Lihat sumber Konstanta Gelfond–Schneider

{{distinguish|Konstanta Gelfond}}

'''Konstanta Gelfond–Schneider''' atau '''bilangan Hilbert'''<ref>{{citation
| authorlink     = Richard Courant
| authorlink2    = Herbert Robbins
| first1         = R.
| last1          = Courant
| first2         = H.
| last2          = Robbins
| title          = What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods
| publisher      = Oxford University Press
| year           = 1996
| page           = 107}}</ref> adalah [[2 (angka)|dua]] yang [[Eksponensiasi|dipangkatkan]] dengan [[Akar kuadrat dari 2|akar 2]]
<math display="block">2^{\sqrt{2}} = 2.665 \, 144 \, 142 \, 690 \, 225 \, 188 \, 650 \, 297 \, 249 \, 8731 \dots</math>
yang terbukti sebagai [[Bilangan transendental]] oleh [[Rodion Kuzmin]] pada tahun 1930.<ref name=Kuzmin>{{cite journal
| author        = R. O. Kuzmin
| title         = On a new class of transcendental numbers
| trans-title   = Kelas baru dari bilangan transendental
| language      = en
| journal       = Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem.
| volume        = 7
| year          = 1930
| pages         = 585–597
| url           = http://mi.mathnet.ru/eng/izv5316}}</ref> Pada tahun 1934, [[Aleksandr Gelfond]] dan [[Theodor Schneider]] secara terpisah berhasil membuktikan ''[[teorema Gelfond–Schneider]]'' yang lebih umum,<ref>{{cite journal
| author     = Aleksandr Gelfond
| title      = Sur le septième Problème de Hilbert
| journal    = Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na
| volume     = VII
| issue      = 4
| pages      = 623–634
| year       = 1934
| url        = http://mi.mathnet.ru/eng/izv4924}}</ref> yang sekaligus memecahkan bagian dari [[masalah ketujuh Hilbert]].

== Sifat-sifat ==
Hasil [[akar kuadrat]] dari Konstanta Gelfond–Schneider adalah bilangan transendental<math display="block">\sqrt{2^{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} = 1.632 \, 526 \, 919 \, 438 \, 152 \, 844 \, 77 \dots</math>

Konstanta ini juga dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan "suatu bilangan irasional yang dipangkatkan bilangan irasional mungkin saja hasilnya rasional", tanpa perlu menunjukkan sifat transendentalnya. Alur pembuktiannya adalah sebagai berikut: Jika <math>\sqrt{2}^\sqrt{2}</math> merupakan bilangan rasional, maka teoremanya terbukti. Jika tidak, maka<math display="block">\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2</math>

adalah bilangan rasional yang diperoleh dari hasil perpangkatan bilangan irasional dengan suatu bilangan irasional, sehingga teoremanya terbukti.<ref>{{citation
| last          = Jarden
| first         = D.
| journal       = [[Scripta Mathematica]]
| page          = 229
| title         = Curiosa: A simple proof that a power of an irrational number to an irrational exponent may be rational
| trans-title   = Curiosa: Bukti sederhana mengenai perpangkatan bilangan irasional terhadap bilangan irasional mungkin saja rasional
| language      = en
| volume        = 19
| year          = 1953}}.</ref><ref>{{citation
| last1         = Jones
| first1        = J. P.
| last2         = Toporowski
| first2        = S.
| doi           = 10.2307/2319091
| journal       = [[American Mathematical Monthly]]
| mr            = 0314775
| pages         = 423–424
| title         = Irrational numbers
| volume        = 80
| year          = 1973
| issue         = 4
| jstor         = 2319091}}</ref> Metode pembuktiannya termasuk [[Bukti konstruktif|tak konstruktif]], karena tidak menyebutkan mana yang benar dari kedua kasus yang ada, namun lebih sederhana dibandingkan pembuktian dari [[Rodion Kuzmin]].

== Masalah ketujuh Hilbert ==

{{main|Masalah ketujuh Hilbert}}

Bagian ketujuh dari [[Masalah Hilbert|23 masalah Hilbert]] yang diajukan pada tahun 1900 adalah membuktikan, atau mencari [[contoh tandingan]] dari, klaim kalau <math>a^b</math> selalu transendental, untuk [[bilangan aljabar]] <math>a \neq \left\{ 0, 1 \right\}</math> dan bilangan irasional aljabar <math>b</math>. Dalam pidatonya, [[David Hilbert|Hilbert]] memberikan dua contoh eksplisit, salah satunya ialah konstanta Gelfond–Schneider <math>2^{\sqrt{2}}</math>.

Pada tahun 1919, Hilbert memberikan kuliah mengenai [[teori bilangan]] dan membicarakan tiga [[konjektur]], yaitu [[hipotesis Riemann]], [[Teorema Terakhir Fermat]], dan transendentalnya bilangan <math>2^{\sqrt{2}}</math>. Dia berkata kepada para audiens kalau dia tidak berharap siapapun di aula untuk hidup cukup lama untuk melihat bukti dari hasil ini.<ref>David Hilbert, ''Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920''.</ref> Namun, bukti sifat transendental bilangan ini berhasil diterbitkan oleh Kuzmin pada tahun 1930,<ref name=Kuzmin/> tahun dimana Hilbert masih hidup. Kuzmin berhasil membuktikan kasus dengan eksponen <math>b</math> merupakan [[Bilangan kuadratik irasional|Bilangan riil kuadratik irasional]], yang kemudian diperluas menjadi sembarang bilangan irasional aljabar <math>b</math> oleh Gelfond dan oleh Schneider.

== Lihat juga ==
* [[Konstanta Gelfond]]

== Referensi ==
{{reflist}}

== Bacaan lanjutan ==
* {{cite book
| last          = Ribenboim
| first         = Paulo
| authorlink    = Paulo Ribenboim
| title         = My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory
| trans-title   = Bilanganku, Temanku: Kuliah Populer Mengenai Teori Bilangan
| language      = en
| series        = Universitext
| publisher     = [[Springer-Verlag]]
| year          = 2000
| isbn          = 0-387-98911-0
| zbl           = 0947.11001}}
* {{cite book
| editor        = Felix E. Browder
| editor-link   = Felix Browder
| title         = Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems
| trans-title   = Perkembangan Matematika yang Timbul dari Masalah Hilbert
| language      = en
| series        = [[Proceedings of Symposia in Pure Mathematics]]
| volume        = XXVIII.1
| year          = 1976
| publisher     = [[American Mathematical Society]]
| isbn          = 0-8218-1428-1
| first         = Robert
| last          = Tijdeman
| authorlink    = Robert Tijdeman
| chapter       = On the Gel'fond–Baker method and its applications
| pages         = 241–268
| zbl           = 0341.10026}}

{{DEFAULTSORT:Gelfond-Schneider Constant}}
[[Kategori:Bilangan riil transendental]]
[[Kategori:Konstanta matematika]]