Lihat sumber Kuantifikasi eksistensial

{{short description|Kuantifikasi logika yang menyatakan bahwa pernyataan berlaku untuk setidaknya satu objek}}
{{redirect distinguish|∃|Ǝ|ヨ}}

Dalam [[logika predikat]], '''kuantifikasi eksistensial''' adalah jenis [[Kuantifikasi (logika)|kuantifer]], [[konstanta logika]] yang [[interpretasi (logika)|ditafsirkan]] sebagai "ada", "setidaknya ada satu", atau "untuk beberapa". Dilambangkan dengan [[koneksi logis|operator logika]] [[Simbol (formal)|simbol]] ∃, jika digunakan bersama dengan variabel predikat, disebut '''kunatifer eksistensial''' ("{{math|∃''x''}}" or "{{math|∃(''x'')}}").<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-04-06|title=Comprehensive List of Logic Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/logic-symbols/|access-date=2020-09-04|website=Math Vault|language=en-US}}</ref> Kuantifikasi eksistensial berbeda dari [[kuantifikasi universal]] ("untuk semua"), yang menegaskan bahwa sifat atau relasi untuk ''semua'' anggota domain.<ref>{{Cite web|title=Predicates and Quantifiers|url=https://www.csm.ornl.gov/~sheldon/ds/sec1.6.html|access-date=2020-09-04|website=www.csm.ornl.gov}}</ref><ref>{{Cite web|title=1.2 Quantifiers|url=https://www.whitman.edu/mathematics/higher_math_online/section01.02.html|access-date=2020-09-04|website=www.whitman.edu}}</ref> Beberapa sumber menggunakan istilah '''eksistensialisasi''' untuk merujuk pada kuantifikasi eksistensial.<ref>{{cite book|last1=Allen|first1=Colin|url=https://books.google.com/books?id=RSTYAgAAQBAJ&pg=PA77|title=Logic Primer|last2=Hand|first2=Michael|date=2001|publisher=MIT Press|isbn=0262303965|language=en}}</ref>

== Dasar ==
Pertimbangkan rumus yang menyatakan bahwa beberapa [[bilangan asli]] dikalikan dengan 25.
: <blockquote>0·0 = 25, '''atau''' 1·1 = 25, '''atau''' 2·2 = 25, '''atau''' 3·3 = 25, dan seterusnya.</blockquote>
Ini tampaknya menjadi [[disjungsi logis]] karena penggunaan berulang "atau". Namun, "dan seterusnya" membuat hal ini tidak untuk diintegrasikan dan diinterpretasikan sebagai suatu disjungsi dalam [[logika formal]].
Sebaliknya, pernyataan tersebut dapat diutarakan secara lebih formal menjadi
:<blockquote>Untuk beberapa 1 asli ''n'', ''n''·''n'' = 25.</blockquote>
Pernyataan tunggal menggunakan kuantifikasi eksistensial.

Pernyataan ini lebih tepat dari yang asli, karena frasa "dan seterusnya" tidak selalu mencakup semua [[bilangan asli]] dan mengecualikan yang lainnya. Dan karena domain tidak dinyatakan secara eksplisit, frasa tersebut tidak dapat diartikan secara formal. Namun, dalam pernyataan terkuantifikasi, bilangan asli disebutkan secara eksplisit.

Contoh khusus, karena 5 adalah bilangan asli, dan ketika kita mengganti 5 untuk ''n'', memproduksi "5·5 = 25", yang mana yang benar.
Tidak menggunakan "''n''·''n'' = 25" hanya berlaku untuk satu bilangan asli 5; bahkan keberadaan satu [[solusi (persamaan)|solusi]] sudah cukup untuk membuktikan kuantifikasi eksistensial ini benar.
Sebaliknya, "Untuk beberapa [[bilangan genap]] ''n'', ''n''·''n'' = 25" salah, karena bahkan tidak ada solusi.

''[[Domain wacana]]'', yang menentukan nilai variabel ''n'' yang diperbolehkan untuk diambil, oleh karena itu penting untuk kebenaran atau kepalsuan pernyataan. [[Konjungsi logis]] digunakan untuk membatasi domain diskursus untuk memenuhi predikat tertentu. Sebagai contoh:
:<blockquote>Untuk beberapa bilangan ganjil positif ''n'', ''n''·''n'' = 25 </blockquote>
adalah [[ekuivalen logika]] dengan
:<blockquote>Untuk beberapa bilangan asli ''n'', ''n'' adalah ganjil dan ''n''·''n'' = 25.</blockquote>
Di sini, "dan" adalah konjungsi logika.

Dalam [[Logika orde pertama | logika simbolik]], "∃" (huruf "[[E]]" terbalik atau terbalik, dalam font [[sans-serif]]) digunakan untuk menunjukkan kuantifikasi eksistensial.<ref name=":0" /><ref>Simbol ini juga dikenal sebagai ''[[operator eksistensial]]''. Terkadang diwakili dengan ''V''.</ref> Jadi, jika ''P''(''a'', ''b'', ''c'') is predikat "''a''·''b'' = c", dan <math>\mathbb{N}</math> adalah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] dari bilangan asli, maka
: <math> \exists{n}{\in}\mathbb{N}\, P(n,n,25) </math>
adalah pernyataan (benar)
: <blockquote>Untuk beberapa bilangan asli ''n'', ''n''·''n'' = 25.</blockquote>
Demikian pula, jika ''Q''(''n'') adalah predikat "''n'' genap", maka
: <math> \exists{n}{\in}\mathbb{N}\, \big(Q(n)\;\!\;\! {\wedge}\;\!\;\! P(n,n,25)\big) </math>
adalah pernyataan (salah)
: <blockquote>Untuk beberapa bilangan asli ''n'', ''n'' genap dan ''n''·''n'' = 25.</blockquote>

Dalam [[bukti matematika|matematika]], bukti dari pernyataan "beberapa" dapat dicapai baik dengan [[bukti konstruktif]], yang menunjukkan objek yang memenuhi pernyataan "beberapa", atau dengan [[bukti nonkonstruktif]], yang menunjukkan bahwa pasti ada benda seperti itu tetapi tanpa memamerkannya.<ref>{{Cite web|date=2019-08-01|title=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon: Constructive Proof|url=https://mathvault.ca/math-glossary/#constructive|access-date=2020-09-04|website=Math Vault|language=en-US}}</ref>

== Sifat ==
=== Negasi ===
Fungsi proposisional terkuantifikasi adalah pernyataan; dengan demikian, seperti pernyataan, fungsi terkuantifikasi dapat dinegasikan. Simbol <math>\lnot\ </math> digunakan untuk menunjukkan negasi.

Misalnya, jika ''P''(''x'') adalah predikat "''x'' lebih besar dari 0 dan kurang dari 1", maka, untuk domain diskursus ''X'' dari semua bilangan asli, Kuantifikasi eksistensial "Ada bilangan asli ''x'' yang lebih besar dari 0 dan kurang dari 1" dapat dinyatakan secara simbolis sebagai:
:<math>\exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)</math>

Hal tersebut bisa dibuktikan salah. Sejujurnya, harus dikatakan, "Tidak ada kasus bahwa ada bilangan asli ''x'' yang lebih besar dari 0 dan kurang dari 1", atau, secara simbolis:
:<math>\lnot\ \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)</math>.

Jika tidak ada elemen dari domain wacana yang pernyataannya benar, maka itu pasti salah untuk semua elemen. Artinya, negasi dari
:<math>\exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)</math>
secara logis setara dengan "Untuk bilangan asli ''x'', ''x'' tidak lebih besar dari 0 dan kurang dari 1", atau:
:<math>\forall{x}{\in}\mathbf{X}\, \lnot P(x)</math>

Secara umum, maka negasi dari kuantifikasi eksistensial [[fungsi proposisional]] adalah [[kuantifikasi universal]] dari negasi fungsi proposisional; secara simbolis,
:<math>\lnot\ \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \equiv\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, \lnot P(x)</math>
(Maka, ini adalah generalisasi dari [[Hukum De Morgan]] untuk predikat logika.)

Kesalahan umum menyatakan "semua orang belum menikah" (yaitu, "tidak ada orang yang menikah"), ketika "tidak semua orang menikah" (yaitu, "ada orang yang belum menikah") dimaksudkan:
:<math>\lnot\ \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \equiv\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, \lnot P(x) \not\equiv\ \lnot\ \forall{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \equiv\ \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, \lnot P(x)</math>

Negasi pula dapat diekspresikan melalui pernyataan "untuk tidak", bukan "untuk beberapa":
:<math>\nexists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \equiv \lnot\ \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)</math>

Tidak seperti kuantifer universal, kuantifer eksistensial mendistribusikan melalui disjungsi logis:

<math> \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \lor Q(x) \to\ (\exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \lor \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, Q(x))</math>

=== Kaidah Inferensi ===
{{Kaidah transformasi}}
[[Kaidah inferensi]] adalah aturan yang membenarkan langkah logis dari hipotesis hingga kesimpulan. Beberapa kaidah inferensi yang memanfaatkan kuantifer eksistensial.

''[[Generalisasi eksistensial|Pengenalan eksistensial]]'' (P∃) menyimpulkan bahwa, jika fungsi proposisional diketahui benar untuk elemen tertentu dari domain wacana, maka benar bahwa terdapat elemen fungsi proposisi yang benar. Secara simbolis,

:<math> P(a) \to\ \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x)</math>

Eliminasi eksistensial, saat dilakukan dalam pengurangan gaya Fitch, melanjutkan dengan memasukkan sub-turunan baru mengganti variabel yang dikuantifikasi secara eksistensial untuk subjek dalam sub-turunan aktif. Jika kesimpulan dapat dicapai dalam sub-turunan dimana subjek substitusi tidak muncul, maka keluar dari sub-turunan dengan kesimpulan. Alasan di balik eliminasi eksistensial (E∃) adalah sebagai berikut: Jika diberikan bahwa elemen fungsi proposisi yang benar, dan jika kesimpulan dapat dicapai dengan elemen trivial, kesimpulan [[prinsip logika|prinsip]], selama tidak memuat nama. Secara simbolis, untuk sembarang ''c'' dan untuk proposisi ''Q'' di mana ''c'' tidak muncul:

:<math> \exists{x}{\in}\mathbf{X}\, P(x) \to\ ((P(c) \to\ Q) \to\ Q)</math>

<math>P(c) \to\ Q</math> harus benar untuk semua nilai ''c'' pada domain yang sama ''X''; jika, logika tersebut tidak mengikuti: Jika ''c'' tidak sembarang, dan sebagai gantinya merupakan elemen spesifik dari domain wacana, maka ''P''(''c'') tidak dibenarkan lebih banyak informasi tentang objek tersebut.

=== Himpunan kosong ===
Rumus <math>\exists {x}{\in}\emptyset \, P(x)</math> adalah salah, maka dari ''P''(''x''). Hal ini karena <math>\emptyset</math> menunjukkan [[himpunan kosong]], dan tidak ada ''x'' dari deskripsi, ''x'' dengan predikat yang diberikan ''P''(''x'') adalah himpunan kosong. Lihat pula [[prinsip vacuous]] untuk informasi lebih lanjut.

== Sebagai adjoin ==
{{main|Kuantifikasi universal#Sebagai adjoin}}
Dalam [[teori kategori]] dan teori [[topos elementer|topoi elementer]], pembilang eksistensial dapat dipahami sebagai [[adjoin kiri]] dari [[funktor]] antara [[himpunan daya]], fungsi [[citra invers]] dari sebuah fungsi antara himpunan; demikian pula, [[kuantifikasi universal]] adalah [[adjoin kanan]].<ref>[[Saunders Mac Lane]], Ieke Moerdijk, (1992) ''Sheaves in Geometry and Logic'' Springer-Verlag. {{ISBN|0-387-97710-4}} ''Lihat halaman 58 ''</ref>

== Pengkodean ==
Dalam Unicode dan HTML, simbol dari kode {{unichar|2203|ADA|note=sebagai simbol matematika|html=|ulink=}} dan {{unichar|2204|ADA ''tidak'' ADA|html=}}.

Dalam [[TeX]], simbol diproduksi dengan "\exists".

== Lihat pula ==
* [[Klausa eksistensial]]
* [[Teorema keberadaan]]
* [[Logika orde pertama]]
* [[Kuantifer Lindström]]
* [[Daftar simbol logika]] - untuk simbol unicode ∃
* [[Kuantifer varian]]
* [[Kuantifer (logika)|Kuantifer]]
* [[Kuantifikasi unik]]
* [[Kuantifikasi universal]]

== Catatan ==
<references/>

== Referensi ==
*{{cite book | author = Hinman, P. | title = Fundamentals of Mathematical Logic | publisher = A K Peters | year = 2005 | isbn = 1-56881-262-0}}

{{Simbol logika umum}}

[[Kategori:Simbol logika]]
[[Kategori:Kuantifikasi (ilmu)]]