Lihat sumber Kuantifikasi semesta

{{short description|Kuantifikasi logis dengan pernyataan berlaku untuk semua objek}}{{Infobox mathematical statement|name=Kuantifikasi semesta|type=[[Kuantifikasi (logika)|Kuantor]]|field=[[Logika matematika]]|statement=<math>\forall xP(x)</math> adalah benar ketika <math>P(x)</math> adalah benar untuk semua nilai dari <math>x</math>.|symbolic statement=<math>\forall xP(x)</math>}}

Dalam [[logika matematika]], '''kuantifikasi semesta''' atau '''kuantifikasi universal''' adalah jenis [[Kuantifikasi (logika)|kuantifikasi]] yang dapat diartikan sebagai "untuk semua" atau "untuk setiap". Kuantifikasi semesta menyatakan bahwa suatu [[predikat (logika matematika)|predikat]] terpenuhi oleh setiap [[elemen (matematika)|anggota]] ''[[universal of discourse]]''. Dengan kata lain, kuantifikasi semesta adalah suatu predikat dari [[sifat (filosofi)|sifat]] atau [[relasi biner|relasi]] untuk setiap anggota domain. Hal ini menyatakan bahwa predikat dalam cakupan kuantifikasi semesta adalah benar untuk nilai [[variabel predikat]].

Kuantifikasi semesta umumnya dilambangkan dengan [[huruf A terbalik]] (∀). Hal ini dapat dikaitkan dengan '''kuantor semesta''', yang mana ketika simbol operator logika ini digunakan bersama dengan variabel predikat. Kuantor semesta dapat ditulis sebagai <math>\forall x</math>. Kuantifikasi semesta berbeda dengan [[kuantifikasi eksistensial]], jenis kuantifikasi yang hanya mengatakan bahwa sifat atau relasi berlaku untuk setidaknya satu anggota domain.

Kuantor universal diberi kode sebagai {{unichar|2200|FOR ALL}} dalam [[Unicode]], dan diberi kode<code>\forall</code> dalam markah [[LaTeX]].

== Notasi ==
Dalam [[Logika predikat tingkat pertama|logika simbolik]], kuantor semesta diberi simbol <math> \forall </math>, sebuah huruf "[[A]]" terbalik, dengan Unicode U+2200. Simbol ini digunakan untuk mengartikan kuantifikasi semesta. Cara menggunakan simbol tersebut berawal dari [[Gerhard Gentzen]] pada tahun 1935, yang sejalan dengan notasi [[Giuseppe Peano]] <math>\exists</math> (sebuah huruf E terbalik) sebagai simbol [[kuantifikasi eksistensial]].<ref>{{cite web|last=Miller|first=Jeff|title=Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic|url=http://jeff560.tripod.com/set.html|work=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols}}</ref>

Sebagai contoh, jika <math>P(n)</math> menyatakan predikat "<math>2 \cdot n >  2 + n</math>" dan <math>\N</math> menyatakan [[Himpunan (matematika)|himpunan]] [[bilangan asli]], maka<math display="block"> \forall n\!\in\!\mathbb{N}\; P(n) </math>adalah pernyataan (yang salah). Pernyataan ini dapat dibaca sebagai, "untuk semua bilangan asli <math>n</math>, berlaku <math>2 \cdot n > 2 + n</math>". Contoh yang serupa dengannya adalah: jika <math>Q(n)</math> menyatakan predikat "<math>n</math> adalah komposit", maka<math display="block"> \forall n\!\in\!\mathbb{N}\; \bigl( Q(n) \rightarrow  P(n) \bigr) </math>adalah pernyataan (yang benar). Pernyataan ini dibaca, "untuk semua bilangan asli ''<math>n</math>'', jika ''<math>n</math>'' komposit, maka <math>2 \cdot n > 2 + n</math>".
== Sifat ==
=== Negasi ===
Negasi dari fungsi berkuantor semesta diperoleh dengan mengubah kuantor semesta menjadi [[kuantor eksistensial]], dan kemudian memberi tanda [[negasi]] <math>\lnot</math> pada rumus. Dengan kata lain, <math>\lnot \forall x\; P(x) </math> ekuivalen dengan <math>\exists x\;\lnot P(x)</math>.

=== Operator logika lainnya ===
Kuantor universal (dan eksistensial) untuk [[operator logika]] [[konjungsi logis|∧]], [[disjungsi logis|∨]], [[kondisional material|→]], dan [[nonimplikasi koversi|↚]] adalah sebagai berikut:

:<math>\begin{align}
P(x) \land (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) &\equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \land Q(y)) \\
P(x) \lor  (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) &\equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \lor Q(y)),& \text{asalkan } \mathbf{Y}\neq \emptyset \\
P(x) \to   (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) &\equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \to Q(y)),& \text{asalkan } \mathbf{Y}\neq \emptyset \\
P(x) \nleftarrow (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) &\equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \nleftarrow Q(y)) \\
P(x) \land (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) &\equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \land Q(y)),& \text{asalkan } \mathbf{Y}\neq \emptyset \\
P(x) \lor  (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) &\equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \lor Q(y)) \\
P(x) \to   (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) &\equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \to Q(y)) \\
P(x) \nleftarrow (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) &\equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \nleftarrow Q(y)),& \text{asalkan } \mathbf{Y}\neq \emptyset
\end{align}</math>

Sebaliknya, untuk penghubung logis [[Stroke Sheffer|↑]], [[logika NOR| ↓]], [[Nonimplikasi material|↛]], dan [[implikasi konvera|←]], maka kuantifikasi tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

:<math>\begin{align}
P(x) \uparrow (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) & \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \uparrow Q(y)) \\
P(x) \downarrow  (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) & \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \downarrow Q(y)),& \text{asalkan } \mathbf{Y}\neq \emptyset \\
P(x) \nrightarrow (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) & \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \nrightarrow Q(y)),& \text{asalkan } \mathbf{Y}\neq \emptyset \\
P(x) \gets (\exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) & \equiv\ \forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \gets Q(y)) \\
P(x) \uparrow (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) & \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \uparrow Q(y)),& \text{asalkan } \mathbf{Y}\neq \emptyset \\
P(x) \downarrow  (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) & \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \downarrow Q(y)) \\
P(x) \nrightarrow (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) & \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \nrightarrow Q(y)) \\
P(x) \gets (\forall{y}{\in}\mathbf{Y}\, Q(y)) & \equiv\ \exists{y}{\in}\mathbf{Y}\, (P(x) \gets Q(y)),& \text{asalkan } \mathbf{Y}\neq \emptyset \\
\end{align}</math>

=== Aturan inferensi ===
[[Aturan inferensi]] adalah aturan yang membenarkan langkah-langkah logika, dimulai dari hipotesis sampai ke kesimpulan. Beberapa aturan-aturan tersebut memakai kuantor universal.

[[Instansiasi semesta]] menyimpulkan bahwa, jika diketahui bahwa fungsi proposisional adalah benar secara universal, maka hal tersebut benar untuk sebarang anggota ''universal of discourse''. Sifat-sifat ini dapat dinyatakan dengan lambang <math display="block"> \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \to P(c),</math>dengan <math>c</math> menyatakan sebarang anggota ''universe of discourse''.

''[[Universal generalization]]'' menyimpulkan bahwa fungsi proposisional adalah benar secara universal, jika benar untuk sebarang anggota ''[[universal of discourse]]''. Untuk sebarang ''<math>c</math>'', dapat dinyatakan dengan lambang<math display="block"> P(c) \to\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x).</math>Anggota ''<math>c</math>'' harus sepenuhnya adalah sebarang. Jika tidak, maka logika tersebut berkata lain: jika ''<math>c</math>'' tidak sebarang, melainkan anggota khusus dari ''universal of discourse'', maka <math>P(c)</math> hanya menyiratkan kuantifikasi eksistensial dari fungsi proposisional.

=== Himpunan kosong ===
Berdasarkan konvensi, rumus <math>\forall{x}{\in}\emptyset \, P(x)</math> selalu benar untuk <math>P(x)</math> manapun.

== ''Universal closure'' ==

''Universal closure'' dari rumus <math>\varphi</math> menyatakan rumus tanpa [[variabel bebas]] yang diperoleh dengan menambahkan kuantor universal untuk setiap variabel bebas di <math>\varphi</math>. Sebagai contoh, ''universal closure'' dari<math display="block">P(y) \land \exists x Q(x,z)</math>ditulis<math display="block">\forall y \forall z ( P(y) \land \exists x Q(x,z)).</math>

<!--== Sebagai adjoin ==
Dalam [[teori kategori]] dan teori [[topos elementer|topoi elementer]], pembilang universal dapat dipahami sebagai [[titik kanan]] dari [[funktor]] antara [[himpunan daya]], fungsi [[citra invers]] dari fungsi antara himpunan; demikian pula, [[pembilang eksistensial]] adalah [[penyambung kiri]].<ref>[[Saunders Mac Lane]], Ieke Moerdijk, (1992) ''Sheaves in Geometry and Logic'' Springer-Verlag. {{isbn|0-387-97710-4}} ''Lihat halaman 58''</ref>

Untuk satu himpunan <math>X</math>, maka <math>\mathcal{P}X</math> menunjukkan [[himpunan daya]]. Untuk fungsi <math>f:X\to Y</math> antara himpunan <math>X</math> and <math>Y</math>, ada fungsi [[citra invers]] <math>f^*:\mathcal{P}Y\to \mathcal{P}X</math> antara daya, himpunan bagian dari codomain dari ''f'' kembali ke subset dari domainnya. Adjoin kiri dari functor ini adalah pembilang eksistensial <math>\exists_f</math> dan adjoin kanan adalah kuantifikasi universal <math>\forall_f</math>.

Artinya, <math>\exists_f\colon \mathcal{P}X\to \mathcal{P}Y</math> adalah funktor, untuk himpunan bagian <math>S \subset X</math>, diberikan himpunan bagian <math>\exists_f S \subset Y</math> diberikan oleh
:<math>\exists_f S =\{ y\in Y \;|\; \exists x\in X.\ f(x)=y \quad\land\quad x\in S \},</math>
<math> y </math> dalam citra <math> S </math> di bawah <math> f </math>. Seperti kuantifikasi universal <math>\forall_f\colon \mathcal{P}X\to \mathcal{P}Y</math> adalah funktor, untuk himpunan bagian <math>S \subset X</math>, diberikan himpunan <math>\forall_f S \subset Y</math> diberikan oleh
:<math>\forall_f S =\{ y\in Y \;|\; \forall x\in X.\ f(x)=y \quad\implies\quad x\in S \},</math>
<math> y </math> pracitra di bawah <math> f </math> dalam <math> S </math>.

Bentuk bilangan yang dikenal seperti digunakan dalam [[logika orde pertama]] dengan menggunakan fungsi ''f'' menjadi fungsi unik <math>!:X \to 1</math> maka <math>\mathcal{P}(1) = \{T,F\}</math> adalah himpunan dua elemen yang menyimpan nilai benar dan salah, himpunan bagian ''S'' adalah himpunan bagian yang dipegang oleh [[predikat (logika matematika)|predikat]] <math>S(x)</math>,
:<math>\begin{array}{rl}\mathcal{P}(!)\colon \mathcal{P}(1) & \to \mathcal{P}(X)\\ T &\mapsto X \\ F &\mapsto \{\}\end{array}</math>
:<math>\exists_! S = \exists x. S(x),</math>
yang benar jika <math> S </math> tidak kosong, dan
:<math>\forall_! S = \forall x. S(x),</math>
yang salah jika S bukan X.

Bilangan universal dan eksistensial yang diberikan di atas digeneralisasikan ke [[kategori presheaf]].-->

== Lihat pula ==
* [[Kuantifikasi eksistensial]]
* [[Logika orde pertama]]
* [[Daftar simbol logika]] - untuk simbol Unicode ∀

== Referensi ==
{{Reflist}}

*{{cite book | author = Hinman, P. | title = Fundamentals of Mathematical Logic | publisher = [[A K Peters]] | year = 2005 | isbn = 1-56881-262-0}}
*{{cite book | author = [[James Franklin (philosopher)|Franklin, J.]] and Daoud, A. | title = Proof in Mathematics: An Introduction | url = http://www.maths.unsw.edu.au/~jim/proofs.html | publisher = Kew Books | year = 2011 | isbn = 978-0-646-54509-7}} (ch. 2)

== Pranala luar ==
* {{Wiktionary-inline|every}}

{{Simbol logika umum}}

[[Kategori:Simbol logika]]
[[Kategori:Ekspresi logis]]
[[Kategori:Kuantifikasi (ilmu)]]