizati0000shar}}
* {{Citation | last1=Steinitz | first1=Ernst | author1-link=Ernst Steinitz | title=Algebraische Theorie der Körper | trans-title=Algebraic Theory of Fields | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002167042 | year=1910 | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | issn=0075-4102 | volume=1910 | issue=137 | pages=167–309 | jfm=41.0445.03 | doi=10.1515/crll.1910.137.167 | s2cid=120807300 }}
* {{ Citation | last1 = Tits | first1 = Jacques | author-link=Jacques Tits | chapter = Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes | title = Colloque d'algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain | publisher = Librairie Gauthier-Villars | place = Paris | year = 1957 | pages = 261–289 }}
* {{Citation|title=Galois Theory of Linear Differential Equations|first1=M.|last1=van der Put|first2=M. F.|last2=Singer|year=2003|publisher=Springer|series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|volume=328|url=http://www4.ncsu.edu/~singer/papers/dbook2.ps}}
* {{Citation|last=von Staudt|first=Karl Georg Christian|author-link=Karl Georg Christian von Staudt|url=https://books.google.com/books?id=XwEHAAAAcAAJ&pg=PA127|title=Beiträge zur Geometrie der Lage (Contributions to the Geometry of Position)|volume=2|location=Nürnberg (Germany)|publisher=Bauer and Raspe|year=1857}}
* {{Citation|last=Wallace|first=D. A. R.|year=1998|title=Groups, Rings, and Fields|series=SUMS|publisher=Springer|volume=151}}
* {{Citation|first=Seth|last=Warner|title=Topological fields|isbn=0-444-87429-1|year=1989|publisher=North-Holland|zbl=0683.12014}}
* {{citation|first=Lawrence C.|last= Washington|author-link=Lawrence C. Washington|title=Introduction to Cyclotomic Fields|series=Graduate Texts in Mathematics|volume= 83|publisher=Springer-Verlag |year= 1997|edition=2nd |isbn=0-387-94762-0 |mr=1421575|doi=10.1007/978-1-4612-1934-7}}
* {{Citation|last=Weber|first=Heinrich|author-link=Heinrich Martin Weber|title=Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie|journal=Mathematische Annalen|issn=0025-5831|volume=43|issue=4|pages=521–549|year=1893|language=de|doi=10.1007/BF01446451|jfm=25.0137.01|s2cid=120528969|url=https://eudml.org/doc/157689}}
{{refend}}

{{DEFAULTSORT:Medan (Matematika)}}
[[Kategori:Medan (matematika)| ]]
[[Kategori:Struktur aljabar]]
[[Kategori:Aljabar abstrak]]