Lihat sumber Kuasigrup

{{periksa terjemahan|en|Quasigroup}}
{{Struktur aljabar |Grup}}
Dalam [[matematika]], terutama dalam [[aljabar abstrak]], '''kuasigrup''' adalah [[struktur aljabar]] yang menggunakan [[grup (matematika)|grup]] dalam arti bahwa "[[pembagian]]" selalu memungkinkan. Kuasigrup berbeda dari grup terutama karena mereka tidak selalu [[asosiatif]].

Kuasigrup dengan elemen identitas disebut '''gelung'''.

== Definisi ==
Terdapat dua definisi formal kuasigrup secara struktural. Mendefinisikan kuasigrup sebagai himpunan dengan satu [[operasi biner]], dan yang lainnya, dari [[aljabar universal]], mendefinisikan kuasigrup sebagai tiga operasi. [[Homomorfisme|Homomorfik]] [[galeri (matematika)|galeri]] dari kuasigrup ditentukan dengan operasi biner tunggal.<ref>{{cite book|last1=Smith|first1=Jonathan D. H.|title=An introduction to quasigroups and their representations|url=https://archive.org/details/introductiontoqu00smit_223|url-access=limited|date=2007|publisher=Chapman & Hall/CRC|location=Boca Raton, Fla. [u.a.]|isbn=978-1-58488-537-5|pages=[https://archive.org/details/introductiontoqu00smit_223/page/n14 3], 26–27}}</ref>

=== Aljabar ===
'''Kuasigrup''' {{nowrap|(''Q'', ∗)}} adalah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] ''Q'' dengan operasi biner ∗ (yaitu, [[magma (aljabar)|magma]]) menggunakan sifat '''persegi Latin'''. Hal ini bahwa, untuk ''a'' dan ''b'' dalam ''Q'', dengan elemen ''x'' dan ''y'' dengan ''Q'' sehingga
:''a'' ∗ ''x'' = ''b'',
:''y'' ∗ ''a'' = ''b'' 
(Dengan elemen himpunan satu kali dengan baris dan kolom tabel perkalian kuasigrup, atau [[tabel Cayley]]. Sifat tabel Cayley dari kuasigrup hingga, dan [[grup hingga]], adalah [[persegi latin]].) Persyaratan dengan magma menjadi [[sifat pembatalan|pembatalan]].<ref>{{cite book|author1=H. Rubin |author2=J. E. Rubin |author2-link= Jean E. Rubin |year=1985 |title=Equivalents of the Axiom of Choice, II |title-link= Equivalents of the Axiom of Choice |publisher=Elsevier |page=[https://archive.org/details/equivalentsofaxi0000rubi/page/109 109] }}</ref>

Persamaan ditulis sebagai {{nowrap|1=''x'' = ''a'' \ ''b''}} dan {{nowrap|1=''y'' = ''b'' / ''a''}}. Operasi '\' dan '/' yaitu, '''kiri''' dan '''kanan''' '''divisi'''.

[[Himpunan kosong]] digunakan dengan [[Fungsi (matematika)#Fungsi standar|operasi biner kosong]] dari definisi kuasigrup beberapa penulis, kuasigrup kosong yang digunakan secara eksplisit.<ref>{{harvnb|Pflugfelder|1990|page=2}}</ref><ref>{{harvnb|Bruck|1971|p=1}}</ref>

=== Aljabar universal ===
Beberapa [[struktur aljabar]], [[identitas (matematika)|identitas]] adalah persamaan di mana variabel [[ukuran universal|diukur secara universal]], dan di mana [[Operasi (matematika)|operasi]] termasuk di antara operasi yang sesuai dengan struktur. Struktur aljabar dengan identitas disebut [[varietas (aljabar universal)|varietas]]. Hasil standar dalam [[aljabar universal]] hanya berlaku untuk varietas. Kuasigrup adalah varietas pembagian kiri dan kanan dianggap primitif.

'''Kuasigrup''' {{nowrap|(''Q'', ∗, \, /)}} adalah jenis (2,2,2) aljabar (yaitu, dilengkapi dengan tiga operasi biner) identitas:
:''y'' = ''x'' ∗ (''x'' \ ''y''),
:''y'' = ''x'' \ (''x'' ∗ ''y''),
:''y'' = (''y'' / ''x'') ∗ ''x'',
:''y'' = (''y'' ∗ ''x'') / ''x''.

Dengan perkalian dan pembagian dalam urutan, satu demi satu, pada sisi yang sama dengan elemen.

Karena, jika {{nowrap|(''Q'', ∗)}} adalah kuasigrup menurut definisi pertama, maka {{nowrap|(''Q'', ∗, \, /)}} adalah kuasigrup yang sama dalam arti aljabar universal. Dan sebaliknya: jika {{nowrap|(''Q'', ∗, \, /)}} adalah kuasigrup menurut pengertian aljabar universal, kemudian {{nowrap|(''Q'', ∗)}} adalah kuasigrup menurut definisi pertama.

== Gelung ==
[[Berkas:Magma to group4.svg|thumb|right|300px|Struktur aljabar antara magma dan grup.]]
'''Gelung''' adalah kuasigrup dengan [[elemen identitas]];
:''x'' ∗ ''e'' = ''x'' dan ''e'' ∗ ''x'' = ''x'' untuk ''x'' pada ''Q''.

Maka elemen identitas ''e'', dan elemen ''Q'' memiliki [[elemen invers|invers kiri]] dan [[elemen invers|invers kanan]] (yang tidak harus sama).

Kuasigrup dengan [[elemen idempoten]] disebut kuasi grup idempoten titik; gagasan lemah dari gelung tetap umum misalnya, jika [[grup abelian]] {{nowrap|(''A'', +)}} dari operasi pengurangan sebagai perkalian kuasigrup pikue {{nowrap|(''A'', −)}} dengan identitas grup (nol) menjadi "idempoten tajam" (yaitu, isotop utama {{nowrap|(''x'', ''y'', ''z'') ↦ (''x'', −''y'', ''z'')}}.)

gelung asosiatif adalah grup suatu isotop non-asosiatif, tetapi tidak memiliki isotop simpul non-asosiatif.

Terdapat sifat asosiatif lemah yang telah diberi nama khusus.

Misalnya, '''[[gelung Bol]]''' adalah gelung:
:''x'' ∗ (''y'' ∗ (''x'' ∗ ''z'')) = (''x'' ∗ (''y'' ∗ ''x'')) ∗ ''z''{{quad}} untuk '' x '', '' y '' dan '' z '' dalam '' Q '' ('' Bol kiri gelung ''),
atau
:((''z'' ∗ ''x'') ∗ ''y'') ∗ ''x'' = ''z'' ∗ ((''x'' ∗ ''y'') ∗ ''x''){{quad}} untuk '' x '', '' y '' dan '' z '' dalam '' Q '' ('' Bol gelung kanan '').

gelung yang merupakan gelung Bol kiri dan kanan adalah '''[[gelung Moufang]]'''. Setara dengan salah satu dari identitas Moufang berikut yang dimiliki untuk ''x'', ''y'', ''z'':
:''x'' ∗ (''y'' ∗ (''x'' ∗ ''z'')) = ((''x'' ∗ ''y'') ∗ ''x'') ∗ ''z'',
:''z'' ∗ (''x'' ∗ (''y'' ∗ ''x'')) = ((''z'' ∗ ''x'') ∗ ''y'') ∗ ''x'',
:(''x'' ∗ ''y'') ∗ (''z'' ∗ ''x'') = ''x'' ∗ ((''y'' ∗ ''z'') ∗ ''x''), atau
:(''x'' ∗ ''y'') ∗ (''z'' ∗ ''x'') = (''x'' ∗ (''y'' ∗ ''z'')) ∗ ''x''.

== Simetri ==
Smith (2007) menyebutkan sifat dan subkelas berikut ini:

=== Semisimetri ===
kuasigrup adalah '''semisimetris''' jika identitas setara sebagai berikut:
:''xy'' = ''y'' / ''x'',
:''yx'' = ''x'' \ ''y'',
:''x'' = (''yx'')''y'',
:''x'' = ''y''(''xy'').

kuasigrup '' Q '' menginduksi kuasigrup semisimetri ''Q''Δ denagn kubus produk langsung ''Q''<sup>3</sup> melalui operasi berikut:

:<math>(x_1, x_2, x_3) \cdot (y_1, y_2, y_3) = (y_3/x_2, y_1 \backslash x_3 , x_1y_2) = (x_2//y_3, x_3 \backslash \backslash y_1, x_1y_2) ,</math>

di mana "//" dan "\\" adalah operasi pembagian konjugasi <math>y // x = x / y</math> dan <math>y \backslash\backslash x = x \backslash y</math>.

=== Trialiti ===
{{expand section|date=Januari 2021}}

=== Total simetri ===
Kelas merupakan '''kuasigrup simetris total''' (terkadang disingkat '''kuasigrup-TS''') di mana semua konjugasi bertepatan sebagai satu operasi: {{nowrap|1=''xy'' = ''x'' / ''y'' = ''x'' \ ''y''}}. Untuk mendefinisikan (pengertian yang sama tentang) kuasigrup simetri total adalah sebagai kuasigrup semisimetri yang juga bersifat komutatif, yaitu {{nowrap|1=''xy'' = ''yx''}}.

kuasigrup simetri total idempoten (yaitu dalam bijeksi dengan) [[Sistem Steiner|tripel Steiner]], kuasigrup juga disebut '''kuasigrup Steiner''', dan kadang-kadang yang terakhir bahkan disingkat sebagai '''squag'''; istilah '''sgelung''' didefinisikan untuk kuasigrup Steiner yang juga merupakan gelung. Tanpa idempotensi, grup simetri total dengan pengertian geometris [[ekstensi tripel Steiner]], juga disebut '''Generalized Elliptic Cubic Curve (GECC)''' dalam bahasa Indonesia yaitu '''Kurva Kubik Eliptik Umum'''.

=== Total antisimetri ===
kuasigrup {{nowrap|(''Q'', ∗)}} disebut '''totali anti-simetri''' jika {{nowrap|''c'', ''x'', ''y'' ∈ ''Q''}} dari kedua implikasi berikut:<ref name=Damm2007 >{{cite journal |last=Damm |year=2007 |first=H. Michael |title=Totally anti-symmetric quasigroups for all orders ''n''&ne;2,6 |journal=Discrete Mathematics |volume=307 |issue=6 |pages=715–729 |doi=10.1016/j.disc.2006.05.033 |doi-access=free }}</ref>
# (''c'' ∗ ''x'') ∗ ''y'' = (''c'' ∗ ''y'') ∗ ''x'' menyiratkan ''x'' = ''y''
# ''x'' ∗ ''y'' = ''y'' ∗ ''x'' menyiratkan ''x'' = ''y''.

Hal ini disebut '''anti-simetri lemah''' jika hanya implikasi pertama.<ref name=Damm2007 />

Sifat ini digunakan dalam [[Algoritma Damm]].

== Contoh ==
* Setiap [[grup (matematika)|grup]] adalah satu lingkaran, maka {{nowrap|1=''a'' ∗ ''x'' = ''b''}} [[jika dan hanya jika]] {{nowrap|1=''x'' = ''a''<sup>−1</sup> ∗ ''b''}}, dan {{nowrap|1=''y'' ∗ ''a'' = ''b''}} jika dan hanya jika {{nowrap|1=''y'' = ''b'' ∗ ''a''<sup>−1</sup>}}.
* [[Bilangan bulat]] '''Z''' dengan [[pengurangan]] (-) membentuk kuasigrup.
* [[Bilangan rasional]] '''Q'''<sup>×</sup> (atau bukan nol [[bilangan riil|riil]] '''R'''<sup>×</sup>) dengan [[pembagian]] (÷) membentuk kuasigrup.
* Setiap [[ruang vektor]] di atas [[bidang (matematika)|bidang]] dari [[karakteristik (aljabar)|karakteristik]] tidak membentuk dengan 2 [[idempoten]], kuasigrup [[komutatif]] di bawah operasi {{nowrap|1=''x'' ∗ ''y'' = (''x'' + ''y'') / 2}}.
* Setiap [[Sistem Steiner|Sistem tripel Steiner]] mendefinisikan kuasigrup [[idempoten]], [[komutatif]]: {{nowrap|1=''a'' ∗ ''b''}} adalah elemen ketiga dari triple yang mengandung ''a'' dan ''b''. kuasigrup {{nowrap|1=(''x'' ∗ ''y'') ∗ ''y'' = ''x''}} untuk ''x'' dan ''y'' dengan kuasigrup yang dikenal sebagai '' kuasigrup Steiner ''.<ref>{{harvnb|Colbourn|Dinitz|2007|p=497, definition 28.12}}</ref>
* The set {{nowrap|1={±1, ±i, ±j, ±k}<!---->}} dimana {{nowrap|1=ii = jj = kk = +1}} dan dengan semua produk lain seperti pada [[grup kuaternion]] membentuk gelung non-asosiatif dengan orde 8. Lihat [[kuartenion hiperbolik#Tinjauan historis|kuartenion hiperbolik]]. (Kuartenion hiperbolik tidak membentuk lingkaran atau kuasigrup.)
* [[Oktonion]] bukan nol membentuk gelung non-asosiatif dalam perkalian. Oktonion adalah tipe gelung khusus yang dikenal sebagai [[loop Moufang|gelung Moufang]].
* Sebuah kuasigrup asosiatif kosong atau sebuah grup, karena jika ada setidaknya satu elemen, keberadaan invers dan asosiatif menyiratkan adanya identitas.
* Berikut ini karena [[Hans Zassenhaus]], pada himpunan dasar dari [[ruang vektor]] empat dimensi '''F'''<sup>4</sup> di atas 3 elemen [[bidang Galois]] {{nowrap|1='''F''' = '''Z'''/3'''Z'''}} dengan
:(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, ''x''<sub>4</sub>) ∗ (''y''<sub>1</sub>, ''y''<sub>2</sub>, ''y''<sub>3</sub>, ''y''<sub>4</sub>) = (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, ''x''<sub>4</sub>) + (''y''<sub>1</sub>, ''y''<sub>2</sub>, ''y''<sub>3</sub>, ''y''<sub>4</sub>) + (0, 0, 0, (''x''<sub>3</sub> − ''y''<sub>3</sub>)(''x''<sub>1</sub>''y''<sub>2</sub> − ''x''<sub>2</sub>''y''<sub>1</sub>)).
:Maka, {{nowrap|('''F'''<sup>4</sup>, ∗)}} adalah grup dari [[komutatif]] [[gelung Moufang]].<ref>{{citation
 | last1 = Smith | first1 = Jonathan D. H.
 | last2 = Romanowska | first2 = Anna B.
 | chapter = Example 4.1.3 (Zassenhaus's Commutative Moufang Loop)
 | doi = 10.1002/9781118032589
 | isbn = 978-0-471-12738-3
 | mr = 1673047
 | page = 93
 | publisher = Wiley
 | series = Pure and Applied Mathematics |location=New York
 | title = Post-modern algebra
 | chapter-url = https://books.google.com/books?id=i5SlbIA-KwUC&pg=PA93
 | year = 1999}}.</ref>
* Himpunan elemen bukan nol dari [[aljabar pembagian]] membentuk kuasigrup.

== Sifat ==
:<small>Bagian artikel ini menunjukkan kuasigrup [[perkalian dengan penjajaran]].</small>

Kuasigrup [[sifat pembatalan]]: jika {{nowrap|1=''ab'' = ''ac''}} dari {{nowrap|1=''b'' = ''c''}} oleh pembagian kiri '' ab '' atau '' ac '' oleh '' a ''. Jika {{nowrap|1=''ba'' = ''ca''}} adalah {{nowrap|1=''b'' = ''c''}}.

=== Operator perkalian ===
Definisi dari kuasigrup sebagai operator perkalian kiri dan kanan {{nowrap|''L''(''x''), ''R''(''y''): ''Q'' → ''Q''}}, didefinisikan dari 
:<math>\begin{align}
  L(x)y &= xy \\
  R(x)y &= yx \\
\end{align}</math>

Definisi tersebut kedua pemetaan adalah [[bijeksi]] dari ''Q''. Magma ''Q'' adalah kuasigrup ketika operator, untuk '' x '' dalam '' Q '', bersifat bijektif. Peta invers adalah pembagian kiri dan kanan, yaitu 
:<math>\begin{align}
  L(x)^{-1}y &= x\backslash y \\
  R(x)^{-1}y &= y/x
\end{align}</math>

Dalam notasi, identitas di antara operasi perkalian dan pembagian kuasigrup (dinyatakan pada bagian [[#Aljabar universal|aljabar universal]]) adalah
:<math>\begin{align}
  L(x)L(x)^{-1} &= 1\qquad&\text{ dengan}\qquad x(x\backslash y) &= y \\
  L(x)^{-1}L(x) &= 1\qquad&\text{ dengan}\qquad x\backslash(xy) &= y \\
  R(x)R(x)^{-1} &= 1\qquad&\text{ dengan}\qquad (y/x)x &= y \\
  R(x)^{-1}R(x) &= 1\qquad&\text{ dengan}\qquad (yx)/x &= y
\end{align}</math>

dimana 1 adalah peta identitas pada '' Q ''.

=== Persegi Latin ===
{{main|Persegi latin}}
[[Berkas:10 x10 lateinisches quadrat.svg|thumb|300px|Persegi Latin, tabel perkalian tak beraturan untuk kuasigrup yang 10 elemennya adalah angka 0–9.]]
Tabel perkalian kuasigrup berhingga adalah [[persegi Latin]]: {{nowrap|''n'' × ''n''}} tabel dengan simbol '' n '' yang berbeda sehingga setiap simbol satu kali di baris dan satu kali di setiap kolom.

Sebaliknya, setiap persegi Latin sebagai tabel perkalian kuasigrup: baris perbatasan (berisi tajuk kolom) dan kolom (berisi tajuk baris) dapat berupa permutasi elemen. Lihat [[persegi Latin kecil dan grup semu|persegi Latin kecil dan kuasigrup]].

==== Kuasigrup tak hingga ====
Untuk kuasigrup [[takhingga tercacah]] '' Q '' adalah di mana baris dan kolom sesuai dengan beberapa elemen '' q '' dari '' Q '', dan dimana elemen ''a''*''b'' adalah baris yang sesuai dengan '' a '' dan kolom merespons '' b ''. Dalam sifat persegi Latin baris dan kolom dari tak hingga dari titik yang mungkin satu kali.
{{clear}}

=== Sifat invers ===
Elemen gelung memiliki invers kiri dan kanan dirumuskan sebagai

:<math>x^{\lambda} = e/x \qquad x^{\lambda}x = e</math>
:<math>x^{\rho} = x\backslash e \qquad xx^{\rho} = e</math>

gelung dikatakan memiliki ('' dua sisi '') '' invers '' jika <math>x^{\lambda} = x^{\rho}</math> adalah '' x ''. Dalam hal ini elemen invers biasanya dilambangkan dengan <math>x^{-1}</math>.

Ada beberapa pengertian invers yang lebih kuat dalam gelung yang sering berguna:
* Sebuah gelung memiliki '' sifat inversi kiri '' jika <math>x^{\lambda}(xy) = y</math> untuk <math>x</math> dan <math>y</math>. Setara, <math>L(x)^{-1} = L(x^{\lambda})</math> or <math>x\backslash y = x^{\lambda}y</math>.
*Sebuah gelung memiliki '' sifat invers kanan '' jika <math>(yx)x^{\rho} = y</math> for all <math>x</math> dan <math>y</math>. Setara, <math>R(x)^{-1} = R(x^{\rho})</math> or <math>y/x = yx^{\rho}</math>.
*Sebuah gelung memiliki '' sifat kebalikan antiautomorphic '' if <math>(xy)^{\lambda} = y^{\lambda}x^{\lambda}</math> atau, setara, jika <math>(xy)^{\rho} = y^{\rho}x^{\rho}</math>.
*Sebuah gelung memiliki '' sifat inversi lemah '' ketika <math>(xy)z = e</math> jika dan hanya jika <math>x(yz) = e</math>. Ini dapat dinyatakan dalam inversi melalui <math>(xy)^{\lambda}x = y^{\lambda}</math> atau setara <math>x(yx)^{\rho} = y^{\rho}</math>.

Sebuah gelung memiliki '' sifat invers '' jika ia memiliki sifat invers kiri dan kanan. gelung sifat invers juga memiliki sifat invers antiautomorfik dan lemah. Pengulangan salah satu dari empat identitas di atas memiliki sifat inversi dan karena itu memenuhi keempatnya.

== Perampatan ==
=== Kuasigrup poladik atau multier ===<!-- Bagian ini ditautkan dari [[Grup semu multiari]] -->

Sebuah '''kuasigrup-ari-n''' adalah himpunan dengan [[ariti|operasi ari-n]], {{nowrap|(''Q'', ''f'')}} dengan {{nowrap|''f'': ''Q''<sup>''n''</sup> → ''Q''}}, sehingga persamaannya {{nowrap|1=''f''(''x''<sub>1</sub>,...,''x<sub>n</sub>'') = ''y''}} memiliki solusi unik untuk satu variabel jika semua variabel '' n '' lainnya ditentukan. '''Poliadik''' atau '''multiari''' berarti ari-n untuk beberapa bilangan bulat nonnegatif '' n ''.

Contoh dari beberapa kuasigrup adalah operasi grup berulang, {{nowrap|1=''y'' = ''x''<sub>1</sub> · ''x''<sub>2</sub> · ··· · ''x''<sub>''n''</sub>}}; tidak perlu menggunakan tanda kurung untuk menentukan [[urutan operasi]] karena grup bersifat asosiatif.  Seseorang juga dapat membentuk kuasigrup multi dengan melakukan urutan apapun dari operasi grup atau kuasigrup yang sama atau berbeda, jika urutan operasi ditentukan.

Ada banyak kuasigrup yang tidak dapat direpresentasikan dengan cara ini. Sebuah semigrup ari-n adalah '''tidak bisa direduksi''' jika operasinya tidak dapat difaktorkan ke dalam komposisi dua operasi dengan cara berikut:
:<math> f(x_1,\dots,x_n) = g(x_1,\dots,x_{i-1},\,h(x_i,\dots,x_j),\,x_{j+1},\dots,x_n), </math>
dimana {{nowrap|1 ≤ ''i'' &lt; ''j'' ≤ ''n''}} and {{nowrap|(''i, j'') ≠ (1, ''n'')}}. Irreduksi hingga kuasi grup ari-n untuk {{nowrap|''n'' > 2}}; lihat Akivis dan Goldberg (2001) untuk detailnya.

=== Grup kanan dan kiri ===
{{expand section|date=Januari 2021}}
'''Kuasigrup kanan''' {{nowrap|(''Q'', ∗, /)}} adalah aljabar tipe (2,2) yang memenuhi kedua identitas:
''y'' = (''y'' / ''x'') ∗ ''x'';
''y'' = (''y'' ∗ ''x'') / ''x''.

Demikian pula, '''kuasigrup kiri''' {{nowrap|(''Q'', ∗, \)}} adalah aljabar tipe (2,2) yang memenuhi kedua identitas:
''y'' = ''x'' ∗ (''x'' \ ''y'');
''y'' = ''x'' \ (''x'' ∗ ''y'').

== Jumlah kuasigrup dan gelung kecil ==
{{main|Persegi latin kecil dan kuasigrup}}
Jumlah kelas [[isomorfisme]] dari kuasigrup kecil {{OEIS|A057991}} dan gelung {{OEIS|A057771}} diberikan:<ref>{{cite journal | url=http://cs.anu.edu.au/~bdm/papers/ls_final.pdf | last1=McKay | first1=Brendan D. | last2=Meynert | first2=Alison | last3=Myrvold | first3=Wendy |author3-link=Wendy Myrvold| title=Small Latin squares, quasigroups, and loops | zbl=1112.05018 | journal=J. Comb. Des. | volume=15 | number=2 | pages=98–119 | year=2007 | doi=10.1002/jcd.20105 | citeseerx=10.1.1.151.3043 }}</ref>

{| class="wikitable" style="text-align: right;"   
|-
  ![[Urutan (teori grup)|Urutan]]
  !Jumlah kuasigrup
  !Jumlah gelung
|-
  |0
  |1
  |0
|-
  |1
  |1
  |1
|-
  |2
  |1
  |1
|-
  |3
  |5
  |1
|-
  |4
  |35
  |2
|-
  |5
  |1,411
  |6
|-
  |6
  |1,130,531
  |109
|-
  |7
  |12,198,455,835
  |23,746
|-
  |8
  |2,697,818,331,680,661
  |106,228,849
|-
  |9
  |15,224,734,061,438,247,321,497
  |9,365,022,303,540
|-
  |10
  |2,750,892,211,809,150,446,995,735,533,513
  |20,890,436,195,945,769,617
|-
  |11
  |19,464,657,391,668,924,966,791,023,043,937,578,299,025
  |1,478,157,455,158,044,452,849,321,016
|-
|}

== Lihat pula ==
* [[Gelanggang pembagian]] - gelanggang di mana setiap elemen bukan nol memiliki pembalikan perkalian
* [[Semigrup]] - struktur aljabar yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi biner asosiatif
* [[Monoid]] - semigrup dengan elemen identitas
* [[Gelanggang terner Planar]] - memiliki struktur gelung aditif dan perkalian
* [[Masalah dalam teori lingkaran dan teori kuasigroup|Masalah dalam teori lingkaran dan teori kuasigrup]]
* [[Matematika Sudoku]]

== Catatan ==
{{reflist|30em}}

== Referensi ==
* {{cite journal | last1 = Akivis | first1 = M. A. | last2 = Goldberg | first2 = Vladislav V. | year = 2001 | title = Solution of Belousov's problem | journal = Discussiones Mathematicae - General Algebra and Applications | volume = 21 | issue =1 | pages = 93–103 | doi=10.7151/dmgaa.1030 | arxiv = math/0010175 | s2cid = 18421746 }}
* {{cite book |first=R.H. |last=Bruck |author-link=Richard Bruck |title=A Survey of Binary Systems |publisher=Springer-Verlag |orig-year=1958 |url=https://books.google.com/books?id=MXTmCAAAQBAJ&pg=PA1 |year=1971 |isbn=978-0-387-03497-3}}
* {{cite book |editor-first=O. |editor-last=Chein |editor2-first=H. O. |editor2-last=Pflugfelder |editor3-first=J.D.H. |editor3-last=Smith |title=Quasigroups and Loops: Theory and Applications |publisher=Heldermann |location=Berlin |year=1990 |isbn=978-3-88538-008-5 }}
* {{citation |last1=Colbourn |first1=Charles J. |last2=Dinitz |first2=Jeffrey H. |title=Handbook of Combinatorial Designs |year=2007 |publisher=Chapman & Hall/ CRC |location=Boca Raton |isbn=978-1-58488-506-1 |edition=2nd |url-access=registration |url=https://archive.org/details/handbookofcombin0000unse }}
* {{cite journal |first1=W.A. |last1=Dudek |last2=Glazek |first2=K. |title=Around the Hosszu-Gluskin Theorem for n-ary groups |journal=Discrete Math |volume=308 |issue=21 |pages=4861–76 |year=2008 |doi=10.1016/j.disc.2007.09.005 |arxiv=math/0510185|s2cid=9545943 }}
* {{cite book |first=H.O. |last=Pflugfelder |title=Quasigroups and Loops: Introduction |publisher=Heldermann |location=Berlin |year=1990 |isbn=978-3-88538-007-8 }}
* {{cite book |first=J.D.H. |last=Smith |title=An Introduction to Quasigroups and their Representations |publisher=Chapman & Hall/CRC Press |year=2007 |isbn=978-1-58488-537-5 }}
* {{cite book |first=V.A. |last=Shcherbacov |title=Elements of Quasigroup Theory and Applications|publisher=Chapman & Hall/CRC Press |year=2017 |isbn=978-1-4987-2155-4}}
* {{cite book |first1=J.D.H. |last1=Smith |first2=Anna B. |last2=Romanowska |title=Post-Modern Algebra |url=https://archive.org/details/postmodernalgebr0000smit |publisher=Wiley-Interscience |year=1999 |isbn=978-0-471-12738-3 }}

== Pranala luar ==
* [http://www-math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m6406/csln2.html quasigroups]
* {{eom|title=Quasi-group}}

[[Kategori:Aljabar takasosiatif]]
[[Kategori:Teori grup]]
[[Kategori:Persegi latin]]