Lihat sumber Kompleks Amitsur

{{Periksa terjemahan|en|Amitsur complex}}

Dalam aljabar, '''kompleks Amitsur''' adalah [[kompleks rantai|kompleks]] alami yang terkait dengan [[homomorfisme gelanggang]]. Kompleks ini diperkenalkan oleh Shimshon Amitsur. Ketika homomorfisme dikatakan ''[[Wikipedia:PDMA/MTK#faithfully flat|datar dan setia]]'' ({{Lang-en|faithfully flat}}), maka kompleks Amitsur adalah eksak (yang menentukan resolusi) dasar dari teori [[penurunan rata tepat]].

Gagasan tersebut seharusnya dipandang sebagai mekanisme untuk melampaui konvensional [[lokalisasi gelanggang dan modul]].<ref>{{harvnb|Artin|1999|loc=III.7.}}</ref>

== Definisi ==
Misal <math>\theta\colon R \to S</math> adalah homomorfisme dari gelanggang yang tidak memerlukan sifat komutatif. Untuk memulainya, yang harus dilakukan pertama adalah mendefinisikan [[himpunan kosimplisial]] <math>C^\bullet = S^{\otimes \bullet+1}</math> (dengan <math>\otimes</math> merujuk pada <math>\otimes_R</math>, bukan <math>\otimes_{\Z}</math>). Kemudian, definisikan wajah peta <math>d^i\colon S^{\otimes {n+1}} \to S^{\otimes n+2}</math> dengan menyisipkan 1 pada titik ke-''i'' :{{efn|Dalam referensi (M. Artin), tampaknya memiliki kesalahan ketik, dan ini harus menjadi rumus yang benar; lihat perhitungan <math>s_0</math> dan <math>d^2</math> di catatan.}}
:<math>d^i(x_0 \otimes \cdots \otimes x_n) = x_0 \otimes \cdots \otimes x_{i-1} \otimes 1 \otimes x_i \otimes \cdots \otimes x_n.</math>
Kemudian, definisikan degenerasi <math>s^i\colon S^{\otimes n+1} \to S^{\otimes n}</math> dengan mengalikan ke-''i'' dan titik-(''i' ' + 1):
:<math>s^i(x_0 \otimes \cdots \otimes x_n) = x_0 \otimes \cdots \otimes x_i x_{i+1} \otimes \cdots \otimes x_n.</math>
Definisi-definisi di atas memenuhi identitas sederhana "jelas", dan dengan demikian, <math>S^{\otimes \bullet + 1}</math> adalah himpunan kosimplisial. Hal tersebut menentukan kompleks dengan augumentasi <math>\theta</math> pada '''kompleks Amitsur''':<ref>{{harvnb|Artin|1999|loc=III.6.}}</ref>
:<math>0 \to R \,\overset{\theta}\to\, S \,\overset{\delta^0}\to\, S^{\otimes 2} \,\overset{\delta^1}\to\, S^{\otimes 3} \to \cdots</math>
dengan <math>\delta^n = \sum_{i=0}^{n+1} (-1)^i d^i.</math>

== Ketepatan kompleks Amitsur ==

=== Kasus ''faithfully flat'' ===
Dalam notasi di atas, jika <math>\theta</math> adalah rata tepat kanan, maka teorema [[Alexander Grothendieck]] menyatakan bahwa kompleks (imbuhan) <math>0 \to R \overset{\theta}\to S^{\otimes \bullet + 1}</math> adalah eksak dan karenanya adalah resolusi. Lebih umum, jika <math>\theta</math> adalah rata tepat kanan, maka ''M'' untuk setiap modul kiri-''R'',
:<math>0 \to M \to S \otimes_R M \to S^{\otimes 2} \otimes_R M \to S^{\otimes 3} \otimes_R M \to \cdots</math>
adalah eksak.<ref>{{harvnb|Artin|1999|loc=Theorem III.6.6.}}</ref>

''Bukti'':

'''Langkah 1''': Pernyataan benar jika <math>\theta\colon R \to S</math> terbagi sebagai homomorfisme gelanggang.

Bahwa "terbagi <math>\theta</math>" adalah menyatakan <math>\rho \circ \theta = \operatorname{id}_R</math> untuk beberapa homomorfisme <math>\rho\colon S \to R </math> (<math>\rho</math> merupakan retraksi dan terbagi <math>\theta</math>). Diberikan <math>\rho</math> sebagai
:<math>h\colon S^{\otimes n+1} \otimes M \to S^{\otimes n} \otimes M</math>
oleh
:<math>\begin{align}
& h(x_0 \otimes m) = \rho(x_0) \otimes m, \\
& h(x_0 \otimes \cdots \otimes x_n \otimes m) = \theta(\rho(x_0)) x_1 \otimes \cdots \otimes x_n \otimes m.
\end{align}</math>
Perhitungan yang mudah menunjukkan identitas berikut: dengan <math>\delta^{-1}=\theta \otimes \operatorname{id}_M\colon M \to S \otimes_R M</math>,
:<math>h \circ \delta^n + \delta^{n-1} \circ h = \operatorname{id}_{S^{\otimes n+1} \otimes M}</math>.
Hal ini untuk menyebutkan bahwa ''h'' adalah [[operator homotopi]] dan dengan demikian <math>\operatorname{id}_{S^{\otimes n+1} \otimes M}</math> sebagai menentukan nol peta pada kohomologi: yaitu, kompleksnya adalah eksak.

'''Langkah 2''': Pernyataan tersebut benar secara umum.

Kami berkomentar bahwa <math>S \to T := S \otimes_R S, \, x \mapsto 1 \otimes x</math> adalah bagian dari <math>T \to S, \, x \otimes y \mapsto xy</math>. Jadi, Langkah 1 yang diterapkan pada homomorfisme gelanggang terbagi <math>S \to T</math> menyatakan:
:<math>0 \to M_S \to T \otimes_S M_S \to T^{\otimes 2} \otimes_S M_S \to \cdots,</math>
dimana <math>M_S = S \otimes_R M</math> adalah eksak. Karena <math>T \otimes_S M_S \simeq S^{\otimes 2} \otimes_R M</math>, dsg., dengan "rata tepat" maka urutan aslinya adalah eksak. <math>\square</math>

===Kasus topologi busur===
{{harvs|txt|last1=Bhatt|first1=Bhargav|author1-link=Bhargav Bhatt|author2-link=Peter Scholze|last2=Scholze|first2=Peter|year=2019|loc=§8}} tunjukkan bahwa kompleks Amitsur eksak jika ''R'' dan ''S'' adalah [[bidang sempurna|gelanggang sempurna]] (komutatif), dan peta harus menjadi peliputan pada [[topologi busur]] (yang merupakan kondisi yang lebih lemah daripada peliputan pada [[topologi datar]]).

==Catatan==
{{div col|colwidth=30em}}
{{notelist}}
{{div col end}}

== Referensi ==
{{reflist}}

==Bibliografi==
*{{Citation|author-link=Michael Artin|last1=Artin|first1=Michael|url=http://www-math.mit.edu/~etingof/artinnotes.pdf|title=Noncommutative rings (Berkeley lecture notes)|year=1999}}
*{{Citation|author-link=Shimshon Amitsur|last=Amitsur|first=Shimshon|title=Simple algebras and cohomology groups of arbitrary fields|journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]]|volume=90|issue=1|year=1959|pages=73–112}}
* {{Citation|last1=Bhatt|first1=Bhargav|author1-link=Bhargav Bhatt|author2-link=Peter Scholze|last2=Scholze|first2=Peter|title=Prisms and Prismatic Cohomology|year=2019|arxiv=1905.08229}}
* {{nlab|id=Amitsur+complex|title=Amitsur complex}}

[[Kategori:Aljabar]]