Lihat sumber Komposisi fungsi

{{Fungsi}}Dalam [[matematika]], '''komposisi fungsi''' adalah operasi yang mengambil dua [[Fungsi (matematika)|fungsi]] <math>f </math> dan <math>g </math> dan menghasilkan fungsi <math>h = g \circ f</math> sehingga <math>h(x) = g(f(x))</math>. Fungsi <math>g </math> pada operasi ini [[Penerapan fungsi|diterapkan]] ke dalam hasil penerapan fungsi <math>f </math> ke <math>x</math>. Artinya, fungsi <math>f: X \to Y</math> dan <math>g:Y \to Z</math> '''dikomposisikan''' untuk menghasilkan sebuah fungsi yang memetakan <math>x</math> di <math>X</math> ke <math>g(f(x))</math> di <math>Z</math>. Secara intuitif, jika <math>z </math> adalah fungsi <math>y</math>, dan <math>y</math> adalah fungsi <math>x</math>, maka <math>z </math> adalah fungsi <math>x</math>. Hasil fungsi ''komposisi'' yang dinyatakan sebagai <math>g \circ f : X \to Z </math>, didefinisikan sebagai <math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math> untuk semua <math>x</math> dalam <math>X</math>.<ref name="NB_Dixon_1996" group="nb" />

Notasi <math>g \circ f</math> dibaca sebagai "<math>g </math> komposisi <math>f </math>" atau "<math>g </math> bundaran <math>f </math>". Secara intuitif, mengomposisikan fungsi-fungsi adalah proses perangkaian yang memasukkan nilai keluaran ({{Lang-en|output}}) fungsi <math>f </math> ke nilai masukan ({{Lang-en|input}}) fungsi <math>g</math>.

Komposisi fungsi adalah sebuah kasus istimewa dari [[komposisi hubungan]]. Komposisi fungsi terkadang juga dinyatakan sebagai <math>\circ</math>. Akibatnya, semua sifat-sifat komposisi relasi adalah benar untuk komposisi fungsi, contohnya seperti sifat asosiatif.<ref name="Velleman_2006" /> Namun komposisi fungsi berbeda dari [[Fungsi darab|perkalian]] fungsi, dan memiliki beberapa sifat-sifat yang cukup berbeda. Penjelasan secara khususnya, komposisi fungsi tidak memiliki sifat [[Sifat komutatif|komutatif]].<ref>{{Cite web|date=2020-01-16|title=3.4: Composition of Functions|url=https://math.libretexts.org/Courses/Western_Connecticut_State_University/Draft_Custom_Version_MAT_131_College_Algebra/03%3A_Functions/3.04%3A_Composition_of_Functions|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2020-08-28}}</ref>

== Contoh-contoh ==
[[Berkas:Example_for_a_composition_of_two_functions.svg|jmpl|Contoh konkret tentang komposisi dari dua fungsi.]]
Contoh komposisi fungsi biasanya melibatkan himpunan hingga dan himpunan takhingga.

* Komposisi fungsi pada himpunan hingga: Jika <math>f = \{(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)\}</math>, dan <math>g = \{(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)\}</math>, maka <math>g \circ f = \{(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)\}</math>. Lihat di gambar.
* Komposisi fungsi pada [[himpunan takhingga]]ː Jika <math>f : \R \to \R </math> (dengan <math>\R</math> adalah himpunan dari semua [[bilangan real]]) dinyatakan, sebagai contoh, <math>f(x) = 2x + 4</math> dan  <math>g : \R \to \R</math> dinyatakan, sebagai contoh pula, <math>g(x) = x^3</math>, maka
::<math>(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^3) = 2x^3 + 4</math>
:dan
::<math>(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 4) = (2x + 4)^3</math>.
Selain contoh di atas, komposisi fungsi juga diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh,

* Jika sebuah ketinggian pesawat terbang pada waktu <math>t </math> adalah <math>a(t)</math> dan tekanan udara pada ketinggian <math>x </math> adalah <math>p(x)</math>, maka <math>(p \circ a)(t)</math> adalah tekanan di sekitar pesawat pada waktu <math>t</math>.

== Sifat-sifat komposisi fungsi ==
Komposisi fungsi selalu [[Sifat asosiatif|asosiatif]].<ref name="Velleman_2006" /> Artinya, jika <math>f</math>, <math>g</math>, dan <math>h</math> terkomposisikan, maka <math>f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h</math>.<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Composition|url=https://mathworld.wolfram.com/Composition.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-08-28}}</ref> Biasanya, tanda kurung dihilangkan karena tidak mengubah hasil komposisi fungsi tersebut.

Penjelasan singkatnya, komposisi <math>g \circ f  </math> hanya berarti bahwa jika kodomain <math>f</math> sama dengan domain <math>g</math>. Namun dalam penjelasan yang lebih luas, komposisi <math>g \circ f  </math> cukup dikatakan bahwa fungsi pertama merupakan [[himpunan bagian]] dari fungsi terakhir.<ref name="NB_Strict" group="nb" /> Bahkan, hal tersebut seringkali membatasi domain <math>f</math> secara diam-diam, sehingga <math>f</math> hanya menghasilkan nilai dalam domain <math>g</math>. Sebagai contoh, komposisi <math>g \circ f  </math> dari fungsi {{math|''f'' : [[bilangan real|ℝ]] → [[interval (matematika)#Titik akhir tak terbatas|(−∞,+9]]]}} dinyatakan sebagai fungsi <math>f(x) = 9 - x^2</math>, dan {{math|''g'' : [[interval (matematika)#Titik akhir tak terbatas|[0,+∞)]] → ℝ}} yang dinyatakan sebagai fungsi <math>g(x) = \sqrt{x}</math>, dapat dinyatakan pada interval <math>[-3, +3]</math>.
[[Berkas:Absolute_value_composition.svg|kiri|jmpl|Komposisi dua fungsi [[Bilangan riil|real]], [[nilai mutlak]] dan sebuah [[fungsi kubik]], dalam urutan yang berbeda, memperlihatkan sifat yang tidak bersifat komutatif pada komposisi fungsi tersebut.]]
Fungsi <math>g</math> dan <math>f</math> dikatakan [[komutatif]] dengan satu sama lain jika <math>g \circ f = f \circ g</math>, karena komutatif adalah sebuah sifat yang istimewa, yang hanya didapatkan dengan fungsi khusus dan seringkali dalam keadaan khusus. Sebagai contoh, <math>\left| x \right| + 3 = \left| x + 3 \right|</math> hanya ketika <math>x \geq 0</math>.

Komposisi dari [[fungsi injektif]] selalu injektif. Mirip dengan sebelumnya, komposisi dari fungsi surjektif selalu [[Fungsi surjektif|surjektif]]. Jadi, komposisi dari dua fungsi [[bijeksi]] juga bijeksi. [[Fungsi invers|Kebalikan]] dari komposisi fungsi memiliki sifat <math>(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}</math>.<ref name="Rodgers_2000" />

Turunan komposisi fungsi yang melibatkan fungsi terdiferensialkan dapat dicari dengan menggunakan [[Kaidah rantai|aturan rantai]]. Namun, [[Turunan|turunan tingkat tinggi]] dari fungsi tersebut dapat dicari dengan menggunakan [[rumus Faà di Bruno]].<ref name=":0" />

== Monoid komposisi ==
{{main|Monoid transformasi}}
Misalkan komposisi fungsi mempunyai dua fungsi lebih <math>f: X \to X</math>, <math>g: X \to X</math> yang memiliki domain dan kodomain yang sama'','' maka komposisi fungsi tersebut dapat dibentuk rantai dari transformasi yang dikomposisi bersama, contohnya seperti <math>f \circ f \circ g \circ f</math>. Rantai tersebut memiliki [[struktur aljabar]] dari sebuah [[monoid]], yang disebut sebagai ''monoid komposisi'' atau (istilah yang jarang dipakai disebut) ''monoid transformasi''. Biasanya, monoid transformasi dapat memiliki struktur yang sangat rumit. Contoh penting yang terkait dengannya adalah [[kurva de Rham]]. Himpunan ''semua'' fungsi <math>f: X \to X</math> disebut [[semigrup transformasi penuh]] ({{Lang-en|full transformation group}})<ref name="Hollings_2014" /> atau ''semigrup simetris'' ({{Lang-en|symmetric semigroup}})<ref name="Grillet_1995" /> pada <math>X </math>. (Sebenarnya hal ini dapat mendefinisikan dua semigrup tergantung bagaimana caranya mendefinisikan operasi semigrup sebagai komposisi fungsi dari kiri atau dari kanan.<ref name="Dömösi-Nehaniv_2005" />)
[[Berkas:Academ_Example_of_similarity_with_ratio_square_root_of_2.svg|jmpl|[[Kesebangunan (geometri)|Kesebangunan]] yang mengubah segitiga <math>EFA</math> menjadi segitiga <math>ATB</math> merupakan komposisi dari [[Dilatasi (geometri)|dilatasi]] <math>H </math> dan [[Rotasi (matematika)|rotasi]] <math>R </math>, dengan pusat <math>S </math>. Sebagai contoh, [[Gambar (matematika)|citra]] <math>A </math> terhadap rotasi <math>R</math>  adalah <math>U</math>, yang berarti ditulis <math>R(A)=U</math>, dan <math>H(U) = B</math> berarti bahwa [[Peta (matematika)|pemetaan]] <math>H</math> mengubah <math>U</math> menjadi <math>B</math>. Jadi, <math>H(R(A)) = (H \circ R)(A) = B </math>.]]
Jika transformasi adalah [[Bijeksi|bijektif]] (dan akibatnya transformasinya dikatakan terbalikkan), maka himpunan dari semua kombinasi dari fungsi-fungsi ini kemungkinan membentuk sebuah [[Grup automorfisme|grup transformasi]], dan adapula yang mengatakan bahwa grupnya [[Generator grup|dihasilkan]] oleh fungsi-fungsi ini.

[[Teorema Cayley]], teorema yang menjelaskan hasil dasar dalam teori grup, mengatakan bahwa setiap grup [[Isomorfisme|isomorfimis]] ke subgrup dari grup permutasi.<ref name="Carter_2009" /> Himpunan dari semua fungsi bijektif <math>f: X \to X </math> (yang disebut [[permutasi]]) membentuk sebuah grup terhadap komposisi fungsi. Grup tersebut disebut [[grup simetri]], atau terkadang juga disebut ''grup komposisi''.

Dalam semigrup simetrik (dari semua transformasi), ada juga yang menemukan gagasan tidak unik dan lebih lemah mengenai invers (yang disebut invers-semu), karena semigrup simetrik merupakan [[semigrup reguler]].<ref name="Ganyushkin-Mazorchuk_2008" />

== Pangkat fungsional ==
{{main|Fungsi teriterasi}}

Fungsi <math>f : X \to Y</math> dapat mengomposisikan dengan dirinya sendiri, jika <math>Y</math> adalah subhimpunan dari <math>X</math>. Terkadang secara simbolis, hal ini dinyatakan dalam bentuk perpangkatan fungsi. Sebagai contoh,

* <math>(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f^2(x)</math>
* <math>(f \circ f \circ f)(x) = f(f(f(x))) = f^3(x)</math>
* <math>(f \circ f \circ f \circ)(x) = f(f(f(f(x)))) = f^4(x)</math>

Lebih umumnya lagi, untuk setiap bilangan asli <math>n \geq 2</math>, '''[[Eksponensiasi|pangkat]] fungsional''' ke-<math>n</math> dapat didefinisikan secara induktif dengan<math>f^n = f \circ f^{n - 1} = f^{n - 1} \circ f</math>. Notasi ini diperkenalkan oleh [[Hans Heinrich Bürmann]]{{cn|date=August 2020|reason=The fact is undisputable, but for historical completeness, let's find Bürmann's original work on this and add here as a citation. It must be dated significantly before 1813 (according to Herschel in 1820 und Cajori in 1929.)}}<ref name="Herschel_1820" /><ref name="Cajori_1929" /> dan [[John Frederick William Herschel]]<!-- in 1813 -->.<ref name="Herschel_1820" /><ref name="Cajori_1929" /><ref name="Herschel_1813" /><ref name="Peano_1903" /> Komposisi berulang dari fungsi tersebut dengan sendirinya disebut [[fungsi teriterasi]].

* Menurut konvensi, <math>f^0</math> didefinisikan sebagai pemetaan identitas pada domain <math>f  </math>, <math>\operatorname{id}_X</math>.
* Bahkan jika <math>Y = X </math> dan <math>f: X \to X </math> memuat [[fungsi invers]] <math>f^{-1}</math>, maka perpangkatan fungsional negatif <math>f^{-n}</math> didefinisikan untuk <math>n > 0</math> sebagai perpangkatan [[Invers aditif|negatif]] dari fungsi inversː <math>f^{-n} = \left(f^{-1}\right)^n</math>.<ref name="Herschel_1820" /><ref name="Cajori_1929" /><ref name="Herschel_1813" />

Selain itu, gagasannya dapat diperumum sehingga [[Fungsi berulang|perhitungan berulang]] menjadi parameter kontinu, dalam kasus ini. Sistem tersebut dinamakan [[Alir (matematika)|alir]], yang dipakai untuk menyelesaikan [[persamaan Schröder]]. Fungsi yang berulang dan alir terjadi secara alami dalam studi [[fraktal]] dan [[sistem dinamikal]].

Sayangnya, notasi pangkat fungsional memiliki makna yang bersifat ambigu. Sebagai contoh, jika <math>f  </math> mengambil nilainya dari [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] (khususnya untuk <math>f  </math> bernilai real atau kompleks), maka yang ada menimbulkan kebingungan. Hal ini karena notasi <math>f^n</math> juga dapat diartikan sebagai darab <math>n</math>-lipat dari <math>f  </math>, misalnya <math>f^2(x) = f(x)f(x)</math>. Selain itu, dalam [[Fungsi trigonometri|fungsi]] [[trigonometri]], notasi yang terakhir biasanya mengartikan setidaknya untuk eksponen positif.<ref name="Cajori_1929" /> Notasi superskrip tersebut mewakili [[eksponensiasi]], contohnya <math>\sin^2 x = \sin x \cdot \sin x</math>. Namun, adapula eksponen bernilai negatif. Biasanya, eksponen bernilai negatif (khususnya hanya untuk <math>-1</math>) merujuk pada fungsi invers, contohnya, <math>\tan^{-1}</math> mengartikan [[Fungsi invers trigonometri|invers dari tangen]], bukan <math display="inline">\frac{1}{\tan}</math>.

Pencegahan keambiguan pada notasi pangkat fungsional dapat dilihat di [[Komposisi fungsi#Notasi alternatif untuk pangkat fungsional|sini]].

=== Pangkat fungsional berupa pecahan ===
Dalam beberapa kasus, ketika, untuk fungsi <math>f</math> yang dinyatakan sebagai persamaan <math>g \circ g = f</math> mempunyai sebuah penyelesaian tunggal <math>g  </math>, maka fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai [[akar kuadrat fungsional]] <math>f  </math>, yang dinyatakan sebagai <math>g = f^{1/2}</math>. Lebih umumnya lagi, jika <math>g^n = f</math> mempunyai sebuah penyelesaian tunggal untuk suatu bilangan asli <math>n > 0</math>, maka <math>f^{m/n}</math> dapat didefinisikan sebagai <math>g^m</math>.

== Notasi alternatif ==
Dalam cabang [[teori grup]], banyak matematikawan menghilangkan simbol pada operasi komposisi fungsi, yaitu simbol bundar. Dengan kata lain, mereka menulis <math>gf</math> alih-alih <math>g \circ f</math>.<ref name="Ivanov_2009" />

Pada pertengahan abad ke-20, ada beberapa matematikawan mengatakan bahwa menulis "<math>g \circ f</math>" mengartikan "terapkan fungsi <math>f  </math> dahulu, lalu terapkan fungsi <math>g  </math>" terlalu membingungkan dan memutuskan untuk mengubah notasi tersebut. Mereka menulis "<math>xf</math>" untuk "<math>f(x)</math>" dan "<math>(xf)g</math>" untuk "<math>g(f(x))  </math>".<ref name="Gallier_2011" /> Penulisan ini dapat lebih alami dan tampak lebih sederhana daripada menulis [[Notasi prefiks|fungsi di sebelah kiri]] dalam beberapa cabang matematika, misalnya dalam [[aljabar linear]], ketika <math>x     </math> adalah [[Vektor baris dan kolom|vektor baris]] dan <math>f  </math> dan <math>g  </math> melambangkan matriks dan komposisinya dilambangkan dengan [[perkalian matriks]]. Notasi alternatif yang ditulis tadi disebut [[notasi postfiks]]. Urutan komposisi fungsi tersebut penting karena tidak memerlukan sifat komutatif, contohnya seperti perkalian matriks. Transformasi penerusnya menerapkan dan menyusun ke kanannya agar sesuai dengan urutan pembacaan dari kiri-ke-kanan.

Para matematikawan yang menggunakan notasi postfiks dapat menulis "<math>fg</math>", yang berarti "terapkan <math>f   </math> dahulu, kemudian terapkan <math>g    </math>," Hal ini disesuaikan dengan urutan simbol-simbol yang terjadi dalam notasi postfiks, sehingga membuat notasi "<math>fg</math>" menjadi ambigu.

Para ilmuwan komputer dapat menulis "<math>f ; g</math>",<ref name="Barr-Wells_1990" /> namun hal ini mengakibatkan urutan komposisi fungsi menjadi disambiguasi. Agar dapat membedakan operator komposisi kiri dari semikolon teks, dalam [[notasi Z]], karakter ⨾ digunakan untuk mengartikan [[komposisi relasi]] kiri.<ref name="ISOIEC13568" /> Karena semua fungsi adalah [[relasi biner]], maka hal ini benar untuk semikolon [tebal] yang dipakai sebagai komposisi fungsi juga (lihat artikel [[komposisi relasi]] untuk mengetahui lebih banyak tentang notasi tersebut).

=== Notasi alternatif untuk pangkat fungsional ===
Selain itu, notasi pangkat fungsional juga mempunyai pengertian yang bersifat ambigu. Untuk menghindari hal tersebut, beberapa matematikawan{{cn|date=August 2020|reason=Origin? Example authors?}} menggunakan simbol <math>\circ </math> untuk melambangkan pengertian komposisional, dengan menulis <math>f^{\circ n}(x)</math> sebagai iterasi ke-<math>n</math> dari fungsi <math>f(x)</math>, sebagai contoh, <math>f^{\circ 3}(x)</math> berarti <math>f(f(f(x)))</math>. [[Benjamin Peirce]] menggunakan notasi <math>f^{[n]}(x)   </math>,<ref name="Cajori_1929" /><ref name="Peirce_1852" /> sedangkan [[Alfred Pringsheim]] dan [[Jules Molk]] menyarankan untuk menggunakan notasi <math>^n\!f(x)</math>.<ref name="Cajori_1929" /><ref name="Pringsheim-Molk_1907" /><ref name="NB_Rucker" group="nb" />

== Fungsi multivariabel ==
Komposisi parsial dapat berlaku untuk [[fungsi multivariabel]]. Pada beberapa konteks dalam teknik komputer, fungsinya dihasilkan ketika ada suatu argumen <math>x_i  </math> dari fungsi <math>f   </math> yang digantikan dengan fungsi <math>g    </math>. Ini disebut komposisi <math>f   </math> dan <math>g    </math>, dan secara simbolis dilambangkan sebagai <math>f \mid_{x_i = g}   </math>.

: <math>f|_{x_i = g} = f (x_1, \ldots, x_{i-1}, g(x_1, x_2, \ldots, x_n), x_{i+1}, \ldots, x_n).</math>

Ketika <math>g    </math> adalah konstanta sederhana <math>b  </math>, maka komposisinya merosot menjadi penilaian (parsial). Hasil dari komposisi tersebut juga dikenal sebagai [[Pembatasan (matematika)|pembatasan]] atau ''ko-faktor''.<ref name="Bryant_1986" />

: <math>f|_{x_i = b} = f (x_1, \ldots, x_{i-1}, b, x_{i+1}, \ldots, x_n).</math>

Biasanya, komposisi fungsi banyak variabel dapat melibatkan beberapa fungsi lainnya sebagai argumen, seperti dalam definisi [[fungsi rekursif primitif]]. Penjelasan lebih lanjut, misalkan <math>f   </math> adalah fungsi <math>n    </math>-er dan <math>g_1,\dots,g_n   </math> adalah fungsi <math>m   </math>-er, maka komposisi <math>f   </math> dengan <math>g_1,\dots,g_n   </math> adalah fungsi <math>m   </math>-er.

: <math>h(x_1,\ldots,x_m) = f(g_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots,g_n(x_1,\ldots,x_m))</math>.

Komposisi fungsi di atas terkadang disebut '''komposit perumuman''' atau '''superposisi''' dari <math>f   </math> dengan <math>g_1,\dots,g_n   </math>.<ref name="Bergman_2011" /> Seperti yang disebutkan sebelumnya, komposisi parsial yang hanya dalam satu argumen dapat dipakai dari skema yang lebih umum dengan membuat semua fungsi argumen, kecuali merupakan [[fungsi proyeksi]]. Fungsi <math>g_1,\dots,g_n   </math> dapat dipandang sebagai fungsi vektor tunggal atau fungsi bernilai [[tupel]] dalam skema yang umum ini, dan ini merupakan definisi standar dari komposisi fungsi yang tepat.<ref name="Tourlakis_2012"/>

Himpunan [[Operasi (matematika)|operasi]] finiter pada suatu himpunan dasar <math>X   </math> disebut [[Klon (aljabar)|klon]] jika ia memuat semua proyeksi dan tertutup terhadap komposisi perumuman. Perhatikan bahwa klon biasanya memuat operasi berbagai [[Ariti|ariter]]. Perumuman menarik dari gagasan tentang pertukaran dari komposisi fungsi multivariabel tersebut mengatakan: fungsi <math>f   </math> ariter <math>n    </math> dikatakan komutatif dengan fungsi <math>g    </math> ariter <math>m   </math> jika <math>f   </math> adalah fungsi kekal [[Homomorfisma|homomorfisme]] <math>g    </math>, dan begitupula dengan sebaliknya. Ini dirumuskan sebagai<ref name="Bergman_2011" />

: <math>f(g(a_{11},\ldots,a_{1m}),\ldots,g(a_{n1},\ldots,a_{nm})) = g(f(a_{11},\ldots,a_{n1}),\ldots,f(a_{1m},\ldots,a_{nm}))</math>.

Operasi uner selalu komutatif dengan dirinya sendiri, tetapi pernyataan ini tidak sepenuhnya benar untuk sebuah operasi biner (atau operasi ariter yang lebih tinggi). Operasi biner (atau operasi ariter yang lebih tinggi) yang komutatif dengan dirinya disebut [[Magma medial|medial atau entropik]].<ref name="Bergman_2011" />

== Perumuman ==
Perumuman [[Komposisi relasi|komposisi]] ke [[relasi biner]] sebarang mengatakan bahwa  jika <math>R \subseteq X \times Y   </math> dan <math>S \subseteq Y \times Z   </math> merupakan dua relasi biner, maka komposisi <math>R \circ S   </math> adalah relasi yang didefinisikan sebagai <math>\{(x; z) \in X \times Z : \exist y \in Y, (x, y) \in R \wedge (y, z) \in S \}   </math>. Untuk memahaminya lebih lanjut, anggaplah sebuah fungsi sebagai sebuah kasus istimewa dari relasi biner (yaitu [[Relasi biner|relasi fungsional]]), maka komposisi fungsi memenuhi definisi tentang komposisi relasi. Sebuah lingkaran kecil pada notasi komposisi <math>R \circ S   </math> digunakan untuk [[Komposisi relasi#Variasi notasi|notasi infiks dari komposisi relasi]], dan juga untuk fungsi. Namun ketika simbol tersebut dipakai untuk mewakili komposisi fungsi <math>(g \circ f)(x)= g(f(x))   </math>, maka urutan teksnya dibalik agar menjelaskan berbagai urutan operasi.

Komposisinya didefinisikan dengan cara yang sama untuk [[fungsi parsial]], dan teorema Cayley mempunyai pernyataan yang menyerupai [[teorema Wagner–Preston]].<ref name="Lipcomb_1997" />

[[Kategori himpunan]] dengan fungsi sebagai [[morfisme]] merupakan [[Kategori (matematika)|kategori]] prototipikal. Aksioma dari sebuah kategori sebenarnya terinspirasi dari sifat-sifat (dan juga definisi) komposisi fungsi.<ref name="Hilton-Wu_1989" /> Strukturnya dinyatakan dengan komposisi yang bersifat aksiomatisasi dan diperumum dalam [[teori kategori]] dengan konsep [[morfisme]] sebagai fungsi pengganti teoretis-kategori. Kebalikan urutan komposisi dalam rumus <math>(f \circ g)^{-1} = \left(g^{-1} \circ f^{-1} \right)  </math> berlaku untuk [[komposisi relasi]] yang menggunakan [[relasi sebalik]], dan demikian juga dalam [[teori grup]]. Struktur ini membentuk [[kategori belati]].

== Tipografi ==
Simbol komposisi <math>\circ   </math> memiliki kode dalam Unicode, yaitu {{unichar|2218|ring operator|html=}}. Namun simbol komposisi dalam markah [[TeX]] ditulis sebagai<code>\circ</code>.

== Lihat pula ==

* [[Akar kuadrat fungsional]]
* [[Alir (matematika)]]
* [[Dekomposisi fungsional]]
* [[Fungsi berulang]]
* [[Fungsi tingkat tinggi]]
* [[Variabel acak#Fungsi variabel acak|Fungsi variabel acak]], sebaran fungsi dari variabel acak
* [[Gelanggang komposisi]], aksiomatisasi formal dari operasi komposisi
* [[Kalkulus Lambda]]
* [[Komposisi fungsi (ilmu komputer)]]
* [[Komposisi takhingga fungsi analitik]]
* [[Logika kombinasi]]
* [[Operator komposisi]]
* [[Plot sarang laba-laba]] – teknik grafik tentang komposisi fungsional

== Catatan ==
{{Reflist|group="nb"|refs=<ref group="nb" name="NB_Dixon_1996">Ada beberapa penulis yang menggunakan {{math|''f'' ∘ ''g'' : ''X'' → ''Z''}}, yang didefinisikan dengan {{math|1=(''f'' ∘ ''g'' )(''x'') = ''g''(''f''(''x''))}}. Biasanya ini terjadi ketika memakai [[notasi postfiks]] , khususnya jika fungsi diwakili dengan eksponen, contohnya, dalam studi [[tindakan grup (matematika)|tindakan grup]]. Lihat {{cite book |author-first1=John D. |author-last1=Dixon |author-first2=Brian |author-last2=Mortimer |title=Permutation groups |date=1996 |publisher=Springer |isbn=0-387-94599-7 |page=[https://archive.org/details/permutationgroup0000dixo/page/5 5] |url=https://archive.org/details/permutationgroup0000dixo/page/5}}</ref>
<ref group="nb" name="NB_Strict">Contohnya, dalam [[teori kategori]], Komposisi fungsi dijelaskan secara singkat, dengan relasi subhimpunan dimodelkan secara eksplisit melalui [[fungsi inklusi]].</ref>
<ref group="nb" name="NB_Rucker">[[Alfred Pringsheim]] dan [[Jules Molk]] menggunakan notasi {{math|{{i sup|''n''}}''f''(''x'')}} untuk melambangkan komposisi fungsi. Namun, jangan bingung dengan [[Tetrasi#Notasi Rudy Rucker|notasi]] [[Rudolf von Bitter Rucker]] {{math|{{i sup|''n''}}''x''}}, yang diperkenalkan oleh Hans Maurer dan [[Reuben Louis Goodstein]] karena notasi tersebut mengartikan [[tetrasi]], atau notasi [[David Patterson Ellerman]] {{math|{{i sup|''n''}}''x''}} yang mengartikan [[akar ke-n|akar ke-<math> n </math>]].<!-- See {{cite book |title=Intellectual Trespassing as a Way of Life: Essays in Philosophy, Economics, and Mathematics |chapter=Chapter 12: Parallel Addition, Series-Parallel Duality, and Financial Mathematics: Series Chauvinsism |series=G – Reference, Information and Interdisciplinary Subjects Series |work=The worldly philosophy: studies in intersection of philosophy and economics |author-first=David Patterson |author-last=Ellerman |author-link=David Patterson Ellerman |edition=illustrated |publisher=[[Rowman & Littlefield Publishers, Inc.]] |date=1995-03-21 |isbn=0-8476-7932-2 |pages=237–268 [239] |url=http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2012/12/IntellectualTrespassingBook.pdf |chapter-url=https://books.google.com/books?id=NgJqXXk7zAAC&pg=PA237&lpg=PA237 |access-date=2019-08-09 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20160305012729/http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2012/12/IntellectualTrespassingBook.pdf |archive-date=2016-03-05 |quote=}} [https://web.archive.org/web/20150917191423/http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/sp_math.doc] (271 pages) --><!-- {{cite web |title=Introduction to Series-Parallel Duality |author-first=David Patterson |author-last=Ellerman |author-link=David Patterson Ellerman |publisher=[[University of California at Riverside]] |date=May 2004 |orig-year=1995-03-21 |citeseerx=10.1.1.90.3666 |url=http://www.ellerman.org/wp-content/uploads/2012/12/Series-Parallel-Duality.CV_.pdf |access-date=2019-08-09 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20190810011716/http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.90.3666&rep=rep1&type=pdf |archive-date=2019-08-10}} [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.90.3666&rep=rep1&type=pdf] (24 pages) --></ref>}}

== Referensi ==
{{Reflist|refs=<nowiki>{{Reflist|refs=</nowiki>
<ref name="Bergman_2011">{{cite book |author-first=Clifford |author-last=Bergman |title=Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics |url=https://books.google.com/books?id=QXi3BZWoMRwC |date=2011 |publisher=[[CRC Press]] |isbn=978-1-4398-5129-6 |pages=[https://books.google.com/books?id=QXi3BZWoMRwC&pg=PA79 79]–80, [https://books.google.com/books?id=QXi3BZWoMRwC&pg=PA90 90]–91}}</ref>
<ref name="Velleman_2006">{{cite book |author-first=Daniel J. |author-last=Velleman |title=How to Prove It: A Structured Approach |url=https://books.google.com/books?id=sXt-ROLLNHcC&pg=PA232 |date=2006 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-1-139-45097-3 |page=232}}</ref>
<ref name="Rodgers_2000">{{cite book |author-first=Nancy |author-last=Rodgers |title=Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations |date=2000 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-0-471-37122-9 |pages=359–362 |url=https://books.google.com/books?id=NuN2Iyqzqp4C&q=composition}}</ref>
<ref name="Hollings_2014">{{cite book |author-first=Christopher |author-last=Hollings |title=Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups |url=https://books.google.com/books?id=O9wJBAAAQBAJ&pg=PA334 |date=2014 |publisher=[[American Mathematical Society]] |isbn=978-1-4704-1493-1 |page=334}}</ref>
<ref name="Grillet_1995">{{cite book |author-first=Pierre A. |author-last=Grillet |title=Semigroups: An Introduction to the Structure Theory |url=https://books.google.com/books?id=yM544W1N2UUC&pg=PA2 |date=1995 |publisher=[[CRC Press]] |isbn=978-0-8247-9662-4 |page=2}}</ref>
<ref name="Dömösi-Nehaniv_2005">{{cite book |author-first1=Pál |author-last1=Dömösi |author-first2=Chrystopher L. |author-last2=Nehaniv |title=Algebraic Theory of Automata Networks: An introduction |url=https://books.google.com/books?id=W0i5nfQLOGIC&pg=PA8 |date=2005 |publisher=SIAM |isbn=978-0-89871-569-9 |pages=8}}</ref>
<ref name="Carter_2009">{{cite book |author-first=Nathan |author-last=Carter |title=Visual Group Theory |url=https://books.google.com/books?id=T_o0CnMZecMC&pg=PA95 |date=2009-04-09 |publisher=MAA |isbn=978-0-88385-757-1 |page=95}}</ref>
<ref name="Ganyushkin-Mazorchuk_2008">{{cite book |author-first1=Olexandr |author-last1=Ganyushkin |author-first2=Volodymyr |author-last2=Mazorchuk |title=Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction |url=https://books.google.com/books?id=LC3jxfGEcpYC&pg=PA24 |date=2008 |publisher=[[Springer Science & Business Media]] |isbn=978-1-84800-281-4 |page=24}}</ref>
<ref name="Ivanov_2009">{{cite book |author-first=Oleg A. |author-last=Ivanov |title=Making Mathematics Come to Life: A Guide for Teachers and Students |url=https://books.google.com/books?id=z7EHBAAAQBAJ&pg=PA217 |date=2009-01-01 |publisher=[[American Mathematical Society]] |isbn=978-0-8218-4808-1 |pages=217–}}</ref>
<ref name="Gallier_2011">{{cite book |author-first=Jean |author-last=Gallier |author-link=Jean Gallier |title=Discrete Mathematics |url=https://books.google.com/books?id=HXSjIP0OgCUC&pg=PA118 |date=2011 |publisher=Springer |isbn=978-1-4419-8047-2 |page=118}}</ref>
<ref name="Barr-Wells_1990">{{cite book |author-first1=Michael |author-last1=Barr |author-first2=Charles |author-last2=Wells |title=Category Theory for Computing Science |url=http://www.math.mcgill.ca/triples/Barr-Wells-ctcs.pdf |date=1998 |page=6 |access-date=2014-08-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304031956/http://www.math.mcgill.ca/triples/Barr-Wells-ctcs.pdf |archive-date=2016-03-04 |url-status=dead}} (NB. This is the updated and free version of book originally published by [[Prentice Hall]] in 1990 as {{isbn|978-0-13-120486-7}}.)</ref>
<ref name="ISOIEC13568">ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23</ref>
<ref name="Bryant_1986">{{cite journal |author-last=Bryant |author-first=R. E. |title=Logic Minimization Algorithms for VLSI Synthesis |journal=IEEE Transactions on Computers |volume=C-35 |issue=8 |date=August 1986 |pages=677–691 |doi=10.1109/tc.1986.1676819 |s2cid=10385726 |url=https://www.cs.cmu.edu/~bryant/pubdir/ieeetc86.pdf}}</ref>
<ref name="Tourlakis_2012">{{cite book |author-first=George |author-last=Tourlakis |title=Theory of Computation |url=https://books.google.com/books?id=zy3M24m5cykC&pg=PA100 |date=2012 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-1-118-31533-0 |page=100}}</ref>
<ref name="Lipcomb_1997">{{cite book |author-first=S. |author-last=Lipscomb |title=Symmetric Inverse Semigroups |series=AMS Mathematical Surveys and Monographs |date=1997 |isbn=0-8218-0627-0 |page=xv}}</ref>
<ref name="Hilton-Wu_1989">{{cite book |author-first1=Peter |author-last1=Hilton |author-first2=Yel-Chiang |author-last2=Wu |title=A Course in Modern Algebra |url=https://books.google.com/books?id=ua5gKZt3R6AC&pg=PA65 |date=1989 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=978-0-471-50405-4 |page=65}}</ref>
<ref name="Cajori_1929">{{cite book |author-first=Florian |author-last=Cajori |author-link=Florian Cajori |title=A History of Mathematical Notations |chapter=§472. The power of a logarithm / §473. Iterated logarithms / §533. John Herschel's notation for inverse functions / §535. Persistence of rival notations for inverse functions / §537. Powers of trigonometric functions |volume=2 |orig-year=March 1929 |publisher=[[Open court publishing company]] |location=Chicago, USA |date=1952 |edition=3rd corrected printing of 1929 issue, 2nd |pages=108, 176–179, 336, 346 |isbn=978-1-60206-714-1 |url=https://books.google.com/books?id=bT5suOONXlgC |access-date=2016-01-18 |quote=[…] §473. ''Iterated logarithms'' […] We note here the symbolism used by [[Alfred Pringsheim|Pringsheim]] and [[Jules Molk|Molk]] in their joint ''Encyclopédie'' article: "<sup>2</sup>log<sub>''b''</sub>&thinsp;''a'' = log<sub>''b''</sub> (log<sub>''b''</sub>&thinsp;''a''), …, <sup>''k''+1</sup>log<sub>''b''</sub>&thinsp;''a'' = log<sub>''b''</sub> (<sup>''k''</sup>log<sub>''b''</sub>&thinsp;''a'')."{{citeref|Pringsheim|Molk|1907|a<!-- [10] -->}} […] §533. ''[[John Frederick William Herschel|John Herschel]]'s notation for inverse functions,'' sin<sup>&minus;1</sup>&thinsp;''x'', tan<sup>&minus;1</sup>&thinsp;''x'', etc., was published by him in the ''[[Philosophical Transactions of London]]'', for the year 1813. He says ({{citeref|Herschel|1813|p.&nbsp;10|style=plain}}): "This notation cos.<sup>&minus;1</sup>&thinsp;''e'' must not be understood to signify 1/cos.&nbsp;''e'', but what is usually written thus, arc&thinsp;(cos.=''e'')." He admits that some authors use cos.<sup>''m''</sup>&thinsp;''A'' for (cos.&thinsp;''A'')<sup>''m''</sup>, but he justifies his own notation by pointing out that since ''d''<sup>2</sup>&thinsp;''x'', Δ<sup>3</sup>&thinsp;''x'', Σ<sup>2</sup>&thinsp;''x'' mean ''dd''&thinsp;''x'', ΔΔΔ&thinsp;''x'', ΣΣ&thinsp;''x'', we ought to write sin.<sup>2</sup>&thinsp;''x'' for sin.&thinsp;sin.&thinsp;''x'', log.<sup>3</sup>&thinsp;''x'' for log.&thinsp;log.&thinsp;log.&thinsp;''x''. Just as we write ''d''<sup>&minus;''n''</sup>&thinsp;V=∫<sup>''n''</sup>&thinsp;V, we may write similarly sin.<sup>&minus;1</sup>&thinsp;''x''=arc&thinsp;(sin.=''x''), log.<sup>&minus;1</sup>&thinsp;''x''.=c<sup>''x''</sup>. Some years later Herschel explained that in 1813 he used ''f''<sup>''n''</sup>(''x''), ''f''<sup>&minus;''n''</sup>(''x''), sin.<sup>&minus;1</sup>&thinsp;''x'', etc., "as he then supposed for the first time. The work of a German Analyst, [[Hans Heinrich Bürmann|Burmann]], has, however, within these few months come to his knowledge, in which the same is explained at a considerably earlier date. He[Burmann], however, does not seem to have noticed the convenience of applying this idea to the inverse functions tan<sup>&minus;1</sup>, etc., nor does he appear at all aware of the inverse calculus of functions to which it gives rise." Herschel adds, "The symmetry of this notation and above all the new and most extensive views it opens of the nature of analytical operations seem to authorize its universal adoption."{{citeref|Herschel|1820|b<!-- [4] -->}} […] §535. ''Persistence of rival notations for inverse function.''&mdash; […] The use of Herschel's notation underwent a slight change in [[Benjamin Peirce]]'s books, to remove the chief objection to them; Peirce wrote: "cos<sup>[&minus;1]</sup>&thinsp;''x''," "log<sup>[&minus;1]</sup>&thinsp;''x''."{{citeref|Peirce|1852|c<!-- [1] -->}} […] §537. ''Powers of trigonometric functions.''&mdash;Three principal notations have been used to denote, say, the square of sin&thinsp;''x'', namely, (sin&thinsp;''x'')<sup>2</sup>, sin&thinsp;''x''<sup>2</sup>, sin<sup>2</sup>&thinsp;''x''. The prevailing notation at present is sin<sup>2</sup>&thinsp;''x'', though the first is least likely to be misinterpreted. In the case of sin<sup>2</sup>&thinsp;''x'' two interpretations suggest themselves; first, sin&thinsp;''x'' &middot; sin&thinsp;''x''; second,{{citeref|Peano|1903|d<!-- [8] -->}} sin&thinsp;(sin&thinsp;''x''). As functions of the last type do not ordinarily present themselves, the danger of misinterpretation is very much less than in case of log<sup>2</sup>&thinsp;''x'', where log&thinsp;''x'' &middot; log&thinsp;''x'' and log&thinsp;(log&thinsp;''x'') are of frequent occurrence in analysis. […] The notation sin<sup>''n''</sup>&thinsp;''x'' for (sin&thinsp;''x'')<sup>''n''</sup> has been widely used and is now the prevailing one. […]}} (xviii+367+1 pages including 1 addenda page) (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, USA, 2013.)</ref>
<ref name="Herschel_1813">{{cite journal |author-first=John Frederick William |author-last=Herschel |author-link=John Frederick William Herschel |title=On a Remarkable Application of Cotes's Theorem |journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society of London]] |publisher=[[Royal Society of London]], printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall |location=London |volume=103 |number=Part 1 |date=1813 |orig-year=1812-11-12 |jstor=107384 |pages=8–26 [10]|doi=10.1098/rstl.1813.0005 |s2cid=118124706 |doi-access=free }}</ref>
<ref name="Herschel_1820">{{cite book |author-first=John Frederick William |author-last=Herschel |author-link=John Frederick William Herschel |title=A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences |chapter=Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences |location=Cambridge, UK |publisher=Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons |date=1820 |pages=1–13 [5–6] |chapter-url=https://books.google.com/books?id=PWcSAAAAIAAJ&pg=PA5 |access-date=2020-08-04 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200804031020/https://books.google.de/books?hl=de&id=PWcSAAAAIAAJ&jtp=5 |archive-date=2020-08-04}} [https://archive.org/details/acollectionexam00lacrgoog] (NB. Inhere, Herschel refers to his {{citeref|Herschel|1813|1813 work|style=plain}} and mentions [[Hans Heinrich Bürmann]]'s older work.)</ref>
<ref name="Peirce_1852">{{cite book |author-first=Benjamin |author-last=Peirce |author-link=Benjamin Peirce |title=Curves, Functions and Forces |volume=I |edition=new |location=Boston, USA |date=1852 |page=203}}</ref>
<ref name="Peano_1903">{{cite book |author-first=Giuseppe |author-last=Peano |author-link=Giuseppe Peano |title=Formulaire mathématique |language=fr |volume=IV |date=1903 |page=229}}</ref>
<ref name="Pringsheim-Molk_1907">{{cite book |author-first1=Alfred |author-last1=Pringsheim |author-link1=Alfred Pringsheim |author-first2=Jules |author-last2=Molk |author-link2=Jules Molk |title=Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées |language=fr |id=Part I |volume=I |date=1907 |page=195}}</ref>}}

== Bacaan lebih lanjut ==
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono|title=Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-503-3 }} {{id icon}}
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=|title= Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPS|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|isbn=979-734-564-5}}

== Pranala luar ==

* {{SpringerEOM|title=Composite function|id=p/c024260}}
* "[http://demonstrations.wolfram.com/CompositionOfFunctions/ Composition of Functions]" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
*

[[Kategori:Operasi biner]]
[[Kategori:Fungsi matematika]]
[[Kategori:Konsep dasar dalam teori himpunan]]