Lihat sumber Kongruen

Dalam [[geometri]], dua bangun datar atau objek lainnya disebut (saling) '''kongruen''' jika keduanya memiliki bentuk dan ukuran yang sama, atau salah satunya memiliki bentuk dan ukuran yang sama dari [[Refleksi|cerminan]] dari yang lain.<ref>{{cite web|last1=Clapham|first1=C.|last2=Nicholson|first2=J.|year=2009|title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures|url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf|publisher=Addison-Wesley|page=167|archive-url=https://web.archive.org/web/20131029203826/http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf|archive-date=29 October 2013|access-date=2 June 2017|url-status=bot: unknown}}</ref>

== Definisi ==
Secara lebih formal, dua himpunan [[Titik (geometri)|titik]] dikatakan '''kongruen''' jika dan hanya jika, himpunan yang satu dapat ditranformasi menjadi himpunan yang lain lewat [[isometri]]—dengan kata lain, kombinasi dari [[Translasi (geometri)|translasi]], [[rotasi]], dan [[refleksi]]. Hal ini mengartikan satu objek dapat dipindahkan dan dicerminkan (namun tidak diubah ukurannya) agar dapat tepat bertumpuk dengan objek lainnya.

Pada geometri dasar, kata kongruen (terkadang digantikan dengan kata ''sama'') sering digunakan untuk hal-hal berikut:<ref>{{cite web|year=2009|title=Congruence|url=http://mathopenref.com/congruent.html|publisher=Math Open Reference|access-date=2 June 2017}}</ref>

* Dua segmen [[garis]] kongruen jika keduanya memiliki panjang yang sama.
* Dua sudut kongruen jika keduanya memiliki besar yang sama.
* Dua lingkaran kongruen jika keduanya memiliki panjang diameter yang sama.

Dalam konteks ini, dua bangun datar yang kongruen menyiratkan keduanya memiliki karakteristik yang sama, tidak hanya sisi dan sudut yang bersesuaian, namun juga termasuk diagonal, keliling, dan luasnya.

Pada [[Geometri analitis|geometeri analitis]], sifat kekongruenan juga dapat didefinisikan secara intuitif: dua pemetaan ke dalam satu [[sistem koordinat Kartesius]] saling kongruen, jika dan hanya jika, untuk ''setiap'' dua titik dalam pemetaan pertama, [[jarak Euklides]] keduanya sama dengan jarak Euklides titik-titik yang bersesuaian dalam pemetaan kedua. Dalam bahasa yang lebih formal,  dua [[Himpunan bagian|subset]] <math>A</math> dan <math>B</math> dari [[ruang Euklides]] <math>\mathbb{R}^n</math> dikatakan kongruen jika terdapat isometri <math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> (dari [[grup Euklides]] <math>E(n)
</math>) yang memenuhi <math>F(A) = B
</math>. Kekongruenan termasuk dalam [[relasi ekuivalensi]].

== Kekongruenan objek ==

=== Segitiga ===
[[Berkas:Congruent_triangles.svg|jmpl|Bentuk{{Pranala mati|date=Mei 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} segitiga dapat ditentukan lewat sifat kekongruenan dengan menentukan ukuran dua sisi dan sudut diantaranya (SAS), atau dua sudut dan sebuah sisi (ASA, AAS, atau SAA). Namun, dua sisi dan sebuah sudut yang tidak diapit (seperti SSA)  dapat menghasilkan dua segitiga yang berbeda.]]
Jika sebuah [[segitiga]] <math>\triangle \mathrm{ABC}</math> kongruen dengan segitiga <math>\triangle \mathrm{DEF}</math>, hubungan keduanya dapat dituliskan secara matematis sebagai

: <math>\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}</math>.

Pada kebanyakan kasus, dua segitiga dapat disimpulkan kongruen cukup dengan mengecek apakah keduanya memenuhi salah satu keadaan berikut:

* '''SAS''' (''Side-Angle-Side'', Sisi-Sudut-Sisi): Jika dua sisi pada kedua segitiga memiliki panjang yang sama, dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
* '''SSS''' (''Side-Side-Side'', Sisi-Sisi-Sisi): Jika ketiga sisi pada kedua segitiga memiliki panjang yang sama, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
* '''ASA''' (''Angle-Side-Angle'', Sudut-Sisi-Sudut): Jika dua sudut pada kedua segitiga memiliki besar yang sama, dan sisi yang diapit oleh kedua sudut tersebut memiliki panjang yang sama, maka kedua segitiga tersebut kongruen.

Postulat '''ASA''' adalah hasil kontribusi [[Thales|Thales dari Miletus]]. Pada kebanyakan sistem aksioma, ketiga kriteria ini  – '''SAS''', '''SSS''' dan '''ASA''' – ditetapkan sebagai [[teorema]]. Pada [[geometri Euklides]], nilai Sudut-Sudut-Sudut, '''AAA''' (Angle-Angle-Angle), tidak memberikan informasi apapun mengenai ukuran segitiga, sehingga hanya dapat menyimpulkan sifat kesebangunan. Namun, pada [[geometri bola]] dan [[geometri hiperbolik]], dengan sifat ukuran segitiga berhubungan dengan total sudut-sudutnya, '''AAA''' cukup untuk menyimpulkan kekongruenan.

=== Irisan kerucut ===
Dua [[irisan kerucut]] kongruen jika [[Eksentrisitas (matematika)|eksentrisitas]] dan salah satu parameter mereka yang lainnya bernilai sama. Karena eksentrisitas berhubungan dengan bentuk, kesamaan antar keduanya cukup untuk menyimpulkan kesebangunan, sedangkan parameter yang lain untuk menyimpulkan ukuran. Karena dua [[lingkaran]], dua [[parabola]], maupun dua [[Hiperbola (geometri)|hiperbola]] memiliki eksentrisitas yang sama (yakni secara berurutan bernilai 0, 1, dan <math>\sqrt{2}</math>), mereka cukup memiliki satu parameter lain untuk menyimpulkan ukuran. Pada kasus lingkaran, hal ini dapat berupa radius, diameter, keliling, atau luas daerahnya.

=== Polihedron ===
Untuk dua [[Polihedron|polyhedron]] dengan jumlah tepi <math>E</math>, jumlah muka, dan jumlah sisi yang sama, memiliki suatu himpunan paling banyak <math>E</math> pengukuran untuk mengecek apakah sifat kekongruenan keduanya.<ref>{{cite journal|last=Borisov|first=Alexander|last2=Dickinson|first2=Mark|last3=Hastings|first3=Stuart|date=March 2010|title=A Congruence Problem for Polyhedra|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=117|pages=232–249|arxiv=0811.4197|doi=10.4169/000298910X480081}}</ref><ref>{{cite web|last=Creech|first=Alexa|title=A Congruence Problem|url=http://146.163.152.131/teaching/projects/creech_final.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20131111162553/http://146.163.152.131/teaching/projects/creech_final.pdf|archive-date=November 11, 2013}}</ref> Untuk [[kubus]] yang memiliki 12 tepi, hanya memerlukan paling banyak 9 pengukuran untuk mengecek sifat kekongruenan.

=== Poligon ===
[[Berkas:Quadrilateral_congruence.png|jmpl|Ketiga{{Pranala mati|date=Mei 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} poligon berikut memiliki [[keliling]] dan [[luas]] yang sama, tetapi urutan posisi sisi pada poligon biru yang diacak. Poligon jingga dan poligon hijau saling kongruen; sedangkan yang poligon biru tidak kongruen dengan mereka karena barisan sisi-sudut yang berbeda.]]
Agar dua poligon kongruen, keduanya perlu memiliki jumlah sisi yang sama (juga berarti memiliki jumlah titik yang sama) dan memiliki barisan sisi-sudut-sisi-sudut-... yang sama.

=== Segitiga pada permukaan bola ===
Serupa dengan pada bidang datar, dua segitiga pada permukaan bola yang memenuhi kondisi sudut-sisi-sudut ('''ASA''') saling kongruen.<ref name="Bolin">{{cite web|last=Bolin|first=Michael|date=September 9, 2003|title=Exploration of Spherical Geometry|url=http://math.iit.edu/~mccomic/420/notes/Bolin_spherical.pdf#page=6|pages=6–7}}</ref> Teorema kekongruenan sisi-sudut-sisi ('''SAS''') dan sisi-sisi-sisi ('''SSS''') juga berlaku pada permukaan bola. Selain itu, jika dua segitiga memiliki besar sudut-sudut-sudut ('''AAA''') yang sama, keduanya saling kongruen.<ref name="Bolin" /> Hal ini berbeda dengan segitiga pada geometri Euklides, karena jumlah ketiga sudut segitiga pada permukaan bola berhubungan dengan ukuran segitiga.

Teorema sudut-sudut-sisi ('''AAS''') tidak berlaku pada permukaan bola.<ref>{{cite web|last=Hollyer|first=L.|title=Slide 89 of 112|url=http://www.uh.edu/~hollyer/Module6/m6ppt/sld089.htm}}</ref> Seperti pada bidang datar, sisi-sisi-sudut ('''SSA''') tidak berlaku pada permukaan bola.

== Notasi ==
Simbol yang umumnya digunakan untuk menandakan kekongruenan adalah simbol sama dengan dengan [[tilde]] di atasnya, ≅, berhubungan dengan karakter [[Unicode]] '''approximately equal to''<nowiki/>' (U+2245).  Di beberapa tempat seperti Britania Raya, simbol sama dengan dengan tiga garis ≡ (U+2261) terkadang digunakan.

== Referensi ==
{{reflist}}

== Pranala eksternal ==

* [https://web.archive.org/web/20160531042730/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/SSS.shtml Teorema SSS] di [[Cut-the-Knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/SSA.shtml Teorema SSA] di [[Cut-the-Knot]]
* Animasi interaktif yang mendemonstrasikan kekongruenan dua [http://www.mathopenref.com/congruentpolygons.html poligon], [http://www.mathopenref.com/congruentangles.html sudut], [http://www.mathopenref.com/congruentlines.html segmen garis], [http://www.mathopenref.com/congruenttriangles.html segitiga], di Math Open Reference
{{Authority control}}

[[Kategori:Geometri]]